Как найти главный фокус собирающей линзы

Построение в линзах

Для введённых нами линз существует два условно разных типа задач:

• задачи на построение в собирающей и рассеивающей линзах
• задачи на формулу для тонкой линзы

Первый тип задач основан на фактическом построении хода лучей от источника и поиска пересечения преломлённых в линзах лучей. Рассмотрим ряд изображений, полученных от точечного источника, который будем помещать на различных расстояниях от линз. Для собирающей и рассеивающей линзу существуют рассмотренные (не нами) траектории распространения луча (рис. 1) от источника .

Рис.1. Собирающая и рассеивающая линзы (ход лучей)

Для собирающей линзы (рис. 1.1) лучи:

1. синий. Луч, идущий вдоль главной оптической оси, после преломления проходит через передний фокус.
2. зелёный. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не испытывает преломления (не отклоняется от первоначального направления).
3. красный. Луч, идущий через передний фокус, после преломления распространяется параллельно главной оптической оси.

Пересечение любых из этих двух лучей (чаще всего выбирают лучи 1 и 2) дают изображение ( ).

Для рассеивающей линзы (рис. 1.2) лучи:

1. синий. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, преломляется так, что продолжения луча проходит через задний фокус.
2. зелёный. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не испытывает преломления (не отклоняется от первоначального направления).

Пересечение продолжений рассмотренных лучей даёт изображение ( ).

Аналогично сферическому зеркалу, получим набор изображений от предмета, расположенного на различных расстояниях от зеркала. Введём те же обозначения: пусть — расстояние от предмета до линзы, — расстояние от изображения до линзы, — фокусное расстояние (расстояние от фокуса до линзы).

Для собирающей линзы:

• (источник находится очень далеко от линзы). В этом случае мы можем считать, что все лучи от источника идут параллельно друг другу (рис. 2). Пустим два луча параллельно главной оптической оси линзы.

Рис. 2. Собирающая линза (источник в бесконечности)

Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе проходят через фокус, то точка фокуса и является точкой пересечения преломлённых лучей, тогда она же и есть изображение источника (точечное, действительное).

• 2F’ title=’displaystyle d>2F’/> (источник находится за двойным фокусным расстоянием) (рис. 3).

Рис. 3. Собирающая линза (источник за двойным фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Для визуализации изображения введём описание предмета через стрелку. Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (уменьшенное, действительное, перевёрнутое). Положение — между фокусом и двойным фокусом.

• (источник находится ровно в двойном фокусе) (рис. 4).

Рис. 4. Собирающая линза (источник в двойном фокусе)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (того же размера, действительное, перевёрнутое). Положение — ровно в двойном фокусе.

• d>F’ title=’displaystyle 2F>d>F’/> (источник между фокусом и двойным фокусом) (рис. 5)

Рис. 5. Собирающая линза (источник между двойным фокусом и фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (увеличенное, действительное, перевёрнутое). Положение — за двойным фокусом.

• (источник находится ровно в фокусе собирающей линзы) (рис. 6)

Рис. 6. Собирающая линза (источник в фокусе)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). В этом случае, оба преломлённых луча оказались параллельными друг другу, т.е. точка пересечения отражённых лучей отсутствует. Это говорит о том, что изображения нет.

• (источник находится между фокусом и главным оптическим центром) (рис. 7)

Рис. 7. Собирающая линза (источник перед фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Однако преломлённые лучи расходятся, т.е. сами преломлённые лучи не пересекутся, зато могут пересечься продолжения этих лучей. Точка пересечения продолжений преломлённых лучей — изображение (увеличенное, мнимое, прямое). Положение — по ту же сторону, что и предмет.

Для рассеивающей линзы построение изображений предметов практически не зависит от положения предмета, так что ограничимся произвольным положением самого предмета и характеристикой изображения.

• (источник находится очень далеко от линзы). В этом случае, мы можем считать, что все лучи от источника идут параллельно друг другу (рис. 8). Пустим два луча параллельно главной оптической оси линзы.

Рис. 8. Рассеивающая линза (источник в бесконечности)

Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе должны проходить через фокус (свойство фокуса), однако после преломления в рассеивающей линзе лучи должны расходится. Тогда в фокусе сходятся продолжения преломившихся лучей. Тогда точка фокуса и является точкой пересечения продолжений преломлённых лучей, т.е. она же и есть изображение источника (точечное, мнимое).

• любое другое положение источника (рис. 9).

Рис. 9. Рассеивающая линза (произвольное положение источника)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (продолжение отражённого луча проходит через передний фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Тогда изображением будет пересечение продолжений преломлённых лучей.

Второй тип задач связан с формулой тонкой линзы. Такие задачи основываются на числовых данных параметров, характеризующих положение источника, изображения или фокуса линзы. Рассмотрим произвольную систему (рис. 10). Пусть положение источника ( ), изображения ( ) и фокуса системы ( ) задано.

Рис. 10. Формула тонкой линзы

Тогда взаимосвязь между параметрами положения элементов можно описать формулой:

• где
  • — фокусное расстояние линзы,
  • — расстояние от предмета до линзы,
  • — расстояние от изображения до линзы.

Важно: для использования формулы (1) необходимо помнить правило расстановки знаков. Если линза собирающая, то 0′ title=’displaystyle F>0′/>, если рассеивающая, то . В случае действительных предметов и изображений: 0′ title=’displaystyle d>0′/>, 0′ title=’displaystyle f>0′/>, а в случае мнимых предметов и изображений: и .

И последним параметром, характеризующим линзы или систему линз, является оптическая сила линзы ( ). Её нахождение довольно простое:

• где
  • — оптическая сила линзы/системы линз,
  • — фокус линзы/системы линз.

Размерность оптической силы линзы: м =дптр (диоптрии). Оптическая сила собирающей линзы положительна, рассеивающей — отрицательна.

Вывод: задачи с линзами, в целом, разделены на два класса. Задачи на построение основываются на рисунках 2-9. Достаточно проанализировать ход лучей и найти изображение (рис.1). Численные значения в дано указывают на задачи на формулу тонкой линзы (1).

Источник

Для введённых нами линз существует два условно разных типа задач:

• задачи на построение в собирающей и рассеивающей линзах
• задачи на формулу для тонкой линзы

Первый тип задач основан на фактическом построении хода лучей от источника и поиска пересечения преломлённых в линзах лучей. Рассмотрим ряд изображений, полученных от точечного источника, который будем помещать на различных расстояниях от линз. Для собирающей и рассеивающей линзу существуют рассмотренные (не нами) траектории распространения луча (рис. 1) от источника .

Для собирающей линзы (рис. 1.1) лучи:

1. синий. Луч, идущий вдоль главной оптической оси, после преломления проходит через передний фокус.
2. зелёный. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не испытывает преломления (не отклоняется от первоначального направления).
3. красный. Луч, идущий через передний фокус, после преломления распространяется параллельно главной оптической оси.

Пересечение любых из этих двух лучей (чаще всего выбирают лучи 1 и 2) дают изображение ().

Для рассеивающей линзы (рис. 1.2) лучи:

1. синий. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, преломляется так, что продолжения луча проходит через задний фокус.
2. зелёный. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не испытывает преломления (не отклоняется от первоначального направления).

Пересечение продолжений рассмотренных лучей даёт изображение ().

Аналогично сферическому зеркалу, получим набор изображений от предмета, расположенного на различных расстояниях от зеркала. Введём те же обозначения: пусть  — расстояние от предмета до линзы,  — расстояние от изображения до линзы,  — фокусное расстояние (расстояние от фокуса до линзы).

Для собирающей линзы:

• (источник находится очень далеко от линзы). В этом случае мы можем считать, что все лучи от источника идут параллельно друг другу (рис. 2). Пустим два луча параллельно главной оптической оси линзы.

Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе проходят через фокус, то точка фокуса и является точкой пересечения преломлённых лучей, тогда она же и есть изображение источника (точечное, действительное).

• (источник находится за двойным фокусным расстоянием) (рис. 3).

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Для визуализации изображения введём описание предмета через стрелку. Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (уменьшенное, действительное, перевёрнутое). Положение — между фокусом и двойным фокусом.

• (источник находится ровно в двойном фокусе) (рис. 4).

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (того же размера, действительное, перевёрнутое). Положение — ровно в двойном фокусе.

• (источник между фокусом и двойным фокусом) (рис. 5)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется).  Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (увеличенное, действительное, перевёрнутое). Положение — за двойным фокусом.

• (источник находится ровно в фокусе собирающей линзы) (рис. 6)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). В этом случае, оба преломлённых луча оказались параллельными друг другу, т.е. точка пересечения отражённых лучей отсутствует. Это говорит о том, что изображения нет.

• (источник находится между фокусом и главным оптическим центром) (рис. 7)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Однако преломлённые лучи расходятся, т.е. сами преломлённые лучи не пересекутся, зато могут пересечься продолжения этих лучей. Точка пересечения продолжений преломлённых лучей — изображение (увеличенное, мнимое, прямое). Положение — по ту же сторону, что и предмет.

Для рассеивающей линзы построение изображений предметов практически не зависит от положения предмета, так что ограничимся произвольным положением самого предмета и характеристикой изображения.

• (источник находится очень далеко от линзы). В этом случае, мы можем считать, что все лучи от источника идут параллельно друг другу (рис. 8). Пустим два луча параллельно главной оптической оси линзы.

Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе должны проходить через фокус (свойство фокуса), однако после преломления в рассеивающей линзе лучи должны расходится. Тогда в фокусе сходятся продолжения преломившихся лучей. Тогда точка фокуса и является точкой пересечения продолжений преломлённых лучей, т.е. она же и есть изображение источника (точечное, мнимое).

• любое другое положение источника (рис. 9).

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (продолжение отражённого луча проходит через передний фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Тогда изображением будет пересечение продолжений преломлённых лучей.

Второй тип задач связан с формулой тонкой линзы. Такие задачи основываются на числовых данных параметров, характеризующих положение источника, изображения или фокуса линзы. Рассмотрим произвольную систему (рис. 10). Пусть положение источника (), изображения () и фокуса системы () задано.

Тогда взаимосвязь между параметрами положения элементов можно описать формулой:

(1)

• где

Важно: для использования формулы (1) необходимо помнить правило расстановки знаков. Если линза собирающая, то , если рассеивающая, то . В случае действительных предметов и изображений: , , а в случае мнимых предметов и изображений:  и .

И последним параметром, характеризующим линзы или систему линз, является оптическая сила линзы (). Её нахождение довольно простое:

(2)

• где

Размерность оптической силы линзы: м=дптр (диоптрии). Оптическая сила собирающей линзы положительна, рассеивающей — отрицательна.

Вывод: задачи с линзами, в целом, разделены на два класса. Задачи на построение основываются на рисунках 2-9. Достаточно проанализировать ход лучей и найти изображение (рис.1). Численные значения в дано указывают на задачи на формулу тонкой линзы (1).

Свойства тонкой линзы определяются главным образом расположением ее главных фокусов. Поэтому, зная расстояние от источника света до линзы, а также ее фокусное расстояние (положение фокусов), мы можем определить расстояние до изображения, опустив описание хода лучей внутри самой линзы. Поэтому в изображении на чертеже точного вида сферических поверхностей линзы необходимость отсутствует.

Схематически тонкие линзы обозначают отрезком со стрелками на конце. Они смотрят от центра в противоположные стороны, если линза собирающая, и они направлены к центру отрезка, если линза рассеивающая.

Внимание!

Напомним, что линзы могут давать действительные и мнительные изображения. Причем, собирающая линза может давать как действительные, так и мнимые изображения. Рассеивающая линза всегда дает только мнимые изображения.

Способ построения изображений, а также вид самих изображений в линзе зависит от того, где расположен изображаемый предмет. Он может располагаться за двойным фокусным расстоянием, в фокальной плоскости второго фокуса, между вторым и первым фокусом, в фокальной плоскости главного фокуса и на расстоянии меньше фокусного расстояния линзы.

Определение

Вторым фокусом называют точку, которая расположена на главной оптической оси от главного фокуса на расстоянии, равном фокусному расстоянию линзы. Относительно линзы он располагается на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию линзы.

Построение изображения в собирающей линзе

Предметы схематично изображаются в виде стрелки. Чтобы построить изображение предмета в собирающей линзе, нужно найти положение верхней и нижней точки этого изображения. Сначала находят положение точки изображения, соответствующей верхней точки предмета (точки А). Для этого из этой точки нужно пустить два луча:

Два вида лучей при построении изображений в линзе

Первый луч проходит из верхней точки предмета (точки А) параллельно главной оптической оси. На линзе (в точке С) луч преломляется и проходит через точку фокуса (точку F).

Второй луч необходимо направить из верхней точки предмета (точки А) через оптический центр линзы (точку О). Он пройдет, не преломившись.

На пересечении двух лучей обозначаем точку А₁. Это и будет изображение верхней точки предмета. Таким же образом нужно поступить с нижней точкой предмета. Но на пересечении вышедших из линзы лучей нужно поставить точку В₁. Изображение предмета при этом — А₁ В_1.

В зависимости от того, где расположен предмет, изображение может получиться действительным или мнимым, увеличенным или уменьшенным, перевернутым или прямым. Построим изображения для каждого из таких случаев.

Схема построения изображения	Расположение предмета относительно линзы + характеристика изображение
	Предмет располагается за двойным фокусом. Изображение: уменьшенное; перевернутое; действительное.
	Предмет располагается в фокальной плоскости второго фокуса. Изображение: перевернутое; действительное.
	Предмет располагается в пространстве между фокусом и двойным фокусом. Изображение: увеличенное; перевернутое; действительное.
	Предмет находится в фокальной плоскости. Изображения нет, поскольку лучи идут параллельно друг другу и не пересекаются.
	Предмет располагается между линзой и фокусом. Изображение: увеличенное; прямое; мнимое.

Пример №1. Построить изображение предмета, изображенного на рисунке. Определить тип изображения.

Чтобы построить изображение предмета, достаточно определить его положение одной точки — верхней. Поскольку предмет расположен параллельно линзе, для построения изображения, достаточно будет соединить найденную точку изображения для верхней точки предмета перпендикуляром, проведенным к главной оптической оси.

Чтобы построить изображение верхней точки, пустим от нее два луча — побочную оптическую ось через оптический центр и перпендикуляр к линзе. Затем найдем пересечение побочной оптической оси с преломленным лучом. Теперь пустим перпендикуляр к главной оптической оси и получим изображение. Оно является действительным, увеличенным и перевернутым.

Частный случай — построение изображения точки

Положение изображения точки можно найти тем же способом, описанным выше. Нужно лишь построить два луча и найти их пересечение после выхода из линзы (см. рисунок ниже). Так, изображению точки S соответствует точка S´.

Особую сложность составляет случай, когда точка расположена на главной оптической оси. Сложность заключается в том, что все лучи, которые можно построить, будут совпадать с главной оптической осью. Поэтому возникает необходимость в определении хода произвольного луча. Направим луч от точки S (луч SB) к собирающей линзе. Затем построим побочную оптическую ось PQ такую, которая будет параллельна лучу SB. После этого построим фокальную плоскость и найдем точку пересечения (точка С) фокальной плоскости с побочной оптической осью. Теперь соединим полученную точку С с точкой В. Это будет преломленный луч. Продолжим его до пересечения с главной оптической осью. Точка пересечения с ней и будет изображением точки S. В данном случае оно является мнимым.

Пример №2. Построить изображение точки, расположенной на главной оптической оси.

Чтобы построить изображение, пустим произвольный луч к линзе. Затем построим параллельную ему побочную оптическую ось и фокальную плоскость. Из места пересечения этой оси с фокальной плоскостью пустим луч, также проходящий через точку пересечения линзы с произвольным лучом. Построим продолжение луча до получения точки пересечения с главной оптической осью. Отметим точку пересечения — она является действительным изображением точки.

Построение изображения в рассеивающей линзе

Чтобы построить изображение предмета в рассеивающей линзе, нужно определить положения точек изображения, соответствующих верхней и нижней точкам предмета. Вот как определить положение точки изображения для верхней точки предмета:

1. Нужно пустить луч, перпендикулярный главной оптической оси. Этот луч после преломления отклонится. Но его продолжение обязательно пересечет главный фокус линзы.
2. Нужно пустить луч от верхней точки предмета через оптический центр линзы (построить побочную оптическую ось).
3. Точку пересечения продолжения луча, полученного в шаге 1, с побочной оптической осью, нужно обозначить за изображение верхней точки предмета (на рисунке это точка А´).

Точно такие же действия нужно выполнить для нижней точки предмета. В результате получится точка пересечения, соответствующая изображению нижней точки предмета (на рисунке это точка А´´).

Внимание! Независимо от расположения предмета относительно рассеивающей линзы, изображение всегда получается прямым, уменьшенным, мнимым.

Пример №3. Построить изображение предмета в рассеивающей линзе.

Чтобы построить изображение, пустим от верхней точки предмета побочную оптическую ось через оптический центр и проведем перпендикуляр к линзе. Затем из точки главного фокуса проведем луч через точку пересечения линзы с перпендикуляром. Пересечение этого луча с побочной оптической осью есть изображение верхней точки предмета. Теперь проведем от нее перпендикуляр к главной оптической оси. Это и будет являться изображением предмета. Оно является мнимым, уменьшенным и прямым.

Построение изображений в плоском зеркале

Определение

Плоское зеркало — это плоская поверхность, зеркально отражающая свет.

Построение изображения в зеркалах основывается на законах прямолинейного распространения и отражения света. Продемонстрируем это с помощью рисунка ниже.

Построим изображение точечного источника S. От точечного источника света лучи распространяются во все стороны. На зеркало падает пучок света ASB, и изображение создается всем пучком сразу. Но для построения изображения достаточно взять любые два луча из этого пучка. Пусть это будут лучи SO и SC.  Луч SO падает перпендикулярно поверхности зеркала АВ. Поскольку угол между ним и перпендикуляром, восстановленным в точке падения, равен 0, то угол падения принимаем равным за 0. поэтому отраженный пойдет в обратном направлении OS. Луч SC отразится под углом γ=α. Отраженные лучи OS и СК расходятся и не пересекаются, но если они попадают в глаз человека, то человек увидит изображение S₁, которое представляет собой точку пересечения продолжения отраженных лучей.

Таким образом, чтобы получить изображение в плоском зеркале, нужно:

• Пустить от источника света луч, перпендикулярный к плоскости зеркала (падающий луч совпадает с отраженным лучом).
• Пустить от источника света к плоскости зеркала еще один луч под произвольным углом.
• Построить отраженный луч от падающего луча, построенного в шаге 2, используя закон отражения света.
• Найти пересечение продолжений отраженных от зеркала лучей (пущенного под прямым углом и произвольным углом).

Внимание!

Изображение в зеркале всегда является мнимым. Это связано с тем, что изображение строится на пересечении продолжении лучей, а не на самих лучах.

Изображение в плоском зеркале находится от зеркала на таком же расстоянии, как предмет от этого зеркала. Это легко доказать тем, что треугольники SOC и S₁OC равны по стороне и двум углам. Следовательно SO = S₁O. Отсюда делаем вывод, что для построения изображения точечного источника света достаточно знать расстояние, на котором он находится от зеркала. Останется только провести к зеркалу перпендикулярную прямую и отложить на ней точку на нужном расстоянии.

При построении изображения какого-либо предмета последний представляют как совокупность точечных источников света. Поэтому достаточно найти изображение крайних точек предмета. Так, изображение А₁В₁ соответствует предмету АВ.

Изображение и сам предмет всегда симметричны относительно зеркала.

Пример №4. Построить изображение треугольника ABC в плоском зеркале.

Чтобы построить изображение, пустим к плоскому зеркалу перпендикулярные прямые. Затем измерим расстояние от каждой точки до зеркала и отложим их по перпендикуляру от зеркала в обратную сторону. Так для точки А мы находим точку А´, для В — В´, для С — С´.

Видно, что треугольник отразился зеркально (изображение и предмет симметричны друг другу). Так и должно быть в случае с зеркалом.

Алиса Никитина | Просмотров: 32.5k

Содержание:

Линзы:

На уроках природоведения вы. наверное, пользовались микроскопом. Кое-кто из ваших друзей (а может, и вы сами) имеет очки. Вероятнее всего, большинство из вас знакомы с биноклем, зрительной тру бой, телескопом. У всех этих приборов есть общее: их основной частью является линза.

Равные виды линз

Линзой (сферической*) называют прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями (в частности, одна из поверхностей может быть плоскостью). По форме линзы делятся на выпуклые (рис. 3.50) и вогнутые (рис. 3.51).

Если толщина линзы d во много раз меньше радиусов

Обычно выпуклые линзы являются собирающими: параллельные лучи, которые падают на собирающую линзу, пройдя сквозь нее, пересекаются в одной точке (рис. 3.53).

Вогнутые линзы чаще всего бывают рассеивающими: параллельные лучи после прохождения сквозь рассеивающую линзу выходят расходящимся пучком (рис. 3.54).

Линзы также бывают цилиндрическими, но встречаются такие линзы редко.

Характеристики линз

Проведем прямую, которая проходит через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу. Эту прямую называют главной оптической осью линзы. Точку линзы, которая расположена на главной оптической оси и через которую луч света проходит, не изменяя своего направления, называют оптическим центром линзы (рис. 3.55). На рисунках оптический центр линзы обычно обозначают буквой О.

Точку, в которой собираются после преломления лучи, параллельные главной оптической оси собирающей линзы, называют действительным фокусом собирающей линзы (рис. 3.56).

Если пучок лучей, параллельных главной оптической оси, направить на рассеивающую линзу, то после преломления они выйдут расходящимся пучком.

Однако их продолжения соберутся в одной точке на главной оптической оси линзы (рис. 3.57). Эту точку называют мнимым фокусом рассеивающей линзы.

На рисунках фокус линзы обозначают буквой F.

Расстояние от оптического центра линзы до фокуса называют фокусным расстоянием линзы.

Фокусное расстояние обозначается символом F и измеряется в метрах. Фокусное расстояние собирающей линзы договорились считать положительным (F>0), а рассеивающей — отрицательным (F<0).

Очевидно, что чем сильнее преломляющие свойства линзы, тем меньшим будет ее фокусное расстояние (рис. 3.58).

Физическая величина, характеризующая преломляющие свойства линзы и обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы.

Оптическая сила линзы обозначается символом D и вычисляется по формуле
где F — фокусное расстояние линзы.

Единицей оптической силы является диоптрия

1 диоптрия (дптр) — это оптическая сила такой линзы, фокусное рас стояние которой равняется 1 м.

Если линза собирающая, то ее оптическая сила положительна. Оптическая сила рассеивающей линзы отрицательна. Например, оптическая сила линз в бабушкиных очках +3 дптр, а в маминых -3 дптр. Это означает, что в бабушкиных очках стоят собирающие линзы, а в маминых — рассеивающие.
 

Пример №1

Оптическая сила линзы равняется -1,6 дптр. Каково фокусное расстояние этой линзы? Эта линза собирающая или рассеивающая?

Дано:

Анализ физической проблемы

Для определения фокусного расстояния этой линзы воспользуемся формулой для вычисления оптической силы линзы. Поскольку 1)< 0, то линза рассеивающая.

Поиск математической модели, решение:

Определим числовое значение искомой величины:

Ответ: F = -62,5 см, линза рассеивающая.

Итоги:

Прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями, называют линзой. Линзы бывают собирающими и рассеивающими, а по форме — выпуклыми и вогнутыми.

Линза называется собирающей, если пучок параллельных лучей, падающий на нее, после преломления в линзе пересекается в одной точке. Эту точку называют действительным фокусом линзы.

Линза называется рассеивающей, если параллельные лучи, падающие на нее, после преломления в линзе идут расходящимся пучком, однако продолжения этих преломленных лучей пересекаются в одной точке. Эта точка называется мнимым фокусом линзы.

Физическая величина, характеризующая преломляющие свойства линзы и являющаяся обратной фокусному расстоянию линзы, называется оптической силой линзы = Оптическая сила линзы измеряется в диоптриях (дптр).
 

Формула тонкой линзы

Сейчас никого не удивляет, что можно увидеть бактерии и другие микроорганизмы, рассмотреть невидимые невооруженным глазом детали рельефа поверхности Луны или полюбоваться портретом, нарисованным на маковом зернышке. Все это стало возможным потому, что с по мощью линзы получают разные по размеру изображения предметов.

Изображение предмета, полученное с помощью линзы

Расположив последовательно зажженную свечу, собирающую линзу и экран, получим на экране четкое изображение пламени свечи (рис. 3.59). Изображение может быть как большим, так и меньшим, чем само пламя, или равным ему — в зависимости от расстояния между свечой и экраном. Чтобы выяснить, при каких условиях с помощью линзы образуется то или иное изображение предмета, рассмотрим приемы его построения.
 

Строим изображение предмета, которое дает тонкая линза

Любой предмет можно представить как совокупность точек. Каждая точка предмета, который светится собственным или

1. — луч, проходящий через оптический центр О линзы (не преломляется и не изменяет своего направления);
2. — луч, параллельный главной оптической оси / линзы (после преломления в линзе идет через фокус F);
3. — луч, проходящий через фокус F (после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси/линзы)
4. отраженным светом, испускает лучи во всех направлениях.

Для построения изображения точки S, получаемого с помощью линзы, достаточно найти точку пересечения , любых двух лучей, выходящих из точки S и проходящих сквозь линзу (точка и будет действительным изображением точки S). Кстати, в точке пересекаются все лучи, выходящие из точки S, однако для построения изображения достаточно двух лучей (любых из трех показанных на рис. 3.60).

Изобразим схематически предмет стрелкой АВ и удалим его от линзы на расстояние, большее, чем 2F (за двойным фокусом) (рис. 3.61, а). Сначала построим изображение точки В. Для этого воспользуемся двумя «удобными* лучами (луч 1 и луч 2). Эти лучи после преломления в линзе пересекутся в точке . Значит, точка является изображением точки В. Для построения изображения точки А из точки опустим перпендикуляр на главную оптическую ось /. Точка пересечения перпендикуляра и оси / и является точкой

Значит, и является изображением предмета АВ, полученное с помощью линзы. Мы видим: если предмет расположен за двойным фокусом собирающей линзы, то его изображение, полученное с помощью линзы, будет уменьшенным, перевернутым, действительным. Такое изображение получается, например, на пленке фотоаппарата (рис. 3.61, б) или сетчатке глаза.

На рис. 3.62, а показано построение изображения предмета АВ, полученного с помощью собирающей линзы, в случае, когда предмет расположен

Изображение предмета в этом случае будет увеличенным, перевернутым, действительным. Такое изображение позволяет получить проекционная аппаратура на экране (рис. 3.62, б).

Если поместить предмет между фокусом и линзой, то изображения на экране мы не увидим. Но, посмотрев на предмет сквозь линзу, увидим изображение предмета — оно будет прямое, увеличенное.

Используя «удобные лучи» (рис. 3.63, а), увидим, что после преломления в линзе реальные лучи, вышедшие из точки В, пойдут расходящимся пучком. Однако их продолжения пересекутся в точке В,. Напоминаем, что в этом случае мы имеем дело с мнимым изображением предмета. То есть если предмет расположен между фокусом и линзой, то его изображение бу дет увеличенным, прямым, мнимым, расположенным с той же стороны от линзы, что и сам предмет. Такое изображение можно получить с помощью лупы (рис. 3.63, б) или микроскопа.

Итак, размеры и вид изображения, полученного с помощью собирающей линзы, зависят от расстояния между предметом и этой линзой.

Внимательно рассмотрите рис. 3.64, на котором показано построение изображения предмета, полученного с помощью рассеивающей линзы. Построение показывает, что рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение предмета, расположенное с той же стороны от линзы, что и сам предмет.

Мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда предмет значительно больше, чем линза (рис. 3.65), или когда часть линзы закрыта непрозрачным экраном (например, линза объектива фотоаппарата). Как создается изображение в этих случаях? На рисунке видно, что лучи 2 и 3 при этом не проходят через линзу. Однако мы, как и раньше, можем использовать эти лучи для построения изображения, получаемого с помощью линзы. Поскольку реальные лучи, вышедшие из точки В, после преломления в линзе пересекаются в одной точке — то «удобные лучи*, с помощью которых мы строим изображение, тоже пересеклись бы в точке

Как выглядит формула тонкой линзы

Существует математическая зависимость между расстоянием d от предмета до линзы, расстоянием f от изображения предмета до линзы и фокусным расстоянием F линзы. Эта зависимость называется формулой тонкой линзы и записывается так:

Пользуясь формулой тонкой линзы для решения задач, следует иметь в виду: расстояние f (от изображения предмета до линзы) следует брать со знаком минус, если изображение мнимое, и со знаком плюс, если изображение действительное; фокусное расстояние F собирающей линзы положительное, а рассеивающей — отрицательное.

Пример №2

Рассматривая монету с помощью лупы, оптическая сила которой +5 дптр, мальчик расположил монету на расстоянии 2 см от лупы. Определите, на каком расстоянии от лупы мальчик наблюдал изображение монет

Дано:

d = 2 см = 0,02 м

D = + 5 дптр

f- ?

Анализ физической проблемы, поиск математической модели

Лупу можно считать тонкой линзой, поэтому чтобы найти расстояние от лупы до изображения, воспользуемся
формулой тонкой линзы Фокусное расстояние F неизвестно, но мы знаем, что (2), где

D — оптическая сила линзы, данная в условии задачи.
Решение и анализ результатов

Подставив формулу (2) в формулу (1), получаем

Проверим единицу:

Найдем числовое

Проанализируем результат: знак ♦-* говорит о том, что изображение является мнимым.

Ответ: f = -21 см, изображение мнимое.

Итоги:

В зависимости от вида линзы (собирающая или рассеивающая) и местоположения предмета относительно этой линзы получают разные изображения предмета с помощью линзы (см.таблицу):

Таким образом, по типу изображения можно судить так и о местоположении предмета относительно нее.

Расстояние d от предмета до линзы, расстояние f от изображения до линзы и фокусное расстояние F связаны формулой тонкой линзы:

Что такое линза

Многие люди носят очки. А задумывались ли вы над вопросами: что собой представляют стекла очков и какова их роль? Стекла очков есть не что иное, как линзы. Ни один оптический прибор (от простой лупы до сложных телескопов) не обходится без линз. Что же такое линза?

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное криволинейными (чаще всего сферическими) или криволинейной и плоской поверхностями. Материалом для линз обычно служит оптическое или органическое стекло.

На рисунках 261, 262 представлены сечения линз двух типов: двояковыпуклой (см. рис. 261) и двояковогнутой (см. рис. 262). Одна из поверхностей линзы может быть плоской, как, например, на рисунке 263. Такие линзы называются плосковыпуклая (см. рис. 263, а) и плосковогнутая, (см. рис. 263, б).

Прямая, проходящая через центры сферических поверхностей (рис. 264), называется главной оптической осью линзы. Радиусы и есть радиусы кривизны поверхностей линзы (см. рис. 264).

Если толщина линзы мала но сравнению с радиусами кривизны ее поверхностей (см. рис. 264), то линза называется тонкой. Ее часто изображают Всякая тонкая линза имеет точку, проходя через которую, луч не меняет своего направления (лучи 1 и 2 на рисунке 264). Эта точка О называется оптическим центром линзы. В дальнейшем мы будем рассматривать только тонкие линзы, изготовленные из вещества, оптически более плотного, чем среда (воздух), в которой они находятся.

Как линзы меняют направление падающих на них лучей после преломления? Ответ получим с помощью опыта.

Направим на двояковыпуклую линзу (рис. 265, а) параллельно главной оптической оси лучи света. После преломления в линзе они пересекают главную оптическую ось в одной точке F. Значит, двояковыпуклая линза собирает преломленные лучи, поэтому такая линза называется собирающей. Также превращают параллельный пучок в сходящийся линзы 2, 3, изображенные на рисунке 270. При замене линзы на двояковогнутую (рис. 265, б) лучи после преломления в линзе расходятся, а центральный луч, как и в первом случае, не испытывает преломления. Итак, двояковогнутая линза рассеивает параллельный пучок падающих на нее лучей, поэтому такая линза называется рассеивающей. Рассеивают параллельный пучок и линзы 5, 6 (см. рис. 270).

Точка F (см. рис. 265, а, рис. 266, а), в которой пересекаются преломленные линзой лучи, падающие параллельно главной оптической оси, или их продолжения (см. рис. 265, б, рис. 266, б), называется главным фокусом линзы. Так как параллельные лучи можно пустить как с одной, так и с другой стороны линзы, то и главных фокуса у линзы два. Оба фокуса лежат на главной оптической оси симметрично относительно оптического центра линзы (см. рис. 266). А в какой точке собирает линза лучи, идущие под углом к главной оптической оси? Оказывается, в точке которая находится в плоскости (см. рис. 266, а), проходящей через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси. Эта плоскость называется фокальной плоскостью, а точка  в отличие от главного фокуса, называется фокусом.

Обратите внимание, что у собирающей линзы в фокусе пересекаются сами преломленные лучи, несущие энергию, поэтому фокус называется действительным. У рассеивающей линзы в фокусе пересекаются продолжения преломленных лучей. Такой фокус называют мнимым.

Расстояние от оптического центра до главного фокуса называется фокусным расстоянием. Его тоже принято обозначать буквой F.

Линза, имеющая более выпуклые поверхности, преломляет лучи сильнее. Линза 1 (рис. 267, а) преломляет лучи сильнее, чем линза 2 (рис. 267, 6). Фокусное расстояние у линзы 1 меньше, чем у линзы 2.

Чтобы количественно оценить преломляющую способность линзы, введем величину, обратную фокусному расстоянию, и назовем ее оптической силой линзы (обозначается буквой D):

Оптическая сила измеряется в диоптриях (сокращенно дптр). Очевидно, что D = 1 дптр, если фокусное расстояние линзы F = 1 м.

А как оценивается оптическая сила рассеивающей линзы, у которой фокус мнимый? В этом случае фокусное расстояние считается отрицательным, а следовательно, и оптическая сила — отрицательной величиной.

Например, если F = -0,5 м, то оптическая сила

Теперь для вас не будет загадкой рекомендация врача-окулиста: «Вам нужны очки со стеклами +1,5 диоптрии или -2 диоптрии».
 

Для любознательных:

Не следует думать, что любая линза с выпуклой поверхностью будет обязательно собирающей, а с вогнутой — рассеивающей. Собирающей является всякая линза, у которой середина толще краев (например, линзы 2, 2, 3 на рисунке 270), а рассеивающей — линза, у которой середина тоньше краев (см. рис. 270, линзы 4, 5, 6). И не забывайте, что все наши рассуждения справедливы, если вещество линзы (стекло) имеет большую оптическую плотность, чем окружающая среда (воздух).

В природе собирающими линзами являются капельки росы, в быту — наполненные водой прозрачные сосуды — кувшин, пластиковая бутылка. Подумайте и ответьте, какие это линзы.

Главные выводы:

1. Линзы меняют направление падающих на них лучей после преломления, за исключением тех, которые проходят через оптический центр линзы.
2. Собирающая линза после преломления делает параллельный пучок лучей сходящимся, рассеивающая линза — расходящимся.
3. Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после преломления в собирающей линзе пересекаются в главном фокусе. В рассеивающей линзе в главном фокусе пересекаются продолжения преломленных лучей.
4. Величина, обратная фокусному расстоянию, определяет оптическую силу линзы.

Построение изображений в тонких линзах

Глядя в окуляр микроскопа на уроках биологии, задумывались ли вы, как получается увеличенное изображение клеток? Главными частями микроскопа являются линзы. Именно они позволяют получать увеличенное или уменьшенное (например, в фотоаппарате) изображение предмета.

Какие изображения предмета создает линза?

Проведем опыт. На столе расположим экран, собирающую линзу и зажженную свечу (рис. 271, а), удаленную от линзы на расстояние б/, большее, чем удвоенное фокусное, т. е. d > 2F. Будем передвигать экран до тех пор, пока не увидим на нем четкое изображение пламени свечи. Чем оно отличается от изображения, которое мы увидим в зеркале, поместив перед ним эту же свечу? Во-первых, оно уменьшенное, во-вторых, перевернутое. Ио самое главное, что это изображение, в отличие от мнимого изображения в зеркале, реально существует. На экране концентрируется энергия света. Чувствительный термометр, помещенный в изображение пламени свечи, покажет повышение температуры. Поэтому полученное в линзе изображение называют действительным, в отличие от мнимых изображений, наблюдаемых в плоском зеркале.

Подтвердим сказанное построением (рис. 271, б). Для получения изображения точки А достаточно использовать два луча, ход которых после преломления в линзе известен. Луч 1 идет параллельно главной оптической оси и после преломления в линзе проходит через главный фокус. Луч 2 идет через оптический центр и не меняет своего направления после прохождения сквозь линзу. Точка А’, являющаяся пересечением прошедших линзу лучей и 2′, есть действительное изображение точки А. Заметим, что через точку А пройдет и любой другой преломленный луч идущий от точки А, благодаря чему энергия, излученная точкой А пламени свечи, будет сконцентрирована в точке А’.

Продолжим опыт. Поставим свечу на расстоянии d = 2F. Перемещая экран, мы увидим на нем действительное, перевернутое изображение пламени свечи, но размер его будет равен размеру пламени самой свечи (рис. 272). Сделайте сами построение изображения для этого случая.

Передвигая свечу ближе к линзе (F < d < 2F) и удаляя экран, мы увидим на нем действительное, перевернутое, увеличенное изображение пламени свечи (построение сделайте сами).

Наконец поставим свечу на расстоянии d от линзы, меньше фокусного, т. е. d

А какие изображения предмета дает рассеивающая линза? Пусть параллельно главной оптической оси надает луч 1 (рис. 275). После линзы преломленный луч идет так, что только его продолжение проходит через фокус. Луч 2 не испытывает преломления. Видно, что лучи и 2′ не пересекаются. В точке А’ пересекаются их продолжения. Тогда изображение точки А, а значит, и всего предмета АВ — мнимое. Как все мнимые изображения, оно прямое, но уменьшенное. Даст ли рассеивающая линза действительное изображение, если менять положение предмета? Может ли оно быть увеличенным? Ответьте на эти вопросы сами, сделав соответствующие построения изображений предмета в тетради.

Главные выводы:

1. Собирающая линза дает как действительные, так и мнимые изображения, рассеивающая — только мнимые.
2. Все мнимые изображения — прямые, все действительные — перевернутые.
3. Для нахождения изображения точки наиболее целесообразно использовать луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, и луч, идущий через ее оптический центр.

Пример №3

С помощью стеклянной линзы на экране, удаленном от линзы на расстояние f = 36 см, получено увеличенное в 3 раза изображение предмета. Определите расстояние от предмета до линзы и оптическую силу линзы.

Дано:

Н = Зh

f = 36 см

d — ?

D — ?

Решение

Построим изображение предмета в линзе (рис. 276).

Поскольку изображение есть на экране, то оно действительное. Кроме того, оно увеличенное, значит, предмет находится между фокусом и двойным фокусом, а линза собирающая.

По условию размер предмета АВ в 3 раза меньше размера изображения А’В’. Из подобия треугольников АОВ и А’ОВ’ следует, что таким же будет и соотношение их сторон ВО и OB’, Значит, искомое расстояние d будет в 3 раза меньше заданного расстояния f. Это дает первый ответ:  Для ответа на второй вопрос используем подобие другой нары треугольников — CFO и A’FB’. И здесь подобные стороны треугольников различаются в 3 раза.
Так как одна из них — OF равна фокусному расстоянию F линзы, а другая — FB’ равна разности f — F, то их связь можно записать так: 3F = f — F, или 4F = f = 36 см. Вычислив значение фокусного расстояния найдем и искомое значение оптической силы D линзы:

Ответ:

Оптическая сила и фокусное расстояние линзы

Граница разделения двух, прозрачных для света, тел может быть искривленной. Если прозрачное тело ограничить искривленными поверхностями, получим линзу (нем. linse — «чечевица»).

Линза — это прозрачное тело, ограниченное двумя выпуклыми или вво-гнутыми прозрачными поверхностями, преломляющими лучи света.
Одна из поверхностей линз может быть плоской. Линзы изготавливают из какого-либо прозрачного для света вещества: стекла, кварца, разных пластмасс, каменной соли, но чаще всего — из специальных сортов стекла.

Наибольшее распространение получили линзы, ограниченные сферическими поверхностями. В зависимости от взаимного размещения сферических поверхностей, ограничивающих линзу, различают 6 типов линз: двояковыпуклая, плоско-выпуклая, вогнуто-выпуклая (рис. 165, а, б, в); двояковогнутая, плоско-вогнутая, выпукло-ввогнутая (рис. 165, г, д, е).

Любая линза имеет характерные точки и линии. Выясним, какие именно.

1.    Прямую, проходящую через центры сферических поверхностей, которые ограничивают линзу, называют ее главной оптической осью (рис. 166).

2.    Точку О, которая лежит на главной оптической оси в центре линзы, называют оптическим центром линзы (рис. 166).

Опыт 1. Направим на линзу пучок лучей, параллельных ее главной оптической оси. Проходя через линзу, световые лучи преломляются и пересекаются в одной точке, лежащей на главной оптической оси линзы (рис. 167).

Эту точку называют главным фокусом линзы F.

3.    Главный фокус линзы F — точка, в которой сходятся все, параллельные главной оптической оси, лучи после их преломления в линзе.

4.    Фокусное расстояние f — расстояние от оптического центра линзы О до главного фокуса F.

Каждая линза имеет два главных фокуса.

Любая тонкая линза характеризуется двумя основными параметрами -фокусным расстоянием и оптической силой. Оптическую силу линзы обозначают большой буквой D и определяют по формуле:

Единицей оптической силы является одна диоптрия (1 дптр), 1 дптр = .

Как видно из опыта, линза преобразует пучок параллельных лучей в сходящийся, то есть собирает его в одну точку. Такую линзу называют собирательной.

Собирательная линза — это линза, которая световые лучи, падающие на нее параллельно ее главной оптической оси, после преломления собирает на этой оси в одну точку.

Опыт 2. Возьмем линзу другого типа и направим на нее параллельный главной оптической оси пучок лучей света. Лучи, преломившись на границе воздух-стекло, выходят из линзы расходящимся пучком, или рассеиваются (рис. 168).

Такую линзу называют рассеивающей.

Рассеивающая линза — это линза, которая световые лучи, падающие на нее параллельно ее главной оптической оси, после преломления отклоняет от этой оси.

Если пучок лучей, выходящий из рассеивающей линзы, продолжить в противоположном направлении, то продолжения лучей пересекутся в точке F, которая лежит на оптической оси с той же стороны, с которой свет падает на линзу. Эту точку F называют мнимым главным фокусом рассеивающей линзы (рис. 169).

Опыт 3. Пропустим световые лучи только через оптические центры линз. В результате опыта убеждаемся (рис. 170), что световые лучи, проходящие через оптический центр линзы, не преломляются, то есть не изменяют своего направления.

С помощью линз можно не только собирать или рассеивать световые лучи, но и строить изображение предметов. Как раз благодаря этому свойству линзы широко используют в практических целях.

Каким же образом строятся изображения предметов с помощью линз?

Изображение предмета — это воссоздание вида, формы и цвета предмета световыми лучами, проходящими через оптическую систему линз, которые имеют одну общую оптическую ось.

Если изображение предмета образовано пересечением самих лучей, то его называют действительным, если их продолжением — мнимым.

Определить ход лучей, отраженных всеми точками поверхности тела, невозможно. Поэтому для построения изображения будем использовать такие лучи, ход которых известен:

• 1.    Луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется (рис. 171, а).
• 2.    Луч, параллельный главной оптической оси линзы, после преломления в линзе проходит через главный фокус линзы (рис. 171, б).
• 3.    Луч, проходящий через главный фокус линзы, после преломления в ней, проходит параллельно главной оптической оси (рис. 171, в).

Рассмотрим случаи, при которых получается то или другое изображение, и особенности этих изображений.

1.    Предмет АВ размещен между линзой и ее фокусом F.

Построим изображение точки А, использовав для этого упомянутые лучи. Луч АС (рис. 172), параллельный главной оси линзы, преломившись в линзе, пройдет через главный фокус, а луч АО не изменит своего направления. Как видно на рисунке, эти лучи расходятся. Чтобы построить изображение точки А, следует продолжить лучи в противоположном направлении до пересечения, это будет точка Это изображение точки есть мнимым. Такое же построение хода лучей можно выполнить для всех точек предмета, находящихся между точками А и В. Изображение этих промежуточных точек будут лежать между. Таким образом, — изображение предмета АВ.

Если предмет находится между линзой и ее фокусом, то получают увеличенное, прямое, мнимое его изображение, размещенное дальше от линзы, чем сам предмет.

Такое изображение получают, когда пользуются лупой — прибором для рассматривания мелких предметов (например, чтения мелкого текста).

2.    Предмет размещен в главном фокусе линзы F.

Для построения изображения предмета АВ снова воспользуемся лучами АС и АО (рис. 173). После прохождения лучей сквозь линзу мы увидим, что они параллельны между собой. Следовательно, изображение предмета АВ мы не получим.

Если в главном фокусе разместить источник света, то мы превратим пучок расходящихся лучей на пучок параллельных лучей, который хорошо освещает отдаленные предметы.

Если предмет размещен в главном фокусе линзы F, изображение предмета получить нельзя.

3.    Предмет размещен между главным фокусом линзы F и двойным фокусом линзы 2F.

Во время построения изображения (рис. 174) мы видим, что лучи АС и АО после прохождения линзы пересекаются в точке . В этой точке образуется действительное изображение точки А. Изображение предмета АВ также будет действительным.

Если предмет находится между фокусом F и двойным фокусом 2F линзы, то образуется увеличенное, перевернутое и действительное изображение предмета; оно размещено с противоположной относительно предмета стороны линзы на расстоянии, больше двойного фокусного расстояния.

Такое изображение используют в проекционном аппарате, киноаппарате. Чтобы изображение на экране было прямым, диапозитивы или киноленту устанавливают в аппарат в перевернутом виде.

4.    Предмет находится в двойном фокусе линзы. 2F.

В этом случае линза дает (рис. 175) перевернутое, действительное изображение предмета такого же размера, как и он сам. Это изображение размещено в ее двойном фокусе 2F с противоположной относительно предмета стороны линзы.

5.    Если предмет находится за двойным фокусом линзы 2F (рис. 176), линза дает уменьшенное, перевернутое и действительное изображение предмета, которое размещено между ее главным фокусом F и двойным фокусом 2F с противоположной относительно предмета стороны линзы.

Такое изображение используют в фотоаппарате.

Пример №4

Почему не рекомендуется поливать растения днем, когда они освещены солнечными лучами, особенно те, на листьях которых остаются капельки воды?

Ответ: потому что капельки играют роль линз, фокусирующих солнечные лучи, и растения получают ожоги.

Пример №5

На рисунке 177 показан ход лучей в линзах. Какие это линзы?

Ответ: (слева направо) источник света, собирательная линза, рассеивающая линза.

Простые оптические приборы

Знания законов отражения и преломления света в зеркалах и линзах дали возможность создать ряд оптических приборов, имеющих важное значение для современной науки и техники. Их используют специалисты разных отраслей. Это микроскоп биолога и фотоаппарат журналиста, кинокамера оператора и телескоп астронома, перископ подводника и т. п. Кроме того, оптическими приборами являются очки миллионов людей разного возраста и специальностей.

Самый простой оптический прибор — лупа.

Лупа (франц. loupe — «нарост») — оптический прибор, являющийся собирательной линзой, применяется для рассматривания мелких деталей, плохо заметных невооруженным глазом.

Общий вид луп разного вида представлен на рисунке 181, а.

Чтобы увидеть изображение предмета увеличенным, лупу следует разместить так, чтобы данный предмет был между лупой и ее фокусом (рис. 181, б).

Лучи, падающие на лупу от крайних точек предмета, преломляются в линзе и сходятся.

Каким же образом все это видит наш глаз?

Оказывается, наш глаз не замечает преломления лучей. Лучи, идущие от предмета сквозь линзу, воспринимаются глазом как прямолинейные. Нам кажется, что лучи, идущие от лупы к глазу, продолжаются после лупы, не преломляясь. Благодаря этому мы видим предмет увеличенным по сравнению с его действительными размерами.

Лупа дает увеличение в 10-40 раз.

Значительное увеличение изображения предметов можно получить с помощью двух линз, размещенных в металлической трубе на определенном расстоянии друг от друга. Такой прибор называют микроскопом.

Микроскоп (греч. mikro — «маленький», skopeo — «смотрю») — оптический прибор для рассматривания мелких предметов и их деталей (рис. 182, а).

Ход лучей в микроскопе показан на рисунке 182, б. Линзу, размещенную со стороны глаза, называют окуляром (лат. oculus — «глаз»), а линзу, размещенную со стороны данного предмета, называют объективом (лат. objectivus — «предметный»).

Первое увеличение изображения предмета дает объектив. Предмет в микроскопе размещается немного дальше от фокуса обьектива. В результате этого выходит увеличенное и перевернутое изображение предмета.

Это изображение увеличивается еще раз линзой-окуляром: оно будто служит для окуляра предметом. Окуляр, подобно лупе, размещают на расстоянии (меньше фокусного) от промежуточного изображения. В итоге мы получаем новое, более увеличенное изображение.

Если, например, объектив микроскопа дает изображение предмета, увеличенное в 20 раз, а окуляр увеличивает это изображение в 15 раз, то общее увеличение, которое дает микроскоп, будет уже 20*15 = 300 раз.

Современные электронные микроскопы дают увеличение в десятки тысяч раз. Например, так выглядят под микроскопом бактерии, увеличенные в 25 000 раз (рис. 183).

Посмотрите еще раз на схему микроскопа (рис. 182, б). Объектив микроскопа — линза — имеет меньшее фокусное расстояние, чем окуляр этого прибора. А что будет, если мы возьмем объектив, который имеет большее фокусное расстояние, чем окуляр?

В этом случае мы получим новый прибор, который называют телескопом, или рефрактором (лат. refringo — «преломляю»). Такой телескоп создал еще в 1611 г. немецкий астроном Иоганн Кеплер. А вообще первый телескоп на основе зрительной трубы построил в 1609 г. Галилео Галилей.

Телескоп (греч. tele — «далеко», skopeo — «смотреть») — оптический прибор для астрономических исследований космических объектов (рис. 184).

Прохождение в телескопе лучей от небесного тела показано на рисунке 185.

Как следует из рисунка, изображение небесного тела в телескопе мы видим под большим углом зрения, в отличие от невооруженного глаза. Окуляр телескопа, как и окуляр микроскопа, действует как обычная лупа.

Следует отметить, что, рассматривая с помощью телескопа отдаленные предметы на Земле, мы видим их перевернутыми. Однако для наблюдения за небесными телами это обстоятельство не столь важно.

Самый большой телескоп-рефрактор установлен в Йеркской обсерватории университета в Чикаго (США). Его объектив в диаметре достигает 102 см.

Другой тип — это телескопы-рефлекторы (лат. reflecto — «отображаю»). В таких телескопах, кроме преломления лучей света, используют другое их свойство — способность отражаться от зеркальных поверхностей.

Изображение небесного тела отражается с помощью маленького плоского зеркальца и рассматривается с помощью окуляра (рис. 186), который увеличивает отраженное изображение.

Первый рефлектор с диаметром зеркала 2,5 см и фокусным расстоянием 16,5 см построил в 1668 г. Исаак Ньютон. Сегодня самым большим в мире является зеркальный телескоп HESS II, установленный в Намибии, его площадь достигает 600 . Устройство предназначено для изучения происхождения космических лучей.

Фотоаппарат — это оптический прибор, с помощью которого на цифровом устройстве (англ, digital device — «техническое устройство или приспособление, предназначенное для получения и обработки информации в цифровой форме, используя цифровые технологии»), фотопленке, фотопластинке, фотобумаге получают изображение предмета.

Сегодня существует много различных типов фотоаппаратов (рис. 187, а). Они отличаются формой и размерами, но их строение и основные части одинаковы. Ход лучей в фотоаппарате изображен на рисунке 187, б.

• Заказать решение задач по физике

Подробное объяснение формулы тонкой линзы

Линза называется собирающей, если после преломления в ней параллельный пучок становится сходящимся. Если же после преломления в линзе параллельный пучок становится расходящимся, то линза называется рассеивающей (рис. 58).

Основные типы линз и лучи, используемые для построения изображений в них, даны на рисунках 59, 60.

Величина, обратная фокусному расстоянию линзы, выраженному в метрах, называется ее оптической силой:

Единица оптической силы — диоптрия (1 дптр).

1 дптр соответствует оптической силе линзы с фокусным расстоянием I м: 1 дптр= 1 .

Между фокусным расстоянием F тонкой линзы, расстоянием от предмета до линзы d и расстоянием от линзы до изображения f существует определенная количественная зависимость, называемая формулой линзы.

Выведем формулу тонкой линзы, рассматривая ход характерных лучей (рис. 61).

Пусть расстояние от предмета до линзы d, расстояние от линзы до изображения f, фокусное расстояние линзы F, расстояние от предмета до переднего главного фокуса а, расстояние от заднего главного фокуса до изображения а’.

Из рисунка 61 видно, что следовательно

Из формул (1) и (2) следует формула Ньютона:

С учетом того, что d = а + F, f = а’ + F, получаем формулу тонкой линзы:

Поперечным увеличением Г называется отношение линейного размера изображения h’ к линейному размеру предмета h. Из выражения (3) находим

В 1604 г. в исследовании «Дополнения к Вителло» Кеплер изучал преломление света в линзах различной конфигурации и для малых углов падения пришел к формуле линзы.

Для практического использования формулы тонкой линзы следует запомнить правило знаков:

• для собирающей линзы, действительных источника и изображения величины F, d, f считают положительными;
• для рассеивающей линзы, мнимых источника и изображения величины F, d,f считают отрицательными.

Заметим, что предмет или источник является мнимым только в том случае, если на линзу падает пучок сходящихся лучей.

Таким образом, линза с F>0 является собирающей (положительной), а с F< 0 — рассеивающей (отрицательной).

Оптическая сила линзы зависит от свойств окружающей среды.

В современных оптических приборах используются системы линз для улучшения качества изображений. Оптическая сила D системы тонких линз, сложенных вместе, равна сумме их оптических сил :

Пример №6

Предмет расположен на расстоянии d = 0,15 м от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F=-0,30 м. На каком расстоянии f от линзы получается изображение данного предмета?

Решение

Из формулы тонкой линзы

находим

Отрицательное значение f соответствует мнимому изображению предмета.

Ответ: f =-0,10 м, изображение мнимое.

Пример №7

На каком расстоянии d от рассеивающей линзы с оптической силой D = -4 дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось в k = b раз меньше (Г = ) самого предмета?

Решение

Из формулы для увеличения

находим

Из формулы линзы

с учетом выражения для f получаем

Ответ: d= 1 м.

Пример №8

Определите фокусное расстояние F собирающей линзы, дающей мнимое изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии d- 0,4 м, если расстояние от линзы до изображения f =-1,2 м. 

Решение

Из формулы тонкой линзы

находим

Ответ: F= 0,6 м.

Разбираем формулу тонкой линзы

Линза называется собирающей, если после преломления в ней параллельный пучок становится сходящимся. Если же после преломления в линзе параллельный пучок становится расходящимся, то линза называется рассеивающей (рис. 80).

Величина, обратная фокусному расстоянию линзы, выраженному в метрах, называется ее оптической силой:

Единица оптической силы — 1 диоптрия (1 дптр).

1 дптр соответствует оптической силе линзы с фокусным расстоянием

Линзы можно представить в виде совокупности частей трехгранных призм. На рисунке 81, а изображена модель двояковыпуклой линзы, собранной из частей призм, повернутых основаниями к центру линзы. Соответственно, модель двояковогнутой линзы будет представлена частями призм, повернутых основаниями от центра линзы (рис. 81, б).

Преломляющие углы этих призм можно подобрать таким образом, чтобы падающие на нее параллельные лучи после преломления в призмах собрались в одной точке 

Линза считается тонкой, если ее толщина в центре намного меньше радиусов ограничивающих ее поверхностей. Тонкая линза дает неискаженное изображение только в том случае, если свет монохроматический и предмет достаточно мал, следовательно, лучи распространяются вблизи главной оптической оси. Такие лучи получили название параксиальных.

Отметим условия, при одновременном выполнении которых линза является собирающей:

• толщина в центре больше толщины у краев,
• ее показатель преломления больше показателя преломления окружающей среды.

При невыполнении (или выполнении) только одного из этих условий линза является рассеивающей.

Между фокусным расстоянием тонкой линзы, расстоянием от предмета до линзы и от линзы до изображения существует определенная количественная зависимость, называемая формулой линзы.

Выведем формулу тонкой линзы из геометрических соображений, рассматривая ход характерных лучей. Обратим внимание на луч, идущий через оптический центр  линзы, луч, параллельный главной оптической оси линзы, и луч, проходящий через главный фокус линзы.

Построим изображение предмета  в тонкой собирающей линзе (рис. 82). Пусть расстояние от предмета до линзы  расстояние от линзы до изображения  фокусное расстояние линзы  расстояние от предмета до переднего главного фокуса  расстояние от заднего главного фокуса до изображения  высота предмета  высота его изображения 

Из рисунка 82 видно, что  Из подобия треугольников следует:

Используя соотношения (1) и (2), получим:

Соотношение  называется формулой Ньютона.

С учетом того, что  (см. рис. 82), находим:  и подставляем в формулу (4):

Разделив обе части последнего выражения на  получаем формулу тонкой линзы:

Линейным (поперечным) увеличением Г называется отношение линейного размера изображения  к линейному размеру предмета  Из соотношения (3) находим линейное увеличение тонкой линзы:

В 1604 г. в исследовании «Дополнения к Вителло» И. Кеплер изучал преломление света в линзах различной конфигурации и для малых углов падения пришел к формуле линзы.

Для практического использования формулы линзы следует твердо запомнить правило знаков:

Заметим, что предмет или источник является мнимым, только в том случае, если на линзу падает пучок сходящихся лучей.

Таким образом, линза с  является собирающей (положительной), а с  — рассеивающей (отрицательной).

Оптическая сила линзы зависит от свойств окружающей среды (вспомните, как плохо мы видим под водой без плавательных очков).

В современных оптических приборах для улучшения качества изображений используются системы линз. Оптическая сила  системы тонких линз, сложенных вместе, равна сумме их оптических сил 

Пример №9

На каком расстоянии  от рассеивающей линзы с оптической силой  дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось в  раз меньше  самого предмета? Постройте изображение предмета.

Дано:

Решение

Из формулы для линейного увеличения

находим:

и с учетом выражения для  получаем:

Ответ: 

Изучаем линзы

Скорее всего, вы пользовались фотоаппаратом, знакомы с биноклем, подзорной трубой, телескопом, на уроках биологии работали с микроскопом. Некоторые из вас носят очки. Все эти устройства имеют общее — их основной частью является линза. О том, какое значение имеют данные устройства в жизни человека, вы можете рассказать и сами, а вот о том, что такое линза, какие существуют виды линз и каковы их свойства, вы узнаете из этого параграфа.

Линза — прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями*.

Одна из поверхностей линзы может быть плоскостью, поскольку плоскость можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса. Линзы также бывают цилиндрическими, но встречаются такие линзы редко.

По форме линзы делят на выпуклые (рис. 14.1) и вогнутые (рис. 14.2).

Рис. 14.1. Толщина выпуклой линзы посредине больше, чем у краев: а — вид; б — разные выпуклые линзы в разрезе

Рис. 14.2. Толщина вогнутой линзы посредине меньше, чем у краев: а — вид; б — разные вогнутые линзы в разрезе

Если толщина линзы во много раз меньше радиусов сферических поверхностей, ограничивающих линзу, такую линзу называют тонкой. Далее мы будем рассматривать только тонкие линзы. Прямую, которая проходит через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу, называют главной оптической осью линзы (рис. 14.3).

Рис. 14.3. Тонкая сферическая линза: — главная оптическая ось линзы; — толщина линзы; — радиусы сферических поверхностей, ограничивающих линзу; — оптический центр линзы

Если на линзу направить пучок световых лучей, они преломятся на ее поверхностях и изменят свое направление. В то же время на главной оптической оси линзы есть точка, которую луч света проходит практически не изменяя своего направления. Эту точку называют оптическим центром линзы (см. рис. 14.3).

Направим на линзу пучок лучей, параллельных ее главной оптической оси. Если лучи, пройдя сквозь линзу, идут сходящимся пучком, такая линза — собирающая. Точка F, в которой пересекаются преломленные лучи, — действительный главный фокус линзы (рис. 14.4).

Рис. 14.4. Ход лучей после преломления в собирающей линзе. Точка F — действительный главный фокус линзы

Линза является рассеивающей, если лучи, параллельные ее главной оптической оси, пройдя сквозь линзу, идут расходящимся пучком. Точку F, в которой пересекаются продолжения преломленных лучей, называют мнимым главным фокусом линзы (рис. 14.5).

Рис. 14.5. Ход лучей после преломления в рассеивающей линзе. Точка F — мнимый главный фокус линзы

Обратите внимание: любой пучок параллельных лучей, даже если эти лучи не параллельны главной оптической оси, после преломления в собирающей линзе всегда пересекаются в одной точке (рис. 14.6) (если линза рассеивающая, в одной точке пересекаются продолжения преломленных лучей).

Рис. 14.6. Ход параллельных лучей после преломления в собирающей линзе

Если оптическая плотность материала, из которого изготовлена линза, больше оптической плотности среды то выпуклая линза будет собирать лучи (будет собирающей), а вогнутая линза будет рассеивать лучи (будет рассеивающей) (см. рис. 14.4, 14.5).

Если оптическая плотность материала, из которого изготовлена линза, меньше оптической плотности среды то выпуклая линза будет рассеивающей (рис. 14.7, а), а вогнутая линза — собирающей (рис. 14.7, б).

Рис. 14.7. Выпуклая (а) и вогнутая (б) воздушные линзы в воде

Определение оптической силы линзы

Любая линза имеет два главных фокуса*, расположенных на одинаковом расстоянии от оптического центра линзы (см. рис. 14.8).

Далее главный фокус линзы, как правило, будем называть фокусом линзы.

Рис. 14.8. Чем меньше радиусы R сферических поверхностей, ограничивающих линзу, тем сильнее эта линза преломляет свет, а значит, тем меньше ее фокусное расстояние F

Расстояние от оптического центра линзы до главного фокуса называют фокусным расстоянием линзы.

Фокусное расстояние, как и фокус, обозначают символом F. Единица фокусного расстояния в СИ — метр:

Фокусное расстояние собирающей линзы договорились считать положительным, а рассеивающей — отрицательным. Очевидно, что чем сильнее преломляющие свойства линзы, тем меньше по модулю ее фокусное расстояние (рис. 14.8).

Физическую величину, которая характеризует линзу и является обратной фокусному расстоянию линзы, называют оптической силой линзы.

Оптическую силу линзы обозначают символом D и вычисляют по формуле:

Единица оптической силы — диоптрия:

1 диоптрия — это оптическая сила линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м. Оптическая сила собирающей линзы положительна, а рассеивающей линзы — отрицательна.

Подводим итоги:

Прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями, называют линзой. Линза является собирающей, если пучок параллельных лучей, падающий на нее, после преломления в линзе пересекается в одной точке (эта точка — действительный фокус линзы). Линза является рассеивающей, если параллельные лучи, падающие на нее, после преломления идут расходящимся пучком, а продолжения преломленных лучей пересекаются в одной точке (эта точка — мнимый фокус линзы).

Физическую величину, которая характеризует преломляющие свойства линзы и обратна ее фокусному расстоянию, называют оптической силой линзы: Единица оптической силы линзы — диоптрия

Построение изображений в линзах

Основное свойство линз заключается в том, что линзы дают изображение точки, а соответственно, и предмета (как совокупности точек) (рис. 15.1). В зависимости от расстояния между предметом и линзой изображение предмета может быть больше или меньше, чем сам предмет, мнимым или действительным. Выясним, при каких условиях с помощью линзы образуются те или иные изображения, и рассмотрим приемы их построения.

Рис. 15.1. Получение изображения пламени свечи с помощью собирающей линзы

Любой предмет можно представить как совокупность точек. Каждая точка предмета излучает (или отражает) свет во всех направлениях. В создании изображения участвует множество лучей, однако для построения изображения некоторой точки S достаточно найти точку пересечения любых двух лучей, выходящих из точки S и проходящих через линзу. Обычно для этого выбирают два из трех «удобных лучей» (рис. 15.2).

Точка S₁ будет действительным изображением точки S, если в точке пересекаются сами преломленные лучи (рис. 15.2, а). Точка будет мнимым изображением точки S, если в точке пересекаются продолжения преломленных лучей (рис. 15.2, б).

Рис. 15.2. Три самых простых в построении луча («удобные лучи»):

1. луч, проходящий через оптический центр О линзы, не преломляется и не изменяет своего направления;
2. луч, параллельный главной оптической оси линзы, после преломления в линзе идет через фокус или через фокус идет его продолжение (б);
3. луч, проходящий через фокус после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси линзы (а, б)

Рис. 15.3. а — построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен за двойным фокусом линзы; б — ход лучей в фотоаппарате

Строим изображение предмета, которое даёт линза:

Рассмотрим все возможные случаи расположения предмета АВ относительно собирающей линзы и докажем, что размеры и вид изображения зависят от расстояния между предметом и линзой.

1. Предмет расположен за двойным фокусом собирающей линзы (рис. 15.3, а). Сначала построим изображение точки Для этого воспользуемся двумя лучами — 1 и 2. После преломления в линзе они пересекутся в точке Значит, точка является действительным изображением точки Для построения изображения точки опустим из точки перпендикуляр на главную оптическую ось Точка пересечения перпендикуляра и оси I является изображением точки

Итак, — изображение предмета Это изображение действительное, уменьшенное, перевернутое. Такое изображение получается, например, на сетчатке глаза или пленке фотоаппарата (рис. 15.3, б).

2. Предмет расположен между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы (рис. 15.4, а). Изображение предмета действительное, увеличенное, перевернутое. Такое изображение позволяет получить на экране проекционная аппаратура (рис. 15.4, б).

Рис. 15.4. а — построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен между фокусом и двойным фокусом линзы; б — ход лучей в проекционном аппарате

3. Предмет расположен между фокусом и собирающей линзой (рис. 15.5, а). Лучи, вышедшие из точки после преломления в линзе идут расходящимся пучком. Однако их продолжения пересекаются в точке

В данном случае изображение предмета является мнимым, увеличенным, прямым. Изображение расположено по ту же сторону от линзы, что и предмет, поэтому мы не можем увидеть изображение предмета на экране, но видим его, когда смотрим на предмет через линзу. Именно такое изображение дает короткофокусная собирающая линза — лупа (рис. 15.5, б).

Рис. 15.5. а — построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен между линзой и ее фокусом; б — с помощью

4. Предмет расположен на фокусном расстоянии от собирающей линзы. После преломления все лучи идут параллельным пучком (рис. 15.6), следовательно, в данном случае ни действительного, ни мнимого изображения мы не получим.

Рис. 15.6. Если предмет расположен в фокусе собирающей линзы, мы не получим его изображения

Внимательно рассмотрите рис. 15.7, на котором показано построение изображений предмета, полученных с помощью рассеивающей линзы. Видим, что рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение, расположенное по ту же сторону от линзы, что и сам предмет.

Рис. 15.7. Рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение

Чаще всего предмет больше, чем линза, или часть линзы закрыта непрозрачным экраном (как, например, линза в объективе фотоаппарата). Изменяется ли при этом внешний вид изображения? Конечно же нет. Ведь от каждой точки предмета на линзу падает множество лучей, и все они собираются в соответствующей точке изображения. Если закрыть часть линзы, это приведет лишь к тому, что энергия, попадающая в каждую точку изображения, уменьшится. Изображение будет менее ярким, однако ни его вид, ни месторасположение не изменятся. Именно поэтому, строя изображение, мы можем использовать все «удобные лучи», даже те, которые не проходят через линзу (рис. 15.8).

Формула тонкой линзы:

Построим изображение предмета в собирающей линзе (рис. 15.9).

Рассмотрим прямоугольные треугольники и Эти треугольники подобны поэтому или

поэтому или

Приравняв правые части равенств (1) и (2), имеем то есть или Разделив обе части последнего равенства на получим формулу тонкой линзы:

или

где — оптическая сила линзы.

При решении задач следует иметь в виду:

Рис. 15.8. Построение изображения предмета в случае, когда предмет значительно больше линзы

Рис. 15.9. К выведению формулы тонкой линзы: h — высота предмета; Н — высота изображения; d — расстояние от предмета до линзы; f — расстояние от линзы до изображения; F — фокусное расстояние

Пример №10

Рассматривая монету с помощью лупы, оптическая сила которой +10 дптр, мальчик расположил монету на расстоянии 6 см от лупы. Определите: 1) фокусное расстояние линзы; 2) на каком расстоянии от лупы находится изображение монеты; 3) какое изображение дает лупа — действительное или мнимое; 4) какое увеличение дает лупа.

Анализ физической проблемы. Лупу можно считать тонкой линзой, поэтому воспользуемся формулой тонкой линзы. Фокусное расстояние найдем, воспользовавшись определением оптической силы линзы.

Дано:

Найти:

Поиск математической модели, решение

По определению

По формуле тонкой линзы: или Следовательно,

Зная расстояние определим увеличение

Найдем значения искомых величин:

Знак «-» перед значением говорит о том, что изображение мнимое.

Ответ: изображение мнимое;

Подводим итоги:

В зависимости от типа линзы (собирающая или рассеивающая) и месторасположения предмета относительно данной линзы получают разные изображения предмета:

Расположение предмета	Характеристика изображения в линзе
собирающей	рассеивающей
За двойным фокусом линзы	действительное, уменьшенное, перевернутое	мнимое, уменьшенное, прямое
В двойном фокусе линзы	действительное, равное, перевернутое
Между фокусом и двойным фокусом линзы	действительное, увеличенное, перевернутое
В фокусе линзы	изображения нет
Между линзой и фокусом	мнимое, увеличенное, прямое

Расстояние от предмета до линзы, расстояние от линзы до изображения и фокусное расстояние связаны формулой тонкой линзы:

Содержание:

1. Линзы и получение изображений с помощью линз
2. Собирающие и рассеивающие линзы. Оптические оси. Оптический центр линзы
3. Главные фокусы и фокальные плоскости линзы
4. Оптическая сила линзы
5. Построение изображения светящейся точки, расположенной на главной оптической оси линзы
6. Вывод формулы для сопряженных точек тонкой линзы
7. Построение изображения светящейся точки, расположенной на побочной оптической оси линзы
8. Построение изображений предмета, создаваемых линзой
9. Линейное увеличение, полученное с помощью линзы
10. Недостатки линз

Линза – это прозрачное тело, имеющая. 2. сферические поверхности. Она, является тонкой, если ее толщина меньше радиусов кривизны сферических поверхностей. Линза — это составляющая часть почти каждого оптического прибора.

На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.

Линзы и получение изображений с помощью линз

При помощи рассеивающей линзы невозможно получить действительное изображение. Изображение, даваемое рассеивающей линзой, является мнимым, прямым и уменьшенным, и не зависит от взаиморасположения линзы и предмета. При всех построениях лучей, проходящих через тонкую линзу, нужно лишь знать расположение оптического центра и главных фокусов.

Собирающие и рассеивающие линзы. Оптические оси. Оптический центр линзы

Для получения изображений различного вида в оптических приборах очень часто используют линзы.

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное двумя гладкими выпуклыми или вогнутыми поверхностями (одна из них может быть плоской). Чаще всего поверхности линзы делают сферическими, а саму линзу изготовляют из специальных сортов стекла, например флинтгласа, или других веществ с подходящим показателем преломления. Линзы подразделяются на выпуклые (рис. 30.1, а —в), которые толще к середине, и вогнутые (рис. 30.1, г—в), которые к середине тоньше.

Рис. 30.1.

Прямую, которая проходит через сферические центры кривизны поверхностей линзы С₁ и С₂ или через сферический центр С перпендикулярно к плоской поверхности линзы, называют главной оптической осью линзы. Световой луч, направленный вдоль оптической оси, проходит линзу не преломляясь. (Почему?)

Изменения в ходе лучей, создаваемые линзой, легко выяснить на модели из призм (рис. 30.2). Призмы можно подобрать так, что параллельные лучи, пройдя их, соберутся почти все в одной точке Ф (рис. 30.2, а). Если эти призмы сложить вплотную, то они образуют тело, по форме близкое к выпуклой линзе. Оказывается, выпуклая линза обладает свойством собирать параллельные лучи в одной точке. Поэтому выпуклые линзы называют собирающими.

Внутри каждой линзы на главной оптической оси имеется точка О (рис. 30.3), которая замечательна тем, что проходящий через нее луч идет после выхода из линзы в том же направлении, что и до линзы. Точку О называют оптическим центром линзы.

Рис. 30.3.

Плоскости, проведенные через точки А и В, параллельны. Следовательно, луч, проходящий через точку О, идет в линзе так же, как и в плоскопараллельной пластинке, т. е. смещается параллельно самому себе, не изменяя своего направления. Поскольку это смещение луча тем меньше, чем тоньше пластинка, то в достаточно тонких линзах этим смещением луча можно пренебречь, особенно если луч составляет малый угол в главной оптической осью линзы. В дальнейшем будем! рассматривать только тонкие линзы небольших размеров, в которые попадают лишь лучи, составляющие маленький угол с главной оптической осью линзы. Условные изображения тонких линз показаны на рис. 30.4 (а — собирающая, б — рассеивающая линза). Можно считать, что в тонких линзах луч, который проходит через оптический центр линзы, не преломляется. Всякую прямую, которая проходит через оптический центр линзы О (кроме главной оптической оси), называют побочной оптической осью (КМ, К’М’ на рис. 30.5).

Рис. 30.4.

Рис. 30.5.

Главные фокусы и фокальные плоскости линзы

Если на собирающую линзу направить пучок лучей, параллельных ее главной оптической оси, то они соберутся в точке Ф с другой стороны линзы (рис. 30.6, а). У рассеивающей линзы такие лучи после линзы идут расходящимся пучком (рис. 30.6, б), но таким образом, что их продолжения сходятся в одной точке Ф.

Рис. 30.6.

Точку Ф на главной оптической оси линзы, в которой сходятся лучи, идущие до преломления в линзе параллельно ее главной оптической оси, называют главным фокусом линзы. Из сказанного выше следует, что у собирающих линз главный фокус действительный, а у рассеивающих — мнимый. У каждой линзы имеется два главных фокуса, расположенных симметрично относительно ее оптического центра О. Расстояние F между главным фокусом линзы и ее оптическим центром называют главным фокусным расстоянием. Если главный фокус действительный, то F считают положительным, а если мнимый — отрицательным.

Когда лучи падают на линзу параллельно ее побочной оси, например АО (рис. 30.7), то после преломления в линзе они собираются на этой же оси в одной точке В, которую называют фокусом линзы. Очевидно, различных фокусов у линзы имеется множество, но, как показывает опыт, все они расположены в фокальной плоскости КМ. Фокальной называют плоскость, которая перпендикулярна главной оптической оси линзы и проходит через ее главный фокус. Каждая линза имеет две фокальные плоскости.
Итак, лучи, которые параллельны любой оптической оси линзы, собираются после преломления в точке пересечения этой оси с фокальной плоскостью линзы (рис. 30.7, а). У собирающей линзы фокальные плоскости действительные, а у рассеивающей — мнимые (рис. 30.7, б).

Рис. 30.7.

Оптическая сила линзы

Положение главного фокуса оказывает существенное влияние на размеры и вид изображений, полученных с помощью линзы.

Величину D, которая характеризует оптические свойства линзы, определяемые положением ее главного фокуса на оптической оси, называют оптической силой линзы. Оптическая сила линзы измеряется числом, обратным главному фокусному расстоянию этой линзы F:

   (30.1)

Единица оптической силы из (30.1):

В СИ за единицу оптической силы принимается диоптрия (дптр) — оптическая сила такой линзы, главное фокусное расстояние которой равно одному метру. Оптическую силу собирающих линз (как и фокусное расстояние F) условились считать положительной, а рассеивающих — отрицательной.

Оптическая сила линзы определяется кривизной ее поверхностей, а также показателем преломления ее вещества относительно окружающей среды и может быть вычислена по формуле

   (30.2)

где R₁ и R₂ — радиусы сферических поверхностей линзы, a n — показатель преломления вещества линзы относительно среды, в которой находится эта линза. При вычислениях числовое значение R для выпуклой поверхности линзы следует считать положительным, а для вогнутой — отрицательным. Заметим, что при n<1, т. е. когда вещество линзы является средой оптически менее плотной, чем окружающая ее среда, выпуклые линзы будут рассеивающими, а вогнутые — собирающими.

Построение изображения светящейся точки, расположенной на главной оптической оси линзы

С помощью линзы можно собрать в одну точку не только параллельные лучи. Опыт показывает, что лучи, попадающие на собирающую линзу из одной точки S, после линзы снова собираются в одной точке S₁ (рис. 30.8, а), т. е. линза создает действительное изображение светящейся точки S в точке S₁. Это изображение может быть и мнимым. На рис. 30.8, б показан ход лучей, падающих из точки S на рассеивающую линзу. После линзы они идут расходящимся пучком, но так, что их продолжения в обратную сторону сходятся в S₁. Выясним, как строится создаваемое линзой изображение светящейся точки, расположенной на главной оптической оси линзы, в трех случаях.

Рис. 30.8.

1. Точка S находится за главным фокусом линзы Ф (рис. 30.9). Так как в точке S, сходятся все лучи после преломления в линзе, то для определения положения точки S, достаточно установить, где пересекутся два таких луча.

Рис. 30.9.

Пусть прямая ФО является главной оптической осью собирающей линзы, а КМ — фокальная плоскость этой линзы. Луч, идущий из точки S вдоль главной оптической оси, проходит линзу не преломляясь, поэтому изображение точки S будет находиться на главной оптической оси ФО. Чтобы узнать, где именно будет изображение точки S, найдем ход произвольного луча SA после линзы. Для этого из точки О проведем побочную оптическую ось, параллельную лучу SA. Она пересечет фокальную плоскость КМ в некоторой точке A₁. Прямая, проведенная через точки А и A₁ устанавливает ход луча SA после преломления в линзе. Продолжив прямую AA₁ до пересечения с главной оптической осью, получим точку S₁, которая и определяет положение изображения точки S, создаваемого линзой. Ясно, что любой другой луч SB после преломления в линзе тоже пройдет через точку S₁ (рис. 30.9); побочная оптическая ось OB₁ параллельна лучу SB.

2. Точка S находится между главным фокусом и оптическим центром линзы (рис. 30.10). Как и в первом случае, изображение точки S будет находиться где-то на главной оптической оси. Чтобы установить, где именно, выделим произвольный луч SA, попадающий на линзу. Проведем побочную оптическую ось OA₁, параллельную SA, и затем — прямую AA₁ до пересечения с главной оптической осью в точке S₁. Последняя и определяет положение мнимого изображения точки S для рассматриваемого случая.

Рис. 30.10.

3. Светящаяся точка находится на главной оптической оси рассеивающей линзы (рис. 30.11). При построении изображения в этом случае фокальную плоскость надо брать с той же стороны линзы, с которой находится точка S. Изображение светящейся точки S и в этом случае должно быть на главной оптической оси линзы. Выделим произвольный луч SA и проведем параллельную ему побочную ось OA₁. Точка пересечения прямой AA₁ с главной оптической осью и определит положение мнимого изображения S₁. Заметим, что изображение действительного точечного источника света в рассеивающей линзе всегда получается мнимое.

Рис. 30.11.

Вывод формулы для сопряженных точек тонкой линзы

В предыдущем параграфе было показано, что положение изображения S₁ однозначно определяется положением самой светящейся точки S относительно линзы. Поэтому точки S и S₁ называют сопряженными точками линзы. Выведем формулу сопряженных точек линзы, позволяющую находить положение изображения S₁ с помощью вычислений.

Пусть на главной оптической оси собирающей линзы с оптическим центром О и фокусами Ф₁ и Ф₂ находится светящаяся точка S (рис. 30.12), изображение которой получилось в точке S₁. Напомним, что КМ — фокальная плоскость линзы, a Обозначим расстояние от светящейся точки S до оптического центра О через расстояние от изображения S₁ до оптического центра О — через и главное фокусное расстояние — через Из подобия треугольников  и  имеем

или

Рис. 30.12.

Из подобия треугольников и   можно написать

или

Поскольку правые части найденных пропорций равны, получаем

откуда

После деления обеих частей этого равенства на получим формулу cопряженных точек линзы:

   (30.3)

Так как справа стоит оптическая сила линзы, имеем

   (30.4)

Из (30.3) видно, что от перемены местами значений d и f формула не изменяется. Это означает, что светящаяся точка и ее изображение в линзе переместимы, т. е. если светящуюся точку поместить туда, где было ее изображение, то изображение получится там, где была светящаяся точка. Именно поэтому точки S и S₁ называют сопряженными.

Следует запомнить, что соотношения (30.3) и (30.4) применимы как к собирающим, так и к рассеивающим линзам. При расчетах числовые значения действительных величин всегда представляются со знаком плюс, а мнимых — со знаком минус. Например, для рассеивающей линзы на место F или D ставится число со знаком минус. Отрицательный ответ, полученный в результате вычислений, показывает, что соответствующая ему величина мнимая.

Напомним, что светящаяся точка S тоже может быть мнимой. На рис. 30.13, а показаны мнимый источник света S и его действительное изображение в собирающей линзе S₁, а на рис. 30.13, б— мнимый источник света S и его действительное изображение в рассеивающей линзе.

Рис. 30.13.

Построение изображения светящейся точки, расположенной на побочной оптической оси линзы

Когда светящаяся точка S находится на побочной оптической оси линзы, то линза создает ее изображение на той же оси. Выясним, как строится это изображение.

1. Точка S находится за фокальной плоскостью собирающей линзы (рис. 30.14). Для определения положения изображения S₁ можно воспользоваться любыми двумя из трех лучей, показанных на рис. 30.14. Луч 1 из точки S проводится параллельно главной оптической оси. После преломления в линзе он идет через главный фокус. Луч 2 проводится вдоль побочной оси, т. е. через оптический центр линзы. Этот луч проходит линзу, не преломляясь. Луч 3 проводится через главный фокус Ф. После преломления в линзе он идет параллельно главной оптической оси. Точка пересечения этих лучей после преломления в линзе S₁ и определяет положение действительного изображения точки S для этого случая.

Рис. 30.14.

2. Точка S расположена между фокальной плоскостью собирающей линзы и самой линзой (рис. 30.15). В этом случае из точки S можно провести три таких же луча, как и в первом случае. Точка пересечения двух любых из них S₁ определяет положение мнимого изображения точки S.

Рис. 30.15.

3. Точка S находится на побочной оси рассеивающей линзы (рис. 30.16). И в этом случае можно провести из точки S три таких же луча (как и в первом случае), но нужно помнить, что после преломления в линзе продолжение луча 1 должно проходить через фокус, который находится с той стороны линзы, где точка S. Луч 3 нужно проводить так, чтобы его продолжение проходило через фокус с другой стороны линзы, тогда после преломления в линзе луч пойдет параллельно главной оптической оси. Заметим, что изображение действительной светящейся точки S, создаваемое рассеивающей линзой, всегда мнимое.

Рис. 30.16.

Построение изображений предмета, создаваемых линзой

Пусть перед линзой расположен предмет, который мы в дальнейшем будем условно изображать стрелкой, перпендикулярной главной оптической оси линзы. Изображение этого предмета, создаваемое линзой, является совокупностью изображений отдельных его точек, поэтому для построения изображения предмета достаточно найти, где будут находиться изображения его крайних точек.

Различные типичные случаи построения изображений предмета АВ, создаваемых собирающей линзой, показаны на рис. 30.17. Само построение выполняют следующим образом. Сначала строят изображение точки А, затем — точки В. Полученные таким способом точки A₁ и B₁ соединяют прямой А₁В₁ которая и является изображением предмета АВ. Рассмотрим эти случаи.

Рис. 30.17.

1. Расстояние от предмета до линзы d больше 2F (рис. 30.17, а). В этом случае предмет и его изображение находятся по разные стороны линзы, а расстояние от линзы до изображения f оказывается больше F, но меньше 2F. Само изображение получается действительным, перевернутым и уменьшенным. В частности, когда светящийся предмет находится на бесконечно большом расстоянии от линзы его изображение получается в виде светящейся точки в главном фокусе линзы (рис. 30.17, б).

2. Расстояние от предмета до линзы d равно 2F (рис. 30.17, б). В этом случае предмет и его изображение находятся по разные стороны линзы, а расстояние от линзы до изображения F=d=2f. Само изображение получается действительным, перевернутым и в натуральную величину.

3. Расстояние от предмета до линзы d больше F, но меньше 2F (рис. 30.17, г). В этом случае предмет и его изображение находятся по разные стороны линзы, а расстояние от линзы до изображения f больше 2F. Само изображение получается действительным, перевернутым и увеличенным.

4. Предмет находится в главном фокусе линзы, т. е. расстояние от предмета до линзы d=F (рис. 30.17, д). В этом случае лучи от каждой точки предмета после преломления в линзе идут параллельным пучком. Это означает, что изображение должно получиться бесконечно большим и на бесконечно большом расстоянии от линзы, что практически равносильно отсутствию изображения.

5. Расстояние от предмета до линзы d меньше главного фокусного расстояния F (рис. 30.17, e). В этом случае предмет и его изображение находятся по одну сторону линзы, а расстояние от линзы до изображения f больше d. Само изображение получается мнимым, прямым и увеличенным.

Проследим, как изменяется изображение предмета и его расположение при перемещении предмета из бесконечности к линзе.

При перемещении предмета из бесконечности до расстояния 2F от линзы его перевернутое и действительное изображение, двигаясь от линзы, проходит расстояние от F до 2F и постепенно увеличивается, оставаясь меньше самого предмета. Когда предмет оказывается на расстоянии 2F от линзы, его перевернутое изображение в натуральную величину тоже оказывается на расстоянии 2F от линзы. При дальнейшем перемещении предмета к линзе до расстояния F от нее изображение предмета, которое уже больше самого предмета, постепенно возрастая, уходит в бесконечность.

Наконец, когда предмет движется от главного фокуса до линзы, его мнимое увеличенное изображение, которое находится сзади предмета, постепенно уменьшается и движется к линзе. Когда предмет приходит в соприкосновение с линзой, его мнимое изображение имеет натуральную величину и совпадает с предметом. Заметим, что переход изображения с одной стороны линзы на другую происходит в момент перемещения предмета через фокальную плоскость линзы. Таким образом, предмет и его изображение всегда движутся в одном направлении.

Построение изображения предмета, создаваемого рассеивающей линзой, показано на рис. 30.18. Рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное и прямое изображение предмета, которое находится между главным фокусом и линзой. Расстояние от этого изображения до линзы f всегда меньше расстояния от предмета до линзы d. В этом случае предмет и его изображение тоже всегда движутся в одном направлении, а когда предмет соприкасается с линзой, его изображение совпадает с ними и имеет натуральную величину.

Рис. 30.18.

Линейное увеличение, полученное с помощью линзы

В предыдущем параграфе было установлено, что с помощью линзы можно получать увеличенные изображения предметов. На практике линзы часто используют для получения именно таких изображений.

Линейным увеличением  называют отношение высоты (ширины) изображения предмета к истинной высоте (ширине) самого предмета. Если высоту предмета обозначить через h, а высоту изображения через H, то 

    (30.5)

Выясним, как связано увеличение  с расстояниями от линзы до предмета d и до его изображения f. На рис. 30.19 показаны положения предмета AВ и его изображения A₁B₁ относительно линзы. Из подобия и следует, что Поскольку получаем формулу для вычисления линейного увеличения, создаваемого линзой:

или     (30.6)

Рис. 30.19.

Из этих соотношений видно, что собирающая линза дает увеличение только в тех случаях, когда изображение оказывается дальше от линзы, чем предмет. (Подумайте, может ли рассеивающая линза дать увеличение, большее единицы).

Недостатки линз

Выясним, какие существенные недостатки встречаются у линз.

Первый недостаток заключается в том, что лучи, выходящие из одной точки S₁, которая лежит на главной оптической оси, сходятся не в одной, а в различных точках (рис. 30.20). Чем дальше от оптического центра О лучи из точки S₁ попадают на линзу, тем ближе к линзе находится их точка пересечения S₂. Такое явление называют сферической аберрацией (от латинского «аберрацио» — отклонение). Этот недостаток частично можно исправить с помощью диафрагмы, которая ограничивает пучок лучей, попадающих на линзу. Диафрагма устраивается таким образам, что она может изменять входное отверстие, через которое свет попадает на линзу. Сферическую аберрацию часто также устраняют с помощью соединения двух специально подобранных линз, сложенных вплотную. Сложную линзу или систему, у которой устранена сферическая аберрация, называют апланатом.

Рис. 30.20.

Второй недостаток относится к изображению светящейся точки S₁, расположенной на побочной оптической оси (рис. 30.21). Оказывается, что в этом случае возникают два изображения в виде отрезков прямых линий, расположенных перпендикулярно друг к другу в плоскостях I и II. Изображение точки S₁ можно получить лишь в виде расплывчатого светлого кружка S₂ между плоскостями I и II. Это явление называют астигматизмом. Линзу или систему линз, в которой устранен этот недостаток, называют анастигматом.

Рис. 30.21.

В § 29.7 говорилось, что показатель преломления зависит от частоты колебаний, т. е. от цвета лучей. Из-за этого фокус Ф_ф для фиолетовых лучей находится ближе к линзе, чем фокус Ф_к для красных лучей (рис. 30.22). Поэтому изображение точечного источника белого света получается расплывчатым и окрашенным по краям. Это явление называют хроматической аберрацией. Линзы и оптические системы, у которых этот недостаток устранен для двух цветов, называют ахроматическими, а в случае совпадения изображений, для трех цветов систему называют апохроматом.

Рис. 30.22.

Услуги по физике:

1. Заказать физику
2. Заказать контрольную работу по физике
3. Помощь по физике

Лекции по физике:

1. Физические величины и их измерение
2. Основные законы механики
3. Прямолинейное равномерное движение
4. Прямолинейное равнопеременное движение
5. Сила
6. Масса
7. Взаимодействия тел
8. Механическая энергия
9. Импульс
10. Вращение твердого тела
11. Криволинейное движение тел
12. Колебания
13. Колебания и волны
14. Механические колебания и волны
15. Бегущая волна
16. Стоячие волны
17. Акустика
18. Звук
19. Звук и ультразвук
20. Движение жидкости и газа
21. Молекулярно-кинетическая теория
22. Молекулярно-кинетическая теория строения вещества
23. Молекулярно — кинетическая теория газообразного состояния вещества
24. Теплота и работа
25. Температура и теплота
26. Термодинамические процессы
27. Идеальный газ
28. Уравнение состояния идеального газа
29. Изменение внутренней энергии
30. Переход вещества из жидкого состояния в газообразное и обратно
31. Кипение, свойства паров, критическое состояние вещества
32. Водяной пар в атмосфере
33. Плавление и кристаллизация
34. Тепловое расширение тел
35. Энтропия
36. Процессы перехода из одного агрегатного состояния в другое
37. Тепловое расширение твердых и жидких тел
38. Свойства газов
39. Свойства жидкостей
40. Свойства твёрдых тел
41. Изменение агрегатного состояния вещества
42. Тепловые двигатели
43. Электрическое поле
44. Постоянный ток
45. Переменный ток
46. Магнитное поле
47. Электромагнитное поле
48. Электромагнитное излучение
49. Электрический заряд (Закон Кулона)
50. Электрический ток в металлах
51. Электрический ток в электролитах
52. Электрический ток в газах и в вакууме
53. Электрический ток в полупроводниках
54. Электромагнитная индукция
55. Работа, мощность и тепловое действие электрического тока
56. Термоэлектрические явления
57. Распространение электромагнитных волн
58. Интерференционные явления
59. Рассеяние
60. Дифракция рентгеновских лучей на кристалле
61. Двойное лучепреломление
62. Магнитное поле и электромагнитная индукция
63. Электромагнитные колебания и волны
64. Природа света
65. Распространение света
66. Отражение и преломление света
67. Оптические приборы и зрение
68. Волновые свойства света
69. Действия света
70. Оптические приборы и глаз
71. Фотометрия
72. Излучение и спектры
73. Квантовые свойства излучения
74. Специальная теория относительности в физике
75. Теория относительности
76. Квантовая теория и природа поля
77. Строение и свойства вещества
78. Физика атомного ядра
79. Строение атома