В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.
- Нахождение координат вектора
- Примеры задач
Нахождение координат вектора
Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).
Формулы для определения координат вектора
| Для плоских задач | AB = {Bx — Ax; By — Ay} |
| Для трехмерных задач | AB = {Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az} |
| Для n-мерных векторов | AB = {B1 — A1; B2 — A2; … Bn — An} |
Примеры задач
Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).
Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.
Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).
Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = ABx + Ax = 6 + 2 = 8.
By = ABy + Ay = 14 + 5 = 19.
Таким образом, B = (8; 19).
Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут
Координаты вектора по двум точкам
Чтобы найти координаты вектора по двум точкам нужно найти разность между координатами конца и начала вектора. Пусть даны две точки $ A(x_1;y_1) $ и $ B(x_2;y_2) $Вектор $ overline{AB} $ для плоской задачи можно найти по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1) $$
В случае, если точки расположены в пространстве $ A(x_1;y_1;z_1) $ и $ B(x_2;y_2;z_2) $, то координаты вектора $ overline{AB} $ расчитываются по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1) $$
Следует обратить внимание, что координаты вычисляются именно с помощью вычитания начальной точки из конечной, но не наоборот. То есть векторы $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $ имеют разные координаты: $$ overline{AB} neq overline{BA} $$
| Пример 1 |
| Даны точки $ A(2;1;-3) $ и $ B(1;0;2) $. Найти координаты векторов $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $ |
| Решение |
|
Как найти координаты вектора по двум точкам? Согласну правилу нужно из конечной точки вычесть начальную. Так как вектор $ overline{AB} $ имеет начало в точке $ A $, а конец в $ B $, то получаем: $$ overline{AB} = (1-2;0-1;2-(-3)) = (-1; -1; 5) $$ Теперь посмотрим на вектор $ overline{BA} $, в котором начало в точке $ B $, а конец в $ A $. Поэтому имеем: $$ overline{BA} = (2-1;1-0;-3-2)=(1;1;-5) $$ Как видим, векторые разные, и координаты их тоже отличаются. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ overline{AB} = (-1;-1;5) $$ $$ overline{BA} = (1;1;-5) $$ |
© 2011-2023 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
1.5.1. Как найти вектор по двум точкам?
Задача 1
Даны две точки плоскости 
и 
. Найти координаты вектора 
Решение: по соответствующей формуле:
Как вариант, можно использовать следующую запись:
Эстеты решат и так: 
Лично я привык к первой версии записи.
Ответ: 
По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения
важного момента, не поленюсь:
И момент здесь таков:
в чём различие между координатами точек и координатами векторов?
Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат (единичные векторы тут
вообще ни при чём). Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает
строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.
Координаты же вектора – это его разложение по базису 
, в данном случае 
. Любой вектор является свободным, поэтому при желании мы легко можем переобозначить
его через 
и отложить от какой-нибудь другой точки
плоскости. Следует отметить, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис,
в данном случае ортонормированный базис плоскости 
.
Записи координат точек 
и координат
вектора 
формально одинаковы, но смысл
координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и
для пространства.
Дамы и господа, набиваем руку:
Задача 2
а) Даны точки 
и 
. Найти векторы 
и 
.
б) Даны точки 
и 
. Найти векторы 
и 
.
в) Даны точки 
и 
. Найти векторы 
и 
.
г) Даны точки 
. Найти векторы 
.
Пожалуй, достаточно…. Не пропускаем! Решаем письменно и «от руки»! Чертежи делать не нужно (коль скоро, не требовалось).
Решения и ответы в конце книги.
Для проверки вычислений удобно использовать Геометрический калькулятор, приложенные к данному
курсу. Дабы избежать нелепых ошибок а-ля «2 + 2 = 5». А подобные «затмения» бывают. Даже у профессоров. Отвлёкся – и
студентка сбежала 
1.5.2. Как найти длину отрезка?
1.4. Координаты вектора на плоскости и в пространстве
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Содержание:
- Формула
- Примеры нахождения координат вектора по точкам
Формула
Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$ на плоскости, если он задан координатами своих начала $Aleft(x_{1} ; y_{1}right)$ и конца $Bleft(x_{2} ; y_{2}right)$, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала, то есть
$$overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)$$
Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$, заданного в пространстве координатами $Aleft(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}right)$ и $Bleft(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}right)$, необходимо, по аналогии с плоским случаем, из координат конца вычесть координаты начала:
$$overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}right)$$
Примеры нахождения координат вектора по точкам
Пример
Задание. Даны точки
$A(4;-1)$ и $B(2;1)$. Найти координаты векторов $overline{A B}$ и
$overline{B A}$
Решение. Для вектора $overline{A B}$ точка $A$ является началом, а точка $B$ — концом. Тогда координаты вектора $overline{A B}$ равны
$$overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)$$
Для вектора 
точка
$B$ является началом, а точка
$A$ — концом. Тогда координаты вектора $overline{B A}$ равны
$$overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)$$
Ответ. $overline{A B}=(-2 ; 2), overline{B A}=(2 ;-2)$
Пример
Задание. Даны три точки в пространстве точки $A(1;-2;0,5)$, $B(3;2;1,5)$ и $C(0;-1;1)$. Найти координаты векторов
$overline{A B}$,
$overline{A C}$,
$overline{B C}$
Решение. Для искомого вектора
$overline{A B}$ точка
$A$ является началом, а точка
$B$ — концом. Тогда координаты вектора
$overline{A B}$ соответственно равны:
$$overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)$$
Для вектора $overline{A C}$ точка
$A$ является началом, а точка
$C$ — концом. Тогда его координаты соответственно равны
$$overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)$$
Для вектора $overline{B C}$ точка
$B$ является началом, а точка
$C$ — концом. Его координаты равны
$$overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)$$
Ответ. $overline{A B}=(2 ; 4 ; 1), overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5), overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)$
Читать дальше: как найти сумму векторов.
- Как найти сумму векторов
- Как найти скалярное произведение векторов
- Как найти векторное произведение векторов
- Как найти смешанное произведение векторов
- Как найти вектор коллинеарный вектору
- Как найти вектор перпендикулярный вектору
- Как найти орт вектора
- Как найти разность векторов
- Как найти проекцию вектора
- Как найти длину вектора
- Как найти модуль вектора
- Как найти координаты вектора
- Как найти направляющие косинусы вектора
- Как найти угол между векторами
- Как найти косинус угла между векторами