Как найти интеграл xdy

Обобщением определенного интеграла на случай, когда область интегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криволинейный интеграл.

Криволинейный интеграл I рода

Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) длины l. Рассмотрим непрерывную функцию f(x; у), определенную в точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками на п произвольных дуг с длинами (см. рис. 233). Выберем на каждой дуге произвольную точку и составим сумму

Ее называют интегральной суммой для функции f(x;y) по кривой АВ.

Пусть — наибольшая из длин дуг деления. Если при существует конечный предел интегральных сумм (55.1), то его называют криволинейным интегралом от функции f(х; у) по длине кривой АВ (или I рода) и обозначают

Таким образом, по определению,

Условие существования криволинейного интеграла I рода (существования предела интегральной суммы (55.1) при представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.

Теорема 55.1. Если функция f(х; у) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.
Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла от функции f(х; у; z) по пространственной кривой L.

Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги (I рода).

если путь интегрирования L разбит на части такие, что имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой L выполнено неравенство

6. — длина кривой AB

7. Если функция f(x; у) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой найдется точка такая, что (теорема о среднем).

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства правила вычисления криволинейного интеграла I рода в случаях, если кривая L задана параметрическим, полярным и явным образом.

Параметрическое представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(t), — непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует , точке В — значение, то

Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой АВ, задаваемой уравнениями

Явное представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана уравнением — непрерывно дифференцируемая функция, то

Подынтегральное выражение в правой части формулы (55.5) получается заменой в левой части (дифференциал дуги кривой — см. п. 41.3).

Пример 55.1. Вычислить — отрезок прямой между точками O(0; 0) и A(4;3).

Решение: Уравнение прямой OA есть Согласно формуле (55.5), имеем:

Полярное представление кривой интегрирования

Если плоская кривая L задана уравнением в полярных координатах, то и

Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в формулах (55.3)-(55.6) должен быть меньше верхнего.

Пример 55.2. Вычислить лепесток лемнискаты расположенной в I координатном углу.

Решение: Кривая интегрирования изображена на рисунке 234. Воспользуемся формулой (55.6).

Так как

то, заметив, что получаем:

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения в математике и механике.

Длина кривой

Длина I кривой АВ плоской или пространственной линии вычисляется по формуле

Плоиодь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая АВ, лежащая в плоскости Оху, а образующая параллельна оси Oz (см. рис. 235), то площадь поверхности, задаваемой функцией z = f(x; у), находится по формуле

Масса кривой

Масса материальной кривой АВ (провод, цепь, трос,…) определяется формулой — плотность кривой в точке М.

Разобьем кривую АВ на п элементарных дуг .

Пусть — произвольная точка дуги . Считая приближенно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке , найдем приближенное значение массы дуги :

Суммируя, находим приближенное значение массы m:

За массу кривой АВ примем предел суммы (55.7) при условии, что т. е.

или, согласно формуле (55.2),

(Заметим, что предел существует, если кривая АВ гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке АВ функцией.)

Статические моменты, центр тяжести

Статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты центра тяжести материальной кривой АВ определяются по формулам

Моменты инерции

Для материальной кривой АВ моменты инерции относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны:

Пример 55.3. Найти центр тяжести полуокружности , лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой

Решение: Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести находится на оси Оу (см. рис. 236). Поэтому . Ордината центра тяжести

Знаменатель дроби — длина полуокружности. Поэтому

Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями окружности Имеем:

Следовательно,

Криволинейный интеграл второго рода

Решение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл II рода определяется почти так же, как и интеграл I рода

Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) и функция Р(х;у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую АВ точками в направлении от точки А к точке В на п дуг , с длинами

На каждой «элементарной дуге» возьмем точку и составим сумму вида

где — проекция дуги на ось Ох (см. рис. 237).

Сумму (56.1) называют интегральной суммой для функции Р(х;у) по переменной х. Таких сумм можно составить бесчисленное множество. (Отличие сумм (55.1) и (56.1) очевидно.)

Если при интегральная сумма (56.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек , то его называют криволинейным интегралом по координате х (или II рода) от функции Р(х; у) по кривой АВ и обозначают

Итак,

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x;y) по координате у:

где — проекция дуги на ось Оу.

Криволинейный интеграл II рода общего вида

определяется равенством

Криволинейный интеграл

по пространственной кривой L определяется аналогично.
Теорема 56.1. Если кривая АВ гладкая, а функции Р(х; у) и Q(x; y) непрерывные на кривой АВ, то криволинейный интеграл II рода существует.

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла II рода.

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т. е.

(проекция дуги на оси Ох и Оу меняют знаки с изменением направления).

2.Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.

3.Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох, то

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Оу :

4.Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Действительно,

(см. рис. 238). С другой стороны,

Таким образом,

Вычисление криволинейного интеграла II рода

Вычисление криволинейного интеграла II рода, как и I рода, может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое представление кривой интегрирования

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t) и у = y (t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими производными x'(t) и y'(t) на отрезке , причем начальной точке А кривой соответствует значение параметра , а конечной точке В — значение . И пусть функция Р(х; у) непрерывна на кривой АВ. Тогда, по определению,

Преобразуем интегральную сумму к переменной t. Так как

то по формуле Лагранжа (см. (25.2)) имеем:

Выберем точку так, чтобы Тогда преобразованная интегральная сумма будет интегральной суммой для функции одной переменной на промежутке . Поэтому

Аналогично получаем:

Складывая почленно полученные равенства (56.2) и (56.3), получаем:

Явное представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана уравнением где функция и ее производная непрерывны на отрезке [а; b], то из формулы (56.4), приняв х за параметр, имеем параметрические уравнения кривой откуда получим:

В частности,

Если АВ — гладкая пространственная кривая, которая описывается непрерывными на отрезке функциями х =x(t), у = y(t) и z = z(t), то криволинейный интеграл

вычисляется по формуле

Замечание. Криволинейные интегралы I и II рода связаны соотношением

— углы, образованные касательной к кривой АВ в точке М(х, у) с осями Ох и Оу соответственно.

Пример 56.1. Вычислить

— ломаная ОАВ, где O(0; 0), A(2;0), В(4; 2).

Решение: Так как L = ОАВ = OA + АВ (см. рис. 239), то

Уравнение отрезка OA есть у = 0, уравнение отрезка

Согласно формуле (56.5), имеем:

Пример 56.2. Вычислить

— отрезок прямой в пространстве от точки А(1;0;2) до точки В(3;1;4).

Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и В: или в параметрической форме: х = 2t + 1, у = t, z = 2t + 2. При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется от 0 до 1. По формуле (56.7) находим, что

Формула Остроградского-Грина

Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского-Грина, которая широко применяется в математическом анализе.

Пусть на плоскости Оху задана область D, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не более чем в двух точках, т. е. область D — правильная.

Теорема 56.2. Если функции Р(х; у) и Q(x;y) непрерывны вместе со своими частными производными в области D, то имеет место формула

где L — гранив области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (при движении вдоль кривой, область D остается слева).

Формула (56.8) называется формулой Остроградского-Грина.

Пусть — уравнение дуги — уравнение дуги (см. рис. 240). Найдем сначала По правилу вычисления двойного интеграла, имеем:

Или, согласно формуле (56.6),

Аналогично доказывается, что

Если из равенства (56.10) вычесть равенство (56.9), то получим формулу (56.8).

Замечание. Формула (56.8) справедлива и для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей.

Пример 56.3. С помощью формулы Остроградского-Грина вылить

где L — контур прямоугольника с вершинами А(3;2), B(6; 2), С(6;4), D( 3;4).

Решение: На рисунке 241 изображен контур интегрирования. Поскольку

по формуле (56.8) имеем:

Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Пусть — две произвольные точки односвязной области D плоскости Оху (область D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на рис. 242 это ). По каждой из этих кривых интеграл

имеет, вообще говоря, свое значение.

Если же его значения по всевозможным кривым АВ одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования. В этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную точку и его конечную точку пути.

Записывают:

Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависел от вида пути интегрирования?

Теорема 56.3. Для того чтобы криволинейный интеграл

не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в которой функции непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие

Докажем достаточность условия (56.12). Рассмотрим произвольный замкнутый контур (или L) в области D (см. рис. 243). Для него имеет место формула Остроградского-Грина (56.8). В силу условия (56.12) имеем:

Учитывая свойства криволинейного интеграла, имеем:

т. e.

Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется условие то интеграл по замкнутому контуру равен нулю:

Верно и обратное утверждение.

Следствие 56.1. Если выполнено условие (56.12), то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции и = и(х;у) (см. (44.5)), т. е.

Тогда (см. (56.11)):

т. e.

Формула (56.14) называется обобщенной формулой Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Следствие 56.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то

Замечания.

1. Чтобы не спутать переменную интегрирования х с верхним пределом х, переменную интегрирования обозначают другой буквой (например, и т.д.).
2. Функцию U = U(x; у), удовлетворяющую условию (56.12), можно найти, используя формулу

В качестве начальной точки обычно берут точку (0; 0) — начало координат (см. пример 56.5).

3. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интеграла

по пространственной кривой. Условие (56.12), равенство (56.13), формулы (56.14) и (56.15) имеют соответственно вид:

(см. пример 73.1).

Пример 56.4. Найти

Решение: Здесь Согласно вышеприведенной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять отрезок прямой у = х, дугу параболы и т. д. или воспользоваться формулой (56.14). Так как ydx + xdy = d(xy), то

Пример 56.5. Убедиться, что выражение собой полный дифференциал некоторой функции U(x;y) и найти ее.

Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным дифференциалом, необходимо выполнение условий (56.12):

— условия выполнены, следовательно,

А так как полный дифференциал имеет вид

(см. п. 44.3), то верны соотношения

Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом вместо постоянной интегрирования следует поставить — неизвестную функцию, зависящую только от у:

Подставляя полученное выражение во второе из уравнений (56.16), найдем :

Таким образом,

Отметим, что функцию U проще найти, используя формулу (56.15):

Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

Площадь плоской фигуры

Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (56.8) Р(х; у) = 0, Q(x; у) = х, получим:

или

Аналогично, полагая P = -у, Q = 0, найдем еще одну формулу для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного интеграла:

Сложив почленно равенства (56.18) и (56.19) и разделив на два, получим:

Формула (56.17) используется чаще, чем формулы (56.18) и (56.19).

Работа переменной силы

Переменная сила на криволинейном участке АВ производит работу, которая находится по формуле

Разобьем кривую АВ точками на п «элементарных» дуг длины и в каждой из них возьмем произвольную точку (см. рис. 244). Заменим каждую дугу вектopoм а силу будем считать постоянной на векторе перемещения и равной заданной силе в точке дуги :

Тогда скалярное произведение можно рассматривать как приближенное значение работы вдоль дуги :

Приближенное значение работы А силы на всей кривой составит величину

За точное значение работы А примем предел полученной суммы при

Замечание. В случае пространственной кривой АВ имеем:

Пример 56.6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении параметр t изменяется от 0 до (см. рис. 245). Применяя формулы (56.17) и (56.4), получим:

Пример 56.7. Найти работу силы вдоль кривой от точки О(0; 0) до точки В( 1; 1).

Решение: По формуле (56.20) находим:

Криволинейный интеграл

Пусть функция непрерывна в каждой точке дуги . Если разбить эту дугу произвольным способом на частичных дуг длиною выбрать на каждой из них по одной произвольной точке вычислить значения функции в этих точках и составить сумму

то она называется интегральной суммой функции по дуге .

Криволинейным интегралом первого рода от функции , взятым по плоской кривой , называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшей по длине элементарной ячейки если этот предел существует и не зависит от способа дробления кривой на элементарные ячейки и выбора точек в них.

В прямоугольных координатах элемент дуги .

Если кривая задана параметрическими уравнениями , то

Если кривая задана уравнением , то

Если кривая задана уравнением , то

Физический смысл криволинейного интеграла первого рода. Масса линии с линейной плотностью определяется по формуле .

Свойства криволинейного интеграла первого рода

1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл первого рода не изменяет своего знака, т. е. , где — кривая , пробегаемая в заданном направлении, — кривая , пробегаемая в противоположном направлении.
2. Если кривая с помощью некоторой точки разбита на части: , то

Криволинейным интегралом второго рода от пары функций и , взятым по кривой , понимается интеграл . Если кривая задана параметрическими уравнениями , то

Если кривая задана уравнением , то

Свойства криволинейного интеграла второго рода

1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет свой знак, т. е. .
2. Если кривая с помощью некоторой точки разбита на части: , то .

Циркуляцией называется криволинейный интеграл по замкнутой плоской линии . При положительном направлении ее обхода (против движения часовой стрелки) обозначается , а при отрицательном направлении обхода обозначается .

Обычно криволинейный интеграл зависит от линии интегрирования. Взятый вдоль разных линий, соединяющих точки и , он будет иметь различные значения. Если же в некоторой области выражение является полным дифференциалом некоторой функции , то криволинейный интеграл не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки и , а взятый по любой замкнутой линии, пролегающей в области , равен нулю.

Выражение будет полным дифференциалом функции в некоторой области , если и если непрерывны в этой области.

Полный дифференциал некоторой функции с помощью криволинейного интеграла вдоль ломаной находят по формуле

Полный дифференциал некоторой функции с помощью криволинейного интеграла вдоль ломаной находят по формуле

С помощью криволинейных интегралов вычисляются следующие величины:

1) Длина дуги плоской или пространственной линии .

2) Площадь фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией

3) Масса материальной дуги с линейной плотностью вещества в точке дуги .

4) Координаты центра тяжести дуги

5) Работа , совершаемая силой , действующей на точку при перемещении ее по дуге ,

Формула Грина . Устанавливает связь между двойным интегралом по некоторой плоской области и криволинейным интегралом по границе этой области.

Пример №1

Вычислить криволинейный интеграл, сделать чертеж:

а) вдоль дуги параболы от точки до точки .

б) по дуге эллипса обходя ее против хода часовой стрелки от точки до точки .

Решение:

а) Преобразуем криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной : . Пределы интегрирования определяем из рис. 10: . Вычислим интеграл :

Ответ: .

б) Найдем значение параметра в точках и (рис. 11):

Преобразуем криволинейный интеграл в определенный с переменной , затем вычислим его: ;

Ответ: .

Пример №2

Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом некоторой функции , в случае положительного ответа найти с помощью криволинейного интеграла.

Решение:

Обозначим коэффициенты при дифференциалах , и найдем и . Так как и , непрерывны во всей области, за исключением и , то заданное выражение является полным дифференциалом некоторой функции .

Найдем эту функцию:

где

Область определения функции совпадает с и .

Ответ: .

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы: