Как найти координаты проекции точки на прямую

Проекция точки на прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀) и прямая L:

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить прямую L₁, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение прямых L и L₁(точка M₁)

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B) нормальный вектор прямой L₁.

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L₁ была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L₁, поэтому в качестве нормального вектора прямой L₁ достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L₁, представленной уравнением (2) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения прямых L и L₁, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M₁(x₁, y₁).

Найдем точку пересечения прямых L и L₁ другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

Подставим значения x и y в (4):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L₁(4). Следовательно, подставляя значение t’ в (5) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’.

Пример 1. Найти проекцию точки M₀(1, 3) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (6) имеет вид:

Т.е. m=4, p=5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x’=2, y’=-3. Подставим значения m, p, x₀, y₀, x’, y’ в (5′):

Подставляя значение t в (5), получим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(1, 3) на прямую (6) является точка:

2. Пусть в трехмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀, z₀) и прямая L:

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (7)(Рис.2).

Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить плоскость α, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M₁)

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (8) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (7):

Подставим значения x и y в (9):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (9). Следовательно, подставляя значение t’ в (10) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’, z₁=lt’+z’.

Пример 2. Найти проекцию точки M₀(3, −1, −2) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (11) имеет вид:

Т.е. m=2, p=3, l=−4. Из уравнения прямой (11) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(2, 1, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (11) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=2, y’=1, z’=1. Подставим значения m, p, l x₀, y₀, z₀ x’, y’, z’ в (10′):

Подставляя значение t=t’ в (10), получим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(3, −1, −2) на прямую (11) является точка:

Проекция точки на прямую

Пусть
необходимо спроектировать точку

на прямую

Ах+Ву+С=0. проекцией точки на прямую
является основание перпендикуляра,
опущенного из точки на прямую. Нормалью
к данной прямой является вектор
.
Составим уравнение проецирующей прямой.
Она проходит через точку

и параллельна вектору
.
Подставив координаты точки и вектора
в каноническое уравнение прямой
,
получим:.
Теперь необходимо найти координаты
точки пересечения данной прямой и
проектирующей, для чего объединим их в
систему:решение
этой системы есть координаты точки,
являющейся проекцией точки

на прямую

Пример:
Даны вершины треугольника
:
;
;.
Найти:

1)
уравнение высоты, опущенной из вершины
;

2)
точку пересечения высоты

и стороны
;

3)
точку пересечения медиан треугольника
.

Решение:
1) Составим уравнение высоты
,
проходящей через точку
перпендикулярно вектору
:

;

,

.

Ответ:
.

2)
Составим уравнение стороны
:

,

,

,

.

Найдем
точку пересечения высоты

и стороны
.Обозначим
эту точку N,
она является проекцией точки А на
сторону ВС. Для нахождения точки N,
решим следующую систему уравнений:

Ответ:
N.

3)
Найдем середину стороны
:

,

,

,

.

Составим
уравнение прямой проходящей через точку

и точку М:

,

,

,

.

Найдем
середину стороны
:

,

.

,

.

Составим
уравнение прямой проходящей через точку

и точку N:

,

,

,

.

Найдем точку
О пересечения найденных медиан:

Ответ:
О.

Плоскость Общее уравнение плоскости

Алгебраическое
уравнение первой степени в пространстве
определяет плоскость. Общее уравнение
плоскости можно записать в виде:

Ax+
By+
Cz+
D=0

Любую плоскость
можно представить в виде такого уравнение
единственным способом. с точностью до
коэффициента (т. е. при умножении уравнения
на число, полученное уравнение задает
ту же плоскость ) Плоскость в пространстве
можно задать различными способами,
рассмотрим некоторые из них:

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Опр.:
Нормалью к плоскости называется вектор,
перпендикулярный к данной плоскости.

Пусть
необходимо составить уравнение плоскости,
проходящей через заданную точку
и
перпендикулярной вектору
.

Предположим,
что такая плоскость построена, возьмем
на ней произвольную точку М(x,y,z)
. Составим вектор
.
Вектор

перпендикулярен вектору
,
следовательно, их скалярное произведение
равно нулю:
,
это условие имеет вид::

Данный
способ задания плоскости называется
плоскость по точке М(
и нормали
.
Имея уравнение плоскости в общем виде:
Ax+
By+
Cz+
D=0,
можно выписать нормаль к плоскости
.

Пример:
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку А(1,2,-3), параллельно плоскости
3x-4y+5z-2=0

Решение:
Выпишем нормаль к плоскости, т.е. вектор
перпендикулярный плоскости:
.
Так как необходимо построить плоскость
параллельную данной, то можно использовать
вектор

в качестве нормали к искомой плоскости.
Составляем уравнение плоскости по точке
А и нормали
:

после преобразования получим:
3x-4y+5z+20=0

Ответ:
3x-4y+5z+20=0.

Соседние файлы в предмете Высшая математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти проекцию точки на прямую

Для решения сложных геометрических задач часто оказывается достаточно знания алгоритмов простых операций. Так иногда оказывается достаточно просто найти проекцию точки на прямую и сделать несколько дополнительных построений, чтобы нерешаемая на первый взгляд задача превратилась в доступную.

Инструкция

Научитесь пользовать координатной плоскостью. Основные затруднения могут возникнуть с отрицательными числами. Запомните, что всего имеется четыре квадранта: в первом расположены положительные значения, во втором – положительные только по оси абсцисс, в третьем – отрицательные по обеим осям, а в четвертом отрицательные сохраняются только на оси абсцисс. Вы можете произвольно задавать направления координатных осей, но в математике по традиции принято, чтобы ось ординат была направлена вверх (соответственно, внизу расположены отрицательные числа), а ось абсцисс шла слева направо (равно как и смена отрицательных чисел через ноль на положительные).

Зафиксируйте данные задачи. Вам нужно знать координаты точки, а также уравнение прямой, проекцию точки на которую необходимо найти. Нарисуйте чертеж. Начинайте с изображения координатной плоскости, обозначения центра координат, осей и их направления, а также единичных отрезков. Выполнив это действие, нанесите на полученную плоскость данную вам точку, исходя из знания о ее координатах, и проведите заданную прямую. Если вы хотите быть математически грамотным, ваша прямая должна занимать всю координатную плоскость, не выходя за ее пределы, но и не завершаться до их достижения.

Опустите перпендикуляр из данной точки на прямую. Найти проекцию точки означает найти координаты точки пересечения. Для этого проведите через исходную точку и точку пересечения прямую. Вы получите две перпендикулярных прямых. Воспользуйтесь теоремой о том, что у двух перпендикулярных прямых отношение угловых коэффициентов есть минус единица.

Исходя из этого, составьте систему уравнений. Координаты искомой точки – (А, В), данной – (А1, В1), уравнение прямой – Сх+Е, уравнение проведенной прямой – (-С)х+К, где К пока неизвестно. Первое уравнение: АС+Е=В. Оно верно, так как искомая точка лежит на данной прямой. Второе уравнение: А1(-С)+К=В1. И третье уравнение: А(-С)+К=В. Имея три линейных уравнения с тремя неизвестными (– А, В, К), вы легко решите поставленную задачу.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Проекция точки на прямую — это точка пересечения перпендикуляра из точки к прямой и прямой.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

— радиус-вектор проекции точки;

— радиус-вектор точки;

— радиус-вектор точки прямой;

— направляющий вектор прямой;

— уравнение прямой;

— отклонение точки прямой от перпендикулярной к прямой плоскости, проходящей через точку.

Формулы:[править]

Векторная форма:

Координатная форма:

• Заметим, что формулы проекции точки на прямую аналогичны формулам основания перпендикуляра из точки к прямой.

Пример[править]

Даны точка и прямая:
и .

Найти проекцию точки на прямую.

Решение.

Другие формулы:[править]

• Проекция вектора на вектор;
• Проекция точки на прямую;
• Проекция точки на плоскость.

Ссылки[править]

• Участник:Logic-samara

Содержание:

Общее уравнение прямой:

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами х и у по этой плоскости порождает линию.

Определение: Любое соотношение

Определение: Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных х и у или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример:

а) 2х + Зу-5 = 0 — линия первого порядка; точка A(l; 1) удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, В(1; 0) — ему не удовлетворяет;

б)

в) — линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x; у)=0, называется линией, а само уравнение F(x; у) = 0 — уравнением линии.

Определение: Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) С = 0; — прямая проходит начало системы координат (Рис. 20):

Рис. 20. Прямая, проходящая через начало координат.

б) 5 = 0; Ах+С=0 — прямая проходит параллельно оси ординат Оу (Рис. 21):

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно оси ординат Оу.

в) А = 0; Ву+С=0 — прямая проходит параллельно оси абсцисс Ох (Рис. 22):

Рис. 22. Прямая, проходящая параллельно оси абсцисс Ох.

Виды уравнений прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой в котором коэффициент Разрешим общее уравнение прямой относительно переменной Обозначим через тогда уравнение примет вид которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров При х = 0, у = b, т.е. параметр b показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок к (Рис. 23, для определенности принято, что ):

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Из рисунка видно, что т.е. угловой коэффициент k определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Ох.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в общем уравнении прямой параметр Выполним следующие преобразования

Обозначим через тогда последнее равенство перепишется в виде . которое называется уравнением прямой в отрезках. Выясним геометрический смысл величин m и n (Рис. 24). При х=0, у=n, т.е. параметр n показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета.

Рис. 24. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

При у=о, х=m, т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок m. Следовательно, прямая проходит через 2 точки:

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть дано общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, которая проходит через две известные точки Так как точки лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, т.е. выполняются равенства Вычтем первое из этих равенств из общего уравнения прямой и из второго равенства:

Пусть тогда полученные равенства можно преобразовать к виду Отсюда находим, что или Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору (каноническое уравнение прямой). Пусть прямая проходит через заданную точку параллельно вектору

Определение: Вектор называется направляющим вектором прямой. Возьмем на прямой произвольную точку и создадим вектор (Рис. 25):

Рис. 25. Прямая, проходящая через данную точку параллельно направляющему вектору.

В силу того, что вектора коллинеарны, то воспользуемся первым условием коллинеарности: отношения соответствующих проекций равны между собой

Определение: Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру t, то получим параметрическое уравнение прямой

Основные задачи о прямой на плоскости

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями Требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения М(х; у), необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки М(х; у) должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26):

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что Вычислим

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой Из полученной формулы видно:

Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением

Пример:

Определить угол между прямыми

Решение:

В силу того, что что прямые параллельны, следовательно,

Пример:

Выяснить взаимное расположение прямых

Решение:

Так как угловые коэффициенты и связаны между собой соотношением то прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки на прямую Если прямая задана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой определяется формулой:

Если прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Выберем на этой прямой начальную точку, обозначаемую буквой О, определим положительное направление, выберем некоторый отрезок в качестве линейной единицы, благодаря чему прямая станет осью. После этого условимся называть координатой любой точки М на этой оси величину отрезка . Точку О будем называть началом координат; ее собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты на прямой.

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, а какая — второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается через О, а сами оси — координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс и обозначают через Ох, а вторую — осью ординат, обозначаемую Оу.

Пусть М- произвольная точка плоскости. Спроектируем точку M на координатные оси, т.е., проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно .

Координатами точки М в заданной системе называются числа , обозначающие величину отрезка оси абсцисс и величину отрезка оси ординат, где х — первая координата, а у- вторая координата точки М (рис.7.1). Символически это записывается в виде М(х, у).

Если задана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у — М(х, у). И обратно, для любых х и у на плоскости найдется одна вполне определенная точка с абсциссой х и ординатой у.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2;3).

Две координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части, называемыми координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

Декартова прямоугольная система координат является наиболее употребительной. Однако, в отдельных случаях могут оказаться более удобными или косоугольная декартова или полярная системы координат.

Косоугольная система координат от прямоугольной декартовой системы координат отличается только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA, называемого полярной осью, масштаба для измерения длин и направления- вращения в плоскости, считаемого положительным (рис. 7.3).

Каждая точка М в полярной системе координат задается парой координат .

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами:

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точкамии . Числа могут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 7.4 все числа выбраны положительными. Проведем через точку горизонтальную прямую, а через точку — вертикальную. Пусть R -точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

или (7.1.1)

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками.

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки . Например, если точка расположена ниже точки и справа от нес, как на рис. 7.5, то отрезок можно считать равныму .

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как . Заметим, что, так как величина в этом случае отрицательна, то разность больше, чем

Если обозначить через угол, образованный положительным направлением оси абсцисс и отрезком , то формулы

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

позволяющие определить полярный угол отрезка по координатам его конца и начала. Кроме того, если u — произвольная ось, а — угол наклона отрезка к этой оси, то проекция отрезка на ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, из которых одна считается первой, другая — второй. Обозначим их в заданном порядке через . Проведем через данные точки ось u. Пусть М- еще одна точка оси и, расположенная на ней как угодно, но не совпадает с точкой .

Определение 7.1.1. Число определяемое равенством где — величины направленных отрезков оси u, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок .

Число не зависит от направления оси и от масштаба, т.к. при изменении этих параметров будут одновременно меняться величины . Кроме того, будет положительно, если Мнаходится между точками если же М вне отрезка , то -отрицательное.

Задача о делении отрезка в данном отношении формулируется следующим образом:

Считая известными координаты двух точек и и отношение в котором некоторая неизвестная точка М делит отрезок , найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка М(х, у) делит направленный отрезок в отношении то координаты этой точки выражаются формулами:

Доказательство:

Спроектируем точки на ось Ох и обозначим их проекции соответственно через (рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой), имеем:

Подставив в (7.1.4) величины отрезков и

, получим

Разрешая это уравнение относительно х, находим:

Вторая формула (7.1.3) получается аналогично.

Если — две произвольные точки и М(х,y) —

середина отрезка , то . Эти формулы

получаются из (7.1.3) при .

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая прямая l.

Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется её направляющим вектором. Всякие два направляющих вектора одной и той же прямой коллинеарны между собой, т.е.

, .

Для всех направляющих векторов данной прямой, не параллельной оси ординат, отношение ординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

Действительно, если — два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т.е.

их координаты пропорциональны: а значит

Угловой коэффициент прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и заданной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3,1. Всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть В = (О,b}- точка пересечения прямой L с осью у, а Р = (х,у) — любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку В прямую, параллельную оси х, а через точку Р — прямую, параллельную оси у; проведем также прямую х = 1. Пусть k -угловой коэффициент прямой L (см. рис. 7.7). Случай к =0 не исключается.

Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то или после упрощения

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, нетрудно показать, что если х и у связаны уравнением (7.2.1), то точка Р принадлежит прямой L, проходящей через точку (0;b) и имеющей угловой коэффициент k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

(не вертикальная прямая) , (7.2.2), х = а (вертикальная прямая) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени ио х и у можно привести к виду (7.2.2) либо (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что задано произвольное уравнение первой степени:

Ах+Ву+С=0. (7.2.4)

Если , мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

т.е. в виде (7.2.2). При В = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

А х = —С,

или , т.е. к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени с неизвестными х и у, и обратно, каждое уравнение первой степени с неизвестными х и v определяет некоторую прямую.

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как , то вектор является направляющим вектором прямой (7.2.4). Вектор перпендикулярен прямой (7.2.4) и называется нормальным вектором. Возможны частные случаи:

1. или у =b, где , -это уравнсние прямой, параллельной оси Ох.

2. или х = а, где , — это уравнение прямой, параллельной оси Оу.

3. — это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Ву-0 или у = 0 — это уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0;С=0; Ах=0 или х = 0 — это уравнение оси ординат Оу.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости относительно системы координат можно задать различными способами. Например, прямая однозначно определяется: двумя различными точками; точкой и направляющим вектором; отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат и др. Однако, обязательно, должна быть точка, лежащая на этой прямой.

Пусть в уравнении (7.2.4) ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Перенесем свободные члены вправо и разделим на (-С). Получим уравнение прямой в отрезках:

где -длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая l).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выберем на этой прямой какие-нибудь точки . Тогда вектор является направляющим вектором этой прямой l.

Геометрическое место концов всевозможных векторов вида где пробегает все вещественные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). Записав векторное уравнение (7.3.2) в координатной форме и воспользовавшись определением равенства векторов, получим параметрические уравнения прямой:

где — координаты направляющего вектора.

Система (7.3.3) равносильна уравнению

называемым каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

которое называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки

Если абсциссы точек одинаковы, т. е. то прямая параллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид: х=а.

Если ординаты точек одинаковы, т. е. , то прямая параллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид: у=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать к виду:

или

где

угловой коэффициент прямой.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент k.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

Решение:

I способ. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставив известные координаты точек , получим искомое уравнение прямой:

II способ. Зная координаты точек по формуле (7.3.7) можно найти угловой коэффициент искомой прямой:

Тогда, воспользовавшись уравнением (7.3.6), найдём искомое уравнение прямой: .

Заметим, что составленное уравнение можно записать как уравнение прямой в отрезках, разделив все члены уравнения

.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые общими уравнениями . Угол между ними можно вычислить как угол между направляющими векторами

этих прямых:

Если прямые параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны, а это значит, что их соответствующих координаты пропорциональны:

И обратно, если координаты при неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных х и у пропорциональны.

Например, прямые параллельны,

т. к..

Если прямые перпендикулярны , то их нормальные векторы тоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: , или в координатной форме

Справедливо и обратное утверждение: если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то прямые /, и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных х и у удовлетворяют равенству .

Например, прямые перпендикулярны, так как

.

Если прямые заданы уравнениями вида и , то угол между ними находится по формуле:

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

(7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

(7.4.6)

Пример:

Найти проекцию точки Р (2, 3) на прямую, проходящую через точки А (4, 3) и В (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ — это точка пересечения перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Вначале составим уравнение прямой АВ. Воспользовавшись уравнением (7.3.5), последовательно получаем:

Для того, чтобы составить уравнение перпендикуляра, проведенного из точки Р на прямую АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определим из условия перпендикулярности двух прямых, т. е. из формулы (7.4.6). Поскольку ,то из равенства находим угловой коэффициент перпендикуляра . Подставляя найденное значение углового коэффициента и координаты точки Р (2, 3) в уравнение (7.3.6), получаем:

.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

найдём координаты проекции точки Р на прямую АВ: х=3 у=2, т.е.

Пример:

Издержки на производство шести автомобилей составляют 1000 млн. ден. ед., а на производство двадцати автомобилей- 15000 млн. ден. ед. Определить издержки на производство 22 автомобилей при условии, что функция К(х) издержек производства линейна, т.е. имеет вид у = ах + b .

Решение:

Обозначим через х количество автомобилей, а через y- издержки производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек- А(6; 1000) и В(20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах +b. Воспользовавшись уравнением (7.3.6 ), найдём искомое уравнение:

Подставив в найденную функцию х = 22, определим издержки на производство 22 автомобилей:

(млн. дсн. ед)

Пример:

Фирма продаёт свои изделия по 10 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление одного изделия составляют 6 ден. ед. Непроизводственные расходы фирмы равны 300 ден. ед. в год. Определить годовой выпуск продукции, необходимой для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначим через х объём произведенной продукции. Тогда доход фирмы равен D = 10x. Затраты на производство определяются уравнением: . Найдём точку безубыточности. т.е. значение x, при котором доход фирмы равен затратам: D=K, т.е. 10x = 6x + 300. Решив это уравнение, получим значение объёма производства, при котором фирма работает без убытка: х=75. Следовательно, если объём производства то фирма будет работать с прибылью.

Прямая линия в пространстве

Системы координат в пространстве

В трехмерном пространстве система координат определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось единицей измерения длин, можно задать тремя упорядоченными числами (называемыми координатами) положение точки в пространстве. Например, точка Р задается упорядоченной тройкой чисел Р( 1,2,3).

Пусть задано пространство. Важнейшим понятием пространственной аналитической геометрии является понятие уравнения поверхности. Всякая же линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Мы остановимся на изучении поверхности первого порядка — плоскости и прямой линии.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо сё фиксированной точки и вектора параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая L проходит через точку , лежащую на прямой, параллельно вектору (см. рис. 7.9).

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) на этой прямой. Из рисунка видно, что вектор параллельный (коллинеарный) вектору . Поскольку векторы коллинеарны, то найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки М на прямой.

Уравнение (7.5.1) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой. Это уравнение можно записать в виде: (см. рис. 7.9). Запишем это уравнение в координатной форме. Подставив координаты векторов в уравнение (7.5.1) и воспользовавшись определением алгебраических операций над векторами и равенством векторов, получим уравнения:

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты х, у и z и точка М перемещается по прямой.

Разрешив уравнения (7.5.2) относительно t

и приравняв найденные значенияt получим канонические уравнения прямой:

Если прямая L в пространстве задается двумя своими точками ,то вектор

можно взять в качестве направляющего вектора и тогда уравнения (7.5.3) преобразуются в уравнения

где . (7.5.4)- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пример:

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, перпендикулярно плоскости Oxz.

Решение:

В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: • Подставив значения координат точки и значения координат направляющего вектора в уравнения (7.5.2), получаем: .

Пример:

Записать уравнения прямой в параметрическом виде.

Обозначим. Тогда ,

, откуда следует, что .

Замечание. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например, оси Ох. Тогда направляющий вектор

прямой перпендикулярный оси Ох, имеет координаты (о; n; р) и параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае формально можно записывать канонические уравнения прямой в виде . Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, канонические уравнения

определяют прямую перпендикулярную осям О х и О у или параллельную оси О z.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору

Решение:

Подставив координаты точки , и вектора в (7.5.2) и (7.5.3), находим искомые канонические уравнения:

.и параметрические уравнения:

Пример:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, -1,4) параллельно

а) прямой ;

б) оси Ох;

в) оси Оу;

г) оси Oz.

Решение:

а) Поскольку направляющий вектор заданной прямой

является направляющим вектором искомой прямой, то

подставив координаты точки М(2; -1; 4) и вектора в (7.5.3) получим уравнение искомой прямой:

б) Поскольку единичный вектор оси О х: будет направляющим вектором искомой прямой, то подставив в уравнение

(7.5.3) координаты точки М(2; -1; 4 ) и вектора , получаем:

в) В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: . В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем или .

г) Единичный вектор оси Oz : будет направляющим вектором искомой прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Решение:

Подставив координаты точек в уравнение

(7.5.4), получим:

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и

, косинус которого находится по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны соответствующие координаты направляющих векторов:

т.е. параллельна тогда и только тогда, когда параллелен

.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов равна нулю:

Пример:

Найти угол между прямыми и

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), в которую подставим координаты направляющих векторов и

. Тогда , откуда или.

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х параллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда наименьший неотрицательный угол , образованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси М0х’ или совпадающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.

Очевидно, этот угол не зависит от выбора точки М0. Если прямая PQ пересекает ось Ох в некоторой точке А (а, 0), то ф есть обычный угол между направленными прямыми. Если PQ || Ох, то, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 прямой и угол ф («направление прямой») однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

1) Пусть сначала . Тогда прямая PQ пересекает ось Оу в некоторой точке В (0, b), которую можно принять за начальную.

Ордината у = NM текущей точки М (х, у) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой коэффициент tg ф = k9 из рис. 23 будем иметь

при х > 0.

Таким образом,

при х > 0.

Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой также и при х < 0.

Мы доказали, что координаты любой точки М (х, у) прямой PQ удовлетворяют уравнению (3). Легко убедиться в обратном: если координаты какой-нибудь точки Ml удовлетворяют уравнению (3), то точка Мх обязательно лежит на прямой PQ. Следовательно, уравнение (3) представляет собой уравнение прямой линии PQ (так называемое уравнение прямой с угловым коэффициентом). Постоянные величины (параметры) имеют следующие значения: b = ОБ — начальный отрезок (точнее, начальная ордината), k = tg ф — угловой коэффициент. Заметим, что если точка В расположена выше оси Ох, то , а если ниже, то b < 0. При 6 = 0 прямая проходит через начало координат и уравнение такой прямой есть

При k = 0 получаем уравнение прямой, параллельной оси Ох:

2) Если , то с помощью аналогичных рассуждений мы также приходим к уравнению (3).

3) Если , т. е. прямая АВ перпендикулярна оси Ох, то ее уравнение есть

где а — абсцисса следа этой прямой на оси Ох (т. е. ее точки пересечения с осью Ох).

Замечание. Как частные случаи получаем уравнения осей координат:

Прямую легко построить по ее уравнению.

Пример:

Построить прямую, заданную уравнением

Решение:

Известно, что две точки вполне определяют положение прямой. Поэтому достаточно найти две точки, через которые проходит наша прямая. В данном уравнении b = -4. Следовательно, прямая проходит через точку В (0, -4). С другой стороны, координаты х и у любой точки, лежащей на нашей прямой, связаны заданным уравнением. Поэтому, задав абсциссу некоторой точки, лежащей на прямой, мы из уравнения прямой найдем ее ординату. Положим, например, х = 2; из уравнения прямой получим у = -1. Таким образом, наша прямая проходит через точки А (2, -1) и В (0, -4). Построив эти точки по их координатам и проведя через них прямую (рис. 24), мы получим искомую прямую.

Из предыдущего видно, что для произвольной прямой на плоскости можно составить ее уравнение; обратно, зная уравнение некоторой прямой, можно построить эту прямую. Таким образом, уравнение прямой полностью характеризует положение ее на плоскости.

Из формул (3) и (5) видно, что уравнение прямой есть уравнение первой степени относительно текущих координат х и у. Справедливо и обратное утверждение.

Теорема: Всякое невырожденное уравнение первой степени

представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху (общее уравнение прямой линии).

Доказательство: 1) Пусть сначала В ^ 0. Тогда уравнение (7) можно представить в виде

Сравнивая с (3), мы получим, что это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом k = -А/В и начальной ординатой

2) Пусть теперь В = 0; тогда А 0. Имеем Ах + С = 0 и

х = -С/А.

Уравнение (9) представляет собой уравнение прямой, параллельной оси Оу и отсекающей на оси Ох отрезок a = -С/А.

Так как все возможные случаи исчерпаны, то теорема доказана.

• Заказать решение задач по высшей математике

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые (не параллельные оси Оу)у заданные их уравнениями с угловыми коэффициентами (рис. 25):

Требуется определить угол 9 между ними. Точнее, под углом 0 мы будем понимать наименьший угол, отсчитываемый против хода часовой стрелки, на который вторая прямая повернута относительно первой (0 < 0 < я). Этот угол 9 (рис. 25) равен углу АСВ треугольника ABC. Далее, из элементарной геометрии известно, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных. Поэтому ф’ = ф + 0, или

0 = ф’ — ф;

отсюда на основании известной формулы тригонометрии получаем

Заменяя tg ф и tg ф’ соответственно на к и k окончательно будем иметь

Формула (3) дает выражение тангенса угла между двумя прямыми через угловые коэффициенты этих прямых.

Выведем теперь условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Если прямые (1) и (2) параллельны, то ф’ = ф и, следовательно,

k’ = к. (4)

Обратно, если выполнено условие (4), то, учитывая, что ф’ и ф заключаются в пределах от 0 до я, получаем

Ф’ — ф, (5)

и, следовательно, рассматриваемые прямые или параллельны, или сливаются (параллельность в широком смысле).

Правило 1. Прямые на плоскости параллельны (в широком смысле) тогда и только тогдау когда их угловые коэффициенты равны между собой.

Если прямые перпендикулярны, то и, следовательно,

отсюда 1 + kk’ = 0 и

k’ = -l/k.

Справедливо также и обратное утверждение.

Правило 2. Две прямые на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пусть теперь уравнения прямых заданы в общем виде:

Ах + By + С = 0 (7)

и

А’х + В’у + С’ = 0. (8)

Отсюда, предполагая, что , получаем

Следовательно, угловые коэффициенты этих прямых есть

Из формулы (3), производя несложные выкладки, находим тангенс угла между этими прямыми:

Отсюда получаем:

1) условие параллельности прямых (0 = 0)

2) условие перпендикулярности прямых

Отметим, в частности, что прямые

взаимно перпендикулярны.

Для прямых, параллельных осям Ох и Оу, условно полагают и

Пример:

Определить угол между прямыми у = х и у = 1,001 + 10. Здесь угловые коэффициенты прямых есть k = 1 и k’ = 1,001.

Решение:

По формуле (3) получаем

Так как для малых углов 0 справедливо приближенное равенство , то

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая РМ образует угол ф с положительным направлением оси Ох (рис. 26) и проходит через заданную точку Р . Выведем уравнение этой прямой, предполагая сначала, что прямая не параллельна оси Оу.

В этом случае, как мы видели, уравнение прямой имеет вид

у = kx + b, (1)

где k = tg ф — угловой коэффициент прямой, а Ь — длина отрезка, отсекаемого нашей прямой на оси Оу. Так как точка Р лежит на прямой РМ, то ее координаты хг и ух должны удовлетворять уравнению (1), т. е.

ух = kxt+ b. (2)

Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим

Это и есть уравнение искомой прямой.

Если прямая, проходящая через точку Р параллельна оси Оу, то ее уравнение, очевидно, будет

Если k — заданное число, то уравнение (3) представляет вполне определенную прямую. Если же k — переменный параметр, то это уравнение определит пучок прямых у проходящих через точку Р (рис. 27); при этом k называется параметром пучка.

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р (3, 2) и параллельной прямой:

Решение:

Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то ее угловой коэффициент k = 4/3. Следовательно, на основании формулы (3) уравнение этой прямой имеет вид , или

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р (4, 5) и перпендикулярной к прямой:

Решение:

Так как искомая прямая перпендикулярна прямой с угловым коэффициентом k = -2/3, то ее угловой коэффициент k’ = -l/k = 3/2. Следовательно, на основании формулы (3) уравнение этой прямой таково:

, или окончательно

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Известно, что через две не совпадающие между собой точки можно провести прямую, и притом только одну. Отыщем уравнение прямой, проходящей через точки —

Предположим сначала, что , т. е. прямая PQ не параллельна оси Оу, Поскольку прямая PQ проходит через точку то ее уравнение имеет вид 

где k — неизвестный нам угловой коэффициент этой прямой. Однако так как наша прямая проходит также через точку Q , то координаты этой последней точки должны удовлетворять уравнению (1). Отсюда

=

и, следовательно, при имеем

Подставляя выражение (2) для углового коэффициента k в уравнение (1), получим уравнение прямой PQ:

Это уравнение при можно записать также в виде пропорции:

Если , т. е. прямая, проходящая через точки и , параллельна оси Оу, то уравнение этой прямой, очевидно, будет

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точки Р(4, -2) и Q(3, -1).

Решение:

На основании уравнения (3) имеем

Уравнение прямой в «отрезках»

Выведем теперь уравнение прямой, положение которой на плоскости задано ненулевыми отрезками, отсекаемыми ею на осях координат. Предположим, например, что прямая АВ отсекает на оси Ох отрезок OA = а, а на оси Оу — отрезок О В = b (рис. 28), причем ясно, что тем самым положение прямой вполне определено.

Для вывода уравнения прямой АВ заметим, что эта прямая проходит через точки А (а, 0) и Б поэтому уравнение ее легко получается из уравнения (3′), если положить в нем . Имеем

Отсюда

и окончательно

Это и есть так называемое уравнение прямой в «отрезках». Здесь х и у, как обычно, — координаты произвольной точки М (х, у), лежащей на прямой АВ (рис. 28).

Пример:

Написать уравнение прямой АВ, отсекающей на оси Ох отрезок OA = 5, а на оси Оу отрезок ОВ = -4.

Полагая в уравнении (1) а = 5 и b = -4, получим , или

Примечание. Уравнение прямой, проходящей через начало координат или параллельной одной из осей координат, не может быть записано как уравнение прямой в «отрезках».

Точка пересечения двух прямых

Пусть имеем две прямые

Точка пересечения этих прямых лежит как на первой прямой, так и на второй. Поэтому координаты точки пересечения должны удовлетворять как уравнению первой, так и уравнению второй прямой. Следовательно, для того чтобы найти координаты точки пересечения двух данных прямых, достаточно решить совместно систему уравнений этих прямых.

Последовательно исключая из уравнений (1) и (2) неизвестные у и х, будем иметь

Отсюда если , то для координат точки пересечения прямых получаем такие выражения: или, введя определители второго порядка, имеем

Для прямых (1) и (2) возможны следующие три случая.

На основании  прямые не параллельны. Координаты их единственной точки пересечения определяются из формул (6).

Прямые параллельны и точки пересечения нет. Аналитически это видно из того, что по меньшей мере одно из уравнений (3) или (4) противоречиво и, значит, система (1) и (2) несовместна.

Прямые (1) и (2) сливаются, и, таким образом, существует бесчисленное множество точек пересечения. В этом случае левые части уравнений (1) и (2) отличаются только на постоянный множитель и, следовательно, система этих уравнений допускает бесконечно много решений.

Пример:

Решая совместно систему уравнений прямых

получаем х = 2 и у = 1. Следовательно, эти прямые пересекаются в точке N(2,1).

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую KL, заданную общим уравнением

и некоторую точку М. Под расстоянием от точки М до прямой KL понимается длина перпендикуляра d = , опущенного из точки М на прямую KL (рис. 29).

Уравнение перпендикуляра MN можно записать в виде

Отсюда для основания перпендикуляра N(x2, у2) будем иметь

и, следовательно,

где t — коэффициент пропорциональности. Поэтому

С другой стороны, учитывая, что точка N(*2, i/2) лежит на прямой KL, причем из (4) имеем получаем

Следовательно,

Таким образом, в силу формулы (5) имеем

В частности, полагая , получаем расстояние от начала координат до прямой

Замечание. Разделив обе части уравнения прямой (1) на , получим уравнение

свободный член которого численно равен расстоянию от

начала координат до прямой. Такое уравнение прямой будем называть нормированным.

Из формулы (7) получаем правило:

чтобы определить расстояние от точки до прямой, нужно в левую часть нормированного уравнения этой прямой подставить координаты данной точки и взять модуль полученного результата.

Пример:

Определить расстояние от точки М (-2, 7) до прямой

Решение:

Нормируя уравнение этой прямой, будем иметь

Отсюда искомое расстояние есть