Как найти координаты вектора abc

Нахождение координат вектора

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

» data-lang=»default» data-override=»<«emptyTable»:»»,»info»:»»,»infoEmpty»:»»,»infoFiltered»:»»,»lengthMenu»:»»,»search»:»»,»zeroRecords»:»»,»exportLabel»:»»,»file»:»default»>» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач AB = x — Ax; By — Ay>
Для трехмерных задач AB = x — Ax; By — Ay; Bz — Az>
Для n-мерных векторов AB = 1 — A1; B2 — A2; . Bn — An>

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .

Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = AB x + Ax = 6 + 2 = 8.
By = AB y + Ay = 14 + 5 = 19.

Онлайн калькулятор. Координаты вектора по двум точкам.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти значение координат вектора по двум точкам (зная его начальную и конечную точку) для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на определение координат вектора по двум точкам и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для вычисления координат вектора по двум точкам

Инструкция использования калькулятора для вычисления координат вектора по двум точкам

Ввод даных в калькулятор для вычисления координат вектора по двум точкам

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления координат вектора по двум точкам

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Координаты вектора по двум точкам

Например, вектор AB , заданный в пространстве координатами точек A(A x , A y , A z ) и B(B x , B y , B z ) можно найти использовав формулу:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
<>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a<1;2;1>, b<2;-2;1>, c <1;-2;0>и d <0;3;1>. Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182
55 -19 -32
-39 -13 26
-57 23 10

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182
55 -19 -32
-39 -13 26
-57 23 10
* =
75 /182 -1 46 /91 1 9 /13
-13 /14 1 2 /7 -1
5 /182 1 3 /91 -1 2 /13

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.

источники:

http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/p_to_vector/

http://math.semestr.ru/matrix/basis.php

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

  • Нахождение координат вектора

  • Примеры задач

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Вектор AB

Формулы для определения координат вектора
Для плоских задач AB = {Bx — Ax; By — Ay}
Для трехмерных задач AB = {Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az}
Для n-мерных векторов AB = {B1 — A1; B2 — A2; … Bn — An}

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = ABx + Ax = 6 + 2 = 8.
By = ABy + Ay = 14 + 5 = 19.

Таким образом, B = (8; 19).

Источник

Содержание:

  • Формула
  • Примеры нахождения координат вектора

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline {A B}$, если заданы координаты его начала и конца,
необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае если точки заданы на плоскости и имеют соответственно
координаты $Aleft(x_{A} ; y_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B}right)$, то координаты вектора $overline {A B}$ вычисляются по формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A}right)$$

Если точки заданы в пространстве и имеют координаты
$Aleft(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B} ; z_{B}right)$ соответственно, то координаты вектора
$overline {A B}$ вычисляются по следующей формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A} ; z_{B}-z_{A}right)$$

Примеры нахождения координат вектора

Пример

Задание. Даны точки
$A(5 ; 1)$ и $B(4 ;-3)$. Найти координаты векторов
$overline {A B}$ и
$overline {B A}$

Решение. Точки заданны на плоскости, поэтому координаты вектора
$overline {A B}$ вычислим по формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A}right)$$

Подставляя координаты заданных точек, получим:

$$overline{A B}=(4-5 ;-3-1)=(-1 ;-4)$$

Для нахождения вектора $overline {B A}$ исходная формула примет вид:

$$overline{B A}=left(x_{A}-x_{B} ; y_{A}-y_{B}right)$$

то есть

$$overline{B A}=(5-4 ; 1-(-3))=(1 ; 4)$$

Ответ. $overline{A B}=(-1 ;-4), overline{B A}=(1 ; 4)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Даны точки
$A(4 ; 3 ; 2)$, $B(-3 ; 2 ;-1)$ и $C(-1 ; 0 ; 1)$ . Найти координаты вектора
$overline {A B}$,
$overline {C B}$ .

Решение. Точки заданны в пространстве, поэтому для нахождения координат искомых векторов будем пользоваться формулой

$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A} ; z_{B}-z_{A}right)$

Подставляя заданные координаты, получим:

$$overline{A B}=(-3-4 ; 2-3 ;-1-2)=(-7 ;-1 ;-3)$$

Для вектора $overline {C B}$ имеем:

$overline{C B}=left(x_{B}-x_{C} ; y_{B}-y_{C} ; z_{B}-z_{C}right)$
$overline{C B}=(-3-(-1) ; 2-0 ;-1-1)=(-2 ; 2 ;-2)$

Ответ. $overline{A B}=(-7 ;-1 ;-3), overline{C B}=(-2 ; 2 ;-2)$

Читать дальше: как найти направляющие косинусы вектора.

Источник

Основное соотношение.Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Вектор по двум точкам

Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки

Формула определения координат вектора для плоских задач

В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay) и B(Bx ; By) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {Bx — Ax ; By — Ay}

Формула определения координат вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay ; Az) и B(Bx ; By ; Bz) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {Bx — Ax ; By — Ay ; Bz — Az}

Формула определения координат вектора для n -мерного пространства

В случае n-мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A1 ; A2 ; … ; An) и B(B1 ; B2 ; … ; Bn) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B1 — A1 ; B2 — A2 ; … ; Bn — An}

Примеры задач связанных с определением координат вектора по двум точкам

Примеры для плоских задач

Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4} = {2; -3}.

Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1}, если координаты точки A(3; -4).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Bx = ABx + Ax   =>   Bx = 5 + 3 = 8
ABy = By — Ay   =>   By = ABy + Ay   =>   By = 1 + (-4) = -3

Ответ: B(8; -3).

Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1}, если координаты точки B(3; -4).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Ax = Bx — ABx   =>   Ax = 3 — 5 = -2
ABy = By — Ay   =>   Ay = By — ABy   =>   Ay = -4 — 1 = -5

Ответ: A(-2; -5).

Примеры для пространственных задач

Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4; 1 — 5} = {2; -3; -4}.

Пример 5. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2}, если координаты точки A(3; -4; 3).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Bx = ABx + Ax   =>   Bx = 5 + 3 = 8
ABy = By — Ay   =>   By = ABy + Ay   =>   By = 1 + (-4) = -3
ABz = Bz — Az   =>   Bz = ABz + Az   =>   Bz = 2 + 3 = 5

Ответ: B(8; -3; 5).

Пример 6. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4}, если координаты точки B(3; -4; 1).

Решение:

ABx = Bx — Ax   =>   Ax = Bx — ABx   =>   Ax = 3 — 5 = -2
ABy = By — Ay   =>   Ay = By — ABy   =>   Ay = -4 — 1 = -5
ABz = Bz — Az   =>   Az = Bz — ABz   =>   Az = 1 — 4 = -3

Ответ: A(-2; -5; -3).

Примеры для n -мерного пространства

Пример 7. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5; 5; -3), B(3; 0; 1; -2; 5).

Решение: AB = {3 — 1; 0 — 4; 1 — 5; -2 — 5; 5 — (-3)} = {2; -4; -4; -7; 8}.

Пример 8. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2; 1}, если координаты точки A(3; -4; 3; 2).

Решение:

AB1 = B1 — A1   =>   B1 = AB1 + A1   =>   B1 = 5 + 3 = 8
AB2 = B2 — A2   =>   B2 = AB2 + A2   =>   B2 = 1 + (-4) = -3
AB3 = B3 — A3   =>   B3 = AB3 + A3   =>   B3 = 2 + 3 = 5
AB4 = B4 — A4   =>   B4 = AB4 + A4   =>   B4 = 1 + 2 = 3

Ответ: B(8; -3; 5; 3).

Пример 9. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4; 5}, если координаты точки B(3; -4; 1; 8).

Решение:

AB1 = B1 — A1   =>   A1 = B1 — AB1   =>   A1 = 3 — 5 = -2
AB2 = B2 — A2   =>   A2 = B2 — AB2   =>   A2 = -4 — 1 = -5
AB3 = B3 — A3   =>   A3 = B3 — AB3   =>   A3 = 1 — 4 = -3
AB4 = B4 — A4   =>   A4 = B4 — AB4   =>   A4 = 8 — 5 = 3

Ответ: A(-2; -5; -3; 3).

Источник

Как найти вектор по точкам

ФОРМУЛА

Чтобы найти координаты вектора (
overline{A B}
)на плоскости, если он задан координатами его начала (
Aleft(x_{1} ; y_{1}right)
) и (
Bleft(x_{2} ; y_{2}right)
) конца, необходимо вычесть соответствующие координаты начала из координат конца, то есть

(
overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)
)

Чтобы найти координаты вектора (
overline{A B}
), заданного в пространстве по координатам (
Aleft(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}right)
) и (
Bleft(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}right)
), необходимо, по аналогии с плоским случаем, вычесть координаты начала из координат конца:

(
overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}right)
)

ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПО ТОЧКАМ

ПРИМЕР

  • Задание: Даны точки (
    A(4 ;-1)
    ) и (
    B(2 ; 1)
    ). Найти координаты векторов (
    overline{A B}
    ) и (
    overline{B A}
    )
  • Решение: Для вектора (
    overline{A B}
    ) точка (
    mathrm{A}
    ) является началом, а точка (
    B
    ) — концом. Тогда координаты вектора (
    overline{B A}
    )равны

    (
    overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)
    )

    Для вектора (
    overline{B A}
    ) точка (
    B
    ) является началом, а точка (
    mathrm{A}
    ) — концом. Тогда координаты вектора (
    overline{B A}
    )равны

    (
    overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)
    )

  • Ответ: (
    overline{A B}=(-2 ; 2)
    )

    (
    overline{B A}=(2 ;-2)
    )

    ПРИМЕР

  • Задание: Даны три точки в пространстве точки (
    A(1 ;-2 ; 0,5)
    ) , (
    B(3 ; 2 ; 1,5)
    ) и (
    C(0 ;-1 ; 1)
    ). Найти координаты векторов (
    overline{A B}, overline{A C}, overline{B C}
    )
  • Решение. Для искомого вектора (
    overline{A B}
    ) точка (
    mathrm{A}
    ) является началом, а точка (
    B
    ) — концом. Тогда координаты вектора (
    overline{A B}
    )соответственно равны:

    (
    overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)
    )

    Для вектора (
    overline{A C}
    )точка (
    mathrm{A}
    ) является началом, а точка (
    mathrm{C}
    ) — концом. Тогда его координаты соответственно равны

    (
    overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)
    )

    Для вектора (
    overline{B C}
    ) точка (
    B
    ) является началом, а точка (
    mathrm{C}
    ) — концом. Его координаты равны

    (
    overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)
    )

  • Ответ: (
    overline{A B}=(2 ; 4 ; 1)
    )

    (
    overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5)
    )

    (
    overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)
    )

    • Источник

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:

    Не пропустите также:

  • Как составить карточку на человека
  • Как найти второй дифференциал функции пример
  • Как найти другие фотографии человека по фотографии
  • A u2t r как найти u
  • Как найти входное сопротивление транзистора

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии