Как найти координаты точки если векторы равны

Нахождение координат вектора через координаты точек

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i → должно совпадать с осью O x , а направление вектора j → с осью O y .

Векторы i → и j → называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p → можно разложить по векторам p → = x i → + y j → . Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p → по координатным векторам называются координатами вектора p → в данной системе координат.

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p → x ; y . На рисунке вектор O A → имеет координаты 2 ; 1 , а вектор b → имеет координаты 3 ; — 2 . Нулевой вектор представляется в виде 0 → 0 ; 0 .

Если векторы a → и b → равны, то и y 1 = y 2 . Запишем это так: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j → , значит x 1 = x 2 , y 1 = y 2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на O x y заданы координаты точек начала и конца A B → : A x a , y a , B x b , y b . Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Из формулы сложения векторов имеем O A → + A B → = O B → , где O – начало координат. Отсюда следует, что A B → = O B → — O A → .

O A → и O B → – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения O A → = x a , y a , O B → = x b , y b .

По правилу операций над векторами найдем A B → = O B → — O A → = x b — x a , y b — y a .

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Найти координаты O A → и A B → при значении координат точек A ( 2 , — 3 ) , B ( — 4 , — 1 ) .

Для начала определяется радиус-вектор точки A . O A → = ( 2 , — 3 ) . Чтобы найти A B → , нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: A B → = ( — 4 — 2 , — 1 — ( — 3 ) ) = ( — 6 , 2 ) .

Ответ: O A → = ( 2 , — 3 ) , A B → = ( — 6 , — 2 ) .

Задано трехмерное пространство с точкой A = ( 3 , 5 , 7 ) , A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) . Найти координаты конца A B → .

Подставляем координаты точки A : A B → = ( x b — 3 , y b — 5 , z b — 7 ) .

По условию известно, что A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) .

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: x b — 3 = 2 y b — 5 = 0 z b — 7 = — 2

Отсюда следует, что координаты точки B A B → равны: x b = 5 y b = 5 z b = 5

Ответ: B ( 5 , 5 , 5 ) .

Формулы для вычисления координат точки

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы выведем формулы для определения координат точки с помощью понятий синуса и косинуса.
Вначале решим типовую задачу на данную тему и на ее примере рассмотрим, как выражаются координаты точки через длину отрезка и угол. Далее выразим координаты вектора и точки через произведение тригонометрических функций и длины отрезка и проанализируем знаки полученных координат.
На примере типовой задачи решим несколько конкретных задач на нахождение координат точки через синус и косинус угла.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Содержание:

Система координат на плоскости позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел (рис. 331). Координаты вы широко использовали для графического представления зависимостей, при решении систем уравнений, а также в геометрии, чтобы геометрическую задачу свести к задаче алгебраической.

Декартова система координат в пространстве

Чтобы ввести декартову систему координат в пространстве, выберем точку

Б) Вы знаете, что по координатам концов и отрезка на плоскости можно определить его длину:

Аналогичная формула выражает длину отрезка в пространстве через координаты его концов и

Чтобы доказать эту формулу, рассмотрим плоскости, которые проходят через точки и перпендикулярно координатным осям. Получаем, что отрезок по сути является диагональю прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого параллельны координатным осям и имеют длины

и (рис. 334) (если же какие-либо из проведённых плоскостей совпадут, то параллелепипед превратится в прямоугольник или отрезок).

Ранее вы доказывали, что координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это утверждение остаётся истинным и в случае пространства (см. пример 2 в § 6): если и точка — середина отрезка то

Пример:

На оси ординат найдём точку, равноудалённую от точек и

Решение:

Пусть — искомая точка. Тогда и, поскольку то

или Отсюда

Ответ:

Пример:

Найдём условие, задающее геометрическое место точек, равноудалённых от начала координат и от точки

Решение:

Согласно геометрическим соображениям искомое множество состоит из всех тех точек, размещённых на серединных перпендикулярах к отрезку Такие точки заполняют плоскость, проходящую через середину отрезка перпендикулярно ему. Найдём условие, которому удовлетворяют координаты произвольной точки этой плоскости. Условие означает, что

Ответ: Искомое геометрическое место точек есть плоскость, которая задаётся уравнением

Пример:

Найдём условие, которому удовлетворяют координаты точек плоскости проходящей через точку перпендикулярно прямой где

Решение:

Пусть — произвольная точка плоскости Тогда из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем:

Поскольку

то

или

Ответ:

Вектор. Действия над векторами

А) С векторами вы встречались в курсе физики девятого класса, когда знакомились с векторными величинами. Физическая величина является векторной, если она характеризуется не только числовым значением, но и направлением. Такие величины, как сила, скорость и другие, обозначают направленными отрезками. Длина направленного отрезка (стрелки) характеризует числовое значение векторной величины (её модуль).

Особенностью понятия вектор является то, что все основные определения и свойства, связанные с этим понятием, формулируются почти одинаково как в планиметрии, так и в стереометрии.

Вектор в геометрии представляется направленным отрезком (рис. 336), начало которого считается началом вектора, а конец — концом вектора.

Расстояние между началом направленного отрезка и его концом считается длиной вектора.

Направленные отрезки и представляют один вектор, если они одинаково направлены и имеют одинаковую длину (рис. 337). В таком случае говорят, что векторы и равны, и пишут Векторы и равны тогда и только тогда, когда совпадают середины отрезков и (рис. 338).

Это напоминает ситуацию с дробями: определённое число может представляться разными дробями, например, дроби представляют одно и то же число. Дроби и равны тогда и только тогда, когда

Если вектор изображается направленным отрезком то говорят, что этот вектор отложен от точки Вектор можно, и при этом однозначно, отложить от любой точки.

Вектор, представленный направленным отрезком называют нулевым: Векторы, представленные направленными отрезками и называют противоположными и пишут

Если ненулевые векторы и отложены от одной точки: то угол называется углом между векторами и .

Ненулевые векторы и называют коллинеарными, если прямые и параллельны или совпадают. Нулевой вектор считают кол-линеарным с любым вектором.

Векторы можно складывать и умножать на число. Чтобы сложить векторы и можно один из них заменить таким равным ему вектором, чтобы конец первого направленного отрезка совпадал с началом второго:

и тогда сумма векторов представляется направленным отрезком (рис. 339).

Сложение векторов имеет переместительное свойство, т. е. сочетательное свойство, т. е. кроме того, уравнение всегда имеет единственное решение, которое называют разностью векторов и (рис. 340).

Произведением вектора на число является такой вектор что, во-первых, векторы и одинаково направлены при и противоположно направлены при и, во-вторых, длины векторов и связаны равенством (рис. 341). Векторы и являются коллинеарными. При этом верно равенство Если то произведением является нулевой вектор.

С действием умножения вектора на число связываются два распределительных свойства— и

Б) Если векторы и коллинеарны, то один из них можно выразить через другой: либо либо при определённых числах и

Для любых двух векторов существует плоскость, которой они параллельны. Векторы, параллельные одной плоскости, называют компланарными. Если векторы и неколлинеарны, то любой вектор компланарный с ними, можно однозначно выразить через векторы и : (рис. 342).

Истинно и обратное утверждение: если векторы и связаны равенством то они компланарны.

Действительно, если векторы и представить направленными отрезками с общим началом (рис. 343), то поэтому точки и находятся в плоскости

Теорема 1. Если векторы и некомпланарны, то для любого вектора существует такая единственная упорядоченная тройка действительных чисел что

Доказательство: Сначала докажем существование нужных чисел. Представим векторы и направленными отрезками с общим началом Через точку проведём прямую параллельно и пусть — точка пересечения прямой с плоскостью (рис. 344). Тогда Поскольку вектор ненулевой и векторы и коллинеарны, то существует такое число что А поскольку векторы и компланарны, а векторы и неколлинеарны, то существуют такие числа и что

Поэтому

Теперь докажем единственность представления. Допустим, что существуют две разные упорядоченные тройки чисел и при которых и Тогда и

Поскольку тройки чисел и различны, то числа на соответствующих местах не могут все совпадать. Пусть, например, В этом случае из последнего равенства можно выразить вектор Последнее равенство означает, что векторы и компланарны. Полученное противоречие с условием означает, что сделанное допущение о существовании двух разных троек чисел неверно.

Следствие 1. Из четырёх любых векторов пространства один может быть выражен через три других.

Действительно, если среди данных четырёх векторов пространства есть три некомпланарных, то четвёртый вектор можно через эти три выразить. Далее, если среди данных четырёх векторов пространства любые три компланарны, то может найтись среди них два неколлинеарных, или любых два вектора коллинеарны. В первом случае через эти два неколлинеарных вектора можно выразить третий и к полученному выражению прибавить четвёртый, умноженный на ноль. Во втором случае один из векторов можно выразить через другой и потом прибавить к этому выражению два оставшихся вектора, умноженных на ноль.

Таким образом, теперь вы знаете, что из двух коллинеарных векторов один может быть выражен через другой, из трёх компланарных векторов один может быть выражен через два других, а из четырёх любых векторов один может быть выражен через три других.

Пример №1

На кронштейне, состоящем из подкоса и растяжки подвешен груз. Кронштейн прикреплён к вертикальной стене растяжка занимает горизонтальное положение (рис. 345). Найдём силы, действующие на подкос и растяжку, если угол между ними равен a масса груза равна

Решение:

Сила тяжести выражается вектором направленным вниз по вертикали. Выразим его суммой векторов, которые коллинеарны векторам и Для этого построим параллелограмм с диагональю стороны которого расположены на прямых и (рис. 346).

Поскольку углы и являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых и и секущей то в прямоугольном треугольнике угол равен и катет равен Поэтому

и

Ответ. Под воздействием груза подкос сжимается с силой а растяжка растягивается с силой

Пример №2

В правильной четырёхугольной пирамиде точки и — середины рёбер и соответственно. Плоскость, проходящая через точки и параллельно прямой пересекает прямую в точке (рис. 347). Найдём отношение

Решение:

Поскольку то векторы и полностью определяют пирамиду. Поскольку векторы и коллинеарны, то вектор можно выразить через при определённом числе Вектор можно выразить через векторы и используя то, что точка находится в плоскости, проходящей через точки и параллельно прямой Вектор компланарен с векторами и поэтому при определённых множителях и Выразим векторы и через векторы и

Имеем:

Поэтому

Учтём теперь то, что через некомпланарные векторы и каждый вектор пространства, в том числе и вектор выражается единственным образом. Поэтому должны одновременно выполняться условия: Отсюда получаем, что А поскольку то

В) Пусть в пространстве выбрана декартова система координат С каждой точкой пространства можно связать вектор Это соответствие между точками пространства и векторами является взаимно однозначным: различным точкам соответствуют различные векторы с началом и концами в этих точках, и различным векторам соответствуют различные точки пространства.

Будем говорить, что вектор имеет координаты в декартовой системе координат если и точка имеет координаты Это будем записывать:

Теорема 2. Если то

Доказательство: Пусть задана декартова система координат и Пусть также и Нужно доказать, что и

Поскольку то середины отрезков и совпадают.

Середина отрезка имеет координаты а середина отрезка — координаты Получаем:

Отсюда:

и

Теорема 3. Если то

Доказательство: Пусть задана декартова система координат и (рис. 348). Поскольку

то По теореме 2 получаем:

и

Поэтому

и

Значит, вектор имеет координаты

Докажем второе утверждение теоремы 3. Пусть сначала и Сравним одноимённые, например первые, координаты векторов и Для этого через точки и проведём плоскости, параллельные плоскости (рис. 349), которые пересекают ось в точках и Из подобия треугольников и следует, что Аналогично получается, что и

Если же то аналогичные рассуждения проводятся для рисунка 350. Векторы называют единичными координатными векторами.

Следствие 2. Если то

Пример №3

Дан параллелепипед Точки и — середины отрезков и соответственно (рис. 351). Выразим:

а) векторы и через векторы и

б) векторы и через векторы и

Решение:

а) Имеем:

б) Будем рассматривать полученные равенства —

как систему условий, из которой нужно найти и Из первого условия выразим

и исключим из двух других:

Теперь из последнего равенства выразим и исключим из предыдущего:

Далее можно последовательно выразить и через векторы

и

Пример №4

Через диагональ грани треугольной призмы проведена плоскость так, что она пересекает диагонали и граней в точках и соответственно (рис. 352). Найдём отношение учитывая, что

Решение:

Векторы и некомпланарны, поэтому через них можно выразить векторы и

Учтём, что и коллинеарны. Значит, существует такое число что

Аналогично, существует такое число что Кроме того,

и

Значит,

Из условия следует, что векторы и коллинеарны. Поэтому при определённом

Поскольку и учитывая однозначность разложения вектора по трём некомпланарным векторам, получаем, что Отсюда находим

Ответ:

Скалярное произведение векторов

А) Скалярным произведением векторов и называется число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение векторов имеет переместительное свойство распределительное свойство кроме того, множитель можно выносить за знак скалярного произведения С помощью скалярного произведения можно находить длины векторов и косинусы углов между ними:

У нулевого вектора направление не определено, поэтому удобно считать, что нулевой вектор перпендикулярен любому другому вектору.

С учётом этого получается следующее полезное утверждение: два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Теорема 1. Скалярное произведение векторов и выражается через их координаты в декартовой системе

равенством

Доказательство: Поскольку то

Находим далее:

Аналогично,

Поэтому

Пример №5

Найдём длину вектора

Имеем: Поэтому

Пример №6

Найдём угол между векторами и

Имеем:

Поэтому:

Пример №7

Найдём длину вектора равного учитывая, что векторы и перпендикулярны вектору а между собой образуют угол 60° и

Имеем:

Поскольку

Поэтому

Б) Вы знаете, что плоскость в пространстве можно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой. Поскольку существует единственная плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно данной прямой, то плоскость можно задавать указанием одной из её точек и вектора, ей перпендикулярного.

Теорема 2. Если плоскость проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору то координаты любой точки этой плоскости удовлетворяют уравнению

Доказательство: Если — произвольная точка плоскости,

проходящей через точку перпендикулярно вектору

то векторы и перпендикулярны, а потому их скалярное произведение равно нулю:

Истинно и обратное утверждение.

Теорема 3. Уравнению в котором коэффициенты не равны нулю одновременно, удовлетворяет любая точка некоторой плоскости. Этой плоскости перпендикулярен вектор

Доказательство: Если есть уравнение и числа не равны нулю одновременно, то можно найти упорядоченную тройку чисел удовлетворяющую этому уравнению. Например, если то можно, взяв и найти значение переменной так, чтобы тройка чисел удовлетворяла уравнению

Поскольку то условия и равносильны. Получили, что исходное уравнение равносильно уравнению которому удовлетворяют координаты любой точки расположенной на прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору т. е. любой точки плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Пример №8

Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; 1; 3), В(4; 1, 2) и С(5; 2; 1).

Решение:

Найдём координаты векторов и Поскольку координаты (2; 0; -1) и (3; 1; -2) этих векторов не пропорциональны, то сами векторы не коллинеарны, и, значит, точки и не лежат на одной прямой, они задают единственную плоскость.

Чтобы записать уравнение плоскости используя теорему 2, найдём вектор перпендикулярный этой плоскости. Поскольку и то и Из этих условий получаем: Таким образом, в качестве искомого вектора можно взять вектор с координатами (1; 1; 2).

Теперь можно записать уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно найденному вектору

или

В) Теорема 4. Если плоскость имеет уравнение то расстояние до неё от точки равно

Доказательство: Пусть из точки на данную плоскость опущен перпендикуляр основание которого — точка — имеет координаты

Тогда вектор коллинеарен с

вектором Поскольку угол между этими векторами равен 0°

или 180°, то откуда

Находим

поскольку координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости. Далее: А поскольку искомое расстояние равно длине вектора то требуемое утверждение обосновано.

Пример №9

Найдём расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением

Решение:

Используя теорему 4, получаем:

Ответ: 5.

Применение векторов и координат

А) В ряде задач условие содержит сведения о параллельности некоторых прямых или об их точках пересечения, об отношениях длин параллельных отрезков. Для решения таких задач может быть полезным применение векторов, как это было при решении примера 3 из параграфа 12. При решении таких задач достаточно использовать действия сложения векторов и умножения вектора на число. Рассмотрим ещё один пример.

Пример №10

Пусть и — параллелограммы в пространстве, — середины отрезков соответственно. Докажем, что середины отрезков и совпадают.

Решение. Выберем в пространстве точку Тогда положение каждой точки полностью характеризуется соответствующим вектором. Из условия

следует, что и Точки определяются

векторами

Чтобы доказать, что середины отрезков и совпадают, докажем, что

Находим:

А поскольку

и

то выражения в двух последних скобках принимают одинаковые значения. Требуемое утверждение доказано.

Б) При решении других задач целесообразно пользоваться скалярным умножением векторов. Такими являются задачи, в которых нужно использовать или определять некоторые расстояния или углы.

Пример №11

Найдём угол между скрещивающимися диагоналями соседних боковых граней правильной шестиугольной призмы, у которой боковые грани — квадраты.

Решение:

Пусть нужно найти угол между прямыми и (рис. 370). Искомый угол может совпадать с углом между векторами, параллельными данным прямым, или дополнять его до 180°. Поэтому косинус искомого угла совпадает с модулем косинуса угла между векторами и

Выразим векторы и через некомпланарные векторы и Примем длину ребра призмы за а и найдём скалярное произведение векторов:

А поскольку

то

Ответ:

Скалярное произведение векторов можно использовать и для нахождения угла между плоскостями. Как и при определении угла между прямыми, так и при определении угла между плоскостями можно использовать векторы и только перпендикулярные рассматриваемым плоскостям:

Пример №12

У правильной шестиугольной призмы все рёбра имеют длину 1 (рис. 371). Найдём угол между плоскостями и

Решение:

Для получения ответа нужно определить векторы и перпендикулярные плоскостям и соответственно. Они должны удовлетворять условиям и

Используем прямоугольную декартову систему координат, начало которой находится в центре основания и точки и имеют координаты и соответственно. Тогда точки и будут иметь координаты и соответственно. Найдём координаты векторов и по координатам их концевых точек:

Поскольку то координаты вектора

удовлетворяют условиям и Этим условиям удовлетворяют числа Поэтому в качестве вектора, перпендикулярного плоскости можно взять вектор

Для нахождения вектора действовать будем аналогично. Координаты вектора перпендикулярного плоскости удовлетворяют условиям и удовлетворяют числа Поэтому

Используем равенство Поскольку угол между векторами и или совпадает с углом между плоскостями и

или дополняет его до 180°, то

Находим:

Ответ:

Для нахождения угла между прямой и плоскостью также можно использовать векторы, из которых один параллелен прямой, а другой перпендикулярен плоскости. Угол между этими векторами связан с углом между прямой и плоскостью равенством (рис. 372).

Пример №13

На рёбрах и куба отмечены точки и так, что (рис. 373). Найдём угол между прямой и плоскостью

Решение:

Примем точку за начало системы координат, координатные оси направим по рёбрам куба, взяв рёбра за единичные отрезки. Тогда определятся координаты нужных точек:

и

По теореме 3 из параграфа 13 уравнение плоскости имеет вид а поскольку координаты точек и удовлетворяют уравнению то это уравнение и есть уравнение плоскости а вектор этой плоскости перпендикулярен.

Прямой параллелен вектор Находим:

и

Ответ:

В) В предыдущем параграфе обсуждалось использование координат для вычисления расстояния от точки до прямой. Рассмотрим решение ещё двух задач на нахождение расстояний: от точки до прямой и расстояния между скрещивающимися прямыми.

Пример №14

В правильной шестиугольной пирамиде все рёбра основания имеют длину 3, они вдвое короче боковых рёбер. На рёбрах и отмечены точки и так, что Найдём расстояние от точки до прямой

Решение:

Пусть — центр основания Поскольку и то из прямоугольного треугольника находим:

Используем прямоугольную декартову систему координат, начало которой находится в центре основания оси абсцисс и аппликат проходят через точки и соответственно и точка имеет неотрицательные координаты (рис. 374). Точки и имеют координаты и . Тогда точки и будут иметь координаты

и соответственно. Найдем координаты векторов и по координатам их концевых точек:

Искомое расстояние есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и равна высоте треугольника проведённой из точки Для её нахождения можно использовать формулу Поскольку

и

то

Теперь находим:

Ответ:

Пример №15

Измерения и прямоугольного параллелепипеда равны соответственно 5, 4 и 4. Точки и на рёбрах и выбраны так, что (рис. 375). Найдём расстояние между прямыми и

Решение:

Расстояние между скрещивающимися прямыми и можно найти как расстояние от какой-либо точки прямой до плоскости проходящей через прямую параллельно

Примем точку за начало системы координат, координатные оси направим по рёбрам параллелепипеда так, чтобы точки и имели координаты соответственно. Тогда Чтобы записать уравнение плоскости найдём координаты вектора перпендикулярного как вектору так и вектору Поскольку то координаты вектора должны удовлетворять равенствам и например

Теперь запишем уравнение плоскости используя координаты точки Для нахождения расстояния используем теорему 4 из параграфа 13:

Ответ:

Векторы в пространстве

Это интересно!

Основоположниками аналитической геометрии являются знаменитые ученые Декарт и Ферма. Однако Декарт свои исследования опубликовал первым. А исследования Ферма увидели свет намного позже, после его смерти. Интересно, что подойдя к проблеме с разных сторон, они пришли к одинаковым выводам. Декарт искал уравнение исследуемой кривой, а Ферма для заданного уравнения искал соответствующую кривую.

Применение правил алгебры к геометрии привело к возникновению аналитической геометрии. В последствии аналитическая геометрия была усовершенствована основателем математического анализа Исааком Ньютоном, который писал » … я смог пойти дальше Декарта, только потому, что стоял на плечах гигантов»

Прямоугольная система координат в пространстве

Пусть мяч ударился о пол и отскочил вертикально вверх. Координаты мяча в точке на полу можно определить относительно длины и ширины комнаты двумя значениями. Однако когда мяч отскочил от пола, то его положение уже невозможно определить двумя координатами. Если положение мяча на полу определяется как то после поднятия на высоту 2,5 м его положение в пространстве задается уже гремя координатами

Прямоугольная система координат в пространстве. В пространстве возьмем произвольную точку и проведем через нее три попарно перпендикулярные прямые линии. Примем точку за начало координат и, выбрав на этих прямых положительное направление и единичный отрезок, назовем эти прямые координатными осями Начало координат делит каждую ось на две полуоси (положительную и отрицательную). Пересекаясь попарно, три координатные оси образуют координатные плоскости. Плоскость берется но горизонтали, положительное направление оси проводится по направлению вверх. Трехмерная система координат, образованная по данному правилу, называется еще системой правой руки. Если согнуть пальцы правой руки от положительного направления оси вдоль положительного направления оси то большой палец будет направлен вдоль положительного направления оси

Координатные плоскости обозначаются как и

Каждая координатная плоскость делит пространство на два полупространства и, таким образом, три координатные плоскости вместе делят пространство на восемь частей, каждая из которых называется октантом:

Пусть точка произвольная точка в пространстве. Параллельно плоскостям и через точку проведем плоскости, которые пересекают соответствующие координатные оси в точках и Получим три плоскости:

Координаты точки в пространстве

1) Плоскость, проходящая через точку и параллельная плоскости пересекает ось в точке

2) Плоскость, проходящая через точку и параллельная плоскости пересекает ось в точке

3) Плоскость, проходящая через точку и параллельная плоскости пересекает ось в точке

Значит, каждой точке пространства соответствует упорядоченная тройка и наоборот:

Упорядоченная тройка в прямоугольной системе координат называется координатами точки и декартовыми координатами. Расстояние от точки до плоскостей и соответствует абсолютным значениям координат Числа соответственно называются абсциссой, ординатой и аппликатой точки и это записывается так:

1) Начало координат:

2) Точка, расположенная на оси

Точка, расположенная на оси

Точка, расположенная на оси

3) Точка, расположенная на плоскости

Точка, расположенная на плоскости

Точка, расположенная на плоскости

Точка в пространстве расположена в I октанте, точка расположена на отрицательной полуоси точка расположена на плоскости точка расположена в III октанте.

Знаки координат точки

Знак координаты точки зависит от того, в каком октанте расположена точка. В следующей таблице показаны знаки координат точек в различных октантах.

В первом октанте все знаки координат положительны, в седьмом октанте все знаки отрицательны.

Пример №16

В прямоугольной системе координат в пространстве постройте точки:

Решение: а) для построения точки от начала координат но оси в положительном направлении на расстоянии 2-х единичных отрезков отметим точку От точки вдоль положительного направления оси и параллельно этой оси, на расстоянии 4-х единичных отрезков отметим точку От точки вдоль положительного направления оси и параллельно этой оси, на расстоянии 3-х единичных отрезков отметим точку

b) для построения точки от начала координат по оси в отрицательном направлении на расстоянии 2-х единичных отрезков отметим точку от точки вдоль отрицательного направления оси и параллельно этой оси, на расстоянии 2-х единичных отрезков отметим точку От точки вдоль положительного направления оси и параллельно этой оси, на расстоянии 3-х единичных отрезков отметим точку

Пример №17

От точки к осям координат проведены перпендикуляры. Запишите координаты оснований перпендикуляров, соответствующих точкам и

Решение: для точки основания перпендикуляра, проведенного из точки на ось координаты и равны нулю. Значит, координаты точки — Аналогично, координаты остальных точек — и

Пример №18

От точки к плоскостям и проведены перпендикуляры. Запишите координаты точек и которые являются основаниями перпендикуляров.

Решение: координата точки основания перпендикуляра, опущенного от точки на плоскость равна нулю. Значит, точка имеет координаты Аналогично находят координаты других точек: и

Расстояние между двумя точками в пространстве

Расстояние между точками и вычисляется но формуле

Доказательство. Пусть диагональ параллелепипеда с ребрами и которые параллельны координатным осям Из прямоугольного треугольника прямой) имеем: Из прямоугольного треугольника прямой) имеем:

Учитывая, что

получаем,

Расстояние от начала координат

В прямоугольной системе координат в пространстве расстояние от точки начала координат до любой точки вычисляется по формуле:

Пример №19

Точки, расположенные на одной прямой, называются коллинеарными точками.

Докажите, что точки и являются коллинеарными точками, используя формулу нахождения расстояния между двумя точками.

Решение:

Так как то точки и расположены на одной прямой, т. е. они коллинеарны.

Пример №20

Найдите координаты точки, расположенной на оси абсцисс и равноудаленной от точек и

Решение: если точка расположена на оси абсцисс, значит ее координаты- Так как точка равноудалена от точек и то или По формуле расстояния между двумя точками имеем:

Значит, точка расположена на оси абсцисс и равноудалена от точек и

Координаты точки, делящей отрезок в некотором отношении

Координаты точки делящей отрезок с концами в точках

и в отношении находятся как:

Доказательство: пусть точка делит отрезок в заданном отношении. Через точки и к плоскости проведем перпендикуляры и и через точки перпендикуляры и к оси По рисунку видно, что и

На основе теоремы о пропорциональных отрезках имеем:

Аналогично, используя перпендикуляры к осям и можно определить координаты и

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка, соединяющих точки и находятся следующим образом:

Координаты центра тяжести треугольника

Координаты центра тяжести треугольника (точка пересечения медиан) с вершинами в точках и находятся следующим образом:

(проверьте сами)

Пример №21

Даны точки и Найдите

координаты точки которая делит отрезок как

Решение: пусть точка имеет координаты Эта точка делит отрезок в отношении По формуле нахождения координаты

точки, делящей отрезок в заданном отношении, получаем:

Пример №22

Даны координаты двух вершин треугольника и Найдите координаты третьей вершины, если центр тяжести треугольника совпадает с началом координат.

Решение: так как центр тяжести находится в начале координат, то:

Отсюда,

Значит, третьей вершиной треугольника является точка

Векторы в пространстве

Векторной величиной или вектором называется величина, которая определяется не только значением, но и направлением. Изображается вектор направленным отрезком. Длина отрезка, образующего вектор, называется длиной вектора или его модулем.

Вектор можно изобразить в одномерной, двухмерной и трехмерной системе координат.

Вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, называется нулевым вектором. Направление нулевого вектора не определено. Местоположение любой точки (объекта) в пространстве изображается вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец — с данной точкой. Например, на рисунке изображен вектор, показывающий положение мяча в пространстве, который брошен на высоту 3 м на игровой площадке, длина которой равна 4 м, а ширина 2 м.

В пространстве вектор, который определяет место (положение, позицию) точки и соединяет начальную и заданную точку, называется позиционным вектором или радиус — вектором. Каждой точке пространства соответствует единственный позиционный вектор. Положение точки в пространственной системе координат определяет вектор — вектор, заданный компонентами.

Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. Равные векторы, при помощи параллельного переноса, можно расположить друг на друге. Например, на рисунке векторы и равны. Для позиционного вектора можно провести бесконечно много равных по модулю и направлению векторов. В пространстве вектор с началом в точке и концом в точке записывается компонентами как Соответствующие компоненты равных векторов равны и наоборот. Векторы, которые равны по модулю, но имеют противоположные направления, называются противоположными векторами.

В пространстве, как и на плоскости, можно геометрически построить сумму и разность векторов, и произведение вектора на число.

Найти компоненты и длину вектора, а также выполнить действия над векторами в пространственной Декартовой системе координат можно но правилам, аналогичным для прямоугольной системы координат на плоскости.

Длина вектора

Модуль вектора можно найти, используя формулу нахождения расстояния между двумя точками.

Теорема. Если начало вектора расположено в точке а конец в точке то длина вектора вычисляется по формуле:

Следствие. Длина радиус-вектора равна (находится по формуле нахождения расстояния от начала координат до точки).

Сложение и вычитание векторов

Сложение и вычитание векторов: суммой (разностью) векторов и является вектор, компоненты которого равны сумме (разности) соответствующих компонент векторов, т. е. сумма (разность) векторов и равна вектору:

Пример №23

Найдите сумму и разность векторов и

Решение:

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число: произведение вектора на действительное число к определяется как вектор Для произведения вектора на действительное число справедливы следующие правила:

Пример №24

Для вектора и запишите компонентами вектор

Решение:

Коллинеарные векторы

Если направленные отрезки, которыми изображены векторы, параллельны или лежат на одной прямой, то вектора называются коллинеарными. Если векторы и коллинеарны, тогда существует единственное число которое удовлетворяет условию При векторы сонаправленные, при они направлены в противоположные стороны. Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

При это условие запишется как:

Пример №25

Определите, являются ли расположенные в пространстве векторы и коллинеарными.

Решение: так как вектор и коллинеарны и сонаправлены.

Пример №26

Постройте радиус-вектор, равный вектору

Решение: в _соответствии с правилом треугольника Точкам и соответствуют радиус-векторы и

По правилу сложения векторов на плоскости Отсюда,

Пример №27

В трехмерной системе координат задан вектор с началом в точке и концом в точке а) Найдите длину вектора б) Запишите компонентами радиус-вектор, равный вектору

Решение: а)

b) Обозначим вектор, равный вектору через Тогда точке

соответствует радиус-вектор точке соответствует

радиус-вектор

Так как то

Пример №28

Установите справедливость равенства для точек и

Решение:

Из равенства соответствующих компонентов следует

Векторы, расположенные на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными векторами. Например, векторы, расположенные на противолежащих гранях куба, компланарны, а векторы, направленные по трем ребрам выходящим из одной вершины, некомпланарны.

Единичный вектор — вектор, длина которого равна единице.

Для любого, отличного от нуля вектора вектор вида является единичным вектором. 1 1

Пример №29

Для вектора а) найдите единичный сонаправленный вектор b) запишите компонентами вектор сонанравленный вектору длина которого равна 10 единицам.

Решение: обозначим единичный вектор через

Проверим, действительно ли длина этого вектора равна единице:

b) чтобы определить вектор, сонаправленный с вектором длиной 10 единиц, надо компоненты единичного вектора, найденного в пункте а, увеличить в 10 раз.

В прямоугольной системе координат в пространстве векторы, направленные вдоль положительных направлений координатных осей и определенные как и при

называются орт векторами. Понятно, что векторы

— некомпланарны.

Любой позиционный вектор и на плоскости, и в пространстве, можно выразить через орт вектора. На плоскости точке соответствует позиционный вектор в пространстве точке соответствует вектор Данное выражение называется записью вектора компонентами. Здесь числа координаты точки

Теорема. Любой вектор можно разложить но орт векторам единственным образом, при этом справедливо равенство

Пример №30

Вектор началом которого на плоскости является точка а концом точка выразите через орт вектора.

Решение: зная, что получим

Пример №31

Запишите разложение вектора в пространстве по орт векторам.

Решение: по теореме разложения вектора по орт векторам имеем:

Пример №32

а) Запишите в виде позиционный вектор, соответствующий точке

b) Запишите вектор компонентами в виде

Решение: а) начало позиционного вектора совпадает с началом координат Таким образом вектор имеет вид

Пример №33

Найдите сумму и разность векторов.

Решение:

Скалярное произведение двух векторов

Тележка переместилась на расстояние по прямой под действием силы направленной под углом наклона Вычислите совершаемую работу: если значение силы равно то На горизонтальном пути работа вертикальной компоненты силы равна нулю. Тогда работа, совершаемая горизонтальной компонентой силы на расстоянии будет:

Работа, совершаемая при перемещении груза на расстояние равна произведению длины вектора перемещения и значения компонента вектора силы направленной вдоль перемещения.

Работа является скалярной величиной, однако ее значение зависит от угла между силой, действующей на тело, и вектором перемещения.

Скалярное произведение двух векторов

Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Ясно, что

Скалярное произведение двух ненулевых векторов и равно произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.

Скалярное произведение записывается как:

Значит,

Свойство скалярного произведения

• Для любого вектора справедливо равенство то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Переместительное свойство скалярного произведения.

Для любых векторов и справедливо равенство

Свойство группировки скалярного произведения. Для любых векторов и и действительного числа справедливо равенство

Распределительное свойство скалярного произведения:

1) Для любых векторов, и действительного числа справедливо следующее равенство 2) Для любых векторов справедливо равенство

В частном случае, для скалярного произведения орт векторов получим:

Пример №34

По данным на рисунке найдите скалярное произведение векторов и

Решение:

Пример №35

Упростите выражение используя свойство скалярного произведения векторов.

Решение:

Скалярное произведение двух векторов на координатной плоскости можно найти при помощи координат.

Пусть даны векторы и По определению скалярного произведения имеем

Из получаем

По теореме косинусов получаем

а это значит, что

Таким образом, скалярное произведение двух векторов и равно сумме произведений соответствующих компонент.

Аналогичным образом, скалярное произведение двух векторов и в трехмерной, Декартовой системе координат находится как: .

Пример №36

Зная, что найдите скалярное произведение

Решение:

Угол между двумя векторами

Угол между двумя ненулевыми векторами находится из соотношения , здесь

Пример №37

Найдите косинус угла между векторами и

Решение:

Вывод: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

Пример №38

При каком значении вектора и взаимно перпендикулярны?

Решение: при имеем

Общее уравнение прямой

В системе координат на плоскости уравнение прямой имеет вид Это уравнение называется общим уравнением прямой. Вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором к данной прямой или нормалью. Покажем, что общее уравнение прямой с нормалью имеет вид Пусть заданная точка на прямой, а точка произвольная точка на прямой, отличная от точки а вектор — нормаль к прямой.

Так как векторы и перпендикулярны, то

Если ввести обозначение то получим уравнение в виде Здесь

Частные случаи:

• уравнение прямой, параллельной оси абсцисс

• уравнение прямой, параллельной оси ординат

• уравнение прямой, проходящей через начало координат

Пример №39

Запишите уравнение прямой проходящей через точку нормаль к которой равна

Решение: на координатной плоскости построим вектор и изобразим графическое решение задания, проведя через точку прямую перпендикулярную нормали. Теперь запишем требуемое уравнение.

Способ 1.

Пусть точка является точкой, расположенной на прямой и отличной от точки Тогда вектор коллинеарен прямой и Так как вектора и перпендикулярны, то Тогда получим:

Таким образом,

Способ 2.

Зная нормаль уравнение можно записать следующим образом: Так как точка должна находится на прямой, то и уравнение будет

Пример №40

Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями и

Решение: угол между прямыми можно найти как угол между их нормалями.

Для угла между нормальных векторов и имеем:

Отсюда

Пример №41

Найдите расстояние от точки до прямой

Решение: пусть точка является основанием перпендикуляра, проведенного к прямой от точки

Так как векторы и коллинеарны, го существует такое число что или Из равенства соответствующих компонент получим Координаты и точки должны удовлетворять уравнению

Отсюда Тогда

Уравнение плоскости

Исследование. Какому множеству точек соответствует одно и тоже уравнение, например в одномерной, двухмерной и трехмерной системах координат?

1. В одномерной системе координат, т.е. на числовой оси, уравнению соответствует одна точка.

2. В двухмерной системе координат уравнению или удовлетворяют все точки с координатами Множеством таких точек является прямая, параллельная оси

3. В трехмерной системе координат уравнению или удовлетворяет множество точек Множеством таких точек является плоскость, параллельная плоскости Аналогично, уравнениям и соответствуют плоскости, параллельные плоскостям и

4. В трехмерной системе координат представьте множество точек, удовлетворяющих уравнениям и

5. Сопоставьте координаты точек, данных на плоскости, с уравнениями и Представьте плоскости.

Уравнение прямой в двухмерной системе координат имеет вид

Например, уравнение определяет прямую, проходящую через точки и

В трехмерной системе координат мы можем написать это уравнение в виде: Так как коэффициент равен нулю, то аппликата может получать любые значения. Т. е. в трехмерной системе координат для любого координаты точек и удовлетворяет уравнению Если отметить все такие точки в трехмерной системе координат, то получим плоскость, параллельную оси В общем, уравнение плоскости в трехмерной системе координат имеет вид

Плоскость может быть определена различными способами.

• тремя неколлинеарными точками
• прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой
• двумя пересекающимися прямыми
• двумя параллельными прямыми
• точкой и перпендикуляром в этой точке в заданном направлении

Используя последний способ, которым можно задать плоскость, покажем, что уравнение плоскости имеет вид Вектор, перпендикулярный к плоскости называется ее нормалью. Пусть, дана плоскость точка расположенная на этой плоскости и нормаль к этой плоскости. Выберем на этой плоскости какую-либо другую точку и соединим точки и Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой, лежащей в данной плоскости. Значит

А это значит, что Учитывая, что и имеем:

Обозначим тогда уравнение плоскости будет иметь вид:

Внимание! Три коэффициента при переменных в уравнении плоскости являются компонентами нормали и

Пример №42

Плоскость с нормалью проходит через точку Запишите уравнение этой плоскости.

Решение: задание можно выполнить двумя способами.

1-ый способ. Возьмем произвольную точку на плоскости и запишем компонентами вектор с началом в точке и концом в точке Вектор будет иметь вид Так как нормальный вектор имеет вид то или справедливо следующее:

Отсюда

Умножим обе части уравнения на Тогда уравнение данной плоскости будет иметь вид

2-ой способ. Известно, что уравнение плоскости имеет вид а нормаль к плоскости имеет вид Значит, коэффициенты известны. Из вектора нормали имеем: Записав координаты точки принадлежащей плоскости, в уравнение найдем переменную

и уравнение плоскости будет иметь вид: или

Пример №43

Дано уравнение плоскости

a) Определите, принадлежат ли точки плоскости.

b) Определите координаты точки пересечения плоскости с осями

c) Запишите координаты какой-либо другой точки, принадлежащей данной плоскости.

Решение:

а) Проверка:

Принадлежит плоскости

Принадлежит плоскости

Не принадлежит плоскости

b) Координаты точек пересечения с осями

в точке пересечения с осью координаты и равны нулю

в точке пересечения с осью координаты и равны нулю

в точке пересечения с осью координаты и равны нулю

c) Для определения координаты другой точки на заданной плоскости задайте любые значения двум переменным и найдите третью координату.

Например, при значение находят гак: Значит, точка принадлежит данной плоскости.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №44

Найдите расстояние от точки до плоскости

Решение: пусть точка является основанием перпендикуляра, проведенного от точки Так как векторы и коллинеарны, то существует такое число что или Из равенства соответствующих компонент получим Координаты точки удовлетворяют уравнению:

Отсюда Тогда

Это говорит о том, что расстояние от заданной точки до плоскости равно 3 единицам.

Взаимное расположение плоскостей

Плоскости и перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормали:

Плоскости и параллельны тогда и только тогда, когда параллельны их нормали:

Пример №45

Определение параллельности или перпендикулярности плоскостей но уравнению.

a) плоскость задана уравнением а плоскость задана уравнением Обоснуйте, что данные плоскости перпендикулярны.

b) плоскость задана уравнением а плоскость задана уравнением Обоснуйте, что данные плоскости параллельны.

Решение: для того чтобы плоскости и были перпендикулярны, скалярное произведение нормалей и плоскостей и должно равняться нулю.

Значит, плоскости и перпендикулярны:

Нормали плоскостей и равны: Если для данных плоскостей постоянная имеет различное значение, то это значит, что плоскости не лежат друг на друге, т. е. они параллельны.

Уравнение сферы

Определение. Сферой называется множество всех точек, расположенных на расстоянии от заданной точки Точка называется центром сферы, радиусом сферы.

Если точка — произвольная точка сферы, то по формуле расстояния между двумя точками имеем:

Это уравнение сферы с центром в точке и радиусом

Если центр сферы находится в начале координат, то уравнение сферы радиуса имеет вид:

Как видно из рисунка, пересечение этой сферы с координатной плоскостью является ее большой окружностью.

Пример №46

Запишите уравнение сферы, радиус которой равен г а центр расположен в точке

Решение:

Пример №47

Представьте фигуру, которая получается при пересечении сферы с плоскостью

Решение: радиус сферы Учитывая в уравнении сферы, что получим: Пересечение плоскости z = 12 и данной сферы является окружность с центром в точке (0; 0; 12) и радиусом г = 5.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется плоскостью, касательной к сфере.

Например, плоскость касается сферы в точке

Плоскость, касательная к сфере, в точке касания перпендикулярна радиусу сферы.

Преобразования на плоскости и в пространстве

Ремесленники и художники создают узоры, заполняя некоторую площадь без пробела рисунком при помощи преобразований (параллельный перенос, поворот, отображение) или увеличения или уменьшения этого рисунка (гомотетия).

Это знать интересно. Великий голландский художник Эшер, объединив такие разделы математики как симметрия, комбинаторика, стереометрия и топология, создал динамические рисунки, заполняя плоскости цветовыми оттенками. Не имея специального математического образования, Эшер создавал свои произведения, опираясь на интуицию и визуальные представления. Ряду работ, построенных на параллельном переносе, он дал название «Правильное движение плоскости».

https://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher

Если каждой точке фигуры в пространстве, по определенному правилу, ставится в соответствие единственная точка то это называется преобразованием фигуры в пространстве. Преобразование, сохраняющее расстояние между точками, называется движением. Движение преобразовывает плоскость в плоскость, прямую в прямую, отрезок в отрезок, а угол — в конгруэнтный ему угол. Значит, движение преобразовывает фигуру в конгруэнтную себе фигуру. Известно, что в двухмерной системе координат за преобразование каждой точки в точку т. е. за параллельный перенос отвечает вектор Аналогичным образом, в пространстве при параллельном переносе координаты каждой точки изменяются так:

Параллельный перенос является движением. Каждому параллельному переносу соответствует один вектор. Справедливо и обратное.

Пример №48

В какую точку переходит точка при параллельном переносе на вектор

Решение: по определению при данном преобразовании, координаты точки преобразуются в координаты точки следующим образом: Т. е. при этом параллельном переносе точка преобразуется в точку

Симметрия. В пространстве симметрии относительно точки и прямой дается такое же определение как и на плоскости. В пространстве также рассматривается симметрия относительно плоскости.

Для точки пространства

Пример №49

Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости

Решение: точка симметричная точке относительно плоскости расположена на прямой, перпендикулярной как плоскости так и плоскости Поэтому абсциссы и ординаты точек равны: Координаты точки можно найти из отношения Таким образом, это точка

Поворот. Поворотом фигуры в пространстве вокруг прямой на угол называется такое преобразование, при котором каждая плоскость, перпендикулярная прямой поворачивается в одном направлении на угол вокруг точек пересечения прямой с плоскостью. Прямая называется осью симметрии, угол называется углом поворота.

Ниже на рисунках представлены примеры различных изображений поворота куба вокруг оси в направлении по часовой стрелке на угол 90°, 180°, 270°.

Гомотетия

Аналогичным образом в пространстве вводится понятие преобразования подобия. Если при преобразовании фигуры расстояние между двумя точками и изменяется в раз, то такое преобразование называется преобразованием подобия. Здесь число к называется коэффициентом подобия.

Если для любой точки фигуры при преобразовании ее в точку выполняется равенство то это преобразование называется гомотетией с центром в точке и с коэффициентом Гомотетия — это преобразование подобия. В частном случае, при получаем центральную симметрию относительно при — тождественное преобразование.

Пример №50

Пусть дана сфера с центром в точке и радиусом 2. Запишите уравнение сферы, полученной гомотетией с центром в начале координат и коэффициентом

Решение: позиционный вектор, соответствующий точке равен Пусть позиционный вектор, соответствующий точке будет Тогда, по определению, или Тогда Т. е. центром данной сферы будет точка Зная, что радиус сферы равен получим уравнение сферы

Предел

Это интересно!

Предел (лимит) от латинского слова «limes», что означает цель.

Понятие предела независимо друг от друга было введено английским математиком Исааком Ньютоном (1642-1727) и немецким математиком Готфридом Лейбницом (1646-1716). Однако ни Ни Ныотон, ни Лейбниц не смогли полностью объяснить вводимые ими понятия. Точное определение предела было дано французским математиком Коши. А работы немецкого ученого » Вейерштрасса наконец завершили создание этой серьезной теории.

Координаты и векторы в пространстве

В этом параграфе вы ознакомитесь с прямоугольной системой координат в пространстве, научитесь находить координаты точек в пространстве, длину отрезка и координаты его середины. Вы обобщите и расширите свои знания о векторах.

Декартовы координаты точки в пространстве

В предыдущих классах вы ознакомились с прямоугольной (декартовой) системой координат на плоскости — это две перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчета (рис. 38.1).

Систему координат можно ввести и в пространстве. Прямоугольной (декартовой) системой координат в пространстве называют три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчета (рис. 38.2). Точку, в которой пересекаются три координатные прямые, обозначают буквой О. Ее называют началом координат. Координатные прямые обозначают буквами их соответственно называют осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.

Плоскости, проходящие через пары координатных прямых и называют координатными плоскостями, их соответственно обозначают (рис. 38.3).

Пространство, в котором задана система координат, называют координатным пространством. Если оси координат обозначены буквами то координатное пространство обозначают Из курса планиметрии вы знаете, что каждой точке М координатной плоскости ставится в соответствие упорядоченная пара чисел , которые называют координатами точки М. Записыва­ ют:

Аналогично каждой точке М координатного пространства ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел , определяемая следующим образом. Проведем через точку М три плоскости перпендикулярно осям соответственно. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями обозначим (рис. 38.4). Координату точки на оси называют абсциссой точки М и обозначают буквой Координату точки на оси у называют ординатой точки М и обозначают буквой . Координату точки , на оси называют аппликатой точки М и обозначают буквой .

Полученную упорядоченную тройку чисел называют координатами точки М в пространстве. Записывают: . Если точка М имеет координаты , то числа равны расстояниям от точки М до координатных плоскостей . Используя этот факт, можно доказать, что, например точки с координатами и лежат на прямой, перпендикулярной плоскости и равноудалены от этой плоскости (рис. 38.5). В этом случае говорят, что точки М и N симметричны относительно плоскости

Если точка принадлежит координатной плоскости или координатной оси, то некоторые ее координаты равны нулю. Например, точка принадлежит координатной плоскости , а точка — оси аппликат. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 38.1. Расстояние между двумя точками и можно найти по формуле

Теорема 38.2. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, то есть серединой отрезка с концами в точках является точка

Доказательства теорем 38.1 и 38.2 аналогичны тому, как были доказаны соответствующие теоремы в курсе планиметрии. Например, серединой отрезка с концами в точках и является начало координат — точка .

В таком случае говорят, что точки А и В симметричны относительно начала координат.

Векторы в пространстве

В курсе планиметрии вы изучали векторы на плоскости. Теперь вы начинаете изучать векторы в пространстве. Многие понятия и свойства, связанные с векторами на плоскости, можно почти дословно отнести к векторам в пространстве. Доказательства такого рода утверждений о векторах в пространстве аналогичны доказательствам соответствующих утверждений о векторах на плоскости.

Рассмотрим отрезок АВ. Если мы договоримся точку А считать началом отрезка, а точку В — его концом, то такой отрезок будет характеризоваться не только длиной, но и направлением от точки А до точки В. Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначают так: (читают: «вектор АВ»). Для обозначения векторов также используют строчные буквы латинского алфавита со стрелкой сверху. На рисунке 39.1 изображены векторы

В отличие от отрезка, концы которого — различные точки, у вектора начало и конец могут совпадать.

Договорились называть вектор, начало и конец которого — одна и та же точка, нулевым вектором или нуль-вектором и обозначать . Модулем вектора называют длину отрезка АВ. Обозначают: . Модуль вектора обозначают так: . Считают, что модуль нулевого вектора равен нулю. Записывают:

Определение. Два ненулевых вектора называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

На рисунке 39.2 изображена четырехугольная призма . Векторы и являются коллинеарными.

Записывают:

Ненулевые коллинеарные векторы бывают сонаправленными и противоположно направленными. Например, на рисунке 39.2 векторы , сонаправлены. Записывают: . Векторы противоположно направлены. Записывают: .

Определение. Два ненулевых вектора называют равны ми, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны. На рисунке 39.2

Часто, говоря о векторах, мы не конкретизируем, какая точка является началом вектора. Так, на рисунке 39.3, изображен вектор . На рисунке 39.3, изображены векторы, равные вектору . Каждый из них также принято называть вектором .

На рисунке 39.3, изображены вектор и точка А. Построим вектор , равный вектору . В таком случае говорят, что вектор отложен от точки А (рис. 39.3, ).

Рассмотрим в координатном пространстве вектор . От начала координат отложим вектор , равный вектору (рис. 39.4). Координатами вектора называют координаты точки А . Запись означает, что вектор имеет координаты

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты, и наоборот, если соответствующие координаты век­торов равны, то равны и сами векторы.

Теорем а 39.1. Если точки и — соответственно начало и конец вектора , то числа и равны соответственно первой, второй и третьей ко­ординатам вектора . Из формулы расстояния между двумя точками следует, что если вектор имеет координаты , то

Сложение и вычитание векторов

Пусть в пространстве даны векторы . Отложим от произвольной точки А пространства вектор , равный вектору .

Далее от точки В отложим вектор , равный вектору . Век тор называют суммой векторов (рис. 40.1) и записывают: Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом треугольника.

Можно показать, что сумма не зависит от выбора точки А. Заметим, что для любых трех точек А, В и С выполняется равенство Оно выражает правило треугольника.

Свойства сложения векторов аналогичны свойствам сложения чисел. Для любых векторов выполняются равенства:

Сумму трех и большего количества векторов находят так: вначале складывают первый и второй векторы, потом к полученной сум­ме прибавляют третий вектор и т. д. Например, Для тетраэдра DABC, изображенного на рисунке 40.2, можно записать:

Для сложения двух неколлинеарных векторов удобно пользоваться правилом параллелограмма.

Отложим от произвольной точки А вектор , равный векто­ру , и вектор , равный вектору (рис. 40.3). Построим параллелограмм ABCD. Тогда искомая сумма равна вектору .

Рассмотрим векторы , не лежащие в одной плоскости (рис. 40.4). Найдем сумму этих векторов.

Построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были его ребрами (рис. 40.5). Отрезок OD является диагональю этого параллелепипеда. Докажем, что Так как четырехугольник — параллелограмм, то . Имеем: . Поскольку четырехугольник — параллелограмм, то

Описанный способ сложения трех векторов, отложенных от одной точки и не лежащих в одной плоскости, называют правилом параллелепипеда.

Определение. Разностью векторов называют такой вектор , сумма которого с вектором равна вектору .

Записывают: .

Покажем, как построить вектор, равный разности векторов и . От произвольной точки О отложим векторы , соответственно равные векторам (рис. 40.6). Тогда По определению разности двух векторов , то есть , следовательно, вектор равен разности векторов .

Отметим, что для любых трех точек О, А и В выполняется равенство Оно выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки.

Теорема 40.1. Если координаты векторов равны соответственно , то координаты вектора равны , а координаты вектора равны .

Умножение вектора на число

Определение. Произведением ненулевого вектора и чис ла , отличного от нуля, называют такой вектор , что:

1)

2) если если

Записывают: Если или , то считают, что На рисунке 41.1 изображен параллелепипед . Имеем: , Из определения следует, что

.

Теорема 41.1. Для любых векторов выполняется равенство

Эта теорема позволяет свести вычитание векторов к сложению: чтобы из вектора вычесть вектор , можно к вектору прибавить вектор. Произведение обозначают и называют вектором, противоположным вектору . Например, записывают:

Из определения умножения вектора на число следует, что если, то векторы коллинеарны. Следовательно, из равенства получаем, что точки О, А и В лежат на одной прямой.

Теорема 41.2. Если векторы коллинеарны и то существует такое число , что

Теорема 41.3. Если координаты вектора равны , то координаты вектора равны .

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами.

Для любых чисел и для любых векторов выполня­ются равенства:

Эти свойства позволяют преобразовывать выражения, содержа­щие сумму векторов, их разность и произведение вектора на число, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения. Например,

Скалярное произведение векторов

Пусть — два ненулевых и несонаправленных вектора. От произвольной точки О отложим векторы равные соответственно векторам (рис. 42.1). Величину угла АОВ будем называть углом между векторами

Угол между векторами обозначают так: . Очевидно, что если , то = 180° (рис. 42.2).

Если , то считают, что . Если хотя бы один из векторов или нулевой, то также считают, что .

Векторы называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Записывают:

На рисунке 42.3 изображена треугольная призма, основанием которой является правильный треугольник, а боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Имеем:

Определение. Скалярным произведением двух векто­ров называют произведение их модулей и косинуса угла между ними.

Скалярное произведение векторов обозначают так: Имеем:

Если хотя бы один из векторов нулевой, то очевидно, что Скалярное произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть .

Теорема 42.1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Например, для векторов, изображенных на рисунке 42.3, имеем:

Теорема 42.2. Скалярное произведение векторов и можно вычислить по формуле

Теорема 42.3. Косинус угла между ненулевыми векторами можно вычислить по формуле

Некоторые свойства скалярного произведения векторов аналогичны соответствующим свойствам произведения чисел. Например, для любых векторов и любого числа справедливы равенства:

Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовывать выражения, содержащие скалярное произведение векторов, по правилам преобразования алгебраических выражений. Например,

Пример №51

Основанием призмы является равнобедренный треугольник АВС (АВ =АС). Боковое ребро образует равные углы с ребрами АВ и АС (рис. 42.4). Докажите, что .

Решение:

Пусть . С учетом условия можно записать: . Найдем скалярное произведение векто­ров . Имеем:

Запишем:

Поскольку , то рассматриваемое скалярное произ­ведение равно 0. Следовательно,

Напомню:

Расстояние между точками

Расстояние между двумя точками можно найти по формуле

Координаты середины отрезка

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Взаимное расположение двух векторов

Два ненулевых вектора называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Равенство векторов

Два ненулевых вектора называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны.

Координаты вектора

Если точки — соответственно начало и конец вектора , то числа равны соответственно первой, второй и третьей координатам вектора

Модуль вектора

Если вектор имеет координаты

Действия над векторами

Для любых трех точек А , В и С выполняется равенство

Разностью векторов называют такой вектор , сумма которого с вектором равна вектору .

Для любых трех точек О, А и В выполняется равенство . Произведением ненулевого вектора и числа , отличного от нуля, называют такой вектор , что: 1) 2) если если

Если векторы коллинеарны и , то существует такое число , что Произведение обозначают и называют вектором, противоположным вектору .

Скалярным произведением двух векторов называют произведе­ние их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если координаты векторов равны соответственно то:

Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается либо символом ( — точка начала, — точка конца вектора), либо . В математике обычно рассматриваются свободные векторы, то есть векторы, точка приложения которых может быть выбрана произвольно.

2. Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка . Модуль вектора обозначается .

3.Вектор называется единичным, если его длина равна «1»; единичный вектор направления вектора называется ортом вектора и определяется по формуле .

4. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают ; любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

5. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается: . Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и является существование такого числа , что .

6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

7. Вектор называется противоположным вектору , если модули их равны, а направления противоположны.

8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Для решения задач необходимо уметь выполнять линейные операции над вектором в геометрической форме, то есть над вектором, как над
направленным отрезком: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

9. Сложение двух векторов можно выполнить по правилу параллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).

При сложении более двух векторов, лежащих в одной плоскости, используется правило «замыкающей линии многоугольника» (рис. 3).

При сложении трех некомпланарных векторов удобно пользоваться правилом «параллелепипеда» (рис. 4).

10. Действие вычитания двух векторов связано с действием сложения (рис.5).

Разностью двух векторов называется вектор, проведенный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Заметим, что разностью является вектор, служащий второй диагональю параллелограмма.

Разность можно также представить в виде сложения с противоположным вектором (рис. 6).

11. Произведением вектора на число называется вектор , который имеет :

12. Для решения задач полезно знать также следующие законы и свойства:

Примеры задач решаемых с применением векторной алгебры

Задача:

Пусть даны точки

1) Найти координаты векторов

2) Написать разложение этих векторов по базису

3) Найти длины этих векторов

4) Найти скалярное произведение

5) Найти угол между векторами и .

6) Найти разложение вектора по базису и

Решение:

1) Вычислим координаты векторов и (нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала):

, аналогично,

и

2)

3)

4) Для вычисления угла между векторами воспользуемся формулой:

5) Разложить вектор по векторам и — это значит представить вектор в виде линейной комбинации векторов и , т. е.

, где . Имеем , но у равных векторов соответственно равны координаты, следовательно, получим систему, из которой найдем и .

Задача:

а). Даны векторы и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

Три вектора образуют базис, если .

Найдем координаты вектора в базисе и .

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны.

Решим систему методом Крамера:

Ответ: .

Задача:

Даны координаты вершин тетраэдра и . Найти: 1) координаты точки пересечения медиан треугольника ; 2) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно медиане, проведенной из вершины треугольника ; 3) координаты точки, симметричной точке относительно плоскости . Сделать чертёж.

Решение:

1) Найдем координаты т. середины отрезка (рис. 16):

Точка пересечения медиан треугольника делит медиану в отношении , считая от вершины . Найдем координаты точки :

2) Найдем направляющий вектор прямой . Уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно прямой :

3) Найдем уравнение плоскости :

Найдем каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через т. : . Запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде: .

Найдем координаты точки пересечения плоскости и найденной прямой:

Координаты точки симметричной точке относительно плоскости — .

Ответ: 1) координаты точки пересечения медиан уравнение прямой ; 3) координаты симметричном точки .

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Векторная алгебра — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

1°. Любые две точки пространства, если они упорядочены (например, А является первой, а В — второй точкой), определяют отрезок вместе с выбранным направлением (а именно, от A к В). Направленный отрезок называется вектором. Вектор с началом в A и концом в В обозначается или Длина вектора, обозначаемая , АВ или а, называется также модулем вектора. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть одноименные координаты начала: Тогда длина вектора найдется так:

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и направления. В этом случае пишут Равные векторы имеют равные координаты.

Векторы называются противоположными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и противоположные направления:

Вектор называется нулевым, если его модуль равен нулю, и обозначается

2°. Линейными называются действия сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

1.Если начало совмещено с концом то начало совпадает с началом а конец — с концом (рис. 3.1).

2.Если начала векторов совмещены, то начало совпадает с концом , а конец совпадает с концом (рис. 3.2).

3.При умножении вектора на число (скаляр) длина вектора умножается на , а направление сохраняется, если и изменяется на противоположное, если (рис. 3.3).

Вектор называется ортом, или единичным вектором вектора его длина равна единице:

3°. Запись ci — означает, что вектор имеет координаты или разложен по базису — орты осей Ох, Оу и Oz пространственной системы координат Oxyz). При этом

4°. Числа называются направляющими косинусами вектора — углы между вектором и координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно. Единичный вектор — орт вектора . Для любого вектора справедливо:

5°. Линейные операции над векторами, которые заданы своими координатами, определяются так: пусть тогда

Следовательно, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются на число все координаты вектора.

6°. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов , устанавливаемое равенством может быть записано соотношениями из которых следует пропорциональность их координат:

Если один из членов какого-нибудь из этих отношений равен нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометрически это значит, что в этом случае оба вектора перпендикулярны соответствующей координатной оси (например, если то векторы ).

7°. Система векторов называется линейно независимой, если равенство

( — действительные числа) возможно только при Если же равенство (1) возможно при некотором нетривиальном наборе то система этих векторов называется линейно зависимой. Любой вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные.

Примеры с решениями

Пример:

Доказать, что треугольник с вершинами в точках A(1,2), B(2,5), С(3,4) прямоугольный.

Решение:

Построим векторы, совпадающие со сторонами треугольника (см. п. 1°): (рис. 3.4).

Найдем длины сторон:
Нетрудно видеть, что Следовательно, треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой и катетами

Пример:

Проверить, что точки А( 2,-4,3), В(5, —2,9), С( 7,4,6) и D(6,8, -3) являются вершинами трапеции.

Решение:

Составим векторы-стороны с целью обнаружения коллинеарности векторов (в трапеции ВС || AD) (рис. 3.5):

Имеем значит, ABCD — трапеция.

Пример:

Найти орт и направляющие косинусы вектора

Решение:

Имеем В соответствии с п. 3°, 4°

и направляющие косинусы вектора причем

Пример:

Определить точку В, которая является концом вектора , если его начало совпадает с точкой

Решение:

Пусть точка В имеет координаты B(x,y,z) (рис. 3.6). Тогда координа- ^ ты вектора (п. 1°)

Следовательно, Ответ. В(5, -5,3).

Пример:

Вектор разложить по векторам

Решение:

Необходимо найти такие числа х, у, z, что т.е.

Имея в виду, что при сложении векторов складываются их координаты и равные векторы имеют равные координаты, приходим к системе уравнений

из которой

Ответ.

Пример:

Показать, что система векторов линейно независима.

Решение:

В данном случае равенство (1) имеет вид , или Отсюда получаем систему уравнений

из которой следует, что Это подтверждает линейную независимость данных векторов.

Пример:

Показать, что система векторов линейно зависима.

Решение:

Равенство (1) равносильно системе уравнений

Она имеет ненулевое решение, например, Таким образом, Отсюда видно, что т.е. вектор линейно выражается через Очевидно, что можно выразить через — через

Скалярное произведение векторов

1°. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Из (рис. 3.7) имеем ( — проекция вектора на направление вектора ).

Итак,

2°. Если

т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

При этом если же , т. е. поскольку cos 90° = 0 (условие перпендикулярности двух векторов).

3°. Из определения скалярного произведения следует формула для вычисления угла между двумя векторами:

Примеры с решениями

Пример:

Перпендикулярны ли векторы если

Решение:

Условие перпендикулярности векторов (п. 2°) в нашем случае

Ответ. Да.

Пример:

Найти проекцию вектора на направление вектора

Решение:

Имеем (п. 1°). Подставив сюда выражение для из п. 3°, получим

Ответ

Пример:

Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами: и найти внутренние углы треугольника ABC.

Решение:

Имеем (рис. 3.8)

При помощи таблиц находим Для нахождения других углов нам понадобится вектор который является суммой : поэтому

Ответ. 123° 10′, 19°29′, 37°21′.

Пример:

Найти координаты вектора если где и

Решение:

На рис. 3.9 имеем Из условий перпендикулярности векторов (п. 2°) имеем Положим Условие задачи перепишем в виде Рис. 3.9 системы

Векторное произведение векторов

1°. Векторы приведенные к одному началу, образуют правую (левую) тройку при условии: если смотреть из конца вектора на плоскость векторов то кратчайший поворот от совершается против (по) часовой стрелки (рис. 3.10).

2°. Векторным произведением ненулевых векторов называется вектор , обозначаемый удовлетворяющий следующим трем условиям.

1) вектор перпендикулярен плоскости векторов

2) Вектор направлен так, что векторы образуют правую тройку.

3) т.е. его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах (рис. 3.11), таким образом,

Если векторы коллинеарны, то под понимается нулевой вектор:

3°. Если известны координаты векторов-сомножителей то для отыскания координат векторного произведения служит формула

в которой определитель следует разложить по элементам первой строки.

Примеры с решениями

Пример:

Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А(1,2,3), В{3,2,1), С(1,0,1).

Решение:

Найдем координаты векторов Определим координаты векторного произведения (рис. 3.12):

Найдем длину этого вектора, которая равна численно площади параллелограмма S (п. 2°): Площадь треугольника равна

Пример:

Построить параллелограмм на векторах и вычислить его площадь и высоту, опущенную на .

Сделаем чертеж (рис. 3.13). Имеем Отдельно вычисляем векторное произведение:

Следовательно,

Смешанное произведение векторов

1°. Смешанным произведением трех ненулевых векторов называется число, равное скалярному произведению двух векторов, один из которых — векторное произведение , а другой — вектор . Обозначение: Если образуют правую тройку, то Если образуют левую тройку, то

Модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда (рис. 3.14), построенного на этих векторах, Условие равносильно тому, что векторы расположены в одной плоскости, т.е. компланарны. Имеет место равенство

Объем тетраэдра с вершинами в точках можно вычислить по формуле где

2°. Условие равносильно условию линейной независимости , а тогда любой вектор линейно выражается через них, т. е. Для определения х, у, z следует решить соответствующую систему линейных уравнений

Примеры с решениями

Пример:

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

Решение:

Искомый объем Поскольку

Пример:

В точках 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0) и С(1,2,4) находятся вершины пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Решение:

1) Сделаем схематический чертеж (рис. 3.15).

2) Введем векторы .Объем пирамиды ОАВС (тетраэда) равен

3) Площадь грани ABC

4) Объем пирамиды отсюда
Ответ.

Основные понятия векторной алгебры

Прямоугольные декартовы координаты

Координатная ось

Пусть на плоскости или в пространстве задана произвольная прямая L: Ясно, что по этой прямой L сы можем перемещаться в oднoм из двух противоположных направлений. Выбор любого (одного) из этих направлений будем называть ориентацией прямой L.

Оnределение:

Прямая с заданной на ней ориентацией называется осью. На чертеже ориентация оси указывается стрелкой (рис. 1 ) . Фиксируем на оси некоторую точку О и выберем какой-нибудь отрезок а, доложив по определению его длину равной единице (рис. 2).

Пусть М — произвольная точка оси . Поставим этой точке в соответствие число х по следующему прав илу: х равно расстоюiию между точками О и М, взятому со знаком плюс или со знаком минус н зависимости от того, совпадает ли направление движения от точки О к точке М с заданным направлением или противоположно ему (рис. 3).

Оnределение:

Ось с точкой начала отсчета О и масштабными отрезками а называется координатной осью, а число х, вычисляемое по указанному правилу, называется координатой точки М. Обозначение: М (х).

Прямоугольные декартовы координаты на плоскости

Пусть П — произвольная плоскость. Возьмем на ней некоторую точку О и проведем через эту точку взаимно перпендикулярные прямые L ₁ и L _2. Зададим на каждой из nрямых L ₁ и L ₂ ориентацию и выберем единый масштабный отрезок а. Тогда эти прямые nревратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 4).

Назовем одну из координатных осей осью абсцисс (осью Ох), друrую —осью ординат (осью Оу) (рис. 5). Точка О называется началом координат. Пусть М — произвольная точка плоскости П (рис. 6). Проведем через точку М прямые, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную пару чисел (х, у) по следующему nравилу:

Числа х и у называются прямоугольными декартовыми при этом х называется ее абсциссой, а у — ординатой. координатами точки М; Обозначение: М(х, у). Чтобы кратко охарактеризовать описанную конструкцию, говорят, что на плоскости П задана прямоугольная декартова система координат Ох у. Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. На рисунке и в таблице показано, как эти квадранты нумеруются (рис. 7).

Замечание:

Масштабные от резки на координатных осях могут быть и разной длины. В этом случае координатная система называется просто прямоугольной.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Возьмем в пространстве некоторую точку О и проведем через нее три взаимно перпендикулярные прямые L ₁ , L ₂ и L ₃ . Выберем на каждой из nрямых ориентацию и единый масштаб. Прямые L ₁ , L ₂ и L ₃ превратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 8).

Назовем одну из этих осей осью абсцисс (осью Ох), вторую — осью ординат (осью Оу) и третью — осью аппликат (осью Oz) (рис. 9). Точка О называется началом координат. Пусть М — nроизвольная точка (рис. 10). Проведем через точку М nлоскости, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответстnие упорядоченную тройку чисел (х, у, z) по следующему правилу:

Числа х, у и z называются прямоугольными декартовыми координатами точки М; при этом х называется абсциссой точки М, у — ее ординатой, а z —аппликатой. Обозначение: М(х, у, z). Таким образом, в пространстве введена прямоугольная декартова система координат.

Оnределение:

Плоскость, проходящая через любую пару координатных осей, называется координатной плоскостью.

Координатных плоскостей три: Оху, Oyz и Oxz. Эти плоскости разбивают пространство на восемь частей — октантов. 1 .4. Простейшие задачи аналитической геометрии А. Расстояние между точками Пусть М ₁ (х ₁ ) и М ₂ (х ₂ )- две точки на координатной оси. Тогда расстояние d между ними вычисляется по формуле

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху, то расстояние d между любыми двумя точками М ₁ (х ₁ , у₁ и М₂ (х₂ , y₂) вычисляется по следующей формуле

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MM₁M₂ (pиc. l l). По теореме Пифагора

Так как расстояние d между точками M ₁ и M ₂ равно длине отрезка M₁M₂ а |M₁M| = |x ₂ — x ₁|, |MM₂| = |y ₂ — y ₁|, то отсюда получаем, что

Замечая, что

,и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, приходим к требуемой формуле .

Замечание:

Расстояние между точками в пространстве вычисляется по следующей формуле

Задача:

Написать уравнение окружности радиуса т с центром в точке Р(а, b).

Пусть М(х, у) — точка окружности (рис. 12). Это означает, что |M P| = r. Заменим |M P|его выражением

и возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Это есть каноническое уравнение окружности радиуса r с центром в точке Р(а, b) .

Задача:

Пусть F _л (-с, 0) и F _n (c, 0) -фиксированные точки плоскости, а -заданное число (а > с ≥ 0). Найти условие, которому удовлетворяют координаты х и у точки М, обладающей следующим свойством: сумма расстояний от точки М до F_л и до F _n равна 2а.

Вычислим расстояния между точками М и F _л и между точками М и F _n . Имеем

(рис. 13). Отсюда

Перенесем второй корень в правую часть

Возводя обе части в квадрат, после простых преобразований получим

С целью дальнейших упрощений вновь возводим обе части в квадрат. В результате nриходим к равенству

Полагая b ² = а ² — с ² и деля обе части nоследнего соотноwения на а ² b² , nолучаем уравнение эллипса

(см. главу 111) .

Деление отрезка в данном отношении:

Пусть М₁ (х₁ , y₁) и М₂ (х₂ , y₂) — различные точки плоскости. Пусть, далее, точка М(х, у) лежит на отрезке М₁М₂ и делит его в отношении λ ₁ : λ ₂ , т. е.

Требуется выразить координаты х и у этой точки через координаты концов отрезка М₁М₂ и числа λ ₁ и λ ₂ . Предположим сначала, что отрезок М₁М₂ не параллелен оси ординат Оу (рис. 14). Тогда

Так как

то из последних двух соотношений получаем, что

Точка М лежит между точками М₁ и М₂ , поэтому либо х ₁ < х < х ₂ , либо х ₁ > х > х ₂ . В любом из этих случаев разности х₁ — х и х — х ₂ имеют одинаковые знаки. Это позволяет переписать последнее равенство в следующей форме

Отсюда

В случае, когда отрезок М₁М₂ параллелен оси Оу, х ₁ = х ₂ = х. Заметим, что тот же результат дает формула (*), если nоложить в ней х ₁ = х ₂ . Справедливость формулы

доказывается аналогичным рассуждением .

Задача:

Найти координаты центра тяжести М треугольника с вершинами в точках . М₁ ( х ₁ , у ₁ ), М₂ ( х ₂ , у ₂ ) и М₃ ( х ₃ , у ₃ ). Восnользуемся тем, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Точка М делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины (рис. 15). Тем самым, ее координаты х и у можно найти по формулам

где х’ и у’ — координаты второго конца М’ медианы М₃ М’. Так как М’ — середина отрезка М₁М₂, то

Полученные соотношения позволяют выразить координаты z и у центра тяжести М треугольника ∆М₁М₂М₃ через координаты его вершин:

Замечание:

Если точка М(х,у,z ) делит отрезок с концами М₁( х₁, у₁, z₁) и М₂( х₂, у₂, z₂) в отношении λ₁ : λ₂, то ее координаты вычисляются по формулам

Полярные координаты

Предположим, что задана точка О, ось .содержащая точку О, и масштабный отрезок (эталон длины) (рис. 16).

Пусть М — произвольная точка плоскости, отличная от точки О (рис.17). Ее положение на плоскости однозначно определяется двумя числами: расстоянием г между точками О и М и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между положительным лучом оси и лучом ОМ с началом в точке О. Пару (г, φ) называют полярными координатами точки М; г — полярный радиус точки М , φ — полярный угол.

Точка О называется полюсом, — полярной осью.

Ясно, чтоЕсли точка М совпадаете полюсом, то считаем г = 0; полярный угол φ в этом случае не определен.

Таким образом, на плоскости можно задать еще одну координатную систему — полярную.

Прямоугольную декартову систему координат Оху будем называть согласованной с заданной полярной, если начало координат 0(0, 0) — полюс, ось Ох — полярная ось, а ось Оу составляете осью Ох угол, равный. Тогда

(рис.18). В свою очередь

Пример:

Пусть R > О — заданное число. Множество точек плоскости, полярные координаты (г, <р) которых удовлетворяют равенству

r = R,

является окружностью радиуса R с центром в полюсе (рис. 19)

Определители 2-го и 3-го порядков

Пусть имеем четыре числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ (читается — «а-один-один», «а-один-два», «а-два-один», «а-два-два»).

Определителем второго порядка называется число

Обозначение:

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя; пары элементов а₁₁, а₁₂ и а₂₁, а₂₂ образуют строки определителя, а пары элементов а₁₁, а₂₁ и а₁₂, а₂₂ — его столбцы; пара элементов а₁₁, а₂₂ образует главную диагональ определителя, а пара а₁₂, а₂₁ — побочную диагональ.

Тем самым, для вычисления определителя второго порядка нужно из произведения а₁₁, а₂₂ элементов главной диагонали вычесть произведение а₁₂, а₂₁ элементов его побочной диагонали (рис. 20).

Пример:

Вычислить определитель

По правилу (1) имеем

С определителями второго порядка мы встречаемся уже при отыскании решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Решая эту систему методом исключения неизвестных при условии, что

находим

Пусгь теперь даны девять чисел a_ij (i = I, 2, 3; j = I, 2, 3).

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

и вычисляемое по следующему правилу:

Первый индекс i элемента a_ij указывает номер строки, в которой он расположен, а второй индекс j — номер столбца.

Элементы а₁₁, а₂₂, а₃₃ образуют главную диагональ определителя ∆, элементы а₁₃, а₂₂, а₃₁ — побочную диагональ, элементы а₁₃, а₂₂, а₃₁ — побочную диагональ.

Чтобы разобраться с распределением знаков в правой части формулы (2), обратим внимание на следующее: произведение элементов а₁₁, а₂₂, а₃₃ главной диагонали входит в формулу со своим знаком, также как и произведение а₁₁, а₂₂, а₃₃ и а₁₁, а₂₂, а₃₃ элементов, расположенных в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (рис. 21); с другой стороны, произведение а₁₃, а₂₂, а₃₁ элементов побочной диагонали, а также произведения а₁₂, а₂₁, а₃₃ и а₁₁, а₂₃, а₃₂ — с противоположным знаком (рис.22). Такой подход к вычислению определителя третьего порядка называется правилом треугольника.

Пример:

Вычислить определитель

Применяя правило треугольника, находим

Установим некоторые свойства определителей 3-го порядка, легко проверяемые при помощи разложений (1) и (2).

Свойство:

Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его столбцами с теми же номерами

Свойство:

При перестановке любых двух строк (или любых двух столбцов) определителя он изменяет свой знак на противоположный.

Свойство:

Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя можно вынести за знак определителя

Следующие три свойства определителя вытекают из свойств 1-3. Впрочем, в их справедливости можно убедиться и непосредственно, пользуясь формулами (1) и (2).

Свойство:

Если определитель имеет две равные строки (или дна равных столбца), то он равен нулю.

Свойство:

Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство:

Если соответствующие элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Укажем еще один способ вычисления определителя 3-го порядка

Минором M_ij элемента a_ij определителя ∆ называется определитель, получаемый изданного путем вычеркивания элементов i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Например, минором элемента a₂₃ будет определитель

Алгебраическим дополнением элемента A_ij называется минор M_ij — этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма i + j номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент a_ij, есть число четное, и с противоположным знаком, если это число нечетное:

Теорема:

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) на их алгебраические дополнения, так что имеют место следующие равенства

Покажем, например, что

Пользуясь формулой (2), получаем, что

Правило (3) называется разложением определителя по элементам i-й строки, а правило (4) — разложением определителя по элементам j -го столбца.

Пример:

Вычислить определитель

Раскладывая определитель по элементам 1-ой строки, получим

Понятия связанного и свободного векторов

Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемещаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связанными или закрепленными векторами. На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис. 1).

В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым.

Определение:

Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины отрезков AD и ВС совпадают (рис. 2).

Обозначение:

А В = CD.

Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.

Пример:

Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны, а векторы ВС и DA не равны.

Укажем некоторые свойства равных связанных векторов:

1. Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ.
2. Если АВ = CD, той CD = АВ.
3. Если АВ = CD и CD = EF,то АВ = EF (рис.4).

Пусть АВ — заданный связанный вектор и С — произвольная точка. Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы

CD = АВ.

Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис. 5).

Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор однозначно определяется заданием связанного вектора АВ.

Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то мы приходим к понятию скользящего вектора (рис. 6).

Связанные и скользящие векторы широко используются в теоретической механике.

Для обозначен ия свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — а, b, с,… ; нулевой вектор обозначается через 0.

Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой

= а

(рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для которого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от точки А.

Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковую дли ну. Это позволяет ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а. Длина нулевого вектора равна нулю. Если а = b, то |а| = |b; обратное неверно.

Линейные операции над векторами

Сложение векторов

Пусть заданы два вектора а и b. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: = а. От полученной точки А отложим вектор b: = b. Полученный в результате вектор называется суммой векторов а и b и обозначается через a + b (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.

Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство

Если отложить векторы а и 1» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор , идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + b (или b +а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: = а; от полученной точки А отложим вектор b: = b; отточки В — вектор с: = с (рис. 11). По определению суммы — а + b и = (а + b) + с (рис. 12). С другой стороны, АС = b + с и, значит, ОС = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство

(а +b) + с = а + (b + с),

т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так:

а + b + с.

Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов:

Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную.

Пример:

Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины.

По правилу замыкающего ломаную получаем

(рис. 15).

Умножение вектора на число

Определение:

Свободные векторы а и b называются коллинеарными, если определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на совпадающих прямых (рис. 16).

Обозначение: а||b.

Замечание:

Из определения следует, что если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то они коллинеарны.

Если отложить коллинеарные векторы а и b от обшей точки О, = n, = Ь, то точки О, А н В будут лежать на одной прямой. При этом возможны два случая: точки А и В располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными.

Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, λ — вещественное число.

Определение:

Произведением вектора а на число λ называется вектор b такой, что

1. |Ь| = |λ| • |а|;

2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если λ > 0 (соответственно, λ < 0).
Обозначение: b = λа.

При λ = 0 положим λа = 0.

Таким образом, векторы а и Ь = λа коллинеарны по определению. Верной обратное: если векторы а(а ≠ 0) и Ь коллинеарны, то можно найти число А такое, что h = λа.

Укажем основные свойства этой операции умножения вектора на число:

(здесь λ и μ — любые действительные числа, а и Ь — произвольные векторы).
Определение:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а° (читается: а с нуликом), |а°| = 1.
Если а ≠ 0, то вектор

есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).

Координаты и компоненты вектора

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ox, Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор п, начало которого лежит в начале координат О, а конец — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Р, Q и R соответственно. Из рис. 20 видно, что

Векторы коллинеарны соответственно единичным векторам i, j, k,

поэтому найдутся числа х, у, z такие, что

и, следовательно,

а = xi + yj + zk. (2)

Формула (2) называется разложением вектора а по векторам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k.

Векторы i, j, к попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).

Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. е. коэффициенты х, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки А — конца вектора а. Мы пишем в этом случае

а = {х, y,z}.

Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы xi, yj, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.

Из вышеизложенного следует, что два вектора а = { х₁, у₁, z₁ } и b = {х₂, у₂, z₂} равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е.

Радиус-вектором точки М(х,у, z) называется вектор г = xi + yj + zk, идущий из начала координат О в точку М (рис. 21).

Линейные операции над векторами в координатах

Пусть имеем два вектора а = { х₁, у₁, z₁} и b = { х₂, у₂, z₂ },так что а = х₁i, у₁j+ z₁k. b = х₂i+ у₂j+z₂k. На основании правила сложения векторов имеем

или, что то же,

— при сложении векторов их координаты попарно складываются. Аналогично получаем

Далее,

или, что то же,

— при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Пусть а = { х₁, у₁, z₁}, b = { х₂, у₂, z₂ } — коллинеарные векторы, причем b ≠ 0. Тогда а = μb, т.е.

или (3)

Обратно, если выполняются соотношения (3), то а = μb, т. е. векторы a и b коллинеарны.

Таким образом, векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Пример:

Найти координаты вектора начало которого находится в точке М₁ ( х₁, у₁, z₁ ). а конец — в точке M₂ (х₂, у₂, z₂).
Из рис. 22 видно, что = r₂ — r₁ , где r₂, r₁ — радиус-векторы точек М₁ и M₂ соответственно. Поэтому

— координаты вектора ММг равны разностям одноименных координат конечной М2 и начальной М точек этого вектора.

Проекция вектора на ось

Рассмотрим на оси l ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23). Величиной направленного отрезка АВ на оси l называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком «+», если направление отрезка АВ совпадаете направлением оси l, и со знаком «-», если эти направления противоположны.

Рассмотрим теперь произвольный вектор , определяемый связанным вектором АВ. Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось l, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24).

Определение:

Проекцией вектора на ось l называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом.

Обозначение:

Основные свойства проекций

1. Проекция вектора АВ на какую-либо ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25)
2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций векторов на ту же ось.

Например,

(рис. 26).

Скалярное произведение векторов

Пусть имеем два вектора a и b.

Определение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется число, обозначаемое символом (а, b) и определяемое равенством

(1)
где φ, или в иной записи (), есть угол между векторами а и b (рис. 27 а).
Заметив, что |b| cos φ есть проекция вектора b на направление вектора а, можем написать

(рис. 27 б) и, аналогично,’ (2)

(рис. 27 в), т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора. В случае, если один из векторов а или b — нулевой, будем считать, что

(a, b) = 0.

Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и b ортогональны, a ⊥ b.

Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение.

Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения можно сформулировать так:

2. Скалярное произведение коммутативно:

(а, b) = (b, а).

Справедливость утверждения вытекает из формулы (I), если учесть четность функции cos φ: cos(- φ) = cos φ.

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложения:

(а + b, с) = (а, с) + (b, c).

Действительно,

4. Числовой множитель А можно выносить за знак скалярного произведения

(λа, b) = (а, λb) = λ (а, b).

• Действительно, пусть λ > 0. Тогда

поскольку при λ > 0 углы () и (λ) равны (рис.28).

Аналогично рассматривается случай λ < 0. При λ = 0 свойство 4 очевидно.

Замечание:

В общeм случае (а, b)c ≠ a(b, c).

Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k:

Рассмотрим скалярное произведение векторов а и b:

Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим

Учитывая, что

получаем (4)

То есть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Пример:

Найти скалярное произведение векторов n = 4i — 2j + k и b = 6i + 3j + 2k.

(a, b) = 4 • 6 + (-2) • 3 + 1 • 2 = 20.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом:

(а, а) = а².

Применяя формулу (4) при b = а, найдем (5)

С другой стороны,

так что из (5) следует, что (6)

— в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы

Согласно определению

(а, b) = |а| • |b| • cos φ,

где φ — у гол между векторами а и b. Из этой формулы получаем
(7)

(предполагается, что векторы а и b — ненулевые).

Пусть а = { х₁, у₁, z₁}, b = { х₂, у₂, z₂ }. Тогда формула (7) примет следующий вид

Пример:

Найти угол между векторами a = {2, -4,4,} и d = {-3,2,6}. Пользуясь формулой (8), находим

Пусть b = i, T.e. b = {1,0,0}. Тогда для всякого вектора а = { х₁, у₁, z₁} ≠ 0 имеем

или, в координатной записи, (9)

где а есть угол, образованный вектором я с осью Ох. Аналогично получаем формулы

Формулы (9)-(11) определяют направляющие косинусы вектора а, т. е. косинусы углов, образуемых вектором n с осями координат (рис. 29).

Пример:

Найти координаты единичного вектора n°. По условию | n°| = 1. Пусть n° = zi+ yj+ zk. Тогда

Таким образом, координатами единичного вектора являются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат:

Отсюда получаем

Пример:

Пусть единичный вектор n° ортогонален оси z:

(рис. 30). Тогда его координаты г и у соответственно равны

x=cos φ, y = sin φ.

Тем самым,

Векторное произведение векторов

Определение:

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [a, b] (или a х b), такой, что

1) длина вектора [а, b] равна |а| • |Ь| • sin φ, где φ — угол между векторами а и b (рис.31);

2) вектор [а, b] перпендикулярен векторам а и b, т.е. перпендикулярен плоскости этих векторов;

3) вектор [а, Ь] направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от л к Ь виден происходящим против часовой стрелки (рис. 32).

Иными словами, векторы я, b и [a, b] образуют правую тройку векторов, т.е. расположены так, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. В случае, если векторы a и b коллинеарны, будем считать, что [a, b] = 0.

По определению длина векторного произведения (1)

численно равна площади параллелограмма (рис.33), построенного на перемножаемых векторах a и b как на сторонах:

|[a, b]| = .

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда эти векторы коллинеарны (если векторы я и b коллинеарны, то угол между ними равен либо 0, либо тг).

Это легко получить из того, что |[a, b]| = |a| • |b| • sin φ.

Если считать нулевой вектор коллинеарным любому вектору, то условие коллинеарности векторов a и b можно выразить так

2. Векторное произведение антикоммутативно, т. е. всегда (2)

В самом деле, векторы [а, b] и [b, а] имеют одинаковую длину и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны, так как из конца вектора [a, b] кратчайший поворот от a к b будет виден происходящим против часовой стрелки, а из конца вектора [b, a] — почасовой стрелке (рис. 34).

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством по отношению к сложению

4. Числовой множитель λ можно выносить за знак векторного произведения

Векторное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы a и b заданы своими координатами в базисе i,j, k: а = { х₁, у₁, z₁}, b = { х₂, у₂, z₂ }. Пользуясь распределительным свойством векторного произведения, находим (3)

Выпишем векторные произведения координатных ортов (рис. 35):

Поэтому для векторного произведения векторов a и b получаем из формулы (3) следующее выражение (4)

Формулу (4) можно записать в символической, легко запоминающейся форме, если воспользоваться определителем 3-го порядка: (5)

Разлагая этот определитель по элементам 1-й строки, получим (4). Примеры:

1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = i + j- k, b = 2i + j- k.

Искомая площадь = |[а, b]. Поэтому находим

откуда

2. Найти площадь треугольника ОАВ (рис.36).

Ясно, что площадь S∆ треугольника ОАВ равна половине площади S параллелограмма О АС В. Вычисляя векторное произведение [a, b] векторов a= и b = , получаем

Отсюда

Замечание:

Векторное произведение не ассоциативно, т.е. равенство [[а, b], с] = [а, b,с]] в общем случае неверно. Например, при а = i, b = j. c= j имеем

Смешанное произведение векторов

Пусть имеем три вектора а, b и с. Перемножим векторы а и b векторно. В результате получим вектор [а, b). Умножим его скалярно на вектор с:

([a, b], с).

Число ([а, b], с) называется смешанным произведением векторов а, b, с и обозначается символом (а, b, с).

Геометрический смысл смешанного произведения

Отложим векторы а, b и с от общей точки О (рис. 37). Если все четыре точки О, А, В, С лежат в одной плоскости (векторы a, b и с называются в этом случае компланарными), то смешанное произведение ([а, b], с) = 0. Это следует из того, что вектор [а, b] перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b, а значит, и вектору с.

Если же точки О, А, В, С не лежат в одной плоскости (векторы a, b и с некомпланарны), построим на ребрах OA, OB и ОС параллелепипед (рис. 38 а). По определению векторного произведения имеем

где — площадь параллелограмма OADB, а с — единичный вектор, перпендикулярный векторам а и b и такой, что тройка а, b, с — правая, т. е. векторы a, b и с расположены соответственно как большой, указательный и средний пальцы правой руки (рис. 38 6).

Умножая обе части последнего равенства справа скалярно на вектор с, получаем, что

Число ргe с равно высоте h построенного параллелепипеда, взятого со знаком « + », если угол ip между векторами с и с острый (тройка а, b, с — правая), и со знаком «-», если угол — тупой (тройка а, b, с — левая), так что

Тем самым, смешанное произведение векторов a, b и с равно объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, если тройка а, b, с — правая, и -V, если тройка а, b, с — левая.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, можно заключить, что, перемножая те же векторы a, b и с в любом другом порядке, мы всегда будем О получать либо +V, либо -V. Знак произведения будет зависеть лишь от того, какую тройку образуют перемножаемые векторы — правую или левую. Если векторы а, b, с образуют правую тройку, то правыми будут также тройки b, с, а и с, а, b. В то же время все три тройки b, а, с; а, с, b и с, b, а — левые. Тем самым,

(а, b, с) = (b, с, а) = (с, a,b) = -(b, а, с) = -(а, с, b) = -(с, b, а).

Еще раз подчеркнем, что смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы а, b, с компланарны:

{а, b, с компланарны} <=> (а, b, с) = 0.

Смешанное произведение в координатах

Пусть векторы а, b, с заданы своими координатами в базисе i, j, k:

Найдем выражение для их смешанного произведения (а, b, с). Имеем

Откуда

Итак,

— смешанное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе i, j, k, равно определителю третьего порядка, строки которого составлены соответственно из координат первого, второго и третьего из перемножаемых векторов.

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов а = { х₁, у₁, z₁}, b = { х₂, у₂, z₂ }, c = { х₃, у₃, z₃} запишется в следующем виде

Пример:

Проверить, компланарны ли векторы

a = {7, 4,-6}, b = {2, 1,1}, с ={19, 11,17}.

Рассматриваемые векторы будут компланарны или некомпланарны в зависимости от того, будет равен нулю или нет определитель

Разлагая его по элементам первой строки, получим

Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение [а, [b, с]] представляет собой вектор, перпендикулярный к векторам а и [b, с]. Поэтому он лежит в плоскости векторов b и с и может быть разложен по этим векторам. Можно показать, что справедлива формула

[а, [b, с]] = b(а, с) — с(а, b).

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Прямоугольная система координат

Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.

Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)

Координаты точки

Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).

Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).

«Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора» 👇

Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.

Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения

Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $overline{i}$, по направлению оси $Oy$ — единичный вектор $overline{j}$, а единичный вектор $overline{k}$ нужно направлять по оси $Oz$.

Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).

Так как векторы $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид

$overline{δ}=moverline{i}+noverline{j}+loverline{k}$ (1)

где $n,m,l∈R$.

Линейные операции над векторами

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

• Нахождение координат вектора

• Примеры задач

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

Для плоских задач	AB = {Bx — Ax; By — Ay}
Для трехмерных задач	AB = {Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az}
Для n-мерных векторов	AB = {B1 — A1; B2 — A2; … Bn — An}

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB_x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB_y + A_y = 14 + 5 = 19.

Таким образом, B = (8; 19).