Как найти факториал от дроби

Факториал дробного числа — факториал вычисляемый от аргумента — ….

Вычисляется по формуле:

где — целая часть чиcла , — дробная часть числа .

Например, для будем иметь .

Вычисляемое таким способом значение факториала дробного числа является приближенным. Для точных расчетов необходимо использовать гамма-функцию.

Факториалы нецелых (дробных) чисел появляются при статистическом описании нейросетевых преобразователей биометрия/код ключа доступа биномиальным законом распределения зависмимых биометрических данных.

См. также[править]

• факториал
• гамма-функция

I derived a form of the gamma function (see here) using some calculus and neat little tricks.

Anyways, define the factorial with two conditions:

1. $n!=n(n-1)!$

2. $1!=1$

From this, you can get the factorial for any integer value, but it does nothing to show you fractional values, at least not yet.

Define a function $f(x):=ln(x!)$ and manipulate as follows:

$$f(x)=ln(x!)=ln(x(x-1)!)=ln((x-1)!)+ln(x)=f(x-1)+ln(x)$$

$$f(x)=f(x-1)+ln(x)tag1$$

Differentiate both sides (since the equation holds true for all $x$)

$$f'(x)=f'(x-1)+frac1xtag2$$

If you put $x-1$ into $(2)$, we get $f'(x-1)=f'(x-2)+frac1{x-1}$, and repeat this process over and over…

$$f'(x)=f'(x-2)+frac1{x-1}+frac1x$$

$$f'(x)=f'(x-3)+frac1{x-2}+frac1{x-1}+frac1x\vdots\f'(x)=f'(0)+frac11+frac12+dots+frac1{x-1}+frac1xtag3$$

Note that $(3)$ only holds true for integer $x$, just like the factorial, but it is much easier to generalize.

Recall the geometric sum:

$$frac{1-r^n}{1-r}=1+r+r^2+dots+r^{n-1}$$

Integrate both sides with respect to $r$ from $0$ to $1$,

$$begin{align}
int_0^1frac{1-r^n}{1-r}dr & =int_0^11+r+r^2+dots+r^{n-1}dr\
& =left.frac11r+frac12r^2+frac13r^3+dots+frac1nr^nright|_0^1\
& =frac11+frac12+dots+frac1{x-1}+frac1xtag4\
end{align}$$

This is exactly what we need to extend $(3)$ to arbitrary $x$:

$$f'(x)=f'(0)+int_0^1frac{1-r^x}{1-r}drtag{3.1}$$

We then integrate this and apply the FTOC:

$$f(x)-require{cancel}cancelto0{f(0)}=int_0^xleft(f'(0)+int_0^1frac{1-r^phi}{1-r}drright)dphi$$

$$f(x)=f'(0)x+int_0^xint_0^1frac{1-r^phi}{1-r}dr dphi$$

Recall what $f(x)$ was:

$$ln(x!)=f'(0)x+int_0^xint_0^1frac{1-r^phi}{1-r}dr dphi$$

Use the second condition of the factorial and $x=1$

$$ln(1!)=f'(0)+int_0^1int_0^1frac{1-r^phi}{1-r}dr dphi$$

$$f'(0)=-int_0^1int_0^1frac{1-r^phi}{1-r}dr dphitag5$$

So then,

$$x!=expleft[-xint_0^1int_0^1frac{1-r^phi}{1-r}dr dphi+int_0^xint_0^1frac{1-r^phi}{1-r}dr dphiright]$$

which is equivalent to the gamma function.

Математическая формула представлена восклицательным знаком «!». Термин был введен в 1800 году, а обозначение появилось только в 1808. В формуле нужно умножить все целые числа от 1 до значения самого числа, стоящего под знаком факториала.

Это очень просто, вот пример:

7! = 1 * … * 7 = 5040.

Факторизация — разложение функции на множители.

Таблица факториалов

Свойства факториалов

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

Функция n может интерпретироваться как количество перестановок. К примеру, для 3-х элементов есть 3! = 6 перестановки.

Формула Стирлинга

Позволяет не перемножать большие числа. Обычно необходим только главный член:

Можно ли вычислить 0,5 или -3,217? Нет, нельзя. Но можно использовать нечто под названием «Гамма-функция», что намного сложнее.

Расчет по предыдущему значению

Функцию легко вычислить из предыдущего значения:

• 3! = 3 × 2! = 6;

• 41160 = 5! +8! + 6!

А как вычислить факториал нуля? Если вернуться к определению, то видно, что применять его в случае «0» нет смысла. Положительных чисел до 0 нет, поэтому 0 x 0 = 0.

Однако было решено, что в случае 0 результат будет равен 1.

Некоторые очень большие значения

Онлайн калькулятор поможет сделать вычисление – всего лишь надо найти знак, похожий на «x!» или «n!». Нужно обратить внимание, что браузеры могут испытывать затруднения при попытке отобразить более крупные числа и может произойти сбой. 

Некоторые браузеры могут не позволять копировать, поэтому необходимо будет загрузить большие результаты в виде текстового файла.

Примеры вычисления факториалов больших чисел:

• 70! приблизительно 1 19785716669969869891796072783721 x 10100, что немного больше, чем «гуголь» (1 и 100 нулей);

• 100! это примерно 9 33262154444944152681699238856 x 101576 x 10157;

• 200! это примерно 7 88657867867364479050355236321393 x 103743.

Как найти функцию в Паскаль? Вычисление легко реализуется на разных языках программирования. Можно выбрать два метода: итеративный, то есть он создает цикл, в котором временная переменная умножается на каждое натуральное число от 1 до n, или рекурсивный, в котором функция вызывает себя до достижения базового варианта 0! = 1.

Программа на языке Паскаль:

На языке Си вычисления делаются с помощью рекурсивной функции. Следует заметить, что если начать вычислять факториал отрицательного числа в неаккуратно написанной функции, то это приведет к зацикливанию.

Факториал дроби (½) — это половина квадратного корня pi = (½)√π.

Примеры задач с решениями

Задание 1

Задание 2

Использование факториалов

Математика и многие ее области используют функцию. В комбинаторике функция была введена именно для расчета перестановки. Также понятие тесно связано с биномом ньютона (формула бинома Ньютона необходима для разложения степени (x + y) n в многочлен).