Как найти координаты треугольника через уравнения высот

Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин

Чтобы составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин нужно:

1. Составить уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника:

Так как высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону, то угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны записанной выше пропорцией.

Уравнение высоты треугольника по координатам его вершин

Составить уравнение высоты треугольника. Пример

Дан треугольник АВС. Вершины треугольника имеют следующие координаты:

На сторону АС опущена высота ВН.

Составить уравнение высоты ВН.

Пример на составление уравнения высоты треугольника

Шаг 1

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С.

Для этого воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом:

Подставим в это уравнение координаты точек А и С:

Уравнение стороны АС имеет вид:

Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 1

Шаг 2

Так как прямые АС и ВН перпендикулярны, то, зная угловой коэффициент прямой АС, можем составить уравнение прямой ВН с угловым коэффициентом.

Итак, угловой коэффициент АС равен:

Отсюда, угловой коэффициент ВН будет равен:

Теперь можем записать уравнение высоты ВН:

Точка В(2,4) лежит на прямой ВН, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой ВН:

Таким образом, уравнение высоты ВН имеет вид:

Составить уравнение высоты треугольника. Шаг 2

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Как найти координаты точек из уравнения высот

Даны уравнения высот треугольника 2x — 3y + 1 = 0 и x + y = 0 и координаты одной из его вершин A(1, 2). Найти уравнения сторон треугольника.

Точка A(1, 2) не принадлежит данным в условии высотам треугольника, так как ее координаты не удовлетворяют их уравнениям: и . Отсюда следует, что высоты, данные в задаче, проведены из двух других вершин треугольника B и C (см. рисунок)

Назовем их CD и BE, CD AB, BE AC. Пусть высота CD имеет уравнение x + y = 0, а уравнение высоты BE 2x — 3y + 1 = 0. Так как AC BE, то уравнение AC мы найдем из уравнения семейства прямых, перпендикулярных BE, приняв во внимание, что искомая прямая проходит через данную точку A(1, 2).

Сторона AC имеет уравнение 3x + 2y — 7 = 0. Уравнение прямой AB найдем, как уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 2) перпендикулярно CD. Оно имеет вид

Теперь следует найти координаты точек B и C:

Уравнение стороны BC 2x + 3y + 7 = 0.

Таким образом, уравнения всех трех сторон треугольника найдены.

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Раздел V.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

И В ПРОСТРАНСТВЕ

В раздел включены
задачи, которые рассматриваются в теме
«Аналитическая геометрия на плоскости
и в пространстве»: составление различных
уравнений прямых на плоскости и в
пространстве; определение взаимного
расположения прямых на плоскости,
прямых, прямой и плоскости, плоскостей
в пространстве; изображение кривых
второго порядка. Необходимо отметить,
что в данном разделе представлены задачи
экономического содержания, при решении
которых применяются сведения из
аналитической геометрии на плоскости.

При решении задач
аналитической геометрии целесообразно
воспользоваться учебными пособиями
следующих авторов: Д.В. Клетеника, Н. Ш.
Кремера, Д.Т. Письменного В.И. Малыхина,
т.к. в данной литературе рассматривается
более широкий круг задач, которые можно
использовать для самостоятельной
подготовки по данной теме. Применение
анали­тической геометрии к решению
экономических задач изложено в учебных
изда­ниях М.С. Красса и В.И. Ермакова.

Задача 5.1. Даны
координаты вершин треугольника АВС.
Необходимо

а) написать
уравнения сторон треугольника;

б) написать
уравнение высоты треугольника проведенной
из вершины С
к стороне АВ
и найти ее длину;

в) написать
уравнение медианы треугольника,
проведенной из вершины В
к стороне АС;

г) найти углы
треугольника и установить его вид
(прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный);

д) найти длины
сторон треугольника и определить его
тип (разносторонний, равнобедренный,
равносторонний);

е) найти координаты
центра тяжести (точка пересечения
медиан) треугольника АВС;

ж) найти координаты
ортоцентра (точка пересечения высот)
треугольника АВС.

К каждому из
пунктов а) – в) решения сделать рисунки
в системе координат. На рисунках
обозначить соответствующие пунктам
задачи линии и точки.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

Пример 5.1

Даны координаты
вершин треугольника АВС:

.
Необходимо а) написать уравнения сторон
треугольника; б) написать уравнение
высоты треугольника проведенной из
вершины С
к стороне АВ
и найти ее длину; в) написать уравнение
медианы треугольника, проведенной из
вершины В
к стороне АС;
г) найти длины сторон треугольника и
определить его тип (разносторонний,
равнобедренный, равносторонний); д)
найти углы треугольника и установить
его вид (прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный); е) найти координаты центра
тяжести (точка пересечения медиан)
треугольника АВС;
ж) найти координаты ортоцентра (точка
пересечения высот) треугольника АВС.

Решение

а)
Для каждой стороны треугольника известны
координаты двух точек, которые лежат
на искомых линиях, значит уравнения
сторон треугольника – уравнения прямых,
проходящих через две заданные точки

где

и

соответствующие координаты точек.

Таким образом,
подставляя в формулу (5.1) координаты
соответствующих прямым точек получаем

,
,
,

откуда после
преобразований записываем уравнения
сторон

,

,

.

На рис. 7 изобразим
соответствующие сторонам треугольника

прямые.

Ответ:

,
,
.

б)
Пусть

– высота, проведенная из вершины

к стороне
.
Поскольку

проходит через точку

перпендикулярно вектору
,
то составим уравнение прямой по следующей
формуле

где

– координаты вектора перпендикулярного
искомой прямой,

– координаты точки, принадлежащей этой
прямой. Найдем координаты вектора,
перпендикулярного прямой
,
и подставим в формулу (5.2)

,
,

,

,

.

Найдем длину высоты
CH
как расстояние от точки

до прямой

где

– уравнение прямой
,

– координаты точки
.

В предыдущем пункте
было найдено

.

Подставив данные
в формулу (5.3), получим

,

На рис. 8 изобразим
треугольник и найденную высоту СН.

Ответ:

.

в)
медиана

треугольника

делит сторону

на две равные части, т.е. точка

является серединой отрезка
.
Исходя из этого, можно найти координаты

точки

где

и

– координаты соответственно точек

и
,
подставив которые в формулы (5.4), получим

;
.

Уравнение медианы

треугольника

составим как уравнение прямой, проходящей
через точки

и

по формуле (5.1)

,

.

Ответ:

(рис. 9).

г)
Длины сторон треугольника найдем как
длины соответствующих векторов, т.е.

,
,
.

Стороны

и

треугольника

равны, значит, треугольник является
равнобедренным с основанием
.

Ответ:
треугольник

равнобедренный с основанием
;

,
.

д)
Углы треугольника

найдем как углы между векторами,
исходящими из соответствующих вершин
данного треугольника, т.е.

,
,
.

Поскольку треугольник
равнобедренный с основанием
,
то

,

Углы между векторами
вычислим по формуле (4.4), для которой
потребуются скалярные произведения
векторов
,
.

Найдем координаты
и модули векторов, необходимых для
вычисления углов

,
;

,
,
.

Подставляя
найденные данные в формулу (4.4), получим

,

,

Поскольку значения
косинусов всех найденных углов
положительны, то треугольник

является остроугольным.

Ответ:
треугольник

остроугольный;

,
,
.

е)
Пусть

– центр тяжести треугольника
,
тогда координаты

точки

можно найти, по формулам (5.5)

где
,

и

– координаты соответственно точек
,

и
,
следовательно,

,
.

Ответ:

– центр тяжести треугольника
.

ж) Пусть

– ортоцентр треугольника
.
Найдем координаты точки

как координаты точки пересечения высот
треугольника. Уравнение высоты

было найдено в пункте б).
Найдем уравнение высоты
:

,
,

,

.

Поскольку
,
то решение системы

является координатами
точки
,
откуда находим
.

Ответ:

– ортоцентр треугольника
.

Задача 5.2.
Фиксированные издержки на предприятии
при выпуске некоторой продукции
составляют F
руб. в месяц, переменные издержки – V₀
руб. за
единицу продукции, при этом выручка
составляет R₀
руб. за единицу изготовленной продукции.
Составить функцию прибыли P(q)
(q
– количество произведенной продукции);
построить ее график и определить точку
безубыточности.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
;

5)
;

6)
;

7)
;

;

9)
;

10)
;

11)
;

12)
;

13)
;

14)
;

15)
;

16)
;

17)
;

18)
;

19)
;

20)
;

21)
;

22)
;

23)
;

24)
;

25)
;

26)
;

27)
;

28)
;

29)
;

30)
.

Пример 5.2

Фиксированные
издержки на предприятии при выпуске
некоторой продукции составляют

руб. в месяц, переменные издержки –

руб. за единицу
продукции, при этом выручка составляет


руб. за единицу
изготовленной продукции. Составить
функцию прибыли P(q)
(q
– количество произведенной продукции);
построить ее график и определить точку
безубыточности.

Решение

Вычислим совокупные
издержки на производстве при выпуске
q
единиц некоторой продукции

.

Если будет продано
q
единиц продукции, то совокупный доход
составит

.

Исходя из полученных
функций совокупного дохода и совокупных
издержек, найдем функцию прибыли

,

,

.

Точка
безубыточности – точка, в которой
прибыль равна нулю, или точка, в которой
совокупные издержки равны совокупному
доходу

,

,

откуда находим

– точка безубыточности.

Для построения
графика (рис. 10) функции прибыли найдем
еще одну точку

.

Рис. 10

Ответ:
функция прибыли
,
точка безубыточности
.

Задача 5.3. Законы
спроса и предложения на некоторый товар
соответственно определяются уравнениями
p=p_D(q),
p=p_S(q),
где p
– цена на товар, q
– количество товара. Предполагается,
что спрос определяется только ценой
товара на рынке p_С,
а предложение – только ценой p_S,
получаемой поставщиками. Необходимо

а) определить
точку рыночного равновесия;

б) точку равновесия
после введения налога, равного t.
Определить увеличение цены и уменьшение
равновесного объема продаж;

в) найти субсидию
s,
которая приведет к увеличению объема
продаж на q₀
ед. относительно изначального
(определенного в пункте а));

г) найти новую
точку равновесия и доход правительства
при введении налога, пропорционального
цене и равного N%;

д) определить,
сколько денег будет израсходовано
правительством на скупку излишка при
установлении минимальной цены, равной
p₀.

К каждому пункту
решения сделать рисунок в системе
координат. На рисунке обозначить
соответствующие пункту задачи линии и
точки.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
;

5)
;

6)
;

7)
;

;

9)
;

10)
;

11)
;

12)
;

13)
;

14)
;

15)
;

16)
;

17)
;

18)
;

19)
;

20)
;

21)
;

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Пример 1:

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) координаты точки пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС

2) Координаты точки пересечения медиан

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Координаты т. E как середины отрезка ВС.

Уравнение АЕ

Координаты т. К как середины отрезка АВ.

Уравнение СК

3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А

Расстояние от точки до прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

Уравнение AN

4) Площадь треугольника

Длина ВС

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

По координатам вершин треугольника ABC найти:

• периметр треугольника;
• уравнения сторон AB и BC;
• уравнение высоты AD; угол ABC;
• площадь треугольника.

Сделать чертеж.

А(1; 2); В (–1; 2); С(3; 0).

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.

Требуется найти:

1) уравнение и длину стороны ВС;

2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;

3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;

4) площадь треугольника.

Сделать чертёж.

А(4;-3), B(-2;-1), C(3;-2).

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

1)

2)

3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:

Определяем длину медианы АМ:

4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:

5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой,  – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:

и подставляем в формулу, ,

6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:

7) Площадь треугольника АВС:

Находим угол ВАС треугольника:

9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:

Ответ:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1. Уравнение прямой 
   Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями: 
   
   Уравнение прямой AB 
   Каноническое уравнение прямой: 
   
   или 
   
   или 
   y = ^-3/₇x + ¹⁶/₇ или 7y + 3x — 16 = 0 
2. Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 
   
   
   M(3;1) 
   Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому: 
   Каноническое уравнение прямой: 
   
   или 
   
   или 
   y = ^-1/₁₁x + ¹⁴/₁₁ или 11y + x — 14 = 0 
3. Уравнение высоты через вершину C 
   Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 
   
   Найдем уравнение высоты через вершину C 
   
   y = ⁷/₃x + ⁶²/₃ или 3y -7x — 62 = 0
4. уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
   Уравнение прямой AB: y = ^-3/₇x + ¹⁶/₇
   Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
   y — y₀ = k(x — x₀)
   Подставляя x₀ = -8, k = ^-3/₇, y₀ = 2 получим:
   y-2 = ^-3/₇(x-(-8))
   или
   y = ^-3/₇x — ¹⁰/₇ или 7y + 3x +10 = 0

Пример 7:

Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5). 

Решение от преподавателя:

4) Уравнение высоты через вершину C 
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 

Найдем уравнение высоты через вершину C 

y = ^-1/₄x + ¹⁵/₂ или 4y +x -30 = 0 
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AB. 
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k₁ = 4 
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1. 
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим: 
4k = -1, откуда k = ^-1/₄ 
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = ^-1/₄,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀). 
Подставляя x₀ = 10, k = ^-1/₄, y₀ = 5 получим: 
y-5 = ^-1/₄(x-10) 
или 
y = ^-1/₄x + ¹⁵/₂ или 4y + x — 30 = 0 
Найдем точку пересечения с прямой AB: 
Имеем систему из двух уравнений: 
y -4x +3 = 0 
4y + x — 30 = 0 
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. 
Получаем: 
x = ⁴²/₁₇ 
y = ¹¹⁷/₁₇ 
D(⁴²/₁₇;¹¹⁷/₁₇) 
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C 
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины: 

Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0) 

5,7) Уравнение медианы треугольника 
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам. 


Е(7;9) 
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому: 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ⁴/₃x ^-1/₃ или 3y -4x +1 = 0 
Найдем длину медианы. 
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой: 

6) CD—диаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD

Уравнение окружности  (x-x₀)²+(y-y₀)²=r²

(x-106/17)²+(y-101/17)²=256/17 

Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A 

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)

Пример 9:

Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4),  С (-1,6).

Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;

2) периметр (сумму длин) треугольника;

3) уравнение высоты СН;

4) расстояние d от точки С до прямой АВ;

5) сделайте чертеж.

Решение от преподавателя:

Решение.

1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС

Уравнение, прямой проходящей через две точки

2) периметр (сумму длин) треугольника

Расстояние между двумя точками

3) уравнение высоты СН

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) расстояние d от точки С до прямой АВ

Расстояние от точки до прямой

Пример 10:

Даны вершины A (x₁; y₁), B (x₂; y₂), C (x₃; y₃)    треугольника.

Найти: 1) уравнение стороны AB;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;

3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;

4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .

A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Дан треугольник  с координатами вершин найти:

а) длину стороны AB;

б) косинус угла ABC;

в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9). 
1) Уравнение прямой 
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями: 

Уравнение прямой AB 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ³/₂x -9 или 2y -3x +18 = 0 

2) Уравнение медианы треугольника 
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 


M(4;-3) 
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому: 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ⁶/₇x ^-45/₇ или 7y -6x +45 = 0 
3) Уравнение высоты через вершину C 
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 

Найдем уравнение высоты через вершину C 

y = ^-2/₃x -11 или 3y +2x + 33 = 0 
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9) 
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0 
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле: 

Или     2y -3x +9 = 0 

Пример 14:

Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.

Решение от преподавателя:

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 


M(-1;0) 
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому: 

или 

или 
y = ¹/₉x + ¹/₉ или 9y -x — 1 = 0 
3) Уравнение высоты через вершину B

Пример 15:

Дан треугольник АВС. Найти:

а) величину угла А;

б) уравнение стороны АС;

в) уравнение высоты и медианы, опущенных из вершины В.

Сделать чертеж.

А(-1,2); В(1,3); С(3,-4).

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Треугольник задан вершинами А(-6; -2);  В(4; 8); С(2; -8). Найти:

а) уравнение прямой BN, параллельной  стороне АС;

б) уравнение медианы CD;

в) уравнение высоты АЕ;

Решение от преподавателя:

а) уравнение прямой BN, параллельной  стороне АС;

Уравнение прямой AC:

Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-3/₄x ^-13/₂ или 4y + 3x +26 = 0

Уравнение BN параллельно AC находится по формуле:
y — y₀ = k(x — x₀)
Подставляя x₀ = 4, k = ^-3/₄, y₀ = 8 получим:
y-8 = ^-3/₄(x-4)
или
y = ^-3/₄x + 11 или 4y + 3x — 44 = 0

б) уравнение медианы CD;

Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(-1;3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(2;-8) и М(-1;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-11/₃x ^-2/₃ или 3y + 11x +2 = 0

в) уравнение высоты АЕ;

Прямая, проходящая через точку Е₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину A

y = ^-1/₈x — ¹¹/₄ или 8y +x + 22 = 0

Пример 17:

A(1, 2), В(5, 8), С(11, 3).

Решение от преподавателя:

Пример 18:

В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1).

Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК)  и медианы (CМ).

Решение от преподавателя:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
x +4 = 0 или x = -4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-1/₄x + 3 или 4y + x — 12 = 0

Найдем уравнение высоты через вершину B

y = 4x + 13 или y -4x — 13 = 0

Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(8;1) и М(-4;¹/₂), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ¹/₂₄x + ²/₃ или 24y -x — 16 = 0

Пример 19:

Дан треугольник ABC с координатами вершин A(-5;-3; 2), B(-2;-6;-3) и C(-2; 2;-1).
Найти:
а) длину стороны АВ;
б) косинус угла ABC;
в) площадь треугольника АВС (через векторное произведение).

Решение от преподавателя: