Как найти координаты точки в соотношении

Деление векторов в данном соотношении

Пусть вектор задан координатами своего начала A(a_x; a_y; a_z) и конца B(b_x; b_y; b_z) и пусть точка C(c_x; c_y; c_z) расположена между точка A и B

пусть при этом известно соотношение длин векторов

тогда координаты точки C(c_x; c_y; c_z) находятся по формулам

Примеры решения заданий по делению векторов и отрезков

Отрезок AB точками C(3, 4) и D(5, 6) разделён на три равные части. Найти координаты точек A и B.

Р е ш е н и е. Обозначим координаты точек A и B так: А(x1, y1), B(x1, y1). Для отрезка AD точка C является серединой, потому λ = AC / CD = 1 и по формулам деления отрезка в данном соотношении

Подставим в последнее равенство координаты x_c, y_c, x_d, y_d:

3 = (x1 + 5)/2, 4 = (y1 + 6)/2,

откуда находим, x₁ = 1, y₁ = 2. Точка A имеет координаты A(1, 2).

Поскольку точка D есть середина отрезка CB, то x_d = (x_c + x₂)/2, или 5 = (3 + x₂)/2, отсюда x₂ = 7.

отсюда y₂ = 8. Получили B(7, 8).

О т в е т: A(1, 2), B(7, 8).

Даны вершины треугольника A(2, -4), B(4, -5) и C(-4, 7). Определить середины его сторон.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой для определения середин сторон отрезка, при известных двух точках:

Поскольку отрезки делятся на равные части, то

Тогда формула приобретает вид:

Координата x для отрезка AB равна (2+4)/2 = 3, координата y для отрезка AB равна (-4-5)/2 = -4,5.

Координата x для отрезка AC равна (2-4)/2 = -1, координата y для отрезка AC равна (-4+7)/2 = 1,5.

Координата x для отрезка BC равна (4-4)/2 = 0, координата y для отрезка BC равна (-5+7)/2 = 1.

О т в е т: искомые точки имеют координаты (3; -4,5), (-1; 1,5) и (0; 1).

Даны три вершины параллелограмма A(2, -4), B(4, -2), C(-2, 4). Определить четвёртую вершину D, противоположную B.

Р е ш е н и е. Найдём точку, в которой пересекаются диагонали параллелограмма.

Назовём точку пересечения диагоналей точкой E.

Поскольку этой точкой диагонали делятся на два равных отрезка

то формула приобретает вид:

Найдём середину отрезка AC:

Итак, точка E имеет координаты (0, 0).

Данная точка также является серединой отрезка BD, поскольку это вторая диагональ параллелограмма. Тогда

подставим известные значения:

Теперь найдём вторую координату:

подставим известные значения:

Даны вершины треугольника A(2, 3); B(4, -10); C(-4, 1), определить длину его медианы, проведённой из вершины B.

Р е ш е н и е. Назовём точку пересечения медианы и стороны AC точкой D. Поскольку медиана делит сторону треугольника пополам, то воспользуемся формулой нахождения координат точки посередине отрезка:

Точка D имеет координаты (-1, 2).

Воспользуемся формулой нахождения длины отрезка, когда известны координаты его крайних точек:

О т в е т: Длина медианы, проведённой из вершины B, равна 13.

Деление отрезка в заданном соотношении: координаты точки

Когда существуют условия деления отрезка в определенном отношении, необходимо уметь определять координаты точки, служащей разделителем. Выведем формулу для нахождения этих координат, поставив задачу на плоскости.

Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, на плоскости

Исходные данные: задана прямоугольная система координат O x y и две лежащие на ней, несовпадающие точки с заданными координатами A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) . А также задана точка С , делящая отрезок А В в отношении λ (некоторое положительное действительное число). Необходимо определить координаты точки С : x C и y C .

Перед тем, как приступить к решению поставленной задачи, немного раскроем смысл заданного условия: «точка С , делящая отрезок А В в отношении λ ». Во-первых, это выражение свидетельствует о том, что точка С лежит на отрезке А В (т.е. между точками А и В ). Во-вторых, понятно, что согласно заданному условию отношение длин отрезков А С и С В равно λ . Т.е. верно равенство:

В этом случае точка А – начало отрезка, точка В – конец отрезка. Если бы было задано, что точка С делит в заданном отношении отрезок В А , тогда верным было бы равенство: .

Ну и совсем очевидный факт, что если λ = 1 , то точка С является серединой отрезка А В .

Решим поставленную задачу при помощи векторов. Отобразим произвольно в некой прямоугольной системе координат точки А , В и точку С на отрезке А В . Построим радиус-векторы указанных точек, а также векторы A C → и C B → . Согласно условиям задачи, точка С делит отрезок А В в отношении λ .

Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = ( x A , y A ) и O B → = ( x B , y B ) .

Определим координаты вектора : они будут равны координатам точки С , которые и требуется найти по условию задачи.

Используя операцию сложения векторов, запишем равенства: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → — O C →

По условию задачи точка С делит отрезок А В в отношении λ , т.е. верно равенство A C = λ · C B .

Векторы A C → и C B → лежат на одной прямой и являются сонаправленными. λ > 0 по условию задачи, тогда, согласно операции умножения вектора на число, получим: A C → = λ · C B → .

Преобразуем выражение, подставив в него : C B → = O B → — O C → .

A C → = λ · ( O B → — O C → ) .

Равенство O C → = O A → + A C → перепишем как O C → = O A → + λ · ( O B → — O C → ) .

Используя свойства операций над векторами, из последнего равенства следует: O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → ) .

Теперь нам остается непосредственно вычислить координаты вектора O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → .

Выполним необходимые действия над векторами O A → и O B → .

O A → = ( x A , y A ) и O B → = ( x B , y B ) , тогда O A → + λ · O B → = ( x A + λ · x B , y A + λ · y B ) .

Таким образом, O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → ) = ( x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ ) .

Резюмируя: координаты точки С , делящей отрезок А В в заданном отношении λ определяются по формулам : x C = x A + λ · x B 1 + λ и y C = у A + λ · y B 1 + λ .

Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z , точки с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) .

Точка С делит отрезок А В в отношении λ . Необходимо определить координаты точки С .

Используем ту же схему рассуждений, что и в случае выше на плоскости, придем к равенству:

O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → )

Векторы и являются радиус-векторами точек А и В , а значит:

O A → = ( x A , y A , z A ) и O B → = ( x B , y B , z B ) , следовательно

O C → = 1 1 + λ · ( O A → + λ · O B → ) = ( x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ )

Таким образом, точка С , делящая отрезок А В в пространстве в заданном отношении λ , имеет координаты: ( x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ )

Рассмотрим теорию на конкретных примерах.

Исходные данные: точка С делит отрезок А В в отношении пять к трем. Координаты точек А и В заданы A ( 11 , 1 , 0 ) , B ( — 9 , 2 , — 4 ) .

Решение

По условию задачи λ = 5 3 . Применим полученные выше формулы и получим:

x A + λ · x B 1 + λ = 11 + 5 3 · ( — 9 ) 1 + 5 3 = — 3 2

y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8

z A + λ · z B 1 + λ = 0 + 5 3 · ( — 4 ) 1 + 5 3 = — 5 2

Ответ: C ( — 3 2 , 13 8 , — 5 2 )

Исходные данные: необходимо определить координаты центра тяжести треугольника А В С .

Заданы координаты его вершин: A ( 2 , 3 , 1 ) , B ( 4 , 1 , — 2 ) , C ( — 5 , — 4 , 8 )

Решение

Известно, что центром тяжести любого треугольника является точка пересечения его медиан (пусть это будет точка М ). Каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1 , считая от вершины. Исходя из этого, найдем ответ на поставленный вопрос.

Допустим, что А D – медиана треугольника А В С . Точка М – точка пересечения медиан, имеет координаты M ( x M , y M , z M ) и является центром тяжести треугольника. М , как точка пересечения медиан, делит отрезок А D в отношении 2 к 1 , т.е. λ = 2 .

Найдем координаты точки D . Так как A D – медиана, то точка D – середина отрезка В С . Тогда, используя формулу нахождения координат середины отрезка, получим:

x D = x B + x C 2 = 4 + ( — 5 ) 2 = — 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + ( — 4 ) 2 = — 3 2 z D = z B + z C 2 = — 2 + 8 2 = 3

Вычислим координаты точки М :

x M = x A + λ · x D 1 + λ = 2 + 2 · ( — 1 2 ) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · ( — 3 2 ) 1 + 2 = 0

z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3

Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы координаты двух несовпадающих точек A(x_A, y_A) и B(x_B, y_B). Нам требуется найти координаты x_C и y_C точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , где — некоторое положительное действительное число.

Поясним смысл фразы: «точка С делит отрезок АВ в отношении ». Это выражение означает, что точка С лежит на отрезке АВ (является внутренней точкой отрезка АВ) и отношение длин отрезков АС и СВ равно (то есть, выполняется равенство = ). Обратим внимание, что в этом случае точка А является как бы началом отрезка, а точка В — его концом. Если же сказано, что точка С делит отрезок ВА (а не АВ) в отношении , то будет выполняться равенство = . Очевидно, что при = 1 точка С является серединой отрезка АВ.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы и . Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении .

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому,

Найдем координаты вектора , которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении .

В силу операции сложения векторов можно записать равенства

Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то = , откуда модуль |AC| = |CB| . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что 0 , поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство = . Подставив в него = — , имеем = () . Тогда равенство = + можно переписать как = +() , откуда в силу свойств операций над векторами получаем

Осталось вычислить координаты вектора

выполнив необходимые и в координатах. Так как

Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , находятся по формулам

Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.

Начнем
с постановки задачи на плоскости.

Пусть
на плоскости введена прямоугольная
декартова система координат Oxy и
заданы координаты двух несовпадающих
точек и .
Нам требуется найти координаты и точки С,
которая делит отрезок АВ в
отношении ,
где —
некоторое положительное действительное
число.

Поясним
смысл фразы: «точка С делит
отрезок АВ в
отношении ».
Это выражение означает, что точка С лежит
на отрезке АВ (является
внутренней точкой отрезка АВ)
и отношение длин отрезков АС и СВ равно (то
есть, выполняется равенство ).
Обратите внимание, что в этом случае
точка А является
как бы началом отрезка, а точка В –
его концом. Если же сказано, что
точка С делит
отрезок ВА (а
не АВ)
в отношении ,
то будет выполняться равенство .
Очевидно, что при точка С является
серединой отрезка АВ.

Поставленная
задача может быть решена с помощью
векторов.

Изобразим
в прямоугольной декартовой системе
координат некоторый отрезок АВ,
точку С на
нем и построим радиус-векторы
точек А, В и С,
а также векторы и .
Будем считать, что точка С делит
отрезок АВ в
отношении .

Мы
знаем, что координаты
радиус-вектора точки
равны соответствующим координатам этой
точки, поэтому, и .
Найдем координаты вектора ,
которые будут равны искомым координатам
точки С,
делящей отрезок АВ в
заданном отношении .

В
силу операции
сложения векторов можно
записать равенства и .
Их мы используем в следующем абзаце.

Так
как точка С делит
отрезок АВ в
соотношении ,
то ,
откуда .
Векторы и лежат
на одной прямой и имеют одинаковое
направление, а выше мы отметили, что ,
поэтому, по определению
операции умножения вектора на числосправедливо равенство .
Подставив в него ,
имеем .
Тогда равенство можно
переписать как ,
откуда в силу свойств
операций над векторами получаем .

Осталось
вычислить координаты вектора ,
выполнив необходимые операции
над векторами  и  в
координатах.
Так как и ,
то ,
следовательно, .

Таким
образом, на плоскости координаты
точки С,
которая делит отрезок АВ в
отношении ,
находятся по формулам и .

15. Векторное произведение векторов.

 Векторное
проведение векторов.

Определение:
Под векторным произведением двух
векторов  и  понимается
вектор,  для
которого:

-модуль
равен площади параллелограмма,
построенного на данных векторах, т.е. ,
где угол
между векторами  и 

-этот
вектор перпендикулярен перемножаемым
векторам, т.е. 

-если
векторы  неколлинеарны,
то они образуют правую тройку векторов.

 Свойства
векторного произведения:

1.При
изменении порядка сомножителей векторное
произведение меняет свой знак на
обратный, сохраняя модуль, т.е. 

2.Векторный
квадрат равен нуль-вектору, т.е. 

3.Скалярный
множитель можно выносить за знак
векторного произведения, т.е. 

4.Для
любых трех векторов   справедливо
равенство 

5.Необходимое
и достаточное условие коллинеарности
двух векторов  и : 

 Векторное
произведение в координатной форме.

 Если
известны координаты векторов  и , то
их векторное произведение находится
по формуле:

  .

 Тогда
из определения векторного произведения
следует, что площадь параллелограмма,
построенного на векторах  и ,
вычисляется по формуле:

Пример: Вычислить
площадь треугольника с
вершинами (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Решение: .

, ,
тогда площадь треугольника АВС будет
вычисляться следующим образом:

 ,

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

• #
• #
• #
• #

Вычисление координат некоторой точки С, которая делит заданный отрезок АВ в определенном отношении, может быть выполнено по формулам:

хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ),

где (хА; уА) и (хВ; уВ) – координаты концов заданного отрезка АВ; число λ = АС/СВ – отношение, в котором отрезок АВ делится точкой С, имеющей координаты (хС; уС).

Если отрезок АВ делится точкой С пополам, то число λ = 1 и формулы для хС и уС примут вид:

хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2.

Нужно иметь ввиду, что в задачах λ – это отношение длин отрезков, а поэтому числа, входящие в данное отношение не есть длины самих отрезков в заданной единице измерения. Например, АС = 12 см, СВ = 16 см: λ = АС/СВ = 12 см / 16 см = 3/4.

1. Поиск координат середины некоторого отрезка, по заданным координатам его концов

Пример 1.

Точки А(-2; 3) и В(6; -9) – концы отрезка АВ. Найти точку С, являющиеся серединой отрезка АВ.

Решение.

В условии задачи задано, что хА = -2; хВ = 6; уА = 3 и уВ = -9. Требуется найти С(хС ; уС).

Применяя формулы хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2, получим:

хС = (-2 + 6)/2 = 2, уС = (3 + (-9))/2 = -3.

Таким образом, точка С, являющаяся серединой отрезка АВ, имеет координаты (-2; 3) (рис. 1).
2. Вычисление координат конца некоторого отрезка, зная координаты его середины и другого конца

Пример 2.

Одним концом отрезка АВ является точка А, с координатами (-3; -5), а его серединой точка С(3; -2). Вычислите координаты второго конца отрезка – точки В.

Решение.

По условию задачи становится ясно, что хА = -3; уА = -5; хС = 3 и уС = -2.

Подставив эти значения в формулы хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2, получим:

3 = (-3 + хВ)/2 и

-2 = (-5 + уВ)/2.

Решив первое уравнение относительно хВ и второе относительно уВ, найдем: хВ = 9 и уВ = 1, получается, что нужная точка В будет задаваться координатами (9; 1) (рис. 2).

3. Вычисление координат вершин некоторого треугольника по заданным координатам середин его сторон

Пример 3.

Серединами сторон треугольника АВС являются  точки D(1; 3), E(-1; -2) и F(4; -1). Найти координаты вершин А, В и С данного треугольника.

Решение.

Пусть точка D и есть середина стороны АВ, точка Е – середина ВС и точка F – середина сторона АС (рис. 3). Необходимо найти точки А, В и С.

Обозначаем вершины треугольника через А(хА; уА), В(хВ; уВ) и С(хС; уС) и зная координаты точек D, Е и F, по формулам  хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2 получим:

{1 = (хА + хВ)/2,
{-1 = (хВ + хС)/2,
{4 = (хА + хС)/2,

и

{3 = (уА + уВ)/2,
{-2 = (уВ + уС)/2,
{-1 = (уА + уС)/2.

Приведем уравнения к целому виду:

{хА + хВ = 2,
{хВ + хС = -2,
{хА + хС = 8,

и

{уА + уВ = 6,
{уВ + уС = -4,
{уА + уС = -2.

Решив системы, получим:
хА = 6; хВ = -4; хС = 2.
уА = 4; уВ = 2; уС = -6.

Точки А(6; 4), В(-4; 2) и С(2; -6) и есть необходимые вершины треугольника.

4. Вычисление координат точек, которые делят отрезок в определенном отношении, по заданным координатам концов этого отрезка

Пример 4.

Отрезок АВ поделен точкой С в отношении 3 : 5 (считая от точки А к точке В). Концы отрезка АВ – точки А(2; 3) и В(10; 11). Найти точку С.

Решение.

В условии задачи сказано, что хА = 2; хВ = 10; уА = 3; уВ = 11; λ = АС/СВ = 3/5. Найти С(хС; уС) (рис. 4).

по формулам  хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) получим:

хС = (2 + 3/5 · 10) / (1 + 3/5) = 5 и уС = (3 + 3/5 · 11) / (1 + 3/5) = 6. Таким образом, имеем С(5; 6).

Выполним проверку: АС = 3√2, СВ = 5√2, λ = АС/СВ = 3√2/5√2 = 3/5.

Замечание. В условии задачи указано, что деление отрезка производится в заданном отношении от точки А к точке В. Если бы это не уточнялось, то задача имела бы два решения. Второе решение: деление отрезка от точки В к точке А.
Пример 5.

Некоторый отрезок АВ разделен в отношении 2 : 3 : 5 (считая от точки А к точке В), его концы – есть точки с координатами А(-11; 1) и В(9; 11). Найти точки деления данного отрезка.

Решение.

Обозначим точки деления отрезка от А к В через С и D. В условии задачи дано, что
хА = -11; хВ = 9; уА = 1; уВ = 11. Найти С(хС; уС) и D(хD; уD), если АС : СD : DB = 2 : 3 : 5.

Точка С делит отрезок АВ в отношении  λ = АС/СВ = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.

По формулам  хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) получим:

хС = (-11 + ¼ · 9) / (1 + 1/4) = -7 и уС = (1 + ¼ · 11) / (1 + 1/4) = 3.

Таким образом, С(-7; 3).

Точка D – есть середина отрезка АВ. Применив формулы хD = (хА + хВ)/2, уD = (уА + уВ)/2, найдем:

хD = (-11 + 9)/2 = -1, уD = (1 + 11)/2 = 6. Значит, D имеет координаты (-1; 6).

5. Вычисление координат точек, которые делят отрезок, если заданы координаты концов этого отрезка и число частей, на которые этот отрезок разделен

Пример 6.

Концы отрезка – точки А(-8; -5) и В(10; 4). Найти точки С и D, которые делят этот отрезок на три равные части.

Решение.

Из условия задачи известно, что хА = -8; хВ = 10; уА = -5; уВ = 4 и n = 3. Найдем С(хС; уС) и D(хD; уD) (рис. 5).

Найдем точку С. Она делит отрезок АВ в отношении λ = 1/2. Деление производим от точки А к точке В. По формулам  хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) имеем:

хС = (-8 + ½ · 10) / (1 + 1/2) = -2 и уС = (-5 + ½ · 4) / (1 + 1/2) = -2. Таким образом, С(-2; -2).

Деление отрезка СВ выполняется в отношении 1 : 1, поэтому используем формулы

хD = (хА + хВ)/2, уD = (уА + уВ)/2:

хD = (-2 + 10)/2 = 4, уD = (-2 + 4)/2 = 1. Таким образом, D(4; 1).

Точки деления С(-2; -2) и D(4; 1).

Замечание: Точку D можно найти, производя деление отрезок АВ в отношении 2 : 1. В таком случае надо будет снова применить формулы хD = (хА + λхВ) / (1 + λ), уD = (уА + λуВ) / (1 + λ).

Пример 7.

Точки А(5; -6) и В(-5; 9) – концами отрезка. Найти точки, которые поделят данный отрезок на пять равных частей.

Решение.

Пусть последовательные точки деления от А к В будут С(хС; уС), D(хD; уD), Е(хE; уE) и F(хF; уF). В условия задачи сказано, что хА = 5; хВ = -5; уА = -6; уВ = 9 и n = 5.

Найдем по формулам  хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) точку С. Она делит отрезок АВ в отношении λ = 1/4:

хС = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 и уС = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, получаем, что точка С имеет координаты (3; -3).

Деление отрезка АВ точкой D производится в отношении 2 : 3 (т.е. λ = 2/3), поэтому:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 и уD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, значит D(1; 0).

Найдем точку Е. Она делит отрезок АВ в отношении λ = 2/3:

XЕ = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 и уЕ = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. Таким образом, Е(-1; 3).

Точка F делит отрезок АВ в отношении λ = 4/1, поэтому:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 и уF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).

Точки деления С(-2; -2); D(4; 1); Е(-1; 3) и F(-3; 6).

 Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу на деление отрезка?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.