Как найти функцию распределения формула

Формулы онлайн: Случайные величины

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте (в формате для скачивания — см. на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей).

Каталог формул по теории вероятности онлайн

Случайные величины. Способы задания

Ряд распределения дискретной случайной величины

Табличный вид:

$$
begin{array}{|c|c|}
hline
X_i & x_1 & x_2 & dots & x_n \
hline
p_i & p_1 & p_2 & dots & p_n \
hline
end{array}
$$

Сумма вероятностей всегда равна 1 (условие нормировки):

$$sum_{i=1}^{n} p_i=1$$

Примеры решенных задач с табличным законом распределения ДСВ

Функция распределения (интегральная функция распределения)

Функция распределения случайной величины $X$ определяется по формуле $F(x)=P(Xlt x)$. Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до 1. Если задана плотность распределения $f(x)$, то функция распределения выражается как интеграл от плотности:

$$
F(x)=int_{-infty}^x f(t), dt.
$$

Плотность распределения (дифференциальная функция распределения)

Плотность распределения случайной величины $X$ определяется по формуле $f(x)=F'(x)$. Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки (площадь под кривой вероятности равна 1):

$$
int_{-infty}^{+infty} f(x), dx=1.
$$

Примеры решенных задач о НСВ

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Может быть вычислена двумя способами:

1) через функцию распределения

$$P(alpha lt X lt beta) = F(beta)-F(alpha).$$

2) через плотность распределения

$$P(alpha lt X lt beta) = int_{alpha}^{beta} f(x), dx.$$

Случайные величины. Числовые характеристики

Математическое ожидание случайной величины

1) Для дискретной случайной величины $X$, заданной рядом распределения:

$$M(X) = sum_{i=1}^{n} x_i cdot p_i.$$

2) Для непрерывной случайной величины $X$, заданной плотностью распределения:

$$M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x)cdot x, dx.$$

Статья и калькулятор о математическом ожидании

Дисперсия случайной величины

По определению дисперсия – это второй центральный момент:

$$ D(X) =Mleft[ left(X-M(X)right)^2 right] =M(X^2)-left(M(X)right)^2.$$

1) Для дискретной случайной величины $X$:

$$ D(X)= sum_{i=1}^{n} x_i^2 cdot p_i — left(M(X)right)^2.$$

2) Для непрерывной случайной величины $X$:

$$M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x)cdot x^2, dx — left(M(X)right)^2.$$

Статья и калькулятор о дисперсии

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

$$sigma (X) = sqrt{D(X)}.$$

Статья и калькулятор о СКО

Коэффициент вариации случайной величины

$$V(X) = frac{sigma(X)}{M(X)}.$$

Начальный момент r–го порядка случайной величины

определяется по формуле:

$$nu_r = M(X^r)$$

В частности, первый начальный момент – это математическое ожидание: $nu_1=M(X^1)=M(X).$

Центральный момент r – го порядка случайной величины

определяется по формуле:

$$mu_r = Mleft[ left(X-M(X)right)^r right]$$

В частности, второй центральный момент – это дисперсия:

$$mu_2 = Mleft[ left(X-M(X)right)^2 right] = D(X).$$

Асимметрия

$$
A_s = frac{mu_3}{sigma^3}.
$$

Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого (правая часть кривой более пологая), и отрицателен в противном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.

Эксцесс

$$
E = frac{mu_4}{sigma^4}-3.
$$

Коэффициент эксцесса нормального распределения равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.

Решенные задачи по теории вероятностей

Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:

Полезные ссылки

2.2.7. Функция распределения случайной величины

Стандартное обозначение:

И для дискретной, и для непрерывной случайной величины она определяется одинаково:

, где – вероятность того, что случайная величина

 примет значение,

МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая«пробегает» все действительные значения от «минус» до

«плюс» бесконечности.

Построим функцию распределения для нашей подопытной игры:

Начинаем разбираться. Чему, например, равно значение ? Это вероятность того, что выигрыш будет меньше, чем –20. И это невозможное событие: . Совершенно понятно, что   и для всех «икс» из интервала , а также для . Почему? По определению функции распределения:
 – вы согласны?  Функция

 возвращает вероятность того,

что в точке  выигрыш

будет СТРОГО МЕНЬШЕ «минус» пяти.

Таким образом: , если .
На интервале  функция , поскольку левее

любой точки этого интервала есть только одно значение  случайной величины, которое появляется с вероятностью 0,5. Кроме того,

сюда же следует отнести точку ,

так как:
 – очень хорошо осознайте этот

момент!

Таким образом, если , то

Далее рассматриваем  промежуток . СТРОГО ЛЕВЕЕ любой точки этого промежутка находятся два выигрыша , поэтому:

И, наконец, если , то , ибо все значения

 случайной величины  лежат СТРОГО левее

любой точки интервала

Заметим, кстати, важную особенность: коль скоро функция  характеризует вероятность, то

она может принимать значения лишь из промежутка  – и никакие другие!

Итак, функция распределения вероятностей ДСВ является кусочной и, как многие знают, в таких случаях принято использовать

фигурные скобки:

График данной функции имеет разрывный «ступенчатый» вид:

Причём, функция  или её

график однозначно определяют сам закон распределения: в точке  высота «ступеньки» (разрыв) составляет  (следим по графику), в точке  «скачок» разрыва равен  и, наконец, в точке  он равен в точности .
Таким образом, функция распределения вероятностей – это ещё один способ ЗАДАТЬ случайную величину. И этот способ

особо важен для непрерывной случайной величины – по той причине, что её невозможно описать таблицей (ввиду бесконечного и

несчётного количества принимаемых значений). Однако, всему своё время, и НСВ – тоже.

Освоим технические моменты решения типовой задачи:

Задача 93
Построить функцию распределения случайной величины

Найти вероятности того, что случайная величина примет значение из следующих промежутков:

…, пожалуй, достаточно.

Решение: На практике удобно использовать формальный алгоритм построения функции распределения:

Сначала берём первое значение   и составляем нестрогое неравенство . На этом промежутке .

На промежутке  (между

 и ):

На промежутке  (между

 и ):

На промежутке  (между

 и ):

И, наконец, если  строго

больше самого последнего значения , то:

Легко заметить, что с увеличением «икс» идёт накопление (суммирование) вероятностей, и поэтому функцию  иногда называют интегральной функцией распределения. В

практических задачах проведённые выше действия обычно выполняют устно, а результат сразу записывают под единую скобку:

Выполним чертёж:

и проконтролируем правильность решения с помощью «скачков» графика: в точке  «скачок» равен , в точке составляет , в точке  равен , и, наконец, в точке  – .

При выполнении чертежа от руки оптимален следующий масштаб:
горизонтальная ось:  1 ед. = 2 или 1 тетрадная клетка;
вертикальная ось: 0,1 = 1 тетрадная клетка.

На левых концах ступенек (кроме нижнего луча) можно ставить выколотые точки – дело вкуса. Левый нижний луч следует прочертить жирно

(чтобы он не сливался с координатной осью) и до конца оси! Правая верхняя линия не должна заканчиваться раньше

острия оси! Такие оплошности могут говорить о непонимании функции распределения, а это, как вы понимаете, скверно. То было ручное

построение. Ну а о том, как строить такие красивые графики в Экселе можно узнать в этом ролике на Ютубе, к слову, полигон (многоугольник) распределения строится ещё проще.

Переходим ко второй части задания, её коротко можно сформулировать так:

2.2.8. Вероятность попадания в промежуток

2.2.6. Многоугольник распределения



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Наиболее общей
формой задания случайной величины
является функция распределения.

Функцей
распределения (интегральной
функцией)
случайной величины X
называется функция действительной
переменной х,
определяемая равенством

F(x) =P(X<x), (40)

где P(X
< x) –
вероятность того, что случайная величина
X примет
значение, меньшее x.

Основные свойства функции распределения

1.
Функция
распределения является неубывающей,
т. е. если x₁
< x₂,
то
.

2.

.

3.
Если возможные значения случайной
величины
,
то

при
,

,

.

4.
Вероятность того, что значение случайной
величины X
окажется на заданном интервале (a;b)
определяется формулой

.
(41)

Функция
распределения F(x)
для дискретной случайной величины X,
которая может принимать значения x₁,
x₂,
…, x_n
с соответствующими вероятностями, имеет
следующий вид:

,
(42)

где
символ означает,
что суммируются вероятности тех значений,
которые меньше x.

Пример
2.4. Найти
функцию распределения случайной
величины, если закон распределения
дискретной случайной величины задан
следующей таблицей:

Решение.

1.
При
.

,
так как величина X
не принимает значений меньше 0.

2.
При
.

.

3.
При
.

.

4.
При
.

F(x)
==
P(X
= 0) + P(X
= 1) + P(X
= 2) = 0,2 + 0,4 + 0,3 =
= 0,9.

5.
При x >
3.

F(x)
= P(X
= 0) + P(X
= 1) + P(X
= 2) + P(X
= 3) = 0,2 + 0,4 + 0,3 +
+ 0,1 = 1.

График
функции F(x)
отражен на рис. 2.2.

Рис. 2.2

Вероятность
попадания случайной величины X
в интервал (2;5) равна P(2
< X <
5) = F(5)
– F(2) =
1 – 0,6 = 0,4.

Пример
2.5. Охотник
имеет 4 патрона и стреляет до первого
попадания в цель (или пока не израсходуются
патроны). Найти функцию распределения
числа израсходованных патронов, если
вероятность попадания при каждом
выстреле равна 0,25.

Решение.
Вероятность попадания
р = 0,25,
следовательно q = 0,75.

Случайная
величина X
(число израсходованных патронов) имеет
следующие значения: x₁
= 1 (одно попадание), x₂
= 2 (один промах и одно попадание), x₃
= 3 (два промаха и одно попадание), x₄
= 4 (три промаха и одно попадание или
четыре промаха).

Найдем
вероятность того, что стрельба закончится
при четвертом выстреле, т. е. первые три
выстрела дали промахи, а четвертый
выстрел – попадание. Так как события
независимы, то искомая вероятность p
= q · q · q · p
= q³ · p.
Тогда искомый закон распределения
запишем в виде следующей таблицы:

.

Функция
распределения имеет вид:

Задачи для самостоятельного решения

1.
Игральную кость подбрасывают 3 раза.
Найти закон распределения случайной
величины X
(число невыпадений единицы).

X	0	1	2	3
P

2.
В партии 6 деталей, из которых 4 стандартных.
Наудачу отобраны 3 детали. Найти функцию
распределения случайной величины X
(число стандартных деталей среди
отобранных).

X	0	1	2	3
P

3.
Две игральные кости бросают 2 раза.
Написать закон распределения случайной
величины X
(число выпадений четного числа очков
на двух игральных костях).

4.
Подбрасываются две монеты. Найти функцию
распределения случайной величины X
(число выпадений герба
на верхних сторонах монеты). Построить
график этой функции.

5.
Из 25 контрольных работ, среди которых
5 оценены на “отлично”, наугад извлекают
3 работы. Найти функцию распределения
случайной величины X
(число оцененных на “отлично” работ
среди извлеченных). Используя функцию
распределения, найти вероятность события

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #