Как найти корень четного числа

Что такое корень n-й степени из действительного числа

Чтобы научиться работать с корнями степени (n), необходимо знать, что такое арифметический КВАДРАТНЫЙ корень и его свойства.

Корнем n-й степени ((n=2, 3, 4, 5, 6… )) некоторого числа (a) называют такое неотрицательное число (b), которое при возведении в степень (n in N) дает (a). Корень n-ой степени обозначается при помощи знака радикала (sqrt[n]{a}):

$$ sqrt[n]{a}=b; $$
$$ b^{n}=underbrace{b*b*b*…*b}_{n ; раз}=a. $$

Число (n in N) при этом называют показателем корня, а число (a) подкоренным выражением.

Если (n=2), то перед вами корень 2-й степени или, другими словами, обычный арифметический квадратный корень, который все проходили в 8-м классе.

Если (n=3), то это корень 3-й степени, (sqrt[3]{a}). Его обычно называют кубическим корнем. Чтобы его вычислить, нужно найти такое число, которое умноженное на само себя три раза, даст подкоренное выражение.

Если (n=4), то корень 4-й степени, (sqrt[4]{a}) и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень. Для того, чтобы вычислить корень n-й степени от (a), нужно сообразить какое число в степени (n) будет давать (a).

Пример 1
$$ sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Пример 2
$$ sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Пример 3
$$ sqrt[n]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Пример 4
$$ sqrt[n]{1}=1 $$

Если извлечь корень n-й степени из 1, всегда будет 1.

Пример 5
$$ sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим (2,668…) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть (sqrt[3]{19}).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ sqrt[3]{8} le sqrt[3]{19} le sqrt[3]{27} $$
$$ 2 le sqrt[3]{19} le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Пример 6

Оценить значение (sqrt[4]{15}= ?)
$$ sqrt[4]{1} le sqrt[4]{15} le sqrt[4]{16}; $$
$$ 1 le sqrt[4]{15} le 2; $$

Корень четной и нечетной степеней

Надо четко различать правила работы c четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из неотрицательного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Пример 7
$$ sqrt[3]{-27}=-3 $$

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного. Напоминаю, что извлечь корень 3-й степени, значит найти такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст покоренное выражение. Если ((-3)) умножить на само себя три раза, то мы получим покоренное выражение (-27=(-3)*(-3)*(-3)).

Пример 8
$$ sqrt[4]{-27} $$

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла. Невозможно найти число, которое при умножении на само себя четыре раза, даст отрицательное значение.

Из-под знака нечетного показателя корня можно выносить минус. Это упрощает процесс подсчета.

$$sqrt[5]{-32}=-sqrt[5]{32}=-2;$$

Свойства корня n-й степени

Пусть есть два числа a и b, для них будут выполняться следующие свойства:

$$ (sqrt[n]{a})^n=a $$
$$ sqrt[n]{a^n}=a $$
$$ sqrt[n]{a*b}=sqrt[n]{a}*sqrt[n]{b} $$
$$ sqrt[n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}, b neq 0 $$
$$ (sqrt[n]{a})^k=sqrt[n]{a^k} $$
$$sqrt[n] {sqrt[k]{a}}=sqrt[n*k]{a} $$
$$ sqrt[n*p]{a^{k*p}}=sqrt[n]{a^k} $$

При использовании вышеперечисленных свойств важно помнить: корень четной степени не существует из отрицательных чисел, и сам корень четной степени всегда положителен. Надо быть внимательным и следить, чтобы в ходе преобразований эти ограничения не нарушались.

Рассмотрим примеры на свойства корня степени (n).

Пример 9
$$(sqrt[5]{7})^5=7;$$
При возведении корня с показателем (n) в степень (n) остается просто подкоренное выражение, так как возведение в степень и извлечение корня это взаимно обратные операции.

Обратите внимание, что неважно, где стоит степень — над корнем или под корнем, результат будет одинаковым.
$$sqrt[5]{7^5}=7$$

Из рассмотренного выше примера следует свойство ((sqrt[n]{a})^k=sqrt[n]{a^k}). Не имеет значения, извлекаете ли вы сначала корень, а потом возводите в степень, или наоборот, сначала возводите в степень подкоренное выражение, и только потом извлекаете корень.

Пример 10
$$sqrt[3]{8^2}=(sqrt[3]{8})^2=2^{2}=4;$$
$$sqrt[3]{8^2}=sqrt[3]{64}=4;$$
Получается одно и тоже.

Более того, показатель корня и степень подкоренного выражения можно домножить на одно и тоже число (p), результат от этого не изменится. Может пригодиться в различных преобразованиях и при сравнении корней между собой.

$$ sqrt[n]{a^k}=sqrt[n*p]{a^{k*p}};$$

Пример 11
$$ sqrt[3]{10^2}=sqrt[3*2]{10^{2*2}}=sqrt[6]{10^{4}}=sqrt[6]{1000};$$

Эту же формулу можно использовать наоборот:
$$ sqrt[n*p]{a^{k*p}}=sqrt[n]{a^k} $$
То есть можно сокращать показатель корня и степень подкоренного выражения, что существенно упрощает вычисления в некоторых случаях.

Пример 12
$$ sqrt[6]{16}=sqrt[6]{2^4}=sqrt[3]{2^2}=sqrt[3]{4};$$

Рассмотрим применение формул корня от произведения и частного, без которых невозможно решить ни один приличный пример.
Корень степени (n) от произведения равен произведению корней степени (n) от этих множителей.
$$ sqrt[n]{a*b}=sqrt[n]{a}*sqrt[n]{b} $$
И аналогично корень степени (n) от частного равен частному корней n-й степени.
$$ sqrt[n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}, b neq 0 $$

Пример 13
$$sqrt[3]{125*8}=sqrt[3]{125}*sqrt[3]{8}=5*2=10;$$
$$sqrt[3]{-frac{27}{8}}=frac{-sqrt[3]{27}}{sqrt[3]{8}}=frac{-3}{2};$$

Формулы справедливы не только для двух множителей:

Пример 14
$$sqrt[3]{125*8*27}=sqrt[3]{125}*sqrt[3]{8}*sqrt{27}=5*2*3=30;$$

Пример 15
$$sqrt[4]{frac{16*81}{625}}=frac{sqrt[4]{16*81}}{sqrt[4]{625}}=frac{sqrt[4]{16}*sqrt[4]{81}}{sqrt[4]{625}}=frac{2*3}{5}=frac{6}{5};$$

Обратите внимание! Формулы произведения и частного корней справедливы только для корней с одинаковыми показателями. Нельзя перемножить корни с разными показателями.

$$sqrt[3]{6}*sqrt[4]{7}=?$$

Ничего здесь сделать мы не можем!

И следите за отрицательными числами при использовании корней четной степени. Произведение двух отрицательных чисел может существовать под одним корнем, так как они при умножении дают знак плюс. Но разбивать такое произведение на два корня четной степени ни в коем случае нельзя: выражение теряет всякий смысл.

$$sqrt[4]{-15*(-7)} neq sqrt[4]{-15}*sqrt[4]{-7};$$
$$sqrt[4]{-15*(-7)} = sqrt[4]{15*7}=sqrt[4]{15}*sqrt[4]{7};$$

15 января 2017

Поздравляю: сегодня мы будем разбирать корни — одну из самых мозговыносящих тем 8-го класса.:)

Многие путаются в корнях не потому, что они сложные (чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств), а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Да и то лишь с бутылкой хорошего виски.:)

Поэтому сейчас я дам самое правильное и самое грамотное определение корня — единственное, которое вам действительно следует запомнить. А уже затем объясню: зачем всё это нужно и как это применять на практике.

Но сначала запомните один важный момент, про который многие составители учебников почему-то «забывают»:

Корни бывают чётной степени (наш любимый $sqrt{a}$, а также всякие $sqrt[4]{a}$ и даже $sqrt[116]{a}$ ) и нечётной степени (всякие $sqrt[3]{a}$, $sqrt[7]{a}$ и т.д.). И определение корня нечётной степени несколько отличается от чётной.

Вот в этом грёбаном «несколько отличается» скрыто, наверное, 95% всех ошибок и недопонимания, связанного с корнями. Поэтому давайте раз и навсегда разберёмся с терминологией:

Определение. Корень чётной степени n из числа $a$ — это любое неотрицательное число $b$ такое, что ${{b}^{n}}=a$. А корень нечётной степени из того же числа $a$ — это вообще любое число $b$, для которого выполняется всё то же равенство: ${{b}^{n}}=a$.

В любом случае корень обозначается вот так:

[b=sqrt[n]{a}]

Число $n$ в такой записи называется показателем корня, а число $a$ — подкоренным выражением. В частности, при $n=2$ получим наш «любимый» квадратный корень (кстати, это корень чётной степени), а при $n=3$ — кубический (степень нечётная), который тоже часто встречается в задачах и уравнениях.

Примеры. Классические примеры квадратных корней:

[begin{align} & sqrt{4}=2; \ & sqrt{81}=9; \ & sqrt{256}=16. \ end{align}]

Кстати, $sqrt{0}=0$, а $sqrt{1}=1$. Это вполне логично, поскольку ${{0}^{2}}=0$ и ${{1}^{2}}=1$.

Кубические корни тоже часто встречаются — не надо их бояться:

[begin{align} & sqrt[3]{27}=3; \ & sqrt[3]{-64}=-4; \ & sqrt[3]{343}=7. \ end{align}]

Ну, и парочка «экзотических примеров»:

[begin{align} & sqrt[4]{81}=3; \ & sqrt[5]{-32}=-2. \ end{align}]

Если вы не поняли, в чём разница между чётной и нечётной степенью — перечитайте определение ещё раз. Это очень важно!

А мы тем временем рассмотрим одну неприятную особенность корней, из-за которой нам и потребовалось вводить раздельное определение для чётных и нечётных показателей.

Зачем вообще нужны корни?

Прочитав определение, многие ученики спросят: «Что курили математики, когда это придумывали?» И вправду: зачем вообще нужны все эти корни?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на минутку в начальные классы. Вспомните: в те далёкие времена, когда деревья были зеленее, а пельмени вкуснее, основная наша забота была в том, чтобы правильно умножать числа. Ну, что-нибудь в духе «пять на пять — двадцать пять», вот это вот всё. Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами:

[begin{align} & 5cdot 5=25; \ & 5cdot 5cdot 5=125; \ & 5cdot 5cdot 5cdot 5=625; \ & 5cdot 5cdot 5cdot 5cdot 5=3125; \ & 5cdot 5cdot 5cdot 5cdot 5cdot 5=15 625. end{align}]

Ну и так далее. Ладно, ладно: последние две строчки я считал на калькуляторе.:)

Однако суть не в этом. Фишка в другом: математики — людишки ленивые, поэтому им было в лом записывать умножение десяти пятёрок вот так:

[5cdot 5cdot 5cdot 5cdot 5cdot 5=15 625]

Поэтому они придумали степени. Почему бы вместо длинной строки не записать количество множителей в виде верхнего индекса? Типа вот такого:

[5cdot 5cdot 5cdot 5cdot 5cdot 5={{5}^{6}}=15 625]

Это же очень удобно! Все вычисления сокращаются в разы, и можно не тратить кучу листов пергамента блокнотиков на запись какого-нибудь 5¹⁸³. Такую запись назвали степенью числа, у неё нашли кучу свойств, но счастье оказалось недолгим.

После грандиозной пьянки, которую организовали как раз по поводу «открытия» степеней, какой-то особо упоротый математик вдруг спросил: «А что, если нам известна степень числа, но неизвестно само число?» Вот, действительно, если нам известно, что некое число $b$, допустим, в 5-й степени даёт 243, то как нам догадаться, чему равно само число $b$?

Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд. Потому что выяснилось, что для большинства «готовых» степеней таких «исходных» чисел нет. Судите сами:

[begin{align} & {{b}^{3}}=27Rightarrow b=3cdot 3cdot 3Rightarrow b=3; \ & {{b}^{3}}=64Rightarrow b=4cdot 4cdot 4Rightarrow b=4. \ end{align}]

А, что если ${{b}^{3}}=50$? Получается, что нужно найти некое число, которое будучи трижды умноженное само на себя даст нам 50. Но что это за число? Оно явно больше 3, поскольку 3³ = 27 < 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4³ = 64 > 50. Т.е. это число лежит где-то между тройкой и четвёркой, но чему оно равно — фиг поймёшь.

Именно для этого математики и придумали корни $n$-й степени. Именно для этого ввели значок радикала $sqrt{*}$. Чтобы обозначить то самое число $b$, которое в указанной степени даст нам заранее известную величину

[sqrt[n]{a}=bRightarrow {{b}^{n}}=a]

Не спорю: зачастую эти корни легко считаются — мы видели несколько таких примеров выше. Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом.

Да что там! Даже самый простой и всем знакомый $sqrt{2}$ нельзя представить в привычном нам виде — как целое число или дробушка. А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это:

[sqrt{2}=1,414213562…]

Как видите, после запятой идёт бесконечная последовательность цифр, которые не подчиняются никакой логике. Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Например:

[sqrt{2}=1,4142…approx 1,4 lt 1,5]

Или вот ещё пример:

[sqrt{3}=1,73205…approx 1,7 gt 1,5]

Но все эти округления, во-первых, довольно грубые; а во-вторых, работать с примерными значениями тоже надо уметь, иначе можно словить кучу неочевидных ошибок (кстати, навык сравнения и округления в обязательном порядке проверяют на профильном ЕГЭ).

Поэтому в серьёзной математике без корней не обойтись — они являются такими же равноправными представителями множества всех действительных чисел $mathbb{R}$, как и давно знакомые нам дроби и целые числа.

Невозможность представить корень в виде дроби вида $frac{p}{q}$ означает, что данный корень не является рациональным числом. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций (логарифмов, степеней, пределов и т.д.). Но об этом — в другой раз.

Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе.

Пример.

[begin{align} & sqrt{2+sqrt[3]{27}}=sqrt{2+3}=sqrt{5}approx 2,236… \ & sqrt[3]{sqrt[5]{-32}}=sqrt[3]{-2}approx -1,2599… \ end{align}]

Естественно, по внешнему виду корня практически невозможно догадаться о том, какие числа будут идти после запятой. Впрочем, можно, посчитать на калькуляторе, но даже самый совершенный калькулятор дат нам лишь несколько первых цифр иррационального числа. Поэтому гораздо правильнее записать ответы в виде $sqrt{5}$ и $sqrt[3]{-2}$.

Именно для этого их и придумали. Чтобы удобно записывать ответы.

Почему нужны два определения?

Внимательный читатель уже наверняка заметил, что все квадратные корни, приведённые в примерах, извлекаются из положительных чисел. Ну, в крайнем случае из нуля. А вот кубические корни невозмутимо извлекаются абсолютно из любого числа — хоть положительного, хоть отрицательного.

Почему так происходит? Взгляните на график функции $y={{x}^{2}}$:

Попробуем с помощью этого графика посчитать $sqrt{4}$. Для этого на графике проведена горизонтальная линия $y=4$ (отмечена красным цветом), которая пересекается с параболой в двух точках:${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=-2$. Это вполне логично, поскольку

[x=pm 2Rightarrow {{x}^{2}}=4]

С первым числом всё понятно — оно положительное, поэтому оно и есть корень:

[sqrt{4}=2]

Но что тогда делать со второй точкой? Типа у четвёрки сразу два корня? Ведь если возвести в квадрат число −2, мы тоже получим 4. Почему бы тогда не записать$sqrt{4}=-2$? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?:)

В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный. И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y, т.е. не принимает отрицательных значений.

Подобная проблема возникает у всех корней с чётным показателем:

1. Строго говоря, корней с чётным показателем $n$ у каждого положительного числа будет сразу две штуки;
2. Из отрицательных чисел корень с чётным $n$ вообще не извлекается.

Именно поэтому в определении корня чётной степени $n$ специально оговаривается, что ответ должен быть неотрицательным числом. Так мы избавляемся от неоднозначности.

Зато для нечётных $n$ такой проблемы нет. Чтобы убедиться в этом, давайте взглянем на график функции $y={{x}^{3}}$:

Из этого графика можно сделать два вывода:

1. Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и вниз. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Следовательно, кубический корень можно извлечь всегда, абсолютно из любого числа;
2. Кроме того, такое пересечение всегда будет единственным, поэтому не нужно думать, какое число считать «правильным» корнем, а на какое — забить. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной (отсутствует требование неотрицательности).

Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами.

Да, я не спорю: что такое арифметический корень — тоже надо знать. И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Сегодня мы тоже поговорим о нём, поскольку без него все размышления о корнях $n$-й кратности были бы неполными.

Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях:

1. Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён.
2. А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: для положительных чисел он положителен, а для отрицательных — как намекает кэп, отрицательный.

Разве это сложно? Нет, не сложно. Понятно? Да вообще очевидно! Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.

Основные свойства и ограничения

У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Поэтому сейчас мы рассмотрим лишь самую важную «фишку», которая относится лишь к корням с чётным показателем. Запишем это свойство в виде формулы:

[sqrt[2n]{{{x}^{2n}}}=left| x right|]

Другими словами, если возвести число в чётную степень, а затем из этого извлечь корень той же степени, мы получим не исходное число, а его модуль. Это простая теорема, которая легко доказывается (достаточно отдельно рассмотреть неотрицательные $x$, а затем отдельно — отрицательные). О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений (т.е. уравнений, содержащих знак радикала), ученики дружно забывают эту формулу.

Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом:

[sqrt[4]{{{3}^{4}}}=?quad sqrt[4]{{{left( -3 right)}^{4}}}=?]

Это очень простые примеры. Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий:

1. Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти;
2. И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Т.е. никакого «сокращения» корней и степеней не происходит — это последовательные действия.

Раберёмся с первым выражением: $sqrt[4]{{{3}^{4}}}$. Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем:

[{{3}^{4}}=3cdot 3cdot 3cdot 3=81]

Затем извлекаем корень четвёртой степени из числа 81:

[sqrt[4]{81}=3]

Теперь сделаем то же самое со вторым выражением. Сначала возводим число −3 в четвёртую степени, для чего потребуется умножить его само на себя 4 раза:

[{{left( -3 right)}^{4}}=left( -3 right)cdot left( -3 right)cdot left( -3 right)cdot left( -3 right)=81]

Получили положительное число, поскольку общее количество минусов в произведении — 4 штуки, и они все взаимно уничтожится (ведь минус на минус даёт плюс). Дальше вновь извлекаем корень:

[sqrt[4]{81}=3]

В принципе, эту строчку можно было не писать, поскольку и ежу понятно, что ответ получится один и тот же. Т.е. чётный корень из той же чётной степени «сжигает» минусы, и в этом смысле результат неотличим от обычного модуля:

[begin{align} & sqrt[4]{{{3}^{4}}}=left| 3 right|=3; \ & sqrt[4]{{{left( -3 right)}^{4}}}=left| -3 right|=3. \ end{align}]

Эти вычисления хорошо согласуются с определением корня чётной степени: результат всегда неотрицателен, да и под знаком радикала тоже всегда стоит неотрицательное число. В противном случае корень не определён.

Замечание по поводу порядка действий

Прежде чем мы двинемся дальше, хотел бы отметить, что выражения $sqrt{{{a}^{2}}}$ и ${{left( sqrt{a} right)}^{2}}$, столь похожие на первый взгляд, на самом деле имеют принципиально разный смысл. Судите сами:

1. Запись $sqrt{{{a}^{2}}}$ означает, что мы сначала возводим число $a$ в квадрат, а затем извлекаем из полученного значения квадратный корень. Следовательно, мы можем быть уверены, что под знаком корня всегда сидит неотрицательное число, поскольку ${{a}^{2}}ge 0$ в любом случае;
2. А вот запись ${{left( sqrt{a} right)}^{2}}$, напротив, означает, что мы сначала извлекаем корень из некого числа $a$ и лишь затем возводим результат в квадрат. Поэтому число $a$ ни в коем случае не может быть отрицательным — это обязательное требование, заложенное в определение.

Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.

Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.

Вынесение минуса из-под знака корня

Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:

[sqrt[2n+1]{-a}=-sqrt[2n+1]{a}]

Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:

[begin{align} & sqrt[3]{-8}=-sqrt[3]{8}=-2; \ & sqrt[3]{-27}cdot sqrt[5]{-32}=-sqrt[3]{27}cdot left( -sqrt[5]{32} right)= \ & =sqrt[3]{27}cdot sqrt[5]{32}= \ & =3cdot 2=6. end{align}]

Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.

И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!

Арифметический корень

Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Забьём на чётные/нечётные показатели, забьём на все определения, приведённые выше — будем работать только с неотрицательными числами. Что тогда?

А тогда мы получим арифметический корень — он частично пересекается с нашими «стандартными» определениями, но всё же отличается от них.

Определение. Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, что ${{b}^{n}}=a$.

Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: подкоренное выражение теперь всегда неотрицательно, да и сам корень тоже неотрицателен.

Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы:

Как видите, отныне нас интересуют лишь те куски графиков, которые расположены в первой координатной четверти — там, где координаты $x$ и $y$ положительны (или хотя бы ноль). Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: имеем мы право ставить под корень отрицательное число или нет. Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.

Возможно, вы спросите: «Ну и зачем нам такое кастрированное определение?» Или: «Почему нельзя обойтись стандартным определением, данным выше?»

Что ж, приведу всего одно свойство, из-за которого новое определение становится целесообразным. Например, правило возведения в степень:

[sqrt[n]{a}=sqrt[ncdot k]{{{a}^{k}}}]

Обратите внимание: мы можем возвести подкоренное выражение в любую степень и одновременно умножить на эту же степень показатель корня — и в результате получится то же самое число! Вот примеры:

[begin{align} & sqrt[3]{5}=sqrt[3cdot 2]{{{5}^{2}}}=sqrt[6]{25} \ & sqrt{2}=sqrt[2cdot 4]{{{2}^{4}}}=sqrt[8]{16} \ end{align}]

Ну и что в этом такого? Почему мы не могли сделать это раньше? А вот почему. Рассмотрим простое выражение: $sqrt[3]{-2}$ — это число вполне нормальное в нашем классическом понимании, но абсолютно недопустимо с точки зрения арифметического корня. Попробуем преобразовать его:

$begin{align} & sqrt[3]{-2}=-sqrt[3]{2}=-sqrt[3cdot 2]{{{2}^{2}}}=-sqrt[6]{4} lt 0; \ & sqrt[3]{-2}=sqrt[3cdot 2]{{{left( -2 right)}^{2}}}=sqrt[6]{4} gt 0. \ end{align}$

Как видите, в первом случае мы вынесли минус из-под радикала (имеем полное право, т.к. показатель нечётный), а во втором — воспользовались указанной выше формулой. Т.е. с точки зрения математики всё сделано по правилам.

WTF?! Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Никак. Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.

Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.

Алгебраический корень: для тех, кто хочет знать больше

Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.

Так вот: помимо «классического» определения корня $n$-й степени из числа и связанного с ним разделения на чётные и нечётные показатели есть более «взрослое» определение, которое вообще не зависит от чётности и прочих тонкостей. Это называется алгебраическим корнем.

Определение. Алгебраический корень $n$-й степени из числа любого $a$ — это множество всех чисел $b$ таких, что ${{b}^{n}}=a$. Для таких корней нет устоявшегося обозначения, поэтому просто поставим чёрточку сверху:

[overline{sqrt[n]{a}}=left{ bleft| bin mathbb{R};{{b}^{n}}=a right. right}]

Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:

1. Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
2. Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
3. Наконец, множество может включать два числа — те самые ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.

Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.

Пример. Вычислите выражения:

[overline{sqrt{4}};quad overline{sqrt[3]{-27}};quad overline{sqrt[4]{-16}}.]

Решение. С первым выражением всё просто:

[overline{sqrt{4}}=left{ 2;-2 right}]

Именно два числа входят в состав множества. Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.

[overline{sqrt[3]{-27}}=left{ -3 right}]

Тут мы видим множество, состоящее лишь из одного числа. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный.

Наконец, последнее выражение:

[overline{sqrt[4]{-16}}=varnothing ]

Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.

Финальное замечание. Обратите внимание: я не случайно везде отмечал, что мы работаем с действительными числами. Потому что есть ещё комплексные числа — там вполне можно посчитать и $sqrt[4]{-16}$, и многие другие странные вещи.

Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. Их вычеркнули из большинства учебников, поскольку наши чиновники считают эту тему «слишком сложной для понимания».

На этом всё. В следующем уроке мы рассмотрим все ключевые свойства корней и научимся, наконец, упрощать иррациональные выражения.:)

Смотрите также:

1. Умножение корней n-й степени
2. Свойства арифметического квадратного корня
3. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
4. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
5. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности
6. Решение задач на движение по воде

Содержание:

Вам уже известно, что уравнение

при неотрицательном значении а имеет два корня:

где выражение обозначает арифметический квадратный корень из числа , т. е. такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Рассмотрим уравнение

где — некоторое действительное число, — натуральное число. Корень этого уравнения называют корнем -й степени из числа .

Корнем -й степени из числа называется такое число, -я степень которого равна .

Теоремы и доказательства

Теорема 1.

Из положительного числа существует единственный положительный корень степени .

Доказательство:

Пусть — положительное число. Нужно доказать, что существует такое единственное положительное число , что

Доказательство существования искомого числа выходит за пределы тех возможностей, которые теперь у нас есть. Покажем на примере, как можно найти приближенное значение положительного корня -й степени из положительного числа с любой степенью точности.

Пусть нужно найти значение корня третьей степени из числа 6. Приближенными значениями этого корня с точностью до единицы являются число 1 с недостатком и число 2 с избытком, так как

Чтобы найти нужное значение с точностью до десятой, следует испытать числа

Поскольку

то нужное значение находится между числами 1,8 и 1,9. Испытав числа

найдем, что значение корня третьей степени из числа 3 находится между числами 1,81 и 1,82.

Если этот процесс продолжать далее, то мы будем получать искомое значение корня с все большей точностью.

Докажем единственность положительного корня степени из положительного числа . Пусть есть два таких положительных числа и , что и Тогда .

Допустим, что , тогда по соответствующему свойству числовых неравенств получим, что , а это противоречит отношению .

Также ведет к противоречию и допущение о том, что

Поэтому для и остается единственная возможность: .

Неотрицательный корень -й степени из неотрицательного числа называют арифметическим корнем -й степени.

Корень -й степени из числа обозначают . Число называют показателем корня, число — подкоренным выражением. Если подкоренное выражение неотрицательно, то обозначает арифметический корень.

Действие нахождения корня -й степени из числа называется извлечением корня степени . Это действие является обратным для действия возведения в натуральную степень (рис. 49). Корень второй степени называют еще квадратным корнем, корень третьей степени — кубическим корнем.

Пример №1

а) Запись означает корень четвертой степени из числа 81.

б) Запись означает корень шестой степени из числа 64.

в) Запись означает корень пятой степени из числа -32.

г)

д)

Теорема 2.

Из положительного числа:

• а) не существует отрицательного корня нечетной степени;
• б) существует единственный отрицательный корень четной степени, причем он противоположен положительному корню из данного числа.

Доказательство:

Пусть — положительное число.

Пусть степень корня — нечетное число. Допустим, что есть такое отрицательное число , для которого истинно равенство . Поскольку по условию — отрицательное число, то число также отрицательное как произведение нечетного количества отрицательных чисел. Получается, что левый компонент равенства — отрицательное число, а его правый компонент — положительное число. Но такое невозможно. Поэтому допущение о существовании отрицательного корня нечетной степени из положительного числа нужно отклонить и признать, что отрицательного корня нечетной степени из положительного числа не существует.

Пусть степень корня — четное число. По теореме 1 существует единственный положительный корень уравнения . А если истинно равенство , то истинно и равенство . А это означает, что — отрицательный корень уравнения . Единственность отрицательного корня устанавливается так же, как и единственность положительного корня.

Теорема 3.

Из отрицательного числа:

• а) не существует корней четной степени;
• б) существует единственный корень нечетной степени, причем это отрицательное число.

Доказательство:

Пусть — отрицательное число.

Пусть степень корня — четное число. Допустим, что есть такое число , для которого истинно равенство . Тогда число неотрицательно как произведение четного количества равных чисел . Получается, что левый компонент равенства — неотрицательное число, а его правый компонент — отрицательное число. Получили противоречие. Поэтому допущение о существовании корня четной степени из отрицательного числа нужно отклонить и признать, что не существует корней четной степени из отрицательного числа.

Пусть степень корня — нечетное число. Тогда корень степени из отрицательного числа не может быть неотрицательным, так как в противном случае в равенстве левый компонент был бы неотрицательным, а правый компонент отрицательным.

Поскольку — число отрицательное, то противоположное число положительное. В соответствии с теоремой 1 существует положительный корень уравнения , т. е. истинно равенство . Тогда . Поскольку по условию число нечетное, то . Значит, . А это и означает, что отрицательное число есть корень нечетной степени из отрицательного числа .

Единственность отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа устанавливается так же, как и единственность положительного корня.

Таким образом, если , то выражение имеет значение при любом натуральном значении , как четном, так и нечетном, а если , то выражение имеет значение только при нечетном натуральном значении .

По определению корня, при каждом значении , при котором выражение имеет значение, истинно равенство

Следствие 1.

Корни нечетной степени из противоположных чисел являются противоположными числами:

, если — нечетное число.

Действительно, если — нечетное число, то истинное равенство означает, что число является значением корня степени из числа .

Следствие 2.

Рассмотрим примеры решения уравнений вида .

Пример №2

Решим уравнение .

Уравнение имеет единственный корень. Он является положительным числом, пятая степень которого равна 11, т. е. числом .

Число иррациональное. С помощью калькулятора находим, что с точностью до тысячной оно равно 1,615.

Пример №3

Решим уравнение .

Уравнение имеет два корня, которые являются противоположными числами. Положительный корень — это положительное число, четвертая степень которого равна 21, т. е. число . Отрицательный корень — число .

Числа и иррациональные. С помощью калькулятора находим, что с точностью до десятитысячной они равны 2,1407 и -2,1407.

Пример №4

Решим уравнение .

Уравнение имеет единственный корень. Он является отрицательным числом, девятая степень которого равна -373, т. е. числом , или, используя представление с помощью арифметического корня, числом .

Число иррациональное. Его десятичное приближение с точностью до десятитысячной равно -1,9308.

Свойства арифметического корня

Мы знаем, что квадратный корень имеет такие свойства:

Аналогичные свойства имеет корень -й степени и при .

Теорема 4.

При любом натуральном значении :

Доказательство:

Пусть и . Докажем, что . Для этого в соответствии с определением арифметического корня нужно доказать, что:

Поскольку , то выражение имеет значение и это значение неотрицательно. Так же поскольку , то выражение имеет неотрицательное значение. Поэтому и выражение имеет неотрицательное значение.

Далее по свойству натуральной степени произведения и определению корня получим

Доказательство равенства проводится аналогично.

Следствие 1.

При любом нечетном натуральном значении :

Действительно, если, например, и , то . Здесь использованы (1) и (4) — следствие 1 из параграфа 3, (2) — теорема 4, (3) — свойство дроби.

Теорема 4 дает правила извлечения корня из произведения и из дроби:

• чтобы найти корень из произведения, можно найти корни из отдельных множителей и полученные числа перемножить;
• чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

Прочтение тождеств из теоремы 4 справа налево:

дает правила умножения и деления корней с одинаковыми показателями:

• чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, можно перемножить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного произведения.
• чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, можно разделить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного частного.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №5

а) ;

б)

;

в) ;

г) .

Теорема 5.

Если , то при любых натуральных значениях и истинны равенства и .

Доказательство:

Пусть . Тогда:

Докажем второе тождество. Выражение имеет значение, причем это значение неотрицательно. Поскольку

то выражение является значением корня степени из числа .

Следствие 2.

Если и — нечетные числа, то при любом значении истинны равенства и .

Действительно, если, например, , и — нечетные числа, то

Теорема 5 позволяет сформулировать правило возведения корня в степень и правило извлечения корня из корня:

• чтобы возвести корень в степень, можно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня прежним;
• чтобы извлечь корень из корня, можно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений.

Пример №6

a) ;

б)

;

в) .

Следствие 3.

Если , то при любых натуральных значениях , и истинно равенство .

Действительно:

Доказанное утверждение выражает основное свойство корня:

• если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Пример №7

а) ;

б)

Можно доказать, что если , и — нечетные числа, то при всех значениях истинно равенство .

Теорема 6.

Если и , то неравенство равносильно неравенству при любом натуральном значении .

Доказательство:

Пусть и . Тогда выражения и имеют значения при любом значении .

Пусть . Допустим, что . Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в -ю степень, получим . Но это противоречит условию .

Пусть . Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в -ю степень, получим .

Следствие 4.

Если — нечетное число, то неравенство равносильно неравенству при любых значениях и .

Действительно, если и , то и . Неравенство по уже доказанному равносильно неравенству , или неравенству , или неравенству . Получили, что если и , то неравенство равносильно неравенству .

Равносильность неравенств в случаях, когда числа и имеют разные знаки и когда одно из чисел равно нулю, устанавливается аналогично.

В уроке «Степень числа»
мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя.
Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

3 · 3 = 3² = 9

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат?
Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?

У квадратного корня есть специальный знак.
Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9»,
это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:

√9 = 3

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический».
Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом.
Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

• 
  √−9
  = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
• 
  √64 = 8
  
• 
  √−1,44
  
  = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;

• 
  √256 = 16
  

Квадратный корень из нуля

Квадратный корень из единицы

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто.
Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от
1 до 20.

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

• √81 = 9
• √64 = 8
• √100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби «0,16».

√0,16 =

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа «16».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает «16». Это число
«4».

√16 = 4

√0,16 = …

Вспомним правило умножения десятичных дробей.
Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой
дроби.

Т.е., например, при умножении «0,15» на
«0,3» в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

0,15 · 0,3 = 0,045

Значит, при вычислении квадратного корня
√0,16

нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой.

Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться
два знака после запятой, как у десятичной дроби «0,16».

Получается, что ответ — десятичная дробь «0,4».

√0,16 = 0,4

Убедимся, что квадрат десятичной дроби
«0,4²» дает
«0,16».

Умножим в столбик «0,4» на

«0,4».

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

√1,44 =

Представим вместо десятичной дроби «1,44» целое число
«144». Какое число в квадрате даст «144»?
Ответ — число «12».

12² = 144

√144 = 12

√1,44 = …

Так как в десятичной дроби «1,44» — два знака после запятой, значит в десятичной дроби,
которая дала в квадрате «1,44» должен быть один знак после запятой.

√1,44 = 1,2

Убедимся, что «1,2²» дает в квадрате «1,44».

1,2² = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел

√2,
√3,
√5,
√6,

и т.п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен

√2

или

√3

и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст «2»? Или число «3»?
Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя
непериодическую десятичную дробь
и входит в
множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число «7».
Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно
оставить с корнем.

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора,
то после вычисления квадратного корня на калькуляторе
округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до
«0,001».

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7 ≈ 2,646

Ваши комментарии

Оставить комментарий: