Как найти изменение величины в математике

Одним из основных математических инструментов для описания окружающего нас мира являются величины.

Величина- это особое свойство предмета, объекта или явления, которое поддается измерению (т.е. это все то, что можно измерить и выразить числом).

Например, длина, масса, скорость, объем, время и т.п.

Подробней рассмотрим, что представляет из себя изменение величины.

Изменение- это процесс движения и взаимодействия предметов, явлений, объектов; переход из одного состояния в другое; возникновение новых свойств, функций, качеств, новой структуры и др.

С давних пор понятие «изменение» является предметом философских дискуссий и размышлений.

В античной и средневековой философии многие мыслители пытались понять, какой смысл несет в себе изменение и какова сущность этого процесса, вводили различные толкования данного понятия.

Аристотель одним из первых философов рассматривал эту проблему как научную.

Он выделил четыре различных вида изменений:

• изменение места (или пространственное перемещение)
• изменение состояния (качества)
• изменение количества (рост и убывание)
• изменение субстанции

Аристотель считал, что каждый вид изменений есть переход в свою противоположность.

В действительности, с изменением величины приходится сталкиваться очень часто.

Изменение какой-либо величины можно характеризовать разностью конечного и начального значения величины.

Результат изменения величины может быть

• положительным
• отрицательным
• равным нулю

Вам уже известно о существовании положительных и отрицательных чисел.

Разберемся, каким образом они используются для описания изменения различных величин.

Увеличение или уменьшение величины можно обозначить положительными и отрицательными числами.

Увеличение величины выражается с помощью положительных чисел.

Уменьшение величины выражается с помощью отрицательных чисел.

Например, увеличение какой-либо величины на 6 единиц измерения можно записать как +6.

Уменьшение величины на 3 единицы измерения можно обозначить как —3.

Часто знак «+» и «—» заменяют словами увеличилось/уменьшилось или повысилось/понизилось.

Рассмотрим несколько примеров изменения величин.

Пример 1

Изменение температуры воздуха.

В окружающем мире происходят различные процессы и явления, связанные с нагреванием и охлаждением.

Для нашего примера мы будем использовать температурную шкалу Цельсия, где единицей измерения температуры выбран(mathbf{^circ C}).

Мы знаем, что температура воздуха может как повышаться, так и понижаться.

Допустим, утром температура воздуха была 10(mathbf{^circ C}).

В полдень повысилась до 15(mathbf{^circ C}), а вечером понизилась до 5(mathbf{^circ C}).

За первую половину дня температура воздуха увеличилась на 5(mathbf{^circ C}), говорят: «изменение температуры составляет +5(mathbf{^circ C}).»

За вторую половину дня температура воздуха уменьшилась на 10(mathbf{^circ C}), говорят: «изменение температуры равно —10(mathbf{^circ C}).»

Изменение количества денежных средств на счете телефона.
Пример 2 

Удобно знать изменение величины при движении денежных средств на счете. Например, списание и зачисление денежных средств на телефон.

Зачисленные средства будем обозначать положительными числами.

Потраченные средства будем обозначать отрицательными числами.

Допустим, на счету телефона было 50 рублей.

К вечеру на звонки и сообщения было потрачено 20 рублей, т.е. количество денежных средств уменьшилось на 20 рублей. Изменение денежных средств составило —20 рублей.

На второй день было потрачено 15 рублей. Изменение количества денежных средств составило —15 рублей.

На третий день счет был пополнен на 45 рублей, т.е. количество денежных средств увеличилось. Изменение количества денежных средств составило +45 рублей. 

Пример 3

Изменение скорости движения.

При путешествии на автомобиле водителю приходится изменять скорость движения транспортного средства, т.е. уменьшать или увеличивать скорость.

Для определения такой величины, как скорость движения, используют измерительный прибор, который называется спидометр.

На приборе нанесена шкала скоростей, показания выводятся в км/ч.

Стрелка спидометра указывает скорость движения транспортного средства.

Рассмотрим пример изменения скорости движения легкового автомобиля.

Допустим, автомобиль двигался по автомагистрали с разрешенной скоростью, спидометр автомобиля показывал 110 км/ч.

В населенном пункте он снизил скорость на 50 км/ч. Это значит, что изменение скорости движения автомобиля составило —50 км/ч.

Проехав населенный пункт, автомобиль стал двигаться со скоростью 90 км/ч, т.е. скорость увеличилась на 30 км/ч, а это значит, что изменение скорости составило +30 км/ч.

Пример 4

Изменение длины пружины (сжатие и растяжение).

Пружина — механическое устройство, обладающее упругими свойствами. Пружина способна под действием нагрузки менять свои первоначальные размеры (изменять свою длину): сжиматься и растягиваться.

Растяжение пружины (увеличение ее длины) будем выражать положительными числами.

Сжатие пружины (уменьшение ее длины) будем выражать отрицательными числами.

Рассмотрим пример изменения длины пружины:

Пружину длиной 15 см прикрепили к плоской поверхности одним концом и стали тянуть за второй конец этой пружины, в результате длина ее стала равной 20 см. Она увеличилась в длине на 5 см, а это значит, что изменение величины пружины составило +5 см.

Затем пружину сжали, уменьшив ее длину на 8 см.

Изменение длины пружины составило —8 см.

Длина пружины стала равной 12 см.

Изобразим координатную прямую, направленную вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком, в котором 1 деление = 1 единица.

Допустим, на координатной прямой отметили точку А (+4).

Затем переместились из точки А в точку В (+6).

Из точки В переместились в точку С (-2).

Определим перемещение точки по координатной прямой.

Разберем подробно каждое перемещение и увидим, какие изменения происходили при движении точки по координатной прямой.

Передвинув точку А (+4) вправо на 2 единичных отрезка, оказались в точке В (+6) , перемещение точки составило +2 . Перемещение со знаком «+», так как перемещение из точки А в точку В происходило по направлению координатной прямой и координата в результате перемещения стала больше.

Из точки В (+6) переместились влево на 8 единичных отрезков и оказались в точке С (-2) , а это значит, что перемещение точки составило —8 . Изменение величины со знаком «-», так как перемещение из точки В в точку С происходило против направления координатной прямой и координата стала меньше.

Рассмотрим решение задач с помощью координатной прямой на примере изменения длины пружины.

Задача:

Пружину длиной 15 см прикрепили к плоской поверхности одним концом и стали тянуть за второй конец, в результате длина пружины увеличилась на 5 см. Затем пружину сжали, уменьшив ее длину на 8 см.

Определите, чему стала равна в итоге длина пружины?

Решение:

Построим координатную прямую, направленную вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком, в котором 1 деление = 1 см.

Расстояние от точки О (0) до токи А (15) содержит 15 единичных отрезков — это длина пружины в первоначальном состоянии.

Пружину растянули, увеличив ее длину на 5 см.

От точки А (15) откладываем вправо 5 единичных отрезков и оказываемся в точке В с координатой +20

Изменение длины пружины составило +5 см. Изменение со знаком «+», так как перемещение из точки А в точку В происходило по направлению координатной прямой и координата в результате перемещения стала больше.

Сжав пружину, тем самым уменьшили ее длину на 8 см.

От точки В (20) откладываем 8 единичных отрезков влево и оказываемся в точке С с координатой +12

Изменение длины пружины составило —8 см. Изменение со знаком «-», так как перемещение из точки В в точку С происходило против направления координатной прямой и координата в результате перемещения стала меньше.

Ответ: длина пружины, в результате всех изменений, стала равной 12 см.

Описание изменения температуры.

В полдень наблюдалось изменение температуры на $+6$ градусов, а к вечеру температура изменилась на $–4$ градуса.

Описание изменения количества денег на счете телефона.

На счету мобильного телефона было $50$ рублей. На второй день количество денежных средств изменилось на $–14$ рублей. Число $–14$ – отрицательное, что указывает на уменьшение количества денег, которые были потрачены, например, на смс-сообщения, выход в Интернет и звонки. Остаток на счете составил $36$ рублей. За третий день количество денег изменилось на $–8$ рублей, а значит, уменьшилось, т.к. $–8$ – отрицательное число. На счету осталось $28$ руб. На четвертый день счет был пополнен на $20$ руб., т.е. количество денег увеличилось, т.к. число $20$ – положительное. Остаток на счете составил $48$ рублей.

Пример.

Описание изменения веса тигренка.

При рождении тигренок весил $50$ кг. За первый месяц его вес изменился на $+15$ кг, т.е. увеличился. За $2$-й и $3$-й месяц вес изменялся на $10$ кг. За $4$-й месяц вес тигренка изменился на $–5$ кг, т.е. уменьшился. Возможно, тигренок болел. В следующем месяце тигренок снова поправился на $10$ кг.

Найти изменение координаты точки при ее перемещении по координатной прямой:

1. от $A$ до $B$;
2. от $B$ до $A$;
3. от $A$ до $C$;
4. от $B$ до $C$;
5. от $C$ до $K$.

Решение.

1. Перемещение от $A$ до $B$. Точка сдвинулась вправо на $3$ единицы, следовательно, перемещение равно $+3$ (или просто $3$).
2. Перемещение от $B$ до $A$. Точка сдвинулась влево на 3 единицы, следовательно, перемещение равно $–3$ единицы.
3. Перемещение от $A$ до $C$. Точка сдвинулась влево, т.е. перемещение будет отрицательным числом и составит $–7$ единиц.
4. Перемещение точки $B$ в точку $C$ равно $–10$ единиц.
5. Перемещение точки $C$ в точку $K$ составляет $12$ единиц, т.к. она сместилась вправо на $12$ единичных отрезков.

1. 

   1

   Вычтите старое значение из нового. При вычислении процентного увеличения меньшее число является старым (исходным) значением, а большее — новым (конечным) значением (и наоборот при вычислении процентного уменьшения). Стандартную формулу можно использовать для вычисления процентного увеличения или процентного уменьшения. Если вы получили отрицательное число, имеет место процентное уменьшение.^[1]
   

   • Например, нужно определить годовой рост своего дохода. Если в прошлом году вы заработали 370 000 рублей, а в этом — 450 000 рублей, вычтите 370 000 из 450 000 и получите 80 000.
   • Рассмотрим скидки в магазинах — они обозначаются как «скидка x %», то есть это процентное уменьшение. Если брюки стоили 500 рублей, а теперь 300 рублей, то 500 — это исходная стоимость, а 300 — конечная стоимость. Сначала вычтите 500 из 300 и получите -200.

   Совет: если значения переменных поменялись несколько раз, найдите процентное изменение только для нужных двух значений.

2. 

   2

   Разделите полученный результат на исходное значение. Найдя разницу между числами, разделите ее на исходное значение, которое является меньшим числом, если процент увеличился, или большим числом, если процент уменьшился.^[2]
   

   • В нашем первом примере разделите 80 000 (разница между доходами) на 370 000 (исходный доход). Ответ: 0,216.
   • В нашем втором примере разделите разницу (-200) на старую цену (500) и получите -0,40. Это означает, что изменение стоимости в 200 рублей составляет 0,40 от исходной цены в 500 рублей, причем изменение отрицательное (то есть цена уменьшилась).

3. 

   3

   Умножьте результат на 100. Сделайте это, чтобы полученный ответ преобразовать в проценты.^[3]
   

   • В нашем первом примере умножьте 0,216 на 100. Вы получите 21,6, то есть ваш доход увеличился на 21,6 %.
   • В нашем втором примере умножьте -0,40 на 100. Вы получите -40 %. Это означает, что новая цена (300 рублей) на 40 % меньше старой цены (500 рублей). Другими словами, скидка на брюки равна 40 %. Таким образом, разница в ценах (200 рублей) составила 40 % от исходной цены в 500 рублей. Так как разница в ценах привела к более низкой конечной цене, используйте знак «-» (минус).

   Реклама

1. 

   1

   Вычтите новое значение из старого. Сделайте это, чтобы вычислить процентное уменьшение по указанной формуле. Обратите внимание, что в предыдущем разделе вы вычитали старое значение из нового.^[4]
   

   • Например, вычислим изменение числа школьников. Если в этом году 12 125 учеников, а в прошлом году их было 13 500, вычтите 12 125 из 13 500 и получите 1375.

2. 

   2

   Разделите полученный результат на исходное значение. Помните, что при вычислении процентного уменьшения исходным значением является большее число.^[5]
   

   • В нашем примере разделите 1375 (результат вычитания) на 12 125 (исходное значение). Ответ: 0,1134.

3. 

   3

   Умножьте полученный результат на 100. Сделайте это, чтобы преобразовать результат в проценты.^[6]
   

   • Умножьте 0,1134 на 100 и получите 11,34. Таким образом, число школьников сократилось на 11,34 %.

   Совет: если при таком вычислении вы получили отрицательное число, имеет место процентное увеличение.

   Реклама