Как найти границы значений случайной величины

Содержание:

Величина называется случайной, если она принимает свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания (опыта), причем для каждого элементарного исхода она имеет единственное значение. Случайная величина называется дискретной (в узком смысле), если множество всех возможных значений ее конечно.

Геометрически множество всех возможных значений дискретной случайной величины представляет конечную систему точек числовой оси.

Пусть X — дискретная случайная величина, возможными и единственно возможными значениями которой являются числа

Обозначим через

вероятности этих значений (т. е. есть вероятность события, состоящего в том, что X принимает значение ).

События , очевидно, образуют полную группу событий, поэтому

Определение: Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

В простейших случаях закон распределения дискретной случайной величины X удобно задавать таблицей:

Здесь первая строка таблицы содержит все возможные значения случайной величины, а вторая — их вероятности.

Заметим, что таблицу значений дискретной случайной величины X, если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениями X с вероятностями, равными нулю.

Пример:

В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб., 10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1 руб. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

Решение:

Здесь возможные значения для X есть

Вероятности их соответственно будут

Закон распределения для выигрыша X может быть задан таблицей:

Число появлений т события А при независимых испытаниях можно рассматривать как случайную величину X со значениями Закон распределения этой величины дается биномиальной формулой

где {биномиальное распределение).

В частности, если р мало и п велико, причем — ограниченная величина, заключенная между двумя фиксированными положительными числами, то приближенно справедливо распределение Пуассона

Определение случайной величины

Определение 29. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины (СВ) обозначаются большими буквами X, Y…

Примеры СВ: X — число попаданий при трех выстрелах, Y — абсцисса точки попадания при выстреле.

Случайные величины характеризуются своими возможными значениями, которые обозначаются маленькими буквами, соответствующими случайной величине: х,у…

Например, случайная величина X — число попаданий при трех выстрелах характеризуется следующими возможными значениями: .

Определение 30. Случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга возможные значения, которые можно заранее перечислить, называются дискретными случайными величинами (ДСВ).

Примеры ДСВ. 1) В приведенном выше примере СВ X. 2) Случайная величина Z- число вызовов скорой помощи за сутки. Ее возможные значения .

Определение 31. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток (который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще — расплывчатые, неопределенные), называются непрерывными случайными величинами (НСВ).

Примеры НСВ. 1) В приведенном выше примере СНВ Y — абсцисса точки попадания при выстреле. Ее возможные значения заполняют некоторый промежуток . 2) СНВ В — ошибка взвешивания тела на весах. Ее возможные значения заполняют некоторый промежуток .

Замечание. В классической теории вероятностей рассматриваются события, в современной теории вероятностей — случайные величины.

Определение 32. Случайная величина X называется характеристической случайной величиной события А.

Примеры перехода от событий к случайным величинам

1). Рассмотрим событие А, которое в результате опыта происходит или нет. Введем в рассмотрение случайную величину X такую, что если А происходит, то Х= 1, если А не происходит, то Х=0. Следовательно, Х — дискретная случайная величина с возможными значениями .

Если происходит ряд таких опытов, то общее число появлений события А равно сумме характеристических случайных величин X события А во всех опытах.

2). Пусть в действительности точка М совпадает с началом координат — точкой О. При измерении координат точки М были допущены ошибки. Событие А = {Ошибка в положении точки М не превзойдет заданного значения r}. Пусть X, Y — случайные ошибки при измерении координат точки. Это непрерывные случайные величины, так как их возможные значения непрерывно заполняют некоторые промежутки. Событие А равносильно попаданию точки M(X,Y) в пределы круга радиуса r с центром в точке О. Т.е. для выполнения события А случайные величины должны удовлетворять неравенству: . Вероятность события А равна вероятности выполнения неравенства, которая может быть определена, если известны свойства X, Y.

Законы распределения случайных величин

Для описания случайной величины (т.е. для возможности сказать, как часто следует ожидать появления тех или других возможных значений случайной величины в результате повторения опыта в одних и тех же условиях) необходимо знать закон распределения вероятностей случайной величины.

Определение 33. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Рассмотрим дискретную случайную величину (ДСВ) Xс возможными значениями . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и X может принять каждое из них с некоторой вероятностью.

В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т.е. произойдет одно из полной группы несовместных событий: X =  или X =  или … X = .

Обозначим . Т.к. несовместные события образуют полную группу, то

 — сумма вероятностей всех возможных значений ДСВ.

Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями ДСВ. Задать это распределение, т.е. указать, какой вероятностью обладает каждое из событий, значит установить закон распределения СВ.

Говорят, что СВ подчинена данному закону распределения.

Формы закона распределения ДСВ

1. Простейшей формой задания закона распределения является таблица, называемая рядом распределения ДСВ.

Для элементов нижней строки должно выполняться условие: .

2. Формой задания закона распределения является многоугольник распределения — фигура, получаемая при графическом изображении ряда распределения.

Возможные значения откладываются по оси {Ох). Вероятности возможных значений откладываются по оси (Оу).

Механическая интерпретация ряда распределения ДСВ: Распределение единичной массы в нескольких изолированных точках по оси (Ох). (В отдельных точках   сосредоточены соответственно массы , сумма которых равна 1.)

Пример №1

Рассмотрим опыт, в котором может появиться или не появиться событие А. Р(А) = 0,3. Рассмотрим случайную величину X — число появлений события А в данном опыте, т.е. возможные значения данной величины:  = 0 (А не появится),  = 1 (А появится). Построить ряд распределения и многоугольник распределения случайной величины X.

Решение.

    

Проверка: .
 

Пример №2

Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывастся 5 очков. Построить ряд и многоугольник распределения числа выбитых очков.

Решение.

ДСВ X — число выбитых очков. Вероятность попадания (успеха) равна р = 0,4, вероятность промаха (неудачи) равна q = 1 — 0,4 = 0,6. Количество испытаний n = 3.

Возможные значения X:  = 0 (0 очков),  = 1 (5 очков),  = 2 (10 очков),  = 3 (15 очков).

По формуле Бернулли найдем вероятности этих возможных значений:

Ряд распределения имеет вид:

Проверка: .

Многоугольник распределения:

Замечание. Ряд распределения является удобной формой представления закона распределения для ДСВ с конечным числом возможных значений. Однако эта характеристика не универсальна, так как ряд или многоугольник нельзя построить для непрерывной случайной величины (НСВ). Действительно, НСВ имеет бесчисленное множество возможных значений, которые сплошь заполняют некоторый промежуток, и перечислить их в какой-нибудь таблице нельзя.

Кроме того (это будет доказано позднее) каждое отдельное значение НСВ обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для НСВ не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для ДСВ.

Однако различные области возможных значений НСВ все же не являются одинаково вероятными, и для НСВ существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для ДСВ.

В силу этого, желательно иметь такую характеристику распределения вероятностей, которая была бы применима для самых разнообразных случайных величин.

Пример №3

Вероятности того, что студент сдаст экзамены в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон  распределения случайной величины Х − числа экзаменов, которые сдаст студент.
 

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:

Найдем вероятности этих значений. Обозначим события:

 – студент сдаст экзамен по математическому анализу;

– студент не сдаст экзамен по математическому анализу;  

– студент сдаст экзамен по органической химии;

 – студент не сдаст экзамен по органической химии.
По условию:

Тогда:

Итак, закон распределения случайной величины  Х  задается таблицей:

Контроль: 0,06+0,38+0,56=1.

Пример №4

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения: 

 

Найти  функцию распределения F(x) и построить её график, а также
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины  Х  равна 1, то
Найдем функцию распределения
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Если  то F(х)=0, так как на промежутке (− ∞; х) нет ни одного значения данной случайной величины;

Если  то F(х) = Р(Х = −1) = 0,1, так как в промежуток (−∞; х) попадает только одно значение  = −1;

Если  так как в промежуток  (−∞; х) попадают два значения

Если  то  так как в промежуток (−∞; х) попадают три значения

1=−1, x2=0 и x3=1;

Если  то

=0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, так как  в промежуток (−∞; х) попадают четыре значения

Если  то F(х)=Р(Х = −1)+Р(Х = 0)+Р(Х = 1)+Р(Х = 2)+Р(Х = 3) =

=0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, так как в промежуток (−∞; х) попадают пять значений
Итак,
 

Изобразим функцию F(x) графически (рис. 4.3):

Найдем числовые характеристики случайной величины:

Пример №5

Составить закон распределения случайной величины Х − числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить  этой величины.
 

Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n = 3.
Вероятность события А − «выпадение пятёрки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т.е.  где     − «выпадения не пятёрки».
Случайная величина  Х может принимать значения: 0;1;2;3.
Вероятность каждого из возможных значений Х найдём по формуле Бернулли: 

Таким образом закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.
Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

Пример №6

Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

а) 5 бракованных;

б) хотя бы одна бракованная.
Решение: Число n = 1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р = 0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

Найдем  =np=1000·0,002=2.

а)  Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей среди отобранных (m = 5):

б) Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь среди отобранных.
Событие А − «хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию— «все отобранные детали не бракованные». Следовательно, Отсюда искомая вероятность равна: 

Математическое ожидание

Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных ее значений на их вероятности.

Если есть (полный) набор всех значений дискретной случайной величины — соответствующие им вероятности, то, обозначая буквой М математическое ожидание, будем иметь

где

Очевидно, математическое ожидание случайной величины X не изменится, если таблицу значений ее пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю.

Математическое ожидание М (X) случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины X.

Пример №7

Найти математическое ожидание выигрыша X.

Решение:

Пользуясь помещенной там таблицей, имеем

Как нетрудно сообразить, М(Х) = 21 коп. есть «справедливая» цена билета.

Замечание 1. Отдельные слагаемые суммы (1) представляют собой математические ожидания случайных величин , возможными значениями которых являются с вероятностями соответственно .

Замечание 2. Пусть —соответственно наименьшие и наибольшие возможные значения случайной величины X. Имеем

Таким образом,

Таким образом, математическое ожидание случайной величины является некоторым ее средним значением.

Замечание 3. Математическое ожидание числа появлений события А при одном испытании совпадает с вероятностью этого события Р(А) = р.

Действительно, пусть X — число появлений события А в данном испытании. Случайная величина X может принимать два значения: (событие А наступило) с вероятностью и (событие А не наступило) с вероятностью

Поэтому

Основные свойства математического ожидания

Укажем важнейшие свойства математического ожидания. Доказательства будут проведены для дискретных случайных величин. Однако соответствующие теоремы справедливы также и для непрерывных случайных величин, поэтому при формулировках этих теорем мы не будем упоминать, что рассматриваемые случайные величины дискретны.

Нам понадобится выяснить смысл арифметических операций и т. п., где X и У — дискретные случайные величины. Нетрудно дать соответствующие определения.

Например, под суммой X + У понимается случайная величина Z, значениями которой являются допустимые суммы — все возможные значения соответственно случайных величин X и У, причем соответствующие вероятности равны

Если какая-нибудь из комбинаций невозможна, то условно полагают ; это не отразится на математическом ожидании суммы.

Аналогично определяются остальные выражения.

Различают также независимые и зависимые случайные величины. Две случайные величины считаются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой. В противном случае они называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

Теорема: Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной, т. е. если С — постоянная величина, то

Доказательство: Постоянную величину С можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значение С с вероятностью р = 1. Поэтому

Теорема: Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин, т. е. если X и У — случайные величины, то

и т. п.

Доказательство: 1) Пусть случайная величина X принимает значения с вероятностями а случайная величина У принимает значения с вероятностями 1, 2, …, m). Тогда возможными значениями случайной величины X + У будут суммы вероятности которых равны

Как было отмечено выше, все комбинации можно считать допустимыми, причем если сумма невозможна, то полагаем .

Имеем

Воспользовавшись очевидными свойствами суммы: 1) сумма не зависит от порядка слагаемых и 2) множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно выносить за знак суммы, из (4) получим

Сумма представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X принимает значение xt при условии, что случайная величина У принимает одно из своих возможных значений (что достоверно); это сложное событие, очевидно, эквивалентно тому, что X принимает значение xt и поэтому

Аналогично,

Тогда из формулы (5) получаем

что и требовалось доказать.

2) Для нескольких случайных величин, например для трех X, У и Z, имеем

и т. д.

Следствие. Если С — постоянная величина, то

Теорема: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е.

где X и У — независимые случайные величины.

Доказательство: Пусть — законы распределения соответственно случайных величин X и У. Так как X и У независимы, то полный набор значений случайной величины XY состоит из всех произведений вида , причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны .

Имеем

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Действительно, например, для трех взаимно независимых случайных величин X, У, Z имеем

и т. п.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

Если С — постоянная величина, а X — любая случайная величина, то, учитывая, что С и X независимы, на основании теоремы 1 получим

Следствие 3. Математическое ожидание разности любых двух случайных величин X и Y равно разности математических ожиданий этих величину т. е.

Действительно, используя теорему о сумме математических ожиданий и следствие 2, получим

Дисперсия

Пусть X — случайная величина, М(Х) — ее математическое ожидание (среднее значение). Случайную величину X — М(Х) называют отклонением.

Теорема: Для любой случайной величины X математическое ожидание ее отклонения равно нулю, т. е.

Локазательство. Действительно, учитывая, что М(Х) — постоянная величина, имеем

Определение: Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

Отсюда, обозначая дисперсию буквой D, для случайной величины X будем иметь

Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна, т. е. является числовой характеристикой этой величины.

Если случайная величина X имеет закон распределения , то, обозначая для краткости , из формулы (1) будем иметь

Корень квадратный из дисперсии D{X) называется средним квадратичным отклонением а (иначе— стандартом) этой величины:

Пример №8

Пусть закон распределения случайной величины задан таблицей:

Определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение . Имеем

отсюда

Дисперсия D{X)служит мерой рассеяния (разброса)значений дискретной случайной величины X. Действительно, пусть D(X) мала. Тогда из формулы (2) получаем, что все слагаемые также малы. Отсюда следует, что если не обращать внимания на значения, имеющие малую вероятность (такие значения практически невозможны), то все остальные значения мало отклоняются от . Таким образом, при малой дисперсии D(X) почти достоверно, что значения случайной величины концентрируются около ее математического ожидания (за исключением, быть может, сравнительно малого числа отдельных значений). В частности, если D(X) = 0, то, очевидно, X = и случайная величина представляет собой точку на числовой оси. Если D(X) велика, то концентрация значений случайной величины X около какого-нибудь центра исключается.

Теорема: Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания, т. е.

Доказательство: Используя основные теоремы о математических ожиданиях случайных величин, имеем

Теорема: Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, если С — постоянная величина, то М(С) = С и, следовательно,

Результат этот очевиден, так как постоянная величина изображается одной точкой на числовой оси Ох и не имеет рассеяния.

Теорема: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсий этих величин, т. е.

Доказательство: Так как

то имеем

где

— так называемый корреляционный момент величин X и У. Если случайные величины X и У независимы, то случайные величины X — М(Х) и У — М(У), отличающиеся от X и У на постоянные величины, очевидно, также независимы. Поэтому в силу теорем 3 имеем

и, следовательно, справедлива формула (5).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Если С — постоянная величина, то

Таким образом, случайные величины X и X + С имеют одинаковую меру рассеяния.

Теорема: Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т. е.

Доказательство: Если С — постоянный множитель, то в силу теоремы 2 имеем

Таким образом, рассеяние величины СХ в С² раз больше рассеяния величины X.

Следствие. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т. е. если случайные величины X и У независимы, то

Действительно, на основании теорем 4 и 5 имеем

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются ее основными числовыми характеристиками.

Пример №9

Определить математическое ожидание и дисперсию для числа X появления события А при п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события Р(А) = р постоянна.

Случайная величина X принимает значения и распределена по биномиальному закону

где

Величину X можно рассматривать как сумму независимых случайных величин

где — число появлений события А в -м испытании. Случайная величина X, принимает лишь два значения: 1, если событие А появилось в i-м испытании, и 0, если событие А не произошло в i-м испытании. Вероятности этих значений . Отсюда

. Отсюда, используя теорему о математическом ожидании суммы, будем иметь

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события А в условиях схемы Бернулли совпадает со «средним числом» появления этого события в данной серии испытаний. Для дисперсии случайной величины X, получаем

Отсюда по свойству дисперсии суммы независимых случайных величин (теорема) будем иметь

Поэтому среднее квадратичное отклонение (стандарт)

Формулы (8) и (9) дают математическое ожидание и дисперсию для биномиального закона распределения.

Замечание. Теперь становится понятным смысл случайной величины

в приближенных формулах Лапласа, а именно, t представляет собой отклонение числа появлений события А от его математического ожидания, измеренное в стандартах (так называемое нормированное отклонение).

Рассмотрим п дискретных попарно независимых случайных величин , дисперсии которых равномерно ограничены:

Эти величины, возможно, имеют значительный разброс, однако их среднее арифметическое

ведет себя достаточно «кучно».

А именно, при указанных выше условиях имеет место замечательная теорема:

Теорема Чебышева: Для любого положительного > 0 вероятность неравенства

сколь угодно близка к 1, если число случайных величин п достаточно велико, т. е.

(закон .больших чисел в форме Чебышева).

Теорема Чебышева находит применение в теории ошибок, статистике и т. п.

Непрерывные случайные величины. Функция распределения

Случайную величину X будем называть непрерывной, если все ее возможные значения целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Предполагается, что при каждом испытании случайная величина X принимает одно и только одно значение . Заметим, что дискретные и непрерывные случайные величины не исчерпывают все типы случайных величин.

Для характеристики непрерывной случайной величины X вводят функцию распределения

называемую интегральным законом распределения.

Если значения случайной величины X рассматривать как точки числовой оси Ох, то Ф(х) представляет собой вероятность события, состоящего в том, что наблюдаемое значение случайной величины X принадлежит интервалу , т. е. находится левее точки х. Этот интервал зависит от правого конца его х, и поэтому естественно вероятность является функцией от х, определенной на всей оси .

Заметим, что функция распределения имеет смысл также для дискретных случайных величин.

Функция распределения Ф(х) обладает следующими свойствами:

I.Функция Ф(х) есть неубывающая функция аргумента х, т. е. если то .

Действительно, если х’ > х, то из события очевидно, следует событие . Но тогда вероятность Ф(х’) второго события не меньше вероятности Ф(х) первого.

II.Так как Ф(х) — вероятность, то справедливо неравенство

III.

Действительно, событие очевидно, невозможно, а событие достоверно.

Зная функцию распределения Ф(х), можно для любого промежутка определить — вероятность попадания случайной величины X в этот промежуток (здесь принято левый конец а промежутка включать, а правый не включать в этот промежуток).

В самом деле, пусть А есть событие , В — событие и С — событие .

Тогда, очевидно, имеем

Так как события А и С несовместны, то по теореме сложения вероятностей получаем Р(Б) = Р(А) + Р(С), отсюда

причем в силу свойства I.

Таким образом, вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее промежутку [a, b), равна приращению ее функции распределения на этом промежутке.

В дальнейшем случайную величину X будем называть непрерывной лишь в том случае, когда ее функция распределения Ф(х) непрерывна на оси .

Теорема: Вероятность (до опыта) того, что непрерывная случайная величина X примет заранее указанное строго определенное значение а, равна нулю.

В самом деле, в силу формулы (2) имеем

Положим, что ; тогда в пределе промежуток [а, х) будет содержать единственную точку а. Кроме того, в силу непрерывности функции Ф(х) в точке а имеем

Переход я к пределу при в равенстве (3), получим

Таким образом, при непрерывной функции распределения вероятность «попадания в точку» равна нулю.

Следствие. Для непрерывной случайной величины X справедливы равенства

где — ее функция распределения. Действительно,

Аналогично доказывается второе равенство.

Замечание. В общем случае невозможные события и события с нулевой вероятностью могут оказаться неэквивалентными.

Предположим теперь, что для непрерывной случайной величины X ее функция распределения Ф(х) имеет непрерывную производную

Функцию ф(х) называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальным законом распределения случайной величины X.

Термин плотность вероятности имеет следующий смысл. Пусть — бесконечно малый промежуток. Тогда в силу формулы (2′) имеем

Заменяя бесконечно малое приращение функции ее дифференциалом , получаем приближенное равенство

Таким образом, плотность вероятности представляет собой отношение вероятности попадания точки в бесконечно малый промежуток к длине этого промежутка.

Так как плотность вероятности ф(х) является производной неубывающей функции Ф(х), то она неотрицательна: . В отличие от вероятности, плотность вероятности может принимать сколь угодно большие значения.

Так как Ф(х) является первообразной для ф(х), то на основании формулы Ньютона—Лейбница имеем

Отсюда в силу (3′) получаем

Геометрически (рис. 271) эта вероятность представляет собой площадь S криволинейной трапеции, ограниченной — графиком плотности вероятности у = ф(х), осью Ох и двумя ординатами

Полагая получаем достоверное событие , вероятность которого равна единице. Следовательно,

Полагая в формуле (6) и обозначая для ясности переменную интегрирования х другой буквой, например t (это законно для определенного интеграла), получаем функцию распределения

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Будем рассматривать бесконечно малый промежуток как «жирную точку» х оси Ох. Тогда вероятность того, что случайная величина X принимает значение, совпадающее с этой «жирной точкой» х, равна y(x)dx и математическое ожидание этого события есть

Представляя прямую как бесконечное множество таких жирных точек, по аналогии с определением математического ожидания дискретной случайной величины, получаем естественное определение математического ожидания непрерывной случайной величины (только здесь суммирование заменяется интегрированием).

Определение: Под математическим о жид а ни ем непрерывной случайной величины X понимается число

(конечно, это определение имеет смысл лишь для таких случайных величин X, для которых интеграл (1) сходится).

Для дисперсии непрерывной случайной величины X сохраним прежнее определение

Из формулы (1) вытекает

(конечно, в предположении, что интеграл (2) сходится). Можно также пользоваться формулой

Можно доказать, что основные свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются также и для непрерывных случайных величин.

Пусть теперь все возможные значения непрерывной случайной величины X целиком заполняют конечный отрезок . Тогда ф(х) = 0 при и при и, следовательно,

Аналогично,

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X, все возможные значения которой заполняют конечный промежуток , называется равномерно распределенной, если ее плотность вероятности ф(х) постоянна на этом промежутке.

Иными словами, для равномерно распределенной случайной величины все ее возможные значения являются равновозможными.

Пусть, например, . Так как в этом случае ф(х) = const при , то

отсюда

Пусть (рис. 272). Тогда

т. е.

где L — длина (линейная мера) всего отрезка и — длина частичного отрезка .

Значения случайной величины X, т. е. точки х отрезка , можно рассматривать как всевозможные элементарные исходы некоторого испытания. Пусть событие А состоит в том, что результат испытания принадлежит отрезку . Тогда точки отрезка есть благоприятные элементарные исходы события А.

Согласно формуле (1) имеем геометрическое определение вероятности: под вероятностью события А понимается отношение меры множества элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к мере L множества всех возможных элементарных исходов в предположении, что они равновозможны:

Это определение естественно переносит классическое определение вероятности на случай бесконечного числа элементарных исходов.

Аналогичное определение можно ввести также тогда, когда элементарные исходы испытания представляют собой точки плоскости или пространства.

Пример №10

В течение часа (t —- время в часах) на остановку прибывает один и только один автобус. Какова вероятность того, что пассажиру, пришедшему на эту остановку в момент времени t = 0, придется ожидать автобус не более 10 мин?

Решение:

Здесь множество всех элементарных исходов образует отрезок [0, 1], временная длина которого L = 1, а множество благоприятных элементарных исходов составляет отрезок [0,1/6] временной длины = 1/6.

Поэтому искомая вероятность есть

Пример №11

В квадрат К со стороной а с вписанным в него кругом S (рис. 273) случайно бросается материальная точка М. Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг S?

Решение:

Здесь площадь квадрата есть К = а², а площадь круга

За искомую вероятность естественно принять отношение

Эта вероятность, а следовательно, и число л, очевидно, могут быть определены экспериментально.

Нормальное распределение

Распределение вероятностей случайной величины X называется нормальным, если плотность вероятности подчиняется закону Гаусса

где — некоторые постоянные, причем а > 0 и b > 0. В этом случае график плотности вероятности представляет собой смещенную кривую Гаусса (рис. 274), симметричную относительно прямой и с максимальной ординатой

Для удобства выкладок эту кривую центрируем, введя новые координаты и . Тогда закон Гаусса примет вид

и будет представлять собой дифференциальный закон распределения случайной величины

Постоянные а и b в формуле (2) не являются произвольными, так как для плотности вероятностей должно быть выполнено условие

Делая замену переменной , будем иметь

Отсюда на основании формулы (3) находим

т. е.

Таким образом,

Для математического ожидания случайной величины будем иметь

(ввиду нечетности подынтегральной функции). Отсюда

Таким образом, при нормальном распределении случайной величины X ее математическое ожидание х₀ совпадает с точкой пересечения оси симметрии графика соответствующей кривой Гаусса с осью Ох (центр рассеивания).

Для дисперсии случайной величины X получаем

Полагая и интегрируя по частям, с учетом формулы (4) будем иметь

Таким образом, из формулы (9) получаем

и, следовательно,

Отсюда для среднего квадратичного отклонения величины X получим

Введя обозначение , будем иметь

Подставляя эти значения в формулу (1), получим стандартный вид нормального закона распределения случайной величины X в дифференциальной форме:

где

Таким образом, нормальный закон распределения зависит только от двух параметров: математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.

Нормальный закон распределения случайной величины в интегральной форме имеет вид

Формулы (11) и (12) упрощаются, если ввести нормированное отклонение

тогда

. Полагая в интеграле (12) , получаем

где t определяется формулой (13) и — стандартный интеграл вероятностей.

Отсюда получаем, что для случайной величины X, подчиняющейся нормальному закону, вероятность попадания ее на отрезок есть

В частности, вероятность того, что отклонение величины X от ее математического ожидания х₀ по абсолютной величине будет меньше а, равна

Полагая , получаем

т. е. такое отклонение является почти достоверным (правило трех сигм).

Нормальный закон распределения вероятностей находит многочисленные применения в теории ошибок, теории стрельбы, физике и т. д.

Пример №12

Задана плотность распределения

Определить коэффициент к и функцию распределения 

Решение.

  Отсюда 

Построим график  (рис. 2.12).

Найдем функцию распределения, используя (2.7):

Построим график  (рис. 2.13).

Функция распределения — универсальный закон распределения (для ДСВ и НСВ)

Для количественной характеристики распределения вероятностей любой случайной величины удобнее пользоваться не вероятностью события X = х, а вероятностью X < х, где х — некоторая текущая переменная.

Определение 34. Задание вероятности выполнения неравенства X < х , рассматриваемой как функции аргумента х, называется функцией распределения (или интегральным законом распределения, или интегральной функцией распределения) случайной величины X:

.

F(x) — универсальная характеристика: существует как для ДСВ, так и для НСВ. Она полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Геометрическая интерпретация F(x): если рассматривать СВ как случайную точку X оси (Ох), которая в результате опыта может занять то или иное положение, то функция распределения F(x) есть вероятность того, что эта случайная точка X в результате опыта попадет левее точки х.

Для ДСВ X, которая может принимать возможные значения функция распределения будет иметь вид:

,

где символ  < х под знаком суммы обозначает, что суммирование распространяется на все возможные значения СВ, которые по своей величине меньше аргумента х.

Свойства F(x).

1. F(x) — неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1: .

Пояснение: справедливость свойства вытекает из того, что F(x) определена как вероятность события X < х.

2. F(x) — неубывающая функция своего аргумента, т.е. при .

Пояснение (см. рис. выше): будем увеличивать х, т.е. перемещать точку х вправо по оси (Ох). Очевидно, что при этом вероятность того, что точка X попадет левее точки х не может уменьшаться, следовательно, функция F(x) с возрастанием х убывать не может.

3. .

Пояснение (см. рис. выше): будем неограниченно перемещать точку х влево по оси (Ох). При этом попадание случайной точки X левее точки х в пределе становится невозможным событием. Поэтому естественно полагать, что вероятность этого события стремится к нулю.

4. .

Пояснение (см. рис. выше): будем неограниченно перемещать точку х вправо по оси (Ох). При этом попадание случайной точки X левее точки х в пределе становится достоверным событием. Вероятность достоверного события по определению равна 1.

5. F(x) — непрерывна слева, т.е. .

6. Вероятность появления случайной величины в интервале равна разности значений функции распределения в концах интервала:

.

Доказательство.

Рассмотрим три события: , причем события В и С -несовместные.

Очевидно, что А = В + С. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

.

Перепишем данное равенство, воспользовавшись определением функции распределения:

, отсюда:

.    (что и требовалось доказать)

Замечание. Если F(x) возрастает в каждой точке интервала (а; b), то возможные значения случайной величины непрерывно заполняют этот интервал, т.к. согласно свойству № 6, вероятность того, что СВ примет значение, заключенное в сколь угодно малой части этого интервала отлична от нуля. Таким образом, монотонно возрастающей функции F(x) на интервале (а; b) соответствует непрерывная случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют этот интервал. Отсюда следует другое определение НСВ:

Определение 35. Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, функция распределения которой непрерывна.

Будем неограниченно уменьшать участок , полагая, что . В пределе вместо вероятности попадания случайной величины X в интервал получим вероятность того, что эта величина примет отдельно взятое значение :

(из свойства 6)

Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция F(x) в точке  или же терпит разрыв.

Если в точке функция F(x) имеет разрыв, то — значению скачка в точке в .

Если в точке функция F(x) непрерывна, то .

Вывод: т.к. непрерывная случайная величина X имеет непрерывную функцию распределения F(x), то из равенства нулю предела для непрерывной функции в точке  следует, что и вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю:

.

Таким образом, нулевой вероятностью могут обладать не только невозможные, но и возможные события, т.е. событие  — возможно, а Р(А) = 0. Р() = 1, но  — не достоверно. Говорят, что А происходит почти всегда.

Вывод парадоксален, но он вполне согласуется со статистическим определением вероятности. Равенство нулю вероятности события характеризует тенденцию частоты этого события неограниченно убывать при увеличении числа опытов, т.е. частота только приближается к вероятности, и ни в коей мере не означает, что данное событие равно нулю.

Например: 1.) Тело имеет определенную массу, а ни одна из точек внутри тела определенной массой не обладает. Сколь угодно малый объем, выделенный из тела, обладает конечной массой, но она стремится к нулю по мере его уменьшения и равна нулю для точки.    2.) При непрерывном

распределении вероятностей вероятность попадания на сколь угодно малый участок может быть отлична от нуля, тогда как вероятность попадания в строго определенную точку равна нулю.

Механическая интерпретация непрерывной случайной величины: распределение единичной массы непрерывно по оси абсцисс, причем ни одна точка не обладает конечной массой.

Следствия из свойства 6:

1. Если все возможные значения X принимает интервал (a; b), F(x) = 0 при ; F(x) = 1 при .

2. , т.е для НСВ граничные точки могут как включаться, так и не включаться в промежуток (a; b).

Графики функции распределения

1. Для ДСВ функция распределения .
Когда текущая переменная х проходит через какое-нибудь из возможных значений ДСВ X, функция распределения F(x) меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения. Таким образом, F(x) любой ДСВ — разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям СВ и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна 1.

2. Для НСВ функция распределения — непрерывная функция во всех точках и заключенная между нулем и единицей (следует из свойств).

Замечание. 

Если для ДСВ увеличить число возможных значений и уменьшить интервалы между ними, то число скачков будет больше, а сами скачки меньше, следовательно, ступенчатая кривая становится более плавной, ДСВ постепенно приближается к НСВ, а ее функция распределения — к непрерывной функции распределения.

3. Можно построить примеры СВ, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых F(x) не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрыв. Такие СВ называются смешанными.

График F(x) в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки.

Пример №13

Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. Построить функцию распределения числа попаданий. Найти вероятность того, что будет а) меньше 2 попаданий, b) не больше двух попаданий, с) больше одного попадания, d) число попаданий будет либо 1, либо 2.

Решение.

Ранее мы построили ряд распределения числа попаданий. Ряд распределения имеет вид: 

Это ДСВ, следовательно, функция распределения находится по формуле: .

1) при , .

2) при , .

3) при , .

4) при , .

5) при , .

Найдем вероятность того, что будет а) меньше 2 попаданий, b) не больше двух попаданий, с) больше одного попадания, d) число попаданий будет либо 1, либо 2.

a)  = (по определению функции распределения) = F(2) = 0,648

b)  = Р(Х < 2) + Р(Х = 2) = F(2) + Р(Х = 2) = 0,648 + 0,288 = 0,936

c) Р(Х > 1) = = 1 — [Р(Х < 1) + Р(Х = 1)] = 1 — [F(l) + Р(Х = 1)] = 1 — [0,216 + 0,432] = 0,352

d)  + Р(Х = 2) = F(2) — F( 1) + Р(Х = 2) = 0,648 — 0,216 + 0,288 = 0,72

Пример №14

Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

Найти коэффициент а. Определить вероятность того, что СВ X в результате опыта примет значение на участке а) (1; 2), b)[1; 2].

Решение.

Т. к. X — НСВ, то F(x) — непрерывная функция, следовательно, при х = 3 должно выполняться равенство, что F(x) = 1, т. е.

.

Найдем вероятность того, что Х в результате опыта примет значение на участке (1; 2):

.

Найдем вероятность того, что Х в результате опыта примет значение на участке [1; 2]:

= (т.к. СВ — непрерывная, то) = .

Замечание. Функция распределения F(x) случайной величины является ее исчерпывающей вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения СВ в в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения НСВ в окрестностях различных точек дастся другой функцией — плотностью распределения вероятности.

Плотность распределения вероятностей НСВ

Пусть X — непрерывная случайная величина, ее функция распределения F{x) — непрерывная и дифференцируемая функция. Рассмотрим участок , где  — длина участка. Тогда вероятность попадания СВ Х на данный участок можно найти по формуле (по свойству 6):

.

Рассмотрим предел отношения приращения функции F(x) на участке к длине этого участка (или среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины участка) при условии, что длина стягивается в точку:

— по определению производной.

Определение 36. Предел отношения вероятности попадания НСВ на элементарный участок от х до к длине этого участка, когда  стремится к нулю или производная функции распределения F'(x) НСВ называется плотностью распределения НСВ Х в точке х и обозначается :

.

Другие названия плотности: плотность вероятности, дифференциальная функция распределения, дифференциальный закон распределения.

существует только для непрерывных СВ. Она является одной из форм закона распределения.

характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Механическая интерпретация: характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс.

Определение 37. Кривая, изображающая плотность распределения  СВ, называется кривой распределения.

Замечание. Если возможные значения СВ заполняют некоторый конечный промежуток, то  = 0 вне этого промежутка.

Из данного равенства следует, что , т.к. х — независимая переменная, то .

Отсюда следует, что , где S — площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на участок dx. (см. рис.)

При площадь прямоугольника приближается к площади криволинейной трапеции, которую можно найти с помощью определенного интеграла: .

Величина  называется элементом вероятности.

Рассмотрим большой участок , тогда:

Вероятность того, что НСВ примет значение, х принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции, опирающейся на интервал  оси (Ох) :

.

Замечание. Для НСВ непринципиально, какие знаки в неравенстве брать < или : , т. е. включать или не включать крайние точки интервала, потому что в них вероятность все равно равна нулю.

Связь F(x) и .

Нам известно, что

Выразим функцию распределения F(x) через плотность. По определению .

Из формулы (1) следует, что

Геометрически, это площадь кривой распределения, лежащая левее точки х.

Замечания.

1. Формулу (3) можно доказать по-другому: по определению дифференциала функции имеем, что , следовательно,

.

2. Формулу (1) можно доказать на основании свойства функции распределения: ,

Но согласно равенству (3) , поэтому

.

3. Функция распределения F(x)- безразмерная величина, размерность плотности обратна размерности случайной величины.

Свойства плотности распределения

1.  — неотрицательная функция, т. е. .

Пояснение: это следует из того, плотность распределения есть производная от неубывающей функции F(х). Геометрически: вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс.

2. Условие нормировки: интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1:

—со

Доказательство

Подставим в равенство (3) , учитывая, что .

Геометрически данное свойство означает следующее: полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс равна единице.

Пример №15

Дана функция распределения НСВ X: 

.

Найти 1) коэффициент а, 2) плотность распределения , 3) P(0,25 < X < 0,5), построить графики функций F(x) и .

Решение.

1) Т. к. F(x) — непрерывная функция, то при х = 1 должно выполняться равенство, что . То есть . Отсюда, а = 1.

2) = F(x), тогда = .

3) 1 способ: (0,25; 0,5) входит в интервал (0; 1). По свойству 6 функции распределения: .

2 способ. Можно было найти по формуле (1) с помощью плотности распределения:

.

Пример №16

Пусть НСВ X подчинена закону распределения с плотностью

,

Найти 1) коэффициент а, 2) функцию распределения F(x), 3) , 4) построить графики функций F(x) и .

Решение.

1) Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (4):

.

2) Найдем функцию распределения по формуле (3): .

Если , то = 0, следовательно .

Если , то .

Если , то .

Итак, F(x) = ,

3) можно найти двумя способами,. .

1 способ: По свойству 6 функции распределения:

.

2 способ. Можно было найти по формуле (1) с помощью плотности распределения:

.

Вывод:

Законы распределения    

ДСВ

1. Ряд распределения (графически -многоугольник распределения).
2. Функция распределения F(x).

НСВ

1. Функция распределения F(x).
2. Плотность распределения (графически -кривая распределения).

Числовые характеристики случайных величин, их роль и назначение

Определение 38. Характеристики, назначение которых — выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками СВ.

Они не характеризуют СВ полностью, а указывают только отдельные числовые параметры, например, какое-то среднее значение, около которого группируются возможные значения СВ; какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего и т. д.

Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана)

Данные характеристики характеризуют положение СВ на числовой оси, т. е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.

Например, 1) среднее время работы, 2) средняя точка попадания смещена относительно цели на 0,3 м вправо…

Разберем эти характеристики подробнее.

1. Математическое ожидание или среднее значение случайной величины

a) Для дискретных случайных величин.

Рассмотрим ДСВ X, имеющую возможные значения с вероятностями . Охарактеризуем каким-нибудь числом положение значений СВ на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности, т. е. рассмотрим «среднее взвешенное» из , причем каждое , при осреднении учитывается с «весом», пропорциональным вероятности :

.

Определение 39. Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений называется математическим ожиданием случайной величины

Замечания.

1. М[Х] существует тогда и только тогда, когда ряд  сходится.

2. Когда М[Х] входит в формулы как определенное число, то ее обозначают М[Х] = .

Механическая интерпретация М[Х] для ДСВ: пусть на оси (Ох) расположены точки с абсциссами , в которых сосредоточены соответственно массы , причем сумма всех масс равна 1 , тогда М[Х] — абсцисса центра тяжести данной системы материальных точек.

Связь между М[Х] и средним арифметическим числа наблюдаемых значений СВ при большом числе опытов: при увеличении числа опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений СВ будет приближаться (сходиться по вероятности) к ее математическому ожиданию. Эта связь — одна из форм закона больших чисел.

b) Для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим НСВ. Заменим в формуле (1) отдельные значения  непрерывно изменяющимся параметром х, соответствующие вероятности  — элементом вероятности , конечную сумму -интегралом, тогда

Механическая интерпретация М[Х] для НСВ: М[Х] — абсцисса центра тяжести в случае, когда единичная масса распределена по оси (Ох) непрерывно с плотностью .

Свойства М[Х].

1. М[С] = С , где С — постоянная.

2. .

3. .

4. .

5. M[aX+b] = аМ[Х] + b, а, b- постоянные.

с) Для смешанных случайных величин.

М[Х] = , причем сумма распространяется на те точки , где функция терпит разрыв, а интеграл берется по тем участкам, где функция непрерывна.

2. Мода случайной величины

Определение 40. Мода — наиболее вероятное значение случайной величины.

Иначе, мода — точка максимума многоугольника распределения для ДСВ или кривой распределения для НСВ.

Мода обознается М; когда мода входит в формулы как определенное число, то ее обозначают .

а) Для дискретных случайных величин.

Мода — действительное число , определяемое, как точка максимума плотности распределения .

Замечание. Мода может не существовать, может иметь единственное значение или иметь бесконечное множество значений.

Определение 41. Распределения, обладающие посередине не максимумом, а минимумом называются антимодальными.

Замечание. Мода и математическое ожидание СВ не совпадают, но если распределение является симметричным и модальным и существует мат. ожидание, то оно совпадает с модой и центром симметрии распределения.

3. Медиана случайной величины

Вводится лишь для НСВ, хотя формально ее можно определить и для ДСВ.

Определение 42. Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение х = Me, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины, т. е. для которого справедливо равенство:

,

( для НСВ безразлично > или  ) 

(по определению функции распределения).

Таким образом, медиана — это корень уравнения .    (3)

Геометрически: медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Замечание. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с мат. ожиданием и модой.

Когда медиана входит в формулы как определенное число, то ее обозначают .

Моменты:

Данные характеристики описывают некоторые свойства распределения СВ. В механике, например, для описания распределения масс существуют статические моменты, моменты инерции…

Определение 43. Начальным моментом s — того порядка для ДСВ и НСВ называется математическое ожидание s — той степени этой случайной величины:

.

Замечание. При s = 1 , т. е. математическое ожидание — это первый начальный момент.

a) Для дискретных случайных величин: .    (4)

Замечание. Определение совпадает с определением начального момента порядка s в механике, если на оси (Ох) в точках сосредоточены соответственно массы .

b) Для непрерывных случайных величин: .    (5)

Определение 44. Центрированной случайной величиной, соответствующей величине X, называется отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

.

Рассмотрим математическое ожидание центрированной ДСВ:

.

Аналогично, для НСВ .

Центрирование СВ равносильно переносу начала координат в среднюю, центральную точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Определение 45. Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами.

Определение 46. Центральным моментом s — того порядка для ДСВ и НСВ называется математическое ожидание s — той степени соответствующей центрированной случайной величины:

.

a) Для дискретных случайных величин: .    (6)

b) Для непрерывных случайных величин: .    (7)

Замечание. Для любой СВ центральный момент 1-го порядка  равен 0: , так как мат. ожидание центрированной СВ равно 0.

Рассмотрим подробнее центральные моменты 2, 3, 4 порядков и выведем соотношения, связывающие начальные и центральные моменты.

— дисперсия

Определение 47. Дисперсией случайной величины X D[X] называется мат ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины:

a) Для дискретных случайных величин: .    (8)

b) Для непрерывных случайных величин: .(9)

Дисперсия случайной величины — характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее мат. ожидания.

Когда дисперсия входит в формулы как определенное число, то ее обозначают 

Механическая интерпретация D[X]: Дисперсия — момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (мат. ожидания).

Рассмотрим ДСВ. (Для НСВ получаем аналогично)

.

— связь между начальным и центральным моментом 2-го порядка. (10)

Свойства D[X].

1. D[C] = 0 , где С — постоянная.

2. .

3. .

4.  для независимых СВ.

5.  — постоянные.

Замечание. D[X] имеет размерность квадрата случайной величины. Для более наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из D[X] извлекают корень:

где  — среднее квадратическое отклонение или стандарт случайной величины X.

Когда среднее квадратическое входит в формулы как определенное число, то его обозначают .

Замечание. Математическое ожидание и дисперсия характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Для более подробного описания применяются моменты высших порядков.

— асимметрия

Асимметрия случайной величины — характеристика асимметрии или скошенности распределения значений случайной величины.

Теорема. Если распределение симметрично относительно мат. ожидания (т. е. масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю.

Доказательство.

Действительно, для ДСВ в сумме при симметричном относительно  законе распределения и нечетном s каждому положительному слагаемому соответствует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое так, что вся сумма равна 0. Аналогично. Для НСВ  как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции. (что и требовалось доказать).

В связи с этим, в качестве характеристики асимметрии и выбирают простейший нечетный момент — третий . Он имеет размерность куба СВ, для получения безразмерной характеристики рассматривают отношение  к среднему квадратическому  в третьей степени:

Определение 48. Коэффициентом асимметрии Sk случайной величины X называется величина

.

 связь между начальными и центральным моментом 3-го порядка.

и эксцесс

Четвертый центральный момент  служит для характеристики «крутости», т. е. островершинности или плосковсршинности распределения.

Это свойство описывается с помощью эксцесса.

Определение 49. Эксцессом случайной величины X называется величина

Число 3 вычитается из соотношения  потому, что для наиболее распространенного нормального закона распределения НСВ (с которым познакомимся позднее).

Кривая нормального распределения, для которого эксцесс равен нулю, принята как бы за эталон, с которым сравниваются другие распределения. Кривые более островершинные имеют положительный эксцесс, более плосковершинные — отрицательный.

Абсолютные моменты:

 — начальный абсолютный момент.

 — центральный абсолютный момент.

Абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами. Из абсолютных моментов нечетного порядка чаще всего применяется первый абсолютный центральный момент:

— среднее арифметическое отклонение.

a) Для дискретных случайных величин: , (14)

b) Для непрерывных случайных величин:  (15)

 применяется как характеристика рассеивания (как и ).

Замечания.

1. Моменты могут рассматриваться не только относительно начала координат (начальные) или математического ожидания (центральные), но и относительно произвольной точки а:

.

2. Во многих задачах полная характеристика случайной величины (закон распределения) не нужна или не может быть получена, поэтому ограничиваются приблизительным описанием СВ с помощью числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения. Иногда характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим.

Пример №17

Дан ряд распределения ДСВ:

Найти: 1) величину а, 2) математическое ожидание и дисперсию М[Х] и D[X] , 3) М[3Х + 2], D[2X + 3].

Решение.

1) Величину а найдем из условия: , отсюда а = 0,4.

2) Найдем математическое ожидание и дисперсию:

По формуле (1) ,

По формуле (8) .

Дисперсию можно было найти, используя формулу (10) и (4):

3) М[ЗХ + 2] = (по 5 свойству мат. ожидания) = ,

D[2X + 3] = (по 5 свойству дисперсии) =

Пример №18

Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. СВ Х — число попаданий. Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднее квадратическое отклонение, 4) моду, 5) асимметрию, 6) среднее арифметическое отклонение.

Решение.

Ранее мы построили ряд распределения числа попаданий. Ряд распределения имеет вид:

1) . (по формуле 1).

2)  

(по формуле 8. Можно было по формуле (4): ).

3)  (по формуле 11).

4) Найдем моду М: , следовательно, М = 1.

5) По формуле (6)

Тогда коэффициент асимметрии по формуле (12) .

6) По формуле (14) найдем среднее арифметическое отклонение:.

Пример №19

Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью . Найти: 1) коэффициент А, 2) математическое ожидание, 3) дисперсию, 4) среднее квадратическос отклонение, 5) моду, 6) медиану, 7) асимметрию, эксцесс.

Решение.

1) Если х < 0 , если .

Воспользуемся свойством плотности распределения для определения А:

.

2) , т.к. функция нечетная.

3) , следовательно, 

 = (решаем методом интегрирования по частям, 2 раза) = 2

4) .

5) M = 0.

6) , следовательно, ,

, следовательно, x=0, т.е. Me=0.

7) , как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции.

Следовательно, асимметрия Sk=0.

 , следовательно, эксцесс .

Пример №20

Случайная величина X подчинена закону распределения, плотность которого задана графически. Найти: 1)выражение для плотности, 2) найти мат. ожидание, 3) дисперсию.

Решение.

1) .

2) , следовательно, .

3) Дисперсию найдем двумя способами.

1 способ (по определению): .

2 способ (через начальные моменты):

.

Биномиальное распределение

Постановка задачи: пусть СВ X выражает число появления события А ( m раз) при n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях. Вероятность появления события А — р — постоянна. Вероятности возможных значений данной СВ определяются по формуле Бернулли:

.

Определение 50. Распределение дискретной случайной величины, для которой ряд распределения задастся формулой Бернулли, называется биномиальным.

Примеры типовых задач: 1) число бракованных изделий в выборке из n деталей, 2) число попаданий или промахов при выстрелах в мишень.

Найдем математическое ожидание и дисперсию СВ, имеющей биномиальное распределение.

1) . (*)

Вычислим данную сумму. Ранее записали следствие из теоремы Бернулли, что . Следовательно, .

Продифференцируем данное равенство по переменной р:

.

, умножим обе части полученного равенства на р:

, следовательно, из (*):

.

Вывод: математическое ожидание числа наступления события А в серии независимых и одинаковых испытаний равно произведению числа испытаний на вероятность появления события при одном испытании

.

2) Можно вывести, что дисперсия СВ X, распределенной по биномиальному закону, находится по формуле:

.

Тогда среднее квадратическое: .

Пример №21

Случайная величина X представляет число бракованных деталей из выборки в 50 штук. Вероятность брака одной детали р = 0,06. Найти М[Х], D[X], числа бракованных деталей в выборке.

Решение.

СВ X имеет биномиальное распределение, следовательно, сразу по формулам имеем:

(детали в среднем бракованы).

.

(детали) — разброс бракованных деталей относительно среднего числа.

Распределение Пуассона

Постановка задачи: пусть СВ X выражает число появления события А ( m раз) при n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях, причем n очень велико (). Вероятность появления события А — р — очень мала. Вероятности возможных значений данной СВ можно вычислить, пользуясь асимптотической формулой Пуассона:

,

где  — среднее число появления события в n испытаниях: = np.

Определение 51. Распределение дискретной случайной величины, для которой ряд распределения задастся формулой Пуассона, называется распределением Пуассона.

Примеры типовых задач: 1) число вызовов на телефонной станции за некоторое время t, 2) число отказов сложной аппаратуры за некоторое время t, 3) распределение изюма в булочках, 4) число кавалеристов, убитых за год копытом лошади.

Распределение Пуассона зависит только от одного параметра . Так как это среднее число появления события в n испытаниях, то это ни что иное как математическое ожидание, следовательно,

.

Можно вывести, что дисперсия СВ X, распределенной по закону Пуассона, находится по формуле:

.

Замечание. Мы использовали распределение Пуассона как приближенное в тех случаях, когда точным распределением СВ является биномиальное распределение, и когда математическое ожидание мало отличается от дисперсии, т. е. .

Можно было получить распределение Пуассона, рассматривая задачу о числе случайных точек на оси абсцисс, попадающих на заданный отрезок, причем  — среднее число точек, приходящихся на единицу длины.

Пример №22

На телефонную станцию в течение определенного часа дня поступает в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что в течение минуты поступает не более двух вызовов.

Решение.

— среднее число появления события в n испытаниях, т. е. .

СВ Х- число вызовов, ее возможные значения: .

По условию, в течение минуты поступает не более двух вызовов, т. е. , тогда,

Пример №23

Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,002. Найти вероятность того, что на базу прибудет 3 негодных изделия.

Решение.

Дано: р = 0,002; q = 1 — р = 0,998; n = 500. Проверим, можно ли воспользоваться формулой Пуассона, т. е. проверим истинность равенства: .

, , отсюда, , т. е. можно пользоваться формулой Пуассона.

, следовательно.

.

Гипергеометрическое распределение

Постановка задачи: производится ряд n независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p наступает событие А. Опыты продолжаются до первого появления события А. Случайная величина Х- число проведенных опытов, — возможные значения данной СВ.

Определение 52. X с возможными значениями , а имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, а, b, если .

Можно вывести, что ,

.

Определение 53. X имеет гипергеометричское распределение, если

.

Пример типовой задачи: из урны, содержащей 5 красных и 7 синих шаров, случайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. Случайная величина X— число синих шаров в выборке. Описать закон распределения Х и найти математическое ожидание.

Решение.

Шары синие, следовательно, n = 3, а + b = 12, а = 7.

Данная случайная величина имеет возможные значения .

,

.

Следовательно, ряд распределения имеет вид:

Мат. ожидание найдем по формуле: .

или по определению: .

Равномерное распределение или закон равномерной плотности

Пусть известно, что все возможные значения х непрерывной случайной величины X лежат в пределах определенного интервала (а, b), в некоторых источниках рассматривается [а, b].

Определение 54. Равномерным называют распределение вероятностей НСВ X, если на каждом интервале (а, b) ее плотность распределения  сохраняет постоянное значение, равное   (т.е. все х одинаково вероятны), а вне этого интервала плотность равна нулю:

 

Примеры типовых задач: равномерное распределение реализуется 1) в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на промежутке (а, b) или [а, b], причем Х — координата поставленной точки; 2) в экспериментах по измерению тех или иных физических величин с округлением, причем X — ошибка округления.

Выведем формулы для вычисления мат. ожидания и дисперсии.

,

.

Итак, , тогда среднее квадратическое .

Вероятность попадания случайной величины на участок  находится по формуле:

.

Найдем функцию распределения F(x):

.

.

Итак, 

Пример №24

Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 ампера. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 ампера.

Решение.

СВ X — ошибка округления отсчета. X распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями:
 

Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02; 0,08). Найдем вероятность попадания Х в этот интервал:
 

.

Можно было найти эту вероятность, сразу подставив в формулу  , следовательно, .

Показательное или экспоненциальное распределение

Определение 55. НСВ X распределена по показательному или экспоненциальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

 — коэффициент распределения.

Выведем формулы для вычисления мат. ожидания и дисперсии.

.

Итак, тогда среднее квадратическое:

Найдем функцию распределения F(x):

Если следовательно .

Если .

Итак, 

Пример №25

Случайная величина Т — время работы радиолампы имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы лампы 400 часов.

Решение.

По условию

Нормальный закон распределения

Определение 56. НСВ X распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения  имеет вид:

Нормальный закон называют еще законом распределения Гаусса.

Говорят, что случайная величина X подчинена нормальному закону и пишут .

Примеры типовых задач: случайные величины в них характеризуют ошибки при измерениях, боковые отклонения и отклонения по дальности при стрельбе, величина износа деталей…

График плотности или кривая распределения называется гауссовской кривой. Она имеет симметричный холмообразный вид. При  Ветви кривой быстро приближаются к оси (Ох): площадь под кривой на участке [m — 3;m + 3] равна 90% площади под всей кривой.

Главная особенность нормального закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Кривые распределения по всем другим законам распределения получаются из одной единственной кривой — гауссовской.

Для наглядной демонстрации нормального закона распределения иногда используют специальное устройство — доску Гальтона. В нем падающие сверху шарики распределяются между правильными шестиугольниками и в результате падают на горизонтальную поверхность, образуя картинку, похожую на подграфик гауссовой кривой.

Распределение пассажиров по вагонам метро — гауссово распределение. Покажем это. Пассажиры метро бегут по переходу, выходящему на середину станции, на поезд, стоящий напротив выхода из перехода. Платформа, у которой стоит поезд, равномерно разделена колоннами. Ясно, что большинство пассажиров войдет в средние вагоны, а по мере удаления вагонов от центра, количество садящихся в них людей будет уменьшаться.

Замечание. С гауссовской плотностью мы встречались при рассмотрении локальной теоремы Муавра- Лапласа.

1. Убедимся, что действительно плотность НСВ, для чего проверим равенство  (условие нормировки). Известно, что  (интеграл Пуассона).

 Что и требовалось доказать

2. Докажем, что численные параметры m и  совпадают с основными характеристиками распределения: m = М[Х] — мат. ожидание, — среднеквадратическое отклонение. Для этого вычислим М[Х] и [Х].

Таким образом, m = M[X]. Этот параметр, особенно в задачах стрельбы, называют центром рассеивания.

Доказать самостоятельно, что (Сначала вычислить дисперсию).

Смысл параметров m и 

m — центр симметрии распределения (т.к. при изменении знака разности (х — m) в формуле плотности на противоположный, выражение не меняется). Если изменять центр рассеивания m, то кривая распределения будет смещаться вдоль оси (Ох), не изменяя своей формы. Следовательно, m характеризует положение распределения на оси (Ох).

Размерность m та же, что и размерность случайной величины X.

В задачах m означает систематические ошибки.

 характеризует форму кривой распределения, т.к. это характеристика рассеивания. Площадь под кривой распределения всегда должна быть равна 1. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна , следовательно, при увеличении  максимальная ордината уменьшается.

Размерность о совпадает  размерностью СВ. В задачах  означает стандартные ошибки.

Замечания.

1. В некоторых курсах теории вероятностей вводят понятие меры точности , тогда нормальный закон запишется в виде:

2. .

3. Если НСВ X распределяется по закону N(0, 1), то она называется стандартизованной случайной величиной.

Формула для центральных моментов любого порядка имеет вид:

Т.к.  = 0, то все нечетные моменты равны 0 (это следует из симметричности нормального закона).

Для четных моментов:  Асимметрия нормального закона эксцесс (назначение эксцесса характеризовать крутость законов по сравнению с нормальным законом), мода М = m, медиана Me — m.

Найдем вероятность попадания НСВ X, подчиненной нормальному закону с параметрами m и , на участок от  до .

 тогда

 (интеграл вычисляется с помощью специальной функции — функции Лапласа Ф(х) [смотри предельную интегральную теорему Муавра-Лапласа §6 п. 3])

Итак, 

Вероятность попадания НСВ X левее  находится по формуле: 

Свойства функции Лапласа

1. Ф(х) определена для всех действительных х.

2. 

3. Ф(х) неубывающая, т. е. возрастает на R.

4. Ф(-х) = 1 — Ф(х) (это следует из симметричности нормального распределения с параметрами m = 0,  =1 относительно начала координат).

5. 

6.

7. — формула для нахождения вероятности того, что абсолютная величина отклонения СВ X от числа m меньше положительного числа , где  — ошибка.

Если m = 0, то

Вывод 7 свойства.

Из 4 свойства и формулы для вычисления интервальных вероятностей имеем, что:

            

Функция Лапласа затабулирована. Для тех значений х, которых нет в таблице:

Свойства функции Лапласа 

1. Ф(x) определена для всех действительных x.

2. Ф(0) = 0.

3. Ф(x) неубывающая, т.е. возрастает на R.

4. Ф(-x) = -Ф(x).

5. 

6. 

7. 

Функция Лапласа затабулирована. Для тех значений х, которых нет в таблице:

Пример №26

Длина изготовленной автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами  Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали 

Решение.

Вероятность брака: 

Случайные величины в теории вероятностей

С каждым случайным экспериментом связано множество его возможных исходов Это множество обычно называют пространством элементарных исходов или элементарных событий. Экспериментатор обычно не просто наблюдает, а измеряет, и в результате эксперимента получается число. Тем самым каждому исходу эксперимента ставится в соответствие определенное число а это означает, что на множестве исходов эксперимента определена некоторая числовая функция.

Определение. Случайной величиной называется функция определенная на множестве элементарных исходов эксперимента и принимающая действительные или комплексные значения. Если множество исходов эксперимента конечно, то приведенное определение является точным. В общем случае функция полагается измеримой. Случайная величина считается заданной, если указано, какие значения она может принимать и каковы вероятности этих значений.

Определение. Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения случайной величины. Фактически для задания закона распределения нужно перечислить все возможные значения случайной величины и указать вероятности этих значений.

Закон распределения является исчерпывающей характеристикой случайной величины. Если он задан, то с вероятностной точки зрения случайная величина описана полностью. Поэтому часто говорят о том или ином законе распределения, имея в виду случайную величину, которая распределена по этому закону.

Случайные величины будем обозначать большими латинскими буквами а отдельные возможные значения этих величин соответствующими малыми буквами

Определение. Случайную величину называют дискретной, если она может принимать отделенные друг от друга значения с определенными вероятностями. Множество возможных значений дискретной случайной величины конечно или счетно, т.е. их можно занумеровать с помощью ряда натуральных чисел.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения составляет некоторый интервал (конечный или бесконечный).

Отметим способы задания законов распределения дискретных случайных величин. Соответствие между возможными значениями 68 дискретной случайной величины и вероятностями этих значений можно задать в виде формулы. Если это затруднительно, то можно просто перечислить то и другое в виде таблицы, называемой рядом распределения:

где – вероятность того, что примет значение Из соображений наглядности принято возможные значения перечислять в порядке возрастания. События несовместимы, и в результате опыта одно из них непременно происходит, т.е. эти события образуют полную группу. Поэтому 

Ряд распределения можно изобразить графически. Для этого в каждой точке на горизонтальной оси откладывают вдоль вертикальной оси отрезок, равный Полученную в результате фигуру называют многоугольником распределения (рис. 2.8.1).

Функция распределения

Определение. Функцией распределения случайной величины называют функцию

 

определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина X в результате опыта примет значение меньшее .

Непосредственно из определения функции распределения можно вывести ряд ее свойств

1. Это следует из того, что равна вероятности, а вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Отметим также, что так как события являются соответственно невозможным и достоверным.

2. Функция распределения является неубывающей, т.е. при В самом деле, при появление события эквивалентно появлению одного из несовместимых событий и Поэтому  или 

В правой части равенства (2.8.1) находится неотрицательная величина, поэтому Равенство (2.8.1) означает, что вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал равна приращению функции распределения на этом полуинтервале.

3. непрерывна слева, т.е. при

4. Для любого согласно формуле (2.8.1), 

Предел в правой части равен нулю, если – точка непрерывности функции . Если же х – точка разрыва функции, то предел в правой части равенства равен скачку этой функции в точке . Следовательно, если и точки непрерывности функции , то 

Впредь будем называть непрерывными только случайные величины с непрерывной функцией распределения. Для непрерывной случайной величины вероятность любого отдельно взятого значения равна нулю. Сходная ситуация в геометрии. Геометрическая точка не имеет размера, а состоящий из точек интервал имеет отличную от нуля длину. Так и для непрерывной случайной величины: одно отдельно взятое значение имеет нулевую вероятность, хотя и является возможным значением, и только интервалы значений имеют отличную от нуля вероятность.

График функции распределения одной из непрерывных случайных величин изображен на рис. 2.8.2.

Функцию распределения можно задать и для непрерывной и для дискретной случайной величины. Для дискретной случайной величины функция распределения представляет собой, как это следует из определения, функцию накопленных вероятностей:

где суммирование распространяется на все значения индекса для которых 

Если дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

то ее функция распределения имеет вид ступенчатой функции, причем скачки функции равны вероятностям соответствующих значений Х (рис. 2.8.3).

Функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна, для дискретной случайной величины она представляет собой ступенчатую функцию. Можно привести примеры таких случайных величин, функция распределения которых вместе с участками непрерывного роста в некоторых точках имеет разрывы. Такие величины называют смешанными случайными величинами. Примером смешанной случайной величины может служить время ожидания у светофора. Пусть, например, равновозможно прибытие автомобиля к перекрестку в любой момент цикла работы светофора (рис. 2.8.4). Найдем функцию распределения времени ожидания автомобиля.

Обозначим время ожидания у светофора через Это неотрицательная случайная величина. Вероятность того, что время ожидания будет меньше равна вероятности прибыть к светофору в момент времени из интервала (А,В). Поэтому при и при Функция распределения времени ожидания изображена на рис. 2.8.5. Из графика функции распределения видно, что нулевое время ожидания, имея вероятность 3/7, соответствует точке скачка функции, равного этой величине.

Функция плотности вероятности

Если функция распределения представима в виде где функция   то подынтегральную функцию называют функцией плотности вероятности. Если функция распределения дифференцируема, то функцией плотности вероятности называется первая производная от функции распределения т.е.

Заметим, что

Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины в интервал численно равна площади криволинейной трапеции, которая опирается на этот интервал и ограничена сверху кривой (рис. 2.8.6).

Свойства функции плотности вероятности.

1.

2.

Последнее условие называется условием нормировки. Геометрически это условие означает, что площадь, заключенная между осью абсцисс и графиком функции плотности вероятности, равна единице.

По функции плотности вероятности можно найти функцию распределения случайной величины:

Числовые характеристики случайных величин

Числа, назначение которых указывать основные особенности случайных величин, называются числовыми характеристиками.

Определение. Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины Х называется число

равное сумме произведений возможных значений на соответствующие им вероятности Если дискретная случайная величина имеет бесконечно много значений, то требуется абсолютная сходимость ряда (2.8.2). Если ряд (2.8.2) не сходится абсолютно, то математическое ожидание такой случайной величины не существует.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины, имеющей функцию плотности вероятности , называется число

если интеграл абсолютно сходится. Если интеграл (2.8.3) не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной, т.е.
2. Математическое ожидание суммы любого конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
3. Математическое ожидание произведения любого конечного числа взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

Определение. Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: 

Для вычисления дисперсии иногда удобно использовать другую формулу:

т.е. дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания:

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с возведением в квадрат, т.е. где C –– постоянная величина.

Определение. Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:

Центрированные случайные величины удобно использовать в преобразованиях, так как

3. Если случайные величины Х и Y независимы, то 

4. Если случайные величины Х и Y независимы, то

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Это лишает наглядности дисперсию как числовую характеристику. Поэтому для характеристики разброса значений случайной величины используют среднее квадратическое отклонение, которое равно положительному значению корня квадратного из дисперсии: Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Пример №27

Некто носит на связке пять ключей. При отмыкании замка он последовательно испытывает ключи, пока не подберет нужный. Полагая выбор ключей бесповторным, написать закон распределения числа испытанных ключей. Вычислите математическое ожидание этой случайной величины.

Решение. Обозначим через X – число испытанных ключей. Так как выбор ключей бесповторный, то X может принимать значения: 1, 2, 3, 4, 5. Случайная величина X примет значение если с первой попытки будет выбран нужный ключ, вероятность чего равна 1/5 в силу равновозможности выбора любого из ключей. Значение случайная величина примет, если при первой попытке ключ будет выбран ошибочно (вероятность чего равна 4/5) и при второй попытке будет выбран нужный ключ из оставшихся четырех(вероятность этого равна 1/4). Поэтому:

Случайная величина X имеет закон распределения 

Среднее число попыток равно 

Ответ. 3.

Пример №28

В ящике в полном беспорядке лежат пять пар туфель. Туфли по одной (без возвращения) вынимают из ящика, пока среди выбранных не обнаружится какая-либо пара. Сколько в среднем туфель придется извлечь из ящика?

Решение. Обозначим через X – число извлеченных туфель. Случайна величина X принимает только значения 2, 3, 4, 5, 6. (Чтобы сформировать пару, нужно извлечь минимум две туфли, а среди шести туфель хотя бы одна пара непременно найдется.) Найдем вероятности этих значений:

так как после выбора первой туфли в пару к ней годится только одна из девяти оставшихся;

так как вторая должна быть не парной к первой, вероятность чего равна 8/9, а третья должна быть парной либо к первой, либо ко второй, вероятность чего равна 2/8;

так как вторая должна быть не парной к первой, вероятность чего 8/9, третья – не парной к первым двум, вероятность чего 6/8, а четвертая должна быть одной туфлей из трех уже разукомплектованных пар, вероятность чего 3/7;

так как вторая должна быть не парной к первой, вероятность чего 8/9, третья – не парной к первым двум, вероятность чего 6/8, четвертая – не парной к первым трем, вероятность чего равна 4/7, а пятая должна быть одной туфлей из четырех уже разукомплектованных пар, вероятность чего 4/6;

так как для этого необходимо, чтобы каждая из пяти первых туфель выбиралась из еще не тронутой пары.

Итак, случайная величина имеет закон распределения:

Ответ.

Пример №29

Цена лотерейного билета равна 50 рублей. В данной лотерее каждый пятый билет выигрывает. Величина выигрыша на один билет X имеет распределение:

Некто приобрел пять билетов. Необходимо вычислить его средний выигрыш от участия в этом тираже лотереи.

Решение. Обозначим через выигрыш, приходящийся на й билет. Тогда общий выигрыш По свойствам математического ожидания

где

Поэтому средний выигрыш на пять билетов составит 5 • 36 = 180 руб., но за билеты было заплачено 250 руб. В итоге, средний «выигрыш» (фактически, проигрыш) равен 180 – 250 = –70 руб.

Ответ. –70 руб.

Пример №30

Монету подбрасывают до тех пор, пока не выпадет герб, или пять раз подряд не выпадет цифра. Пусть X – число бросков монеты. Напишите закон распределения случайной величины X и найдите ее математическое ожидание.

Решение. Если при первом же броске выпадет герб, то X =1, вероятность чего равна 1/2.

Бросков понадобится два, если сначала выпадет цифра, а при втором броске – герб. Вероятность такого исхода равна (1/ 2)(1/ 2) = 1/ 4.

Монету придется бросать трижды, если сначала дважды выпадет цифра и при третьем броске – герб. Вероятность этого равна (1/ 2)(1/ 2)(1/ 2) = 1/ 8.

Аналогично

Если четыре раза подряд выпадет цифра, то необходим пятый бросок, который независимо от результата (с вероятностью один) будет последним. Поэтому

Закон распределения числа бросков имеет вид:

Среднее число бросков равно  

Ответ.

Пример №31

Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 1/3. Имеется семь патронов. Стрельба производится до тех пор, пока не будет трех попаданий или пока не кончатся патроны. Пусть X – число выстрелов. Найдите математическое ожидание случайной величины X.

Решение. Найдем сначала закон распределения случайной величины X. Для трех попаданий необходимо минимум три выстрела. Вероятность трех попаданий подряд равна Поэтому Выстрелов понадобится четыре, если в первых трех выстрелах будет только два попадания (вероятность чего равна ) и при четвертом выстреле будет попадание. Поэтому Придется произвести пять выстрелов, если в первых четырех выстрелах будет два попадания (вероятность чего равна ) и попадание будет при пятом выстреле. Поэтому Аналогично

Выстрелов будет семь, если к моменту седьмого выстрела будет два или меньше двух попаданий.

Поэтому

Заметим, что проще эту вероятность было посчитать, отняв от единицы вычисленные уже вероятности остальных значений. Итак, случайная величина X имеет закон распределения:

Ответ.

Пример №32

Из 12 изделий три имеют скрытые дефекты. Наугад выбраны четыре изделия. Напишите закон распределения числа изделий со скрытыми дефектами среди выбранных.

Решение. Пусть X – число деталей со скрытыми дефектами среди выбранных четырех. Это дискретная случайная величина с возможными значениями Четыре детали из 12 можно выбрать способами.

Значению X = 0 благоприятствуют  способов выбора изделия. Поэтому Значению X =1 благоприятствуют Значению X = 2 благоприятствуют способов, Наконец, значению X = 3 благоприятствуют способов, Случайная величина X имеет закон распределения 

Среднее число деталей со скрытыми дефектами в выборке равно

Ответ. 1.

Пример №33

Случайная величина X принимает значения 1, 3, 5, 7, 9 с вероятностями где – некоторая постоянная величина. Найти математическое ожидание X.

Решение. Так как сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице, то и Поэтому

Ответ.

Пример №34

Из чисел 1, 2, 3, …, 20 наугад без возвращения выбирают восемь чисел. Найти математическое ожидание их суммы.

Решение. Обозначим через число, выбранное м по порядку. Тогда для любого имеем

Например, вероятность того, что пятое по порядку число будет равно равна

Это означает, что для го по порядку числа равновозможны все значения от 1 до 20. Поэтому математическое ожидание го числа равно

Сумма выбранных чисел имеет математическое ожидание

Ответ. 84.

Пример №35

Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 наугад без возвращения выбирают четыре числа. Пусть X – наибольшее из этих чисел. Требуется найти закон распределения случайной величины X и ее математическое ожидание.

Решение. Случайная величина X может принимать значения 4, 5, 6, 7. Вычислим вероятности этих значений. Всего имеется способов выбрать любых четыре числа из семи. Реализуется значение X = 4, если будут выбраны первые четыре числа 1, 2, 3, 4. Это можно сделать единственным способом. Поэтому Значение X = 5 получится, если будет выбрано число пять и в добавление к этому три числа из первых четырех. Это можно сделать способами. Поэтому Величина X = 6 , если будет выбрана цифра шесть и в дополнение к ней любых три числа из первых пяти. Это можно сделать Следовательно, Если будет выбрана цифра семь и в дополнение к ней любые три из первых шести, то реализуется значение X = 7. Вероятность этого  В итоге имеем закон распределения:

Поэтому

Ответ.

Пример №36

Пусть в урне находится M белых шаров и R черных. Из урны наугад выбирают один шар. После установления его цвета в урну добавляют шар того же цвета (т.е. выбранный шар возвращают в урну и к нему добавляют еще шаров того же цвета). Затем выбирают из урны второй шар и в урну возвращают шар такого же цвета, что и второй 82 шар. Потом выбирают очередной шар и т.д. Всего производят выбор и добавление шаров раз.

Обозначим через X число белых шаров, выбранных из урны в процессе этих испытаний. Требуется найти закон распределения случайной величины X и ее математическое ожидание.

Решение. Заметим, что X принимает значения 0, 1, 2, 3, …, . Вычислим

Рассудим следующим образом. После каждого опыта число шаров в урне возрастает на . Первый шар выбирается из шаров, выбор второго возможен из шаров, третий шар можно выбрать из шаров и т.д., для -го шара имеется возможностей выбора. Поэтому число всех возможных исходов этих опытов по комбинаторному принципу равно

Если белый шар был выбран раз, то первый их них выбирался из M шаров, второй – из шаров, третий – из  и т.д., -й белый шар можно было выбрать из  шаров. По комбинаторному принципу белых шаров можно было выбрать способами.

Аналогично  черный шар можно было выбрать способами. Тогда выбрать белых и черных шаров в любой последовательности можно было

 способами.

Различимых последовательностей в чередовании белых и черных шаров существует именно таким числом способов можно из опытов выбрать различных и в них получить белые шары. Поэтому

Закон распределения случайной величины X со значениями 0, 1, 2, 3, …, и вероятностями этих значений определяемыми по формуле (2.8.6), называют законом распределения Полиа.

Замечание. Если в распределении Полиа то получим независимые опыты и формула (2.8.5) переходит в формулу Бернулли (2.6.1). Если же то это означает, что выбранный шар в урну не возвращается и новых шаров в урну не добавляется. Мы попадаем в условия бесповторного выбора. В этом случае формула (2.8.5) переходит в формулу (2.1.1).

Рассмотрим серию опытов, которые производятся в неодинаковых условиях и поэтому вероятность появления события меняется от опыта к опыту. Например, во время боя из-за сближения или удаления противника вероятность поражения цели при выстреле меняется от выстрела к выстрелу. Обозначим через  – вероятность появления события в м опыте, а вероятность непоявления события через Требуется найти вероятность того, что в результате опытов событие появится раз.

Можно, как и при выводе формулы Бернулли (2.6.1), моделировать результаты опытов с помощью букв A и букв . Различимых перестановок таких букв будет Именно таким числом способов можно из мест выбрать и поставить на них буквы , а на остальные – буквы .

Каждая перестановка этих букв соответствует определенной последовательности появлений и непоявлений события . К сожалению, в нашем случае перестановки не равновозможны и суммировать их вероятности трудоемко. Вместо утомительного перебора возможных комбинаций букв поступим следующим образом. Составим функцию

где – некоторая действительная переменная.

Если перемножить скобки, привести подобные и упорядочить их по степеням , то получим многочлен по степеням . Легко понять, что при каждой степени будет коэффициент в виде произведения букв и букв с какими-то индексами, а после приведения подобных получится коэффициент, который будет равен сумме всех подобных произведений, т.е. равный

Пример №37

С разных расстояний производится четыре независимых выстрела по одной и той же цели. Вероятности попадания в цель при этих выстрелах равны соответственно 0,1; 0,2; 0,4; 0,8. Найти распределения числа попаданий и математическое ожидание этого числа.

Решение. Обозначим число попаданий в цель через X . Запишем производящую функцию

Итак, случайная величина X имеет распределение:

Заметим, что можно вычислить непосредственно (не находя предварительно закона распределения). Представим число попаданий в виде где – число попаданий при м выстреле. Тогда

Но Поэтому

Ответ.

Пример №38

На круговом экране локатора равновозможно появление пятна в каждой точке экрана. Радиус экрана равен R. Найти закон распределения расстояния от центра экрана до пятна. Найти математическое ожидание и дисперсию этого расстояния.

Решение. Обозначим через Х расстояние от центра экрана до пятна. Это расстояние будет меньше если пятно попадет внутрь круга радиуса Вероятность этого по геометрическому определению вероятности равна отношению площади круга радиуса к площади всего экрана локатора. Поэтому функция распределения случайной величины Х имеет вид при при и при Тогда функция плотности вероятности при а

Ответ.

Пример №39

Случайная величина X имеет функцию распределения

Найти

Решение. Найдем сначала функцию плотности вероятности

Тогда Поэтому

С учетом определения и свойств функции распределения имеем

В последнем случае учтено, что в силу непрерывности случайной величины X.

Ответ. 

Случайные величины и их характеристики

Если классическая теория вероятностей изучала, в основном, события и вероятность их появления (наступления), то современная теория вероятностей изучает случайные явления и их закономерности с помощью случайных величин. Понятие случайной величины, таким образом, является основополагающим в теории вероятностей. Ещё ранее проводились события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперёд определить число появившихся очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное (причём, одно и только одно) возможное числовое значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайны величины принято, обычно, обозначать прописными буквами X ,Y ,Z ,…, а их возможное значения — соответствующими строчными буквами x, y,z,… Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они, соответственно, обозначаются так: Для удобства будем писать: 
 

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть величина случайная, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 100.
 

Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть также величина случайная. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т. п.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины, очевидно, принадлежат некоторому промежутку (интервалу)  Заметим, что с каждым случайным событием можно связать какую-либо случайную величину, принимающую значения из R.

Например, опыт — выстрел по
мишени; событие — попадание в мишень; случайная величина — число попаданий в мишень. Вернёмся к примерам, приведённым выше. В первом из них случайная величина X могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2,…, 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X . Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные, возможные значения.

Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка a,b. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины. Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной (прерывной) случайной величиной называется такая случайная величина, которая принимает конечное или счётное множество4 различных значений. Другими словами — это такая случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка действительной числовой оси.
Очевидно, во-первых, число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно. Во-вторых, дискретная случайная величина является частным случаем непрерывной случайной величины.
 

Закон распределения вероятностей

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины:

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все её возможные значения. В действительности это не так: различные случайные величины иногда могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а соответствующие вероятности этих значений – различные. Поэтому для полной характеристики мало знать значения случайной величины, нужно ещё знать, как часто эти значения встречаются в опыте при его повторении, т.е. нужно ещё указать вероятности их появления.
Рассмотрим случайную величину Появление каждого их возможных значений свидетельствует о том, что произошло соответственно одно из событий, которые образуют полную группу5. Допустим, что вероятности этих событий известны:

4 Напомню, что счётным является множество, элементы которого можно пронумеровать числами натурального ряда.
5 Ai — событие, состоящее в том, что случайная величина X приняла в опыте значение  причём в одном испытании, как уже отмечалось, случайная величина X принимает одно и только одно возможное значение.

Тогда: соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения вероятностей случайной величины, или просто – законом распределения случайной величины. Закон распределения вероятностей данной случайной величины можно задать таблично (ряд распределения), аналитически (в виде формулы) и графически. При табличном задании закона распределения дискретной случайной
величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности, т.е.

В целях наглядности закон распределения дискретной случайной величины
можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. При этом, сумма ординат  построенного многоугольника равна единице.

Аналитически закон распределения дискретной случайной величины можно записать, например, используя формулу Бернулли для схемы повторения независимых опытов. Так, если обозначить случайную величину, которой является число бракованных деталей в выборке, через X , то возможные её значения будут 0, 1, 2, . . . , n. Тогда, очевидно, формула Бернулли будет устанавливать зависимость между значениями и вероятностью их появления, где

что о определяет закон распределения данной случайной величины.
 

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Вспомним, что дискретная случайная величина задаётся перечнем всех её возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он не применим, например, для непрерывных случайных величин. Действительно, рассмотрим случайную величину X , возможные значения которой сплошь заполняют интервал Можно ли составить перечень всех возможных значений X ? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин (как уже отмечалось, дискретная случайная величина является частным случаем непрерывной случайной величины). С этой целью вводят интегральную функцию распределения.

Пусть x – переменная, принимающая произвольные действительные значения (на оси . Рассмотрим событие A, состоящее в том, что случайная величина X примет значение меньшее x . Тогда, вероятность  события A зависит от x , т.е. является функцией от x . Эту функцию принято обозначать через и называть функцией распределения случайной величины или, ещё – интегральной функцией распределения. Другими словами: интегральной функцией распределения называют функцию определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x , т.е.

Геометрически это равенство можно истолковывать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x .
 

Свойства интегральной функции

1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку

Доказательство этого свойства вытекает из определения интегральной функции как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Действительно, пусть A– событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение меньшее аналогично, B – событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение меньшее Другими словами:

3. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси Ox , то справедливо следующее предельное соотношение:

Это свойство вполне очевидно. Так, если — достоверное событие, а – невозможное событие, то

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале равна приращению интегральной функции на этом интервале:

Рассмотрим следующие события:Видим, чтот.е. события A и B несовместны. Тогдано В результате можем записать что и требовалось показать.

Мы будем в основном изучать такие непрерывные случайные величины, функции распределения которых непрерывны.

График функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую ломаную линию (см. рис.). Величина
скачка в точках разрыва равна вероятности значения случайной величины в этой точке. Зная ряд распределения случайной величины, можно построить график её функции распределения:

Для непрерывной случайной величины более наглядной является не интегральная, а дифференциальная функция распределения или, так называемая, плотность распределения случайной величины:
плотностью распределения случайной величины X называется производная от её интегральной функции распределения  т.е.

Свойства дифференциальной функции 

Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения.
Действительно:

(самостоятельно — объяснить, почему. Рассмотреть различные случаи 

Доказательство:что и требовалось доказать.

Доказательство: по четвёртому свойству для интегральной функции распределения случайной величины можем записать:

6 Воспользоваться вторым свойством для функции

Но, по рассмотренному выше второму свойству для справедливо:Тогда 

Доказательство. Это свойство, как впрочем и предыдущие, можно доказать различными способами. В частности:

Замечу, что график дифференциальной функции распределения случайной величины лежит выше (или – на) оси Ox (см. первое свойство) – это, во-первых. Во-вторых, учитывая четвёртое свойство, т.е. условие нормировки, можем также сказать, что площадь области, ограниченной кривой плотности распределения, равна единице.

Пример №40

Плотность распределения случайной величины X задана формулой 

Требуется:
1. найти величину постоянной A;
2. найти функцию
3. определить вероятность попадания случайной величины X в интервал

Решение.
1. величину постоянной A найдём из условия нормировки:  В нашем случае, получаем

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения случайной величины отвечает на вопрос, где расположены возможные значения случайной величины и какова вероятность их появления в том или ином интервале значений. Часто на практике достаточно знать только некоторые характеристики
случайной величины, то есть иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. В теории вероятностей для общей характеристики случайной величины используют параметры, называемые числовыми характеристиками случайной величины. Наиболее часто используют такие из них: математическое ожидание, дисперсия, мода, медиана, моменты распределения.
 

Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется число, равное сумме произведений всех возможных значений данной случайной величины на вероятность появления этих значений, т.е.

( или для случайной величины, имеющей счётное множество различных значений).
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число, равное 

Из определения следует, что математическое ожидание случайной величины есть величина неслучайная, а постоянная. Кроме того, существуют случайные величины, у которых не существует. В дальнейшем будет показано, что математическое ожидание приближённо равно среднему арифметическому всех возможных значений случайной величины,получаемых в результате опыта. Поэтому ещё называют средним значением случайной величины 7.

Легко сообразить, что математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений случайной величины. Другими словами, на числовой оси возможные значения случайной величины расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения случайной величины и поэтому его часто называют центром распределения (последний термин заимствован из механики).
 

Свойства математического ожидания

— постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания;

независимые случайные величины (если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина).

Модой дискретной случайной величины называется её наибольшее вероятное значение . Модой непрерывной случайной величины называется такое её значение , при котором плотность распределения имеет максимум, т.е.

Геометрически, мода – это абсцисса точки максимума кривой распределения случайной величины.
Медианой случайной величины называется такое её значение e M , относительно которого равновероятно, что данная случайная величина
окажется больше или меньше медианы, т.е.

Геометрически, медиана – это абсцисса точки, в которой площадь области, ограниченная кривой распределения и осью Ox , делится
пополам. Если распределение симметрично и имеет один максимум, то все три указанные характеристики совпадают. На рисунке
изображён случай несимметричного распределения случайной величины.

7 Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI-XVII вв.), когда область её применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша или, иными
словами, математическое ожидание выигрыша.

Дисперсия

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения.
Рассмотрим, например, две дискретные случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения:

Нетрудно видеть, что M(X)=M(Y)=0. Здесь математические ожидания обеих случайных величин одинаковы, а возможные значения различны, причём Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далёкие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, ещё нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. По этой причине, наряду с математическим ожиданием, вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того, чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг её математического ожидания,
пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения данной случайной величины от её математического ожидания, т.е.

1). Для дискретной случайной величины для случайной величины, имеющей конечное число значений);
2). Для непрерывной случайной величины если значения случайной величины принадлежат промежутку 

Свойства дисперсии:

Доказательства, приведённых выше свойств, вполне очевидны и проводятся по определению. Давайте докажем, например, третье свойство:

Пример №41

Найти дисперсию случайной величины X , имеющей следующее распределение

Решение:

Вычислим, прежде всего, математическое ожидание данной случайной величины:

Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением ) случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии этой случайной величины, то есть:

Легко показать, что дисперсия имеет размерность равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение, по определению, равно квадратному корню из дисперсии, то размерность  совпадает с размерностью Х. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее
квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если Х выражается в линейных метрах, то будет выражаться также в линейных метрах, а D(X) – в квадратных метрах.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются мерой рассеяния случайной величины относительно центра распределения – чем больше рассеяние, тем больше
 

Моменты распределения случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, Заданную законом распределения:

Видимо,что значительно больше М(Х). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины 2 X , соответствующее значению х=100 величины Х, стало равным 10 000, то есть значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала 0,01. Таким образом, переход от позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина Х имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине а тем более к величинам и т.д., позволил бы ещё больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных, возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Обобщением основных числовых характеристик случайной величины являются её моменты. В теории вероятностей используют начальные и центральные моменты случайной величины.

Начальным моментом k -ого порядка (обозначают через ) случайной величины X называют число, равное математическому ожиданию случайной величины , 

Центральным моментом k -ого порядка (обозначают через ) случайной величины X называют число, равное математическому ожиданию случайной величины 

Нетрудно видеть, что для дискретной случайной величины моменты будут выражаться через сумму, а для непрерывной – через интеграл.

Справедливо, в частности:

1. Условие нормировки 
2. Первый начальный момент равен
3. Второй центральный момент равен
4. Нормированный третий центральный момент называется коэффициентом асимметрии и служит характеристикой асимметрии или скошенности распределения случайной величины.

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения
расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. На практике определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки
максимума дифференциальной функции): если длинная часть кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна, если слева – отрицательна (см. рис.).

Если A = 0, то можно сказать, что значения случайнойвеличины распределены симметрично относительно математического ожидания, т.е. случайная величина имеет нормальное распределение.

5. С четвёртым центральным моментом связана величина, называемая эксцессом:

Эксцесс характеризует островершинность или плосковершинность распределения случайной величины (другими
словами, эксцесс служит для оценки «крутости», то есть большего или меньшего подъёма кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой). Забегая немного вперёд, скажем, если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая (см. рис.). Для нормального распределения E = 0.
 

Замечания.
1. Для начальных и центральных моментов справедливы следующие соотношения:

2. Моменты непрерывной случайной величины аналогичны моментам твёрдого тела в механике. Так, если рассматривать бесконечный твёрдый стержень расположенный вдоль оси Ox , то можем записать:

момент инерции стержня относительно оси перпендикулярной Ox и проходящей через центр масс стержня.
3. Распределение вероятностей случайной величины можно интерпретировать как распределение массы стержня на прямой Ox .

Основные законы распределения случайной величины

Равномерное распределение дискретной случайной величины.
Пусть случайная величина Х принимает n значений с вероятностями  Данная случайная величина называется равномерно распределённой случайной величиной, если 

В этом случае:
— ряд распределения

— функция распределения 

— математическое ожидание 

— дисперсия 

Пример №42

Случайная величина Х – выпадение числа очков на верхней грани игрального кубика при одном броске. Найти математическое ожидание случайной величины Х.
 

Решение. Очевидно, что
то, согласно определению, случайная величина Х распределена по равномерному закону. Следовательно, в этом случае, можем записать:

1.2. Равномерное распределение непрерывной случайной величины.

Непрерывная случайная величина подчиняется равномерному закону распределения, если её возможные значения лежат в некотором определённом интервале, в пределах которого все значения равновероятны, то есть обладают одной и той же плотностью вероятности. Другими словами, распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция имеет постоянное значение. Случайные величины, имеющие равномерное распределение вероятностей, часто встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

Найдём дифференциальную функцию (плотность) равномерного распределения, считая, что все возможные значения случайной величины Х
заключены в промежутке на котором дифференциальная функция сохраняет постоянное значение, то есть
По условию Х не принимает значений вне промежутка поэтому  Найдём значение постоянной С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат промежутку то справедливо:

Итак, закон равномерного распределения случайной величины на отрезке аналитически можно записать так:

Найдём теперь интегральную функцию равномерного распределения непрерывной случайной величины. Для этого воспользуемся формулой

Итак, искомая интегральная функция распределения аналитически может быть записана так:

Свойства равномерного непрерывного распределения:

Пример №43

Троллейбусы идут строго по расписанию и с интервалом в 6 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать троллейбус менее двух минут.
 

Решение. Время ожидания троллейбуса есть непрерывная случайная величина Х, имеющая равномерное распределение на промежутке [0,6], так как с равной вероятностью время ожидания может быть любым в этом промежутке. Тогда 

Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение играет важную роль в области статистического контроля качества. Будем говорить, что дискретная случайная величина Х, принимающая целочисленные значения распределена по гипергеометрическому закону, если вероятности этих значений определяются выражением

3. при гипергеометрическое распределение приближается к биномиальному распределению (о котором поговорим немного позднее).

Пример №44

Партия из 100 изделий содержит 10% брака. Для контроля выбрано 5 изделий. Необходимо определить вероятность того, что в выборке меньше двух бракованных изделий. Найти для случайной величины Х – числа дефектных изделий в данной выборке изделий.
 

Решение. Данная дискретная случайная величина Х={0,1,2,3,4,5}очевидно подчиняется гипергеометрическому закону распределения вероятностей. В нашем случае N = 100, D = 10, n = 5. Вероятность того, что в выборке ровно d бракованных изделий равна

Заметим, что То есть вероятность того, что в выборке меньше двух бракованных изделий равна 0,923.
Далее, найдём

Замечание: Сравним полученные значения математического ожидания и дисперсии с соответствующими значениями (см. свойства гипергеометрического распределения):

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение вероятностей является самым распространённым распределением для дискретных случайных величин.
Итак, пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться, либо не появиться. И пусть, вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х – число появлений события А в этих испытаниях. Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины Х. Для её решения требуется определить возможные значения случайной величины Х и их вероятности.

Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, . . . , либо n раз. Таким образом, нетрудно записать возможные значения случайной величины Остаётся найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли (см. Лекцию 5):

Формула Бернулли и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей дискретной случайной величины, определяемое формулой Бернулли.
Запишем биномиальный закон в виде таблицы:

Свойства биномиального распределения:

Действительно: 

Пример №45

Имеется три станка, коэффициент использования по времени которых составляет 0,8. Определить вероятность того, что в середине рабочей смены при нормальных условиях производства из данных трёх станков будет работать не более двух.
 

Решение. Работа каждого станка – события независимые. Вероятность того, что станок будет работать равна р=0,8 (следовательно q=1-0,8=0,2). Пусть случайная величина Х — число одновременно работающих станков, то есть  Очевидно, что вероятности значений случайной величины Х подчиняются биномиальному закону распределения с параметрами р=0,8; q=0,2; n=3. Значит

Требуется определить вероятность По определению 

Распределение Пуассона (закон редких событий)

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k – появлений события А в этих испытаниях используют, как вам уже известно, формулу Бернулли. Однако, как быть если n велико, а вероятность р события А достаточно мала В таких случаях прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим своей задачей найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: пусть произведение np сохраняет постоянное значение, а именно . Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, то есть при различных значениях n, остаётся
неизменным. Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас
вероятности:

Приняв во внимание, что n имеет очень большое значение, вместо  найдём При этом будет найдено лишь приближённое значение отыскиваемой вероятности: n хотя и велико, но всё же конечно, а при отыскании предела мы устремим n к бесконечности.
Итак

В результате (для простоты записи знак приближённого равенства опущен) запишем закон распределения.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) редких (р мало) событий.

Таким образом, будем говорить, что дискретная случайная величина  принимающая счётное множество значений, подчиняется закону распределения Пуассона, если вероятности её возможных значений задаются выражением:

Свойства распределения Пуассона:

Действительно: 

3. если то из биномиального распределения следует закон распределения Пуассона.

Пример №46

Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут: а) три негодных изделия; б) не более трёх повреждённых изделия.
 

Решение: по условию n=5000, p=0,0002. Найдём
а) k = 3. Искомая вероятность по формуле Пуассона приближённо равна

б) Пусть случайная величина Х – число изделий, повреждённых в пути, то есть  Очевидно, что данная случайная величина распределена по биномиальному закону. Следовательно, искомую вероятность можно вычислить по формуле

Но, так как , то по свойству можем воспользоваться законом распределения Пуассона, то есть, можем записать:

Замечание. По формуле Пуассона можно вычислить вероятность того, что
число событий, происшедших за время t равно k , если события образуют пуассоновский поток, причём– интенсивность потока, то есть среднее число событий, которые появляются в единицу времени:

Пример №47

В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек, в течении которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?
 

Решение: Найдём, прежде всего, – среднее число вызовов за 1 секунду:

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Наиболее известным и часто применяемым в теории вероятностей законом является нормальный закон распределения или закон Гаусса9.
Главная особенность нормального закона распределения заключается в том, что он является предельным законом для других законов распределения. Будем говорить, что непрерывная случайная величина Х, принимающая значения , подчиняется нормальному
закону, если её плотность распределения (дифференциальная функция) имеет вид

Нетрудно видеть, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: Достаточно задать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Заметим, что для нормального распределения интегральная функция имеет вид:

Нормальное распределение было найдено впервые Муавром в 1733 г. в связи с исследованием предела биномиального распределения. Открытие прошло незамеченным; только в 1809 г. Гауссом и в 1812 г. Лапласом оно было снова открыто в связи с теорией ошибок наблюдений.

Существует известное замечание Липмана, гласящее, «каждый уверен в справедливости закона ошибок: экспериментаторы – потому, что они думают, что это математическая теорема, математики – потому, что они думают, что это экспериментальный факт». Отметим, что обе стороны совершенно правы, если только это их убеждение не слишком безусловно: при математическом доказательстве (см.центральную предельную теорему) утверждается, что при некоторых ограничениях вправе ожидать нормальное распределение, а статистический опыт показывает, что в действительности распределения являются часто приближённо нормальными. Поэтому, нормальному распределению уделяется большое внимание.

Покажем теперь, что вероятностный смысл параметров таков: а есть математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение (то есть нормального распределения:
а) по определению математического ожидания непрерывной случайной величины
имеем

значит 

Действительно, так как под знаком интеграла стоит нечётная функция, и пределы интегрирования
симметричны относительно начала координат;интеграл Пуассона.

Итак, математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.
б) по определению дисперсии непрерывной случайной величины и, учитывая, что  , можем записать

Интегрируя по частям, положивнайдём

Следовательно 

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру

В случае если нормальное распределение называют нормированным (или, стандартным нормальным) распределением. Тогда, очевидно, нормированная плотность (дифференциальная) и нормированная интегральная функция распределения запишутся соответственно в виде:

(Функция как вам известно, называется функцией Лапласа (см. ЛЕКЦИЮ5) или интегралом вероятностей. Обе функции, то есть табулированы и их значения записаны в соответствующих таблицах).
 

Свойства нормального распределения (свойства нормальной кривой):

1. Очевидно, функция на всей числовой прямой.
2. то есть нормальная кривая расположена над осью Ох.
3.  то есть ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.
4. Нормальная кривая симметрично относительно прямой х = а (соответственно график функции симметричен относительно оси Оу). Следовательно, можем записать:

5.

6. Легко показать, что точки являются точками перегиба нормальной кривой (доказать самостоятельно).

7. Очевидно, что

Но так как 

Кроме того , следовательно, все нечётные моменты равны нулю. Для чётных же моментов можем записать:

8.

9.

10.

11. При отрицательных значениях случайной величины 

12. 

13. Вероятность попадания случайной величины на участок, симметричный относительно центра распределения, равна:

Пример №48

Показать, что нормально распределённая случайная величина Х отклоняется от математического ожидания М(Х) не более чем на 
 

Решение. Для нормального распределения: . Далее, запишем:

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0, 0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможными. Итак, событие с вероятностью 0,9973 можно считать практически
достоверным, то есть случайная величина отклоняется от математического ожидания не более чем на.

Пример №49

Зная характеристики нормального распределения случайной величины Х – предела прочности стали: найти вероятность получения стали с пределом прочности от
 

Решение.

В этом состоит сущность так называемого правила трёх сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. На практике правило трёх сигм применяется так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведённом правиле, выполняется, то имеются все основания предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Показательное распределение (экспоненциальный закон распределения)

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается дифференциальной функцией (плотность распределения)

где — постоянная положительная величина.

Показательное распределение определяется одним параметром  . Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество, по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближённые значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два, или три и т.д.

Нетрудно записать интегральную функцию показательного распределения:

Мы определили показательное распределение при помощи дифференциальной функции; ясно, что его можно определить, пользуясь интегральной функцией.

Замечание: Рассмотрим непрерывную случайную величину Т – длительность времени безотказной работы изделия. Обозначим принимаемые её значения через t, . Интегральная функция распределения определяет вероятность отказа изделия за время длительностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время, длительностью t, то есть вероятность противоположного события , равна 

Применяется в теории надёжности для описания времени безотказной работы невосстанавливаемых изделий.

Функцией надёжности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы изделия (элемента) за время длительностью t. Если длительность времени безотказной работы изделия (элемента) имеет показательное распределение, то функция надёжности, в этом случае, запишется в видеТаким образом, показательным законом надёжности называют функцию надёжности, определяемую последним равенством, где — интенсивность отказов.

Свойства показательного распределения:

1. Математическое ожидание показательного распределения равно обратной
величине параметра Действительно,

2.Следовательно Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Пример №50

Пусть время, необходимое для ремонта станков, распределено по показательному (экспоненциальному) закону с параметром Определить вероятность того, что время ремонта одного станка меньше 6-и часов. Найти среднее время ремонта одного станка.
 

Решение. Т – время ремонта станка  Тогда можем записать 

Далее, так как среднее время ремонта – это М( Т ), то 

Среднее арифметическое, мода и медиана. Среднее квадратическое отклонение

Вероятно, Вы отлично знаете, что такое среднее арифметическое. Если мы имеем набор каких-то величин, и все они одной природы (усреднять килограммы с километрами мы, конечно, не можем), надо посчитать сумму, а затем, поделив ее на количество слагаемых, найти среднее арифметическое. Казалось бы, простое и хорошо знакомое действие, но и тут имеется несколько проблем для обсуждения. При знакомстве с некоторыми «показателями» поневоле вспоминается известная шутка о «средней температуре по больнице».

Пример №51

Допустим, фирма имеет две палатки, торгующие горячей выпечкой, которую они пекут на месте из полуфабрикатов. В таблице приводится примерная сводка ежедневной выручки каждой из палаток за неделю (в руб.).

Различие в ежедневной выручке в основном связано с расположением палаток. Палатка 1 находится в парке отдыха, в то время как Палатка 2 расположена напротив школы и вблизи проходной крупного НИИ.

Владелец фирмы решил выплачивать ежемесячную премию продавцам той палатки, которая даст в этом месяце большую выручку. При распределении премии выяснилась удивительная вещь: выигрыш в этом «соревновании» зависел только от количества выходных в месяце.

Не хотелось бы приводить большое количество цифр за весь месяц в целом, но и без этого видно, что если бы владельцу фирмы пришла в голову идея ежедневного премирования победителя какой-то фиксированной суммой, «Палатка выходного дня» могла бы рассчитывать на премии в два с половиной раза реже, хотя недельная выручка от нее больше.

В таких условиях более разумное соревнование могло бы быть основано на осреднении показателей за неделю. Допустим, недельные показатели практически совпали. Как оценить, какая из палаток полезнее для фирмы, если по каким-то причинам фирме необходимо продать одну из них?

Если выручка практически совпадает, владелец, по-видимому, поинтересуется стабильностью работы торговой точки. Вины продавцов в этом нет, но если оборудование работает два дня в неделю на износ, а в остальное время больше простоев, выход из строя такого оборудования более вероятен. Пусть в один (случайным образом выпавший) день в неделю идет сильный дождь, и на улицах мало прохожих, падение выручки особенно резко заметно, когда такой дождливый день совпадает с одним из выходных. Для сравнения можно представить спортсменов, которые имеют равные шансы выиграть, но один из них выступает ровнее. Скорее всего, именно он и будет принят в состав сборной.

Но вот еще один вопрос: а не делает ли эта самая нестабильная палатка работу фирмы в целом более стабильной, прекрасно дополняя работу палатки 2? Давайте выдвинем это утверждение в качестве гипотезы и попробуем его доказать или опровергнуть. Чтобы оценить эту проблему количественно, надо прежде всего просуммировать дневную выручку обеих палаток.

То, что мы описали общими словами как «нестабильность работы», в статистике называется характеристикой рассеивания. К ним относятся такие показатели как дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Покажем на предыдущем примере, как определяются эти понятия. Посчитаем сначала среднее арифметическое выручки для каждой палатки отдельно, и для обеих палаток вместе (осреднение проводим за семь дней):

Чтобы сравнить разброс значений, посчитаем для обеих палаток дневные отклонения выручки от их собственного среднего значения.

Чтобы измерить, насколько одна палатка «нестабильнее» другой, хочется сложить всю строку за неделю и получить общее отклонение за весь отчетный период. Но этого делать нельзя, мы сами так построили эти показатели, что, сложив, получим ноль (с точностью до погрешности округления — среднее арифметическое величина не обязательно целая). Чтобы избежать этого обнуления, нам надо, чтобы каждое отклонение от среднего арифметического «лишилось» своего знака. Для этого возводят каждую величину в квадрат, и лишь затем суммируют весь ряд значений.

Чтобы не зависеть от периода осреднения делят полученную сумму квадратов на число слагаемых (в нашем случае, по-прежнему на семь). Такая величина называется дисперсией.

Мы видим, что дисперсия действительно очень показательная величина. У «Палатки выходного дня» она выше более, чем в десять раз.

Дисперсию можно посчитать в Excel автоматически, даже не считая предварительно среднее арифметическое, программа сделает это сама. Для этого, находясь в файле Excel, нажмите в верхнем меню кнопку Затем, выберите среди функций тип «СТАТИСТИЧЕСКИЕ», и из предложенного перечня в окошке — ДИСПРА.

Затем, по подсказке, поставив курсор в поле «Число 1» проведите мышью вдоль строки с набранными значениями. Этот вид подсчета называется «вычисление смещенной дисперсии по генеральной совокупности». Дисперсией часто пользуются, но более удобная характеристика носит название среднее квадратическое отклонение (обычно обозначается греческой буквой омега.

Среднее квадратическое отклонение — это квадратный корень из дисперсии, он удобен тем, что имеет ту же размерность, что и исходные величины. Так, в нашем случае, дисперсия имела бы размерность «рубли в квадрате», в то время как среднее квадратическое отклонение получается просто и привычно, в рублях.

В нашем примере, видно, что суммарная дисперсия и среднее квадратическое отклонение у двух палаток вместе все-таки выше, чем у одной первой палатки, причем среднее квадратическое отклонение выше более, чем в два раза. Значит, наша гипотеза о «повышенной стабильности суммы» за счет присутствия второй палатки несостоятельна.

Иногда, вместо среднего арифметического употребляют другие характерные величины, если это по каким-то причинам лучше описывает выборку. Так если расставить выборку по возрастанию (или убыванию) той величины, которой мы интересуемся, то медиана — это то, что будет ровно посередине «строя». Например, если мы расположим по порядку длительности интервалы времени: секунда, минута, час, сутки и неделя — то медианой будет час. Еще одно понятие для замены среднего — мода. Само название позволяет легко запомнить это определение. Если мы выстроим по порядку все пары обуви на складе по размеру, то самый ходовой размер будет модой. Мода — это то, что непременно должны учитывать производители упаковок и фасовщики. Если бы большинство людей покупало за один раз стакан молока, молочные пакеты не были бы литровыми. В следующем параграфе мы начнем работать со случайными величинами, имеющими нормальное распределение, и эти понятия нам снова встретятся.

Случайные величины и их законы распределения

Понятие случайной величины. Функция распределения

Определение: Случайной величиной называется такая переменная величина, которая в результате проведения опыта может принять то или иное значение, неизвестное до проведения эксперимента.

Случайные величины принято обозначать заглавными, последними буквами латинского алфавита а значения, которые они могут принять обозначают аналогичными, но прописными буквами

Пример:

Являются ли случайными величинами следующие переменные величины: а) число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени; б) число электронов, вылетевших из нагретого катода за определенный промежуток времени; в) длина некоторой детали при массовом производстве (самостоятельно).

Решение:

Все случайные величины делятся на три группы: дискретные, смешанные и непрерывные. В Примере случаи а) и б) указывают на случайные дискретные величины, а случай в) — на случайную непрерывную величину.

Определение: Законом распределения случайной величины называется любое соотношение, с помощью которого устанавливается соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями некоторых событий, связанных определенным образом с этими возможными значениями. Закон распределения случайной величины может быть представлен аналитической формулой F(x); графиком, связывающим значения вероятности со значениями случайной величины; таблицей, которая устанавливает соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями.

Замечание: В определение закона распределения случайной величины входят слова «любое соотношение» — это означает, что таких соотношений может быть очень много. К числу универсальных форм закона распределения случайной величины относится функция распределения.

Определение: Функцией распределения F(х) случайной величины X называется вероятность события X<х, которое состоит в том, что случайная величина X обязательно примет значение заведомо меньшее, чем заданное значение х, т. е.

Пример:

Найти функцию распределения F(х) случайной величины X, которая представляет собой значение определенной грани кубика.

Решение:

Рассмотрим события, определяющие случайную дискретную величину X, и вероятности этих событий:

1) — данное событие является , так как на гранях кубика нет числа, которое было бы меньше единицы, а вероятность невозможного события равна нулю (см. Лекцию №7); отметим, что любое событие Х<В (при ) является невозможным событием, поэтому вероятность такого события равна нулю;

-данное событие является достоверным, так как в этом случае обязательно выпадет одно из чисел от 1 до 6, а вероятность достоверного события равна 1 (см. Лекцию №7);

для любого другого числа А (при ) событие X < А будет достоверным событием, следовательно, вероятность такого события будет равна единице.

Итак, функция распределения имеет вид

Построим график функции распределения (Рис. 6):

Рис. 6. График функции распределения для случайной дискретной величины.

Замечание: Случайная дискретная величина характеризуется функцией распределения, график которой имеет “ступенчатый» вид. Случайная непрерывная величина характеризуется функцией распределения, график которой имеет “непрерывный” вид.

Свойства функции распределения

Вышеприведенный Примере иллюстрирует основные свойства функции распределения случайной величины произвольной природы:

Действительно, если то событие включает в себя как событие так и событие (Рис. 7). Поэтому по теореме сложения вероятностей событий получаем: или

В силу положительности всех слагаемых получаем, что причем знак равенства имеет место только в том случае, когда

Рис. 7. Неубывание функции распределения.

Дифференциальная функция распределения и ее свойства

Для случайных непрерывных величин помимо функции распределения используется дифференциальная функция распределения.

Определение: Дифференциальной функцией распределения (плотностью вероятности) случайной непрерывной величины X называется первая производная от функции распределения, т.е.

Замечание: Из определения плотности вероятности следует, что функция распределения F(x) является первообразной для дифференциальной функции распределения f(х).

Рассмотрим свойства плотности вероятности:

Пример №52

Дифференциальная функция распределения случайной непрерывной величины X имеет вид Найти коэффициент А и вероятность того, что случайная величина X попадает в интервал (-1; 1).

Решение:

Для нахождения коэффициента А воспользуемся свойством 4 для плотности вероятности: Отсюда находим, что Воспользовавшись свойством 2, найдем интегральную функцию распределения:

Следовательно, вероятность того, что случайная величина X попадает в интервал (-1; 1), по свойству 6 для интегральной функции распределения, равна:

Законы распределения случайных величин

Для задания закона распределения случайной непрерывной величины определяют плотность вероятности:

1. Нормальный закон распределения — параметры распределения.

2. Закон Рэлея — параметр распределения.

3. Закон Максвелла — параметр распределения.

4. Закон Коши — параметры распределения.

5. Экспоненциальный закон распределения — параметр распределения.

6. Распределение “хи-квадрат — параметр распределения, — гамма-функция.

7. Закон Стьюдента — параметр распределения.

8. Закон равномерной плотности

В заключение этого пункта приведем некоторые законы распределения для случайной дискретной величины:

1. Гипергеометрическое распределение возникает, когда из некоторого множества, содержащего N элементов, из которых m благоприятствуют появлению дискретной величины, извлекают наудачу n элементов без возвращения их в множество. В этом случае вероятность того, что дискретная величина появится x раз, определяется по формуле .

2. Закон Бернулли

3. Закон Пуассона

4. Дифференциальный и интегральный законы распределения Муавра-Лапласа.

Числовые характеристики случайной величины

Полную характеристику случайной величины дает ее закон распределения (или функция распределения). Однако на практике зачастую требуется знать лишь некоторые ее параметры, которые определяют характер поведения изучаемой случайной величины. Такими числовыми характеристиками являются, например, математическое ожидание (параметр расположения центра тяжести распределения), дисперсия и средне-квадратичное отклонение (параметры рассеивания случайной величины относительно математического ожидания).

Математическое ожидание или среднее значение случайной величины

Термин «математическое ожидание» применяется в теории вероятностей, а термин ‘»среднее значение случайной величины» — в практических приложениях математической статистики.

Определение: Математическим ожиданием случайной величины называется центр тяжести распределения, который определяется по формуле:

-для случайной дискретной величины; -для случайной непрерывной величины.

Пример №53

Пусть в беспроигрышной лотереи участвует 100 билетов. Из них 40 дают выигрыш по 1 грн., 30 — по 2 грн., 20 — по 5 грн. и 10 — по 10 грн. Стоимость одного билета 5 грн. Определить математическое ожидание случайной дискретной величины X, которая определяет выигрыш на 1 билет.

Решение:

Составим таблицу распределения случайной дискретной величины X, которая определяет выигрыш на один билет:

По определению математическое ожидание будет равно:

(грн.) Лотерея выпущена на сумму грн., выплаты на выигрыш составляют грн., следовательно, чистая прибыль равна 500-300 = 200 грн.

Свойства математического ожидания

Рассмотрим свойства математического ожидания:

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой константе, т.е. .

Доказательство: Для случайной непрерывной величины

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

Доказательство: Для случайной дискретной величины:

3. Математическое ожидание от суммы двух случайных величин X и У равно сумме их математических ожиданий, т.е.

4. Объединяя свойства 2 и 3 математического ожидания, получаем

.

5. Математическое ожидание от произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

Определение: Центрированной случайной величиной называется разность между случайной величиной X и ее математическим ожиданием: .

6. Математическое ожидание центрированной случайной величины Хо равно нулю, т.е.

Доказательство: Используя свойства математического ожидания, получим:

Пример №54

Вычислить математическое ожидание от непрерывной случайной величины X, распределенной по экспоненциальному закону.

Решение:

Согласно определению математического ожидания имеем:

(первое выражение равно нулю, поэтому имеем) =

Дисперсия или рассеивание случайной величины

Рассеивание случайной величины относительно математического ожидания определяется дисперсией и средним квадратичным отклонением.

Определение: Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины

Замечание: Дисперсия случайной величины X является неотрицательной величиной.

Определение: Средне-квадратичным отклонением случайной величины X называется положительное число

Основные свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной (неслучайной) величины равна 0, т.е.

Доказательство: В силу того, что

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя этот множитель в квадрат, т.е.

Доказательство: По определению дисперсии имеем:

3. Дисперсия суммы двух случайных величин X и У равно сумме их дисперсий, т.е. .

4. Объединяя свойства 2 и 3 дисперсии, получаем

5. Дисперсия случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания, т.е.

Доказательство: Используя определение дисперсии и свойства математического ожидания, получим:

Пример №55

Распределение случайной величины X определяется плотностью вероятности Найти коэффициент а, математическое ожидание М[Х], дисперсию D[X] и среднее квадратичное отклонение

Решение:

Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством 4. для плотности вероятности: Отсюда находим, что Остальные параметры найдем согласно их определению:

Другие характеристики случайной величины

Иногда для практических расчетов требуется вычисление других числовых характеристик случайной величины. Определим эти параметры.

Определение: Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание k-ой степени этой величины, т.е.

Замечание: Из определения начального момента порядка k видно, что математическое ожидание случайной величины X является ее первым начальным моментом.

Определение: Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание k-ой степени центрированной случайной величины

Замечание: Из определения начального момента порядка k видно, что первый центральный момент любой случайной величины равен нулю, второй центральный момент равен дисперсии. Отметим также, что третий центральный момент используется в теории вероятностей для характеристики симметричности кривой плотности вероятности. Если то кривая плотности распределения симметрична относительно математического ожидания.

Замечание: Центральные и начальные моменты случайной величины X связаны между собой определенными соотношениями. В качестве примера рассмотрим случай, когда Отсюда получаем, что

Как решать случайные величины

Наряду со случайным событием одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Понятие случайной величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания может принять одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее учесть невозможно. Примеры случайной величины:

1. Число появлений герба при двукратном бросании монеты;
2. Время безотказной работы некоторого устройства. Нетрудно заметить, что в первом случае все возможные значения случайной величины могут быть перечислены заранее. Такими значениями являются 0, 1, 2.

Отметим, что эти значения отделены друг от друга промежутками, в которых нет других возможных значений этой случайной величины. Во втором случае перечислить все возможные значения случайной величины не представляется возможным, так как эти значения не отделены друг от друга и заполняют собой некоторый промежуток. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.

В связи с этим принято различать дискретные и непрерывные случайные величины. Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество ее значений является конечным, или бесконечным, но счетным. Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита – X, Y, Z, а их значения – соответствующими строчными буквами x, y, z. Например, случайная величина Х – число появлений герба при двукратном бросании монеты – может принять значения

Закон распределения случайной величины

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение: Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически или графически. Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, т.е.

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Отметим, что события состоящие в том, что в результате испытания случайная величина Х примет соответственно значения являются несовместными и единственно возможными, т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, т.е. Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а оси ординат – соответствующие им вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную линию, которую называют многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Пример №56

Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Составить закон распределения случайной величины Х – общего числа попаданий в мишень, если вероятность поражения мишени в одном выстреле для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,6.

Решение:

Очевидно, что возможные значения Х – 0, 1, 2. Пусть А1 – событие состоящее в том, что первый стрелок попадет в мишень, А2 – второй стрелок попадет в мишень. Тогда Записываем ряд распределения случайной величины Х. На рис. 4.1 полученный ряд распределения представлен графически в виде многоугольника (полигона) распределения вероятностей случайной величины Х. ◄

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. Так если случайная величина Х может принимать значения а случайная величина Y – значениято независимость случайных величин X и Y означает независимость событий В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Функция распределения случайной величины

Мы установили, что ряд распределения полностью характеризует дискретную случайную величину. Однако эта характеристика не является универсальной. Она существует только для дискретных величин. Для непрерывной величины ряд распределения построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, которые сплошь заполняют некоторый промежуток. Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения этой величины, невозможно. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для дискретной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины все-таки существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события Р(Х = х), состоящего в том, что случайная величина примет определенное значение х, а вероятностью события Р(Х <х), состоящего в том, что случайная величина примет значение меньшее х. Очевидно, что вероятность этого события зависит от х, т.е. является некоторой функцией от х.

Определение: Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: Функцию распределения называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Функция распределения допускает простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим случайную величину Х на оси Ох (рис. 4.2), которая в результате опыта может занять то или иное положение.

Пусть на оси выбрана точка, имеющая значение х. Тогда в результате опыта случайная величина Х может оказаться левее или правее точки х. Очевидно, вероятность того, что случайная величина Х окажется левее точки х, будет зависеть от положения точки х, т.е. являться функцией аргумента х. Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения функция распределения имеет вид где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значений xi, величина которых меньше х.

Пример №57

Дан ряд распределения случайной величины Х. Найти и изобразить графически ее функцию распределения.

Решение:

Будем задавать различные значения х и находить для них F(x) = = P(X < x). Запишем функцию распределения.

Изобразим функцию распределения графически (рис. 4.3). Заметим, что при подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение (про такую функцию говорят, что она непрерывна слева). Эти точки на графике выделены. ◄

Этот пример позволяет прийти к утверждению, что функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

Рассмотрим общие свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: 2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. 3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е. 4. Вероятность попадания случайной величины в интервалвключая равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.

Пример №58

Функция распределения случайной величины Х имеет вид: Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале [1; 3).

Решение:

Для непрерывных случайных величин справедливо следующее свойство: Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Поясним это свойство. До сих пор мы рассматривали испытания, сводившиеся к схеме случаев, и нулевой вероятностью обладали лишь невозможные события. Из приведенного свойства следует, что нулевой вероятностью могут обладать и возможные события. На первый взгляд этот вывод может показаться парадоксальным. Действительно, если, например, событие α ≤ Х ≤ β имеет отличную от нуля вероятность, то оказывается, что оно представляет собой сумму событий, состоящих в принятии случайной величиной Х любых конкретных значений на отрезке [α, β] и имеющих нулевую вероятность. Однако представления о событии, имеющем отличную от нуля вероятность, но складывающемся из событий с нулевой вероятностью, не более парадоксально, чем представление об отрезке, имеющем определенную длину, тогда как ни одна точка отрезка отличной от нуля длиной не обладает. Отрезок состоит из таких точек, но его длина не равна сумме их длин. Из этого свойства вытекает следующее следствие.

Следствие. Если Х – непрерывная случайная величина, то вероятность попадания этой величины в интервал не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым:

Плотность вероятности

Непрерывная случайная величина может быть задана не только с помощью функции распределения. Введем понятие п л о т н о с т и в е р о я т н о с т и непрерывной случайной величины. Рассмотрим вероятность попадания непрерывной случайной величины наинтервал Вероятность такого события т.е. равна приращению функции распределения F(х) на этом участке. Тогда вероятность, приходящаяся на единицу длины, т.е. средняя плотность вероятности на участке равна Переходя к пределу Δх → 0, получим плотность вероятности в точке х:

представляющую производную функции распределения F(х). Напомним, что для непрерывной случайной величины F(х) – дифференцируемая функция.

Определение: Плотностью вероятности (плотностью распределения) f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения

Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение с плотностью f(x) на определенном участке оси абсцисс.

Плотность вероятности f(x), как и функция распределения F(x) является одной из форм закона распределения. Но в отличие от функции распределения она существует только для н е п р е р ы в н ы х случайных величин.

Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения. График плотности вероятности называется кривой распределения.

Пример №59

По данным примера 4.3 найти плотность вероятности случайной величины Х.

Решение:

Будем находить плотность вероятности случайной величины как производную от ее функции распределения f(x) = F'(x). Отметим свойство плотности вероятности непрерывной случайной величины.

1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е. f(x) ≥ 0, (4.9) как производная монотонно неубывающей функции F(x).

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от

Геометрически вероятность попадания в интервал [α, β,] равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [α, β,] (рис.4.4).

3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражен через плотность вероятности по формуле: Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки х (рис. 4.5).

4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице: Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график – кривая распределения – лежит не ниже оси абсцисс, а полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Пример №60

Функция f(x) задана в виде:

Найти: а) значение А; б) выражение функции распределения F(х); в) вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке [0; 1].

Решение:

а) Для того, чтобы f(x) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, следовательно, неотрицательным должно быть и значение А. С учетом свойства 4 находим: б) Функцию распределения находим, используя свойство 3: Если x ≤ 0, то f(x) = 0 и, следовательно, F(x) = 0. Если 0 < x ≤ 2, то f(x) = х/2 и, следовательно, Если х > 2, то f(x) = 0 и, следовательно в) Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке [0; 1] находим, используя свойство 2:

Пример №61

Методом  произведений  вычислить  выборочную среднюю и выборочную дисперсию по данным выборки (табл. 3.1).

Решение. В качестве «ложного нуля» возьмем варианту 16. 
Следовательно 

Результаты вычислений сведем в табл. 3.2. 

Контроль: 273 = 100 + 46 + 127. 
Равенство  выполнено,  следовательно,  таблица  заполнена верно. 
Вычислим условные начальные моменты: 

Вычислим выборочную среднюю и выборочную дисперсию: 

Определим  исправленную  выборочную  дисперсию:

 и исправленное среднее квадратическое отклонение: 

Получим  несмещенные  оценки  для  математического  ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Точечные
оценки, рассмотренные в предыдущем
пункте, дают приближенное значение
истинной случайной величины, сама же
выборочная характеристика U
является случайной величиной.

С
некоторой вероятностью
(уровень значимости) случайные значения
величиныU
попадут в некоторый интервал вокруг
истинного значения
(рис. 3.1 а) :

.
(3.7)

Правомерна
и обратная постановка задачи: определить
интервал около вычисленной характеристики
U,
который накроет истинное значение
(рис. 3.1 б):

.

(3.8)

Рис.
3.1

Оценка,
которая определяется двумя числами –
концами интервала, покрывающего
оцениваемый параметр, называется
интервальной
оценкой.

Интервал
от
доимеет случайные концы и носит названиедоверительного
интервала,
а вероятностьназывается
доверительной вероятностью (или уровнем
доверия).

Один
конец интервала, определенный соотношением
,
называется нижней доверительной, другой
конец —— называется верхней доверительной
границей. Доверительные границы
определяют интервал, в котором с
достаточно высокой вероятностьюнаходится
значение.

Если
,
то величинабудет находиться в интервале отдо бесконечности с вероятностью:

.
(3.9)

Если
,
т.е.=0
, то величинабудет не больше,
или, другими словами, находится в
интервале от 0 дос вероятностью:

.
(3.10)

Выражения
(3.9) и (3.10) определяют односторонние
доверительные границы для характеристики
.
Односторонние доверительные границы
применяются в тех случаях, когда надо
убедиться, что одна случайная величина
строгобольше
другой (или строго меньше
другой).

Двусторонняя
доверительная вероятность
есть вероятность нахождения истинного
значениямежду нижней и верхней доверительной
границами:

.
(3.11)

Двусторонние
доверительные границы применяются в
тех случаях, когда при сравнении двух
случайных величин представляют одинаковый
интерес как положительные, так и
отрицательные разницы между изучаемыми
величинами.

Имеет
место соотношение:

.
(3.12)

В
частном случае, когда
,
уравнение (3.12) записывается в виде:

.
(3.13)

Величина
(ширина) доверительного интервала
характеризует точность выборочной
оценки исследуемой характеристики, а
именно, чем меньше эта величина, тем
точнее выборочная оценка. Доверительная
вероятность характеризует достоверность
полученной интервальной оценки.

3.3. Определение доверительных границ для различных законов распределения

Доверительные
границы определяются в зависимости от
вида закона распределения исследуемой
случайной величины.

Для
случая нормального
распределения
доверительные границы определяются по
критерию Стьюдента.
В соответствии с распределением Стьюдента
отклонение выборочной средней
от
математического ожиданияпри наличии выборки объемаn

равно:

.

(3.14)

Для
нижней доверительной границы
математического ожидания на основании
формулы (3.8) получаем:

.
(3.15)

Соответственно
для верхней доверительной границы
имеем:

,
(3.16)

где
—
выборочное среднеквадратическое
отклонение (3.4). В формулах (3.15) и (3.16)—
коэффициенты Стьюдента, помещенные в
табл. П.8. Вход в таблицу производится
по значению двухсторонней вероятностии
величине степени свободыk=n-1.
Например, имеется статистический
материал с

n=25
и принято
=0,95.
По таблице дляк=24
и заданного
определяем=2,064.
По выборке определяемпо формуле (3.1), несмещенную дисперсию
по формуле (3.3) и среднеквадратическое
отклонениепо
формуле (3.4). Окончательно по формулам
(3.15) и (3.16) определяем нижнюю и верхнюю
доверительные границы. Иногда в случае
нормального распределения необходимо
знать не только доверительные границы
математического ожидания, но и
доверительные границы среднеквадратического
отклонения. Нижняя и верхняя границы
значения среднеквадратического
отклонения соответственно равны:

;
(3.17)

.
(3.18)

Коэффициенты
иопределяются
по табл. П.9, вход в которую производится
по величине доверительной вероятностии
числу степеней свободыk=n-1
Для экспоненциального
распределения
с параметром распределения
,
который равен обратной величине
математического ожидания, его опытное
значение равно:

,
(3.19)

где

— значение случайной величины в выборке
объемомn
.

Доверительные границы
параметра λ находятся по формулам:

;
(3.20)

,
(3.21)

где
значения величин
иопределяются по табл. П.10 а и П.10 б, вход
в которые производится по доверительной
вероятностии
числуm,
означающему,
например, число испытаний, при каждом
из которых произошел отказ, или число
отказов при заданном числе испытаний.
Во втором случае определяется вероятность
отказа и ее доверительные границы.

Так,
если при n
одинаковых
опытах с
невосстанавливаемыми изделиями получено
m
отказов, то
нижняя и верхняя границы вероятности
отказов будут равны:

;
(3.22)

,
(3.23)

где
r₁
и r₂
определяются по табл. П.10 а и П.10 б.

Если
случайная величина x
имеет
распределение Вейбулла с параметрами
a
и b,
то, как это
было показано в п. 1.23, закон распределения
имеет вид:

.

Сравнивая
эту формулу с формулой для экспоненциального
распределения (1.9), можно заметить, что
случайная величинаимеет
экспоненциальное распределение с
параметром.

Зная
из эксперимента значения,
можно определитьпо формуле (3.1) ипо
формуле (3.4). По величине коэффициента
вариациииз
табл. П.4 определяем величиныв
и

.

По
значению параметра в
определяем значения
:

.

По
аналогии с формулой (3.19) для экспоненциального
распределения среднее значение
равно :

,
(3.24)

откуда

. (3.25)

Так
как для распределения Вейбулла
,
то

.
(3.26)

Учитывая,
что
и
учитывая выражения (3.20) и (3.21) для нижней
и верхней доверительных границ для,
получаем:

;
(3.27)

,
(3.28)

где
икак и для экспоненциального распределения
определяются по табл. П.10 а и П.10 б.

Если
случайная величина t
имеет
гамма-распределение,
то для плотности вероятностей в форме
(1.20) параметрами этого распределения
являются
иm,
причем m
известно, а
определяется из опыта.

Выборочная средняя
равна

.
(3.29)

Среднеквадратическое
отклонение величины
равно:

.
(3.30)

Распределение
величины
приближенно нормальное, поэтому для
доверительных границ можно записать
выражения:

;
(3.31)

,
(3.32)

где
— квантили нормального распределения,
определяемые по табл. П.3.

Для
неизвестного параметра
справедливы соотношения:

;
(3.33)

;
(3.34)

,
(3.35)

где
величина
определяется по табл. П.3.

Для
случая логарифмически-нормального
распределения (1.2.5) приближенно можно
записать
и,
тогда формула для логарифма математического
ожидания исходной случайной величиныy
имеет вид:

.
(3.36)

Приближенно
можно считать, что
распределен
нормально, тогда для доверительных
границ можно записать:

;
(3.37)

,
(3.38)

где
величина
определяется по табл. П.3.

Соседние файлы в папке ВСМЭ

• #
• #

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины

, плотность которого имеет вид:

где

 –
математическое ожидание,

 –
среднее квадратическое отклонение

.

Вероятность того, что

 примет
значение, принадлежащее интервалу

:

где  

 – функция Лапласа:

Вероятность того, что абсолютная
величина отклонения меньше положительного числа

:

В частности, при

 справедливо
равенство:

Асимметрия, эксцесс,
мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

,  где

Правило трех сигм

Преобразуем формулу:

Положив

. В итоге получим

если

, и, следовательно,

, то

то есть вероятность того, что
отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонение, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того,
что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна
0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие
события исходя из принципа невозможности маловероятных
событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит
сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то
абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит
утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм
применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но
условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание
предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае
она не распределена нормально.

Смежные темы решебника:

• Таблица значений функции Лапласа
• Непрерывная случайная величина
• Показательный закон распределения случайной величины
• Равномерный закон распределения случайной величины

Пример 2

Ошибка
высотометра распределена нормально с математическим ожиданием 20 мм и средним
квадратичным отклонением 10 мм.

а) Найти
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего ее значения не превзойдет 5
мм по абсолютной величине.

б) Какова
вероятность, что из 4 измерений два попадут в указанный интервал, а 2 – не
превысят 15 мм?

в)
Сформулируйте правило трех сигм для данной случайной величины и изобразите
схематично функции плотности вероятностей и распределения.

Решение

а) Вероятность того, что случайная величина, распределенная по
нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину

:

В нашем
случае получаем:

б) Найдем
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего значения не превзойдет 15
мм:

Пусть событие

 – ошибки 2
измерений не превзойдут 5 мм и ошибки 2 измерений не превзойдут 0,8664 мм

 – ошибка не
превзошла 5 мм;

 – ошибка не
превзошла 15 мм

в)
Для заданной нормальной величины получаем следующее правило трех сигм:

Ошибка высотометра будет лежать в интервале:

Функция плотности вероятностей:

График плотности распределения нормально распределенной случайной величины

Функция распределения:

График функции
распределения нормально распределенной случайной величины

Задача 1

Среднее
количество осадков за июнь 19 см. Среднеквадратическое отклонение количества
осадков 5 см. Предполагая, что количество осадков нормально-распределенная
случайная величина найти вероятность того, что будет не менее 13 см осадков.
Какой уровень превзойдет количество осадков с вероятностью 0,95?

---

Задача 2

Найти
закон распределения среднего арифметического девяти измерений нормальной
случайной величины с параметрами m=1.0 σ=3.0. Чему равна вероятность того, что
модуль разности между средним арифметическим и математическим ожиданием
превысит 0,5?

Указание:
воспользоваться таблицами нормального распределения (функции Лапласа).

---

Задача 3

Отклонение
напряжения в сети переменного тока описывается нормальным законом
распределения. Дисперсия составляет 20 В. Какова вероятность при изменении
выйти за пределы требуемых 10% (22 В).

---

Задача 4

Автомат
штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально
с математическим ожиданием (проектная длинна), равная 50 мм. Фактическая длина
изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что
длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

---

Задача 5

Случайная
величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10и средним
квадратическим отклонением  σ=5. Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с
вероятностью 0,9973 попадает величина Х в результате испытания.

---

Задача 6

Заданы
математическое ожидание a_x=19 и среднее квадратическое отклонение σ=4
нормально распределенной случайной величины X. Найти: 1) вероятность
того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α=15;
β=19); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения значения
величины от математического ожидания окажется меньше δ=18.

---

Задача 7

Диаметр
выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с
математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 10 см и 0,16 см².
Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от
математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

---

Задача 8

Ошибка
прогноза температуры воздуха есть случайная величина с m=0,σ=2℃. Найти вероятность
того, что в течение недели ошибка прогноза трижды превысит по абсолютной
величине 4℃.

---

Задача 9

Непрерывная
случайная величина X распределена по нормальному 
закону: X∈N(a,σ).

а) Написать
плотность распределения вероятностей и функцию распределения.

б) Найти
вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение
из интервала (α,β).

в) Определить
приближенно минимальное и максимальное значения случайной величины X.

г) Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания a, в котором с
вероятностью 0,98 будут заключены значения X.

a=5; σ=1.3; 
α=4; β=6

---

Задача 10

Производится измерение вала без
систематических ошибок. Случайные ошибки измерения X
подчинены нормальному закону с σ_x=10.  Найти вероятность того, что измерение будет
произведено с ошибкой, превышающей по абсолютной величине 15 мм.

---

Задача 11

Высота
стебля озимой пшеницы — случайная величина, распределенная по нормальному закону
с параметрами a = 75 см, σ = 1 см. Найти вероятность того, что высота стебля:
а) окажется от 72 до 80 см; б) отклонится от среднего не более чем на 0,5 см.

---

Задача 12

Деталь,
изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого
размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей
характеризуется средним квадратическим отклонением, при данной технологии
равным 5 мм.

а)
Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная
случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых автоматом.

б) Какой
должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до
98?

в)
Написать выражение для функции плотности вероятности и распределения случайной
величины.

---

Задача 13

Диаметр
детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по
нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 см, а математическое ожидание –
2,5 см. Найдите границы, симметричные относительно математического ожидания, в
которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали. Какова
вероятность того, что в серии из 1000 испытаний размер диаметра двух деталей
выйдет за найденные границы?

---

Задача 14

Предприятие
производит детали, размер которых распределен по нормальному закону с
математическим ожиданием 20 см и стандартным отклонением 2 см. Деталь будет
забракована, если ее размер отклонится от среднего (математического ожидания)
более, чем на 2 стандартных отклонения. Наугад выбрали две детали. Какова вероятность
того, что хотя бы одна из них будет забракована?

---

Задача 15

Диаметры
деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d=14 мм
, среднее квадратическое
отклонение σ=2 мм
. Найти вероятность того,
что диаметр наудачу взятой детали будет больше α=15 мм и не меньше β=19 мм; вероятность того, что диаметр детали
отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ=1,5 мм.

---

Задача 16

В
электропечи установлена термопара, показывающая температуру с некоторой
ошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим
ожиданием и средним квадратическим отклонением σ=10℃. В момент когда термопара
покажет температуру не ниже 600℃, печь автоматически отключается. Найти
вероятность того, что печь отключается при температуре не превышающей 540℃ (то
есть ошибка будет не меньше 30℃).

---

Задача 17

Длина
детали представляет собой нормальную случайную величину с математическим
ожиданием 40 мм и среднеквадратическим отклонением 3 мм. Найти:

а)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали будет больше 34 мм и меньше 43
мм;

б)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали отклонится от ее
математического ожидания не более, чем на 1,5 мм.

---

Задача 18

Случайное
отклонение размера детали от номинала распределены нормально. Математическое
ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно
0,25 мм, стандартами считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и
200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась
и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько
повысился процент бракованных деталей?

---

Задача 19

Случайная
величина X~N(1,2²). Найти P{2

---

Задача 20

Заряд пороха для охотничьего ружья
должен составлять 2,3 г. Заряд отвешивается на весах, имеющих ошибку
взвешивания, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим
отклонением, равным 0,2 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально
допустимый вес заряда составляет 2,8 г.

---

Задача 21

Заряд
охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднеквадратическую ошибку
взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить
вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового
заряда 2,5 г.

---

Задача 21

Найти
вероятность попадания снарядов в интервал (α₁=10.7; α₂=11.2).
Если случайная величина X распределена по
нормальному закону с параметрами m=11; 
σ=0.2.

---

Задача 22

Плотность
вероятности распределения случайной величины имеет вид

Найти
вероятность того, что из 3 независимых случайных величин, распределенных по
данному закону, 3 окажутся на интервале (-∞;5).

---

Задача 23

Непрерывная
случайная величина имеет нормальное распределение. Её математическое ожидание
равно 12, среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность того, что
в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (8,14)

---

Задача 24

Вероятность
попадания нормально распределенной случайной величины с математическим
ожиданием m=4 в интервал (3;5) равна 0,6. Найти дисперсию данной случайной
величины.

---

Задача 25

В
нормально распределенной совокупности 17% значений случайной величины X
 меньше 13% и 47% значений случайной величины X
больше 19%. Найти параметры этой совокупности.

---

Задача 26

Студенты
мужского пола образовательного учреждения были обследованы на предмет
физических характеристик и обнаружили, что средний рост составляет 182 см, со
стандартным отклонением 6 см. Предполагая нормальное распределение для роста,
найдите вероятность того, что конкретный студент-мужчина имеет рост более 185
см.

ЛЕКЦИЯ 9

ТЕМА: ЗАКОНЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ

1.     
Равномерный закон распределения.

2.     
Нормальный закон распределения.

2.1.
Интегральная и дифференциальная функции
распределения. Вероятность попадания в
заданный интервал.

2.2.
Вычисление вероятности заданного
отклонения.

2.3.
Правило трех сигм.

3.     
Показательный закон распределения.

3.1.
Интегральная и дифференциальная функции
распределения.

3.2.
Числовые характеристики.

3.3.
Функция надежности.

   
 

1.     
Равномерный
закон распределения.

На
практике встречаются случайные величины, о
которых заранее известно, что они могут
принять какое-либо значение в строго
определенных границах, причем в этих
границах все значения случайной величины
имеют одинаковую вероятность (обладают
одной и той же плотностью вероятностей).

Например,
при поломке часов остановившаяся минутная
стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью
вероятности) показывать время, прошедшее от
начала данного часа до поломки часов. Это
время является случайной величиной,
принимающей с одинаковой плотностью вероят­ности
значения, которые не выходят за границы,
определенные продолжительностью одного
часа. К подобным случайным величинам
относится также и погрешность округления.
Про такие величины говорят, что они
распределены равномерно, т. е. имеют
равномерное распределение.

Определение.
Непрерывная случайная величина Х имеет
равномерное распределение на отрезке [а,
в], если на этом
отрезке плотность распределения
вероятности случайной величины постоянна,
т. е. если дифференциальная функция
распределения f(х)
имеет следующий вид:

Иногда
это распределение называют законом
равномерной плотности. Про величину,
которая имеет равномерное распределение на
некотором отрезке, будем говорить, что она
распределена равномерно на этом отрезке.

Найдем
значение постоянной с. Так как площадь,
ограниченная кривой распределения и осью Ох,
равна 1, то

откуда
с=1/(b—a).

Теперь
функцию f(x)
можно представить в виде

 

Построим
функцию распределения F(x), для чего найдем выражение F(x)
на интервале [a, b]:

Графики
функций f(x)
и F(x)
имеют вид:

Найдем
числовые характеристики.

Используя
формулу для вычисления математического
ожидания НСВ, имеем:

Таким
образом, математическое ожидание случайной
вели­чины, равномерно распределенной на
отрезке [a, b]
совпадает с серединой этого отрезка.

Найдем
дисперсию равномерно распределенной
случайной величины:

откуда
сразу же следует, что среднее
квадратическое отклонение:

Найдем
теперь вероятность попадания значения
случайной величины, имеющей равномерное
распределение, на интервал (a,b),
принадлежащий целиком
отрезку [a,
b]:

Геометрически
эта вероятность представляет 
собой  площадь
заштрихованного прямоугольника. Числа а
и b называются параметрами
распределения и однозначно
определяют равномерное распределение.

Пример1.
Автобусы некоторого маршрута идут строго
по расписанию. Интервал движения 5 минут.
Найти вероятность того, что пассажир,
подошедший к остановке. Будет ожидать
очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

СВ-
время ожидания автобуса имеет равномерное
распределение. Тогда искомая вероятность
будет равна:

Пример2.
Ребро куба х измерено приближенно. Причем

 

Рассматривая
ребро куба как случайную величину,
распределенную равномерно в интервале (a,
b),
найти математическое ожидание и дисперсию
объема куба.

Решение:

Объем
куба- случайная величина, определяемая
выражением У= Х³. Тогда математическое
ожидание равно:

Дисперсия:

 

2.
Нормальный закон  распределения.

2.1.Интегральная
и дифференциальная функции распределения.
Вероятность попадания в заданный интервал.

Одним
из наиболее часто встречающихся
распределений является нормальное
распределение. Оно играет большую роль в
теории вероятностей и занимает среди
других распределений особое положение.
Нормальный закон распределения является
предельным законом, к которому
приближаются другие законы распределения
при часто встречающихся аналогичных
условиях.

Если
предоставляется возможность рассматривать
некоторую случайную величину как сумму
достаточно большого числа других случайных
величин, то данная случайная величина
обычно подчиняется нормальному закону
распределения. Суммируемые случайные
величины могут подчиняться каким угодно
распределениям, но при этом должно
выполняться условие их независимости (или
слабой зависимости). При соблюдении
некоторых не очень жестких условий
указанная сумма случайных величин
подчиняется приближенно нормальному
закону распределения и тем точнее, чем
большее количество величин суммируется.

Ни
одна из суммируемых случайных величин не
должна резко отличаться от других, т. е.
каждая из них должна играть в общей сумме
примерно одинаковую роль и не иметь
исключительно большую по сравнению с
другими величинами дисперсию.

Для
примера рассмотрим изготовление некоторой
детали на станке-автомате. Размеры
изготовленных деталей несколько
отличаются от требуемых. Это отклонение
размеров от стандарта вызывается
различными причинами, которые более или
менее независимы друг от друга. К ним могут
относиться:

неравномерный
режим обработки детали; неоднородность
обрабатываемого материала; неточность
установки заготовки в станке; износ
режущего инструмента и деталей станков;

упругие
деформаций узлов станка; состояние
микроклимата в цехе; колебание напряжения в
электросети и т. д. Каждая из перечисленных
и подобных им причин влияет на отклонение
размера изготовляемой детали от стандарта.
Таким образом, общее отклонение размера,
фиксируемое измерительным прибором,
является суммой большего числа отклонений,
обусловленных различными причинами. Если
ни одна из этих причин не является
доминирующей, то суммарное отклонение
является случайной величиной, имеющей
нормальный закон распределения.

Так
как нормальному закону подчиняются только
непрерывные случайные величины, то это
распределение можно задать в виде
плотности распределения вероятности.

Определение:
Непрерывная случайная величина Х имеет
нормальное распределение (распределена по
нормальному закону), если плотность
распределения вероятности f(x) имеет вид

где
а
и s—некоторые
постоянные, называемые параметрами
нормального распределения.

Функция
распределения F(x) в
рассматриваемом случае принимает вид

Параметр
а— есть
математическое ожидание НСВХ, имеющей
нормальное распределение, s —
среднее квадратическое
отклонение, тогда дисперсия равна

 Выясним геометрический смысл
параметров распределения а
и s.
Для этого исследуем
поведение функции f(x).
График функции f(x)
называется нормальной кривой.

Рассмотрим
свойства функции f(x):

1°.
Областью определения функции f(x)
является вся числовая ось.

2°.
Функция f{x)
может принимать только положительные
значения, т. е. f(x}>0.

3°.
Предел функции f(x) при
неограниченном возрастании |х| равен нулю,
т. е. ось ОХ является горизонтальной
асимптотой графика функции.

     
4°. Функция f{x)
имеет в точке х =
a  максимум,
равный

5°.
График функции f(x)
симметричен относительно прямой х =
а.

6°.
Нормальная кривая в точках х = а
+s 
имеет перегиб,

 

На
основании доказанных свойств построим
график плотности нормального
распределения f(x).

Использование
формул  f(x)
и F(x)
для практических расчетов затруднительно.
Но решение задач по этим 
формулам  можно
упростить, если от нормального
распределения с произвольными параметрами а и s
перейти 
к нормальному распределению с
параметрами а=0, s

= 1.

Функция
плотности нормального распределения f(x)
с параметрами а=0, s 
=1 называется плотностью
стандартной нормальной
случайной величины и ее график имеет вид:

Функция
плотности и интегральная функция
стандартной нормальной СВ будут иметь вид:

Для
вычисления вероятности попадания СВ в
интервал (a,
b) воспользуемся
функцией    Лапласа:

Перейдем
к стандартной нормальной случайной
величине

 

 

Тогда

Значения
функции Ф(u) необходимо взять из таблицы
приложений «Таблица значений функции Ф(х)»
.

Пример.
Случайная величина Х распределена по нормальному
закону. Математическое
ожидание и среднее квадратическое
отклонение этой величины соответственно
равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х
примет значение, принадлежащее интервалу
(10, 50).

Решение:

 По
условию:a  =10,
b=50, а=30,
s =10,
следовательно,

По
таблице  находим Ф
(2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность:

Р(10
< Х < 50) =2×0,4772=0,9544.

2.2.
Вычисление вероятности заданного
отклонения

Часто
требуется вычислить вероятность того, что
отклонение нормально распределенной
случайной вели­чины Х
по абсолютной величине меньше заданного
положительного числа d,
т. е. требуется найти
вероятность осуществления неравенства  |x
—а|<d.

Заменим
это неравенство равносильным ему двойным
неравенством

Тогда
получим:

Приняв
во внимание равенство:

(функция
Лапласа—нечетная), окончательно
имеем

Вероятность
заданного отклонения равна

На
рисунке наглядно показано, что если две
случайные величины нормально распределены
и а
= 0, то вероятность
принять значение, принадлежащее интервалу (-d,d),больше у
той величины, которая имеет меньшее
значение d.
Этот факт полностью
соответствует вероятностному смыслу
параметра s
.

Пример.
Случайная величина Х
распределена нормально. Математическое
ожидание и среднее квадратическое
отклонение Х соответственно равны 20 и 10. Найти
вероятность того, что отклонение по
абсолютной величине будет меньше трех.

Решение:
Воспользуемся
формулой

 

 По
условию ,

тогда

2.3.
Правило трех сигм

                               

Преобразуем
формулу   

 

 

Введем
обозначение

Тогда
получим:

 

Если
t=3,
то

т.
е. вероятность того, что отклонение по
абсолютной величине будет меньше
утроенного среднего квадратического
отклонения, равна 0,9973.

Другими
словами, вероятность того, что абсолютная
величина отклонения превысит утроенное
среднее квадратическое отклонение, очень
мала, а именно равна  0,0027=1-0,9973.
Это означает, что лишь в 0,27% случаев так
может произойти. Такие события, исходя из
принципа невозможности маловероятных
событий можно считать практически
невозможными. В этом и состоит сущность
правила трех сигм:

Если случайная величина
распределена нормально, то абсолютная
величина ее отклонения от математиче­ского
ожидания не превосходит утроенного
среднего квадратического отклонения.

На
практике правило трех сигм применяют так:
если распределение изучаемой случайной
величины неизвестно, но условие, указанное
в приведенном правиле, выполняется, то есть
основание предполагать, что изучаемая
величина распределена нормально; в
противном случае она не распределена
нормально.

3.     
Показательное
распределение.

3.1. 
Интегральная и дифференциальная
функции распределения.

Определение:
Непрерывная случайная величина X, функция
плотности которой задается выражением

называется случайной
величиной, имеющей показательное, или
экспоненциальное, распределение.

Величина
срока службы различных устройств и времени
безотказной работы отдельных элементов
этих устройств при выполнении определенных
условий обычно подчиняется показательному
распределению. Другими словами, величина
промежутка времени между появлениями двух
последовательных редких событий
подчиняется зачастую показательному
распределению.

Как
видно из формулы , показательное
распределение определяется только одним
параметром m.

Найдем
функцию распределения показательного
закона, используя свойства
дифференциальной функции распределения:

Графики
дифференциальной и интегральной функций
показательного распределения имеют вид:

3.2.
Числовые характеристики.

Используя
формулы для вычисления математического
ожидания, дисперсии и среднего
квадратического отклонения нетрудно
убедится, что для показательного
распределения

 

 .

Таким
образом, для показательного распределения
характерно, что среднее квадратическое
отклонение численно равно математическому
ожиданию.

Найдем
вероятность попадания СВ в интервал (a,b):

3.3.
Функция надежности.

Пусть
некоторое устройство начинает работать в
момент времени t₀
= 0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим
через Т НСВ — длительность времени
безотказной работы устройства. Если
устройство проработало безотказно время
меньшее t,
то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ. Тогда
функция распределения F(t)=P(T<t)=1- e^—mt определяет
вероятность отказа устройства за время t.

Найдем
вероятность противоположного события-
безотказной работы за время t:

.

Функция
R(t)
называется функцией надежности.

Выясним
смысл числовых характеристик и параметра
распределения.

Математическое
ожидание — это среднее время между двумя
ближайшими отказами устройства, а величина
обратная математическому ожиданию
(параметр распределения)- интенсивность
отказов, т.е. количество отказов в единицу
времени.

Пример.
Время безотказной работы устройства
распределено по закону

 

Найти
среднее время безотказной работы
устройства, вероятность того, что
устройство не откажет за среднее время
безотказной работы. Найти вероятность
отказа за время t= 100
часов.

Решение:

По
условию интенсивность отказов m
=0,02. Тогда
среднее время между двумя отказами, т.е.
математическое ожидание М(Х)=1/0,02=50часов.
Вероятность безотказной работы за этот
промежуток времени вычислим по функции
надежности:

По
функции F(t)
вычислим вероятность отказа за время t
=100
часов:

Контрольные
вопросы.

1.     
Сформулировать равномерный закон
распределения. Записать дифференциальную и
интегральную функции.

2.     
Записать формулы для вычисления
числовых характеристик равномерно
распределенной случайной величины.

3.     
Сформулировать нормальный закон
распределения. Записать дифференциальную и
интегральную функции.

4.     
Описать свойства дифференциальной
функции нормально распределенной
случайной величины. Пояснить
геометрический смысл параметров
нормального распределения.

5.     
При каких значениях параметров функция
плотности нормального распределения
называется плотностью стандартной
нормальной случайной величины?

6.     
Записать формулу для вычисления
вероятности отклонения нормально
распределенной СВ от математического
ожидания.

7.     
Сформулировать правило трех сигм и
пояснить его суть.

8.     
Сформулировать показательный закон
распределения. Записать дифференциальную и
интегральную функции.

9.     
Каков смысл параметра показательного
распределения, если в качестве СВ
рассматривать время безотказной работы
устройства? Какими выражениями параметр
распределения связан с числовыми
характеристиками?

10. 
Вероятность какого события определяет
функция надежности?

Содержание:

1. Случайные величины и методы и алгоритмы их решения
2. Важнейшие законы распределения вероятностей
3. Биномиальный закон распределения
4. Закон распределения Пуассона
5. Геометрическое распределение
6. Гипергеометрическое распределение
7. Равномерный закон распределения
8. Показательный закон распределения
9. Нормальный закон распределения
10. Функции случайного аргумента. Законы распределения и их числовые характеристики
11. Характеристические функции
12. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема
13. Неравенства Чебышева
14. Теорема Хинчина
15. Теорема Маркова
16. Теорема Бернулли
17. Центральная предельная теорема
18. Теорема Ляпунова
19. Системы случайных величин
20. Числовые характеристики системы случайных величин
21. Функции нескольких случайных аргументов
22. Некоторые распределения случайных величин, которые используются в математической статистике
23. Всё о случайных величинах
24. Числовые характеристики случайных величин
25. Свойства математического ожидания
26. Свойства дисперсии
27. Основные распределения
28. Дискретные распределения
29. Абсолютно непрерывные распределения
30. Функция распределения
31. Законы распределения
32. Непрерывные случайные величины
33. Числовые характеристики случайных величин
34. Числовые характеристики некоторых распределений
35. Равномерное, показательное, нормальное распределения
36. Предельные теоремы теории вероятностей
37. Лемма Чебышева
38. Теорема Чебышева
39. Следствие из теоремы Чебышева
40. Теорема Бернулли
41. Двумерная случайная величина
42. Закон распределения вероятностей
43. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства
44. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
45. Условные законы распределения составляющих систем дискретных и непрерывных случайных величин
46. Зависимые и независимые случайные величины
47. Числовые характеристики двумерной случайной величины
48. Числовые характеристики двумерной случайной величины
49. Условные числовые характеристики двумерной случайной величины
50. Случай дискретной случайной величины
51. Случай непрерывной случайной величины
52. Приложение к теме: Случайные велечины
53. Свойства функции распределения
54. Дискретные случайные величины
55. Рассмотрим примеры с решением дискретных случайных величин.
56. Системы дискретных случайных величин

Случайная величина – это величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, заранее не известно, какое именно.

Современная теория вероятностей предпочитает, где только возможно, оперировать не случайными событиями, а случайными величинами, для которых был разработан более гибкий и универсальный математический аппарат.

Случайные величины и методы и алгоритмы их решения

Законы распределения и числовые характеристики случайных величин:

Случайной называется величина, которая может приобретать разные числовые значения. Более строгое определение случайной величины связано с понятием пространства  элементарных событий. Пусть задано пространство элементарных событий Однозначная числовая функция  заданная в пространстве элементарных событий, называется случайной величиной. Если пространство  дискретное, то случайная величина дискретная. непрерывному пространству элементарных событий соответствует непрерывная случайная величина.

Соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями называется  законом распределения случайной величины.

Для дискретных случайных величин законы распределения могут задаваться множеством значений, которые приобретает случайная величина, и вероятностями этих значений.

Если  или если величина принимает счетное множество значений, то 

Законы распределения дискретных случайных величин задаются в табличной форме (представляются значения случайной величины), графической (в прямоугольной системе координат задается набор точек соединив точки отрезками прямых, получим многоугольник распределения вероятностей). Универсальным способом задания закона распределения вероятностей является функция распределения. Для дискретных величин 

Функция распределения — убывающая, непрерывная слева, Для произвольных и 

Если — непрерывная случайная величина. то  — непрерывная и дифференцированная; ее производная  называется плотностью распределения вероятностей. При этом  — неотрицательная функция, для которой 

Математическим ожиданием, или средним значением  случайной величины, называется ряд (для дискретных случайных величин) и интеграл  (для непрерывных случайных величин), если они абсолютно совпадают. Математическое ожидание имеет такие свойства:

(  — постоянная);

 если  и  — независимые случайные величины.

Дисперсия (обозначается через ) случайной величины  определяется по формуле:

Основные свойства дисперсии:

 если случайные величины независимые.

Средним квадратическим отклонением (обозначается буквой ) является квадратный корень из дисперсии.

Если от случайной величины отнимем ее математическое ожидание, то получим центрованную случайную величину, математическое ожидание которой равно нулю. Деление случайной величины на ее среднее квадратическое отклонение называется нормированием этой случайной величины. 

Случайная величина  имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

Начальный, центральный и абсолютный начальный моменты порядка   случайной величины  определяют соответственно по таким формулам:

Если есть начальный абсолютный момент порядка то существуют все моменты нижних порядков.

Медианой случайной величины  является любой корень уравнения 

Мода дискретной величины  — это такое ее значение, вероятность которого наибольшая.

Модой непрерывного распределения является значение случайной величины, при котором плотность распределения максимальна.

Асимметрия случайной величины определяется по формуле:

Эксцесс случайной величины вычисляют по формуле:

Примеры решения задач

Пример 1. Имеем 4 заготовки для изготовления деталей. Вероятность изготовления пригодной детали равна 0,75. Найти закон распределения случайной величины  — количество заготовок, которые будут использованы для изготовления пригодной детали. Найти и  а также вероятность того, что из этих заготовок будет изготовлена стандартная деталь.

Решение. Представим закон распределения для случайной величины  в табличной форме. Очевидно, что случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4. Значение  будет тогда, когда из первой заготовки изготовят стандартную деталь, а вероятность этого равна 0,75. Случайная величина принимает значение 2, если из первой заготовки изготовят бракованную деталь, а из второй — пригодную. По теореме умножения вероятностей вероятность этого события  Аналогично, если детали, изготовленные из первой и второй заготовок, бракованные, а деталь, которую изготовили из третьей заготовки — пригодная. 

Наконец,  если детали, изготовленные из первых трех заготовок, бракованные.  Запишем закон распределения:

Легко проверить, что сумма вероятностей в законе распределения равна 1. Найдем математическое ожидание и дисперсию по приведенным только что формулам.

Если событие — «из четырех заготовок изготовлена одна пригодная деталь», то:

Пример 2. Задана функция

Доказать, что можно подобрать такие значения и  при которых  будет функцией распределения вероятностей случайной величины  Найти 

Решение. Чтобы найти и  воспользуемся непрерывностью функции распределения в точках и  Получим систему уравнений:

Следовательно,  если  Докажем, что на этом промежутке функция монотонно возрастает. Ищем производную функции Производная равна нулю при На промежутке  производная функции положительная, а значит, эта функция возрастает. Следовательно,  задает закон распределения случайной величины  Вычислим вероятность:

Пример 3. Случайная величина  задана в интервале с плотностью распределения Найти  и  если 

Решение. Неизвестны значения двух параметров. Поэтому необходимо составить систему двух уравнений, в которые они входят. Воспользовавшись свойством плотности распределения и определением математического ожидания, получим:

Второй интеграл взят от нечетной функции. Он может быть равен нулю, если Очевидно, что  Из первого уравнения находим 

Пример 4. График плотности распределения вероятностей — треугольник  Вершина лежит на оси ординат, координаты других вершин  Найти аналитическое выражение для плотности распределения вероятностей, и 

Решение. Используем свойство плотности распределения вероятностей  и геометрическое содержание определенного интеграла. Площадь треугольника  равна 1. Высоту треугольника найдем по формуле: следовательно,  Запишем уравнение прямых в отрезках:

Аналитическое выражение для плотности распределения:

Найдем математическое ожидание:

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой 

Функция распределения  найдем по формуле  Плотность распределения имеет несколько аналитических выражений. Столько же аналитических выражений будет иметь и функция распределения.

Если  

Если 

Если 

И, наконец, если 

Следовательно, 

Каждый раз, вычисляя выражение для функции распределения, брали значение функции на левой границе интервала.

Для вычисления вероятности воспользуемся функцией распределения:

Важнейшие законы распределения вероятностей

В теории вероятностей часто используются некоторые законы распределения случайных величин. Рассмотрим эти распределения, а также задачи, где они используются.

Биномиальный закон распределения

Вероятности в этом законе вычисляются по формуле  Закон справедлив для схемы независимых повторных испытаний, в каждом из которых событие  наступает с вероятностью  Частота наступления события имеет биномиальный закон распределения. Числовые характеристики распределения:

Закон распределения Пуассона

Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона, если она принимает счетное множество значений  с вероятностями Это распределение описывает количество событий, которые наступают в одинаковые промежутки времени при условии, что эти события происходят независимо друг от друга с постоянной интенсивностью. Распределение Пуассона рассматривается как статистическая модель для количества альфа-частиц, которые излучает радиоактивный источник за определенный промежуток времени; количества вызовов, поступающих на телефонную станцию за определенный период суток; количества требований о выплатах страховых сумм за год; количества дефектов в одинаковых пробах веществ и т.п. Распределение применяется в задачах статистического контроля качества, в теории надежности, теории массового обслуживания. Математическое ожидание и дисперсия в этом распределении одинаковы и равны Для этого распределения составлены таблицы для разных значений  В таблицах для соответствующих значений  представлены вероятности  и 

Если в схеме независимых повторных испытаний  большое и или  стремятся к нулю, то биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона, когда 

Геометрическое распределение

Закон представлен формулой: 

Геометрический закон распределения имеет частота наступления события в схеме независимых повторных испытаний, если они проводятся до первого наступления события. В формуле — вероятность наступления события в каждом испытании. Геометрический закон распределения используется в задачах статистического контроля качества и теории надежности. Числовые характеристики распределения: 

Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение описывает вероятность наступления  успешных результатов в  испытаниях, если значение  мало, по сравнению с объемом совокупности 

Например, вероятность того, что из деталей, которые случайно выбрали из партии объемом  окажутся дефектными, имеет гипергеометрический закон распределения

( — количество дефектных деталей в партии). Этот закон распределения используется в задачах статистического контроля качества и в смежных отраслях. Числовые характеристики распределения:

С уменьшением отношения  гипергеометрическое распределение приближается к биномиальному с параметрами  и  Осень часто гипергеометрическое распределение аппроксимируется распределением Пуассона, если 

Равномерный закон распределения

Если вероятность попадания случайной величины в интервал пропорциональна длине интервала и не зависит от размещения интервала на оси, то она имеет равномерный закон распределения. Плотность такого распределения:

Равномерный закон распределения легко моделировать. С помощью функциональных преобразований из величин, распределенных равномерно, можно получать величины с произвольным законом распределения. Числовые характеристики распределения:

Показательный закон распределения

Плотность распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, задается формулой:

Случайные величины с таким законом распределения широко применяются в задачах по теории надежности и теории массового обслуживания. Числовые характеристики:

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения задается плотностью Параметры и  которые входят в выражение плотности распределения, являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины. Нормальный закон распределения широко применяется в математической статистике. Для вычисления вероятности попадания случайной величины, распределенной нормально, в промежуток используется функция Лапласа:

Часто применяется также формула:

Примеры решения задач

Пример 1. В цеху есть 5 станков. Вероятность того, что станок работает равна 0,8. Найти вероятность того, что будут работать не менее 3-х станков.

Решение. Вероятность того, что работает любой станок, равна 0,8. Поэтому справедлив биномиальный закон распределения: 

Указанные вероятности найдем по приведенной только что формуле.

Пример 2. Найти вероятность попадания за контрольные пределы не менее 2-х деталей из пробы из 5 деталей, если автомат, из продукции которого берутся пробы, обрабатывает 2 детали за 1 минуту и за смену  его продукции оказывается 38 деталей, которые выходят за контрольные пределы. Использовать для решения задачи закон распределения Пуассона.

Решение. Используем формулу распределения Пуассона:  Найдем  — среднее количество бракованных деталей, которые производятся за 1 мин. Если продолжительность смены 480 мин., Найдем искомую вероятность:  Значение вероятности найдем в таблицах при и 

Пример 3. Поставщик поставляет заказчику партии деталей, объемом 10000 штук каждая. Заказчик считает, что нужно браковать партии, в которых 2% брака с вероятностью не менее, чем 0,98. Поставщик хотел бы, чтобы при этом партии с 0,5% брака принимались бы с вероятностью не менее, чем 0,93. Определить объем выборки и количество бракованных деталей, при котором партия бракуется. Воспользоваться для решения задачи распределением Пуассона.

Решение. Пусть для контроля отобрано деталей. Если в партии 2% бракованных деталей, то параметр если в партии 0,5% бракованных деталей, то  При конкретном значении  имеем некоторое значение  Ищем по таблицам значение при котором  Проверяем, будет ли при найденном значении партия, в которой 0,5% бракованных деталей, приниматься с вероятностью не менее, чем 0,93. Для этого ищем  — вероятность отклонения партии. Отняв от единицы эту вероятность, получим вероятность принятия партии, в которой 0,5% бракованных деталей. Если она не менее, чем 0,93, то значения и  обеспечивают выполнение условий задачи. Решая задачу, желательно, чтобы было как можно меньше. Поэтому последовательно рассматриваем значения   и выбираем среди них наименьшее.

Пусть  тогда  Согласно таблицам при  При  то есть вероятность принятия партии, в которой 0,5% брака, составляет  что меньше, чем 0,93. Значение  нужно увеличить.

Пусть тогда  Значение  В этом случае партия с 0,5% брака принимается с вероятностью  Следовательно, значение объема выборки можно уменьшить.

Пусть  тогда  Значение   В этом случае партия с 0,5% брака принимается с вероятностью 

Следовательно, объем выборки  В этом случае партия отклоняется, если среди выбранных деталей будет не менее 7 бракованных деталей.

Пример 4. При производстве произвольного изделия инструмент с вероятностью может быть поврежден и требовать замены. Найти математическое ожидание и дисперсию количества изделий, которые будут произведены этим инструментом.

Решение. Пусть случайная величина  — количество деталей, произведенных до замены этим инструментом. Эта случайная величина может принимать значения Построим закон распределения этой величины  Она принимает значение, равное нулю, если при производстве первого изделия инструмент будет поврежден; Если инструмент будет поврежден при производстве второго изделия, то  Аналогично 

Для вычисления математического ожидания и дисперсии сопоставим полученный закон распределения с геометрическим законом распределения. Очевидно, что Используя свойства математического ожидания и дисперсии, получим:

Пример 5. Партия содержит 200 изделий, среди которых 25 бракованных. Для проверки качества из партии отобрали 10 изделий. Если при этом количество бракованных изделий не превышает единицы, то партия принимается. Найти вероятность того, что партия будет принята. Определить эту же вероятность, если аппроксимировать гипергеометрическое распределение биномиальным распределением и законом распределения Пуассона.

Решение. Используем формулу гипергеометрического закона распределения. Партия будет принята, если количество бракованных среди отобранных 10 будет равным нулю или единице.

Вычислим ту же вероятность с помощью биномиального закона распределения 

Вычислим, наконец, ту же самую вероятность с помощью закона распределения Пуассона:

Как видим, погрешности вычисления  в случае аппроксимации гипергеометрического распределения сравнительно небольшие.

Пример 6. Случайная величина  распределена равномерно. Найти плотность ее распределения, если 

Решение. Плотность равномерного распределения  Следовательно, необходимо определить области смены случайной величины. Составим систему уравнений:

Пример 7. Случайная величина распределена показательно с параметром  При каком значении параметра вероятность попадания случайной величины на отрезок будет наибольшей?

Решение. Пусть параметр  — непрерывная и дифференцированная величина. Найдем вероятность попадания величины на отрезок и исследуем полученную функцию на экстремум:

Покажем, что при данном значении  достигается максимум  Найдем вторую производную:

 поскольку  Вторая производная в критической точке отрицательна, поэтому  в ней достигает максимума.

Пример 8. Выдвинута гипотеза про то, что отклонение размера детали от номинала является случайной нормально распределенной величиной с  и Соответствует ли данной гипотезе то, что в проверенных 6 деталях  отклонение принадлежало промежутку  Уровень значимости 

Решение  Рассмотрим событие  — «отклонение в  6 деталях принадлежит в промежутку «. Вычислим вероятность этого события и сопоставим ее с уровнем значимости Если вероятность будет меньше, чем  то результат испытания не соответствует выдвинутой гипотезе. Вероятность события найдем по теореме умножения вероятностей:

где 

Вычислим эту вероятность:

Тогда Вероятность события  меньше, чем уровень значимости. Следовательно, гипотеза про закон распределения не соответствует значениям случайной величины в испытаниях.

Пример 9. Погрешность наблюдения  при измерении длины распределена нормально с и Найти вероятность того, что измеренное значение отклонится от истинного более, чем на 10 мм.

Решение. Согласно условию необходимо найти Выразим эту вероятность через вероятность противоположного события:

Функции случайного аргумента. Законы распределения и их числовые характеристики

Важной задачей в теории вероятностей является определение законов распределения и числовых характеристик функций случайных аргументов, законы распределения которых известны. Пусть — дискретная случайная величина, заданная табличным законом распределения.

Известно, что  тогда закон распределения  имеет такой вид:

Числовые характеристики функции можно найти по ее закону распределения или по формулам:

Произвольные моменты распределения представлены аналогичными формулами:

Если случайные величины  и  заданы законами распределения:

и задана функция  то закон ее распределения определяется так. Множество значений, которые принимает представляются в виде:  При этом 

Пусть — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения Если и — дифференцированная функция, монотонная в области значений  то плотность распределения этой функции представляется в виде где — функция, обратная Если — не монотонная функция в области смены аргумента, то обратная функция неоднозначна и плотность распределения определяется как сумма стольких слагаемых, сколько значений имеет обратная функция: где  — функции, обратные 

Определяя числовые характеристики функций непрерывных аргументов, операцию суммирования, выполняемую для дискретных величин, заменяют операцией интегрирования:

Примеры решения задач

Пример 1. Работник обслуживает 4 станка, размещенные в одну линию на расстоянии друг от друга. Найти закон распределения для случайной величины — расстояния, которое проходит работник между двумя обслуживаниями, считая, что события — «работник находится возле любого из станков» и «произвольный станок требует обслуживания» — равновозможные.

Решение. Рассмотрим случайные величины: — номер станка, возле которого находится работник; — номер станка, который требует обслуживания. Если станки перенумеровать в той последовательности, в которой они размещены  то законы распределения и  примут такой вид:

При этом  Составляя закон распределения  вычислим значения функции для всех возможных комбинаций значений и  Таких комбинаций будет 16. Вероятности для всех этих комбинаций одинаковы и равны (по теореме умножения вероятностей). 

В таблице значения  повторяются. Составим новую таблицу, в которой такие значения запишем один раз, а их вероятности добавим.

Пример 2. Количество элементов ЭВМ, которые выходят из строя за некоторый промежуток времени, распределено по закону Пуассона с параметром  Время ремонта машины зависит от количества элементов, которые вышли из строя, и определяется по формуле Найти математическое ожидание времени ремонта и убытков, связанных с простоем машины, если убытки пропорциональны квадрату времени ремонта: 

Решение. Случайная величина имеет такой закон распределения:  Используя формулу для нахождения математических ожиданий функции случайных аргументов, получим:

 

Пример 3. Случайная величина  задана плотностью распределения:

Найти плотность распределения  если 

Решение. Исследуем заданную функцию на монотонность: Следовательно, критическая точка содержится в сети изменения  Функция монотонно возрастает в области изменения аргумента  Поэтому можно использовать формулу:

Плотность распределения для имеет два отличных от нуля аналитических выражения. Столько же выражений будет иметь и плотность распределения 

Если 

Если 

Отсюда получим:

Пример 4. Доказать, что в результате центровки и нормирования нормально распределенной случайной величины получим нормально распределенную случайную величину с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Решение. Пусть случайная величина имеет плотность распределения 

Следовательно, центровка и нормирование заключается в линейном преобразовании случайной величины. Линейная функция всегда монотонная, поэтому воспользуемся приведенной только что формулой:

 где 

Получим 

Найдена плотность нормально распределенной случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, что и требовалось доказать.

Пример 5. Скорость обработки — случайная величина с полунормальным законом распределения:

Найти закон распределения случайной величины — времени, необходимого для обработки детали, если суммарное время ее обработки равно 

Решение. Из условия задачи следует, что Эта функция монотонная при положительных значениях  Используя ту же формулу, которая использовалась в предыдущих примерах, получим:

Поскольку область изменения  — множество положительных чисел, то получим:

Пример 6. Трещины в середине пластин листовой стали — отрезки прямой длиной  Угол  образованный прямой, проходящей через трещину, с прямой, перпендикулярной стороне пластины, распределен равномерно на промежутке  Найти закон распределения  — ширины полосы, которая вырезается из бракованного металла.

Решение. Для построения графика функции выполним рис. 2.1, из которого легко заметить, что 

Исследуем функцию на монотонность: Если  Следовательно, функция не монотонная. На промежутке  функция принимает значения от 0 до  Построим ее график (рис. 2.2).

Проведем прямую (это наименьшее значение функции) и представим, что она перемещается в направлении возрастания параллельно самой себе. При этом прямая пересекает график в двух точках. Тогда плотность распределения  будет иметь единое аналитическое выражение, когда функция изменяется на промежутке Построим функцию распределения при некотором значении  которое принадлежит области изменения функции. Прямая пересекает график функции в точках  и  Отсюда получим:

Найдем значения и  Из уравнения  находим:  Запишем функцию распределения  поменяв местами во втором интеграле пределы интегрирования:

Найдем плотность распределения дифференцированием функции распределения, применяя такую зависимость: если 

Функция под интегралом в интегралах была равна единице, поэтому из производные были равны производным за верхним пределом интегрирования. Окончательно искомая плотность распределения функции принимает вид:

Пример 7. Случайная величина  задана такой плотностью распределения:

 

Найти  если 

Решение. Построим график функции. Для этого найдем производную: При переходе через точку производная изменяет знак с «минуса» на «плюс», поэтому — точка минимума;  Строим график функции (рис. 2.3).

Если прямая  пересекает график функции в точках и  Находим функцию распределения:

Чтобы выразить  и  через  решим уравнение относительно предварительно прологарифмировав обе его части:

Подставляем полученные выражения в функцию распределения:

Дифференцируем функцию распределения:

Если то функция монотонно возрастает и 

Следовательно, окончательная плотность распределения принимает вид:

Пример 9. Во время сортировки стальных шариков по их размерам в группу с номинальным размером диаметра 10 мм попадают шарики, которые проходят через отверстие диаметром 10,1 мм, и те, которые не проходят через отверстие диаметром 9,9 мм. Шарики изготовлены из стали, плотность которой Найти математическое ожидание и дисперсию массы шариков, считая, распределения диаметра каждого шарика в поле допуска равномерным.

Решение. Согласно условию плотность распределения — диаметра шарика:

Масса шарика  где   — плотность стали. Если  то математическое ожидание вычисляем по формуле:

Следовательно, 

Дисперсию вычисляем так:

откуда 

Пример 10. Найти функциональное преобразование, с помощью которого из последовательности случайных величин, распределенных равномерно на промежутке  можно получить последовательность величин, распределенных показательно  с параметром 

Решение. Ищем монотонно возрастающую дифференцированную функцию. Чтобы определить ее, запишем формулу для нахождения плотности  по данной плотности 

Согласно условию

Тогда 

Получили дифференцированное уравнение  Решим его:

Решим полученное соотношение относительно 

Если  то и  Тогда  и 

Найденное преобразование дает возможность получать из последовательности равномерно распределенных на промежутке случайных величин последовательность случайных величин, распределенных показательно с параметром 

Характеристические функции

Закон распределения случайной величины может быть заданный характеристической функцией В общем случае эта функция принимает комплексные значения. Определяют характеристическую функцию в зависимости  от типа случайной величины суммированием или интегрированием. Рассмотрим свойства характеристической функции.

1) 

2) если  и известна 

3) характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций;

4) если существует абсолютный момент порядка  для случайной величины  то  дифференцирована по крайней мере  раз и 

Рассмотрим характеристические функции некоторых законов распределения.

1) биномиальный закон распределения: 

2) закон распределения Пуассона 

3) равномерный закон распределения на промежутке 

4) показательный закон распределения: 

5) нормальный закон распределения:  если  и 

Рассмотрим предельные теоремы, которые выполняются для последовательности  и соответствующей ей последовательности характеристических функций.

Прямая теорема. Если последовательность функций распределения совпадает с функцией  во всех точках непрерывности последней, то последовательность характеристических функций совпадает, если с функцией которая будет характеристической функцией, которая соответствует 

Обратная теорема. Если последовательность  характеристических функций   совпадает по всей оси с непрерывной функцией  то последовательность функций распределения  если  совпадает с  причем  будет функцией распределения, которая соответствует характеристической функции 

Примеры решения задач

Пример 1. Задан график функции распределения Найти 

Решение. Случайная величина непрерывна, поэтому для определения  используем формулу Чтобы найти  прежде всего нужно записать аналитическое выражение для функции распределения. При неположительных значениях  функция распределения равна нулю. Когда изменяется от нуля до единицы, то  Чтобы найти  воспользуемся тем, что  Тогда  Для определения функции распределения на промежутке воспользуемся непрерывностью  Аналитическое выражение на нем такое: Получим систему уравнений:

Очевидно, что для  функция распределения равна единице. Окончательно получим:

Дифференцированием функции распределения найдем плотность распределения:

Следовательно, характеристической функцией будет:

Пример 2. Случайная величина  распределена по такому закону:

Определить характеристическую функцию для случайной величины 

Решение. Найдем характеристическую функцию для случайной величины  а далее воспользуемся свойством характеристических функций:

Используем второе свойство характеристической функции: если  и известна характеристическая функция   то  По условию  тогда 

Пример 3. Доказать с помощью характеристической функции, что закон распределения Пуассона стойкий. (Закон распределения называется стойким, если сумма независимых случайных величин, распределенных по этому закону, имеет распределение того же типа). 

Решение. Пусть случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром а случайная величина  распределена по тому же закону с параметром Покажем, что случайная величина также имеет закон распределения Пуассона.

Находим характеристические функции для случайных величин  и 

По условию  причем величины  и между собой независимые. Тогда 

Обозначив получим  Имеем характеристическую функцию для распределения Пуассона. Отсюда следует, что закон распределения Пуассона стойкий. Одновременно установили, что параметр определяется сложением параметров   и.

Пример 4. Задана последовательность функций распределения:

Определить — предельную функцию для соответствующей последовательности характеристических функций.

Решение. Используем теорему про предельную характеристическую функцию для последовательности функций распределения. Найдем предельную функцию распределения.

Следовательно, предельная функция распределения — функция показательного распределения с параметром Тогда предельная характеристическая функция 

Закон больших чисел. Центральная предельная теорема

Неравенства Чебышева

Первая форма: если случайная величина  неотрицательна и 

Вторая форма: если для случайной величины существуют моменты первого и второго порядка, то 

Пусть задана последовательность случайных величин:

Последовательность (1) удовлетворяет закон больших чисел, если 

Отдельные формы законы больших чисел отличаются ограничениями, которые накладываются на случайные величины, входящие в последовательность (1).

Теорема Хинчина

Если случайные величины в последовательности (1) независимые, имеют конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии  то к последовательности (1) можно применить закон больших чисел.

Теорема Маркова

Пусть случайные величины в последовательности (1) имеют конечные и как угодно зависимые математические ожидания. Тогда, если  при  то к последовательности (1) можно применить закон больших чисел.

Теорема Бернулли

Пусть проводится независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события равна  Тогда

где — частота события в данных испытаниях.

Центральная предельная теорема

Для последовательности случайных величин (1) рассмотрим:

Теорема 1. Если случайные величины в последовательности (1) независимые, одинаково распределенные и для них существуют моменты второго порядка, то

то есть предельным распределением для является нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Теорема Ляпунова

Если для независимых случайных величин, которые удовлетворяют последовательность (1), существуют моменты третьего порядка и выполняется условие

  то для  выполняется соотношение (2).

Следствием рассмотренных теорем является интегральная теорема Лапласа. 

В схеме независимых повторных испытаний

где  Это следует из того, что частоту события можно представить как сумму  случайных величин — частот наступления события в отдельных испытаниях. При достаточно больших значениях  закон распределения этой суммы близки к нормальному.

Аналогичными рассуждениями для этой схемы легко получить формулу:

 где  — частота события  в  испытаниях.

Примеры решения задач

Пример 1. Среднее потребление электроэнергии в течение мая в городе равно 360 000 кВт. час.

1. Оценить вероятность того, что потребление электроэнергии в мае текущего года превысит 1 000 000 кВт. час.

2. Оценить ту же вероятность при условии, что среднее квадратическое отклонение потребления электроэнергии за май равно 40 000 кВт. час.

Решение. 1. Случайная величина  — потребление электроэнергии принимает неотрицательные значения. Математическое ожидание ее равно 360 000. Оценим вероятность с помощью первой формы неравенства Чебышева: 

2. Оценим то же неравенство, если известно среднее квадратическое отклонение Воспользуемся второй формой неравенства Чебышева:

Следовательно, если существует момент второго порядка, оценка вероятности существенно меньше.

Пример 2. Вероятность некоторого события определяется методом Монте-Карло. Найти количество независимых испытаний, которые обеспечивают с вероятность. не менее 0,99% вычисление искомой вероятности с погрешностью, не превышающей 0,01. Оценку представить с помощью неравенства Чебышева и теоремы Лапласа.

Решение. Оценкой для вероятности является относительная частота  Находим ее числовые характеристики:

Для относительной частоты существуют моменты второго порядка. Запишем вторую форму неравенства Чебышева для относительной частоты:

Значение  произведение  оценим максимальным числом 0,25. Подставив эти значения в правую часть неравенства Чебышева, получим:

Оценим теперь с помощью теоремы Лапласа:

Как видим, оценка по неравенству Чебышева значительно больше, чем по теореме Лапласа.

Пример 3. Дана последовательность независимых случайных величин Случайная величина  может принимать значения  с вероятностями, равными соответственно  Можно ли применить к этой последовательности закон больших чисел?

Решение. Найдем числовые характеристики для случайной величины 

Дисперсии величин, которые образуют последовательность, ограничены сверху числом 2. Следовательно, закон больших чисел можно применять.

Пример 4. Дана последовательность независимых случайных величин Математические ожидания этих величин равны нулю, а  ( — положительная постоянная, которая меньше 1). Можно ли применить к этой последовательности закон больших чисел?

Решение. Выясним, какую из теорем можно применить к этой последовательности. Нельзя применить ни теорему Хинчина, так как величины имеют разные законы распределения, ни теорему Чебышева, так как дисперсии возрастают и не ограничены сверху 

Рассмотрим условия теоремы Маркова.

Находим  и оцениваем эту сумму:

Поскольку,  то согласно теореме Маркова к последовательности можно применить закон больших чисел.

Пример 5. Контролер проверяет некоторые изделия. На первом этапе проверки, который длится 10 с, он или сразу оценивает изделие, или принимает решение, что проверку нужно повторить. Повторная проверка длится 10 с, в результате чего обязательно принимается решение про качество продукции. Найти вероятность того, что за семичасовой рабочий день контролер проверит более 1800 изделий; более 1640 изделий; не менее, чем 1500 изделий. Предполагается, что каждое изделие независимо от других с вероятностью 0,5 проходит повторную проверку.

Решение. Пусть — время, необходимое для проверки  изделия. Получим последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин  Каждая из них имеет такой закон распределения:

Общее время  которое тратит работник на проверку изделий, является суммой  независимых одинаково распределенных случайных величин:  Числовые характеристики такие:

Согласно теореме 1 величина имеет закон распределения, близкий к нормальному.

Если Длительность смены составляет 420 минут. Тогда получим:

Если  В этом случае получим:

И, наконец, без вычислений можно утверждать, что когда 

Системы случайных величин

Законы распределения системы случайных величин и случайных величин, которые входят в систему:

Совокупность случайных величин которые рассматриваются вместе, называется системой случайных величин. Если  то есть рассматривается система двух случайных величин  то геометрически ее можно толковать как случайную точку с координатами  на плоскости или как случайный вектор, составляющие которого — случайные величины и  Аналогично, если  то имеем случайную точку  или случайный вектор в трехмерном пространстве. В общем случае систему случайных величин можно интерпретировать как случайную точку или случайный вектор в пространстве измерений.

Рассматривают системы дискретных случайных величин , непрерывных случайных величин, а также системы, в которые входят как дискретные, так и непрерывные случайные величины. Законы распределения систем случайных величин задаются разными способами. Так, закон распределения системы двух дискретных случайных величин можно задать таблицей:

В этой таблице 

Функция распределения системы двух случайных величин определяет вероятность общего наступления двух событий:  и Геометрически функцию распределения можно интерпретировать как вероятность попадания случайной точки в бесконечный прямоугольник с вершиной  ограниченный сверху и справа (рис. 3.1).

Функция распределения имеет такие свойства:

1) 

2)  — неубывающая функция и 

3) 

4) 

5) 

Функции и  определяют законы распределения для случайных величин и которые входят в систему.

С помощью функции распределения можно представить вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат:

Если рассматривается система непрерывных случайных величин, то для нее определяется плотность распределения  При этом  имеет такие свойства:

1) 

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область  определяется по формуле:

Функция распределения системы двух случайных величин выражается через плотность распределения:

Когда известен закон распределения случайных величин, то можно найти законы распределения для ее составляющих. Если в таблице задан закон распределения системы то вероятности  и  определяются по формулам:

Воспользовавшись свойствами функции распределения системы непрерывных величин, можно найти плотность распределения величин, которые входят в эту систему:

Условным законом распределения случайной величины, которая принадлежит системе, называется закон распределения, найденный при условии, что вторая случайная величина приняла определенное значение.

Условные плотности распределения определяются по формулам:

Для условных законов распределения рассматривают числовые характеристики — условное математическое ожидание и  условную дисперсию, которые вычисляются по формулам:

Формулы, которые выражают условные математические ожидания, называются уравнениями регрессии первого порядка.

Случайные величины, которые входят в систему, независимы, если условные законы распределения для них совпадают с безусловными. Если плотность распределения системы величин представляется как произведение функций, каждая их которых зависит только от одной переменной, то величины, которые входят в систему, независимые.

Примеры решения задач

Пример 1. Система случайных величин с неотрицательными составляющими имеет функцию распределения Найти  и Исследовать будут ли независимыми величины  и которые входят в систему.

Решение. Вычислим вероятность с помощью функции распределения по приведенной ранее формуле:

Для исследования независимости и  найдем плотность распределения системы 

Плотность распределения системы представлена как произведение двух функций, каждая из которых зависит о одной переменной. Следовательно, величины, которые образуют систему, независимые.

Пример 2. Система случайных величин равномерно распределена в данной области  Найти   и условную вероятность 

Решение. Для определения плотности распределения данной системы случайных величин воспользуемся ее свойством а также тем, что в области функция  Тогда  Поскольку данный двойной интеграл численно равен площади области,  вычислим его как площадь трапеции: 

Тогда

Найдем плотность распределения По формуле  Если значения  неположительные, то плотность распределения системы равна нулю, а следовательно, плотность Если  то область ограничена линиями  и  Получим,  Когда  изменяется на промежутке ограничения области  по  такие: снизу  сверху  Отсюда  Наконец, если  (согласно значениям ). Запишем плотность распределения для 

Найдем условную вероятность распределения, воспользовавшись формулой 

Условная плотность имеет два отличных от нулю аналитических выражения, каждое из которых имеет определенное условное математическое ожидание и дисперсию.

Если 

а если 

Для нахождения условной дисперсии вычислим 

Если 

а если 

Для вычисления условной вероятности нужно сынтегрировать условную плотность на соответствующем промежутке:

Если  то значение ограничены неравенством Тогда при верхний предел для значения   Подставляя в выражение для условной плотности получим:

Числовые характеристики системы случайных величин

Начальным моментом порядка  системы  называется величина Если  имеем  получаем 

Центральным моментом порядка  называется величина При значениях Если наоборот,  наконец, при и — корреляционный момент (ковариация) случайных величин и  Его можно вычислить также по формуле:  Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент характеризует тесноту линейной зависимости между величинами. С этой же целью применяют коэффициент корреляции  Если корреляционный момент (коэффициент корреляции) равен нулю, то величины называются некоррелированными. Из независимости величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности величин не следует их независимость. Если величины связаны линейной функциональной зависимостью, то 

Для системы случайных величин  числовые характеристики задаются вектором математических ожиданий  и корреляционной матрицей:

Если элементы этой матрицы поделим на произведение , получим матрицу, состоящую из коэффициентов корреляции:

Примеры решения задач

Пример 1. Часть продукции завода, содержащая брак из-за дефекта  составляет 3%, а из-за дефекта  — 4,5%. Пригодная продукция составляет 95%. Найти коэффициент корреляции дефектов и 

Решение. Рассмотрим систему дискретных случайных величин Они равны соответственно 1, если продукция имеет дефект  или  и нулю, если дефект отсутствует. Возможны 4 сочетания значений переменных. Определим их вероятности. По условию пригодная продукция составляет 95%, поэтому  Случайная величина принимает значение 1 с вероятностью 0,03, тогда 

Следовательно, 

Далее определяем такие вероятности: 

Наконец, вычисляем 

Запишем результаты вычислений в таблицу:

Для вычисления коэффициента корреляции определим корреляционный момент: Найдем значения величин, которые входят в эту формулу:

Вычислим дисперсии  и 

Пример 2. Случайные величины и  имеют соответственно математические ожидания и  дисперсии  и и коэффициент корреляции  Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины где  и  — постоянные.

Решение. Согласно свойствам математического ожидания, получим:

Величины и  зависимы. Выведем формулу для определения дисперсии 

Пример 3. Определить математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин если 

Решение. Найдем числовые характеристики системы по приведенным ранее формулам:

Очевидно, что с учетом симметрии распределения, математическое ожидание  также равно нулю.

Определяем дисперсии величин, которые входят в систему:  Этот интеграл вычисляем, интегрируя один раз частями, а далее переходим к полярным координатам.

На основании симметричности плотности распределения системы, получим: Осталось найти  Математические ожидания и  равны нулю, а поэтому

(нулю равен внутренний интеграл, который был вычислен при нахождении математического ожидания ).

Следовательно,

Функции нескольких случайных аргументов

Пусть задана система случайных величин  и функция Нужно найти закон распределения для Если — система дискретных величин, то известны вероятности и можно найти вероятности 

А если имеем систему непрерывных случайных величин, то для определения вычисляем  где  — область на плоскости  в которой 

Плотность распределения  получаем дифференцированием функции распределения.

Плотность распределения суммы двух случайных величин  представлена формулами:

Если и — независимые случайные величины, то 

Нередко приходится рассматривать суммы случайных величин, распределенных по нормальному закону. Найденная случайная величина — результат суммирования — имеет нормальный закон распределения. Параметры распределения прилагаются в том случае, если величины независимые. Складывая две нормально распределенные величины с параметрами и коэффициентом корреляции  получим нормальный закон распределения с  параметрами 

В общем случае закон распределения функций двух непрерывных случайных величин определяем по такой схеме:

1) ищем область изменения системы случайных величин 

2) вычисляем наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области;

3) рассматриваем семью кривых и устанавливаем, сколько аналитических выражений будет иметь 

4) строим линию  и определяем  то есть множество точек, для которых 

5) интегрируем плотность распределения на множестве получая 

6) чтобы найти  дифференцируем функцию распределения, учитывая тот факт, что когда:

то

Числовые характеристики функции можно найти, определив закон распределения, а также воспользовавшись формулами, аналогичными тем, которые применялись для функций одного случайного аргумента: 

Некоторые распределения случайных величин, которые используются в математической статистике

Рассмотрим некоторые распределения случайных величин, которые используются в математической статистике. Они представляют собой функции нескольких случайных аргументов.

1. Распределение Рассмотрим последовательность  попарно независимых случайных величин, распределенных нормально, с нулевым математическим ожиданием и единичными дисперсиями.

Если  то эта сумма имеет распределение с  степенями свободы. Плотность распределения  Числовые характеристики распределения: В выражение плотности распределения входит гамма-функция 

График плотности распределения изображен на рис 3.3.

Для распределения  составлены таблицы вида для количества степеней свободы от 1 до 30. В таблицах для заданных значений вероятностей (по большей части ) указаны значения для соответствующего количества степеней свободы. Если количество степеней свободы больше 30, то распределение мало отличается от нормального с соответствующим математическим ожиданием и дисперсией.

2. Распределение Стьюдента. Распределение Стьюдента с  степенями свободы имеет случайная величина  где  — нормально распределенная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а Случайная величина не зависит от  и имеет распределение с  степенями свободы. Плотность распределения  График плотности распределения Стьюдента по внешнему виду напоминает нормальные кривые. Но они значительно медленнее убывают до оси  если  особенно при малых значениях 

Составлены таблицы распределения Стьюдента, в большей степени вида для количества степеней свободы от 1 до 20. Если количество степеней свободы больше, то можно применить нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

3. Распределение Фишера. Если случайные величины и  независимые и имеют  распределение соответственно с и  степенями свободы, то случайная величина имеет распределение Фишера с степенями свободы. Плотность этого распределения определяется по формуле:

Плотность распределения Фишера имеет график, изображенный на рис. 3.5.

Для распределения Фишера составлены таблицы, в которых для соответствующего количества степеней свободы для вероятностей и приведены значения 

Примеры решения задач

Пример 1. Маховое колесо производится из двух одинаковых частей. Масса каждой из них — нормально распределенная величина с математическим ожиданием, равным  и дисперсией  Для балансировки колеса важной является разница масс указанных частей. Найти закон распределения заданной случайной величины.

Решение. Обозначим массу первой части буквой а второй —  Разность масс Законы распределения и  задаются плотностями распределения:  Общее распределения и :  Область изменения системы  — вся числовая плоскость, функция  принимает неотрицательные значения. При некотором положительном значении  построим область Эта область ограничена прямыми и 

Соответствующее построение выполнено на рис 3.6..

Область то есть область, для которой  лежит между прямыми (на рис. 3.6 она заштрихована). Построим функцию распределения: 

Дифференцируя функцию распределения, получаем плотность распределения:

Для вычисления найденных несобственных интегралов используем приведенный далее интеграл, который при выражается с помощью интеграла Пуассона:

Тогда 

Следовательно, плотность распределения будет такой:

С точностью до постоянной получили так называемый полунормальный закон распределения.

Пример 2. Масса деталей — случайная величина, равномерно распределенная на промежутке Найти закон распределения массы двух деталей.

Решение. Обозначим массу одной детали буквой  а второй —  Масса двух деталей Законы распределения и и системы  определяются через плотности распределения:

Множество изображено на рис. 3.7.

Приведенные ранее формулы для определения закона распределения суммы двух случайных величин применить нельзя, поэтому решим задачу по общим правилам. Найдем область значений для суммы. Очевидно, что  Прямая проходит через множество  и, если  пересекает прямые  и  Область  — множество точек, которые лежат ниже прямой. Действительно, если подставим в уравнение прямой координаты, например, точки  то она удовлетворяет условию. Следовательно, если то область  имеет такой вид, который изображен на рис. 3.8.

Если то прямая  пересекает прямые  и  Область  лежит ниже прямой (рис. 3.9).

Найдем аналитические выражения для  Если и  Если   а если 

Для того, чтобы уменьшить количество интегралов, которые необходимо вычислять, найдем вероятность противоположного события и сынтегрируем на множество  ( на рис. 3.10 оно не заштриховано):

Наконец, если и  Запишем плотность распределения:

Пример 3. Для увеличения надежности работы системы параллельно присоединяются элементов, длительность функционирования которых — случайная величина с функцией распределения  Найти закон распределения случайной величины — длительность работы системы.

Решение. Элементы соединены параллельно, поэтому длительность безотказной работы Величина  — длительность безотказной работы  элемента. Найдем функцию распределения для случайной величины  Она принимает значения меньше, чем  если выполняется произведение событий Вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей:

Плотность распределения  получим, дифференцируя функцию распределения:

В формуле и  — соответственно функция и плотность распределения величин, которые входят в систему.

Пример 4. Найти закон распределения для случайной величины — длительность безотказной работы системы, в которой последовательно соединены 4 элемента, время безотказной работы которых распределено показательно с параметром  Найти 

Решение. Случайная величина  определяется соотношением:

Случайная величина — длительность безотказной работы  элемента, Функция определена так, потому что выход из строя произвольного элемента выводит систему из рабочего состояния.

Рассмотрим общий случай для функции  Функцию  представим через вероятность противоположного события:

Используем теорему умножения вероятностей, учитывая, что Тогда получим: 

В частном случае, если все случайные величины одинаково распределены с функцией распределения то получим: Дифференцируем функцию распределения:

Вернемся к нашей задаче. Поскольку 

Выполним вычисления:

Всё о случайных величинах

Рассматриваем вероятностное пространство
Определение. Отображение  называется случайной величиной, если

Теорема. Если ξ и η являются случайными величинами, то  (c – константа),  —  случайные величины.
Определение. Функцией распределения случайной величины ξ называют функцию
Свойства функции распределения:
1. 
2. Функция распределения непрерывна слева.
3. Функция распределения монотонно неубывающая.
4. 
5. 

Пример. Дважды подкидывают симметричную монету. Случайная величина ξ — количество выпадений герба. Построить функцию распределения случайной величины ξ.
Решение. Случайная величина ξ может приобретать значения  Найдем вероятности



Очевидно, что 

Пример. Спортсмен попадает в мишень до первого попадания в «10 «. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна р. Случайная величина ξ — количество выстрелов. Найти функцию распределения.
Решение. В этом случае случайная величина приобретает значения 1,2,3,… с вероятностями
Тогда

Определение. Случайная величина ξ называется дискретной, если она приобретает конечное или счетное количество значений.
Дискретная случайная величина характеризуется значениями, которые она приобретает и вероятностями   с которыми приобретаются эти значения.
Определение. Значения дискретной случайной величины и соответствующие вероятности называются распределением дискретной случайной величины или законом распределения дискретной случайной величины.
Распределение дискретной случайной величины удобно представлять в виде таблицы

Если значения случайной величины можно упорядочить, то значения записывают в порядке возрастания.
Функцию распределения дискретной случайной величины можно записать так:

Определение. Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функция распределения является непрерывной функцией.
Определение. Случайная величина ξ называется абсолютно непрерывной, если существует функция  такая, что

Функция   называется плотностью распределения случайной величины ξ.
Свойства плотности:
l. 
2.  у всех точках, где эта производная существует.
3. 
4. 
Определение. Случайная величина ξ называется сингулярной, если ее функция распределения является непрерывной функцией, не существует точки, где бы существовала плотность.
Теорема. Для произвольной случайной величины ξ существует единственное представление  где  — неотрицательные константы, ξ₁ — дискретная случайная величина, ξ₂ — абсолютно непрерывная случайная величина, ξ₃ — сингулярная случайная величина, а константы  связаны соотношением 
Пример. Дана функцию распределения абсолютно непрерывной случайной величины ξ

Найти плотность 
Решение. Согласно со вторым свойством плотности  во всех точках, где эта производная существует. Поэтому

Пример. Дана плотность абсолютно непрерывной случайной величины ξ

Найти неизвестный параметр а и функцию распределения.
Решение. Согласно с третьим свойством 
Очевидно,



Переходим к функции распределения. По определению имеем

1. Если  то  Поэтому

2. Пусть 



3. Если  то


Окончательно функция распределения имеет вид

Числовые характеристики случайных величин

Рассматриваем дискретную случайную величину ξ, которая приобретает значения  соответственно с вероятностями 
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины ξ называют число  при условии, что этот ряд сходится абсолютно.
Пример. Пусть дано распределение дискретной случайной величины ξ

Найти математическое ожидание.
Решение. Поскольку , то в этом случае


Далее дадим определение математического ожидания для абсолютно непрерывной случайной величины. Пусть случайная величина ξ является абсолютно непрерывной и ее плотность равна
Определение. Математическим ожиданием абсолютно непрерывной случайной величины ξ называют число

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.
Пример. Дана плотность абсолютно непрерывной случайной величины ξ

Найти математическое ожидание.
Решение. 


Если случайная величина , где  ξ₁ — абсолютно непрерывная случайная величина, ξ₂ — дискретная, то ,
Определение. Случайные величины ξ₁ и ξ₂ называются независимыми, если

Свойства математического ожидания

1. Если то
2. Если  то
3. Если для случайной величины ξ₁ существует математическое ожидание  а  то для случайной величины  существует математическое ожидание и 
4. Если для случайных величин ξ, η существуют математические ожидания   то для случайной величины ξ + η существует математическое ожидание и 
5. Если существуют   то 
6. Если для случайной величины ξ существует математическое ожидание, то существует  и 
7. Если для случайных величин ξ и η существуют      то 
8. Если случайные величины ξ₁ и ξ₂ независимы, то 
9. Неравенство Чебышева. Если случайная величина ξ является неотрицательной и для нее существует математическое ожидание, то для произвольного числа  выполняется неравенство

Очевидно, если ξ — дискретная случайная величина, а функция  – кусочно-непрерывна, то  если же случайная величина является абсолютно непрерывной, то  при условии, что интеграл и сумма абсолютно сходятся.
Определение. Начальным моментом порядка k называют число

Определение. Центральным моментом порядка k называют число

Определение. Центральный момент второго порядка называют дисперсией и обозначают 
Определение.  называют среднеквадратичным отклонением и обозначают σ.

Свойства дисперсии

1. 
2. Если  то 
3. 
4. 
5. Вторая форма неравенства Чебышева

что эквивалентно

6. Если случайные величины ξ₁ и ξ₂ независимы, то

Правило трех сигм. Если во второй форме неравенства Чебышева  то

в частности при 

Основные распределения

Дискретные распределения

1. Биномиальное распределение 
Случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами  если она приобретает значения 0,1,…, n соответственно с вероятностями

Легко показать, что 
Для этого представим  где  — независимые одинаково распределенные случайные величины, которые приобретают значения 1 и 0 соответственно с вероятностями  Очевидно, что






Поскольку  — независимые одинаково распределенные случайные величины, то

 

2. Геометрическое распределение G(р) с параметром р.
Случайная величина ξ имеет геометрическое распределение с параметром  если она приобретает значения 0,1,2,… с вероятностями  или приобретает значения 1,2,3,… с вероятностями
При этом в первом случае  во втором —  дисперсия  — в обоих случаях. Рассмотрим первый случай.







Для второго случая доказательство аналогичное.
 

3. Распределение Пуассона с параметром
Если случайная величина ξ приобретает значения 0,1,2,… с вероятностями  то она имеет распределение Пуассона с параметром 
Тут 

Абсолютно непрерывные распределения

1. Равномерное распределение на 
Абсолютно непрерывная случайная величина ξ имеет равномерное распределение на  если ее плотность равна

Легко видеть, что





 

2. Показательное распределение с параметром 
Абсолютно непрерывная случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром  если ее плотность равна

Функция распределения, математическое ожидание и дисперсия этого распределения являются такими:

Доказательство. Пусть Тогда имеем





 

3. Нормальное распределение с параметрами 
Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами   если ее плотность равна

Для этого распределения  Действительно


Первое слагаемое равно нулю как интеграл от нечетной функции на симметричном промежутке, второй интеграл равен единице. Поэтому
Аналогично,


Проводя подстановку  и разбивая интеграл на три интеграла, получим Отсюда
Функция распределения для нормального распределения через элементарные функции не выражается, но ее числовое значение можно найти, используя функцию которая протабулирована в учебниках и является функцией распределения нормального распределения 

 

4. Распределение Коши К.
Плотность этого распределения имеет вид

а функция распределения является такой:

Покажем, что для этого распределения математическое ожидание не существует.
По определению  при условии, что интеграл сходится абсолютно.




Интеграл абсолютно не сходится, следовательно, и математическое ожидание не существует.

Функция распределения

Пусть — пространство элементарных событий. Случайной величиной  называется функция определенная на множестве  принимает числовые значения, и такая, что для любого действительного  определена вероятность Эта вероятность называется функцией распределения случайной величины 

Свойства функции распределения:

 если 

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное или счетное, то есть множество ее значений представляет собой конечную последовательность  или бесконечную последовательность 

Соответствие между возможными значениями случайной величины  и их вероятностями называется законом распределения случайной величины

По ряду распределения (2.1) можно построить функцию распределения дискретной случайной величины 

где суммирование распространяется на те индексы для которых 

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения в прямоугольной системе координат строят точки  и соединяют их отрезками прямых. 

Пример 2.1 Построить ряд распределения и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,4. 

Решение.

1) случайная величина  — число попаданий в корзину при двух бросках — может принимать такие значения Найдем вероятность возможных значений 

Ряд распределения 

Контроль 

2) если:

Законы распределения

а) биномиальный 

где 

б) Пуассона

где 

Непрерывные случайные величины

Случайную величину  называют непрерывной, если ее функцию распределения можно подать в таком виде:

где  — некоторая функция, которую называют плотностью распределения вероятностей. Свойства плотности распределения:

 в частности 

Непрерывная случайная величина может быть задана или функцией распределения или плотность. вероятностей 

Пример 2.2. Случайная величина  задана функцией распределения:

Найти:

1) коэффициент 

2) плотность вероятностей 

3) вероятность попадания величины  в интервал 

Решение. 

Учитывая вид  найдем  Отсюда:

Следовательно, 

Пример 2.3. Случайная величина  имеет плотность распределения:

Построить функцию  распределения и начертить ее график.

Решение. Известно , что Найдем значение этой функции на каждом интервале отдельно:

Следовательно,

Построим график 

Законы распределения:

а) равномерный

б) показательный  

в) нормальный  

Числовые характеристики случайных величин

1. Математическое ожидание 

Средним значением или математическим ожиданием  случайной величины называют

для дискретной случайной величины,

для непрерывной случайной величины, причем допускается, что ряд и интеграл совпадают абсолютно.

В этих формулах — значение случайной величины,  — их вероятности,  — плотность вероятности.

Свойства математического ожидания:

 где 

где  и  — любые случайные величины.

 если   и  — независимые случайные  величины.

2. Дисперсия  и среднее квадратическое отклонение 

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания:

для дискретной случайной величины и

для непрерывной случайной величины.

Для вычисления  используют формулу

Свойства дисперсии:

 где 

3. Если и  — независимые случайные  величины, то

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины:

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются мерой рассеивания значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

3. Начальные  и центральные моменты 

Начальные и центральные моменты -го порядка случайной величины  определяются по формулам:

Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

Центральные моменты характеризуют рассеивание случайной величины.

Асимметрия.

где 

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то 

Если  то кривая плотности вероятности имеет «скос» с левой стороны, если то — с правой.

Эксцессом случайной величины  называется величина

 (для нормального распределения).

Величина  характеризует «крутизну» кривой плотности вероятности по сравнению с кривой Гаусса. Для островершинных кривых  для пологих — 

4. Мода  и медиана 

Модой дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.

Модой непрерывной случайной величины называется  ее значение, при котором плотность вероятности максимальная.

Медианой дискретной случайной величины  называется  ее значение в законе распределения, для которого сумма вероятностей возможных значений слева и справа от него не превышает 0,5.

Медианой непрерывной случайной величины  называется такое ее значение для которого 

Пример 2.4. Дана дискретная случайная величина

Найти: 

Решение

Математическое ожидание

Дисперсию найдем по формуле

Среднее квадратическое отклонение 

Пример 2.5. Плотность распределения случайной величины  равна

Найти математическое ожидание, дисперсию, медиану и моду

Решение

В нашем случае

Дисперсия 

В нашем случае

 

Среднее квадратическое отклонение 

Исследуем функцию  на экстремум.

— критическая точка.

Следовательно, точка максимума, 

Медиану найдем по условию

Пример 2.6. Дано распределение случайной величины

Найти начальные и центральные моменты первых трех порядков.

Начальные моменты:

Центральные моменты:

Таблица 2.1.

Числовые характеристики некоторых распределений

Равномерное, показательное, нормальное распределения

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат возможные значения случайной величины плотность вероятностей сохраняет установленное значение, то есть:

Функция распределения равномерного закона имеет вид:

Показательным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины которую можно описать плотностью

Функция распределения показательного закона:

Вероятность попадания значений случайной величины  распределенной по показательному закону в интервале , определяется по формуле

Пример 2.7. Время ожидания возле бензоколонки автозаправочной станции является случайной величиной  которая распределена по показательному закону со средним временем ожидания равным  Найти вероятность события 

Решение

По формулам (2.15) получим:

 — для показательного закона

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины  плотность которого имеет вид

где и  — параметры распределения:

Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины

Вероятность заданного отклонения

Пример 2.8. Статистические данные дохода на душу населения показали, что годовой доход работников банка имеет нормальное распределение со средним значением 9800 руб. и среднеквадратическим отклонением — 1600 руб. Если наугад выбрать лицо, то какая вероятность того, что его годовой доход между 8520 и 12200 руб.?

Решение

Найдем: 

Тогда

Пример 2.9. Ошибки вычислений, допущенные бухгалтером при составлении баланса, распределяются в процентах по нормальному закону распределения с параметрами и 

Какими будут пределы ошибок вычислений с вероятностью 0,9973?

Решение

Воспользовавшись формулой (2.17), получим:

Тогда

По таблице приложения Б найдем, что

следовательно,

Предельные теоремы теории вероятностей

Лемма Чебышева

Пусть — случайная величина, возможные значения которой неотрицательные  тогда вероятность того, что случайная величина  примет значения не меньше  будет не больше дроби, числитель которой  —  а знаменатель А, то есть

Неравенство Чебышева. Если случайная величина  имеет конечное математическое ожидание  и дисперсию  то для любого числа  выполняется неравенство:

Говорят, что последовательность случайной величины совпадает по вероятности с числом А, если для достаточно малого произвольного числа  вероятность события стремится к 1, то есть 

Пример 2.10. Вероятность опоздания пассажира на поезд 0,007. Оценить вероятность того, что из 20000 пассажиров будет от 100 до 180 (включительно) тех, кто  опоздал.

Решение. Используем неравенство Чебышева

Пределы допустимых значений симметричны относительно  левая — 140-40-100, правая — 180-140-40.

Теорема Чебышева

Теорема. Если  попарно независимые случайные величины, дисперсии их равномерно ограничены ( то есть  то каким бы малым не было положительное число  справедливо такое соотношение

Следствие из теоремы Чебышева

Если в результате наблюдений, где  достаточно большое, полученные случайные величины  — попарно независимые с одним и тем же  то есть  и равномерно ограничены дисперсиями то среднее арифметическое значение величин, которые наблюдаются совпадает по вероятности с числом  то есть:

Пример 2.11. Дисперсия каждой из 2500 случайных величин не превышает 5. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превышает 0,4. 

Решение. По формуле (2.21) получим:

Теорема Бернулли

Теорема. Если в каждом из независимых испытаний вероятность  появления события А постоянная, то как угодно близкая к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности  по абсолютной величине будет как угодно малым, если число испытаний достаточно большое.

Двумерная случайная величина

Пусть в результате испытания наблюдаются значения двух одномерных случайных величин. Совокупность случайных величин, которые рассматриваются вместе, называется системой двух случайных величин или двумерной случайной величиной. 

Закон распределения вероятностей

Всякое соотношение, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины  и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения вероятностей системы случайных величин.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины  записывают в виде таблицы 2.2, где 

Таблица 2.2

Зная закон распределения двумерной случайной величины  можно построить законы распределения одномерных составляющих и  вычисляя соответствующие вероятности по формулам

где 

Пример 2.12. Совершается два выстрела в мишень в неизменных условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Случайная величина  — число выстрелов до первого попадания (включительно), — число промахов. Найти:

а) закон распределения двумерной случайной величины 

б) закон распределения составляющих.

Решение

а) случайная величина  может принимать значения или 1, или 2, а величина  — значения 0, 1, 2. Следовательно, пары чисел  являются возможными значениями случайной величины 

Найдем — вероятность промаха при одном выстреле. Тогда

Следовательно, закон распределения двумерной случайной величины  можно представить в виде таблицы:

Контроль 

б) чтобы записать законы распределения составляющих  и  вычислим вероятности событий 

(Просуммируем вероятности «по строкам», то есть найдем ).

Дальше

(Просуммируем вероятности «по столбцам», то есть найдем ).

Следовательно, законы распределения составляющих  и 

Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называется функция которая для любых чисел и  определяет вероятность совместного появления двух событий  и  то есть:

Геометрически функцию  можно трактовать как вероятность попадания случайной точки  в безграничный квадрат с вершиной который размещен левее и ниже этой вершины. Для двумерной случайной величины дискретного и непрерывного типа функции распределения соответственно равны

и 

где — плотность вероятности величины 

Функция распределения  имеет такие свойства:

1. Значение функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

2. является неубывающей функцией по каждому аргументу, то есть:

2. Имеют место предельные соотношения:

4.  где  и  функции распределения составляющих  и  соответственно.

6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

Пример 2.13. Найти вероятность попадания случайной точки  в прямоугольник, ограниченный прямыми если известна интегральная функция 

Решение. Согласно свойству 6 функции получим 

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины

Плотностью распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины  называют вторую смешанную производную от ее функции распределения, то есть:

Плотность распределения вероятностей  имеет такие свойства:

1.  — неотрицательная функция: 

2. Двойной несобственный интеграл с неограниченными пределами интегрирования от двумерной плотности распределения равен единице:

3. Вероятность того, что значения случайной величины будут принадлежать области равна двойному интегралу от двумерной плотности распределения по этой области

4. Функция распределения  двумерной случайной величины  может быть выражена через двумерную плотность распределения с помощью равенства:

Пример 2.14. Задана двумерная плотность распределения системы случайной величины 

Найти функцию распределения 

Решение

Зная плотность распределения  двумерной случайной величины  легко найти плотности распределения и  для ее компонент  и Действительно, функция распределения случайной величины равна 

Дифференцирую обе части этого равенства по  получим:

Аналогично

Таким образом, плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с неограниченными пределами интегрирования от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования отвечает другой составляющей.

Пример 2.15. Двумерная непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения:

Найти плотность распределения и  составляющих  и 

Решение. Из выражения для плотность  следует, что все возможные значения находятся в середине круга Тогда по определению

Аналогично

Условные законы распределения составляющих систем дискретных и непрерывных случайных величин

1. Случай дискретной величины:

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину Пусть возможные значения составляющих такие: 

Через  обозначим условную вероятность того, что случайная величина  примет значение  при условии, что случайная величина  приняла значение а через — условную вероятность того, что случайная величина  примет значение при условии, что случайная величина приняла значение 

Вероятности  и  вычислим по формулам:

Условным законом распределения составляющей двумерной дискретной случайной величины  при фиксированном значении составляющей  называется перечень всех возможных значений случайной величины  и соответствующих им условных вероятностей 

Условным законом распределения составляющей  двумерной дискретной случайной величины  при фиксированном значении  называется перечень всех возможных значений случайной величины и соответствующих им условных вероятностей 

Условные законы распределения составляющих и  двумерной дискретной случайной величины  записывают, соответственно, в виде таблиц 2.3, 2.4.

Таблица 2.3

Таблица 2.4

Вывод: зная безусловные законы распределения составляющих  и  и условный закон распределения одной из них, можно составить закон распределения двумерной дискретной случайной величины Вероятности  возможных ее значений вычисляем по формулам:

Пример 2.16. Дискретная двумерная случайная величина  задана таблицей:

Записать условный закон распределения составляющей  при условии, что составляющая  приняла значение 

Решение

Искомый закон определяется совокупностью таких условных вероятностей

Вычислим их:

Таким образом, условный закон распределения  имеет такой вид:

Контроль 

2. Случай непрерывной величины:

Пусть  — двумерная непрерывная случайная величина и  — плотность ее совместного распределения. Как уже отмечалось, законы распределения составляющих и  определяются равенствами:

Условной плотностью  распределения вероятностей составляющей  двумерной непрерывной величины  при фиксированном значении  называется отношение плотности  ее совместного распределения  к плотности составляющей 

Условной плотностью распределения вероятностей составляющей двумерной непрерывной величины при фиксированном значении  называется отношение плотности  ее совместного распределения  к плотности  составляющей 

Условная плотность распределения вероятностей составляющей двумерной непрерывной случайной величины определяет ее условный закон распределения.

Отсюда получим вывод: зная плотность распределения составляющих и  и условную плотность распределения одной из них, можем вычислить плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины  по формулам:

Зависимые и независимые случайные величины

При определении систем случайных величин большое внимание уделяют степени и характеру их зависимости.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.

Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям, то есть:

 — для независимых случайных величин;

— для зависимых случайных величин.

Теорема. Для того, чтобы непрерывные случайные величины  и  были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих:

Следствие. Для того, чтобы непрерывные случайные величины  и  были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы была равна произведению плотностей распределения составляющих

В случае, когда и  — две независимые дискретные случайные величины, то необходимое и достаточное условие независимости и  выражается системой равенств:

Пример 2.17. Дан закон распределения двумерной дискретной случайной величины 

выяснит, независимы ли случайные величины и  

Решение. Напоминаем, что во внутренних клетках таблицы содержаться вероятности  которые определяют совместное распределение двух случайных величин и , а последний hxl и последний столбец характеризуют одномерные распределения компонент и  соответственно.

В этой таблице  поэтому:  поэтому: и случайные величины и  зависимы.

Пример 2.18. Двумерная непрерывная случайная величина  задана плотностью:

Доказать, что и  независимые.

Решение. Случайные величины и  будут зависимыми, если их безусловные и условные плотности неравны. Плотность распределения случайной величины 

Плотность распределения случайной величины 

Условная плотность распределения  при условии  что  приняла определенное значение из области 

Видим, что  Условная плотность распределения при условии, что  приняла определенное значение из области 

Видим, что  Следовательно, величины и  являются зависимыми.

Числовые характеристики двумерной случайной величины

Важными числовыми характеристиками системы двух случайных величин  является математическое ожидание и дисперсия составляющих  корреляционный момент  и коэффициент корреляции 

Начальным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения 

Центральным моментом порядка  системы  называется математическое ожидание -ой и -ой степени соответствующих центрованных величин.

На практике чаще всего применяют начальные моменты первого порядка и центральные моменты второго порядка.

Начальные моменты первого порядка являются математическими ожиданиями случайных величин  и 

Центральные моменты второго порядка  совпадают с дисперсиями случайных величин  и  Они характеризуют рассеивание системы  по направлению осей и 

Особую роль при изучении системы двух случайных величин играют второй смешанный центральный момент  и коэффициент корреляции  которые являются показателями взаимосвязи между компонентами  и 

Корреляционным моментом (ковариацией)  двумерной случайной величины называют математическое ожидание произведения отклонений составляющих этой величины от ее математических ожиданий:

Корреляционный момент можно выражать соотношением:

Корреляционный момент характеризует как рассеивание величин  и  так и связь между ними. Если случайные величины и  независимые, то можно показать, что корреляционный момент (обратное не имеет смысла).

Случайные величины, для которых корреляционный момент равен нулю, называются некоррелированными.

Коэффициентом корреляции  двумерной случайной величины  называется отношение корреляционного момента  к произведению средних квадратических отклонений  и  этих величин:

где  Отметим, что Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между величинами  и  Чем ближе значение  к единице, тем более точным будет равенство 

Если то или зависимость между  и  не подлежит линейному закону, или они вообще независимые.

Таблица 2.5

Числовые характеристики двумерной случайной величины

Пример 2.19. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины задан таблицей:

Вычислить числовые характеристики

Решение

Пример 2.20. Дана плотность распределения вероятности двумерной случайной величины 

Найти 

Решение. Математическое ожидание случайной величины 

Математическое ожидание случайной величины 

Дисперсия случайной величины 

Дисперсия случайной величины 

Корреляционный момент двумерной случайной величины 

Коэффициент корреляции

Условные числовые характеристики двумерной случайной величины

К условным числовым характеристикам одной их компонент системы относят условное математическое ожидание, условную дисперсию и уловное среднее квадратическое отклонение. Эти характеристики определяют на основании условных законов распределения.

Случай дискретной случайной величины

Для дискретной двумерной случайной величины условные числовые характеристики вычисляют по формулам:

условные математические ожидания:

условные дисперсии:

 условные средние квадратические отклонения:

Пример 2.21. Закон распределения двумерной случайной величины задан таблицей

Вычислить 

Решение

Случай непрерывной случайной величины

Числовые характеристики условного распределения вероятностей составляющих непрерывной двумерной случайной величины вычисляют по формулам:

условные математические ожидания:

условные дисперсии:

 условные средние квадратические отклонения:

Условное математическое ожидание случайной величины  при заданном  называется регрессией  аналогично  называется регрессией 

Графики этих функций от и  называются линиями регрессии  или «кривыми регрессии»  и  соответственно.

Пример 2.22. Плотность совместного распределения системы случайных величин  задана функцией

Вычислить регрессии  и 

Решение. Найдем законы распределения составляющих  и 

(мы использовали интеграл Пуассона ).

 (вычисление аналогично).

В данном случае функции регрессии и 

Приложение к теме: Случайные велечины

Случайный характер исхода влечет за собой случайность числа это означает, что при повторении опыта оно меняется непредвиденным образом. Приведем несколько примеров.Почти в каждом из примеров, с которыми мы встречались в предыдущих главах, дело обстояло таким образом, что в результате опыта возникало некоторое число. Например, при бросании игральной кости выпадало то или иное число очков, при обследовании партии готовых изделий обнаруживалось то или иное число единиц брака. Следует сказать, что такое положение типично для теории вероятностей. Среди решаемых ею задач исключительно много таких, в которых исход опыта выражается некоторым числом

1. Бросается игральная кость; выпавшее число очков.

2. Покупается лотерейных билетов; число выигрышей.

3. Из данной аудитории выбирается наугад один студент; его рост (скажем, в сантиметрах).

4. Проводится наблюдение над количеством осадков, выпадающих на данную местность в неделю; суммарный слой осадков (в сантиметрах).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Чтобы все примеры подобного рода уложить в единую схему, введем понятие случайной величины. Заметим, что с каждым из рассмотренных примеров можно связать некоторое вероятностное пространство, состоящее из пространства элементарных событий алгебры случайных событий функции вероятности, определенной на

Определение. Случайной величиной, связанной с данным вероятностным пространством называется действительная функция определенная на пространстве элементарных событий такая, что для любого действительного числа множество элементарных событий, для которых выполняется неравенство является событием.

Более коротко это можно записать следующим образом:

Можно показать, что данное условие эквивалентно следующему.

Для любого открытого множества на действительной прямой множество элементарных событий, для которых является событием.

Иными словами, условие (3.1) эквивалентно следующему

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция, определенная равенством

Случайные величины мы будем обозначать в дальнейшем большими латинскими буквами: т.д.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Данное выше определение тривиально выполняется для любой функции, определенной на пространстве элементарных событий дискретного вероятностного пространства. Более сложные случаи вероятностных пространств будут рассмотрены в дополнении. Если исходное вероятностное пространство дискретно, то случайная величина называется дискретной случайной величиной. В этой главе мы будем рассматривать только такие величины.

• Каждой случайной величине соответствует некоторое множество чисел. Это — множество значений, которые может принимать величина . Так, в первом из наших примеров множество значений состоит из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, во втором — из чисел 0, 1, 2,

Различные случайные величины могут иметь одно и то же множество возможных значений. Чтобы проиллюстрировать это примером, представим себе, что имеются две игральные кости, причем одна сделана из однородного материала, а другая, скажем, склеена из двух кусков разной плотности. Обозначим через число очков, выпадающих на первой кости, через — число очков на второй. Случайные величины имеют одно и то же множество возможных значений, а именно {1, 2, 3, 4, 5, 6}, однако ведут себя совершенно по-разному. Действительно, вероятности любого исхода для первого опыта равны для второй кости вероятности событий будут совсем другими.

Этот пример показывает, что знания одного лишь множества возможных значений недостаточно для полного описания случайной величины. Необходимо еще знать вероятности значений, которые принимает случайная величина. Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

В практических приложениях случайных величин пространство элементарных событий остается как бы «за кадром» — как правило, не очень просто дать точное описание совокупности факторов, составляющих реальное описание элементарного события Например, если случайная величина это стоимость акции данного предприятия в тот или иной момент, то элементарное событие представляет собой совокупность огромного числа факторов: состояние рынка, положение данного предприятия, привлекательность его продукции на данный момент, конкурентоспособность и т.п. Тем не менее, несмотря на трудную обозримость множества таких факторов, мы считаем возможным рассматривать стоимость акции как случайную величину в указанном выше смысле, определяя вероятность события по ряду косвенных признаков (показаниям биржи).

Свойства функции распределения

Напомним, что функцией распределения случайной величины называется функция

Отметим прежде всего следующий факт: зная функцию можно найти вероятность любого события вида Действительно, воспользуемся очевидным соотношением между событиями

(см. рис. 3.1: луч, расположенный левее точки есть объединение луча, расположенного левее и полуинтервала Если к этому соотношению применить правило сложения вероятностей, то получим:

Следовательно,

Формула (3.4) в дальнейших рассуждениях будет играть важную роль.

Установим теперь некоторые свойства функции распределения. В последующих рассуждениях будем ссылаться на теоремы 1.3 и 1.4 из § 6 главы 1, которые для краткости будем называть просто теоремой 3 и теоремой 4.

Функция неубывающая, т.е. Это немедленно следует из формулы (3.4), если учесть, что величина, стоящая в левой части, неотрицательна (как вероятность некоторого события).

1. Справедливы равенства:

Чтобы доказать первое из этих равенств, возьмем любую возрастающую последовательность чисел для которой и рассмотрим последовательность событий:

Эта последовательность событий, из которых каждое последующее является следствием предыдущего. Сумма событий есть достоверное событие Согласно теореме 3

Следовательно,

что доказывает первое из равенств (3.5). Чтобы доказать второе, следует к событиям применить теорему 4.

Как известно, для неубывающей (вообще для монотонной) функции при любом значении аргумента существуют оба односторонних предела:

Оказывается, что в случае функции распределения первый из этих пределов совпадает со значением функции в самой точке А именно справедливо следующее свойство:

2. при любом (3.6)

Как говорят, в этом случае функция непрерывна слева.

Для доказательства выберем какую-либо возрастающую последовательность чисел сходящуюся к некоторому значению Если снова применить теорему 3 к последовательности событий

то получим или

Таким образом, каково бы ни было число для любой возрастающей и сходящейся к последовательности справедливо равенство (3.7). Как известно из курса математического анализа, отсюда следует:

Представляет интерес вопрос о разрывах функции Точки разрыва соответствуют таким значениям для которых разность

отлична от нуля. Напомним, что в случае монотонной функции величина (3.8) называется скачком функции в точке Мы докажем сейчас, что при любом справедлива формула

т.е. скачок функции распределения в точке совпадает с вероятностью события (рис. 3.2). Чтобы вывести формулу (3.9), рассмотрим какую-нибудь возрастающую последовательность сходящуюся к некоторой точке и убывающую последовательность сходящуюся тоже (рис. 3.3).

Произведение событий

есть, очевидно, Отсюда по теореме 4 имеем

или

но, как мы уже знаем, Поэтому из (3.10) следует

что и требовалось получить.

Подводя итог, перечислим установленные выше свойства функции распределения

1. — неубывающая функция.

2.

3. непрерывна слева в любой точке.

На рис. 3.4 изображен график одной из возможных функций Скачки функции равны соответственно Для любой точки отличной от точек т.е. точки в которой непрерывна, имеем

Дискретные случайные величины

Наиболее удобными для изучения являются так называемые дискретные случайные величины. Они характеризуются тем, что могут принимать лишь конечное или счетное множество значений.

Примеры дискретных величин:

1. — число выигрышей на купленные лотерейных билетов.

2. — число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение часа.

3. — число вкладов, внесенных в банк в течение дня.

И так далее. Впрочем, любую случайную величину можно превратить в дискретную, если условиться принимаемые значения величины округлять до ближайших (скажем, слева) целых значений. При таком подходе можно считать, что значения величины — целые числа, а значит, — дискретная случайная величина.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы:

где — возможные различные значения величины их вероятности. А именно есть вероятность (вероятность события есть вероятность значения и т.д. Числа связаны соотношением

которое вытекает из того факта, что события

попарно несовместны, а их сумма есть событие достоверное (при каждом осуществлении опыта величина принимает одно и только одно из своих значений, т.е. наступает одно и только одно из событий (3.12)).

Выясним теперь, какой вид имеет функция распределения дискретной случайной величины характеризуемой таблицей (3.11).

Пусть любое число. Среди чисел выделим те, которые меньше Пусть ими будут Событие является суммой событий поэтому его вероятность равна

Итак,

Формула (3.13) дает полную информацию о функции На рисунке 3.5 изображен график этой функции для частного случая, когда принимает только три значения: Можно при этом считать График представляет собой ступенчатую ломаную со скачками в точках Величины скачков равны соответственно Левее график совпадает с осью правее прямой Аналогичная ступенчатая ломаная будет для любой дискретной случайной величины

Рассмотрим примеры с решением дискретных случайных величин.

Пример 3.1.

По мишени стреляют один раз с вероятностью попадания Случайная величина — число попаданий. Очевидно, может принимать только два значения: 1 и 0, причем их вероятности равны соответственно Действительно, при выстреле возможны два исхода: попадание (тогда и промах вероятности этих событий суть В итоге получаем следующую таблицу

Пример 3.2.

Дважды бросается игральная кость. Случайная величина — сумма очков при обоих бросаниях. Возможные значения величины суть числа 2, 3, …, 12. Вероятности этих значений легко подсчитываются. Например, так как из тридцати шести возможных исходов опыта событию благоприятны три. Найдя все вероятности, получим следующую таблицу:

Пример 3.3.

Монету бросают 5 раз. Случайная величина — число выпадений герба. Возможные значения случайной величины суть 0, 1,2, 3, 4, 5. Их вероятности подсчитываются с помощью формулы Бернулли, например:

Производя все подсчеты, получим таблицу:

Примеры типичных законов распределения дискретных величин

Пример 3.4.

Геометрическое распределение. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью наступает событие Опыты продолжаются до первого появления события после чего прекращаются. Рассматривается случайная величина число произведенных опытов. Составить для нее закон распределения.

Решение. Возможные значения величины суть 1,2,3,…. Событие — любое натуральное) означает, что в первых опытах событие не наступает, а в опыте наступает. Вероятность такого исхода равна:

где Следовательно, закон распределения величины будет:

Пример 3.5.

Биномиальное распределение. Пусть производится определенное число независимых опытов. В каждом из них с одной и той же вероятностью может наступить некоторое событие Рассматриваемая случайная величина — число наступлений событий опытах. Соответствующая таблица имеет вид:

где Это непосредственно следует из формулы Бернулли.

Очевидно, таблица (3.14) есть частный случай таблицы (3.15). Этот частный случай соответствует значениям

Закон распределения, характеризующийся таблицей (3.15), называют биномиальным. Такое название связано с уже известным читателю фактом: числа являются членами бинома

Пример 3.6.

Распределение Пуассона. Мы говорим, что случайная величина распределена по закону Пуассона, если соответствующая таблица имеет вид:

где Здесь — фиксированное положительное число (разным значениям отвечают разные распределения Пуассона).

Легко проверить, что для написанной таблицы выполнено обязательное условие — сумма вероятностей всех возможных значений равна 1. Действительно,

На рисунке показаны графики функции (как функции от для значений параметра (сплошная линия), 1 (пунктир) и 2 (штрих-пунктир). Каждый график представляет собой дискретный ряд точек; для большей наглядности точки соединены последовательно ломаной линией (так называемый многоугольник распределения). Одна из причин, обусловливающих важную роль пуассоновского распределения для практики, заключается в его тесной связи с биномиальным распределением. Напомним (§ 2.5), что если в формуле Бернулли

мы зафиксируем значение и станем устремлять число опытов к бесконечности, а вероятность нулю, притом так, чтобы их произведение оставалось равным постоянному числу то будем иметь:

Соотношение (3.17) показывает, что при описанном выше предельном переходе таблица (3.15) биномиального распределения переходит в таблицу (3.16) распределения Пуассона. Таким образом, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения при указанных выше условиях.

Заметим, что с этим свойством распределения Пуассона — выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события — связано часто применяемое для него название: закон редких явлений.

Системы дискретных случайных величин

До сих пор мы рассматривали случайные величины изолированно друг от друга, не касаясь вопроса об их взаимоотношениях. Однако в практических задачах часто встречаются ситуации, когда те или иные случайные величины приходится изучать совместно. В таких случаях говорят о системе нескольких случайных величин. Более точно: случайные величины образуют систему, если они определены на одном и том же пространстве элементарных событий

Систему двух случайных величин можно истолковывать как случайную точку на плоскости, систему трех случайных величин как случайную точку в трехмерном пространстве. Мы ограничимся в основном двумерным случаем.

Интуитивный подход к понятию системы двух случайных величин связан с представлением об опыте, результатом которого является пара чисел Поскольку исход опыта мыслится как случайное событие, то предсказать заранее значения чисел невозможно (при повторении опыта они меняются непредвиденным образом).

Приведем несколько примеров.

Для самостоятельного решения;

Пример 3.7. Дважды бросается игральная кость. Обозначим через число очков при первом бросании, через — число очков во втором. Пара будет системой двух случайных величин.

Пример 3.8. Из некоторой аудитории наугад выбирается один студент; — его рост (скажем, в сантиметрах), — вес (в килограммах).

Пример 3.9. В данном сельскохозяйственном районе выбирается произвольно участок посева пшеницы площадью 1 га; — количество внесенных на этом участке удобрений, — урожай, полученный с участка.

Пример 3.10. Сравниваются письменные работы по математике и русскому языку; — оценка за работу по математике, — за работу по русскому языку.