Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Как найти координаты точки
Поддержать сайт
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на
первом месте стоит
абсцисса, а на
втором —
ордината точки.
Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):
- находить координаты точки;
- найти положение точки.
Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки
перпендикуляры на оси координат.
Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А»,
а с осью y называется ординатой точки «А».
Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).
Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).
Запомните!
На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором —
ординату (координату по оси «y») точки.
Особые случаи расположения точек
- Если точка лежит на оси «Oy»,
то её абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0.
Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
- Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
- Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).
Как найти положение точки по её координатам
Найти точку в системе координат можно двумя способами.
Первый способ
Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2), надо:
- Отметить на оси «Ox», точку с координатой
«−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox». - Отметить на оси «Oy»,
точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную
оси «Oy». - Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка.
У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.
Второй способ
Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:
- Сместиться по оси «x» влево на
4 единицы, так как у нас
перед 4
стоит «−». - Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так
как у нас перед 2 стоит «+».
Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на
листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать
готовую систему координат на нашем сайте.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.
Оси координат (Ox), (Oy) и (Oz) называются соответственно: (Ox) — ось абсцисс, (Oy) — ось ординат, (Oz) — ось аппликат.
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: ((Oxy)), ((Oyz)) и ((Oxz)).
Положение точки (A) в пространстве определяется тремя координатами: (x), (y) и (z).
Координата (x) называется абсциссой точки (A), координата (y) — ординатой точки (A), координата (z) — аппликатой точки (A).
Записываются так: (A(x; y; z)).
Если точка находится на оси (Ox), то её координаты (X(x; 0; 0)).
Если точка находится на оси (Oy), то её координаты (Y(0; y; 0)).
Если точка находится на оси (Oz), то её координаты (Z(0; 0; z)).
Если точка находится в плоскости (Oxy), то её координаты
A1x;y;0
.
Если точка находится в плоскости (Oyz), то её координаты
A20;y;z
.
Если точка находится в плоскости (Oxz), то её координаты
A3x;0;z
.
Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы
i→
,
j→
и
k→
, то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде
OA→=x⋅i→+y⋅j→+z⋅k→
.
Коэффициенты (x), (y) и (z) определяются одним-единственным образом и называются координатами вектора.
Записываются так:
OA→x;y;z
.
Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:
— координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:
,
b→x2;y2;z2
,
a→+b→x1+x2;y1+y2;z1+z2
;
— координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
a→−b→x1−x2;y1−y2;z1−z2
;
— координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:
— длину вектора:
— координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точек вектора:
,
BxB;yB;zB
,
AB→xB−xA;yB−yA;zB−zA
;
— расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:
;
— координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точек отрезка:
.
Елена Борисовна Калюжная
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Основные сведения о координатной плоскости
Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.
Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью.
Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые, на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.
Определение 1
Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.
Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную, или декартовую, систему координат, которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.
Координатная плоскость
Координаты точки
Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.
Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.
«Координаты на плоскости» 👇
Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.
Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.
Построение точки по заданным координатам
Пример 1
На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$
Решение.
Построение точки $A$:
- отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.
Построение точки $B$:
- отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.
Пример 2
Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.
Решение.
Построение точки $C$:
- отложим число $3$ на оси $x$;
- координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.
Построение точки $D$:
- отложим число $2$ на оси $y$;
- координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.
Замечание 1
Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.
Пример 3
Определить координаты точек A, B, C, D.$
Решение.
Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$
Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$
Определим координаты точки $C$. Т.к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.
Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$
Пример 4
Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Решение.
Построение точки $E$:
- отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$
Построение точки $F$:
- координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
- отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$
Построение точки $G$:
- отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
- на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$
Построение точки $H$:
- координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
- отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$
Построение точки $O$:
- обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Содержание:
Декартовы координаты на плоскости:
Изучая материал этой лекции, вы расширите свои знания о координатной плоскости.
Вы научитесь находить длину отрезка и координаты его середины, зная координаты его концов.
Сформируете представление об уравнении фигуры, выведете уравнения прямой и окружности.
Ознакомитесь с методом координат, позволяющим решать геометрические задачи средствами алгебры.
Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка
В 6 классе вы ознакомились с координатной плоскостью, то есть с плоскостью, на которой изображены две перпендикулярные координатные прямые (ось абсцисс и ось ординат) с общим началом отсчета (рис. 8.1). Вы умеете отмечать на ней точки по их координатам и наоборот, находить координаты точки, отмеченной на координатной плоскости.
Договорились координатную плоскость с осью 
Координаты точки на плоскости 
называют декартовыми координатами в честь французского математика Рене Декарта (см. рассказ на с. 103).
Вы знаете, как находить расстояние в между двумя точками, заданными своими координатами на координатной прямой. Для точек 
(рис. 8.2) имеем:
Научимся находить расстояние между точками 
заданными на плоскости 
Рассмотрим случай, когда отрезок 
не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.3).
Через точки 
проведем прямые, перпендикулярные координатным осям. Получим прямоугольный треугольник 
в котором 
Отсюда 
Тогда формулу расстояния между точками 
можно записать так:
Докажите самостоятельно, что эта формула остается верной и для случая, когда отрезок 
перпендикулярен одной из осей координат.
Пусть 
— точки плоскости 
Найдем координаты 
точки 
— середины отрезка 
Рассмотрим случай, когда отрезок 
не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.4). Будем считать, что 
(случай, когда 
рассматривается аналогично). Через точки 
проведем прямые, перпендикулярные оси абсцисс, которые пересекут эту ось соответственно в точках 
По теореме Фалеса 
тогда 
Поскольку 
то можем записать: 
Отсюда 
Аналогично можно показать что 
Формулы для нахождения координат середины отрезка остаются верными и для случая, когда отрезок 
перпендикулярен одной из осей координат. Докажите это самостоятельно.
Пример №1
Докажите, что треугольник с вершинами в точках 
является равнобедренным прямоугольным.
Решение:
Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем стороны данного треугольника:
Следовательно, 
то есть треугольник 
равнобедренный.
Поскольку 
то треугольник 
прямоугольный. 
Пример №2
Точка 
— середина отрезка 
Найдите координаты точки 
Решение:
Обозначим 
— координаты точки 
— координаты точки 
— координаты точки 
Поскольку 
то получаем: 
Аналогично 
Ответ: 
Пример №3
Докажите, что четырехугольник 
с вершинами в точках 
является прямоугольником.
Решение:
Пусть точка 
— середина диагонали 
Тогда
Следовательно, 
Пусть точка 
— середина диагонали 
Тогда
Следовательно, 
Таким образом, точки 
совпадают, то есть диагонали четырехугольника 
имеют общую середину. Отсюда следует, что четырехугольник 
— параллелограмм.
Найдем диагонали параллелограмма:
Следовательно, диагонали параллелограмма 
равны. Отсюда следует, что этот параллелограмм является прямоугольником. 
Уравнение фигуры. Уравнение окружности
Из курса алгебры 7 класса вы знаете, какую фигуру называют графиком уравнения. В этом пункте вы ознакомитесь с понятием уравнения фигуры.
Координаты 
каждой точки параболы, изображенной на рисунке 9.1, являются решением уравнения 
И наоборот, каждое решение уравнения с двумя переменными 
является координатами точки, лежащей на этой параболе. В этом случае говорят, что уравнение параболы, изображенной на рисунке 9.1, имеет вид 
Определение. Уравнением фигуры 
заданной на плоскости 
называют уравнение с двумя переменными 
обладающее следующими свойствами:
- если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением данного уравнения;
- любое решение данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре
то ее координаты являются решением данного уравнения;
данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре 
Например, уравнение прямой, изображенной на рисунке 9.2, имеет вид 
а уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 9.3, имеет вид 
Принято говорить, что, например, уравнения 
задают прямую и гиперболу соответственно.
Если данное уравнение является уравнением фигуры 
то эту фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Пользуясь этими соображениями, выведем уравнение окружности радиуса 
с центром в точке 
Пусть 
— произвольная точка данной окружности (рис. 9.4). Тогда 
Используя формулу расстояния между точками, получим:
Отсюда
Мы показали, что координаты 
произвольной точки 
данной окружности являются решением уравнения 
Теперь покажем, что любое решение уравнения 
является координатами точки, принадлежащей данной окружности.
Пусть пара чисел 
— произвольное решение уравнения 
Тогда 
Отсюда 
Это равенство показывает, что точка 
удалена от центра окружности 
на расстояние, равное радиусу окружности, а следовательно, точка 
принадлежит данной окружности.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 9.1. Уравнение окружности радиуса 
с центром в точке 
имеет вид
Верно и такое утверждение: любое уравнение вида 
где 
некоторые числа, причем 
является уравнением окружности радиуса 
с центром в точке с координатами 
Если центром окружности является начало координат (рис. 9.5), то 
В этом случае уравнение окружности имеет вид 
Пример №4
Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок 
если 
Решение:
Поскольку центр окружности является серединой диаметра, то можем найти координаты 
центра 
окружности:
Следовательно, 
Радиус окружности 
равен отрезку 
Тогда
Следовательно, искомое уравнение имеет вид
Ответ: 
Пример №5
Докажите, что уравнение 
задает окружность. Найдите координаты центра и радиус этой окружности.
Решение:
Представим данное уравнение в виде 
Следовательно, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке 
и радиусом 
Ответ: 
Пример №6
Докажите, что треугольник с вершинами в точках 
является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около треугольника 
Решение:
Найдем квадраты сторон данного треугольника:
Поскольку 
то данный треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине 
Центром описанной окружности является середина гипотенузы 
— точка 
радиус окружности 
Следовательно, искомое уравнение имеет вид
Ответ: 
Уравнение прямой
В предыдущем пункте, рассматривая окружность как ГМТ, равноудаленных от данной точки, мы вывели ее уравнение. Для того чтобы вывести уравнение прямой, рассмотрим ее как ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.
Пусть 
— данная прямая. Выберем две точки 
и 
так, чтобы прямая 
была серединным перпендикуляром отрезка 
(рис. 10.1).
Пусть 
— произвольная точка прямой 
Тогда по свойству серединного перпендикуляра отрезка выполняется равенство 
то есть
Мы показали, что координаты 
произвольной точки 
прямой 
являются решением уравнения 
Теперь покажем, что любое решение уравнения 
является координатами точки, принадлежащей данной прямой 
Пусть 
— произвольное решение уравнения 
Тогда 
Это равенство означает, что точка 
равноудалена от точек 
следовательно, точка 
принадлежит серединному перпендикуляру отрезка 
то есть прямой 
Итак, мы доказали, что уравнение 
является уравнением данной прямой 
Однако из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение прямой выглядит гораздо проще, а именно: 
где 
и 
— некоторые числа, причем 
не равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение 
можно преобразовать к такому виду. Возведем обе части уравнения 
в квадрат. Имеем:
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим:
Обозначив 
получим уравнение 
Поскольку точки 
различны, то хотя бы одна из разностей 
не равна нулю. Следовательно, числа 
и 
не равны нулю одновременно.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 10.1. Уравнение прямой имеет вид?
где 
— некоторые числа, причем 
не равны нулю одновременно.
Верно и такое утверждение: любое уравнение вида 
где 
— некоторые числа, причем 
не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.
Если 
то графиком уравнения 
является вся плоскость 
Если 
то уравнение не имеет решений.
Из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение вида 
называют линейным уравнением с двумя переменными. Уравнение прямой является частным видом линейного уравнения. Схема, изображенная на рисунке 10.2, иллюстрирует сказанное.
на уроках алгебры в 7 классе мы приняли без доказательства тот факт, что графиком линейной функции 
является прямая. Сейчас мы можем это доказать.
Перепишем уравнение 
Мы получили уравнение вида 
для случая, когда 
Поскольку в этом уравнении 
то мы получили уравнение прямой.
А любую ли прямую на плоскости можно задать уравнением вида 
Ответ на этот вопрос отрицательный.
Дело в том, что прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не может являться графиком функции, а следовательно, не может быть задана уравнением вида 
Вместе с тем, если в уравнении прямой 
принять 
то его можно переписать так: 
Мы получили частный вид уравнения прямой, все точки которой имеют одинаковые абсциссы. Следовательно, эта прямая перпендикулярна оси абсцисс. Ее называют вертикальной.
Если 
то уравнение прямой 
можно записать так:
Обозначив 
получим уравнение 
Следовательно, если 
то уравнение прямой 
задает вертикальную прямую; если 
то это уравнение задает невертикальную прямую.
Уравнение невертикальной прямой удобно записывать в виде 
Данная таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом пункте.
Пример №7
Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:
Решение:
1) Поскольку данные точки имеют равные абсциссы, то прямая 
является вертикальной. Ее уравнение имеет вид 
2) Поскольку данные точки имеют разные абсциссы, то прямая 
не является вертикальной. Тогда можно воспользоваться уравнением прямой в виде 
Подставив координаты точек 
в уравнение 
получаем систему уравнений:
Решив эту систему уравнений, находим, что 
Ответ: 
Пример №8
Найдите периметр и площадь треугольника, ограниченного прямой 
и осями координат.
Решение:
Найдем точки пересечения данной прямой с осями координат.
С осью абсцисс: при 
получаем 
С осью ординат: при 
получаем 
Следовательно, данная прямая и оси координат ограничивают прямоугольный треугольник 
(рис. 10.3) с вершинами 
Найдем стороны треугольника: 
Тогда искомые периметр и площадь соответственно равны 
Ответ: 
Угловой коэффициент прямой
Рассмотрим уравнение 
Оно задает невертикальную прямую, проходящую через начало координат.
Покажем, что прямые 
где 
параллельны.
Точки 
принадлежат прямой 
а точки 
и 
принадлежат прямой 
(рис. 11.1). Легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что середины диагоналей 
четырехугольника 
совпадают. Следовательно, четырехугольник 
— параллелограмм. Отсюда 
Теперь мы можем сделать такой вывод: если 
то прямые 
параллельны (1).
Пусть прямая 
пересекает единичную полуокружность в точке 
(рис. 11.2). Угол 
называют углом между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс.
Если прямая 
совпадает с осью абсцисс, то угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс считают равным 
Если прямая 
образует с положительным направлением оси абсцисс угол 
то считают, что и прямая 
параллельная прямой 
также образует угол 
с положительным направлением оси абсцисс (рис. 11.3).
Рассмотрим прямую 
уравнение которой имеет вид 
(рис. 11.2). Если 
Поскольку точка 
принадлежит прямой 
Отсюда 
Таким образом, для прямой 
получаем, что
где 
— угол, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент 
называют угловым коэффициентом этой прямой.
Если невертикальные прямые параллельны, то они образуют равные углы с положительным направлением оси абсцисс. Тогда тангенсы этих углов равны, следовательно, равны и их угловые коэффициенты. Таким образом,
если прямые 
параллельны, то 
(2).
Выводы (1) и (2) объединим в одну теорему.
Теорема 11.1. Прямые 
параллельны тогда и только тогда, когда 
Пример №9
Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку 
и параллельна прямой 
Решение:
Пусть уравнение искомой прямой 
Поскольку эта прямая и прямая 
параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть 
Следовательно, искомое уравнение имеет вид 
Учитывая, что данная прямая проходит через точку 
получаем: 
Отсюда 
Искомое уравнение имеет вид 
Ответ: 
Метод координат
Мы часто говорим: прямая 
парабола 
окружность 
тем самым отождествляя фигуру с ее уравнением. Такой подход позволяет сводить задачу о поиске свойств фигуры к задаче об исследовании ее уравнения. В этом и состоит суть метода координат.
Проиллюстрируем сказанное на таком примере.
Из наглядных соображений очевидно, что прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Однако это утверждение не является аксиомой, поэтому его надо доказывать.
Эта задача сводится к исследованию количества решений системы уравнений
где числа 
одновременно не равны нулю и 
Решая эту систему методом подстановки, мы получим квадратное уравнение, которое может иметь два решения, одно решение или вообще не иметь решений. Следовательно, для данной системы существует три возможных случая:
- система имеет два решения — прямая и окружность пересекаются в двух точках;
- система имеет одно решение — прямая касается окружности;
- система не имеет решений — прямая и окружность не имеют общих точек.
С каждым из этих случаев вы встречались, решая задачи 10.17-10.19.
Метод координат особенно эффективен в тех случаях, когда требуется найти фигуру, все точки которой обладают некоторым свойством, то есть найти геометрическое место точек.
Отметим на плоскости две точки 
Вы хорошо знаете, какой фигурой является геометрическое место точек 
таких, что 
Это серединный перпендикуляр отрезка 
Интересно выяснить, какую фигуру образуют все точки 
для которых 
Решим эту задачу для 
Плоскость, на которой отмечены точки 
«превратим» в координатную. Сделаем это так: в качестве начала координат выберем точку 
в качестве единичного отрезка — отрезок 
ось абсцисс проведем так, чтобы точка 
имела координаты 
(рис. 11.6).
Пусть 
— произвольная точка искомой фигуры 
Тогда 
Отсюда
Следовательно, если точка 
принадлежит фигуре 
то ее координаты являются решением уравнения 
Пусть 
— некоторое решение уравнения 
Тогда легко показать, что 
А это означает, что точка 
такова, что 
Тогда 
Следовательно, точка 
принадлежит фигуре 
Таким образом, уравнением фигуры 
является уравнение 
то есть фигура 
— это окружность с центром в точке 
и радиусом 
Мы решили задачу для частного случая, когда 
Можно показать, что искомой фигурой для любого положительного 
будет окружность. Эту окружность называют окружностью Аполлония
Как строили мост между геометрией и алгеброй
Идея координат зародилась очень давно. Ведь еще в старину люди изучали Землю, наблюдали звезды, а по результатам своих исследований составляли карты, схемы.
Во II в. до н. э. древнегреческий ученый Гиппарх впервые использовал идею координат для определения места расположения объектов на поверхности Земли.
Только в XIV в. французский ученый Николя Орем (ок. 1323-1382) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбита страница вашей тетради) и стал задавать положение точек широтой и долготой.
Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты лишь в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма и Рене Декарта. В своих трудах эти ученые показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре.
Несмотря на то что П. Ферма опубликовал свою роботу на год раньше Р. Декарта, систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Р. Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» предложил новую удобную буквенную символику, которой с незначительными изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за Декартом мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита 
а коэффициенты — первыми: 
Привычные нам обозначения степеней 
и т. д. также ввел Р. Декарт.
Справочный материал
Расстояние между двумя точками
Расстояние между точками 
можно найти по формуле 
Координаты середины отрезка
Координаты 
середины отрезка с концами 
можно найти по формулам:
Уравнение фигуры
Уравнением фигуры 
заданной на плоскости 
называют уравнение с двумя переменными 
обладающее следующими свойствами:
1) если точка принадлежит фигуре 
то ее координаты являются решением данного уравнения;
2) любое решение 
данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре 
Уравнение окружности
Уравнение окружности радиуса 
с центром в точке 
имеет вид 
Любое уравнение вида 
где 
— некоторые числа, причем 
является уравнением окружности радиуса 
с центром в точке с координатами 
Уравнение прямой
Уравнение прямой имеет вид 
— некоторые числа, причем 
не равны нулю одновременно. Любое уравнение вида 
— некоторые числа, причем 
не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.
Если 
то уравнение прямой 
задает вертикальную прямую; если 
то это уравнение задает невертикальную прямую.
Угловой коэффициент прямой
Коэффициент 
в уравнении прямой 
называют угловым коэффициентом прямой, и он равен тангенсу угла, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс.
Необходимое и достаточное условие параллельности невертикальных прямых
Прямые 
параллельны тогда и только тогда, когда 
- Декартовы координаты в пространстве
- Геометрические преобразования в геометрии
- Планиметрия — формулы, определение и вычисление
- Стереометрия — формулы, определение и вычисление
- Перпендикулярность прямой и плоскости
- Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
- Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
- Ортогональное проецирование
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Координаты на плоскости
- Координатная плоскость
Указать положение точки на плоскости можно с помощью координат. Для этого проведем на плоскости две перпендикулярные координатные прямые так, чтобы их начала отсчета совпадали.
Эти прямые называют осями координат, точку их пересечения О — начало отсчета.
Горизонтальная ось — ось абсцисс, обозначают буквой 
, поэтому еще называют ось , пишут: 
.
Вертикальная ось — ось ординат, обозначают буквой 
, поэтому еще называют ось , пишут: 
.
Оси и вместе образуют прямоугольную систему координат на плоскости. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.
Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями и нумеруют так, как показано на рисунке ниже.
Отметим на координатной плоскости точку А. Проведем через нее прямую АВ, перпендикулярную оси абсцисс (АВ 
), и прямую АС, перпендикулярную оси ординат (АС ).
Точка В на оси имеет координату 5, а точка С на оси — координату 
3 . Число 5 называют абсциссой точки А, число 3 — ординатой точки А. Числа 5 и 3 однозначно определяют положение точки А на координатной плоскости, поэтому их называют координатами точки А и записывают: А(5; 3).
Обратите внимание, записывая координаты точки, абсциссу всегда ставят на первое место, а ординату — на второе. Если числа 5 и 3 поменять местами, то получим координаты другой точки — точки К(3; 5) (смотри рисунок выше).
У начала координат абсцисса и ордината равны нулю, записывают так: О(0; 0). Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю, а если на оси ординат, то нулю равна ее абсцисса. На рисунке ниже: Р(2; 0); Е(0; 4).
Чтобы попасть в точку D с координатами (4; 5), нужно сначала пройти по оси от начала отсчета влево на 4 единицы, а потом — на 5 единиц вниз.
Две точки с противоположными абсциссами и ординатами симметричны относительно начала координат.
На рисунке ниже точки N(2; 4) и М(2; 4) симметричны относительно начала координат.
Две точки, имеющие равные ординаты и противоположные абсциссы, симметричны относительно оси ординат.
На рисунке ниже точки Р(3; 2) и К(3; 2) симметричны относительно оси ординат.
Две точки, имеющие равные абсциссы и противоположные ординаты, симметричны относительно оси абсцисс.
На рисунке ниже точки Р(3; 2) и Е(3; 2) симметричны относительно оси абсцисс.
Советуем посмотреть:
Перпендикулярные прямые
Осевая и центральная симметрии
Параллельные прямые
Координаты на плоскости
Правило встречается в следующих упражнениях:
6 класс
Номер 1316,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1323,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 1398,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1400,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1462,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1467,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1531,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1535,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 5,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
Задание 6,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
7 класс
Номер 774,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 824,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 833,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 837,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 861,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 872,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 887,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 907,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1217,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 326,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 332,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 333,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 340,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 342,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 343,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 11,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 362,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 365,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник