Как найти кинетическую энергию центра масс

Содержание:

1. Динамика механической системы
2. Геометрия масс
3. Механическая система. Центр масс механической системы
4. Порядок решения задач на определение центра масс механической системы
5. Примеры решения задач на тему: Определение центра масс механической системы
6. Моменты инерции твердого тела относительно оси
7. Моменты инерции некоторых однородных тел
8. Примеры решения задач на тему: Моменты инерции твердого тела относительно оси
9. Теорема о движении центра масс механической системы
10. Закон сохранения движения центра масс
11. Порядок решения задач на применение теоремы о движении центра масс
12. Примеры решения задач на тему: Теорема о движении центра масс механической системы
13. Теорема об изменении количества движения точки и механической системы
14. Импульс силы
15. Теорема об изменении количества движения точки и системы
16. Закон сохранения количества движения системы
17. Порядок решения задач на применение теоремы об изменении количества движения точки и механической системы
18. Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении количества движения точки и механической системы
19. Теорема об изменении момента количества движения точки и механической системы
20. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси
21. Порядок решения задач на применение теоремы об изменении момента количества движения точки и механической системы
22. Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении момента количества движения точки и механической системы
23. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
24. Кинетическая энергия механической системы
25. Определение кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения
26. Порядок решения задач на использование теоремы об изменении кинетической энергии механической системы
27. Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Динамика механической системы – изучает движение совокупности материальных точек и твердых тел, объединяемых общими законами.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Динамика механической системы

В предыдущей главе рассматривались задачи, связанные с движением материальной точки, которая находится под действием приложенных к ней сил. Однако часто приходится встречаться с такими случаями, когда движение одной точки невозможно рассматривать изолированно от движения других материальных точек. Это заставляет нас перейти к изучению движения совокупности материальных точек, или механических систем.

В механике под механической системой материальных точек или тел имеют в виду такую их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения или движения всех других.

Совокупность тел, между которыми отсутствуют силы взаимодействия и движение которых никаким образом не связано друг с другом, механическую систему не создают. Механические системы бывают свободными и несвободными.

Система материальных точек, движение которых не ограничено никакими связями, а определяется только действующими на эти точки силами, называется системой свободных точек.

Система материальных точек, движение которых ограничивается наложенными на точки связями, называется системой несвободных точек.

Решение задач динамики механической системы базируется на теоремах динамики и некоторых принципах, которые будут рассмотрены в данной главе.

Геометрия масс

Геометрия точки масс, в просторечии известная как точки масс , является проблемой геометрии — метод решения , который применяет физический принцип центра масс к геометрическим задачам, включающим треугольники и пересекающиеся чевианы . Все задачи, которые могут быть решены с использованием геометрии материальных точек, также могут быть решены с использованием аналогичных треугольников, векторов или соотношений площадей, но многие студенты предпочитают использовать массовые точки.

Механическая система. Центр масс механической системы

В механике под механической системой подразумевают совокупность взаимодействующих между собой материальных точек или тел.

Частным случаем механической системы является абсолютно твердое тело.

Массой механической системы называется сумма масс всех точек, входящих в систему:

где  — масса материальной точки с номером ,

 — число всех точек системы.

Центром масс (центром инерции) механической системы называется точка  (рис.5.1), радиус-вектор которой определяется по формуле:

где  — масса системы материальных точек;

 — радиус-вектор точки с массой .

Декартовы координаты центра масс системы материальных точек определяются по зависимостям:

Здесь  — координаты -ой материальной точки.

Для твердого тела центр масс совпадает с центром тяжести.

Порядок решения задач на определение центра масс механической системы

Решение задач, в которых необходимо определить положение центра масс и уравнение его траектории, рекомендуется проводить в следующей последовательности:

Определить координаты центра масс системы по формулам (5.1), при этом  будут функциями времени, то есть, полученные выражения будут параметрическими уравнениями движения центра масс.

Для нахождения уравнений траектории центра масс надо с последних выражений (пункт 3) исключить время.

Примеры решения задач на тему: Определение центра масс механической системы

Задача № 1

Определить положение центра масс центробежного регулятора, изображенного на рис.5.2, если вес каждого из шаров  и  равен , вес муфты равен . Пули  и   считать материальными точками. Массой стержней пренебречь.

Решение. Система координат, относительно которой необходимо определить положение центра масс, изображена на рис.5.2.

Для определения положения центра масс системы надо определить его координаты по формулам (5.1):

где 

 — координаты центра масс пуль ,  и муфты .

Следовательно,

Находим координаты центров масс:

пули : 

пули : 

муфты : 

Тогда: 

поскольку

Ответ: 

Задача № 2

Найти уравнение движения центра масс шарнирного параллелограмма а также уравнение траектории его центра масс при вращении кривошипа с постоянной угловой скоростью . Звенья параллелограмма — однородные стержни (рис.5.3), и

Решение. Начало системы координат свяжем с шарниром кривошипа . Ось направим справа по линии а ось — перпендикулярно линии .

Поскольку звенья 1,2,3 параллелограмма однородны, то центры масс их лежат посередине звеньев (точки ).

Из размеров звеньев вытекает:

Определим координаты центров масс звеньев механизма как функции угла поворота (рис.5.3):

Для определения координат центра масс шарнирного параллелограмма воспользуемся зависимостью (5.1):

Для определения уравнения траектории центра масс (точки ) исключим параметр из уравнений (1) и (2). С этой целью выполним следующие преобразования:

Сложим, соответственно, левые и правые части этих уравнений:

Таким образом, траекторией центра масс шарнирного параллелограмма является окружность:

с радиусом, равным , с центром в точке с координатами 

Ответ:  

Задача № 3

Определить траекторию центра масс механизма эллипсографа (рис.5.4), который состоит из муфт  и  весом каждая, кривошипа весом и линейки весом , если 

Считать, что линейка и кривошип есть однородные стержни, а муфты — точечные массы.

Решение. Механизм состоит из 4 подвижных звеньев. Для удобства решения задачи пронумеруем звенья соответственно рис.5.4.

Система координат, относительно которой будет определяться траектория центра масс механизма показана на рисунке.

Сначала определим координаты центров масс всех звеньев механизма:

Для определения координат центра масс механизма эллипсографа воспользуемся формулой (5.1):

Следовательно, координаты центра масс эллипсографа имеют значения:

Для нахождения уравнения траектории центра масс в явном виде необходимо из этих уравнений исключить угол . Решив оба уравнения относительно и , возводя их затем к квадрату и сложив, получим:

Траекторией центра масс является окружность с центром в точке и радиусом , который равен:

Ответ: 

Задача № 4

Определить зависимость от угла поворота кривошипа координат центра масс кривошипно-ползунного механизма, что изображено на рис.5.5. Длина кривошипа , его вес , длина шатуна , его вес , вес ползуна .

Решение. Выберем систему координат как показано на рис.5.5. Рассмотрим механизм в произвольном положении, которое определяется углом (для любого положения , так как ).

Применяя формулу (5.1), получим:

где  — координаты центров тяжести тел, составляющих систему,

 — масса всей системы.

С рис.5.5 находим:

Масса всей системы в данном случае равна:

Подставляя в выражения (1) и (2) значения координат центров масс тел механической системы и величину массы системы , получим:

Ответ: 

Задача № 5

Определить уравнение траектории центра масс кулисного механизма (рис.5.6), если вес кривошипа равен , вес ползуна равен , а вес кулисы и штанги равен . Кривошип, который вращается с постоянной угловой скоростью , считать тонким однородным стержнем, а ползун – точечной массой. Центр тяжести кулисы и штанги расположен в точке , причем . При расчетах принять:

Будем считать, что в начальный момент ползун занимал крайнее правое положение.

Решение. Выберем оси декартовых координат, как показано на рисунке, где положение кулисного механизма соответствует моменту времени . Так как кривошип вращается равномерно, то его угол поворота равен

Для определения положения центра масс системы необходимо найти его координаты  и  по формуле (5.1).

Поскольку механическая система состоит из трех тел — кривошипа , ползуна и кулисы со штангой , то:

Индекс 1 соответствует кривошипу, индекс 2 — ползуну , индекс 3 — кулисе со штангой.

Из рисунка видно:

Подставим значения в формулы для определения  и .

Исключим время в уравнениях, которые определяют движение центра масс.

Для этого решим оба уравнения относительно и :

Возведем эти уравнения к квадрату и добавим:

Таким образом, траекторией центра масс кулисного механизма является эллипс с полуосями и

Центр эллипса лежит на оси и отдален от начала координат вправо на расстояние

Ответ: 

Моменты инерции твердого тела относительно оси

Влияние собственных свойств тела на вращательное движение значительно сложнее, чем в поступательном движении.

Также как масса тела является мерой инертности тела при его поступательном движении, так и момент инерции тела относительно данной оси является мерой инертности тела при его вращательном движении.

Как мера инертности тела момент инерции входит во все формулы вращательного движения. Не зная момента инерции тела, не умея его определить, нельзя решать задачи, которые связаны с вращательным или сложным движением тела, частью которого является вращательное движение.

Момент инерции тела (системы) относительно оси, например , обозначим (индекс указывает на ось, относительно которой определяется момент инерции).

Моментом инерции тела относительно оси, например , называется скалярная величина, равная сумме произведений масс точек тела на квадраты их расстояний к оси:

Если тело сплошное, то под необходимо понимать массу элементарной частицы тела , тогда момент инерции будет выражаться интегралом:

где  — расстояние доли от оси.

Этот интеграл берется по всей массе тела. Очевидно, что величина момента инерции зависит от размеров и формы тела , а также от закона распределения массы в теле.

Момент инерции измеряется в системе СИ — в , в технической системе – в .

Для тел правильной геометрической формы определение моментов инерции делается с помощью интегрального вычисления. Если тело имеет неправильную форму, то момент инерции его определяется либо приблизительно, путем разбития тела на несколько тел, которые имеют правильную геометрическую форму, либо экспериментально.

Для однородного тела, при плотности :

где интеграл берется по всему объему тела.

Для однородной материальной поверхности:

где  — масса единицы плоскости поверхности и интеграл берется по всей плоскости поверхности.

Для однородной материальной линии:

где  — масса единицы длины линии. Интеграл берется по длине .

Для одной материальной точки, которая находится на расстоянии от оси, момент инерции равен:

Иногда при определении момента инерции тела пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси, например , называется линейная величина , определяемая равенством:

где  — масса тела.

Следовательно, радиус инерции определяет расстояние от оси к точке, в которой необходимо сосредоточить всю массу тела, чтобы момент инерции точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела.

Момент инерции системы относительно начала координат равен

Моменты инерции относительно координатных осей (осевые моменты) выражаются зависимостями:

Существует простая зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей, одна из которых проходит через его центр масс (теорема Гюйгенса-Штейнера).

Момент инерции тела относительно любой оси равен моменту инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

где  — момент инерции тела относительно оси, которая проходит через центр масс и параллельна данной;

 — момент инерции тела относительно данной оси;

 — расстояние между осями.

Из выражения (5.4) вытекает, что наименьшим момент инерции тела будет относительно той оси, которая проходит через центр его масс.

Моменты инерции некоторых однородных тел

Форма тела.	Схема тела.	Момент инерции.
Тонкий прямолинейный стержень
-„-
Круглая пластинка малой толщины
Кольцо (материальная окружность)
Круглый цилиндр
Прямоугольный параллелепипед
Полый шар со стенками малой толщины
Шар

Примеры решения задач на тему: Моменты инерции твердого тела относительно оси

Задача №1

Маятник, изображенный на рис. 5.7, состоит из тонкого однородного стержня длиной и массой и круглого однородного диска с радиусом и массой

Определить момент инерции относительно оси его вращения (ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка).

Решение. Маятник состоит из двух тел: стержня и диска, поэтому

где  и  моменты инерции относительно оси стержня и диска, соответственно.

Момент инерции стержня равен (см. 5.5):

Момент инерции диска найдем по формуле (5.4):

где  — момент инерции диска относительно оси, которая проходит параллельно оси через его центр масс, точку , а расстояние от центра масс к оси —

Итак

Пользуясь выражениями для моментов инерции стержня (2) и диска (3), найдем момент инерции маятника относительно оси :

После подстановки в выражение (4) числовых данных, получим:

Ответ: 

Задача №2.

Определить момент инерции стального вала радиуса см и массой относительно его образующей. Вал считать однородным сплошным цилиндром (рис.5.8).

Решение. Для определения момента инерции стального вала относительно оси , надо воспользоваться формой Гюйгенса-Штейнера

где  — момент инерции относительно оси , которая проходит через центр масс тела.,

— масса вала,

 — расстояние между осями, равное радиусу вала.

Тогда

Ответ: 

Задача № 3

Определить осевые моменты инерции и изображенной на рис.5.9 однородной прямоугольной пластинки весом .

Решение. Определим момент инерции пластинки относительно оси . Для этого выделим на расстоянии полоску шириной .

Момент инерции этой тонкой полоски относительно оси равен:

где  — масса полоски.

Масса полоски равна:

где  — площадь полоски;

— масса единицы площади поверхности пластинки.

Тогда:

а момент инерции всей пластинки будет равен сумме моментов инерции всех полосок, на которые можно разбить пластинку:

При предельном переходе, то есть, когда 

Итак, 

Вычислим массу пластинки:

Таким образом

Момент инерции пластинки относительно оси находим аналогичным путем и получим:

Ответ: 

Задача №4

Определить момент инерции относительно оси   однородного прямоугольного параллелепипеда весом (рис.5.10).

Решение. Выделим элементарный параллелепипед со сторонами основания и высотой Расстояние элементарного параллелепипеда от осей  и  равно и соответственно.

Момент инерции элементарного параллелепипеда относительно оси равен:

где: — масса элементарного параллелепипеда, равна:

Тогда, 

а момент инерции всего параллелепипеда

При предельном переходе, то есть при  то сумма, которая стоит справа, переходит в двойной интеграл:

Вычислим двойной интеграл:

Масса параллелепипеда:

Следовательно,

Ответ: 

Задача №5

Определить момент инерции относительно оси тонкой однородной параболической пластинки (рис.5.11) массой . Предельная прямая пластинки параллельна оси  и удалена от нее на расстояние . Уравнение параболы, которая ограничивает пластинку, имеет вид

Решение. Проведем на пластинке (рис.5.11) две прямые, параллельные оси и удаленные от нее на расстоянии  и 

Вычислим момент инерции относительно оси элементарной полоски, которая ограничена этими прямыми и параболическим контуром пластинки (заштрихована на рисунке):

где  — элементарная масса плоскости, которая равна:

Здесь  — плотность пластинки,

— площадь пластинки.

Итак,

Из уравнения  вытекает 

Таким образом

Момент инерции пластинки относительно оси равен:

Масса пластинки 

где площадь пластинки 

Тогда 

Следовательно,

Ответ: 

Задача №6

Определить для тонкого равнобедренного треугольника , основание которого равно , высота и масса (рис.5.12), его моменты инерции относительно основания и относительно высоты.

Решение. С серединой основания равнобедренного треугольника свяжем начало системы координат ; ось проведем по основанию , а ось – перпендикулярно  основанию.

Для определения момента инерции треугольника относительно основания (относительно оси ) выделим на расстоянии элементарную полоску шириной .

Момент инерции этой полоски относительно оси составит:

где , масса полоски длиной , равна:

Тогда момент инерции элементарной полоски относительно основания будет равен:

Найдем зависимость между координатой  и длиной полоски . Из сходства треугольников и (рис.5.12) следует:

или 

откуда

Подставив (2) у (1’), получим:

а момент инерции треугольника  относительно основания определится как

или

В интеграле (3) границы координаты меняются от к .

Высчитаем интеграл (3):

Выразим момент инерции через массу треугольника :

Преобразуем выражение (4):

или

Перейдем к определению момента инерции треугольника относительно его высоты .

Поскольку у треугольника высота является осью симметрии, то достаточно определить момент инерции относительно этой оси для прямоугольного треугольника , тогда

где  — момент инерции треугольника ;

 — момент инерции треугольника .

Расчетная схема для определения момента инерции приведена на рис.5.13.

Выделим элементарную полоску на расстоянии от оси , ширина полоски — , длина — . 

Определим момент инерции этой полоски относительно оси :

где — масса элементарной полоски.

Определим зависимость между длиной полоски и координатой . Из сходства треугольников и получается:

 или 

откуда

Подставив (6) у (5), получим:

Момент инерции треугольника относительно оси (относительно высоты ), равен:

или

Определим интеграл (7):

Окончательно,

Тогда, момент инерции треугольника  относительно высоты будет равен:

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 34.9, 34.12, 34.16 [2].

Теорема о движении центра масс механической системы

Силы, действующие на механическую систему, можно условно поделить на внешние и внутренние.

Силы, которые действуют на точки данной механической системы со стороны точек или тел, не входящих в эту систему, называются внешними.

Силы, действующие на точки механической системы со стороны точек данной системы, называются внутренними.

Внешние силы обозначаются верхним индексом , внутренние – : -внешняя сила, — внутренняя сила.

Внутренние силы обладают следующими свойствами:

а) геометрическая сумма (главный вектор) внутренних сил равна нулю:

б) геометрическая сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил относительно любого центра или оси равна нулю:

Теорема о движении центра масс механической системы формулируется следующим образом:

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

где — масса системы;

 — ускорение центра масс;

 — сумма внешних сил, которые действуют на систему.

Из сравнения приведенной выше формулы со вторым законом динамики, который, как известно, записан для материальной точки:

можно сделать следующий вывод:

Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточено массу всей системы и к которой приложены те же внешние силы, действующие на систему.

Теорема о движении центра масс системы, если ее записать в проекциях на оси декартовой системы координат, имеет вид:

где  — координаты центра масс механической системы.

Из приведенных уравнений следует, что внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс. Теорема позволяет исключить из рассмотрения все ранее неизвестные внутренние силы.

Задачи динамики поступательного движения твердого тела решаются с помощью теоремы о движении центра масс системы материальных точек.

Действительно, применив эту теорему, мы определим уравнение траектории, скорость и ускорение центра тяжести твердого тела. При поступательном движении твердого тела траектории всех его точек одинаковы, одинаковы и их скорости и ускорения.

Закон сохранения движения центра масс

Из теоремы о движении центра масс вытекает несколько следствий:

а) если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Пусть , тогда 

 или , поэтому 

Если изначально центр масс был в покое, то он и останется в покое. Если же начальная скорость не равна нулю, то центр масс движется прямолинейно и равномерно с этой скоростью;

б) если геометрическая сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю, но сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось ) равна нулю, то центр масс системы вдоль этой оси или не движется, или движется равномерно.

Если , то:

 или , поэтому 

Если при этом равна нулю начальная скорость, то есть , то , то есть 

Таким образом видим, что в этом случае координата центра масс  механической системы во время ее движения остается неизменной.

При проекция центра масс на ось движется равномерно.

Все эти результаты выражают законы сохранения движения центра масс системы.

Порядок решения задач на применение теоремы о движении центра масс

Рекомендуется такая последовательность решения задач:

Изобразить на рисунке все внешние силы, действующие на систему;

Выбрать систему координат;

Записать теорему о движении центра масс в векторной форме;

Спроектировать это векторное уравнение на оси координат;

Высчитать суммы проекций всех внешних сил на оси координат и подставить их в проекции уравнения движения;

Решить полученные уравнения и определить искомые величины.

Примеры решения задач на тему: Теорема о движении центра масс механической системы

Задача № 1

Определить главный вектор внешних сил, действующих на колесо весом , которое скатывается без скольжения с наклонной плоскости, если его центр масс движется по закону (рис.6.1).

Решение. Покажем внешние силы, которые действуют на колесо: силу тяжести и реакцию поверхности , которые проходят через центр масс колеса .

Запишем теорему о движении центра масс в векторной форме:

Выбираем систему координат и спроектируем уравнение (1) на оси  и :

Поскольку . то  и . То есть, главный вектор внешних сил является параллельным оси :

Найдем проекцию ускорения центра масс на ось :

Итак, 

Ответ: 

Задача №2

Колесо весом и радиусом катится со скольжением по прямолинейной горизонтальной рейке в результате действия постоянной силы , которая приложена к его центру тяжести (рис.6.2).

Определить скорость центра масс колеса, если в начальный момент оно находилось в покое. Коэффициент трения скольжения равен .

Решение. На колесо действуют внешние силы:  — сила тяжести колеса, — движущая сила, — нормальная реакция рейки, — сила трения скольжения, которая направлена вдоль рельса в сторону, противоположную силе .

Запишем теорему о движении центра масс колеса в векторной форме:

где  — ускорение центра масс колеса.

Спроектируем это уравнение на оси координат :

Во время движения колеса  Итак  из второго уравнения (1) получаем:

Поскольку при качении колеса со скольжением сила трения достигает своего максимального значения, то

Подставим (3) в первое из уравнений (1) и получим:

Поскольку 

то

Согласно начальным условиям при с тех пор находим, что произвольная постоянная

Итак, закон изменения скорости центра масс колеса имеет вид:

Ответ: 

Задача №3

На однородную призму , которая лежит на горизонтальной плоскости, положили однородную призму (рис.6.3,а), поперечные сечения призм – прямоугольные треугольники, вес призмы втрое больше веса призмы . Необходимые размеры показаны на рисунке.

Определить длину , на которую передвинется призма , когда призма , спускаясь по поверхности призмы , дойдет к горизонтальной плоскости. Предположить, что все поверхности, которые соприкасаются, идеально гладкие.

Решение. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из 2-х призм  и . Призма , спускаясь по призме справа, как будто выжимает ее, отодвигает налево (рис.6.3, б).

Для решения этой задачи применим теорему о движении центра масс.

На систему действуют внешние силы: тяжести  призмы , тяжести призмы , нормальная реакция плоскости (рис.6.3). Внешняя сила трения призм по идеально гладкой поверхности равна нулю.

Таким образом, все внешние силы системы вертикальны. Внутренние силы системы (давление призмы  на призму , реакция на это давление, а также силы трения между призмами  и ), нас не интересуют.

Введем систему координат , ось направим по горизонтали справа и запишем теорему о движении центра масс системы в проекции на ось :

Поскольку внешние силы перпендикулярны оси , то

Тогда

где  — постоянная интегрирования.

В начальный момент времени система находилась в состоянии покоя, то есть скорость центра масс  Итак,

Из этого следует, что , то есть, абсцисса центра масс, независимо от перемещения призм, остается постоянной.

Запишем выражение для определения координаты центра масс в начале движения:

где  — абсцисса центра масс призмы ,

 — абсцисса центра масс призмы .

Выражение для определения координаты центра масс системы, когда призма опускается по боковой грани призмы  к горизонтальной плоскости:

где  — новое значение абсциссы центра масс призмы ,

 — новое значение абсциссы центра масс призмы .

Поскольку , то 

или 

Перепишем это уравнение следующим образом:

Найдем перемещение центров масс призм  и :

Присутствие слагаемого () в последнем уравнении учитывает перемещение призмы вместе с призмой слева на величину .

Подставим значение перемещений в уравнение (1):

.

Решим это уравнение относительно , имея в виду, что :

Ответ: 

Задача №4

Три груза (рис.6.4), весом соединенные невесомой нитью, которая не растягивается, и которая перекинута через неподвижные блоки  и . Во время опускания груза 1 вниз груз 2 перемещается по верхнему основанию четырехугольной усеченной пирамиды  весом  справа, а груз 3 поднимается по боковой грани вверх. Пренебрегая трением между срезанной пирамидой и полом, определить перемещение усеченной пирамиды относительно пола, если груз опустится на

Решение. Изобразим все внешние силы, которые приложены к материальной системе, состоящей из пирамиды и трех грузов (рис.6.4). Внешними силами являются: — сила тяжести пирамиды;  — силы тяжести грузов;  — нормальная реакций

горизонтальной плоскости. Направим ось по горизонтали справа и запишем теорему о движении центра масс системы материальных точек в проекции на эту ось:

Поскольку все внешние силы перпендикулярны оси , то 

Следовательно, 

тогда

В начальный момент времени система была в состоянии покоя, то есть , поэтому

Поскольку

то

Таким образом, абсцисса центра масс системы не зависит от перемещений грузов, входящих в систему, и остается неизменной относительно неподвижной системы координат .

Запишем выражение для определения для начального момента времени, когда грузы находились в состоянии покоя:

где  — абсциссы центров масс пирамиды и грузов 1,2 и 3.

Если груз 1 опустится на величину при неподвижной пирамиде, то координата при этом не изменится. Тогда груз 2 переместится вправо на величину и координата его центра масс будет равна . Груз 3 тоже подвинется по наклонной поверхности на величину , при этом по направлению оси его положение изменится на величину и координата центра масс будет . То есть, относительно пирамиды центр масс системы изменит свое положение, но не изменит его относительно неподвижной системы координат, поскольку должен выполняться закон сохранения движения центра масс. И тогда пирамида должна переместиться налево на некоторую величину .

Грузы 1,2 и 3 вместе с пирамидой также переместятся влево на расстояние , и новые координаты всех центров масс будут равны:

Запишем выражение для определения положения абсциссы центра масс для нового положения системы:

Поскольку  то 

После приведения подобных получим:

или

Окончательно

После подстановки числовых величин, получим:

Ответ: 

Задача № 5

Электрический двигатель весом с горизонтальным валом без всяких креплений установлен на гладком горизонтальном фундаменте.

На валу электродвигателя (рис.6.5) под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длиной и весом , на второй конец стержня насажен точечный груз весом ; угловая скорость вала равна .

Определить:

Закон горизонтального движения электродвигателя;

Угловую скорость вала электродвигателя, при которой электродвигатель будет «подскакивать» над фундаментом;

Наибольшее горизонтальное усилие , которое действует на болты, если ими закреплен корпус электродвигателя на фундаменте.

Решение. Будем рассматривать электромотор, стержень и груз как одну механическую систему. Внешними силами, которые действуют на эту систему, являются: сила тяжести электродвигателя , сила тяжести стержня , сила тяжести груза , а также реакции фундамента  и . Все эти силы вертикальны. 

Начало неподвижной системы координат возьмем в точке , соответствующей положению центра вала электродвигателя, когда стержень направлен вертикально вверх (рис.6.5, а).

Поскольку проекция на ось главного вектора действующих на систему внешних сил равна нулю, то дифференциальное уравнение движения центра масс системы вдоль оси имеет вид:

где  — масса системы.

В нашем случае  или

Тогда дифференциальное уравнение движения центра масс (1) приводится к виду:

откуда 

Предполагая, что в начальный момент скорость центра масс системы равна нулю, то есть, при пуске электродвигателя он был неподвижным, получим

Следовательно, , то есть, центр масс системы не перемещается вдоль оси .

Поскольку в начальный момент времени центр масс системы находится на оси (то есть, ), то и в любой момент времени

При вращении стержня координаты центров масс электрического двигателя, стержня и груза будут варьироваться.

Предположим, что в некоторый момент времени координата центра масс мотора станет равной , тогда координаты центров масс стержня и груза будут равны и (рис.6.5,b).

Поскольку все время , то

где  На рисунке 6.5,b показан момент, когда координата отрицательна.

Тогда

откуда 

 и, следовательно:

Таким образом, центр электродвигателя совершает гармонические колебания вдоль оси с амплитудой, равной:

и периодом

Определим угловую скорость вала, при которой электродвигатель будет «подскакивать» над фундаментом.

Для этого составим дифференциальное уравнение движения центра масс системы вдоль оси :

или 

где  — суммарная реакция фундамента.

Значение найдем из выражения для координаты центра масс:

поскольку

Последнее уравнение перепишем в виде:

Возьмем из обеих частей равенства вторую производную по времени

Из уравнений (2) и (3) вытекает, что

итак,

Минимальное значение реакции фундамента будет при :

Если , то это значит, что электромотор не прижимается к фундаменту. Итак, искомое значение угловой скорости, при которой электродвигатель начинает «подскакивать» над фундаментом, найдем из условия

откуда

В завершение определим наибольшее горизонтальное усилие , которое действует на болты, если ими будет закреплен корпус электродвигателя на фундаменте.

На рис.6.5 штрих-пунктирными линиями показаны оси болтов и горизонтальные реакции болтов  и .

В этом случае дифференциальное уравнение движения центра масс системы вдоль оси будет:

Значение найдем по формуле:

или 

Тогда

При этом уравнение (4) принимает вид:

Из последнего уравнения выходит:

Таким образом, максимальное горизонтальное усилие, действующее на болты, будет при :

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 35.1; 35.6; 35.10; 35.20 [2].

Теорема об изменении количества движения точки и механической системы

Теорема об изменении количества движения (импульса) системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает количество движения с импульсом внешних сил, действующих на тела, составляющие систему.

Импульс силы

Для характеристики действия силы за некоторый промежуток времени вводится понятие импульса силы.

Если сила  — постоянная, то импульс силы равен

Направление импульса силы совпадает с направлением .

Единица измерения импульса в системе СИ — , в системе МкГс – .

Если сила переменная, то импульс силы за конечный промежуток времени определяется как интеграл:

Импульс силы — сложная физическая величина, которая одновременно учитывает влияние модуля, направления и времени действия силы на изменение состояния движения тела.

Модуль импульса силы можно определить через его проекции на оси координат:

где  — проекции силы;

 — проекции импульса на оси координат.

Углы между вектором и осями координат определяются из следующих соотношений:

Теорема об изменении количества движения точки и системы

Одной из мер движения точки является количество ее движения.

Понятие количества движения было введено в механику Декартом и положено в основу механики Ньютоном.

Единица измерения количества движения в системе СИ — , в системе МкГс — .

Если спроектировать вектор количества движения на оси координат, то ее проекции определяются следующим образом:

Теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной форме имеет вид:

Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме всех сил, действующих на эту точку.

Теорема об изменении количества движения точки в интегральной форме:

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех сил, которые приложены к точке.

Векторному уравнению (7.1) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат:

Большинство практических задач решается с использованием выражения (7.2).

Количеством движения механической системы называется векторная величина , равная геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек этой системы.

Найти можно путем построения многоугольника количеств движения всех точек системы (рис.7.1).

Замыкающая сторона векторного многоугольника будет представлять собой вектор .

Величина может быть какой угодно, даже равняться нулю, когда многоугольник, построенный из векторов , оказывается замкнутым.

Формулу (7.3) можно записать в виде:

где  — масса всей системы;

 — скорость центра масс системы.

Из этой формулы следует, что количество движения системы равно нулю, когда скорость центра масс равна нулю. Например, если тело вращается вокруг неподвижной оси, которая проходит через его центр масс, то количество движения тела равно нулю.

В случае, когда колесо катится, вектор характеризует только поступательную часть плоского движения колеса.

Теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной форме выразится формулой:

где  — главный вектор всех внешних сил, которые действуют на механическую систему.

Производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме всех действующих на точки системы внешних сил.

В проекциях на оси координат уравнение (7.5) соответствует уравнениям:

В интегральной форме теорема об изменении количества движения системы имеет вид:

где  — количество движения системы в начальный момент времени.

 — количество движения системы в конечный момент времени.

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, которые действуют на систему за тот же промежуток времени.

Векторному уравнению (7.7) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат:

Практическая ценность теоремы заключается в том, что она позволяет исключить из рассматривания неизвестные внутренние силы.

Закон сохранения количества движения системы

Выводы из теоремы об изменении количества движения системы, которые еще имеют название законов сохранения количества движения:

1. Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то вектор количества движения системы не меняется:

если 

то  и 

2. Если сумма проекций внешних сил на какую-либо ось, например , равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось сохраняется постоянной:

если 

то  и 

Эти результаты выражают законы сохранения количества движения системы. Из них вытекает, что внутренние силы не могут изменить количество движения системы.

Порядок решения задач на применение теоремы об изменении количества движения точки и механической системы

Для материальной точки:

Изобразить на рисунке все силы, приложенные к материальной точке, то есть активные силы и реакции связей.

Выбрать систему координат.

Записать теорему об изменении количества движения точки в векторной форме.

Спроектировать это векторное уравнение на оси выбранной системы координат.

Решить полученные уравнения и определить искомые величины.

Для механической системы:

Изобразить на рисунке все внешние силы.

Выбрать систему координат.

Записать теорему об изменении количества движения системы в векторной форме.

Спроектировать это векторное уравнение на оси выбранной системы координат.

Решить полученные уравнения и определить искомые величины.

Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении количества движения точки и механической системы

Задача № 1

Железнодорожный поезд движется по горизонтальному и прямолинейному участку пути (рис.7.2). Во время торможения до полной остановки развивается сила сопротивления, равная веса поезда. В момент начала торможения скорость поезда составляла 72 км/ч.

Определить время и путь торможения.

Решение. Изобразим силы, действующие на поезд во время торможения: сила тяжести поезда , нормальная реакция пути , сила сопротивления , которая по величине равна

Выберем систему координат. Поскольку движение прямолинейное и горизонтальное, достаточно рассмотреть движение по направлению оси .

Запишем теорему об изменении количества движения поезда (рассматривая его как материальную точку) в интегральной форме:

где  — масса поезда,

 — конечная и начальная скорость поезда,

 — сумма импульсов сил , ,  которые действуют на поезд во время торможения.

Спроектируем векторное уравнение (1) на ось :

Проекции импульсов сил  и  на ось равны нулю, поскольку векторы  и   перпендикулярны оси.

Сила сопротивления во время торможения по величине не изменяется, следовательно, ее импульс равен:

Скорость в конце участка торможения равна нулю, то есть

Окончательно, уравнение импульсов (2) в проекции на ось приобретет вид:

или 

откуда

С учетом числовых значений величин и имеем:

Путь торможения определим из формулы для равнопеременного движения:

В этом случае ускорение поезда определяется из формулы:

то есть, 

Тогда

Ответ: 

Задача № 2

По шероховатой наклонной плоскости, которая составляет с горизонтом угол , спускается тяжелое тело без начальной скорости.

Определить время , за которое тело пройдет путь длиной , если коэффициент трения  и .

Решение. Во время движения на тело действуют сила тяжести тела , нормальная реакция поверхности и сила трения , которая направлена в сторону, противоположную движению(рис.7.3).

Направим ось вдоль наклонной поверхности вниз и запишем теорему об изменении количества движения в векторной форме:

Спроектируем ровность (1) на ось :

Проекция импульса нормальной реакции на ось равна нулю, поскольку сила  перпендикулярна .

Учитывая, что во время движения сила тяжести и сила трения не меняются , то

Кроме того

Итак, уравнение импульса (2) примет вид:

Вычислим силу трения:

Тогда уравнение (3) примет вид:

или 

откуда

Поскольку

то

Используя полученную зависимость, сначала подсчитаем ускорение тела, а после этого — время движения.

Поскольку

то

 и 

Из формулы , учитывая, что при получим 

Из этой формулы находим время движения :

Ответ: 

Задача № 3

На полигоне пушка, которая наклонена под углом к горизонту, делает выстрел в мишень. Сила тяжести ствола пушки — Сила тяжести снаряда равна Скорость снаряда у дульного среза

Определить скорость свободного отката ствола пушки в момент вылета снаряда.

Решение. В задаче рассматривается движение материальной системы, состоящей из ствола и снаряда (рис.7.4).

На систему действуют внешние силы: тяжести ствола и тяжести снаряда . Внутренние силы определяются давлением пороховых газов . Эти силы необходимо исключить из рассмотрения, согласно теореме о количестве движения механической системы.

Применим теорему об изменении количества движения системы:

где  — количество движения системы в конечный момент времени;

 — количество движения системы в начальный момент времени;

 — сумма импульсов всех внешних сил (, ).

Ось направим перпендикулярно векторам внешних сил  и .

Спроектируем уравнение (1) на ось :

Поскольку проекции сил  и  на ось  равны нулю, то и проекции импульсов и также равны нулю. Итак:

 или 

Таким образом, проекция количества движения системы на ось в конечный момент времени равна проекции количества движения системы в начальный момент времени.

В начальный момент времени (до выстрела) снаряд и ствол были неподвижны, следовательно, их количества движения равнялись нулю и

В момент вылета снаряда проекция количества движения системы на ось равна:

или

Поскольку

то

откуда

 и 

С учетом числовых значений:

Знак минус показывает, что скорость ствола направлена в сторону, противоположную скорости снаряда.

Ответ: 

Задача № 4

Буксирный пароход весом набрал скорость , после чего натянулся буксирный канат, и баржа весом двинулась вслед за пароходом.

Определить общую скорость парохода и баржи , считая, что движущая сила и сила сопротивления воды уравновешиваются, то есть, () дв = соп ().

Решение. Для определения скорости применим теорему об изменении количества движения системы.

На систему, которая состоит из парохода и баржи, действуют внешние силы: силы тяжести и , силы выталкивания и , которые приложены к баржи и буксиру, а также движущая сила дв и сила сопротивления воды соп (рис.7.5).

Внутренняя сила — натяжение буксирного каната — неизвестна.

Ось направим горизонтально, вправо.

Запишем теорему об изменении количества движения данной системы в интегральной форме:

где — количество движения системы баржа-буксир в тот момент времени, когда они начинают двигаться с одинаковой скоростью;

— количество движения этой системы в начальный момент времени;

 — сумма импульсов всех внешних сил.

Спроектируем уравнение (1) на ось :

Поскольку по условиям дв = соп, а направлены они в разные стороны, то

Кроме того, проекции на ось сил тяжести парохода и баржи, а также выталкивающих сил и , равны нулю. Следовательно, проекции импульсов этих сил на ось тоже равны нулю. Таким образом уравнение проекций принимает вид:

 или 

Подсчитаем количество движения парохода и баржи в начальный момент времени, когда скорость парохода равна , а скорость баржи .

Совместимое движение парохода и баржи происходит с одинаковой скоростью , поэтому количество движения системы в это время

Поскольку

то 

Отсюда имеем

Ответ: 

Задача № 5

Механическая система состоит из грузов 1 и 2 массами и соответственно, а также прямоугольной вертикальной плиты 3 массой которая движется вдоль горизонтальных направляющих( рис.7.6). В момент времени , когда скорость плиты  груз под действием внутренних сил начинают двигаться по желобам плиты. Груз 1 движется по дуге окружности с радиусом по закону , где выражено в радианах, – в секундах (ось, от которой ведется положительное направление отсчета угла показано на рисунке). Груз 2 движется от точки прямолинейно по закону , где выражено в метрах, – в секундах (на рисунке груз 2 изображен в положении положительного отсчета координаты ), угол .

Определить зависимость , то есть, скорость движения плиты как функцию времени, считая грузы материальными точками и пренебрегая всеми силами сопротивления движения.

Решение. Рассмотрим механическую систему в произвольном положении (рис.7.6).

Изобразим все внешние силы, действующие на систему: силы тяжести , ,  и реакцию направляющей .

Проведем координатные оси так, чтобы ось проходила через точку , где находится центр масс плиты  в начальный момент времени

Определим с помощью теоремы об изменении количества движения механической системы в проекции на ось .

Поскольку все внешние силы, действующие на систему, вертикальны, то и, согласно (7.10), имеем: 

 или ,                (1)

где  — проекция количества движения системы в момент времени

— проекция количества движения системы в произвольный момент времени .

Определим количества движения  и :

где 

Выразим координаты  и  через координату .

С рис.7.6 видно, что в произвольный момент времени абсцисса первого груза

а абсцисса второго груза

Тогда

Подставляя полученные выражения для и в (3), получим:

Поскольку  то 

В соответствии с (1), выражения (2) и (4) равны, то есть:

Отсюда окончательно получим: 

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 28.3; 28.7; 36.9; 36.11; 36.16 [2].

Теорема об изменении момента количества движения точки и механической системы

Наряду с количеством движения, как векторной меры поступательного движения, для вращательного движения можно ввести момент количества движения.

Для материальной точки массой , которая имеет скорость , момент количества движения  относительно любого центра определяется из выражения (рис.8.1):

Вектор момента количества движения прикладывается в точке , относительно которой он вычисляется. Если спроектировать обе части уравнения (8.1) на оси декартовой системы координат, получим моменты количества движения точки относительно осей координат:

Подобно тому, как количество движения системы является характеристикой поступательного движения, кинетический момент является характеристикой вращательного движения системы.

Спроектировав это уравнение на оси координат, получим:

Если рассматривать движение системы, на которую действуют внешние и внутренние силы , то производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра:

Проектируя обе части уравнения на неподвижные оси и учитывая, что проекция вектора, который изображает момент силы относительно точки на ось, равна моменту силы относительно этой оси, получим:

Теорема об изменении кинетического момента позволяет изучать вращательное движение твердого тела вокруг оси и точки, или вращательную часть движения тела в общем случае движения свободного твердого тела.

Практическая ценность теоремы заключается еще и в том, что она позволяет при изучении движения системы исключить из рассмотрения неизвестные внутренние силы.

Из теорем об изменении кинетического момента системы (8.7)-(8.8) вытекают важные выводы:

Если сумма моментов относительно центра всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то кинетический момент системы  относительно той же точки является постоянным по величине и направлению, то есть,

если , то  и 

Если сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно некоторой оси, например , равна нулю, то проекция кинетического момента на эту же ось является постоянной по величине, то есть,

если . то  и 

Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси

Кинетический момент тела относительно оси вращения по уравнению (8.4) , если ось является осью вращения тела, равен:

Следовательно, 

Сумма моментов внешних сил  относительно оси вращения называется вращательным моментом и обозначается

Таким образом, дифференциальное уравнение вращательного движения тела имеет вид:

Из (8.9) следует, что произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение тела равно вращательному моменту

Это уравнение позволяет решать следующие задачи:

— если заданы уравнения вращения тела и его момент инерции , то можно определить вращательный момент:

— если заданы внешние силы, приложенные к телу, начальные условия вращения и , момент инерции  тела, то можно найти уравнение вращения тела :

— определить момент инерции тела относительно оси вращения, если известны величины  и :

Из уравнения  вытекают отдельные случаи:

1. Если , то , а если , то и . В этом случае тело вращается равномерно.

2. Если , то , а если  то и . Итак, твердое тело вращается равнопеременно. 

Порядок решения задач на применение теоремы об изменении момента количества движения точки и механической системы

Задачи, которые относятся к этой теме, можно разделить на следующие четыре основных типа:

Вычисление кинетического момента.

Изучение движения конкретной точки механической системы, если эта точка участвует во вращательном движении системы.

Изучение вращательного движения твердого тела.

Изучение движения механической системы, в которую входят тела, совершающие как поступательные, так и вращательные движения.

Задачи первого типа могут быть решены с помощью общих формул (8.4), (8.5).

Порядок решения задач второго типа может быть следующим:

• Выбрать систему координат.
• Изобразить все внешние силы, приложенные к материальной точке; в случае произвольной точки к этим силам добавить реакции внешних связей.
• Записать в скалярной форме выражение теоремы об изменении момента количества движения точки.
• Высчитать сумму моментов сил, которые приложены к материальной точке.
• Определить количество движения материальной точки и его момент относительно осей.
• Подставить данные пунктов 4 и 5 в уравнения (8.6) теоремы об изменении момента количества движения материальной точки.
• Решить, в соответствии с условием, прямую или обратную задачу динамики точки.

При решении задач третьего типа сохранять рекомендации первых двух пунктов, а далее делать следующим образом:

• Записать дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси (8.9).
• 
• Определить момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси.
• Подсчитать сумму моментов всех внешних сил относительно оси вращения.
• Величины, полученные в п. п. 4 и 5, подставить в уравнение (8.9).
• Записать начальные условия.
• Решить уравнение п. 6 в зависимости от условия, как прямую или обратную задачу.

При решении задач четвертого типа необходимо предварительно расчленить заданную систему на отдельные твердые тела, и к каждому из них, в зависимости от характера движения, применить одну из теорем: об изменении количества движения – в случае поступательного движения тел расчлененной системы; об изменении кинетического момента – при наличии тел, которые совершают вращательные движения.

Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении момента количества движения точки и механической системы

Задача №1

Однородный круглый диск весом и с радиусом катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая вокруг собственной оси 60 об/мин (рис.8.2).

Определить главный момент количеств движения диска   относительно оси , которая проходит через центр диска перпендикулярно плоскости движения.

Решение. Главный момент количеств движения системы (кинетический момент) относительно оси вращения равен (8.6):

где  — момент инерции тела относительно оси вращения,

 — угловая скорость вращения.

В данном случае кинетический момент относительно оси, проходящей через центр диска , равен:

Ответ: 

Задача №2

Во время вращения барабана 1 весом  и радиусом вокруг неподвижной оси на его боковую поверхность наматывается невесомая и нерастяжимая нить, что вызывает движение груза 2 весом , который скользит по неподвижной гладкой горизонтальной плоскости (рис.8.3).

Определить главный момент количества движения (кинетический момент) системы относительно оси  и выразить его как зависимость от угловой скорости. Барабан считать однородным круглым цилиндром. Ось направлена перпендикулярно рисунку.

Решение. В состав механической системы входят два твердых тела: барабан 1 и груз 2.

Следовательно, кинетический момент системы равен:

где  — кинетический момент барабана;

 — кинетический момент груза относительно неподвижной оси .

Кинетический момент барабана равен (8.5):

где

тогда

Главный момент количества движения груза, который движется поступательно, определяется как момент количества движения материальной точки, то есть:

поскольку

то

Окончательно

Ответ: 

Задача №3

Шарик , который находится в сосуде с жидкостью и прикреплен к концу стержня длиной , приводится в вращение вокруг вертикальной оси  с начальной угловой скоростью (рис.8.4, а). Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости вращения : , где — масса шарика, — коэффициент пропорциональности.

Определить, через какой промежуток времени угловая скорость вращения станет вдвое меньше начальной, а также число оборотов , которое сделает стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в ее центре, массой стержня пренебречь.

Решение. Ось  направим вдоль оси вращения и покажем силы, действующие на вал с шариком: силу сопротивления , которая направлена в сторону, противоположную вращению (рис.8.4, б), силу тяжести шарика , реакции подшипника и подпятника .

Все силы указаны на рисунках, направления сил и изображены произвольно.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения шарика относительно оси :

где момент инерции шарика

Поскольку момент силы тяжести  относительно оси равен нулю ( параллельна оси ), то вращательный момент равен моменту силы сопротивления относительно оси (как известно, момент силы сопротивления всегда отрицательный):

Следовательно, дифференциальное уравнение вращательного движения имеет вид:

или

Разделим переменные и проинтегрируем:

Произвольную постоянную определим по начальным условиям: при .

Следовательно,

Высчитаем, через какой промежуток времени угловая скорость вращения станет вдвое меньше начальной, то есть, .

Откуда:

Для определения числа оборотов, которые сделает стержень с шариком за промежуток времени , необходимо найти зависимость угла поворота от времени :

Следовательно,

Разделим переменные и проинтегрируем это дифференциальное уравнение:

Произвольную постоянную  определим по начальным условиям: при .

Итак закон изменения угла поворота по времени имеет вид:

или

При , угол поворота равен

Поскольку за 1 оборот шарик обернется на , то количество оборотов составит

Ответ: 

Задача №4

Для определения момента трения в цапфах, на вал насажен маховик весом , радиус инерции маховика  Маховику придана угловая скорость, соответствующая об/мин. Без внешнего воздействия на него, он остановился через  мин.

Определить момент трения , считая его постоянным.

Решение. Направим ось вдоль неподвижной оси вращения. Изобразим на рис.8.5 внешние нагрузки, действующие на вал и маховик: силу тяжести маховика , реакции опор  и   и момент сил трения .

Запишем теорему об изменении кинетического момента относительно оси вращения:

Поскольку мы рассматриваем вращение твердого тела, то 

Найдем вращательный момент внешних сил относительно оси вращения , если учтем, что момент сил ,  и  относительно оси равны нулю, поскольку эти силы пересекают ось. Следовательно, вращательный момент равен моменту сил трения и направлен в сторону, противоположную вращению маховика.

Таким образом

Высчитаем величины, которые входят в это уравнение:

где  — угловая скорость маховика в момент остановки, ,

 — угловая скорость в начальный момент времени.

Поскольку  то 

С учетом значений  и получим:

Ответ: 

Задача №5

Однородный цилиндр (рис.8.6) радиусом вращается вокруг своей геометрической оси угловой скоростью .

Определить, как изменится угловая скорость цилиндра, если ось вращения перейдет в положение , которое совпадает с образующей цилиндра?

Решение. На цилиндр действует сила тяжести , которая направлена вертикально вниз.

Запишем теорему об изменении кинетического момента цилиндра:

где  — момент инерции цилиндра,

 — сумма моментов внешних сил относительно оси вращения.

Поскольку сила  параллельна оси вращения, то

 и 

Итак, , тогда

где  — момент инерции цилиндра относительно оси ,

 — момент инерции цилиндра относительно оси ,

По теореме Гюйгенса-Штейнера

где  — масса цилиндра.

Из формулы (1) получим:

Вычислим и :

Следовательно,

Угловая скорость уменьшилась в три раза, поскольку в три раза увеличился момент инерции.

Ответ: 

Задача №6

Молотильный барабан начинает вращаться из состояния покоя () под действием постоянного момента

Определить, пренебрегая трением, частоту вращения барабана после того, как он начнет вращаться и сделает оборотов (рис.8.7), зная, что момент инерции барабана относительно оси вращения

Решение. Для определения угловой скорости барабана воспользуемся формулой:

где  — начальная угловая скорость вращения,

— конечная угловая скорость вращения,

 — угол, на который поворачивается барабан.

Из (1) вытекает:

 где 

Следовательно,

Таким образом, для определения угловой скорости необходимо знать угловое ускорение .

Для определения  воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента:

где  — сумма моментов всех внешних сил относительно оси вращения.

На барабан действуют следующие внешние нагрузки:  — сила тяжести барабана; ,
— реакции подшипников  и ; — вращательный момент.

С учетом действующих сил уравнение (2) будет иметь вид:

При этом , поскольку силы ,  и 
 пересекают ось и моментов не образуют. Итак,

Тогда,

Ответ: 

Задача №7

Груз весом подвешен на канате, который навитый на цилиндрический барабан, ось вращения которого горизонтальна (рис.8.8).

Определить угловое ускорение барабана во время опускания груза , пренебрегая весом каната, сопротивлением воздуха, трением в подшипниках. Барабан считать однородным цилиндром весом и радиусом

Решение. Для определения углового ускорения барабана будем рассматривать движение системы, в которую включим следующие тела: барабан весом , груз весом и канат, натяжение которого заранее неизвестно.

Если применить теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси, то натяжение каната, являющегося внутренней силой, в уравнение не войдет.

Относительно оси, которая проходит через точку , эта теорема имеет вид:

На систему действуют следующие внешние силы:  — вес груза,  — вес барабана,  — реакция опоры .

Силы и не создают моментов относительно оси , потому что они ее пересекают. Только сила создает момент относительно оси , который равен:

Итак,

Определим кинетический момент системы относительно оси вращения :

где  — кинетический момент барабана,

 — кинетический момент груза.

где  — момент инерции барабана относительно оси вращения ;

поскольку 

Тогда кинетический момент системы равен:

Подставим полученные результаты в уравнение (1):

Знак момента силы взят положительным, поскольку направление вращения барабана совпадает с направлением момента силы .

Решаем уравнение (2) и определяем угловое ускорение .

Выносим из под знака дифференциала в левой части уравнения (2) постоянные величины:

или

С учетом числовых значений угловое ускорение равно:

Ответ: 

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема о кинетической энергии системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему.

Кинетическая энергия механической системы

Кинетическая энергия системы не зависит от направлений скоростей точек.

Кинетическая энергия может равняться нулю, если скорости всех точек системы равны нулю.

Кинетическая энергия системы характеризует и поступательное, и вращательное движения системы. Поэтому теоремой об изменении кинетической энергии особенно часто пользуются при решении задач.

Единицей кинетической энергии в системе СИ является Джоуль (Дж).

Определение кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения

Поступательное движение твердого тела:

При поступательном движении твердого тела скорости всех его точек (в том числе скорость центра масс тела) в каждый момент времени равны между собой; то есть, для любой точки . Итак

Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс.

Вращательное движение твердого тела:

Скорость любой точки твердого тела, которое вращается с угловой скоростью , равна

где  — расстояние от точки к оси вращения.

Тогда кинетическая энергия тела определяется согласно зависимости:

Поскольку

то

Плоскопараллельное движение твердого тела:

При плоскопараллельном движении скорости всех точек тела в каждый момент времени распределены так, будто тело вращается вокруг оси, которая перпендикулярна плоскости движения и которая проходит через мгновенный центр скоростей .

В этом случае кинетическую энергию тела можно определить по формуле:

где  — момент инерции тела относительно оси, которая проходит через мгновенный центр скоростей.

Поскольку (согласно теореме Штейнера-Гюйгенса)

где  — момент инерции относительно оси, которая проходит через центр масс тела и параллельна мгновенной оси вращения, то

Поскольку , то окончательно

Таким образом, 

в случае плоскопараллельного движения тела кинетическая энергия состоит из кинетических энергий поступательного движения вместе со скоростью центра масс и вращательного движения вокруг оси, которая проходит через центр масс перпендикулярно плоскости движения.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы:

Дифференциальная форма:

Интегральная форма:

Если механическая система неизменна, то сумма работ внутренних сил равна нулю и теорема запишется так:

Порядок решения задач на использование теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

Решение задач с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме рекомендуется проводить в следующей последовательности:

а) изобразить на рисунке все внешние силы системы;

б) высчитать сумму работ всех внешних сил на перемещении точек системы;

в) вычислить кинетическую энергию системы материальных точек в начальном и конечном ее состояниях;

г ) пользуясь результатами подсчетов по пунктам б) и в) записать теорему об изменении кинетической энергии механической системы и определить искомую величину.

Примеры решения задач на тему: Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Задача № 1

Механизм эллипсографа (рис.10.1) состоит из ползунов  и  весом каждый, кривошипа весом , и линейки весом . Кривошип вращается вокруг неподвижной оси , которая перпендикулярна плоскости чертежа с угловой скоростью .

Определить кинетическую энергию механизма эллипсографа, полагая, что линейка и кривошип – однородные тонкие стержни, а ползуны  и  – материальные точки, а также, что

Решение. Заданная механическая система состоит из четырех тел: кривошипа 1 и линейки 2, ползунов 3 и 4.

Кинетическая энергия всей системы равна:

где  — кинетическая энергия кривошипа 1,

 — кинетическая энергия линейки 2,

— кинетическая энергия ползунов 3 и 4.

Кривошип совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси , которая перпендикулярна оси рисунка. В этом случае кинетическая энергия тела равна

Тогда

Линейка 2 движется плоскопараллельно. Ее кинетическая энергия равна

где  — скорость точки С, которая является центром масс линейки 2,

 — угловая скорость линейки 2,

— момент инерции линейки относительно оси , которая проходит через центр масс линейки .

Для определения угловой скорости линейки 2 используем понятие мгновенного центра скоростей. Как известно, мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров к скоростям двух точек тела, движущихся плоскопараллельно. Тогда в нашем случае он будет расположен в точке , и скорость точки определится:

С другой стороны, точка принадлежит звену 1, и ее скорость равна

Тогда, учитывая, что получим:

Момент инерции линейки относительно оси равен:

С учетом полученных значений кинетическая энергия линейки 2 равна:

Подсчитаем кинетическую энергию ползунов 3 и 4, которые двигаются поступательно:

.

Скорости точек можно определить, учитывая положение мгновенного центра скоростей линейки 2:

Тогда

Подставляя найденные выражения (2), (4), (5) в (1), получим:

Ответ: 

Задача № 2

На рисунке 10.2 изображен подъемный механизм лебедки. Груз весом  поднимается с помощью невесомого и нерастяжимого троса, который переброшен через блок и намотан на барабан радиусом и весом . К барабану приложен вращательный момент, который пропорционален квадрату угла поворота барабану: 

где  — постоянный коэффициент.

Определить скорость груза в момент, когда он поднимется на высоту . Массу барабана считать равномерно распределенной вдоль его обода. Блок — сплошной диск весом . В начальный момент система находилась в покое.

Решение. Изобразим на рисунке все внешние силы, действующие на барабан , блок и груз : силы тяжести , , ; вращательный момент, а также реакции шарниров и . Внутренней силой является натяжение троса .

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы:

где  — кинетическая энергия системы в конечном положении;

 — кинетическая энергия системы в исходном положении;

 — сумма работ всех внешних сил на перемещении ;

 — сумма работ всех внутренних сил на перемещении .

Поскольку в начальный момент времени система находилась в состоянии покоя, то

В связи с тем, что трос не растягивается и при движении системы находится в натянутом состоянии, сумма работ внутренних сил системы равна нулю, следовательно

При поднятии груза на высоту сумма работ равна:

Поскольку точки приложения сил  и  — неподвижны, то

Работа силы равна:

Работа вращательного момента в случае, когда он не меняется

где  — угол поворота тела под действием момента.

Поскольку в нашем случае вращательный момент меняется, то его работа определится следующим образом:

Определим угол , на который вернулся барабан  при подъеме груза на высоту :

Следовательно,

Таким образом,

Перейдем к подсчету кинетической энергии системы в конечном положении:

где  — кинетическая энергия груза ;

 — кинетическая энергия диска ;

 — кинетическая энергия барабана .

Груз движется поступательно и его кинетическая энергия равна:

Диск совершает вращательное движение, его кинетическая энергия определяется из выражения:

где — момент инерции диска относительно оси вращения;

 — угловая скорость диска.

Поскольку диск — сплошной, то равен:

где  — радиус диска.

Поскольку линейная скорость обода диска равна скорости груза, угловая скорость вращения :

Итак,

Кинетическая энергия барабана , поскольку он совершает вращательное движение, равна:

Поскольку масса барабана распределена по ободу, то:

Угловую скорость барабана высчитаем из условия равенства линейных скоростей на ободах диска и барабана:

Откуда

Таким образом

Кинетическая энергия системы в конечном положении равна

Итак, теорема об изменении кинетической энергии системы имеет вид:

Решая это уравнение относительно , находим скорость груза после того, как он пройдет путь :

Ответ:  

Задача № 3

Груз (рис.10.3) весом , опускаясь вниз с помощью перекинутого через неподвижный блок невесомого и нерастяжимого троса, поднимает вверх груз  весом , который закреплен к оси подвижного блока . Блоки и считать однородными сплошными дисками весом каждый.

Определить скорость груза в момент, когда он опустится на высоту . Скольжением на ободах блоков и силами сопротивления пренебречь.

В начальный момент система находилась в состоянии покоя.

Решение. Изобразим внешние силы, которые действуют на систему: силы тяжести ;  реакцию шарнира и реакцию в точке  — . Внутренней силой является натяжение троса .

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы:

В начальный момент времени система находилась в покое, следовательно, . Работа внутренней силы натяжения троса, равна нулю. Итак,

Сумма работ внешних сил при перемещении системы в конечное положение составляет:

Работа сил  равна нулю, поскольку точки приложения сил 3  неподвижны.

Итак,

Работа силы при опускании груза на высоту равна:

Работу силы тяжести блока определим следующим образом. При опускании груза на высоту точка блока поднимается вверх на расстояние , которая равна , а центр блока на величину , так как точка — мгновенный центр скоростей блока .

Таким образом,

Груз  поднимается вверх так же на величину . Тогда работа силы тяжести груза  будет равна:

Итак, 

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении:

Груз перемещается поступательно и его кинетическая энергия равна

где — скорость груза в конце перемещения.

Блок  осуществляет плоскопараллельное движение. В этом случае:

Кинетическая энергия поступательного движения блока  равна:

Поскольку точка — мгновенный центр скоростей блока , а скорость точки равна скорости груза , то скорость вращения блока :

Тогда

Таким образом,

Кинетическая энергия вращательного движения блока  определяется из равенства:

где  — момент инерции блока относительно оси, которая проходит через центр масс . Блок  — сплошной однородный диск, поэтому

Тогда

Таким образом, кинетическая энергия блока  равна:

Блок совершает вращательное движение и его кинетическая энергия:

то есть

Груз совершает поступательное движение со скоростью точки то есть со скоростью . Поэтому 

Следовательно, кинетическая энергия системы в конечном положении:

Таким образом, теорема об изменении кинетической энергии системы имеет вид:

Находим скорость груза , решая это уравнение относительно :

Ответ: 

Задача № 4

Прямоугольная пластинка (рис.10.4) со сторонами  и , и весом вращается вокруг вертикальной оси с начальной угловой скоростью . Каждый элемент пластинки несет при этом сопротивление воздуха, направление которого перпендикулярно плоскости пластинки, а величина пропорциональна площади элемента и квадрату его скорости. Коэффициент пропорциональности равен .

Определить, сколько оборотов сделает пластинка к тому мгновению, когда ее угловая скорость станет вдвое меньше начальной?

Решение. Поскольку силы сопротивления, приложенные к пластинке, не постоянные, а зависят от скорости, то для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме:

Высчитаем дифференциал кинетической энергии пластинки. Поскольку пластинка вращается вокруг неподвижной оси, то ее кинетическая энергия равна:

откуда:

где  — момент инерции пластинки относительно оси .

Перейдем к определению суммы элементарных работ внешних сил, которые действуют на пластинку. Это такие силы (рис.10.4):

— сила тяжести пластинки ;

— реакции в опорах и : и ;

— сила сопротивления воздуха .

Итак,

где — элементарная работа силы тяжести пластинки;

— элементарные работы реакций подшипников;

— элементарная работа силы сопротивления .

Работы реакций и  равны нулю, ибо точки их приложения неподвижны. Работа силы тяжести тоже равна нулю в связи с тем, что высота центра тяжести пластинки не меняется.

Таким образом,

Для вычета работы сил сопротивления воспользуемся формулой для работы сил, которые приложены к вращающемуся твердому телу:

где  — сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно оси вращения;

 — элементарный угол поворота.

Чтобы определить , разобьем пластинку на элементарные прямоугольники со сторонами и . Тогда сила сопротивления, приложенная к элементарному прямоугольнику, будет равняться:

и

Следовательно,

или

и

.

Таким образом, уравнение (1) принимает вид:

Разделим переменные и проинтегрируем:

Момент инерции пластинки составляет:

Тогда

Откуда находим:

Число оборотов  составляет:

Ответ: 

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика материальной точки
24. Динамика плоского движения твердого тела
25. Динамика относительного движения материальной точки
26. Динамика твердого тела
27. Кинематика простейших движений твердого тела
28. Общее уравнение динамики
29. Работа и мощность силы
30. Обратная задача динамики
31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
33. Сферическое движение твёрдого тела
34. Движение свободного твердого тела
35. Сложное движение твердого тела
36. Сложное движение точки
37. Плоское движение тела
38. Статика твердого тела
39. Равновесие составной конструкции
40. Равновесие с учетом сил трения
41. Центр масс
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Кинетическая
энергия материальной точки — скалярная
положительная величина, равная половине
произведения массы точки на квадрат
ее скорости, т. е.
.

Кинетическая
энергия механической системы
— арифме­тическая
сумма кинетических энергий всех
материальных точек этой системы

.

Кинетическая
энергия системы, состоящей из п
связанных между собой тел,
равна арифметической сумме кинетических
энергий всех тел этой системы:

.

Теорема Кенига.
Кинетическая энергия механической
системы в общем случае ее движения равна
сумме кинетической энергии движения
системы вместе с центром масс и
кинетической энергии системы при ее
движении относительно центра масс:

,

где
—
скоростьk
— й точки
системы относительно центра масс.

Поступательное
движение.

При поступательном
движении тела

.

Вращение тела
вокруг неподвижной оси
.

.

,

где
— момент инерции тела относительно оси
вращения.

Плоскопараллельное
движение.

,

где
— момент инерции плоской фигуры
относительно оси, проходящей через
центр масс.

Задача
1.
Вычислить кинетическую энергию
однородного диска массы М
=10 кг,
катящегося без скольжения со скоростью
=
5м/с.

Решение.
Диск совершает плоскопарал­лельное
движение .

.

3. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Теорема
в дифференциальной форме. Дифференциал
от кинетической энергии материальной
точки равен элементарной работе силы,
действующей на точку.

Доказательство:

.

Подставим в
выражение второго закона динамики

;

.

Теорема
интегральной (конечной) форме. Изменение
кинетической энергии материальной
точки на некотором перемещении равно
работе силы, действующей на точку, на
том же перемещении.

Доказательство

Дифференциал от
кинетической энергии точки равен
эле­ментарной работе:

.

Проинтегрируем

.

4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема
в дифференциальной форме. Дифференциал
от кинетической энергии механической
системы равен сумме элементарных работ
внешних и внутренних сил, действующих
на систему.

Доказательство:
Для k
— й точки
системы

.

где
исоответственно — элементарная работа
внешней и внутренней сил, приложенных
кk—
й точке.

Для всей системы

.

где
— кинетическая энергия системы;— соответственно элементарная работа
всех внешних и внутренних сил, приложенных
к системе. Таким образом,

.

Для системы твердых
тел

.

Тогда

.

Разделим на dt

,

где
— мощность внешних сил;— мощность внутренних. Тогда

.

.

Теорема
в интегральной (конечной) форме. Изменение
кинетической энергии механической
системы на некотором перемещении равно
сумме работ внешних и внутренних сил,
приложенных к системе, на том же
перемещении.

Доказательство:
Запишем теорему в интегральной форме
для k—
й точки системы:

,

где
и— соответственно работа внешней и
внутренней сил, приложенных кk-й
точке, на некотором перемещении.

Суммируя по всем
точкам системы, получим

Для системы твердых
тел
(по свойству внутренних сил). Тогда

.

Задача
2. Каток
А
приводится в движение из состояния
покоя по­средством троса, который
одним концом намотан на каток, а вто­рым
— на барабан В.
Каток А
считать однородным цилиндром массы
= 50кг
и радиуса
= 0,4м.
Масса барабана
= 20кг
распределена по его ободу радиуса
= 0,2м.
К барабану при­ложен вращающий момент
= 100Нм.
Пренебрегая сколь­жением и трением
качения катка по горизонтальной плоскости
и весом троса, определить скорость
катка, когда он переместится на расстояние
s
= 2 м.

Решение.
Применим теорему об изменении кинетической
энергии механической системы в
интегральной форме:

,

где
— система движется из состояния покоя

—по свойству
внутренних сил. Тогда
..
КатокА
совершает плоскопараллельное движение.

.

Барабан В
совершает вращательное движение.

.

.

Внешними силами
являются силы тяжести
,
нормальная реакция,
сила сцепления,
вращающий мо­мент,
реакциии.

так как сила
;так как силаприложена в МЦС;так как;,,— точка приложения сил не перемещается.

,
где
.

Тогда

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Теорема об изменении кинетической энергии:

Для рассмотрения теоремы об изменении кинетической энергии необходимо ввести новое понятие «работа силы» и рассмотреть некоторые простейшие способы ее вычисления.

Работа силы

Работа силы на каком-либо перемещении является одной из основных характеристик, оценивающих действие силы на этом перемещении. Рассмотрим элементарную работу, полную работу и мощность.

Элементарная работа силы

Элементарная работа

где — проекция силы  на направление скорости точки приложения силы или на направление элементарного перемещения, которое считается направленным по скорости точки.

Элементарная работа является скалярной величиной. Ее знак определяется знаком проекции силы , так как перемещение принимаем положительным. При элементарная работа , а при , наоборот, . Так как , где — угол между силой и направлением скорости точки  , то  выражение (40) можно представить в виде

В этой формуле величины и положительны и знак определяется знаком . Если — острый угол, то положительна; если тупой угол, то  отрицательна.

Рис. 60

Итак, элементарная работа силы равна произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение. Отметим частные случаи, которые можно получить из (41):

Таким образом, если сила перпендикулярна элементарному перемещению, то ее элементарная работа равна нулю. В частности, работа нормальной составляющей к скорости силы всегда равна нулю.

Приведем другие формулы для вычисления элементарной работы силы. Из кинематики точки известно, что ; . Следовательно, .

После этого, согласно (41), элементарная работа

Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы.

Так как , то, согласно (42),

Элементарная работа равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.

Если силу  и радиус-вектор разложить по осям координат, то

Из последней формулы имеем

Подставляя в (42) значения и , получаем

Формулу (44) называют обычно аналитическим выражением элементарной работы. Хотя выражение для элементарной работы (44) по форме и напоминает полный дифференциал функции координат точки, в действительности в общем случае элементарная работа не является полным дифференциалом. Элементарная работа является полным дифференциалом функции координат точки только для специального класса сил — так называемых стационарных потенциальных сил, которые рассмотрены ниже.

Полная работа силы

Для определения полной работы силы на перемещении от точки до точки разобьем это перемещение на перемещений, каждое из которых в пределе переходит в элементарное. Тогда работу можно выразить формулой

где — работа на -м элементарном перемещении, на которые разбито полное перемещение.

Так как сумма в определении работы является интегральной суммой определения криволинейного интеграла на участке кривой , то, используя для элементарной работы формулу (40), получаем

Используя другие выражения для элементарной работы, полную работу силы можно представить также в виде

где момент времени соответствует точке , а момент времени — точке .

Формула (47) особенно удобная для вычисления работы силы, когда сила известна как функция времени. Отметим, что из определения элементарной и полной работы следует:

1. работа равнодействующей силы на каком-либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении;
2. работа силы на полном перемещении равна сумме работ этой же силы на составляющих перемещениях, на которые любым образом разбито все перемещение.

Первое свойство, очевидно, достаточно доказать только для элементарной работы равнодействующей силы.

Если сила является равнодействующей силой системы сил , приложенных к рассматриваемой точке, то она выражается геометрической суммой этих сил. Тогда по определению элементарной работы силы имеем

Первое свойство доказано.

Второе из отмеченных свойств непосредственно следует из возможности разбиения любым образом полного промежутка интегрирования на составляющие, причем определенный интеграл по полному промежутку интегрирования равен сумме интегралов по составляющим. Единицей полной работы, так же как и элементарной, в СИ является джоуль: .

Если проекция силы на направление скорости является величиной постоянной, то из (45) получим

где —путь, пройденный точкой.

Так как , то последнюю формулу можно представить в виде

Следует отметить, что в этой формуле как , так и могут быть переменными, но является постоянной величиной. Это выполняется, если и постоянны. Если дополнительно угол или , то тогда

причем эта формула применима как для прямолинейного, так и для криволинейного движения. Для этого необходимо, чтобы сила была постоянной по модулю и все время направленной по касательной к траектории точки. В случае прямолинейной траектории сила , следовательно, должна быть все время направлена по траектории в одну и ту же сторону.

Мощность

Мощность силы или работоспособность какого-либо источника силы часто оценивают той работой, которую он может совершить за единицу времени.

Итак, по определению, мощность

Учитывая (43) для элементарной работы, мощность можно представить в виде

Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки. Из формулы (48) получаем, что чем больше скорость, тем меньше сила при одной и той же мощности. Следовательно, если от источника силы с заданной мощностью нужно получить большую силу, то ее можно получить только при малой скорости. Так, например, когда железнодорожному локомотиву надо увеличить силу тяги, то для этого надо уменьшить скорость поезда.

В СИ единицей мощности является ватт: .

Примеры вычисления работы силы

Работа силы в общем случае зависит от характера движения точки приложения силы. Следовательно, для вычисления работы надо знать движение этой точки. Но в природе имеются силы и примеры движения, для которых работу можно вычислить сравнительно просто, зная начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим работу силы тяжести и линейной силы упругости, изменяющейся по закону Гука, и вычисление работы силы, приложенной к какой-либо точке твердого тела в различных случаях его движения. В качестве простейших примеров движения укажем случаи, когда работа равна нулю. Так, работа любой силы равна нулю, если она приложена все время в неподвижной точке или в точках, скорость которых равна нулю, как, например, в случае, когда сила все время приложена в мгновенном центре скоростей при плоском движении тела или все время в точках, лежащих на мгновенной оси вращения, в случае вращения тела вокруг неподвижной точки. Эти случаи возможны в задачах, когда рассматривают работу силы трения в точке соприкосновения двух тел при отсутствии скольжения одного тела по другому. При этом работа силы трения равна нулю.

Рис. 61

Работа силы тяжести

Силу тяжести материальной точки массой вблизи поверхности Земли можно считать постоянной, равной , направленной по вертикали вниз. Если взять оси координат , у которых ось  направлена по вертикали вверх (рис. 61), то

Вычисляя работу силы на перемещении от точки до точки по формуле (46), имеем

или

где  — высота опускания точки.

При подъеме точки высота является отрицательной. Следовательно, в общем случае работа силы тяжести равна

Работа силы тяжести равна произведению этой силы на высоту опускания (работа положительна) или высоту подъема (работа отрицательна). Из формулы (50) следует, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории между точками и , и если эти точки совпадают, то работа силы тяжести равна нулю (случай замкнутого пути). Она равна нулю, если точки и лежат в одной и той же горизонтальной плоскости.

Рис. 62

Если имеем систему материальных точек, то для каждой точки с массой будем иметь работу ее силы тяжести

где и — начальная и конечная координаты точки.

Работа всех сил тяжести системы материальных точек

так как

где — масса системы точек; и — начальная и конечная координаты центра масс системы точек. Вводя обозначение для изменения высоты центра масс , имеем

Из (50′) следует, что для перемещений точек системы, при которых , работа сил тяжести .

Работа линейной силы упругости

Линейной силой упругости (или линейной восстанавливающей силой) называют силу, действующую по закону Гука (рис. 62):

где — расстояние от точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки ; —постоянный коэффициент жесткости.

Выберем начало координат в точке равновесия , тогда

После этого работу на перемещении от точки до точки  определим по формуле

так как

где .

Выполняя интегрирование, получаем

По этой формуле вычисляют работу линейной силы упругости пружины при перемещении по любому пути из точки , в которой ее удлинение (начальная деформация) равно , в точку , где деформация соответственно равна . В новых обозначениях (51) принимает вид

При перемещении из положения равновесия (пружина не деформирована), где , в любое положение с деформацией работа линейной силы упругости

Работа линейной силы упругости на перемещении из состояния равновесия всегда отрицательна и равна половине произведения коэффициента жесткости на квадрат деформации. Из формулы (51) или (52) следует, что работа линейной силы упругости не зависит от формы перемещения и работа по любому замкнутому перемещению равна нулю. Она также равна нулю, если точки  и лежат на одной сфере, описанной из точки равновесия.

Работа силы, приложенной к твердому телу

Получим формулы для вычисления элементарной и полной работы силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, которое совершает то или иное движение. Сначала рассмотрим поступательное и вращательное движения тела, а затем общий случай движения твердого тела.

При поступательном движении твердого тела все точки тела имеют одинаковые по модулю и направлению скорости (рис. 63). Следовательно, если сила приложена к точке , то, так как ,

где —радиус-вектор произвольной точки твердого тела.

На каком-либо перемещении полная работа

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость точки можно вычислить по векторной формуле Эйлера (рис. 64):

Рис. 63    

Рис. 64

тогда элементарную работу силы определим по формуле

В смешанном векторном произведении, которое выражается в виде определителя, можно переставлять сомножители в круговом порядке:

и

так как

является моментом силы относительно точки .

Учитывая, что — момент силы относительно оси вращения и , окончательно получаем

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.

Полная работа

В частном случае, если момент силы относительно оси вращения является постоянным, т. е. , работу определяют по формуле

где — угол поворота тела, на котором вычисляют работу силы.

Так как , то мощность в случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Мощность силы, приложенной к вращающемуся вокруг неподвижной оси твердому телу, равна произведению угловой скорости тела на момент силы относительно оси вращения . тела.

Рис. 65

Для свободного тела в общем случае движения скорость точки , в которой приложена сила (рис. 65),

следовательно,

Учитывая, что

имеем

Но так как — момент силы относительно мгновенной оси относительного вращения вокруг точки , — элементарный угол поворота вокруг этой оси, то окончательно получаем

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, в общем случае движения складывается из элементарной работы на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела и на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки.

В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, выбрав эту точку за полюс , по (59) для элементарной работы имеем

Поворот на угол следует рассматривать в каждый момент времени вокруг своей мгновенной оси вращения.

Формулу (59) применяют и для плоского движения твердого тела, только в этом случае мгновенная ось относительного вращения перпендикулярна плоскости движения и проходит через произвольную точку тела.

При действии на твердое тело системы сил  для элементарной работы силы , согласно полученным формулам, имеем

Элементарная работа системы сил

где

соответственно являются главным вектором и главными моментами системы сил относительно точки и мгновенной оси относительного вращения, проходящей через точку полюс. Таким образом,

т. е. элементарная работа системы сил, приложенных к свободному твердому телу в общем случае его движения, складывается из элементарной работы главного вектора системы сил на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела и элементарной работы главного момента этих сил относительно выбранной точки на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки.

Работа внутренних сил твердого тела

Докажем, что для твердого тела сумма работ внутренних сил равна нулю при любом его перемещении. Очевидно, достаточно доказать, что сумма элементарных работ всех внутренних сил равна нулю. Рассмотрим две любые точки твердого тела: и (рис. 66). Так как внутренние силы есть силы взаимодействия точек тела, то для этих двух точек

Введем единичный вектор , направленный по силе . Тогда

Сумма элементарных работ сил и 

Рис. 66

Раскрывая скалярные произведения векторов в скобках, получаем

так как в кинематике твердого тела доказано, что проекции скоростей любых двух точек твердого тела на направление прямой линии, соединяющей эти точки, равны друг другу при любом движении твердого тела. В полученном выражении в скобках стоит разность этих проекций скоростей двух точек, т. е. величина, равная нулю.

Твердое тело можно считать состоящим из пар взаимодействующих точек, для каждой из которых сумма элементарных работ внутренних сил равна нулю.

Суммируя элементарные работы для всех пар точек, получаем .

Как уже известно, главный вектор и главный момент всех внутренних сил для любой механической системы равны нулю. Сумма работ внутренних сил равна нулю только в случае твердого тела, а для любой механической системы в общем случае она не равна нулю.

В задачах в качестве механической системы часто рассматривают систему сочлененных твердых тел. При вычислении работы всех сил, приложенных к такой системе тел, очевидно, достаточно учесть работу внутренних сил в местах сочленения твердых тел. Если твердые тела сочленяются с помощью шарниров без трения, сумма работ таких двух внутренних сил равна нулю, так как внутренние силы в точке сочленения, как действие и противодействие, равны по модулю, но противоположны по направлению, а перемещение у точек приложения сил общее.

Таким образом, сочленение твердых тел с помощью шарниров без трения при вычислении работы внутренних сил не нарушает жесткости системы тел, так как сумма работ внутренних сил в этих шарнирах равна нулю при любых перемещениях системы сочлененных твердых тел. Систему сочлененных с помощью таких шарниров твердых тел при вычислении работы всех внутренних сил можно считать одним твердым телом. Это характерно и для случая сочленения системы твердых тел с помощью нерастяжимых нитей, канатов и т. п. В этом случае работа внутренних сил натяжений также равна нулю.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия точки и системы: Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости, т.е. или , так как скалярный квадрат любого вектора равен квадрату модуля этого вектора. Кинетическая энергия является скалярной положительной величиной. В СИ единицей кинетической энергии является джоуль: .

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы, т. е.

Кинетическая энергия как точки, так и системы не зависит от направления скоростей точек. Кинетическая энергия может быть равна нулю для системы только при условии, если все точки системы находятся в покое.

Вычисление кинетической энергии системы (теорема Кёнига)

Разложим движение механической системы на переносное поступательное вместе с центром масс системы и относительное по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс. Аналогично тому, как это производилось при выводе формулы для кинетического момента при таком разложении абсолютного движения, для каждой точки системы (см. рис. 57) имеем

и соответственно

где является относительной скоростью точки, так как подвижная система координат движется поступательно и, следовательно, полная производная по времени от совпадает с локальной производной, равной относительной скорости точки.

Подставляя значение скорости в выражение кинетической энергии абсолютного движения системы, т. е. ее движения относительно системы координат , после очевидных преобразований получаем

Но

так как

Учитывая, что  —масса системы, и обозначая  второе слагаемое в (62), имеем

где

Величина  является кинетической энергией относительного движения системы относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с ее центром масс, или кинетической энергией системы относительно центра масс.

Формула (63) выражает так называемую теорему Кёнига: кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы относительно центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела

При поступательном движении твердого тела кинетическая энергия

так как при поступательном движении твердого тела скорости всех точек тела одинаковы, т. е. , где — общая скорость для всех точек тела.

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе всего тела.

При вращении тела вокруг неподвижной оси кинетическую энергию можно вычислить, если учесть, что скорость какой-либо точки тела можно выразить (см. рис. 50) как

где  — кратчайшее расстояние от точки до оси вращения; — угловая скорость тела.

Тогда

или

где — момент инерции тела относительно оси вращения .

Следовательно, кинетическая энергия тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

Из сравнения (64) и (65) следует, что эти формулы подобны, только при вращательном движении аналогом массы является момент инерции тела относительно оси вращения, а скорости— угловая скорость тела. Такая аналогия между поступательным и вращательным движениями твердого тела может наблюдаться во многих формулах, относящихся к этим двум движениям.

При плоском движении твердого тела кинетическую энергию можно вычислить по теореме Кёнига. Так как в этом случае относительное движение относительно центра масс (точнее, относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром масс) является вращением вокруг центра масс с угловой скоростью , то

где — момент инерции тела относительно оси , проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения. Следовательно, на основании (63) для плоского движения тела имеем

Таким образом, при плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения.

Учитывая, что  ( — мгновенный центр скоростей), из (66), используя теорему Штейнера, получаем еще одну формулу для кинетической энергии твердого тела при плоском движении:

где — момент инерции тела относительно оси , проходящей через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения,

Если механическая система состоит из нескольких твердых тел, то следует вычислить кинетическую энергию каждого тела, а затем полученные кинетические энергии сложить. Так определяется кинетическая энергия системы тел.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Для материальной точки массой , движущейся под действием силы , основной закон динамики можно представить в виде

Умножая обе части этого соотношения скалярно на дифференциал радиуса-вектора точки , имеем

или

где — скорость точки.

Учитывая, что — элементарная работа, получаем

Так как

то окончательно

Формула (67) выражает теорему об изменении кинетической энергии для точки в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Если обе части (67) разделить на и учесть, что —мощность, то теорему можно также выразить в виде

Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к этой точке.

Интегрируя обе части (67) от точки до точки (см. рис. 60), получаем теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной форме:

т. е. изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Пример 1. Тело, имеющее силу тяжести , падает без начальной скорости на пружину с высоты . Определить наибольшее обжатие пружины , если статическое сжатие ее под действием силы тяжести этого тела равно . Массой пружины пренебречь (рис. 67).

Решение. Применим к движению тела теорему об изменении кинетической энергии точки

приняв за начальное положение тела начало его падения с высоты , а за конечное — момент максимального обжатия пружины. Изменение кинетической энергии за этот промежуток времени равно нулю, так как и при наибольшем сжатии пружины . Следовательно, работа . На тело после его соприкосновения с пружиной действуют две силы: сила тяжести тела и сила упругости пружины. Сила совершает работу на перемещении , сила упругости — на перемещении . Следовательно,

Рис. 67

Но так как в положении статического равновесия , то . Поэтому  или

Решая это квадратное уравнение, имеем

Знак плюс перед корнем выбран потому, что . При наибольшее обжатие пружины , т. е. при динамическом действии груза на пружину ее наибольшее обжатие в два раза больше статического обжатия.

Рис. 68

Пример 2. Грузу с силой тяжести , подвешенному в точке  на пружине, статическое удлинение которой под действием силы тяжести равно , сообщена начальная скорость из положения вертикально вниз (рис. 68).

Определить скорость груза в положении , если груз, принимаемый за точку, скользит по кольцу радиусом без трения, и естественная длина пружины равна .

Решение. Применим к движению груза теорему об изменении кинетической энергии, приняв за начальное положение груза и конечное — . Получим

Работу совершают сила тяжести груза и сила упругости пружины. Нормальная реакция кольца все время перпендикулярна перемещению, и ее работа равна нулю. Следовательно,

В рассматриваемом случае

поэтому

По теореме об изменении кинетической энергии имеем

и

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Приложив к точкам системы все внешние и внутренние силы, для каждой точки системы можно выразить теорему об изменении кинетической энергии (67) в форме

Суммируя правые и левые части этих соотношений по всем точкам системы и вынося знак дифференциала за знак суммы, получаем

или

где кинетическая энергия системы

элементарная работа внешних и внутренних сил соответственно будет

Формула (69) и выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Если обе части (69) проинтегрировать между двумя положениями системы — начальным и конечным, в которых соответственно кинетическая энергия и , то, изменяя порядок суммирования и интегрирования, имеем

или

где  —работа внешней силы для точки системы  при ее перемещении из начального положения в конечное положение — соответственно работа внутренней силы, действующей на точку .

Формула (70) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной или интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек системы при том же перемещении системы.

Частный случай: Для абсолютно твердого тела сумма работ всех внутренних сил системы равна нулю:

Следовательно, теорему об изменении кинетической энергии, например, в конечной форме можно представить в виде

Изменение кинетической энергии твердого тела при каком-либо перемещении равно сумме работ всех внешних сил, действующих на тело, на соответствующих перемещениях точек тела при том же перемещении твердого тела.

Рис. 69

Таким образом, в отличие от рассмотренных других общих теорем динамики системы в теорему об изменении кинетической энергии могут входить внутренние силы. Они не входят в эту теорему в случае абсолютно твердого тела.

Пример 1. В маятнике Максвелла однородный цилиндр силой тяжести и радиусом падает вниз без начальной скорости, разматывая нить, намотанную на цилиндр в его среднем сечении.

Определить скорость оси цилиндра в зависимости от высоты ее опускания (рис. 69).

Решение. По теореме об изменении кинетической энергии цилиндра как твердого тела имеем

Так как в начальный момент времени цилиндр покоится, то . Цилиндр совершает плоское движение. Его кинетическая энергия в момент достижения высоты 

Поэтому

Внешними силами являются сила тяжести и сила натяжения нити . Сила  все время приложена в мгновенном центре скоростей цилиндра, имеющем скорость равную нулю. Работа силы тоже равна нулю. Следовательно,

Подставляя вычисленные величины в теорему об изменении кинетической энергии, получаем

Пример 2. Груз , имеющий силу тяжести , с помощью нити, переброшенной через блок , приводит в движение каток , катящийся без скольжения по горизонтальной плоскости (рис. 70). Блок и каток — однородные диски радиусом . Их силы тяжести равны . Коэффициент трения качения катка . Трением в осях катка и блока, а также массой нити пренебречь.

Определить скорость груза в зависимости от его высоты опускания.

В начальный момент система покоится.

Рис. 70    

Решение. По теореме об изменении кинетической энергии системы, состоящей из груза, нити, блока и катка, имеем

где , так как вначале система покоилась. Обозначив ,  и  кинетические энергии груза, блока и катка соответственно после опускания груза на высоту , получаем

Но

Следовательно,

Так как работа внутренних сил натяжений нити равна нулю, то вообще  для всей системы твердых тел, соединенных нитью. Работа сил тяжести блока и реакции оси  равны нулю, так как эти силы приложены в неподвижной точке . Сила тяжести катка перпендикулярна перемещению, а силы и приложены в мгновенном центре скоростей и, следовательно, работа их равна нулю. Работу производят сила и пара сил с моментом , препятствующим качению катка по плоскости. Имеем

где — угол поворота катка при опускании груза на и .

Так как

то

Подставляя значения полученных величин в теорему об изменении кинетической энергии, получаем

Заметим, что груз имеет не только силу тяжести , совершающую работу, но он еще обладает массой и, следовательно, имеет кинетическую энергию. И работа силы тяжести, и кинетическая энергия груза входят в теорему об изменении кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Пусть точка совершает переносное движение вместе с подвижной системой координат относительно основной системы координат и относительное движение по отношению к системе координат (рис. 71). Абсолютным движением точки является ее сложное движение относительно системы координат . Дифференциальное уравнение относительного движения точки в векторной форме можно представить в виде

где — сила инерции переносного движения точки;   — сила инерции Кориолиса.

Рис. 71    

Вывод теоремы об изменении кинетической энергии для точки в относительном движении произведем так же, как и вывод аналогичной теоремы в абсолютном движении, умножив обе части (72) скалярно на вектор элементарного относительного перемещения , и преобразуем левую часть полученного выражения. Значок над дифференциалом радиуса-вектора и других векторов указывает, что при дифференцировании надо брать изменение соответствующего вектора относительно подвижной системы координат . Таким образом,

В правую часть входят элементарные работы сил  и на относительном перемещении . Оказывается, что элементарная работа силы инерции Кориолиса на относительном элементарном перемещении всегда равна нулю, так как эта сила перпендикулярна относительной скорости и, следовательно, перпендикулярна относительному перемещению . В выражение силы инерции Кориолиса входит векторное произведение , а оно всегда перпендикулярно каждому из векторов сомножителей, в частности .

Итак, теорема об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме имеет вид

Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении точки выражается так же, как и в абсолютном движении, только к элементарной работе приложенной силы добавляют элементарную работу силы инерции переносного движения на относительном перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Для системы рассмотрим наиболее важный случай, когда в качестве переносного движения берется поступательное движение системы вместе с центром масс и, следовательно, кинетическую энергию системы в абсолютном движении можно вычислить на основании теоремы Кёнига (63): .

Теорему об изменении кинетической энергии системы для абсолютного движения (см. рис. 56) можно представить в виде

Так как

и, следовательно,

то, заменяя в (74) и их значениями, получаем

По свойству внутренних сил, .

Если теорему об изменении кинетической энергии для центра масс выразить так же, как и для точки, у которой масса равна массе всей системы, и эта точка находится под действием всех внешних сил, действующих на систему, то

Отбросив в (75) эти члены, получим следующую теорему об изменении кинетической энергии системы в относительном движении по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс:

Сравнивая (76) с (74), видим, что теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс системы, формулируется так же, как и для абсолютного движения системы.