Определение координат центра тяжести xC и yC плоских фигур нестандартной формы выполняется при решении задач для последующих расчетов остальных геометрических характеристик, например, таких как радиусы и осевые моменты инерции поперечных сечений.
Рассмотрим способы и пример определения координат положения центра тяжести фигуры нестандартной формы.
Способы определения координат центра тяжести
Способы определения координат центров тяжести твердых объёмных тел и плоских фигур можно получить исходя из полученных ранее общих формул для расчета положения центра тяжести.
Существует 5 способов расчета координат положения центра тяжести:
- Аналитический (путем интегрирования).
- Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
- Экспериментальный. (метод подвешивания тела).
Этот способ подходит в основном для плоских и линейных тел. - Разбиение. Тело или фигура разбивается на конечное число частей (простых тел или фигур), для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь A известны.
Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями A1 и A2 (A = A1+ A2).
Рисунок 1.8
Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны:
- Дополнение (Метод отрицательных площадей или объемов).
Это частный случай предыдущего способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
Рисунок 1.9
Тогда координаты центра тяжести фигуры с отверстием можно определить по формулам:
При решении задач по определению координат центра тяжести плоских фигур и объемных тел применяются последние два способа (разбиение и дополнение).
Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры в нашем коротком видео:
Другие видео
Пример определения координат центра тяжести плоской фигуры
Задача
Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием
Решение
Разделим заданное сечение на простые фигуры – прямоугольник, круг и прямоугольный треугольник.
Через нижнюю левую точку фигуры проведем координатные оси x и y.
Рассчитаем необходимые для решения задачи площади A и координаты x,y центров тяжести Ci отдельных фигур:
Прямоугольник (фигура 1)
Площадь
A1=400×500=200000 мм2
Положение центра тяжести
x1=200мм
y1=250мм
Круг (2) (вычитаемая фигура)
Площадь
A2=π×2002/4=31416 мм2
Центр тяжести
x2=200мм
y2=300мм
Прямоугольный треугольник (3)
Площадь
A3=400*100/2=20000 мм2
Положение центра тяжести треугольника находится на пересечении его медиан (на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин)
x3=400×2/3=266,7мм
y3=500+100×1/3=533,3мм
Координаты x и y центра тяжести C всей плоской фигуры определим по формулам:
Ответ: Таким образом, центр тяжести заданной фигуры находится в точке C с координатами xC=207,1мм, yC=271,7мм.
Другие примеры решения задач >
Центры тяжести простейших фигур >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
В этой статье посмотрим, как определяются координаты центра тяжести сложной фигуры — состоящей из простых. В задачах по сопромату часто приходится находить положение центра тяжести составных сечений, для дальнейшего вычисления моментов инерции и т. д.
Также часто, при изучении теоретической механики, студентам предлагается решить подобную задачу, и найти центр тяжести какой-нибудь фигуры.
Условие задачи
Предлагаю рассмотреть следующую фигуру:
В сопромате принято заштриховывать сечения тонкими линиями, вот так:
В своих же уроках я буду использовать заливку. Так, штриховка не будет мешать наносить обозначения.
Разбивка сложной фигуры на простые
Как видишь, сечение состоит из прямоугольника, прямоугольного треугольника, четверти круга, а также имеет круглый вырез:
Отметим центры тяжести (С1, С2, С3, С4) каждой отдельной фигуры, с учётом справочной информации.
Открой эту страничку, и пока не закрывай, она нам ещё понадобится!
Покажем вспомогательные оси (x0, y0) для всего сечения, которые будем использовать для нахождения положения центра тяжести (C):
Как определить положение центра тяжести?
Чтобы определить координату центра тяжести сечения, например, вертикальное расстояние от оси x0 до центра тяжести сечения (yc):
Нужно статический момент сечения относительно этой вспомогательной оси (x0) разделить на площадь всего сечения (A):
Площадь всего сечения (A) найти просто – это алгебраическая сумма площадей всех фигур:
Статический момент сечения, относительно вспомогательной оси будет равен алгебраической сумме статических моментов каждой фигуры (с учётом знака):
где Ai – площадь отдельной фигуры;
yi – расстояние от центра тяжести отдельной фигуры до вспомогательной оси (x0).
Координата центра тяжести (xc), находится аналогично:
Определение площади сечения
Для начала предлагаю сделать самое простое, используя формулы, указанные на этой странице, найти площадь всего сечения (A):
Как видишь, круглый вырез, нужно учесть с «минусом», что очевидно.
Определение расстояний от вспомогательных осей до центров тяжести отдельных фигур
Найдём расстояния от вспомогательных осей (x0, y0) до центров тяжести отдельных фигур, опять же, используя нашу шпаргалку:
Определение статических моментов
Определяем статические моменты сечения относительно вспомогательных осей (x0, y0):
Важно! Статические моменты могут быть и отрицательными.
Определение координат центра тяжести
И, наконец, определяем положение центра тяжести всего сечения (C):
Покажем центр тяжести всего сечения (C):
Если остались какие-то вопросы по данному уроку, можешь смело задавать их в комментариях. Также, другие уроки, на сайте – ssopromat.ru, по определению геометрических характеристик, можешь найти здесь.
Содержание:
Центр тяжести:
При рассмотрении движения тел, особенно таких, как самолеты, ракеты, космические корабли, важное значение имеет понятие центра тяжести.
Определения и формулы для вычисления центров тяжести
Для введения понятия центра тяжести разобьем мысленно рассматриваемое тело на достаточно большое число малых по сравнению с телом или элементарных его частей произвольной формы. Силу тяжести элементарной частицы тела с индексом 
Радиус-вектор центра тяжести тела 
вычисляем как радиус-вектор центра параллельных сил (рис. 88) по формуле
где 
— радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; 
— сила тяжести элементарной частицы; 
— сила тяжести всего тела; 
— число частей, на которое мысленно разбито все тело. Центр тяжести является точкой приложения равнодействующей силы тяжести, если силы тяжести отдельных его частей считать системой параллельных сил.
Рис. 88
Если в (1) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей до бесконечности, то после замены дифференциалом 
, а суммы — интегралом получим
где 
— радиус-вектор элементарной части тела, принятой за точку. В проекциях на оси координат из (1) и (1′) получаем:
где 
— координаты центра тяжести; 
— координаты точки приложения силы тяжести 
.
Используя понятие центра тяжести тела, введем понятие его центра масс. Силы тяжести элементарных частей тела и всего тела можно выразить через их массы 
и 
и ускорение силы тяжести 
с помощью формул
Подставляя эти значения сил тяжести в (1) и (1′) после сокращения на , которое принимаем одинаковым для всех частей тела, имеем
и соответственно
По формулам (2) и (2′) определяют радиус-вектор центра масс тела. Центр масс обычно определяют независимо от центра тяжести как геометрическую точку, радиус-вектор, которой вычисляется по формулам (2) или (2′). В проекциях на оси координат из (2) и (2′) получаем:
и
где 
— координаты центра масс тела.
Для однородного тела силу тяжести элементарной частицы тела и ее массу можно вычислить по формулам
где 
— объем элементарной частицы тела; 
и 
— соответственно удельный вес и плотность тела. Сила тяжести и масса всего тела
где 
— объем тела. Подставляя эти значения в (2) и (2′), после сокращения на и соответственно получим формулы
по которым определяют центр тяжести объема тела.
Если тело имеет форму поверхности, т. е. один из размеров мал по сравнению с двумя другими, как, например, у тонкого листа железа, то имеем
где 
— удельный вес; 
— площадь элементарной частицы поверхности; 
— площадь всей поверхности. После сокращения на 
для однородной поверхности получим следующие формулы для определения центра тяжести ее площади:
Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, можно определить радиус-вектор центра тяжести длины линии по формулам
где 
— длина элемента линии; 
—общая длина линии, центр тяжести которой определяется.
Методы определения центров тяжести (Центров масс)
Метод симметрии
При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Докажем, что для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости симметрии. Для доказательства выберем начало координат в плоскости симметрии тела и одну из осей координат, ось 
направим перпендикулярно плоскости симметрии, а две других оси расположатся в плоскости симметрии (рис. 89). Каждая частица массой 
, находясь по одну сторону плоскости симметрии, имеет симметричную частицу такой же массы по другую сторону этой плоскости. Координаты 
у симметричных частиц одинаковы при сделанном выборе осей координат, а координаты по оси 
отличаются только знаком. Для координаты центра масс 
имеем следующее выражение:
Разбивая сумму в числителе на две по симметричным частям тела, получаем, что
так как симметричные части тела 1 и 2 одинаковы.
Таким образом, центр масс расположен в плоскости симметрии и для его определения достаточно вычислить только две его координаты 
и 
в этой плоскости.
Аналогично доказывается, что для однородного тела, имеющего ось или центр симметрии, центр масс находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.
Рис. 89
Метод разбиения на части (метод группировки)
Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны или предварительно могут быть определены. В таких случаях центры тяжести сложных тел вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести, только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито. Покажем это на частном примере плоской фигуры, изображенной на рис. 90. Плоскую фигуру можно разбить на три части, центры тяжести которых 
, 
и 
известны. Они находятся на пересечении диагоналей прямоугольников. Их радиусы-векторы обозначим 
и площади 
. Общая площадь сложной фигуры будет 
.
Используя определение центра тяжести и производя группировку слагаемых под знаком суммы по частям фигуры, на которые она разбита, получим
Радиусы-векторы центров тяжести частей тела выразятся в такой форме:
или
Используя эти формулы для радиуса-вектора всей фигуры, имеем
Полученная формула имеет ту же структуру, что и формула, определяющая радиус-вектор центра тяжести тела при разбиении его на элементарные частицы, только в нее входят величины для конечных частей тела.
Рис. 90
Метод отрицательных масс
Видоизменением метода разбиения на части является метод отрицательных масс. Проиллюстрируем его тоже на примере плоской фигуры (рис. 91). Для определения центра тяжести этой фигуры ее можно разбить на три части. Можно поступить по-другому. Для этого дополним нашу фигуру до прямоугольника и примем, что этот прямоугольник с площадью 
и центром масс 
полностью заполнен массой (имеет положительную площадь). На той части фигуры, которую добавили, следует распределить отрицательную массу (отрицательную площадь) той же плотности. Площадь этой фигуры с отрицательной массой обозначим 
, а ее центр масс — 
. Применяя метод разбиения на части, радиус-вектор заданной фигуры определим по формуле
В отличие от обычного метода разбиения на части в формуле (4) массы и, следовательно, площади входят со знаком минус.
Метод отрицательных масс особенно удобен при вычислении положения центров тяжести тел, имеющих отверстия.
Рис. 91
Центры тяжести простейших тел
Для определения центров тяжести тел сложной формы методом разбиения на части или методом отрицательных масс необходимо уметь вычислять центры тяжести простейших тел, на которые разбивается тело сложной формы. Рассмотрим некоторые из тел, для определения центров тяжести которых известны простые способы их нахождения или вычисления по формулам.
Прямолинейный отрезок
Центр тяжести прямолинейного однородного отрезка располагается на его середине, а неоднородного— на самом отрезке и не может находиться вне отрезка.
Площадь треугольника
Для определения центра тяжести площади треугольника разобьем его прямыми линиями, параллельными одной из его сторон 
, на полоски, которые в пределе можно принять за прямолинейные отрезки (рис. 92). Центры тяжести отрезков и, следовательно, полосок находятся посередине полоски. Все они расположатся на медиане 
. В пределе центры тяжести полосок непрерывно покроют медиану, но не равномерно, так как площади полосок разные. В каждом центре масс полоски следует считать сосредоточенной массу или площадь этой полоски, пропорциональную длине полоски, если ширину полосок выбирать одинаковой.
Затем разобьем треугольник на полоски прямыми линиями, параллельными другой стороне 
треугольника. Центры их тяжести в пределе покроют неравномерно медиану 
. Центры тяжести неоднородных прямолинейных отрезков и 
должны располагаться на этих отрезках, а следовательно, в точке их пересечения 
, являющейся точкой пересечения медиан треугольника. Эта точка делит медианы в отношении 1 к 2, т. е. если длина медианы равна 
, то 
, 
.
Рис. 92
Дуга окружности
Дуга окружности определяется радиусом 
и стягиваемым ею центральным углом 
(рис. 93). Она имеет ось симметрии, делящую угол пополам. Центр тяжести находится на оси симметрии дуги, которую примем за ось координат 
. Координату центра тяжести дуги вычисляем по формуле
Рис. 93
В рассматриваемом случае
Подставляя эти значения в формулу для 
, получим
Таким образом,
Для полуокружности 
. Приняв 
, получим:
Площадь кругового сектора
Центр тяжести площади кругового сектора с радиусом 
и центральным углом 
находится на оси симметрии, принимаемой за ось 
(рис. 94). Разобьем сектор на элементарные треугольники одинаковой величины. Центры тяжести треугольников в пределе при увеличении их числа до бесконечности равномерно покроют дугу окружности радиусом 
.
Рис. 94
Используя формулу для центра тяжести дуги окружности, получим
или
Для площади полукруга 
, 
. При 
получим
Объем пирамиды и конуса
Определим положение центра тяжести объема конуса (рис. 95). Для простоты рассмотрим прямой конус, у которого высота является осью симметрии. Высотой конуса является отрезок, соединяющий его вершину 
с центром тяжести площади основания 
. Выберем начало координат в вершине конуса, а ось 
направим по оси симметрии конуса. Тогда центр тяжести объема конуса расположится на оси 
.
Разобьем конус плоскостями, перпендикулярными оси 
, на элементарные тонкие диски толщиной 
и площадью 
. Все полученные сечения (диски) конуса подобны его основанию. Координату 
центра тяжести объема конуса вычислим по формуле
Отношения линейных размеров сечений к соответствующим размерам основания конуса пропорциональны их расстояниям до вершины конуса. Отношения площадей пропорциональны квадратам расстояний. Приняв 
, получим
Учитывая, что
имеем
или
Таким образом, центр тяжести прямого конуса находится на расстоянии 
от вершины или 
от основания.
Рис. 95
Это справедливо для объема любого конуса и любой пирамиды, как прямых, так и наклонных, т. е. центр тяжести объема пирамиды или конуса находится на расстоянии 
расстояния от центра тяжести площади основания до вершины.
Объем полушара
Полушар имеет ось симметрии, которую примем за координатную ось 
(рис. 96). Разобьем объем полушара на элементарные диски толщиной dx и радиусом у, который является координатой точки окружности, которая получилась от пересечения полушара с координатной плоскостью 
. Уравнение этой окружности
где 
— радиус полушара. Для координаты центра тяжести объема полушара имеем
где 
— координата центра тяжести элементарного диска. Объем полушара
Объем элементарного диска
так как радиус диска 
. Выполняя интегрирование в пределах от 
до 
, получим
Таким образом, центр тяжести объема полушара находится от его центра на расстоянии
Это расстояние меньше половины радиуса полушара.
Рис. 96
Задача №1
Определить координаты центра тяжести площади плоской фигуры, имеющей размеры, указанные на рис. 97.
Рис.97
Рис. 98
Решение. Присоединим к заданной фигуре дополнительно полукруг 3 и разобьем полученную фигуру на прямоугольник 1 и треугольник 2. Получили три фигуры, две из которых имеют положительные площади (прямоугольник 1 и треугольник 2) и одна — отрицательную (полукруг 3). В выбранной системе координат для координат центра тяжести заданной фигуры имеем
где 
— координаты центров тяжести отдельных фигур; 
— площади этих фигур.
Вычислим площади и координаты центров тяжести отдельных фигур, учитывая рис. 98 Имеем:
так как 
.
Подставляя полученные значения в (а), получим:
Центр тяжести плоской фигуры
постановка задачи. Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры.
План решения:
1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.
2. Выбираем систему координат. Вычисляем площади и координаты 
центров тяжести отдельных частей. Площади вырезанных частей берем со знаком минус.
3. Находим общую площадь фигуры по формуле 
4. Определяем координаты центра тяжести фигуры:
Задача №2
Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры. Криволинейный участок контура является половиной окружности с центром на оси Ох (рис. 74). Размеры на рисунке даны 
Решение
1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.
Центр тяжести прямоугольника находится в его геометрическом центре, положение центра тяжести других фигур, встречающихся в задачах, изображено на рис. 75
Представляем фигуру в виде двух треугольников 1,2, прямоугольника 3 и выреза 4 в виде полукруга (рис. 76).
2. Вычисляем площадь (в 
) и координаты центра тяжести (в м) каждого элемента:
Площадь выреза берем со знаком минус.
3.Площадь фигуры 
4. Находим координаты центра тяжести всей фигуры:
Вычисления удобно свести в таблицу:
Сначала заполняем столбцы 
затем вычисляем статические моменты 
Внизу записываем суммы столбцов, необходимые для вычисления координат центра тяжести. Таким образом
Замечание 1. Большинство задач на определение центра тяжести допускает несколько способов разбиения фигуры. Это можно использовать для проверки решения. Второй вариант разбиения фигуры в данном примере состоит из прямоугольника 3 с размерами 
и вырезанных из него полукруга 4 и двух треугольников 1 и 2 (рис. 77).
Замечание 2. Решение задачи в системе Maple V методом контурного интегрирования.
- Заказать решение задач по теоретической механике
Пространственная стержневая система
Постановка Задачи. Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из N однородных стержней.
План решения:
1. Разбиваем фигуру на отдельные стержни.
2. Выбираем систему координат. Вычисляем длины и координаты 
центров тяжести отдельных стержней. Координаты центра прямолинейного однородного стержня вычисляем как полусумму координат его концов.
3. Находим суммарную длину стержней системы 
4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам
Задача №3
Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из шести однородных стержней (рис. 78). Даны размеры:
Решение
1. Разбиваем фигуру на шесть стержней.
2. Выбираем систему координат (рис. 78). Вычисляем длины и координаты 
центров тяжести отдельных стержней.
3. Находим суммарную длину стержней системы:
Промежуточные результаты удобно занести в таблицу:
4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам
Постановка задачи. Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела.
План решения:
1. Разбиваем тело на простые части, положение центров тяжести которых известно.
2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы 
и координаты 
центров тяжести отдельных частей. Объемы вырезанных частей берем со знаком минус.
3. Находим общий объем тела по формуле 
4. Определяем координаты центра тяжести тела:
Задача №4
Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела (рис.79);
Решение
1. Разбиваем тело на пирамиду 1, параллелепипед 2 и половину цилиндра 3 (рис. 80).
2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы 
и координаты 
центров тяжестей отдельных частей. Центр тяжести пирамиды 1 лежит в точке 
Центр тяжести параллелепипеда 2 совпадает с его геометрическим центром:
Объем половины цилиндра 3 берем со знаком минус:
где 
— расстояние по оси у от оси цилиндра до его центра тяжести 
.
3. Находим общий объем тела:
В общем случае объем тела, лежащего в области 
можно найти, вычисляя тройной интеграл по области 
а координаты центра тяжести, например, 
однородного тела можно определить по формуле 
см.
4. Определяем координаты центра тяжести тела:
Центр тяжести
Центр тяжести — точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил. Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 173), то вес 
каждого отрезка 
можно представить в виде произведения
где d — постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.
После подстановки в формулы (1) вместо 
их значений 
постоянный множитель d в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий, примут вид:
Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 174),
то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:
где 
— площади каждой поверхности, ар — вес единицы площади фигуры.
После подстановки этого значения
в формулы (1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:
Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 175), то вес каждой части
где 
— объем каждой части, а у — вес единицы объема тела.
После подстановки значений 
в формулы (I) получаем формулы для определения координат центра тяжести тела, составленного из однородных объемов;
При решении некоторых задач на определение положения центра тяжести тел иногда необходимо знать, где расположен центр тяжести дуги окружности, кругового сектора или треугольника.
Если известен радиус дуги г и центральный угол 2а, стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести С (рис. 176, а) относительно центра дуги О определится формулой
Если же задана хорда 
дуги, то в формуле (5) можно произвести замену
и тогда
В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. 176, б)
Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус r (рис. 176, в), определяется при помощи формулы
Если же задана хорда сектора, то
В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. 176, г)
Центр тяжести площади любого треугольника расположен от любой стороны на расстоянии, равном одной трети соответствующей высоты.
У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 177).
При решении задач на определение положения центра тяжести любого однородного тела, й составленного либо из тонких стержней (линий), либо из пластинок (площадей), либо из объемов, целесообразно придерживаться следующего порядка:
- выполнить рисунок тела, положение центра тяжести которого нужно определить. Так как все размеры тела обычно известны, при этом следует соблюдать масштаб;
- разбить тело на составные части (отрезки линий или площади, или объемы), положение центров тяжести которых определяется исходя из размеров тела;
- определить или длины, или площади, или объемы составных частей;
- выбрать расположение осей координат;
- определить координаты центров тяжести составных частей;
- найденные значения длин или площадей, или объемов отдельных частей, а также координат их центров тяжести подставить в соответствующие формулы и вычислить координаты центра тяжести всего тела;
- по найденным координатам указать на рисунке положение центра тяжести тела.
- Кинематика точки
- Плоское движение твердого тела
- Мгновенный центр скоростей
- Мгновенный центр ускорений
- Условия равновесия системы сил
- Плоская система сил
- Трение
- Пространственная система сил
§1. Центр тяжести однородного тела.
Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.
Если разбить тело на элементарные части объемом ∆Vi , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆Pi, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.1), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.
Рис.1. Параллельная система сил
Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.
При определении центра тяжести полезны несколько теорем.
1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой
плоскости.
2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.
§2. Способы определения координат центра тяжести.
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.2), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
Рис.2. Центр тяжести тел, имеющих ось симметрии
2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.3), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.
Рис.3. Центр тяжести сплошной
сложной геометрической фигуры
— центр тяжести и площадь первой фигуры;
— центр тяжести и площадь второй фигуры;
— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси x;
— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси y;
3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.4). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S1 и площади вырезанной части S2 .
Рис.4. Центр тяжести сложной геометрической фигуры,
имеющей отверстие
— центр тяжести и площадь первой фигуры;
— центр тяжести и площадь второй фигуры;
— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси x;
— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси y;
§3. Координаты центра тяжести некоторых простых фигур.
1. Центр тяжести треугольника. Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан (рис.5). Координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин: xc =1/3(x1+x2+x3) ; yc =1/3(y1+y2+y3).
Рис.5. Центр тяжести треугольника
2. Центр тяжести прямоугольника. Центр тяжести прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей (рис.6). Координаты центра тяжести прямоугольника рассчитываются по формулам: xc =b/2 ; yc =h/2.
Рис. 6. Центр тяжести треугольника
3. Центр тяжести полукруга. Центр тяжести полукруга лежит на оси симметрии (рис.7). Координаты центра тяжести полукруга рассчитываются по формулам: xc =D/2 ; yc =4R/3π.
Рис. 7. Центр тяжести полукруга
4. Центр тяжести круга. Центр тяжести круга лежит в центре (рис.8). Координаты центра тяжести круга рассчитываются по формулам: xc =R ; yc =R.
Рис. 8. Центр тяжести круга
Вопросы для самопроверки:
— Что называется центром параллельных сил?
— Что называется центром тяжести тела?
— Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?
— Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?
— Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, квадрата, трапеции и половины круга?
— Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?
— В чем состоит сущность способа отрицательных площадей?
— Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?
— Запишите формулу, определяющую центр тяжести треугольника.
Положения центра тяжести некоторых фигур
Прямоугольник.
Так
как прямоугольник имеет две оси симметрии
, то его центр тяжести находится на
пересечении осей симметрии, т.е. в точке
пересечения диагоналей прямоугольника.
Треугольник.
Центр
тяжести лежит в точке пересечения его
медиан. Из геометрии известно, что
медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в отношении 1:2 от
основания. 
Круг.
Так
как круг имеет две оси симметрии, то его
центр тяжести находится на пересечении
осей симметрии.
Полукруг.
Полукруг
имеет одну ось симметрии, то центр
тяжести лежит на этой оси. Другая
координата центра тяжести вычисляется
по формуле:
.
Многие
конструктивные элементы изготавливают
из стандартного проката – уголков,
двутавров, швеллеров и других. Все
размеры, а так же геометрические
характеристики прокатных профилей это
табличные данные, которые можно найти
в справочной литературе в таблицах
нормального сортамента (ГОСТ 8239-89, ГОСТ
8240-89).
Пример
1. Определить
положение центра тяжести фигуры,
представленной на рисунке.
Решение:
-
Выбираем
оси координат, так чтобы ось Ох прошла
по крайнему нижнему габаритному размеру,
а ось Оу – по крайнему левому габаритному
размеру. -
Разбиваем
сложную фигуру на минимальное количество
простых фигур:
-
прямоугольник
20х10; -
треугольник
15х10; -
круг
R=3
см.
-
Вычисляем
площадь каждой простой фигуры, её
координаты центра тяжести. Результаты
вычислений заносим в таблицу
|
№ фигуры |
Площадь |
Координаты |
|
|
Х, |
У, |
||
|
1 |
|
20:2=10 |
10:2=5 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
10 |
5 |
=20·10=200
-
Вычисляем
координаты центра тяжести фигуры по
формулам:
Ответ:
С(14,5; 4,5)
Пример
2.
Определить координаты центра тяжести
составного сечения, состоящего из листа
и прокатных профилей.
Решение.
-
Выбираем
оси координат, так как показано на
рисунке. -
Обозначим
фигуры номерами и выпишем из таблицы
необходимые данные:
-
– швеллер
№10; высота h=100
мм; ширина b=46
мм; площадь сечения
; -
—
двутавр №16; высота
h=160
мм; ширина b=81
мм; площадь сечения
; -
– лист
5х100; толщина 5 мм; ширина 100 мм.
;
;-
Вычисляем
координаты центра тяжести каждой
фигуры. Составное сечение симметрично,
поэтому центр тяжести находится на оси
симметрии и координата
.
Результаты
вычислений заносим в таблицу
.|
№ фигуры |
Площадь |
Координаты |
|
|
Х, |
У, |
||
|
1 |
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
3 |
|
0 |
|
=10,9
-
Вычисляем
координаты центра тяжести фигуры по
формулам:
Ответ:
С(0; 10)
Лабораторная работа №1 «Определение центра тяжести составных плоских фигур»
Цель:
Определить центр тяжести заданной
плоской сложной фигуры опытным и
аналитическим способами и сравнить их
результаты.
Порядок выполнения работы
-
Начертить
в тетрадях свою плоскую фигуру по
размерам, с указанием осей координат. -
Определить
центр тяжести аналитическим способом.-
Разбить
фигуру на минимальное количество
фигур, центры тяжести которых, мы знаем,
как определить. -
Указать
номера площадей и координаты центра
тяжести каждой фигуры. -
Вычислить
координаты центра тяжести каждой
фигуры. -
Вычислить
площадь каждой фигуры. -
Вычислить
координаты центра тяжести всей фигуры
по формулам (положение центра тяжести
нанести на чертеж фигуры):
-
;
-
Записать
координаты центра тяжести.
-
Определить
центр тяжести опытным путем на установке
для определения координат центра
тяжести.-
Вырезать
данную фигуру из тонкого картона. -
Определить
центр тяжести своей фигуры на установке.
-
Установка
для опытного определения координат
центра тяжести способом подвешивания
состоит из вертикальной стойки 1
(см. рис.), к которой прикреплена игла 2.
Плоская фигура 3
изготовлена из картона, в котором легко
проколоть отверстие. Отверстия А
и В
прокалываются в произвольно расположенных
точках (лучше на наиболее удаленном
расстоянии друг от друга). Плоская фигура
подвешивается на иглу сначала в точке
А,
а потом в точке В.
При помощи отвеса 4,
закрепленного на той же игле, на фигуре
прочерчивают карандашом вертикальную
линию, соответствующую нити отвеса.
Центр тяжести С
фигуры будет находиться в точке
пересечения вертикальных линий,
нанесенных при подвешивании фигуры в
точках А
и В.
-
Приклеить
фигуру с определенным центром тяжести
в тетрадь. -
Записать
значения координат центра тяжести,
найденных при подвешивании фигур:
-
Сравнить
результаты:
; -
Сделать
вывод:
;
Задание
для лабораторной работы.
Номер схемы соответствует Вашему
порядковому номеру в журнале.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #