Как найти формулу движенья

Skip to content

Кинематика — это специальный раздел теоретической механики. Направление сформировалось несколько позднее, чем статика и динамика: во второй половине XIX столетия. Первые исследования в области кинематики были посвящены огнестрельному оружию. Ученые стремились понять процесс полета снаряда, производили расчет траектории его движения. В дальнейшем кинематика как научное направление получило широкое распространение и существенно повлияло на развитие технического прогресса.

Кинематика — описание

Кинематика является разделом механики, цель которого — изучение механического движения тел с пренебрежением к причинам, вызывающим это движение.

Механика представляет собой научную область физики, которой посвящены исследования механического движения тел. Основной целью данного направления служит определение точного положения тела в пространстве в любой момент времени. Важным понятием этого раздела является материальная точка в виде тела с определенной массой и размерами, которыми можно пренебречь для решения задачи при наличии следующих условий:

1. Путь, который преодолевает тело, существенно больше, чем его размеры.
2. Расстояние между телами значительно превышает их размеры.
3. Объект совершает поступательное движение.

Движение тела рассматривают в системе отсчета, состоящей из системы координат и прибора, измеряющего время. Траекторией называют линию, которую объект описывает, совершая движение. Путь является скалярной величиной, определяемой как длина траектории. Перемещением обозначают вектор, который соединяет начальное и конечное положение тела, преодолеваемое им в течение определенного промежутка времени.

Совершая движение, тело может только увеличивать пройденный путь, при этом перемещение увеличивается или уменьшается. К примеру, уменьшение перемещения наблюдается во время обратного движения тела. Если объект движется прямолинейно в одном направлении, то путь определяется модулем перемещения. В случае криволинейного движения — путь превышает перемещение. При рассмотрении замкнутой траектории перемещение будет равно нулю.

Теория и формулы

Благодаря многолетним исследованиям в области кинематики ученым удалось вывести определенные закономерности движения тела. С помощью справедливых уравнений представляется возможным ответить на многие вопросы о разных характеристиках, которые изменяются либо остаются постоянными во время движения объектов.

Путь, время, скорость

Расстояние представляет собой удаленность одной точки положения тела от другой. Тело преодолевает путь, который представляет собой важную характеристику механического движения. Общепринятым обозначением пути является латинская буква s. Данный параметр измеряют метрами и километрами, если речь идет о больших расстояниях.

Скорость представляет собой путь, который тело преодолело в течение единицы времени. В качестве единицы времени часто используют 1 час, 1 минуту, 1 секунду. Для расчета скорости необходимо определить отношение пути к времени движения. В случае, когда в условиях задачи расстояние измеряется в метрах, а время пути — в секундах, то скорость следует рассчитывать в метрах в секунду (м/с). Для обозначения скорости используют латинскую букву (v).

Нередко требуется определить время пути. Данный параметр обозначают с помощью латинской буквы (t).

Важно отметить, что скорость, путь и время взаимосвязаны. При известных характеристиках скорости и времени можно определить расстояние, которое преодолело тело. Путь в данном случае равен произведению скорости и времени, рассчитывается по формуле:

(s=vtimes t)

При известных величинах времени и расстояния достаточно просто определить скорость движения тела, руководствуясь следующим уравнением:

(v=frac{s}{t})

Равномерное движение

Равномерным движением называют движение тела, которое совершает равные перемещения в течение любых равных промежутков времени.

Скорость при равномерном движении определяется как отношение перемещения ко времени, в течение которого данное перемещение было совершено. Уравнение имеет следующий вид:

(vec{v}=frac{vec{s}}{t})

(vec{v}=const)

Проекция вектора скорости на ось ОХ выглядит таким образом:

(v_{x}=frac{s_{x}}{t})

(v_{x}=const)

Если вектор скорости спроецировать на ось координат, то она будет равна быстроте изменения данной координаты:

(v_{x}=frac{x-x_{0}}{t})

Прямолинейное равноускоренное движение

Прямолинейным равноускоренным движением называют движение по прямой траектории, для которого характерно постоянное ускорение.

Ускорение для прямолинейного равноускоренного движения обозначают следующим образом:

(vec{a}=const)

При таком движении можно наблюдать увеличение или уменьшение скорости. Чтобы определить скорость, необходимо выполнить следующий расчет:

(vec{v}=vec{v}_{0}+vec{a}t)

Если тело разгоняется в проекции оси ОХ, то скорость можно определить по формуле:

(v_{x}=v_{0x}+a_{x}t)

a>0, движение является равноускоренным.

Во время торможения в проекции на ось ОХ скорость рассчитывают следующим образом:

(v_{x}=v_{0x}-a_{x}t)

а<0, движение является равнозамедленным.

Графически зависимость ускорения от времени, то есть график ускорения во время равноускоренного движения тела, можно представить в виде:

График ускорения, характеризующий равноускоренное движение тела, представляет собой прямую, которая параллельна оси времени:

• график 1 находится над осью t, тело совершает разгон, ах>0;
• график 2 размещен под осью t, тело тормозит, ах<0.

Графически скорость или проекция скорости изображается в виде зависимости скорости от времени:

Графически скорость, характерная для равноускоренного движения тела, имеет вид прямой. График 1 направлен вверх, тело будет совершать равноускоренное движение в положительном направлении оси ОХ:

(v_{0x}>0)

(a_x>0)

(a_{1x} = tg α )

График 2 направлен вниз, тело будет двигаться равнозамедленно в положительном направлении оси ОХ:

(v_{0x}>0)

(a_x<0)

(a_{2x} = tg α )

График 3 направлен вниз, тело свершает равноускоренное движение против оси ОХ:

(v_{0x}<0)

(a_x<0)

Исходя из графика зависимости скорости от времени, определяют перемещение, которое тело преодолело в течение определенного промежутка времени (t_2-t_1). В этом случае целесообразно рассчитать площадь фигуры, расположенной под графиком. Формула для определения перемещения при равноускоренном движении имеет вид:

(S_{x}=v_{0x}t+frac{a_{x}t^{2}}{2})

(S_{x}=frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2a})

Перемещение в n-ую секунду во время равноускоренного движения можно определить по формуле:

(S_{n}=frac{a}{2}left(2n-1 right))

Определить координату тела, которое совершает равноускоренное движение, можно с помощью справедливого уравнения:

(x=x_{0}+v_{0x}t+frac{a_{x}t^{2}}{2})

Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз)

Во время падения тела вниз вектор его скорости направлен в ту же сторону, что и вектор ускорения свободного падения.

Формулы, описывающее это движения, имеют следующий вид:

(vec{v} ↑↑vec{g})

(h=v_{0}t+frac{gt^{2}}{2})

(v=v_{0}+gt)

(h=frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2g})

В случае, когда тело падает вниз и его начальная скорость равна нулю, (v_0=0). Время падения при этом можно рассчитать по формуле:

(t=sqrt{frac{2h_{0}}{g}})

(h) является начальной высотой.

Для брошенного вверх тела будут справедливы следующие равенства:

(h=v_{0}t-frac{gt^{2}}{2})

(v=v_{0}-gt)

(h=frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{-2g})

В максимальной верхней точке тело, брошенное вверх, будет обладать нулевой скоростью, (v=0). Для расчета времени подъема можно воспользоваться формулой:

(t=frac{v_{0}}{g})

Свободно падающее тело

Свободным падением называют движение тела в условиях безвоздушного пространства под действием силы тяжести.

В условиях свободного падения ускорения тел с разной массой будут равны. Данный параметр называют ускорением свободного падения. Оно всегда направлено к центру нашей планеты, то есть вертикально вниз. Величина обозначается латинской буквой g, а единицами измерения являются м/с².

Ускорение свободного падения равно 9,8 м/с². В задачах по физике допускается использовать значение g=10 м/с².

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Движением по окружности при постоянной по модулю скоростью называют простейшим видом криволинейного движения.

Траектория такого движения будет представлена в виде окружности. Вектор скорости тела приобретает направление по касательной к окружности. Модуль скорости тела при изменении времени остается постоянным, а направление движения в каждой точке изменяется. Из этого можно сделать вывод, что движение по окружности представляет собой движение с ускорением. В свою очередь ускорение, изменяющее направление скорости, носит название центростремительного.

Центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к ее центру.

Центростремительное ускорение является характеристикой быстроты изменения направления вектора линейной скорости. Параметр обозначается, как ацс. Единицами измерения центростремительного ускорения служат м/с². Формула для расчета следующая:

(а_{цс} = frac{v^{2}}{R})

Движение тела по окружности при постоянной по модулю скорости называют периодическим движением. Таким образом, его координата будет повторяться через одинаковые периоды времени. Периодом называют время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Обозначается величина как Т. Единицами измерения периода являются секунды, с. Для расчета справедливо равенство:

(T=frac{t}{N})

(N) является количеством оборотов, (t) — временем, за которое тело совершает обороты.

Частота вращения представляет собой количество оборотов за единицу времени. Обозначается параметр в виде латинской буквы (ν). Единицами измерения являются (с^{-1}) (Гц).

(nu=frac{N}{t})

Период и частота являются взаимно обратными величинами:

(T=frac{1}{nu})

(nu =frac{1}{T})

Линейная скорость представляет собой скорость движения тела по окружности. Параметр обозначают латинской буквой v, единицами измерения являются м/с. Линейная скорость направлена по касательной к окружности и рассчитывается по формуле:

(v=frac{2pi times R}{T})

(R) является радиусом окружности.

Угловой скоростью называют физическую величину, которая определяется как отношение угла поворота и времени, за которое тело совершает этот поворот. Обозначают параметр как ω. Единицами измерения угловой скорости являются рад/с. Угловая скорость определяется по формуле:

(omega =frac{varphi }{t})

(varphi) представляет собой угол поворота.

Направление угловой скорости определяют с помощью правила правого винта или буравчика. В случае, когда вращательное движение винта соотносится с направлением движения тела по окружности, то поступательное движение винта и направление угловой скорости совпадают. Связь параметров движения тела по окружности представлена следующими формулами:

(v=omega R)

(omega =frac{v}{R})

(a_{сц} = omega ^{2}R)

(omega = frac{2pi }{T})

(omega = 2pi v)

Во время равномерного движения тела по окружности точки, расположенные на радиусе, перемещаются с равной угловой скоростью, так как радиус за одно и то же время поворачивается на одинаковый угол. В это время линейная скорость разных точек радиуса отличается в зависимости от того, насколько близко или далеко от центра они размещены:

(v_{1}=omega r)

(v_{2}=omega R)

(frac{v_{1}}{v_{2}}=frac{r}{R})

При рассмотрении равномерного движения двух соединенных тел можно наблюдать отсутствие отличий в линейных скоростях, но при этом угловые скорости тел будут различны в зависимости от радиуса тела:

(omega _{1}=frac{v}{R_{1}})

(omega _{2}=frac{v}{R_{2}})

(frac{omega _{1}}{omega _{2}}=frac{R_{1}}{R_{2}})

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Движение тела, которое бросили под углом к горизонту, можно представить в виде суперпозиции двух движений:

1. Равномерного горизонтального перемещения.
2. Равноускоренного движения вертикально при ускорении свободного падения.

Формула скорости будет иметь следующий вид:

(v_{0x}=v_{x}=v_{0} cos alpha =const)

(v_{0y}=v_{0}sin alpha)

(v_{y}=v_{0}sin alpha-gt)

Уравнение координаты обладает следующим видом:

(x=v_{0}cos alpha times t)

(y=v_{0}sin alpha times t-frac{gt^{2}}{2})

Скорость тела в любое время будет равна:

(v=sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}})

Найти угол между вектором скорости и осью ОХ можно по формуле:

(tan beta =frac{v_{y}}{v_{x}}=frac{v_{0}sin alpha -gt}{v_{0}cos alpha })

Время подъема на максимальную высоту равно:

(t=frac{v_{0}sin alpha }{g})

Максимальную высоту подъема можно рассчитать с помощью формулы:

(h_{max}=frac{v_{0}^{2}sin ^{2}alpha}{2g})

Время полета соответствует уравнению:

(t=frac{2v_{0}sin alpha }{g})

Максимальную дальность полета можно рассчитать по формуле:

(L_{max}=frac{v_{0}^{2}sin 2alpha }{g})

Движение тела, брошенного горизонтально

Движение тела, которое бросили горизонтально, представлено в виде суперпозиции двух движений:

1. Равномерное горизонтальное движение со скоростью v0=v0x.
2. Равноускоренное вертикальное движение при ускорении свободного падения g с нулевой начальной скоростью.

Уравнение скорости:

(v_{x}=v_{0x}=const)

(v_{y}=g_{y}t=-gt)

Уравнение координаты:

(x=v_{0x}t=v_{x}t)

(y=frac{g_{y}t^{2}}{2}=h_{0}-frac{gt^{2}}{2})

Скорость тела в любое время будет определяться по формуле:

(v=sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}})

Дальность полета тела соответствует уравнению:

(l=v_{0x}t=v_{0x}sqrt{frac{2h_{0}}{g}})

Вычислить угол между вектором скорости и осью ОХ можно с помощью формулы:

(tan beta =frac{v_{y}}{v_{x}}=frac{-gt}{v_{0x}})

Задачи по кинематике, их решение

Задача 1

Рассмотрим путь велосипедиста из одного населенного пункта в другой. Половина расстояния была преодолена со скоростью 12 км/ч ((v_1)). Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью 6 км/ч ((v_2)). Остаток расстояния путник преодолел пешком со скоростью 4км/ч ((v_3)). Необходимо рассчитать среднюю скорость на всем пути следования велосипедиста.

Решение

Данный пример относится к теме равномерного прямолинейного движения одного тела. Процесс можно изобразить схематично:

(S = S_1 + S_2 + S_3)

(t = t_1 + t_2 + t_3)

На каждый отрезок пути необходимо составить уравнение движения:

(S_1 = v_1t_1)

(S_2 = v_2t_2)

(S_3 = v_3t_3)

Далее можно представить дополнительные условия задачи:

(S_1 = S_2 + S_3)

(t_2 = t_3)

(v_{sr}=frac{S}{t}=frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}})

Следует преобразить формулу и подставить числовые значения:

(v_{sr}=frac{2S_{1}}{frac{S_{1}}{v_{1}}+frac{2S_{1}}{v_{2}+v_{3}}}=frac{2v_{1}left(v_{2}+v_{3} right)}{2v_{1}+v_{2}+v_{3}})

(v_{sr}=frac{2times 12left(6+4 right)}{2times 12+6+4}=7)

Ответ: средняя скорость составляет (7) км/ч.

Задача 2

Тело подбросили вертикально вверх. Начальная скорость при этом составила 3,13 м/с ((v_0)). В момент, когда данное тело достигло максимальную высоту полета, из начального пункта подбросили второе тело с такой же начальной скоростью, как у первого. Необходимо определить на каком расстоянии от точки бросания встретятся тела. Сопротивлением воздуха при решении можно не учитывать.

Решение

Схематично перемещение тел можно представить следующим образом:

Формула, описывающая движение тела, которое подбросили вверх, необходима для вычисления координаты движущегося тела в любое время. Для первого тела справедливо уравнение:

(h=v_{0}t_{1}-frac{gt_{1}^{2}}{2})

Для второго тела можно представить следующую формулу:

(h=v_{0}t_{2}-frac{gt_{2}^{2}}{2})

Следующую формулу можно составить на основании условия задачи, в котором указано, что  второе тело бросили позднее первого на время максимального подъема:

(t_{1}-t_{2}=frac{v_{0}}{g})

Объединяя уравнения в систему из трех формул относительно величины (h) получим:

(h=frac{3}{4}frac{v_{0}^{2}}{2g})

(h=frac{3}{4}frac{3.13^{2}}{2*9.8}=0.37)

Ответ: тела встретятся на высоте (0,37) м.

Задача 3

Камень, находясь в свободном падении, вторую часть пути преодолел за 1 секунду. Необходимо вычислить высоту (h), с которой упал камень.

Решение

Ось Y системы координат, в которых падает камень, направлена вертикально вниз. В качестве начала координат можно принять точку, из которой камень упал. Закон перемещения данного тела в проекции на ось будет обладать следующим видом:

(h=v_{0}t+frac{gt^{2}}{2})

(h=frac{gt^{2}}{2})

(v=v_{0}t+gt)

(v=gt)

Время падения камня рассчитывается по формуле:

(t=sqrt{frac{2h}{g}})

Для середины пути, который преодолел камень, справедливы уравнения:

(frac{h}{2}=frac{gt_{1}^{2}}{2})

(t_{1}=sqrt{frac{h}{g}})

Время (t_2), которое потребовалось телу на преодоление второй половины пути, указанное в условии задачи, рассчитывается по формуле:

(t_{2}=t-t_{1}=sqrt{frac{2h}{g}}-sqrt{frac{h}{g}})

(t_{2}^{2}=frac{h}{g}left(sqrt{2} -1right)^{2})

Исходя из данного уравнения, можно вычислить высоту:

(t_{2}^{2}=frac{h}{g}left(sqrt{2} -1right)^{2})

(h=frac{t_{2}^{2}g}{left(sqrt{2}-1 right)^{2}}=frac{9,81}{0,17}=57,7)

Ответ: камень упал с высоты (57,7) м.

Решение задач по кинематике основано на простых формулах. Успешность результата зависит от умения грамотно применять справедливые уравнения в том или ином случае. Бывают ситуации, когда в процессе изучения физики возникают некоторые трудности. Простым решением будет обратиться к порталу Феникс.Хелп.

Для решения задач на движение по прямой используется одна основная формула:

где:

• Скорость (V) — расстояние, пройденное за единицу времени.
• Время (t) — время в пути.
• Расстояние (S) — пройденный путь, или расстояние.

Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко  вывести из неё формулу для скорости, или времени.

Если вы запомните эту формулу, то сможете решить любую задачу на движение, так как все задачи на движение по прямой — это применение данной формулы к одному или нескольким взаимосвязанным объектам.

Рассмотрим, как решать разные задачи на движение в зависимости от условий и уровня сложности.

Все задачи на движение делятся на следующие типы:

• простые задачи на скорость, время и расстояние;
• задачи на движение в разных направлениях: сближение и удаление;
• задачи на движение в одном направлении: сближение и удаление;
• решение задач на движение по реке.

Решение простых задач на движение: скорость, время и расстояние

В простых задачах на движение, как правило, есть один движущийся объект, для которого нужно найти неизвестную величину: скорость, время или расстояние. В данном случае применяется формула в ее первоначальном виде:

Задача 1. Автомобиль ехал 2ч со скоростью 85 км/ч. Определите расстояние. 
Решение: Вычислим путь по формуле: S=V × t= 2 ч * 85 км/ч = 170 км.

Задача 2. Велосипедист проехал 60 км за 5ч. Определите скорость.
Решение: Вычислим скорость велосипедиста по формуле: V = S:t = 60 км : 5 ч = 12 км/ч.

Задача 3. Мотоциклист проехал 30 км со скоростью 15км/ч. Сколько времени он затратил на этот путь? 
Решение: Вычислим время движения мотоциклиста по формуле: t = S:V = 30 км : 15 км/ч = 2 ч.

В таких задачах нужно также следить, чтобы были одинаковыми единицы измерения. Например, если расстояние измеряется в километрах, а время — в часах,  то скорость буде измеряться в км/час. Но если единицы измерения скорости — метр/час, а время дано в минутах, то в этом случае скорость и время нужно привести к одинаковым единица измерения, иначе ответ будет неверным.

Задача 4. Мотоциклист ехал 30 минут со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние он проехал?
Решение: для того, чтобы вычислить расстояние, нужно время и скорость привести к одинаковым единицам измерения. При этом есть 2 способа:
1) Переведем время: 30 минут = 30/60 = 0,5 часа.
Найдем расстояние: 60 км/ч * 0,5 ч = 30 км.
2) Переведем скорость: 60 км/ч = 60км / 1час = 60км / 60 мин = 1км/мин.
Найдем расстояние: 1км/мин*30минут = 30 км.

Решение задач на движение в разных направлениях: сближение (встречное движение) и удаление (противоположное движение)

При встречном движении расстояние между объектами уменьшается. Объекты приближаются друг к другу со скоростью сближения.
Скорость сближения находится по формуле:

При движении в противоположных направлениях скорости объектов направлены в разные стороны. Объекты удаляются друг от друга со скоростью удаления.
Скорость удаления находится по формуле: 

При решении подобных задач лучше нарисовать схему движения, чтобы было легче решать.

Задача 5. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого велосипедиста 10 км/ч, второго — 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся? 
Решение: 1) Найдем скорость сближения: V=10+8 = 18 км/ч.
2) Найдем время: t = S:V = 36 : 18 = 2 ч.

Задача 6. Два пешехода вышли одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого пешехода 3км/ч, второго — 4км/ч. Какое расстояние между ними будет через 30 минут?
Решение: 1) Найдем скорость удаления пешеходов: V = 3+4=7 км/час.
2) Переведем в соответствие единицы измерения: t=30 мин = 0,5 ч.
3) Найдем расстояние: S=V × t = 7 × 0,5 = 3,5 км.

Задача 7. Два автобуса выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 300 км. Через 2 часа они встретились. Найдите второго второго автобуса, если первый ехал со скоростью 70 км/ч.
Решение. 1) Нам известно расстояние и скорость, поэтому найдем скорость по формуле: V = S:t = 300:2=150км/ч. Это скорость сближения.
2) Найдем скорость второго автобуса: 150-70 = 80км/ч.

Решение задач на движение в одном направлении: сближение и удаление

Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “догоняет” второй, то расстояние между объектами уменьшается.
Скорость сближения при таком движении определяют по формуле:

Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “отстает” от второго, то расстояние между объектами увеличивается.
Скорость удаления при таком движении определяют по формуле:

Если объект движется в стоячей воде (озере), то его скорость называют собственной скоростью объекта. То есть, скорость объекта равная собственной скорости объекта.

Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость равна нулю (V=0). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

Задача 8. Расстояние между двумя автомобилями, движущимися в одном направлении, составляет 20 км. Первый автомобиль едет со скоростью 40км/ч, второй — со скоростью 30км/ч. Через сколько часов первый автомобиль догонит второй?
Решение. 1) Найдем скорость сближения автомобилей: V=40-30=10км/ч.

2) Зная расстояние (20км) и скорость сближения (10км/ч) найдем время: 20:10=2 часа.

Задача 9. Из одного населенного пункта выехали автомобиль и автобус. скорость автомобиля 70 км/ч, скорость автобуса — 50 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
Решение. 1) Найдем скорость удаления : V=70-50=20км/ч.
2) Зная скорость удаления и время, найдем расстояние: S = 20*3 =60 км.

Решение задач на движение по реке

Особенностью задач на движение реке является то, что у объекта появляется дополнительная скорость — скорость течения реки. При этом возможно два варианта:

• по течению реки → скорость увеличивается;
• против течения реки → скорость уменьшается.

Таким образом, в задачах рассматривают 2 скорости: 

• Скорость собственная — Vs;
• Скорость течения реки — Vt.

Задача 9. Собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Какое расстояние проплывёт лодка через 3 часа, если она плывёт по течению реки?
Решение. 1) Найдем скорость лодки. Так как она плывет по течению реки, ее скорость увеличивается. 
V = Vs+ Vt = 12+3 =15км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 15×3=45км.

Задача 10. Собственная скорость катера составляет 30 км/ч. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Какое расстояние преодолеет катер через 4 часа, если он плывёт против течения реки?
Решение. 1) Найдем скорость. Так как катер плывет против течения реки, его скорость уменьшится. 
V = Vs- Vt = 30-4 =26 км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 26 * 4 = 104 км.

Задача 10. Скорость лодки равна 10 км/ч. При этом надо успеть проплыть 25 км за 2 часа по течению реки. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы успеть в срок? 
Решение. 1) Найдем нужную скорость: V=S:t = 25:2=12,5 км/ч.
2) Найдем скорость, которую нужно прибавить до нужно (скорость течения реки): 12,5-10=2,5км/ч.

Задача 11. Уровень ЕГЭ.
Катер прошёл по течению реки 120 км и вернулся обратно. Известно, что обратный путь занял на 1 час больше времени, а скорость катера в неподвижной воде равна 27 км/ч. Найдите скорость течения.
Решение: Пусть Vt — cкорость течения реки, тогда:
1) В одну сторону: 27+Vt  – скорость перемещения катера по течению, S=120км.
2) В обратную сторону: 27-Vt  – скорость перемещения катера против течения, S=120км.
Выразим время:
1) В одну сторону:  t=S:V = 120:(27+Vt) – время, затраченное катером на перемещение по течению,
2) В обратную сторону:  t=S:V = 120:(27-Vt) – время, затраченное катером на перемещение против течения.
Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то:
120:(27+Vt) +1 = 120:(27-Vt).
Далее решаем уравнение и получаем ответ 3 км/ч.

Больше задач на движение Ваш ребёнок может решить, скачав программы:

Правильность решения задач вы можете проверить на сайте intmag24.ru с помощью калькулятора решения задач на движение.

Полезные советы для решения задач на движения

• В процессе решения задач на движение может быть составлена формула квадратного уравнения, которое будет иметь два корня. В этом случае нужно взять тот ответ, который  будет логичен для задачи (положительный). Отрицательный корень не берется во внимание.
• Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами. Если это не так, нужно се привести к единым единицам измерения.
• При решении задач на движение рисуйте картинки. Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается, или перемещается между пунктами А и В туда и обратно. На картинке сразу видно, какие отрезки пути можно просчитать. Картинка облегчает составление математической модели.

Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.

В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика  и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета,  относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше!  Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики  и приведем практический пример решения задачи.

Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.

Траектория, радиус-вектор, закон движения тела

Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад  в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.

Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.

Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна. А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения. Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.

Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.

Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат  (или радиус-вектора точки) от времени.

Перемещение и путь

Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.

В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.

Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.

Скорость и ускорение

Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло

А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.

Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной  от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду

Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.

Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости

Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.

Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории

Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.

Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.

Закон равноускоренного движения

Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.

Здесь  — x нулевое- начальная координата. v нулевое — начальная скорость. Продифференцируем по времени, и получим скорость

Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.

Пример решения задачи

Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы. 

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.