Как найти количество теплоты выделившееся в катушке

2017-11-07   

Ток в катушке нарастает линейно от нуля до 5 A за 9 с. За это время в проводящем кольце, расположенном вблизи катушки, выделяется 1 Дж теплоты (см. рис.). Какое количество теплоты выделится в кольце, если ток в катушке возрастет линейно от нуля до 10 А за 3 с?

Решение:

Количество тепла $Q$, выделяющееся в кольце пропорционально $mathcal{E}^{2} Delta t$, где $mathcal{E}$ — ЭДС индукции. Для этой ЭДС, в свою очередь, справедлива цепочка пропорций:

$mathcal{E} sim frac{ Delta Phi}{ Delta t} sim frac{ Delta B}{ Delta t} sim frac{ Delta I}{ Delta t}$,

где $Phi, B, I$ — магнитный поток, индукция и сила тока в катушке соответственно. Таким образом, для обоих случаев имеем:

$Q_{1} sim left ( frac{ Delta I_{1}}{ Delta t_{1}} right )^{2} Delta t_{1}; Q_{2} sim left ( frac{ Delta I_{2}}{ Delta t_{2}} right )^{2} Delta t_{2}$.

Отсюда

$Q_{2} left [ frac{ frac{ Delta I_{2}}{ Delta t_{2}}}{ frac{ Delta I_{1}}{ Delta t_{1}}} right ] frac{ Delta t_{2}}{ Delta t_{1}} Q_{1} = frac{10^{2}/3}{5^{2}/9} cdot 1 = 12 Дж$.

Эта задача дает простой относительный метод измерения тепловыделения, в то время как его точный теоретический расчет оказывается очень громоздким.

§ 19. Закон Джоуля-Ленца. Энергетические превращения в электрической цепи

Для любого участка цепи, даже содержащего ЭДС, справедлив закон Джоуля – Ленца:

Отсюда мощность выделяемого тепла `P=W//t=I^2R`.

Пусть на участке `1-2` идёт постоянный ток $$ I$$, перенося за время $$ t$$ от т. `1` к т. `2` заряд $$ q=It$$.

Работой тока на участке `1-2` называется работа сил электростатического поля по перемещению $$ q$$ из т. `1` в т. `2:` $$ {A}_{mathrm{Т}}=q({varphi }_{1}-{varphi }_{2})$$.

Обозначим разность потенциалов (напряжение) $$ {varphi }_{1}-{varphi }_{2}=U$$. Тогда $$ {A}_{T}=qU=UIt$$. В зависимости от знака $$ U$$ получается и знак $$ {A}_{mathrm{T}}$$.

Мощность тока: 

Работой источника с ЭДС $$ mathcal{E}$$ при прохождении через него заряда $$ q$$ называется работа сторонних сил над зарядом `q:`

Aист=±qE{A}_{mathrm{ист}}=pm qmathcal{E}.

Если заряд переносится постоянным током $$ I$$, то $$ {A}_{mathrm{ист}}=pm mathcal{E}It$$.

Когда заряд (ток) через источник идёт в направлении действия сторонних сил, то работа источника положительна (он отдаёт энергию). Аккумулятор в таком режиме разряжается. При обратном направлении тока работа источника отрицательна (он поглощает энергию). В этом режиме аккумулятор заряжается, запасая энергию. Мощность источника:

Для участка цепи `1-2`, содержащего ЭДС (источник), работа тока $$ {A}_{mathrm{Т}}$$, работа источника $$ {А}_{mathrm{ист}}$$ и выделяемое количество теплоты $$ W$$ связаны равнением закона сохранения энергии: $$ {A}_{mathrm{T}}+{A}_{mathrm{ист}}=W$$.

Для участка цепи без ЭДС $$ {A}_{mathrm{ист}}=0$$, $$ {А}_{mathrm{Т}}=W$$ и количество теплоты равно работе тока. В этом случае количество теплоты можно выразить, используя закон Ома $$ I=U/R$$, через любые две из трёх величин: $$ I$$, $$ U$$ и $$ R$$:

Аналогичное соотношение и для мощностей:

Найти количество теплоты, выделяющееся на внутреннем сопротивлении каждого аккумулятора и на резисторе $$ R$$ за время $$ t=10$$ c в схеме на рис. 17.1. Какие работы совершают аккумуляторы за это время?

$$ {mathcal{E}}_{1}=12$$ B, $$ {mathcal{E}}_{2}=3$$ B, $$ {r}_{1}=1$$ Ом, $$ {r}_{2}=2$$ Ом, $$ R=6$$ Ом.

Рис. 17,1

Ток: $$ I=left({mathcal{E}}_{1}-{mathcal{E}}_{2}right)/(R+{r}_{1}+{r}_{2})=1$$ A.

Количество теплоты на аккумуляторах и на резисторе:

$$ {W}_{1}={I}^{2}{r}_{1}t=10$$ Дж,

$$ {W}_{2}={I}^{2}{r}_{2}t=20$$ Дж,

$$ W={I}^{2}Rt=60$$ Дж. 

Направление действия ЭДС первого аккумулятора совпадает с направлением тока, он разряжается, его работа положительна: $$ {A}_{1}={mathcal{E}}_{1}It=120$$ Дж.

ЭДС второго аккумулятора направлена против тока, он заряжается, поглощая энергию, его работа отрицательна: $$ A2=-{mathcal{E}}_{2}It=-30$$ Дж.

Заметим, что `A_1+A_2=W_1+W_2+W`, что согласуется с законом сохранения энергии.

Рис. 19.1

Конденсатор ёмкости $$ C$$, заряженный до напряжения $$ mathcal{E}$$, подключается к батарее с ЭДС $$ 3mathcal{E}$$ (рис. 19.1). Какое количество теплоты выделится в цепи после замыкания ключа?

После замыкания ключа ток в цепи скачком достигает некоторого значения и затем спадает до нуля, пока конденсатор не зарядится до напряжения $$ 3mathcal{E}$$. Энергия конденсатора увеличится на 

$$ ∆{W}_{C}=C{left(3mathcal{E}right)}^{2}/2-c{mathcal{E}}^{2}/2=4C{mathcal{E}}^{2}$$.

Через батарею пройдёт заряд $$ Q$$, равный изменению заряда не верхней обкладке конденсатора: $$ ∆q=3Cmathcal{E}-Cmathcal{E}=2Cmathcal{E}$$.

Работа батареи: $$ A=∆q3mathcal{E}=6C{mathcal{E}}^{2}$$. По закону сохранения энергии: 

$$ A=∆{W}_{C}+W$$.

В цепи выделится теплоты: $$ W=A-∆{W}_{C}=2C{mathcal{E}}^{2}$$.