Как найти график линейного уравнения - Autoru.top

Загрузить PDF

Построить график уравнения значительно проще, чем полагают многие люди. Чтобы понять основные принципы этого процесса, вовсе необязательно быть математическим гением или первым в классе по математике. В данной статье описано, как изображать на графиках линейные и квадратные уравнения и неравенства, а также уравнения с модулями.

1
Используйте формулу y=mx+b. Чтобы построить график линейного уравнения, необходимо просто подставить значения в эту формулу.
- Данная формула устанавливает связь между переменными x и y.
- Параметр m соответствует наклону прямой. Иными словами, m указывает на скорость роста (или уменьшения) y с изменением x.
- Параметр b указывает на то, где соответствующая уравнению линия пересекает ось y.
2

Постройте график. Линейное уравнение изображается наиболее просто, поскольку перед построением графика нет необходимости что-либо считать. Для начала постройте прямоугольную систему координат.
3
Найдите точку пересечения линии с осью y (это b). Например, в случае уравнения y=2x-1 параметр b равен -1, то есть линия пересекает ось y в точке -1.
- В точке пересечения оси y координата x всегда принимает значение 0. Таким образом, в нашем примере точка пересечения имеет координаты (0,-1).
- Отметьте на графике точку пересечения линии с осью y.
4
Найдите наклон линии. Для прямой наклон соответствует параметру m. В случае уравнения y=2x-1 этот параметр равен 2. Однако следует учесть, что наклон указывает на изменение y с ростом x, то есть его следует представить в виде дроби. Поскольку при координате x стоит целое число 2, можно записать наклон в виде 2/1.
- Чтобы изобразить наклон на графике, начните с точки пересечения оси y. При этом изменение координаты y соответствует числителю, а изменение координаты x — знаменателю дроби.
- В нашем примере можно начать от точки -1 и сдвинуться от нее вверх на 2 и вправо на 1.
- Положительный наклон означает, что при росте x вы поднимаетесь по y, в то время как при отрицательном наклоне y уменьшается. Переменная x растет вправо по горизонтальной оси и уменьшается в левую сторону.
- При определении наклона можно использовать сколько угодно точек, хотя достаточно одной точки.
5

Проведите прямую линию. После того как вы определите наклон прямой и нанесете хотя бы одну точку, можно соединить ее с точкой пересечения оси y и провести прямую линию. Продолжите линию до краев графика и нарисуйте на ее концах стрелки, чтобы обозначить, что она продолжается дальше.^[1]

Реклама

1

Нарисуйте числовую линию. Поскольку для изображения неравенства с одной переменной достаточно одной оси, нет необходимости рисовать прямоугольную систему координат. Вместо этого просто проведите прямую линию.
2

Изобразите неравенство. Это довольно просто, так как имеется всего лишь одна координата. Предположим, необходимо изобразить неравенство x<1. Для начала следует найти на оси число 1.
3

Проведите линию. Проведите линию из только что отмеченной точки на числовой оси. Если переменная больше данного числа, отложите линию вправо. Если переменная меньше, проведите линию влево. На конце линии поставьте стрелку, чтобы показать, что она не является конечным отрезком и продолжается дальше.
4

Проверьте ответ. Подставьте вместо переменной x какое-либо число и отметьте его положение на числовой оси. Если это число лежит на проведенной вами линии, график верен.

Реклама

1
Используйте формулу прямой линии. Подобная формула использовалась выше для обычных линейных уравнений, однако в данном случае вместо знака ‘=’ следует поставить знак неравенства. Это может быть один из следующих знаков: <, >, или .
- Уравнение прямой линии имеет вид y=mx+b, где m соответствует наклону, а b — пересечению с осью y.
- Знак неравенства означает, что данное выражение имеет множество решений.
2

Изобразите неравенство. Найдите точку пересечения прямой с осью y и ее наклон, после чего отметьте соответствующие координаты. В качестве примера рассмотрим неравенство y>1/2x+1. В этом случае прямая будет пересекать ось y при x=1, а ее наклон составит ½, то есть при движении вправо на 2 единицы мы будем подниматься вверх на 1 единицу.
3

Проведите линию. Перед этим посмотрите на знак неравенства. Если это < или >, следует провести пунктирную линию. Если в неравенстве стоит знак или , линия должна быть сплошной.
4
Заштрихуйте график. Так как неравенство имеет множество решений, на графике следует показать все возможные решения. Это означает, что следует заштриховать область над линией или под ней.
- Выберите координаты точки — часто проще всего выбрать начало координат (0,0). Посмотрите, находится ли выбранная точка над проведенной линией или под ней.
- Подставьте координаты точки в неравенство. Для нашего примера получаем 0>1/2(0)+1. Проверьте, выполняется ли неравенство.
- Если выбранная точка лежит над линией и неравенство выполняется, заштрихуйте область над линией. Если же неравенство не выполняется, следует заштриховать область под линией. Если выбранная точка лежит под линией и неравенство выполняется, заштрихуйте участок под линией. Если неравенство не выполняется, следует заштриховать область над линией.
- В нашем примере точка (0,0) расположена ниже линии, и при подстановке координат неравенство не выполняется. Значит, следует заштриховать область над линией.^[2]
Реклама

1
Посмотрите на формулу. В квадратном уравнении хотя бы одна переменная возводится в квадрат. Обычно квадратное уравнение записывается в следующем виде: y=ax²+bx+c.
- При построении графика квадратного уравнения у вас получится парабола, то есть кривая в виде латинской буквы ‘U’.
- Для построения параболы необходимо знать координаты хотя бы трех точек, в том числе вершины параболы (ее центральной точки).
2

Определите a, b и c. Например, в уравнении y=x²+2x+1 a=1, b=2 и c=1. Каждый параметр представляет собой число, которое стоит перед переменной в соответствующей степени. Например, если перед x не стоит никакого числа, значит b=1, поскольку соответствующее слагаемое можно записать в виде 1x.
3

Найдите вершину параболы. Чтобы найти среднюю точку параболы, используйте выражение -b/2a. Для нашего примера получаем -2/2(1), то есть -1.
4

Составьте таблицу. Итак, мы знаем, что координата x вершины равна -1. Однако это лишь одна координата. Чтобы найти соответствующую ей координату y, а также две другие точки параболы, необходимо составить таблицу.
5
Постройте таблицу из трех строк и двух столбцов.
- Запишите координату x вершины параболы в центральной ячейке левого столбца.
- Выберите еще две координаты x на одинаковом расстоянии слева и справа (в отрицательную и положительную стороны вдоль горизонтальной оси). Например, можно отступить от вершины на 2 единицы влево и вправо, то есть записать в соответствующих ячейках -3 и 1.
- Можно выбрать любые целые числа, которые отстоят от вершины на равном расстоянии.
- Если вы хотите построить более точный график, вместо трех можно взять пять точек. В этом случае следует делать то же самое, только таблица будет состоять не из трех, а из пяти строк.
6
Используйте уравнение и таблицу, чтобы найти неизвестные координаты y. Берите по одной координате x из таблицы, подставляйте ее в заданное уравнение и находите соответствующую координату y.
- В нашем случае мы подставляем в уравнение y=x²+2x+1 вместо x -3. В результате находим y= -3²+2(-3)+1, то есть y=4.
- Записываем найденную координату y в ячейке возле соответствующей ей координаты x.
- Найдите таким образом все три (или пять, если вы используете больше точек) координаты y.
7

Нанесите на график точки. Итак, у вас получилось по крайней мере три точки с известными координатами, которые можно отметить на графике. Соедините их кривой в форме параболы. Готово!

Реклама

1

Постройте график параболы. В квадратном неравенстве используется формула, аналогичная квадратному уравнению, однако вместо знака ‘=’ стоит знак неравенства. Например, квадратное неравенство может выглядеть следующим образом: y<ax²+bx+c. Используйте шаги из предыдущего метода “График квадратного уравнения” и найдите три точки параболы.
2

Отметьте найденные координаты на графике. Хотя трех точек достаточно, чтобы провести параболу, пока что не делайте этого.
3

Соедините точки. В данном случае строится график неравенства, поэтому линия будет выглядеть несколько иначе.
4
Заштрихуйте график. Чтобы указать на множество решений, заштрихуйте тот участок графика, для которого выполняется неравенство. Для этого подставьте в формулу пару координат. Например, можно выбрать точку (0,0). Посмотрите, лежит ли точка с такими координатами снаружи или внутри параболы.
- Решите неравенство для выбранных координат. В нашем примере следует подставить в неравенство y>x²-4x-1 координаты (0,0). В результате получится выражение 0>0²-4(0)-1.
- Если точка лежит внутри параболы и неравенство выполняется, заштрихуйте внутреннюю область параболы. Если неравенство не выполняется, заштрихуйте внешнюю область.
- Если точка лежит за пределами внутренней области параболы и неравенство выполняется, заштрихуйте внешнюю область. Если неравенство не выполняется, заштрихуйте внутреннюю область параболы.^[3]
Реклама

1

Посмотрите на уравнение. Простейшим уравнением с модулем является выражение y=|x|. Уравнение может содержать также другие числа и выражения.
2
Приравняйте абсолютное значение к нулю. Просто подставьте вместо всех выражений под знаком модуля 0: | | =0. Рассмотрим пример y=|x-2|+1: в этом случае подставляем |x-2|=0. Отсюда находим, что абсолютное значение равно 2.
- Абсолютное значение представляет собой число точек от |x| до 0 вдоль числовой оси. Абсолютное значение |2| равно 2, и абсолютное значение |-2| также равно 2. Это потому, что 2 и -2 расположены от нуля на расстоянии 2.
- Под знаком модуля может стоять одна переменная x. В этом случае абсолютное значение равно 0. Например, уравнение y=|x|+3 приобретает вид y=|0|+3, то есть y становится равно 3.
3
Составьте таблицу. Понадобятся три строки и два столбца.
- Запишите в среднюю строку координату абсолютного значения.
- Выберите два других числа, которые отстоят на одинаковом расстоянии от уже записанной координаты x в большую и меньшую стороны. Если |x|=0, выберите два числа на одинаковом расстоянии от нуля.
- Хотя подойдут любые числа, удобнее выбирать значения неподалеку от первой координаты. Кроме того, это должны быть целые числа.
4

Решите неравенство. Необходимо найти соответствующие значения y для выбранных трех значений координаты x. Для этого подставьте величины координаты x в неравенство и найдите значения y. Запишите найденные значения в таблицу.
5

Отметьте точки на графике. Чтобы построить график уравнения с модулем, достаточно трех точек, хотя при желании можно использовать и больше. График уравнения с абсолютным значением будет иметь форму латинской буквы “V”. Нарисуйте на концах стрелки, чтобы показать, что линии продолжаются дальше.^[4]

Реклама

Советы

При построении графиков лучше использовать миллиметровую бумагу.
Попросите друга или преподавателя проверить, правильно ли вы построили график.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 58 463 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Уравнение вида

ax+by+c=0

, где (a, b, c) — числа (коэффициенты), называется линейным уравнением с двумя переменными (x) и (y).

Решением уравнения

ax+by+c=0

является пара чисел ((x); (y)), обращающая данное уравнение в верное равенство.

Пример:

изобрази решения линейного уравнения

−x+y−2=0

точками в координатной плоскости (xOy).

Несложно подобрать несколько решений: ((3; 5), (2; 4), (1; 3), (0; 2), (-2; 0)). Построим эти точки в координатной плоскости и убедимся, что они лежат на одной прямой (t).

Прямая (t) является графиком уравнения

−x+y−2=0

, или

прямая (t) является геометрической моделью этого уравнения.

Итак, если пара чисел ((x); (y)) удовлетворяет уравнению

ax+by+c=0

, то точка (М)((x); (y)) принадлежит прямой (t).

И обратно, если точка (М)((x); (y)) принадлежит прямой (t), то пара чисел ((x); (y)) удовлетворяет уравнению

ax+by+c=0

Графиком уравнения

ax+by+c=0

является прямая, если коэффициенты (a, b) не равны нулю одновременно.

Алгоритм построения графика уравнения

ax+by+c=0

, где

a≠0,b≠0

1. Выбрать любое удобное значение переменной

x=x1

и из уравнения

ax1+by+c=0

вычислить значение

y=y1

2. Выбрать другое значение переменной

x=x2

и из уравнения

ax2+by+c=0

вычислить значение

y=y2

3. На координатной плоскости (xOy) отметить точки:

x1;y1;x2;y2.

4. Через эти точки провести прямую — она и будет являться искомым графиком.

Пример:

начертить график уравнения

x−2y−4=0

1. Подставим (x=0) в уравнение, получим:

0−2y−4=0;−2y=4;y=4:−2;y=−2.

2. Подставим в уравнение (y=0), получим:

x−2⋅0−4=0;x−4=0;x=4.

3. Отметим полученные точки ((0; -2)) и ((4; 0)) в прямоугольной системе координат.

4. Проведём через эти точки прямую.

Она и будет графиком линейного уравнения

x−2y−4=0

Источник

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ — наглядно.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0;
и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Функция	Коэффициент «k»	Коэффициент «b»
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
ось ординат OY — в точке (0; b).
x=-b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, — b /_k) и положительные значения на промежутке (- b /_k, +∞)
При k b /_k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, — b /_k).
Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
Если k > 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 1 /₂x + 3, y = x + 3.

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = — 1 /₂x + 3, y = -x + 3.

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x — 2.

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = — b /_k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /_k; 0)

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
2 = -4(-3) + b
b = -10
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Линейная функция, ее свойства и график

теория по математике 📈 функции

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
Областью значений также является множество всех действительных чисел.
Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
При k=0 прямая параллельна оси х.
Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

у=2х – 1=2 × 0 – 1= –1;

у=2х – 1=2 × 3 – 1= 5.

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5),

Проводимость — способность живой ткани проводить возбуждение.

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

График данной функции зависит от k и b.

если k 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b 0, то выше ноля в точке y = b
если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Линейная функция

Функция называется линейной, если ее можно записать в виде (y=kx+b), где (k) и (b) -некоторые числа.

Функция не всегда сразу задана в виде (y=kx+b), иногда такой вид получится только после преобразований. Например, (y=6(x-1)+10x) — это линейная функция, потому что если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые мы получим (y=16x-6).

График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

Чтобы в этом убедиться построим графики функций (y=2x), (y=frac<1><3>x-5), (y=8).

Если вы вдруг забыли, как строить графики, можете прочитать об этом здесь.

Как меняется график при разных (k)?

Чтобы определить, как влияет на график коэффициент (k), построим несколько функций разными (k): (frac<1><3>),(-frac<1><3>),(2),(-2) и (0). При этом во всех функциях сделаем (b) одинаковым (равным нулю), чтобы убрать его влияние.
То есть, построим графики для функций: (y=frac<1><3>x), (y=-frac<1><3>x), (y=2x), (y=-2x), (y=0).

Заметьте, что при (k=2) и (frac<1><3>) — функция возрастает, а при (k=-2) и (-frac<1><3>) — убывает. На самом деле:

При любом (k>0) функция возрастает и при любом (k модуль (k), тем «круче» график.

Как по графику определить коэффициент k?

Сначала определим, возрастает или убывает функция. Если возрастает – знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус.
Дальше надо построить на прямой прямоугольный треугольник, так чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Примерно вот так:

Чтобы определить значение (k) по модулю (то есть, без учета знака), надо вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную. Можно использовать правило для запоминания: «стоячий бьет лежачего». В данных случаях (|k|=frac). То есть на первом графике (k=2),а на втором (k=-frac<1><4>).

Как меняется график при разных значениях (b)?

Чтобы определить, как (b) влияет на график, построим несколько функций с разными (b): (6), (2), (0), (-3) и (-8). При этом (k) пусть во всех функциях будет равен (2).

Не сложно заметить, что прямая либо поднимается на (b) (если (b>0)) либо опускается на (|b|) если
((b 0),(b>0)
2) (k 0)
3) (k 0), (b 0). Подходит вариант под цифрой 2).

B. — функция возрастает — (k>0). Точка пересечения оси (y) и прямой находится выше нуля, значит (b>0). Подходит вариант под цифрой 1).

Отмечаем точку (b) на оси игреков.

От неё идем вправо на количество клеточек равное знаменателю (k), и вверх на количество клеточек равное числителю (k) (если (k>0)) или вниз на тоже количество (если (k 0). Поэтому идем вправо на единицу и вверх на (3). Ставим точку.

Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции (y=-frac<1> <4>x-3).

(b=-3) отмечаем точку с этим значением на оси (y).

(k=-frac<1><4>), (k

Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте

Смотрите нас в YouTube

источники:

Линейная функция, ее свойства и график

http://cos-cos.ru/math/73/

Источник

Download Article

Graphing equations is a much simpler process that most people realize. You don’t have to be a math genius or straight-A student to learn the basics of graphing without using a calculator. Learn a few of these methods for graphing linear, quadratic, inequality, and absolute value equations.

1
Use the y=mx+b formula. To graph a linear equation, all you have to do it substitute in the variables in this formula.^[1]
- In the formula, you will be solving for (x,y).
- The variable m= slope. The slope is also noted as rise over run, or the number of points you travel up and over.
- In the formula, b= y-intercept. This is the place on your graph where the line will cross over the y-axis.
2

Draw your graph. Graphing a linear equation is the most simple, as you don’t have to calculate any numbers prior to graphing. Simply draw your Cartesian coordinate plane.^[2]

Advertisement
3
Find the y-intercept (b) on your graph. If we use the example of y=2x-1, we can see that ‘-1’ is in the point on the equation where you would find ‘b.’ This makes ‘-1’ the y-intercept.^[3]
- The y-intercept is always graphed with x=0. Therefore, the y-intercept coordinates are (0,-1).
- Place a point on your graph where the y-intercept should be.
4
Find the slope. In the example of y=2x-1, the slope is the number where ‘m’ would be found. That means that according to our example, the slope is ‘2.’ Slope, however, is the rise over run, so we need the slope to be a fraction. Because ‘2’ is a whole number and a fraction, it is simply ‘2/1.’^[4]
- To graph the slope, begin at the y-intercept. The rise (number of spaces up) is the numerator of the fraction, while the run (number of spaces to the side) is the denominator of the fraction.
- In our example, we would graph the slope by beginning at -1, and then moving up 2 and to the right 1.
- A positive rise means that you will move up the y-axis, while a negative rise means you will move down. A positive run means you will move to the right of the x-axis, while a negative run means you will move to the left of the x-axis.
- You can mark as many coordinates using the slope as you would like, but you must mark at least one.
5

Draw your line. Once you have marked at least one other coordinate using the slope, you can connect it with your y-intercept coordinate to form a line. Extend the line to the edges of the graph, and add arrow points to the ends to show that it continues infinitely.^[5]

1

Draw a number line. Because single-variable inequalities only occur on one axis, you don’t have to use Cartesian coordinates. Instead, draw a simple number line.^[6]
2
Graph your inequality. These are pretty simple, because they only have one coordinate. You will be given an inequality such as x<1 to graph. To do this, first find ‘1’ on your number line.^[7]
- If you are given a “greater than” symbol, which is either > or <, then draw an open circle around the number.
- If you are given a “greater than or equal to” symbol, either > or <, then fill in the circle around your point.
3

Draw your line. Using the point you just made, follow the inequality symbol to draw a line representing the inequality. If it is ‘greater than’ the point, then the line will go to the right. If it is ‘less than’ the point, then the line will be drawn to the left. Add an arrow to the end to show that the line continues and is not a segment.^[8]
4

Check your answer. Substitute in any number to equal ‘x’ and mark it on your number line. If this number lies on the line you have drawn, your graph is accurate.

1
Use the slope intercept form. This is the same formula used to graph regular linear equations, but instead of an ‘=’ sign being used, you will be given an inequality sign. The inequality sign will either be <, >, <, or >.^[9]
- Slope intercept form is y=mx+b, where m=slope and b=y-intercept.
- Having an inequality present means that there are multiple solutions.
2

Graph the inequality. Find the y-intercept and the slope to mark your coordinates. If we use the example of y>1/2x+2, then the y-intercept is ‘2’. The slope is ½, meaning you move up one point and to the right two points.^[10]
3

Draw your line. Before you draw it though, check the inequality symbol that is being used. If it is a “greater than” symbol, your line should be dashed. If it is a “greater than or equal to” symbol, your line should be solid.^[11]
4
Shade your graph. Because there are multiple solutions to an inequality, you must show all possible solutions on your graph. This means you will shade all of your graph above or below your line.
- Choose a coordinate — the origin at (0,0) is often the easiest. Make sure that you note if this coordinate is above or below the line you’ve drawn.
- Substitute these coordinates into your inequality. Following our example, it would be 0>1/2(0)+1. Solve this inequality.
- If the coordinate pair is a point above your line and the answer is true, then you would shade above the line. If the answer to the inequality is false, then you would shade below the line. If the coordinate lies below your line and the answer is true, then you shade below your line. If your answer is false, then shade above our line.
- In our example, (0,0) is below our line and creates a false solution when substituted into the inequality. That means that we shade the remainder of the graph above the line.^[12]

1
Examine your formula. A quadratic equation means that you have at least one variable that is squared. It will typically be written in the formula y=ax(squared)+bx+c.^[13]
- Graphing a quadratic equation will give you a parabola, which is a ‘U’ shaped curve.
- You will need to find at least three point to graph it, beginning with the vertex which is the centermost point.
2

Find ‘a,’ ‘b,’ and ‘c’. If we use the example y=x(squared)+2x+1, then a=1, b=2, and c=1. Each letter corresponds to the number directly before the variable it sits next to in the equation. If there is no number before ‘x’ in the equation, then the variable is equal to ‘1’ because it is assumed that there is 1x.^[14]
3

Find the vertex. To find the vertex, the point in the middle of the parabola, use the formula -b/2a. In our example, this equation would change to -2/2(1), which equals to -1.^[15]
4

Make a table. You now know the vertex, -1, which is a point on the x-axis. However, this is only one point of the vertex coordinate. To find the corresponding y-coordinate as well as two other points on your parabola, you will need to make a table.^[16]
5
Make a table that has three rows and two columns.^[17]
- Place the x-coordinate for the vertex in the top center column.
- Choose two more x-coordinates an equal number in each direction (positive and negative) from the vertex point. For example, we could go up two and down two, making the two numbers we fill in the other blank table spaces ‘-3’ and ‘1’.
- You can choose any numbers you want to fill in the top row of the table, as long as they are whole numbers and the same distance from the vertex.
- If you want to have a clearer graph, you can find five coordinates instead of three. Doing this is the same process as above, but give your table five columns instead of three.
6
Use your table and formula to solve for the y-coordinates. One at a time, take the numbers you have selected to represent the x-coordinates from your table and insert them into the original equation. Solve for ‘y’.^[18]
- Following our example, we could use our chosen coordinate of ‘-3’ to substitute into the original formula of y=x(squared)+2x+1. This would change to y= -3(squared)+2(3)+1, giving an answer of y=4.
- Place the new y-coordinate underneath the x-coordinate that you used into your table.
- Solve for all three (or five, if you want more) coordinates in this fashion.
7

Graph the coordinates. Now that you have at least three complete coordinate pairs, mark them on your graph. Draw a connecting them all into a parabola, and you’re finished!

1

Solve the quadratic formula. A quadratic inequality uses the same formula as the quadratic formula but will use an inequality symbol instead. For example, it will look like y<ax(squared)+bx+c. Using the complete steps from above in “Graphing a Quadratic Equation,” find three coordinates to graph your parabola.^[19]
2

Mark the coordinates on your graph. Although you have enough points to make your complete parabola, don’t draw the shape yet.^[20]
3
Connect the points on your graph. Because you are graphing a quadratic inequality, the line you draw will be a bit different.
- If your inequality symbol was “greater than” or “less than” (> or <), then you will draw a dashed line between the coordinates.
- If your inequality symbol was “greater than or equal to” or “less than or equal to” (> or <), then the line you draw will be solid.
- End your lines with arrow points to show that the solutions extend beyond the range of your graph.
4
Shade the graph. In order to show multiple solutions, shade the portion of the graph in which the solution could be found. To find out which part of the graph should be shaded, test a pair of coordinates in your formula. An easy set to use is (0,0). Note whether or not these coordinates lie within or outside of your parabola.
- Solve the inequality with the coordinates you’ve chosen. If we use an example of y>x(squared)-4x-1 and substitute the coordinates (0,0), then it will change to 0>0(squared)-4(0)-1.
- If the solution to this is true and the coordinates are inside the parabola, shade inside the parabola. If the solution is false, shade outside of the parabola.
- If the solution to this is true and the coordinates are outside the parabola, shade the outside of the parabola. If the solution is false, shade inside the parabola.^[21]

1

Examine your equation. The most basic absolute value equation will appear as y=|x|. Other numbers or variables may be involved though.^[22]
2
Make the absolute value equal to 0. To do this, make everything in the absolute value lines | | =0. If we use the example y=|x-2|+1, then we get the absolute value by making |x-2|=0. Then the absolute value becomes 2.
- The absolute value is the number of points from |x| to ‘0’ on a number line. So the absolute value of |2| is 2, and the absolute value of |-2| is also two. This is because in both cases, ‘2’ and ‘-2’ are 2 steps away from zero on the number line.
- You may have an absolute value equation where ‘x’ is alone. In that case, the absolute value is ‘0’. For example, y=|x|+3 changes to y=|0|+3, which equals to ‘3’.
3
Make a table. You want it to have three rows and two columns.^[23]
- Put the first absolute value coordinate in the into the top center column for ‘X’.
- Choose two other numbers an equal distance from your x-coordinate in each direction (positive and negative). If |x|=0, then move up and down an equal number of spaces from ‘0’.
- You can choose any numbers, although ones that are near the x-coordinate are most helpful. They must also be whole numbers.
4

Solve the inequality. You need to find the y-coordinate that pairs with the three x-coordinates you have. To do this, substitute the x-coordinate values into the inequality and solve for ‘y’. Fill these answers in on your table.
5

Graph the points. You only need three points to graph an absolute value equation, but you can use more if you would like. An absolute value equation will always form a “V” shape on your graph. Add arrows to the ends to show that the line extends further than the edge of your graph.^[24]

Add New Question

Question

How do you graph an equation without Y?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

If you’re graphing a linear equation, you can calculate y if you know m (the slope of the line) and b (the point at which the line crosses the Y-axis. Input any number for the variable x to solve for y, using the equation y = mx + b. For example, if m = .5 and b = 5, then the input 3 for x would give you the output 6.5. You can then plot a point at 3 on the X-axis and 6.5 on the Y axis. Use 2 or 3 more inputs to plot the line on the graph.
Question

How do you graph an equation without a graphing calculator?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

For most equations, you simply need to plot a few points on the graph by plugging in inputs and generating outputs. Then, you can draw a line through the points. Each input represents a position on the X-axis, while each output is positioned somewhere along the Y-axis. You would draw each dot between those two positions (for instance, if the input is 3 and the output is 6, line up your point so it’s directly above 3 on the X-axis and across from 6 on the Y-axis).
Question

How do you graph an equation with a fraction?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

Fractions are located between points on the appropriate axis. For instance, if your input (x) = 1/2 and the output (y) = 1, you’d plot the point directly above the halfway point between 0 and 1 on the x-axis, and directly across from 1 on the y-axis.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

It is best to use graph paper when graphing equations.
Have a friend or teacher review your work to verify that you are doing it correctly.

References

About This Article

Article SummaryX

To graph a linear equation, start by using the y equals mx plus b formula to find the y-intercept. For example, if y equals 2x minus 1, then the y-intercept would be negative 1. You’ll also need to find the slope, which would be 2/1, since it needs to be converted to a fraction. Next, draw your graph and place a point for the y-intercept, which would be negative 1 on the y axis. After that, plot your slope by beginning at the y-intercept, then moving up 2 and 1 to the right. Finally, connect the two points with a line. For more tips, like how to graph linear inequalities, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 158,592 times.

Reader Success Stories

Fenet Solomon

Mar 31, 2021

«Tomorrow is my exam and I learned this for like 2 years but I haven’t literally understood it. But this helped…» more

Did this article help you?

Источник

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

График линейного уравнения с двумя переменными
Примеры

График линейного уравнения с двумя переменными

В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c — свободным членом.

Если хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая.

Действительно:

$$ ax+by = c iff y = — frac{a}{b} x+ frac{c}{b} $$

Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:

$$ k = -frac{a}{b} , tilde b = frac{c}{b}$$

Графиком $y = kx+ tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).

Точки пересечения с осями координат:

${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = frac{c}{b}end{array} right.}, {left{ begin{array}{c} x = frac{c}{a} \ y = 0end{array} right.}$

Внимание!

График линейной функции ax+by=c с ненулевыми коэффициентами очень удобно чертить по двум точкам пересечения с осями координат: точка на оси X ( $frac{c}{a}$;0) и точка на оси Y (0; $frac{c}{b}$)

Равенство нулю коэффициентов при переменных:

$a = 0,b neq 0$

$a neq 0, b = 0$

$0x+2y = 4 Rightarrow y = 2$

График – прямая, параллельная оси Х.

$3x+0y = 3 Rightarrow x = 1$

График – прямая, параллельная оси У.

a = 0, b = 0, c = 0

a = 0, b = 0, $c neq 0$

0x+0y = 0

x, $y in Bbb R$ — любое действительное число.

График – вся координатная плоскость

0x+0y = 5

Решений нет.

График – пустое множество.

Взаимное расположение графиков двух уравнений

$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$

$ frac{a_1}{a_2} neq frac{b_1}{b_2} $

$ frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} neq frac{c_1}{c_2} $

$ frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2} $

Прямые пересекаются

Прямые параллельны

Прямые совпадают

Примеры

Пример 1. Постройте график линейного уравнения по двум точкам пересечения с осями.

Пример 2. Постройте в одной координатной плоскости графики, найдите точку пересечения:

а) x+2y = 4 и x-2y = 4

Точка пересечения (4;0)

б) x+y = 4 и x-y = -1

Точка пересечения (1,5;2,5)

Источник

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

График линейной функции, его свойства и формулы

Понятие функции

Понятие линейной функции

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

Решение задач на линейную функцию

Линейная функция, ее свойства и график

теория по математике 📈 функции

Свойства линейной функции

Пример №1

Пример №2.

Пример №3

Линейная функция

Функция называется линейной, если ее можно записать в виде (y=kx+b), где (k) и (b) -некоторые числа.

График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

Как меняется график при разных (k)?

При любом (k>0) функция возрастает и при любом (k модуль (k), тем «круче» график.

Как по графику определить коэффициент k?

Как меняется график при разных значениях (b)?

Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте

Смотрите нас в YouTube

References

About This Article

Reader Success Stories

Did this article help you?

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

График линейного уравнения с двумя переменными

Примеры

Не пропустите также: