Как найти исходное число от степени

Формула простого процента: как найти исходное значение

13 ноября 2013

В этом коротком видеоуроке мы научимся решать задачи на проценты с помощью специальной формулы, которая так и называется: формула простого процента. Давайте оформим эту формулу в виде теоремы.

Теорема о простом проценте. Предположим, что есть некая исходная величина x, которая затем меняется на k%, и получается новая величина y. Тогда все три числа связаны формулой:

Плюс или минус перед коэффициентом k ставится в зависимости от условия задачи. Если по условию величина x возрастает, то перед k стоит плюс. Если же величина уменьшается, то перед коэффициентом k стоит минус.

Несмотря на кажущуюся мудреность этой формулы, многие задачи с ее помощью решаются очень быстро и красиво. Давайте попробуем.

Задача. Цена на товар была повышена на 10% и составила 2970 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

Чтобы решить эту задачу с помощью формулы простых процентов, нам необходимы три числа: исходное значение x, проценты k и итоговое значение y. Из всех трех чисел нам известны проценты k = 10 и итоговое значение y = 2970. Обратите внимание: 2970 — это именно итоговая цена, т.е. y. Потому что по условию задачи исходная цена на товар неизвестна (ее как раз требуется найти). Но затем она была повышена, и только тогда составила 2970 рублей.

Итак, нам нужно найти x, т.е. исходное значение. Что ж, подставляем наши числа в формулу и получаем:

Складываем числа в числителе и получаем:

Сокращаем по одному нулю в числителе и знаменателе, а затем умножаем обе части уравнения на 10. Получим:

11x = 29 700

Чтобы найти x из этого простейшего линейного уравнения, нужно разделить обе стороны на 11:

x = 29 700 : 11 = 2700

Как видите, это довольно большие числа, поэтому в уме такие вычисления не провести. В случае, если такая задача встретится вам на ЕГЭ, придется делить уголком. При этом все разделилось без остатка, и мы получили значение x:

x = 2700

Именно столько стоил товар до повышения цены. И именно это число нам требовалось найти по условию задачи. Поэтому все: задача решена. Причем решена не «напролом», а с помощью формулы простого процента — быстро, красиво и наглядно.

Разумеется, эту задачу можно было решать по-другому. Например, через пропорции. Или экзотическим методом коэффициентов. Но будет гораздо лучше и надежнее, если у вас на вооружении будет несколько приемов для решения любой задачи на проценты. Так что обязательно попрактикуйтесь в использовании данной формулы.

А у меня на этом все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!:)

Смотрите также:

1. Процент: неизвестно начальное значение (метод пропорции)
2. Формула простого процента: неизвестно конечное значение
3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
4. Метод коэффициентов, часть 1
5. Деление многочленов уголком
6. Сфера, вписанная в куб

До сих пор примеры реальных задач, для решения которых может понадобиться математика, были если не совсем уж фантастическими, то, по крайней мере, не затрагивали тех приятных тем, от которых в нижней части живота распространяется приятная судорога. Мы, конечно, имеем в виду деньги. И не просто деньги сами по себе, а деньги всё возрастающие, увеличивающиеся, позволяющие сформировать стабильный пассивный доход и купить пожизненный абонемент в местную сеть стейк-хаусов.

Как такого дохода достичь? Если отвлечься от всяких «бинарных опционов», «уникальных рекламных предложений», «командного сетевого бизнеса без начальных вложений» и тому подобного, проверенным веками методом оказывается размещение денег в банке под определённый процент. Разве ещё не говорили о процентах? Вроде как нет… Ну ничего, сейчас исправимся.

Ранее мы подметили, что любое рациональное число со знаменателем, делящимся на , может быть представлено в виде десятичной дроби. Например, . «Процент» это просто название для одной сотой. Иначе говоря, у нас есть изначальное число, которое мы делим на равных частей, каждая из которых и равна одному проценту. Записывается это как , и так далее.

Как вообще искать процент от числа? Самый простой способ это разделить на и умножить на то количество процентов, которое нам нужно найти. К примеру, найдём от . Делим на , получаем , которые затем умножаем на , имея в итоге . Неплохо, но мы были вынуждены выполнить целых два действия вместо одного. А как сделать это одним? Для начала запишем всё, что проделали: . Как мы знаем, в случае умножения у нас свободный порядок операций, поэтому вполне можно написать . Но ведь двадцать три сотых это есть , следовательно, для нахождения процента нам нужно лишь умножить их на исходное число и дело в шляпе.

А если нам нужно найти, скажем, от числа, имея в виду, что это сумма самого числа и его пятипроцентной доли? Логика ровно такая же, если один процент это , то это уже , на которые мы исходное число и умножаем. Понятно? Не совсем?

Начнём с каких-то более приземлённых ситуаций. У вас есть рублей и вы мечтаете ровно о том, о чём все амбициозные предприниматели в начале карьерного пути — закупиться на полгода вперёд дошираком (стейки будут уже потом). Одна проблема — для этого вам необходимо рублей. Как человек дела, вы направляете свой капитал на самые социально полезные цели — начинаете выдавать микро-кредиты под ежемесячно, при этом проценты считаются от уже полученной суммы. То есть, спустя один месяц вам должны отдать , а по итогам следующего месяца новый процент будет исчисляться как раз от , а не начальных десяти тысяч. Оно и правильно, пусть банки подавятся своими жалкими в год.

Такой расклад вас устраивает, но для пущей убедительности хорошо бы иметь конкретный бизнес-план. Как никак, вам предстоит заработать целых рублей! Таким образом, вам нужно узнать, когда ваша десятка себя удвоит, иначе говоря, когда начисление процентов доведёт её до .

Давайте думать, как это вычислить. После одного месяца, как было замечено, у вас станет . Сколько будет через два месяца? А будет . Порядок действий при умножении не важен, поэтому мы имеем . Таким образом, через месяцев у вас окажется . Приятные бухгалтерские хлопоты… Но как найти само значение ? Неужели надо заниматься скучным подбором вариантов?

Выпишем итоговое задание:

Обе стороны равенства мы можем разделить на , получив , что и станет предметом нашего пристального внимания. Вдумайтесь — нам нужно узнать, в какую степень возвести одно число, чтобы получить другое. Необычно, согласитесь. До этого мы только вычисляли сами числа, а степени нам были даны, а тут, совершенно внезапно, от нас требуется нечто обратное.

Что поделать? Обратиться к очередному неизведанному понятию математики — логарифму. Что такое логарифм? Это… степень. Правда, не совсем в таком виде, как корни. Разъясним на примере.

Как-как? «Логарифм»? Это про деньги? Нет? А про что? Про рост денег? Про рост выражения где одна переменная связана с другой при помощи степени? Помедленнее давайте, я записываю, в таких вопросах очень внимательным надо быть, всё по папочкам раскладывать.

Имеется запись вида , которая читается как «логарифм по основанию . Означает это ту степень, в которую надо возвести , чтобы получить . Скажем, и так далее. Запись не сильно интуитивная, но можно прибегнуть к небольшой хитрости — посмотрите на то, что располагается под , то есть на основание. Мы привыкли, что степени пишутся сверху, поэтому можно взять за привычку считать, что в степень возводится именно то, что снизу. Так вы не запутаетесь, что на что умножать и где тут вообще основание, потому что основание всегда снизу. Почти как фундамент.

Из нашего определения логарифма следует, что . Почему? Смотрите, сам логарифм даёт нам степень, в которую нужно возвести двойку, чтобы получить восьмёрку, эта степень равна тройке. Двойка в этой степени и даёт нам искомую восьмёрку. В общем виде это выглядит так:

Опять же, в указанном свойстве нет ровным счётом ничего необычного. Это даже не свойство само по себе, а просто прямое следствие из самого определения логарифма в том виде, в котором мы его записали. А вот дальше начинаются свойства, которые следует  доказать. Пожалуй, это первый раз в нашем курсе, когда мы не будем заходить издалека, показывать, как эти свойства вытекают из бытовых рассуждений. Вообще обойдёмся без предварительных ласк и, к сожалению, геометрических иллюстраций — их сделать в принципе возможно, но по своему виду они будут даже менее наделены смыслом, чем замысловатые формулы.

Только не подумайте чего дурного, все доказываемые свойства всё так же вытекают из операций со степенями, увидеть это можно всего за несколько шагов, просто это не такое тавтологическое следствие, как в случае с корнями. Подсчёт логарифма это как-никак другая, противоположная возведению в степень операция. Ну и да, доказывать мы сейчас будем только несколько основных свойств, которые имеют множество более частных следствий, но это всё будет уже в практическом приложении.

Итак, поехали. Первое свойство утверждает, что:

Несмотря на наши угрозы, для его доказательства почти не нужны формулы, хватит и простых слов. Итак, смотрите, это по определению степень, в которую нужно возвести , чтобы получить некоторое . Для простоты можно назвать эту степень , и тогда . Однако нам нужно узнать, как возведением в степень получить не просто , а , т.е. , которое раз умножили само на себя. В который раз нас выручает глубокое понимание того, как ведут себя степени при умножении. Ведь если мы договорились, что и, следовательно, , то чему тогда равен ? Он равен , так как это просто ещё один способ записать этот же самый . При возведении одной степени в другую, они перемножаются, получаем .

Так… и что? А то, что это и есть значение нашего логарифма! Следите за пальцами:

Теперь пришло время для обратной замены, т.е. вместо мы опять записываем наш логарифм:

В этом равенстве во всей красе представлен ответ на наш исходный вопрос — «в какую степень нужно возвести , чтобы получить ? Эта самая степень указана у нас во всём гнетущем безобразии, нужно возвести в степень .

С практической точки зрения это может прийтись кстати, если нет желания заучивать по или значений степеней для самых популярных в этом контексте чисел. Допустим, как узнать ? Если что, , то есть, вы совершенно точно не хотите это считать вручную. Какое счастье, что ! Ведь нам всего лишь следует воспользоваться доказанным свойством:

Ясное дело, что в этом частном случае нам хватило бы и знания об умножении степеней, однако поверьте, логарифмы в течение веков использовались для дичайшего ускорения монотонных операций по умножению и делению больших чисел не просто потому, что никому не было известно про степени. Как вообще эта мешанина из букв и цифр кому-то может помочь? Для ответа на этот вопрос нам предстоит доказать ещё одно свойство:

Представив на секунду, что мы оказались на кушетке в кабинете психоаналитика, будем проговаривать все проблемы, которые перед нами встали, да причём в самом явном виде. О тяжёлых отношениях с отцом и играх в доктора в детском садике упоминать не будем, опишем самую актуальную проблему. Итак, от нас требуется узнать, как ещё можно выразить , то есть как узнать, в какую степень нужно возвести , чтобы получить , используя тот факт, что число само является произведением каких-то и .

Опять будем вводить условности. Предположим, что и , т.е. что и . То есть, мы знаем, как из получить как , так и . Чему в таком случае равно произведение ? Судя по всему, . Выразим это ещё раз, но теперь вместо и вернём логарифмы:

В какую степень надо возвести , чтобы получить число ? Основание нужно возвести в степень , как и утверждается в основном свойстве.

— Братишка… Ты это, погоди… А как это считать помогает?

Помогает, поверьте, причём значительно. Видите-ли, если вы живёте в 17-м веке, то у вас, наверное, рабов, как у греков, уже нет, но свободного времени всё равно хватает. Да и не сказать, что за окном движуха круглосуточная. Как бороться с давящей скукой серых будней? Можно взять какое-то число за основание и пересчитать все значения для тысяч его степеней. На всякий случай повторим, что в 17-м веке у творческих людей представления об увлекательном досуге были весьма своеобразными.

И если вы думаете, что подсчёты состояли в вычислении и т.п., то вы сильно заблуждаетесь. Тотальному вычислению подлежали значения и тому подобное. Адски трудоёмко? — Да. Кошмарно долго? — Да. Вместо этого лучше пересмотреть все сезоны Breaking Bad? — Да. Однако как только эта работа оказывается завершена, последующие арифметические операции можно выполнять с невиданной до тех пор скоростью.

Скажем, вам нужно умножить на , а калькулятора с собой рядом нет. Кстати говоря, калькуляторов рядом не было ещё каких-то 40 лет назад, поэтому в любой уважающей себя организации можно было найти толстенные книги, в которых указаны значения великого множества логарифмов по любым основаниям (чаще всего это было и ).

Имея под рукой пару таких томиков, любое умножение на раз-два превращалось в простейшее сложение. Достаточно было найти и . Далее эти значения складывались, получалось что-то вроде . Наконец, пару минут листания справочников, и вот находится заветное число, для которого . Числом этим оказывается .

Зафиксируем всю цепочку действий:

Узнаёте наше свежедоказанное свойство в боевых условиях??

Дотошный читатель сейчас наверняка скажет «секунду… это почему такое получается после умножения? мой калькулятор утверждает, что , а он никогда не ошибается!».

Это будет верно. Дело в том, что логарифмы дают лишь приблизительное значение выражений, чем точнее вам нужен результат, тем больше знаков после запятой в степени логарифма будьте добры указать. Другое дело, что для практических целей вам  хватит и первых знаков, если не меньше.

Очень смешно, когда вещи и явления превращаются в свою противоположность. Родоначальник логарифмов в их современном понимании Джон Непер писал: «Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики.». Откуда ему было знать, что сегодня выражения с логарифмами будут наводить ужас на тысячи людей именно своей непонятностью и проблемами с точным подсчётом. Хорошо, что Джон до этих дней не дожил.

Что-то мы увлеклись сторонними рассуждениями, а у нас ведь ещё целое свойство осталось:

Посмотрим, сработает ли с ним уже взятая на вооружение логика. Итак, нам нужно найти степень, в которую мы возведём , чтобы в итоге получить . Дробное число тут как-то не очень к месту, поэтому давайте применим новейшее правило и представим как . Тогда искомая степень найдётся по формуле .

Обратим внимание, что ещё на пару абзацев выше мы доказали, что при нахождении логарифма от какого-то элемента в степени, саму степень можно вынести и представить как ещё один множитель. Но наша-то степень это , поэтому получается, что .

Теперь можно триумфально завершить достаточно скучное сегодняшнее путешествие, расчленив ещё одну формулу, известную как «формулу замены основания»:

Как вы уже, наверное, догадываетесь, здесь тоже не обойтись без замен. Предположим, что , т.е. . Предположили? В таком случае сосредоточьтесь, ибо сейчас мы возьмём  логарифм по основанию и от левой, и от правой части равенства. Почему это можем сделать? Ну, если и это одно и то же, то и нахождение логарифмов от них по любому основанию должно дать одно и то же, смекаете?

Славненько, самое время воспользоваться правилом о выносе степени, которое с первого взгляда показалось нам таким пустяковым:

Сделали? А теперь избавимся от логарифма , поделив обе части равенства на него же:

Спрашивается, к чему мы пришли? К очень удобному способу переходить от одних оснований к другим — отвечаем мы. По жизни никаких ситуаций исключать нельзя, тем более живя в России. Кто знает, вдруг вам придётся «упростить выражение , и что вы делать будете? А-а-а, не знаете… Ну ладно, расскажем. Хотя на самом деле вы всё уже знаете.

Для начала будет полезно заметить, что  уж точно не может являться никакой степенью пятёрки. Значит, надо перейти к другому основанию. Как это сделать? А по нашей сладенькой формуле.

Знаменатель мы не упростили, так как там наверняка что-то кошмарное должно стоять, уж лучше глаз порадуется.

Проведённое доказательство формулы для смены основания помимо своей полезности обладает ещё одним важным качеством. Это очень плохое математическое доказательство. Оно не отвечает в интуитивно понятном виде на вопрос «что происходит?», не даёт  иллюстраций и безусловно понятных схем. По мере его развития мы просто видим, что одни операции приводят к возможностям сделать какие-то другие, а уже эти, третьи, двигают нас к итоговым выводам. К превеликому сожалению, в математике хватает и таких, чисто описательных доказательств, от которых никуда не деться, сколько бы мы ни старались подобрать им внятные альтернативы. Придётся смириться и страдать. Обещаем, что в следующих статьях опять вернёмся к ярким рисункам, цветастым квадратикам и той атмосфере непринуждённости, с которой наш учебник и начинался.

Ой, кстати, а что с бизнесом? Ну, тем самым, который позволит каждый день обедать сочной яичной лапшой с улыбающейся корейской девушкой на этикетке? Бизнес идёт в гору! Мы остановились на записи , где и было наше заветное число периодов. Теперь-то мы знаем, что , а таблица логарифмов (обманываем, само собой, обычный калькулятор) говорит, что в данном случае . Получается, всего-лишь месяцев и ваша предпринимательская мечта исполнится. Что дальше? Решать только вам! Кто знает, может, пройдёт всего несколько лет и вы станете одалживать совсем другие суммы. Такие, которые позволят утолять голод исключительно тройными инфаркт-чизбургерами с шоколадным беконом. Но это будет совсем другая история…

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 Rightarrow 5^<-x>=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 Rightarrow 3^<8x>=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию — (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение (t):

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac<7><3>)^x):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^) и (frac=a^):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

Так, например, равносильными будут уравнения

Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Напомним, что когда

Пример №202

Решите уравнение

Решение:

С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем:

Окончательно получим уравнение:

Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения.

Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду

2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение;

3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ.

Использование основного свойства пропорции

Если то где

Пример №203

Решите уравнение

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2.

Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию:

По основному свойству пропорции имеем:

Решим это уравнение:

откуда

Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

2) привести уравнение к виду

3) записать целое уравнение и решить его;

4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

Пример №204

Решите уравнение

Решение:

Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение

Умножим обе части уравнения на это выражение:

Получим: а после упрощения: то есть откуда или

Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

4) решить полученное целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

Пример №205

Являются ли равносильными уравнения

Решение:

Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

где — натуральное число,

В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи

Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно

В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:

Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что

Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при

Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д.

Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:

если натуральное число, то