Как найти корень с помощью рядов

Приближенное вычисление корней

Пусть
нужно извлечь корень
.
Всегда можно подобрать такое целое
число,
чтобыбыло возможно ближе к,
тогда

При
условии
последнее выражение можно вычислить,
используя биномиальный ряд:

,

.

Пример
24.
Вычислить
с точностью до 0,0001.

Решение

Используя
биномиальный ряд

,
при
,
получим

Это
знакочередующийся ряд.

; .

Поэтому,
ограничившись суммой первых трех членов,
получаем
.

Приближенное вычисление определенных интегралов

Многие
практически нужные интегралы не могут
быть вычислены с помощью формулы
Ньютона-Лейбница, так как первообразная
не может быть выражена через конечное
число элементарных функций.

Однако,
если подынтегральная функция разлагается
в степенной ряд, а пределы интегрирования
принадлежат области сходимости, то
можно вычислить определенный интеграл
с заданной степенью точности.

Пример
25.
Вычислить
с точностью 0,0001.

Решение

1)
Разложим подынтегральную функцию в
ряд:

,

.

1. Проинтегрируем
   его почленно

1. Получили
   знакочередующийся ряд. Для обеспечения
   требуемой точности достаточно взять
   сумму первых 7 членов, так как при
   

при

.

4)
Вычислим приближенно интеграл с одной
запасной цифрой.

Округляя,
получим
.

Приближенное решение дифференциальных уравнений

Степенные
ряды широко используются при интегрировании
дифференциальных уравнений. В этом
случае решение задачи Коши

;
;ищется в виде степенного ряда.

Пример
26.
Найти первые пять членов разложения в
степенной ряд решения задачи Коши
,.

Решение

Так
как начальное условие задано при
,
то

(начальное
условие).

Получаем
ряд

Литература

1
Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление, т.2. – М.: Наука,
1976 (и последующие издания).

2
Минюк С.А., Самаль С.А., Шевченко Л.И.
Высшая математика для экономистов, т.1
– Мн.: Элайда, 2003.

3
Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика.
– ГрГУ, 2000.

4
Колобов А.М. Избранные главы высшей
математики. – Мн.: Высшая школа, 1965.

5
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.
Высшая математика в упражнениях и
задачах. – М.: Высшая школа, 1989.

6
Гусак А.А. Пособие к решению задач по
высшей математике. – Мн.: Вышэйшая школа,
1967.

7
Гурский Е.И. Руководство к решению задач
по высшей математике. Часть I.
– Мн.: Вышэйшая школа, 1989.

С
О Д Е Р Ж А Н И Е

План
2004/2005, поз.103

Гладкова
Галина Александровна

Гладков
Лев Львович

Соседние файлы в предмете Высшая математика

• #
• #
• #
• #
• #

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор	Сообщение
2Marinochka2	Заголовок сообщения: Вычислить с помощью рядов кубический корень, точность 0,001 Добавлено: 15 апр 2011, 10:50
Начинающий Зарегистрирован: 15 фев 2011, 06:00 Сообщений: 23 Cпасибо сказано: 14 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1	Добрый день, очень рассчитываю на вашу помощь! Надо вычислить с помощью рядов кубический корень (точность до 0,001) [math]sqrt[3]{8,!36}[/math]
Вернуться к началу

lexus666	Заголовок сообщения: Re: Вычислить с помощью рядов кубический корень, точность 0,001 Добавлено: 15 апр 2011, 14:04
	Представим функцию в виде [math]f(x)=(x+triangle x)^{1/3},x=8,triangle x=0,36[/math]. Разложим ее в ряд Тейлора в точке [math]x=8[/math]: [math]f(x+triangle x)=f(x)+sum_{n=1}^{infty}frac{f^{(n)}(x)}{n!}(triangle x)^n=f(x)+frac{1}{3}frac{triangle x}{x^{2/3}}-frac{1}{9}frac{(triangle x)^2}{x^{5/3}}+frac{5}{81}frac{(triangle x)^3}{x^{8/3}}+…[/math] Т. о. получаем: [math](x+triangle x)^{1/3}approx 2+0,03-0,00045approx 2,03[/math]
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю lexus666 «Спасибо» сказали: 2Marinochka2, minimal_4ik

2Marinochka2	Заголовок сообщения: Re: Вычислить с помощью рядов кубический корень, точность 0,001 Добавлено: 16 апр 2011, 05:08
	Спсаибо огромное, только в задании, до 0,001, я так понимаю еще один знак после запятой надо оставить? Но это уже мелочи. Спасибо!!!
Вернуться к началу

annamalaya	Заголовок сообщения: Re: Вычислить с помощью рядов кубический корень, точность 0,001 Добавлено: 26 дек 2013, 18:19
	А как доказать, что последующие члены можно отбросить?
Вернуться к началу