Как найти количество целых значений функции на

Загрузить PDF

Множество значений (область значений) функции — все значения, которые принимает функция в ее области определения. Другими словами, это те значения у, которые вы получаете при подстановке всех возможных значений х. Все возможные значения х и называются областью определения функции. Выполните следующие действия для нахождения множества значений функции.

1

Запишите функцию. Например: f(x) = 3x² + 6x -2. Подставив x в уравнение, мы сможем найти значение y. Эта квадратичная функция, и ее график — парабола.
2
Найдите вершину параболы. Если вам дана линейная функция или любая другая с переменной в нечетной степени, например, f(x) = 6x³+2x + 7, пропустите этот шаг. Но если вам дана квадратичная функция или любая другая с переменной х в четной степени, нужно найти вершину графика этой функции. Для этого используйте формулу х=-b/2a. В функции 3x² + 6x -2 a = 3, b = 6, c = -2. Вычисляем: х = -6/(2*3)= -1.
- Теперь подставьте х= -1 в функцию, чтобы найти у. f(-1) = 3*(-1)² + 6*(-1) -2 = 3 — 6 -2 = -5.
- Координаты вершины параболы (-1,-5). Нанесите ее на координатную плоскость. Точка лежит в третьем квадранте координатной плоскости.
3
Найдите еще несколько точек на графике. Для этого подставьте в функцию несколько других значений х. Так как член x² положительный, то парабола будет направлена вверх. Для подстраховки подставим в функцию несколько значений x, чтобы узнать, какие значения y они дают.
- f(-2) = 3(-2)² + 6(-2) -2 = -2. первая точка на параболе (-2, -2)
- f(0) = 3(0)² + 6(0) -2 = -2. Вторая точка на параболе (0,-2)
- f(1) = 3(1)² + 6(1) -2 = 7. Третья точка на параболе (1, 7).
4

Найдите множество значений функции на графике. Найдите наименьшее значение у на графике. Эта вершина параболы, где у=-5. Так как парабола лежит выше вершины, то множество значений функции y ≥ -5.

Реклама

1

Найдите минимум функции. Вычислите наименьшее значение у. Допустим, минимум функции у=-3. Это значение может становиться все меньше и меньше, вплоть до бесконечности, так что минимум функции не имеет заданной минимальной точки.
2

Найдите максимум функции. Допустим, максимум функции у= 10. Как и в случае с минимумом, максимум функции не имеет заданной максимальной точки.
3
Запишите множество значений. Таким образом, множество значений функции лежит в диапазоне от -3 до +10. Запишите множество значений функции как: -3 ≤ f(x) ≤ 10
- Но, допустим, минимум функции у=-3, а ее максимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вверх). Тогда множество значений функции: f(x) ≥ -3.
- С другой стороны, если максимум функции у=10, а минимум — бесконечность (график функции уходит бесконечно вниз), то множество значений функции: f(x) ≤ 10.
Реклама

1

Запишите множество координат. Из множества координат можно определить его область значения и область определения. Допустим, дано множество координат: {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)}.^[1]
2

Перечислите значения у. Чтобы найти область значений множества, просто запишите все значения у: {-3, 6, -1, 6, 3}.^[2]
3

Удалите все повторяющиеся значения у. В нашем примере удалите «6»: {-3, -1, 6, 3}.^[3]
4

Запишите область значений в порядке возрастания. Областью значений множества координат {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} будет {-3, -1, 3, 6}.^[4]
5

Убедитесь, что множество координат дано для функции. Чтобы это было так, каждому одному значению х должно соответствовать одно значение у. Например, множество координат {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} дано не для функции, потому что одному значению х=2 соответствуют два разных значения у: у=3 и у=4.^[5]

Реклама

1

Прочитайте задачу. «Ольга продает билеты в театр по 500 рублей за билет. Общая вырученная сумма за проданные билеты является функцией от количества проданных билетов. Какова область значений этой функции?»
2
Запишите задачу как функцию. В этом случае М — общая вырученная сумма за проданные билеты, а t — количество проданных билетов. Так как один билет стоит 500 рублей, надо умножить количество проданных билетов на 500, чтобы найти вырученную сумму. Таким образом, функция может быть записана в виде M(t) = 500t.
- Например, если она продаст 2 билета, нужно умножить 2 на 500 — в итоге получим 1000 рублей, вырученных за проданные билеты.
3

Найдите область определения. Для нахождения области значений вы должны сначала найти область определения. Это все возможные значения t. В нашем примере Ольга может продать 0 или больше билетов, — она не может продать отрицательное число билетов. Поскольку мы не знаем количество мест в театре, можно предположить, что теоретически она может продать бесконечное число билетов. И она может продавать только целые билеты (она не может продать, например, 1/2 билета). Таким образом, область определения функции t = любое неотрицательное целое число.
4
Найдите область значений. Это возможное количество денег, которые Ольга выручит от продажи билетов. Если вы знаете, что область определения функции — любое неотрицательное целое число, а функция имеет вид: М(t) = 5t, то вы можете найти вырученную сумму, подставив в функцию любое неотрицательное целое число (вместо t). Например, если она продаст 5 билетов, то М(5) = 5*500 = 2500 рублей. Если она продаст 100 билетов, то М(100) = 500 х 100 = 50000 рублей. Таким образом, область значений функции — любые неотрицательные целые числа, кратные пятистам.
- Это означает, что любое неотрицательное целое число, которое делится на 500, является значением у (вырученная сумма) нашей функции.
Реклама

Советы

В более сложных случаях лучше сначала чертить график, используя область определения, и только потом находить область значений.
Посмотрите, можете ли вы найти обратную функцию. Область определения обратной функции равна области значений исходной функции.
Проверьте, повторяется ли функция. Любая функция, которая повторяется вдоль оси x, будет иметь ту же область значений для всей функции. Например, область значений для f(x) = sin(x) будет составлять от -1 до 1.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 455 114 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Множество значений функции

Онлайн калькулятор поможет найти множество значений (область значений) функции — все значения, которые принимает функция в ее области определения. Другими словами, это те значения у, которые получаются при подстановке всех возможных значений х.

Теперь рассмотрим следующий вопрос: Как найти множество значений функции? Решение этой задачи с помощью онлайн калькулятора не составит труда, просто введите нужную функцию и получите ответ.

Синтаксис
основных функций:
x^a: x^a
|x|: abs(x)
√x: Sqrt[x]
ⁿ√x: x^(1/n)
a^x: a^x
log^ax: Log[a, x]
ln x: Log[x]
cos x: cos[x] или Cos[x]

sin x: sin[x] или Sin[x]
tg: tan[x] или Tan[x]
ctg: cot[x] или Cot[x]
sec x: sec[x] или Sec[x]
cosec x: csc[x] или Csc[x]
arccos x: ArcCos[x]
arcsin x: ArcSin[x]
arctg x: ArcTan[x]
arcctg x: ArcCot[x]
arcsec x: ArcSec[x]

arccosec x: ArcCsc[x]
ch x: cosh[x] или Cosh[x]
sh x: sinh[x] или Sinh[x]
th x: tanh[x] или Tanh[x]
cth x: coth[x] или Coth[x]
sech x: sech[x] или Sech[x]
cosech x: csch[x] или Csch[е]
areach x: ArcCosh[x]
areash x: ArcSinh[x]
areath x: ArcTanh[x]

areacth x: ArcCoth[x]
areasech x: ArcSech[x]
areacosech x: ArcCsch[x]
конъюнкция «И» ∧: &&
дизъюнкция «ИЛИ» ∨: ||
отрицание «НЕ» ¬: !
импликация =>
число π pi : Pi
число e: E
бесконечность ∞: Infinity, inf или oo

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Источник

Отыщем область значений указанной функции.
Для этого сначала преобразуем определённым образом подкоренное выражение для удобства: раскроем скобки, затем дважды используем формулу понижения степени, приведя выражение к квадратному трёхчлену относительно некоторой функции.

$6 + 2 sin^{2} x - 6sin4x + cos2x + cos 8x = 6 + 1 - cos2x - 6sin4x + cos2x \ + cos 8x = 7 - 6sin4x + cos8x = 7 - 6sin4x + 1 - 2 sin^{2} 4x = -2 sin^{2} 4x \ - 6sin 4x + 8$
Таким образом, мы смогли привести подкоренное выражение к квадратному трёхчлену относительно sin4x. На всякий случай скажу, что в препоследнем равенстве с помощью формулы понижения степени я выразил квадрат синуса через косинус удвоенного угла.

Теперь всё сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений полученного трёхчлена. Если мы сделаем замену t = sin 4x, то получаем квадратный трёхчлен
$-2 t^{2} - 6t + 8$
, ветви соответствующей параболы которого направлены вниз в силу отрицательности коэффициента при квадрате. Найдём её абсциссу оси симметрии:
$x_{0} = frac{-b}{2a} = frac{6}{-4} = -1,5$ . Следовательно, квадратичная функция правее оси симметрии монотонно убывает, то есть, при . Поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. В частности, это происходит и на отрезке [-1,1] . Почему этот отрезок важен, так потому, что вспоминаем, что t — это у нас не переменная сама по себе, а синус, который принимает значения именно из указанного отрезка.

Итак, на отрезке [-1,1] квадратный трёхчлен относительно t убывает, поэтому наименьшее его значение достигается в правом конце(в точке 1), а наибольшее — в левом(в точке -1). То есть,
$y_{min} = -2 * 1 - 6 * 1 + 8 = 0 \ y_{max} = -2 * (-1)^{2} - 6 * (-1) + 8 = 12$ , где $y = -2 sin^{2} 4x - 6sin4x + 8$ .
То есть, .

А тогда квадратный корень из этого выражения(в силу своей монотонности), даёт .
Теперь считаем, какие целые числа входят в полученную область значений.
0, 1, 2, 3 — и всё. Их ровно 4.

Источник

subjects:mathematics:множество_значений_функции

Содержание

Математика ( Справочник )

- Множество значений функции

Нахождение множества значений функции

Обозначения

D(f) — те значения, которые может принимать аргумент, т.е. область определения функции.
E(f) — те значения, которые может принимать функция, т.е. множество значений функции.

Способы нахождения областей значений функций.

последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
метод оценок/границ;
использование свойств непрерывности и монотонности функции;
использование производной;
использование наибольшего и наименьшего значений функции;
графический метод;
метод введения параметра;
метод обратной функции.

Рассмотрим некоторые из них.

Используя производную

Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).

В случае, если нужно найти множества значений функции на отрезке:

найти производную данной функции f ‘(x);
найти критические точки функции f(x) и выбрать те из них, которые принадлежат данному отрезку;
вычислить значения функции на концах отрезка и в выбранных критических точках;
среди найденных значений выбрать наименьшее и наибольшее значения;
Множество значений функции заключить между этими значениями.

Если областью определения функции является интервал, то используется та же схема, но вместо значений на концах используются пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Значения пределов из не входят в множество значений.

Метод границ/оценок

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, а затем отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Используя неравенства — определяют границы.

Суть состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.

Свойства непрерывной функции

Другой вариант заключается в преобразовании функции в непрерывную монотонную, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

Последовательное нахождение значений сложных аргументов функции

Основан на последовательном отыскании множества значений промежуточных функций, из которых составлена функция

Области значений основных элементарных функций

Функция	Множество значений
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^{2n}$	E(y) = [0;+∞)
$y = x^{2n +1}$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = k/x$	E(y) = (-∞;0)u(0;+∞)
$y = x^{frac{1}{2n}}$	E(y) = [0;+∞)
$y = x^{frac{1}{2n+1}}$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = a^{x}$	E(y) = (0;+∞)
$y = log_{a}{x}$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = sin{x}$	E(y) = [-1;1]
$y = cos{x}$	E(y) = [-1;1]
$y = {rm tg}, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = {rm ctg}, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = arcsin{x}$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = arccos{x}$	E(y) = [0; π]
$y = {rm arctg}, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = {rm arcctg}, x$	E(y) = (0; π)

Примеры

Найдите множество значений функции:

Используя производную

НЕ используя производную

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

$f(x)=sin^{2}{x}+cos{x}-frac{1}{2}$

Используя метод границ/оценок

$y=5-4sin{x}$

$y=cos{7x}+5cos{x}$

$f(x)=1+2sin^{2}{x}$

$$
\ -1leqsin{x}leq 1
\ 0leqsin^{2}{x}leq 1
\ 0leq2sin^{2}{x}leq 2
\ 1leq1+2sin^{2}{x}leq 3
$$
Ответ: E(f) = [1; 3].

$f(x)=3-2^{3+{rm tg}^{2}, x}$

$$
\ -infty < {rm tg}, x < +infty
\ 0 leq {rm tg}^{2}, x < +infty
\ 3 leq 3+{rm tg}^{2}, x < +infty
\ 2^{3} leq 2^{3+{rm tg}^{2}, x} < +infty
\ -infty < -2^{3+{rm tg}^{2}, x} leq -8
\ -infty < 3-2^{3+{rm tg}^{2}, x} leq -5
$$
Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$f(x)=2+sqrt{16-lg^{2}{x}}$

$$
\ -infty < lg{x} < +infty
\ 0 leq lg^{2}{x} < +infty
\ -infty < -lg^{2}{x} leq 0
\ -infty < 16-lg^{2}{x} leq 16
\ 0 leq sqrt{16-lg^{2}{x}} leq 4
\ 2 leq 2+sqrt{16-lg^{2}{x}} leq 6
$$
Ответ: E(f) = [2; 6].

$f(x)=sqrt{2-x}+sqrt{2+x}$

$y=sin{x}+cos{x}$

Используя непрерывную функцию

Иные

Использованная литература

Статьи:

Область значения функций в задачах ЕГЭ, Минюк Ирина Борисовна
Советы по нахождению множества значений функции, Беляева И., Федорова С.
Нахождение множества значений функции
Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах, И.И.Мельников, И.Н.Сергеев

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

1) Вычислите значение функции в точке х₀ = 1.

2) Найдите значение функции при х = 4.

3) Для функции вычислите f(-1)-f(1).

4) Найдите g(f(x)), если Вычислите g(f(2)).

Найдите области определения функций:

5) .

6) .

7) .

9) .

10) .

11) .

12)

13) .

14) y=log₅(x+3).

15) y=log₅(x²-4).

16) .

При каких значениях х функции не определены?

17) .

18) .

19) .

20) .

21) y=ctgx+tgx.

22) .

23) .

Укажите длину интервала области определения для функций:

24) .

25) y=log₄(5x+6-x²)

26) y=log₆(x²+3).

Укажите области значения функций:

27) y=-3sinx.

28) y=0,7cos3x.

29) .

Решите задачи:

30) Сколько натуральных значений может принять функция y=log₂(4-x²) на всей области определения?

31) Найдите сумму целых значений функции y=3cosx-5.

32) Укажите функцию, областью значений которой является множество .

33) Укажите график функции, возрастающей на отрезке [-3; 2].

34) Укажите функцию, которая возрастает на всей области определения.

1) y=-x^0,5; 2) y=1-e^-x; 3) y=ctg2x; 4) y=|-x|.

35) Найдите нули функции .

36) Найдите нули функции

37) Найдите наименьшее значение функции f(x)=3^2x-1 на промежутке [-3; 1].

38) Вычислите координаты точек пересечения графика функции у = – 2х² + 4х + 6 с осью OY.

39) Вычислите ординату точки пересечения прямой у = 5 – 2х с осью ОY.

40) Укажите точки пересечения графиков функций у = 2х + 4 и у = – 2х.

41) В каких точках график функции f (x) = 3x² + 6x пересекает прямую у = 6 – х?

42) Укажите промежутки возрастания функции y=sin3x на интервале .

43) Укажите промежутки убывания функции y=-2cosx на интервале .

Повышенный уровень

44) При каких значениях а графики функций у = 3х – 4х³ и у = а имеют единственную общую точку?

45) Найдите длину промежутка области значений функции .

46) Найдите середину промежутка области значений функции y=cosx+|cosx|.

47) Найдите наибольшее целое значение выражения 2t, где t – число, принадлежащее области значений функции y=cos2x•tg2x.

48) Найдите наименьшее значение функции .

49) Укажите наименьшее значение функции y=log₂(x²-4x+12).

50) Укажите наибольшее значение функции .

51) Вычислите значение функции y=4•sin7x при , если при функция принимает значение – 2.

52) Вычислите значение функции y=|tg2x| при , если значение данной функции при равно 1.

53) Найдите значение 2sint, где t – сумма точек максимума функции на промежутке .

54) Укажите наибольшее значение функции y=cos(tgx) на промежутке .

Источник

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Множество значений функции

Содержание

Нахождение множества значений функции

Обозначения

Способы нахождения областей значений функций.

Используя производную

Метод границ/оценок

Свойства непрерывной функции

Последовательное нахождение значений сложных аргументов функции

Области значений основных элементарных функций

Примеры

Используя производную

НЕ используя производную

Используя метод границ/оценок

Используя непрерывную функцию

Иные

Использованная литература

Рекомендуем

1. Понятие функции

2. Основные элементарные функции

3. Некоторые алгебраические функции

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Повышенный уровень

Не пропустите также: