Как найти экстремум функции дроби - Autoru.top - решение различных проблем

Анализ дробно-рациональной функции. Асимптоты, экстремум

Функция $y=frac{k}{x}$ . Гипербола. Свойства.

Пример 1: Построить график для функции $y=frac{1}{x}$, $fleft(xright)=frac{1}{x}$

Вычислим значения функции в разнознаковых точках и нанесем точки с вычисленными координатами в системе $XOY$.
$fleft(1right)=1$ $fleft(frac{1}{2}right)=2$ $fleft(-1right)=-1$ $x=-frac{1}{2}$ $fleft(-frac{1}{2}right)=-2$ $fleft(2right)=frac{1}{2}$ $fleft(frac{1}{4}right)=4$ $fleft(-frac{1}{4}right)=-4$ $fleft(4right)=frac{1}{4}$ $fleft(1right)=8$ $fleft(-4right)=-frac{1}{4}$ $fleft(-frac{1}{8}right)=-8$ .
Точки Графика $(1;1)$, $(2;1/2)$, $(4;1/4)$, $(1/2;2)$, $(1/4;4)$, $(1/8;8)$, $(-1;-1)$, $(-2;-1/2)$, Еще точки: $(-4;-1/4)$, $(-1/2;-2)$, $(-1/4;-4)$, $(-1/8;-8)$ . По всем точкам построим кривые — график функции $y=frac{1}{x}$
График имеет разрыв по вертикальной линии $x=0$. Ветви графика прижимаются к горизонтальной линии $y=0$.

Графиком функции $y=frac{k}{x}$ $kne0$ является гипербола , ветви прижимаются к асимптотическим линиям.

если коэффициент $k > 0$ , в I и III координатных четвертях. Точка $(0;0)$ — центр симметрии.
если $k < 0$ , то во II и IV координатных четвертях. Точка $(0;0)$ — центр симметрии.
Асимптоты: Вертикальная асимптота, линия $x=0$, Горизонтальная асимптота, линия $y=0$

Cвойства функции $y=frac{k}{x}$ при $k > 0$ ( ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных углах) .

Свойство 1: Область Определения Функции — вся числовая прямая , кроме $x=0$. Свойство 2: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$. Свойство 3: Функция убывает на промежутках $( — ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$ Свойство 4: Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Свойство 5: Ни наименьшего, ни наибольшего значений $у$ у функций нет. Свойство 6: Функция непрерывна на $( — ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$. Свойство 7: Область значений функции — $( — ∞ ; 0 )$ U $( 0 ; + ∞)$. имеет разрыв в точке $x=0$.

Cвойства функции $y=frac{k}{x}$ при $k < 0$ (ветви гиперболы расположены во втором и четвертом координатных углах).

Свойство 1: Область Определения Функции — вся числовая прямая , кроме $x=0$. Свойство 2: $y > 0$ при $x < 0$ ; $y < 0$ при $x > 0$. Свойство 3: Функция возрастает на промежутках $( — ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$ Свойство 4: Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Свойство 5: Ни наименьшего, ни наибольшего значений $у$ у функций нет. Свойство 6: Функция непрерывна на $( — ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$ Свойство 7: Область значений функции — объединение $( — ∞ ; 0 )$ U $( 0 ; + ∞)$ . имеет разрыв в точке $x=0$.

Метод Замены для построения Графика Функции.

Мысль: Умеем строить график функции попроще … используем его для построения функции при «сдвинутых» аргументах и значениях.

Как построить график функции $y=kcdot fleft(xright)$, если известен график функции $y=fleft(xright)$.

График $y=5cdot fleft(xright)$: Расстянуть вертикально вверх по оси $OY$ 5 раз все, что над $OX$ графика $y=fleft(xright)$ , $k$ раза.
График $y=5cdot fleft(xright)$: Расстянуть вертикально вниз по оси $OY$ 5 раз все, что под $OX$ графика $y=fleft(xright)$ , $k$ раза.
График $y=frac{1}{3}cdot fleft(xright)$: Сжать по вертикали, оси $OY$ график $y=fleft(xright)$ 3 раза.
Еще способ: Перемасштабирование. Для $y=5cdot fleft(xright)$ … построить $y=fleft(xright)$, изменить масштаб: «1» станет «5», «-2» станет «-10», и т.д.

Как построить график функции $y=-fleft(xright)$, если известен график функции $y=fleft(xright)$.

Эти функции принимают ровно противоположные значения. Значит: график $y=fleft(xright)$ надо отразить по оси $OX$, «перевернуть».

Как построить график функции $y=fleft(x+lright)$, если известен график функции $y=fleft(xright)$.

Построить график $y=fleft(x+lright)$, где $l > 0$? Сдвинуть график $y=fleft(xright)$ вдоль оси $OX$ на $l$ единиц масштаба влево.
Построить график $y=fleft(x-lright)$, где $l < 0$? Сдвинуть график $y=fleft(xright)$ вдоль оси $OX$ на $l$ единиц масштаба вправо.

Как построить график функции $y=fleft(xright)+m$, если известен график функции $y=fleft(xright)$.

Построить график $y=fleft(xright)+m$, где $m > 0$? Сдвинуть график $y=fleft(xright)$ вдоль оси $OY$ на $m$ единиц масштаба вверх;
Построить график $y=fleft(xright)-m$, где $m > 0$? Сдвинуть график $y=fleft(xright)$ вдоль оси $OY$ на $m$ единиц масштаба вниз.

Как построить график функции $y=fleft(x+lright)+m$, если известен график функции $y=fleft(xright)$.

График функции $y=fleft(x+lright)+m$ можно получить из графика $y=fleft(xright)$ параллельными сдвигами по осям $OX$ и $OY$.

График Дробной Функции.

Пример 2: Построить график функции $y=-frac{5}{x+3}$ .

сначала построим график функции $y=-frac{5}{x}$ … от графика $y=frac{1}{x}$ … отразим от $OX$ и растянем по вертикали 5 раз.
сдвинем получившуюся гиперболу вдоль оси $OX$ на $3$ единицы влево, получится требуемый график.
это гипербола с асимптотами $x=-3$; $y=0$. «почему так?» — как мы строим графики?
берем несколько $x$ — точек и находим для каждого свои $y$ — значения в соответствии «с формулой функции».
По точкам проводим график. Очевидно, если, скажем, $x=0,52$ функция $y=-frac{5}{x+3}$ дает какое-то значение,
… то, конечно для $x=3,52$ другая функция, $y=-frac{5}{x}$ дает ровно такое же значение.
значит, точки графиков будут различаться на $3$ единицы по $x$ — координате и совпадать по $y$ — координате.
Ровно так и для всех точек. «Сравни две функции и вообрази их графики: каковы различия и что общего? «

Пример 3: Построить график функции $y=frac{4}{x}-5$ .

Сначала надо построить график функции $y=frac{4}{x}$ . Гиперболу $y=frac{1}{x}$ «растянем» четыре раза.
Сдвинуть получившуюся гиперболу вдоль оси $OY$ на $5$ клеточек вниз. Т.к. каждое значение должно отличаться на 5 единиц.
получится требуемый график. Это гипербола с асимптотами $x=0$; $y=-5$.
Важно знать где пересекается с нулем. Решение, корень $frac{4}{x}-5=0$ дает абсциссу $x=0.8$. Точка графика $left(0,8;0right)$.
Исследование: Найдем производное: $left(frac{4}{x}-5right)’=-frac{4}{x^2}$. Нигде не = 0, Экстремума нет!
Производная для всех $x$ (кроме $0$) отрицательна — значит всюду убывает.
Область Определения: $D_f=left(-infty;0right)+left(0;+inftyright)$ Область значений $E_f=left(-infty; -5right)+left(-5;+inftyright)$
Знакопостоянство: $+Z_f=left(-infty;0,8right)$ — функция отрицательна, $-Z_f=left(0,8;+inftyright)$ — функция положительна.
Монотонность: $+M_f=left(-infty;-3right)+left(-3;0right)$ — возрастает $-M_f=left(0;3right)+left(3;+inftyright)$ — функция убывает

Вертикальная асимптота ( $x=0$,) проходит в полюсе, точке разрыва функции. Точка обнуления знаменателя. Параллельно $OY$.

Горизонтальная асисмптота ( $y=-5$ ), линия, на которую «ложится» график при значениях $х$ около $+-infty$. Параллельно $OX$.

Гипербола — график простой дроби, две асимптоты делят на 4 четверти, ветви гиперболы «зажаты — прижаты» к асимптотическим линиям .

Наклонная асимптота — линия типа $y=2x+3$, к которой «прижимаются» ветви графика «на» или «около» + — бесконечнoсти.

Пример 4: Построить график функции $y=frac{x-5}{x^2-25}$

Если выражение функции упрощается, то следует это сделать. Ибо получится функция проще, легче вычисляемая и рисуемая.
Тождественное преобразование, сокращение $frac{x-5}{x^2-25}=frac{x-5}{(x+5)(x-5)}=frac{1}{x+5}$. Так, что график $y=frac{1}{x+5}$ ?
Не спеши! Мы сократили на $x-5$ , которое незаконно для $x=5$. Нарушается О.Д.З — в исходной функции нет места $x=5$.
Значит: можем строить гиперболу $y=frac{1}{x+5}$ взамен нашей $y=frac{x-5}{x^2-25}$, но «без точки $x=5$».
Точка $x=5$ разрывает «гладкий» график гиперболы. Она называется «выколотая точка с координатами $left(5;0,1right)$».

Важно уметь исследовать функцию — график около точек разрыва. + / — поблизости. Куда тянется?

Исследуем около $x=-5$. Возьмем «близкие» точки $-5,01$ и $-4,99$. Вычислим приближенные значения.
Чуть левее … $fleft(-5,01right)=frac{-5,01-5}{(-5,01)^2-5^2}approx -100$. Чуть правее … $fleft(-4,99right)=frac{-4,99-5}{(-4,99)^2-5^2}approx 100$.
Прямая $x=-5$ — вертикальная асимптота. Ветвь слева прижимается «вниз», к $-infty$ . А справа поднимается вверх к $+infty$.
Около $x=5$. Чуть левее $fleft(4,99right)=frac{4,99-5}{4,99^2-5^2}approx0,101$. $fleft(5,01right)=frac{5,01-5}{5,01^2-5^2}approx0,099$.
Значит, $x=5$ точка разрыва, на графике выколотая точка $left(5;0,1right)$. Т.к. в ней $y=frac{1}{5+5}=0,1$.
«О нулях»: при $x=0$ $y=0,2$ . Но функция нигде не обнуляется, $yne0$. Прямая $y=0$ — горизонтальная асимптота.
Анализ: Найдем производное: $left(frac{x-5}{x^2-25}right)’=left(frac{1}{x+5}right)’=-frac{1}{left(x+5right)^2}$
Производная не равна нулю нигде и всюду отрицательна. Экстремума нет, Всюду убывающая функция.
Область Определения функции: $D_f=left(-infty;-5right)+left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$ .
Знакопостоянство: $+Z_f=left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$ — функция положительна. $-Z_f=left(-infty;-5right)$ — функция отрицательна
Монотонность: $+M_f=varnothing $ — нет роста. $-M_f=left(-infty;-5right)+left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$ — функция убывает
Область значений $E_f=left(-infty;0right)+left(0;0,8right)+left(0,8;inftyright)$

Пример 5: Построить график функции $y=frac{x^2-16}{x+4}$

О.Д.З функции $xne-4$. Оговорив это, со спокойной совестью сократим $y=frac{x^2-16}{x+4}=x-4$.
График нашей функции — прямая линия $y=x-4$ с выколотой точкой $left(-4;-8right)$ при $x=-4$.
«Близко чуть левее»: $x=-4,01$ значение $fleft(-4,01right)=frac{(-4,01)^2-16}{-4,01+4}=-8,01$. Ближе? … Предел $approx-8$.
«О нулях». при $x=0$ $y=-4$ . Обнуление функции $y=0$ при $x=4$ — пересечение с $x$ — осью.
Анализ: Найдем производное: $left(frac{x^2-16}{x+4}right)’=left(x-4right)’=1$
Производное всюду равно 1. Постоянный рост. Кроме разрыва, конечно. Нет точки Экстремума.
Область Определения: $D_f=left(-infty;-4right)+left(4;+inftyright)$ Область значений $E_f=left(-infty;-8right)+left(-8;inftyright)$
Знакопостоянство: $+Z_f=left(4;+inftyright)$ — функция положительна. $-Z_f=left(-infty;4right)$ — функция отрицательна
Монотонность: $+M_f=left(-infty;-4right)+left(-4;inftyright)$ — возрастает

График Дробно — Рациональной Функции.

Определение: дробно-рациональной порядка $left(n;mright)$ называется функция вида $y=frac{acdot x^n+5x^3-x+c}{bcdot x^m-4x^2-7x+d}$

Числитель — многочлен степени $n$ , знаменатель — многочлен степени $m$ . Общий вид: $y=frac{Pleft(xright)}{Qleft(xright)}$

Нули функции — корни числителя $Pleft(xright)=0$ , Асимптоты (полюсы) — корни знаменателя $Qleft(xright)=0$.

Пример 6: Построить график функции $y=frac{x^2}{x^2-9}$.

Функция $fleft(xright)=frac{x^2}{x^2-9}$ — четная: $fleft(xright)=fleft(xright)$ $fleft(8right)=fleft(-8right)$ — Слева и справа от $OY$ симметрично.
Вычисления: $fleft(-4right)=frac{left(-4right)^2}{left(-4right)^2-9}=frac{16}{7}approx2,3$ $fleft(-10right)=frac{100}{91}approx 1,1$ $fleft(-5right)=frac{25}{16}approx 1,6$ $fleft(-3,5right)=frac{12.25}{3,25}approx 3,8$
$fleft(-2right)=fleft(2right)=frac{4}{-5}approx -0,8$ $fleft(-1right)=fleft(1right)approx -0,1$ $fleft(3,5right)approx 3,8$ $fleft(4right)approx 2,3$ $fleft(5right)approx 1,6$ $fleft(10right)approx 1,1$
Наша функция имеет нули в точке $x=0$ , а вертикальные асимтоты — линии $x=-3$ , $x=3$
Асимптота — прямая линия, к которой «прижимается» график функции, «подходя» к ней бесконечно близко.
Чему равно $frac{x^2}{x^2-9}$ при очень больших $x$ ? $xapproxpm1000$ ? Конечно, $yapprox1$ горизонтальная асимптота $y=1$ .
Анализ графика: 1) Обнуляется при $x=0$ . 2) Значение в нуле : $y=frac{x^2}{x^2-9}$ в $x=0$ равно $y=0$.
3) Поведение в разрывах: «чуть левее» полюса $xapprox-3-0,01$ значение $y > 0$ — «большое положительное».
«чуть правее» разрыва $xapprox-3+0,01$ значение функции «большое отрицательное».
Поведение около другого разрыва: когда $x$ «чуть левее» , например $xapprox3-0,01$ , то $y < 0$ ;
когда $x$ «чуть правее» , например $xapprox3+0,01$ , то $y > 0$.
4) Поведение на бесконечности: при $xapproxpminfty$ значение «ложится» около $yapprox1$.
5) Область определения функции — все точки оси $x$ , кроме $x=pm3$
6) Функция положительна $y > 0$ на интервалах $x < -3$ , $x > 3$.
7) Функция отрицательна $y < 0$ на интервалах $-3 < x < 0$ , $0 < x < 3$.

Исследование Функции:

Найдем производное: $left(frac{x^2}{x^2-9}right)’=frac{2xleft(x^2-9right)-x^2cdot2x}{left(x^2-9right)^2}=frac{-18x}{left(x^2-9right)^2}$
Производное равно нулю дает точку Экстремума: $x=0$. Точка Максимума.
Производная отрицательна — значит убывает $x > 0$. Производная положительна, значит возрастает: $x < 0$
Область Определения: $D_f=left(-infty;-3right)+left(-3;3right)+left(3;+infty8right)$ — область определения функции.
Знакопостоянство: $+Z_f=left(-infty;-3right)+left(3;+inftyright)$ — функция положительна. $-Z_f=left(-3;3right)$ — функция отрицательна
Монотонность: $+M_f=left(-infty;-3right)+left(-3;0right)$ — возрастает $-M_f=left(0;3right)+left(3;+inftyright)$ — функция убывает
Область значений $E_f=left(-infty;0right)+left(1;inftyright)$

пробaп

Пример 7: Анализ графика функции $y=frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}$

нули — точки обнуления числителя $4x^2-5x-6=0$ $x=2$ $x=-frac{3}{4}$
Представление: $frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}=frac{2cdot left(2x^2-3x+1right)+x-8}{2x^2-3x+1}=2+frac{x-8}{2x^2-3x+1}=2+frac{x-8}{left(2x-1right)left(x-1right)}=2+frac{15}{2x-1}-frac{7}{x-1}$
разрыв (полюс): $2x^2-3x+1=0$ вертикальные асимптоты — $x=1$ и $x=0,5$.
при $xapproxpm infty$ значение «ложится» около $yapprox2$. $-frac{30}{left(2x-1right)^2}+frac{7}{left(x-1right)^2}$ $x=0,75$ $x=15,24$
Производное: $left(2+frac{15}{2x-1}-frac{7}{x-1}right)’=-frac{30}{left(2x-1right)^2}+frac{7}{left(x-1right)^2}=frac{-2x^2+32x-23}{left(2x-1right)^2cdotleft(x-1right)^2}$
Или так: $left(frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}right)’=frac{left(4x^2-5x-6right)’cdotleft(2x^2-3x+1right)-left(4x^2-5x-6right)cdotleft(2x^2-3x+1right)’}{left(2x^2-3x+1right)^2}=frac{left(8x-5right)cdotleft(2x^2-3x+1right)-left(4x^2-5x-6right)cdotleft(4x-3right)}{left(2x^2-3x+1right)^2}=frac{-2x^2+32x-23}{left(2x^2-3x+1right)^2}$
Уравнение Экстремумов: $frac{-2x^2+32x-23}{left(2x^2-3x+1right)^2}=0$. $-2x^2+32x-23=0$. $x=8pm0,5sqrt{210}$
Производная отрицательна на интервалах $-M_f=left(-infty;0,5right)+left(0,5;8-0,5sqrt{210}right)+left(8+0,5sqrt{210};inftyright)$. Убывает.
Производная положительна на интервалах $+M_f=left(8-0,5sqrt{210};1right)+left(1;8+0,5sqrt{210}right)$. Возрастает.
Точка Минимума: $x=8-0,5sqrt{210}$ $xapprox0,75$ . Точка Максимума: $x=8+0,5sqrt{210}$ $xapprox15,25$
Область Определения: $D_f=left(-infty;0,5right)+left(0,5;1right)+left(1;+inftyright)$ .
Знакопостоянство: $+Z_f=left(-infty;-0,75right)+left(0,5;1right)+left(2;+inftyright)$ — положительна. $-Z_f=left(-0,75;0right)+left(1;2right)$ — отрицательна.
Область значений (приближенно!) $E_fapproxleft(-infty;2,001right)+left(60;inftyright)$

Пример 8: Анализ графика функции $y=frac{3x^2-5x-8}{x-2}$

нули — точки обнуления числителя $3x^2-5x+8=0$ $x=-1$ $x=frac{8}{3}approx2,7$
разрыв (полюс): $x-2=0$ вертикальные асимптоты — $x=2$ .
«чуть левее»: $fleft(2-10^{-7}right)=frac{3cdotleft(2-10^{-7}right)^2-5left(2-10^{-7}right)-8}{2-10^{-7}-2}=frac{3cdot4-5cdot2-8-12cdot10^{-7}+5cdot10^{-7}+3cdotleft(10^{-7}right)^2}{-10^{-7}}approx6cdot10^7$ Значит, уходит к $+infty$
Чуть правее: $fleft(2+10^{-7}right)=frac{3cdotleft(2+10^{-7}right)^2-5left(2+10^{-7}right)-8}{2+10^{-7}-2}=frac{3cdot4-5cdot2-8+12cdot10^{-7}-5cdot10^{-7}+3cdotleft(10^{-7}right)^2}{10^{-7}}approx-6cdot10^7$ …. бежит к $-infty$
Представим нашу функцию по-другому : $frac{3x^2-5x-8}{x-2}=frac{3x^2-6x+x-2-6}{x-2}=3x+1-frac{6}{x-2}$
Видно, что при больших $x=2$ она «почти совпадает» с линейной функцией $3x+1$. «прижимается к ней».
$y=3x+1$ — наклонная асимптота нашей функции.
Найдем производное: $left(frac{3x^2-5x-8}{x-2}right)’=frac{left(6x-5right)left(x-2right)-1cdotleft(3x^2-5x-8right)}{(x-2)^2}=frac{3x^2-12x+18}{(x-2)^2}=frac{3left(x^2-4x+6right)}{(x-2)^2}$
Производное нигде не равно нулю, нет Экстремума: Производное всюду положительно, значит, возрастает.
Область Определения: $D_f=left(-infty;2right)+left(2;+inftyright)$ . Полюс в $x=2$ .
Знакопостоянство: $+Z_f=left(-1;2right)+left(frac{8}{3};+inftyright)$ — функция положительна. $-Z_f=left(-infty;-1right)+left(-1;frac{8}{3}right)$ — функция отрицательна
Монотонность: $+M_f=left(-infty;2right)+left(2;inftyright)$ — всюду возрастает
Область значений $E_f=left(-infty;+inftyright)$

Графический способ решения уравнений

Пример 9: Решить уравнение $frac{2}{x}=x^2+1$ графическим способом.

Построим гиперболу $y=frac{2}{x}$ и параболу $y=x^2+1$ . Равенство означает пересечение.
Левая функция и правая функция приобретают одинаковые значения … графики этих функций пересекаются.
По чертежу видно, что графики пересекаются в точке с координатами $left(1;2right)$. ответ: $x=1$.

Пример 10: Решить уравнение $frac{5}{x}=x-4$.

Построим их графики: гиперболу $y=frac{5}{x}$ и прямую $y=x-4$. пересекаются ?
Гипербола и прямая пересекаются в точках $(-1;-5)$ и $(5;1)$. ответ: $x_1=-1$; $x_2=5$.

Пример 11: Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y=frac{1}{x}$ на отрезках а) $left[frac{1}{3};5right]$ и б) $left[-7;-1right]$.

Построим график функции $y=frac{1}{x}$ .
Выделим часть графика, соответствующую значениям переменной $x$ на отрезке $left[frac{1}{3};5right]$.
Для выделенной части графика находим: наименьшее значение $y=frac{1}{5}$ при $x=5$ , наибольшее $y=3$ при $x=frac{1}{3}$.
Выделим часть графика, соответствующую значениям переменной $x$ на отрезке $left[-7;-1right]$.
Для выделенной части графика находим: наименьшее значение $y=-frac{1}{7}$ при $x=-7$ наибольшее $y=-1$ при $x=-1$.

Упражнения

Источник

На этой странице вы сможете посмотреть несколько примеров для нахождения экстремумов функции, в каждом из них есть своя уникальность, поэтому рекомендую посмотреть все.
Здесь часто используется нахождение производной, что бы лучше понимать, как её надо находить, то сначала посмотрите мои таблицу производных.

Имеем функцию:

Найдём её производную:

Прировняем производную к нулю и найдём значение переменной.

Наносим x=0 на координатную прямую и смотрим, где производная будет отрицательной, а где положительной. То есть до нашей точки (для этого берём любое значение до ноля ну, например, -1 и подставляем его в формулу с производной, видим что выйдем -2, то есть знак минус) и после неё (всё точно также берём любое число по праву сторону от ноля, например, 1 результат будет 2 – значит знак плюс).

Видим, что при прохождении через точку x=0, производная меняет знак с плюса на минус, то значит, что это будет точка минимума.
Всё аналогично делаем и в следующем примере.

Наносим точку x=0 на координатную прямую, и вычисляем соответствующие значения.

Видим, что здесь знак производной не меняется, то есть данная точка не будет экстремумом.
Приступим к следующему примеру:

Как всегда найдём производную и прировняем её к нулю. Поскольку в нас дробь, то к нолю надо приравнивать, только числитель.

Ещё надо учитывать точки разрыва, при которых знаменатель будет равен нулю.

Наносим все эти данные на координатную прямую и находим знак производной на каждом из промежутков.

Видим, что при прохождении через точки -1 и 1 производная не меняет знака, эти точки не будут экстремумами, а при прохождении через 0 меняет с плюса на минус, поэтому точка x=0 будет максимумом.
Ну и рассмотрим ещё один небольшой пример:

Опять находим производную и приравниваем её к нолю:

Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2, тогда производная будет равна -0,24, для второго возьмём 0, тогда производная будет 2 и для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. И проставим соответствующие знаки.

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через 1 – меняет знак и плюса на минус, соответственно это будет максимум.

Материалы по теме:

Промежутки выпуклости, точки перегиба…
Нахождение экстремумов функции
Наименьший объём параллелепипеда
Упражнения на производную

Загрузка…

Источник

Содержание:

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при

Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции если существует окрестность точки для всех точек которой верно неравенство

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции то либо не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть — критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция имеет производную f'(х) в окрестности точки и вторую производную в самой точке . Если то точка является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример:

Найти экстремумы функции

Решение:

Так как то критические точки функции и Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках и найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.

Пример:

Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение:

Обозначим стороны площадки через Площадь площадки равна Пусть у — это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). откуда Поскольку — единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При значит, в точке функция S имеет максимум. Значение функции

Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.

Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.

Пример:

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра равна Мы знаем объем цилиндра Значит, Находим производную этой функции:следовательно,

Экстремумы функции

Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки называется любой промежуток, для которого является внутренней точкой.

Точка называется точкой минимума (максимума) функции если для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство

Точки минимума и максимума обозначают соответственно.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их:

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.

Например, для функции точка является точкой максимума (рис. 77). Её максимум:

Для функции точка является точкой минимума (рис. 78). Её минимум:

Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки: — точки максимума; и — точки минимума.

Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.

Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция непрерывна на промежутке и — её критическая точка, Тогда: точка при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Действительно, если производная функции отрицательная, то при переходе через точку возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае — точка максимума. Если же при переходе через точку убывание функции изменяется на возрастание, то — точка минимума (рис. 80).

Если же производная функции в точке равна нулю, а слева и справа от производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то не является точкой экстремума.

Заказать решение задач по высшей математике

Пример №552

Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции

Решение:

Критические точки функции: При переходе через точку производная меняет знаке поэтому —точка максимума. При переходе через точку производная меняет знак с поэтому — точка минимума (рис. 82).

Ответ.

Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.

Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:

найти область определения функции;
исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
найти точки пересечения графика функции с осями координат;
исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
найти асимптоты графика функции;
построить график функции.

Пример №553

Исследуйте функцию и постройте её график.

Решение:

Область определения функции — все действительные числа, кроме Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.

Уравнение не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось Ось он пересекает в точке с ординатой

Критические точки:

Составим и заполним таблицу.

На промежутках функция возрастает, на промежутках функция убывает. — точка максимума, —точка минимума,

Область значений функции:

График функции имеет вертикальную асимптоту так как

График этой функции изображён на рисунке 83.

Пример №554

Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке А чётная функция?

Решение:

Нечётная функция не может. Если в окрестности точки функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки Чётная функция может. Например, функция

Пример №555

Существуют ли такие числа при которых имеет экстремум функция

Решение:

При любых действительных значениях В каждой точке производная данной функции неотрицательная. Функция возрастает на поэтому не может иметь экстремумов.

Ответ. Не существуют.

Пример №556

Исследуйте функцию и постройте её график.

Решение.

2) Функция — нечётная, поскольку

Следовательно, её график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию на промежутке

3) если — график пересекает оси координат только в точке

4) Найдём производную функции:

Очевидно, что для всех х из области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков и не имеет максимумов и минимумов.

Для более точного построения вычислим значение функции в нескольких точках:

График функции имеет вертикальные асимптоты и (Убедитесь самостоятельно.)

График функции изображён на рисунке 84.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Скалярное произведение и его свойства
Векторное и смешанное произведения векторов
Преобразования декартовой системы координат
Определитель матрицы
Критерий совместности Кронекера-Капелли
Формулы Крамера
Матричный метод

Источник

Экстремумы функции

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word. Если же задана функция f(x,y), следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных. Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции.

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word
Также решают

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f’₀(x^*) = 0 — это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x^* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x^с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f₀(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x^* выполняется условие:

f’₀(x^*) = 0

f»₀(x^*) > 0

то точка x^* является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x^* выполняется условие:

f’₀(x^*) = 0

f»₀(x^*) < 0

то точка x^* — локальный (глобальный) максимум.

Пример №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
на отрезке [1; 3].

Решение.

Критическая точка одна x₁ = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.

f(1)=9, f(2)=⁵/₂, f(3)=3 ⁸/₈₁

Ответ: f_min=⁵/₂ при x=2; f_max=9 при x=1

Пример №2. С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x).

Решение.

Находим производную функции: y’=1-2cos(x). Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=±^π/₃+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x=^π/₃+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=-^π/₃+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3. Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.

Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0, то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).

Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x₀ или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4. Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.

Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.

Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max

или

49x — x²

Наибольший объем цилиндра

Найти размеры цилиндра наибольшего объема, изготовленного из заготовки в форме шара радиуса R.

Решение:

Объем цилиндра равен: V = πr²H

где H = 2h,

Подставим эти значения в целевую функцию.

V → max

Найдем экстремум функции. Поскольку функция объема V(h) зависит только от одной переменной, то найдем производную с помощью сервиса Производная онлайн и приравняем ее к нулю.

dV/dh = 2πR² — 6πh²

dV/dh = 0

2πR² — 6πh² = 0 или R² = 3h²

Откуда

При высоте и радиусе основания размеры цилиндра будут наибольшими.

Источник

Точки экстремума
Необходимое условие максимума и минимума функции
Достаточные условия существования экстремума
Алгоритм исследования функции на экстремум
Монотонность и выпуклость функций
Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба
Асимптоты функций
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Построение графиков функций
Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
Градиент
Однородные функции
Экстремумы функции двух переменных
Условный экстремум
Дополнение к исследованию функции

Исследование функции — задача, заключающаяся в определении основных параметров заданной функции. Одной из целей исследования является построение графика функции.

Точки экстремума

Максимумом или минимумом функции y = f(x) называется
такое ее значение для которого имеют место
неравенства при любых малых положительных и отрицательных значениях

■ — для случая максимума;

■ — для случая минимума.

Таким образом, в точках максимума (минимума) значение больше (соответственно меньше) всех соседних значений функции (рис. 7.1).

Функция, представленная на рис. 7.1, в точке имеет
максимум, а в точке минимум.

Точки, в которых функция принимает максимальное или минимальное значения, называются точками экстремума.

Необходимое условие максимума и минимума функции

Теорема Ферма:

Если функция определена и дифференцируема
в некотором промежутке X и во внутренней точке этого промежутка имеет наибольшее (наименьшее) значение, то
производная функции в этой точке равна нулю, т.е.

Доказательство:

Пусть функция y = f(x) в точке
промежутка X имеет наибольшее значение (рис. 7.2).

Тогда если принадлежит Х. Отсюда при достаточно малых независимо от его знака.

Если то и а если то и

Переходя к пределам справа при и слева при
получим

Так как по условию функция y=f(x) дифференцируема в
точке то ее предел при не зависит от способа
стремления (слева или справа).

Поэтому

т.е. Аналогично доказывается случай для наименьшего значения функции.

Необходимым условием максимума (минимума) непрерывной функции является равенство нулю первой производной.

Это условие является следствием теоремы Ферма. Действительно, если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняются условия теоремы Ферма и, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т.е.

Необходимое условие максимума или минимума непрерывной функции имеет простой геометрический смысл. Так как в экстремальных точках касательная параллельна оси Ох (см. рис. 7.1 и 7.2), т.е. угол наклона касательной к оси Ох равен нулю, то тангенс данного угла, который равен производной, также равен нулю.

Максимум или минимум может иметь место также в тех точках, где производная не существует вовсе (рис. 7.3).

Приведенное условие существования экстремумов является необходимым, но не достаточным. На рис. 7.4 приведен случай, когда необходимое условие выполняется в точке но ни максимума, ни минимума нет.

Достаточные условия существования экстремума

Первое условие. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции y = f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс, то точкой минимума.

Действительно, если при и при то в промежутке функция f(x) возрастает, а в
промежутке убывает, так что значение будет
наибольшим в промежутке т.е. в точке функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай для минимума функции. Графически сказанное поясняется на рис. 7.5.

Если при переходе через точку производная не меняет
своего знака, то в точке нет ни максимума, ни минимума
(см. рис. 7.4).

Второе условие. Если функция y = f(x) дважды дифференцируема в точке , и ее первая производная в данной точке равна
нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то точка
является точкой минимума. Если вторая производная
функции y = f(x) отрицательна в точке , то она является точкой максимума.

Действительно, вторая производная вычисляется по формуле:

так как по условию.

Пусть Тогда дробь положительна для всех х
из окрестности точки . Для знаменатель этой дроби поэтому а для знаменатель дроби
Таким образом, производная при переходе
точки меняет знак с минуса на плюс. Согласно первому условию
в такой точке имеет место минимум. Аналогично можно показать,
что при в точке имеет место максимум. Сказанное
поясняется на рис. 7.5.

Если вторая производная в некоторой точке равна нулю, то эта
точка также может быть экстремальной. Например, для функции
в точке х = 0 имеет место минимум, хотя вторая производная в этой точке равна нулю. Действительно, и

Алгоритм исследования функции на экстремум

1.Найти производную функции и приравнять ее нулю.

2.Решив это уравнение, определить подозрительные точки.

3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой
подозрительной точки и принять решение о наличии
минимума или максимума.

4.Найти значения функции в экстремальных точках.

Пример:

Найти максимумы и минимумы функции

Решение:

Область определения функции — вся числовая ось.
Определяем производную:

Подозрительные точки находим, решая уравнение

Отсюда или

Определяем вторую производную:

Для точки имеем у» = 18*0 —12*0 —12 = -12, т.е. в этой точке
имеет место максимум. Его значение равно

у = 1,5*0-2*0-6*0 + 1 = 1.

Для точки имеем т.е. в этой точке
имеет место минимум. Его значение равно

Для точки имеем т.е. в этой
точке имеет место минимум. Его значение равно

Пример:

Производитель реализует свою продукцию по цене
60 ден. ед. за единицу продукции. Издержки производителя
определяются кубической зависимостью где х —
количество изготовленной и реализованной продукции. Найти оптимальный объем выпуска и соответствующий ему доход.

Решение:

Доход определяется разностью между выручкой за
проданную продукцию 60х и ее себестоимостью, т.е.

Для определения оптимального объема выпуска найдем производную
этой функции, приравняем ее нулю и решим полученное уравнение

Отрицательный корень не имеет экономического смысла, поэтому
для дальнейших исследований принимаем Вторая
производная в исследуемой точке r»(х) = -0,006х = -0,006 • 100 = -0,6 является отрицательной, т.е. в этой точке имеет место максимум функции. Таким образом, оптимальный объем выпуска равен 100 единицам продукции.

Доход, соответствующий оптимальному выпуску,

Для определения наибольшего и наименьшего значений на
отрезке, помимо указанного алгоритма, находят значения функции на концах отрезка. Затем выбирают наибольшее и наименьшее
значения из этих двух и всех экстремальных значений. Смысл
сказанного поясняется на рис. 7.6.

Монотонность и выпуклость функций

Функция y = f(x) не убывает (не возрастает) на промежутке X, если для любых из этого промежутка при условии следует неравенство

Если меньшему значению неравенства аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция называется возрастающей (рис. 7.7). Если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция называется убывающей (рис.7.8).

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными.

Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М > 0, что для любого х из промежутка X. Например, функция у = cos х ограничена на всей числовой оси, так как для любого х числовой оси.

Функция y = f(x) на интервале (а,b) имеет выпуклость вниз (вверх), если в пределах данного интервала график лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции. На рис. 7.9 изображен график функции, имеющей выпуклость вниз, а на рис. 7.10 — график функции, имеющей выпуклость вверх.

Функция y = f(x) на интервале (а, b) называется выпуклой вниз, если для любых двух значений из данного интервала выполняется неравенство (рис. 7.9)

Функция y = f(x) на интервале (а, b) называется выпуклой вверх, если для любых двух значений из данного интервала выполняется неравенство (рис. 7.10)

При исследовании функций бывают полезны две следующие
теоремы.

Теорема:

Функция выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда,
когда ее первая производная на этом промежутке монотонно
возрастает (убывает).

Теорема:

Если вторая производная дважды дифференцируемой
функции положительна (отрицательна) внутри интервала (a, b), то
функция выпукла вниз (вверх) внутри этого интервала (достаточное
условие).

Однако, данное условие справедливо не всегда. Например,
функция выпукла вниз на всей числовой оси, хотя вторая
производная не всюду положительна (при х = 0 у» = 0).

Точка называется точкой перегиба графика функции
y = f(x), если в этой точке график имеет касательную и существует
такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.

На рис. 7.4 точка является точкой перегиба.

Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды
дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю:

Достаточное условие перегиба. Вторая производная дважды
дифференцируемой функции при переходе точки перегиба
меняет свой знак.

Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба

1.Найти вторую производную функции и приравнять ее нулю.

2.Решив это уравнение, определить подозрительные точки.

3.Исследовать знак второй производной слева и справа от
каждой подозрительной точки и принять решение об интервалах
выпуклости и наличии точек перегиба.

4.Найти значения функции в точках перегиба.

Пример:

Найти экстремальные точки, интервалы выпуклости
и точки перегиба функции

Решение:

Находим первую и вторую производные исследуемой
функции:

Приравняем нулю первую производную и решим полученное
уравнение:

Подставив полученные значения в формулу для второй
производной, найдем

Таким образом, точка является точкой минимума.
Значение исследуемой функции в этой точке

Точку необходимо исследовать дополнительно. Первая
производная определена на всей числовой оси, так как точек, в которых производная отсутствует, не существует. Исследуем знак производной на интервале Для этого рассчитаем значения производной в точках х = 1 и х = 3:

Так как слева и справа от точки знак производной
положительный, то в этой точке экстремума нет.

Приравняем нулю вторую производную и решим полученное
уравнение:

Вторая производная также определена на всей числовой оси. В
точке х = 0 значение второй производной

в точке

в точке х = 3 —

Поэтому:

■ на интервале — функция выпукла вниз;

■ на интервале (1; 2) у» < 0 — функция выпукла вверх;

■ на интервале — функция выпукла вниз.

Таким образом, точки являются точками перегиба.
Значение исследуемой функции в этих точках:

Асимптоты функций

Прямая называется асимптотой функции y = f(x), если расстояние от
точки (х, f(x)) , лежащей на графике функции, до этой прямой
стремится к нулю при движении точки по графику в бесконечность.

Существуют три вида асимптот: вертикальные (рис. 7.11),
горизонтальные (рис. 7.12) и наклонные (рис. 7.13, 7.14).

На рис. 7.14 кривая приближается к асимптоте, все время пересекая ее.

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика
функции у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно или

Прямая у = b называется горизонтальной асимптотой графика
функции y = f (х), если или

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой
графика функции у = f(x), если существуют конечные пределы

Действительно, если у = kх + b — наклонная асимптота, то

Из последнего выражения следует

При известном k из равенства находим

Если для горизонтальной и наклонной асимптот конечен только
предел при или при то эти асимптоты называются соответственно правосторонней или левосторонней.

Пример:

Найти асимптоты графика функции

Решение:

Областью определения является вся числовая ось,
кроме точки х = 3 . Причем

Поэтому прямая х = 3 — вертикальная асимптота. Так как то график функции наклонных асимптот не имеет. ►

Пример:

Найти асимптоты графика функции у = х + arctg х.
Решение. Функция непрерывна на всей числовой оси, поэтому
вертикальные асимптоты отсутствуют. Так как

то отсутствуют и горизонтальные асимптоты.

Для правосторонней наклонной асимптоты

Уравнение правосторонней асимптоты имеет вид

Для левосторонней наклонной асимптоты

Уравнение правосторонней асимптоты имеет вид

Правило Лопиталя

При отыскании предела часто сталкиваются с
неопределенностями или Для решения задачи применяют правило Лопиталя.

Прежде чем переходить к доказательству правила Лопиталя,
рассмотрим две теоремы.

Теорема Ролля:

Пусть функция y = f(x) удовлетворяет
следующим условиям:

■ непрерывна на промежутке [а,b];
■ дифференцируема на промежутке (а,b);
■ на концах промежутка принимает равные значения, т.е.
f(a) = f(b).

Тогда внутри промежутка существует по крайней мере одна точка
производная функции в которой равна нулю, т.е.

Доказательство. Действительно, если внутри промежутка функция имеет хотя бы одну точку, в которой она принимает наибольшее или наименьшее значение, то в соответствии с теоремой Ферма производная в этой точке равна нулю. Если же таких точек нет, то функция тождественно постоянна на всем интервале. Тогда производная равна нулю во всех точках указанного интервала.

Теорема Лагранжа:

Пусть функция y = f(x) удовлетворяет
следующим условиям:

■ непрерывна на промежутке [а, b];
■ дифференцируема на промежутке (а, b).

Тогда внутри промежутка существует по крайней мере одна точка
в которой производная функции равна частному от деления
приращения функции на приращение аргумента на данном промежутке:

Доказательство:

Введем функцию

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, поскольку она:

■ непрерывна на промежутке [а, b];

■ дифференцируема на промежутке (а, b) и

■ на концах промежутка принимает равные значения:

Следовательно, внутри промежутка существует по крайней мере одна точка производная функции g(x) в которой равна нулю:

Отсюда находим

Правило Лопиталя

Пусть Причем функции и удовлетворяют следующим условиям:

■ непрерывны на промежутке [х, а];

■ дифференцируемы на промежутке (х, а) и

■ (неопределенность

(неопределенность

Тогда

Доказательство:

Доказательство проведем для неопределенности Применяя теорему Лагранжа для функций и получим

Так как при имеем то, используя теорему о пределе частного двух функций, получим

В случае, если снова представляет собой неопределенность вида или то применяют это правило вторично, и т.д.

Пример:

Используя правило Лопиталя, найти пределы:

Решение:

Во всех примерах имеем неопределенность . Используя правило Лопиталя, получим

Пример:

Используя правило Лопиталя, найти предел

Решение:

Имеем неопределенность Применяя правило Лопиталя n раз, получим:

Пример:

Используя правило Лопиталя, найти предел

Решение:

Имеем неопределенность Разделив числитель и
знаменатель на х , получим Неопределенность этого предела Используя правило Лопиталя, найдем:

Построение графиков функций

Изучение функции и построение ее графика целесообразно
проводить по следующей схеме:

1.Найти область существования функции, точки разрыва и
определить их характер.

2.Определить поведение функции в бесконечности, вычислив
пределы

3.Найти асимптоты.

4.Найти пересечение кривой с осью Ох, решая уравнение
f(x) = 0, и с осью Оу , вычисляя у = f(0).

5.Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7.По полученным данным постепенно делают набросок
кривой, уточняя его по отдельным точкам.

Пример:

Построить график функции

Решение:

1. Эта функция определена и непрерывна для всех При приближении к точке слева
а справа — Таким образом, прямая х = -1 является вертикальной асимптотой.

2.Пределы функции в бесконечности:

3.Определим параметры наклонных асимптот. Угловой
коэффициент справа

Угловой коэффициент слева

Точка пересечения асимптоты с осью Оу справа

Точка пересечения асимптоты с осью Оу слева

Таким образом, параметры правой и левой асимптот совпали,
т.е. имеет место одна асимптота, определенная уравнением прямой
у = х-4.

4.Точка пересечения кривой с осью Оу находится из
соотношения

Точка пересечения кривой с осью Ох находится из уравнения

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, т.е.

Решение данного квадратного уравнения имеет вид

5.Для определения экстремумов и интервалов монотонности
функции найдем первую и вторую производные:

Приравняв нулю первую производную, получим:

Решив данное уравнение, найдем подозрительные точки:

Значения функции в этих точках:

Подставив полученные координаты экстремальных точек в формулу
второй производной, найдем:

т.е. в точке (0,4; -2,2) имеет место минимум,

т.е. в точке (-2,4; -7,8) имеет место максимум.

Для исследования функции на монотонность проследим поведение производных внутри полученных интервалов (рис. 7.15). Знаками плюс и минус показан знак производной на данном интервале.

В точке имеет место максимум, поэтому на промежутке функция возрастает, а на промежутке (-2,4; -1) убывает и при слева стремится к В точке имеет
место минимум, поэтому на промежутке (-1; 0,4) функция
убывает, а на промежутке — возрастает.

6.Для нахождения точек перегиба приравняем нулю вторую производную: Это уравнение не имеет корней, т.е. точек перегиба нет.

По полученным данным строим график функции (рис. 7.16). ►

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Пусть задана функция n переменных

Первой частной производной функции по переменной называется производная данной функции по при фиксированных остальных переменных:

Аналогично определяется первая частная производная по любой другой переменной. Например, первую частную производную по записывают в виде

Второй частной производной функции называется первая частная производная от первой частной производной данной функции.

Функция n переменных имеет вторых частных производных. Действительно, количество частных производных от частной производной по переменной равно n (см. первую строку табл. 7.1). Количество строк в табл. 7.1 также равно n.

Таблица 7.1

Для функции двух переменных имеем четыре вторые частные производные:

Вторая частная производная по двум различным переменным, например называется смешанной. Величина смешанной производной, непрерывной при данных значениях переменных и , не зависит от порядка переменных, по которым берутся производные, т.е.

Аналогично определяются производные более высоких порядков, например третья частная производная, четвертая частная производная и т.д.

Частный дифференциал функции n переменных по одной из переменных, например по , определяется равенством

Полный дифференциал функции n переменных определяется по формуле

Полный дифференциал второго порядка функции двух переменных задается соотношением

Пример:

Найти частные производные первого и второго порядка от функции

Решение:

Находим первую и вторую частные производные по х:

Находим первую и вторую частные производные по у :

Находим смешанные вторые частные производные:

Как и следовало ожидать, смешанные частные производные равны. ►

Пример:

Найти дифференциалы первого и второго порядков от функции

Решение. Частные производные первого и второго порядков исследуемой функции равны:

Дифференциал первого порядка

Дифференциал второго порядка

Градиент

Градиентом функции n переменных называется вектор с координатами

При этом пишут grad y,

Известно, что вектор в n-мерной системе координат можно представить в виде

где — проекции вектора на оси координат;

— орты или векторы единичной длины, совпадающие по направлению с координатными осями соответственно.

Градиент функции трех переменных u = f(x, у, z) можно представить в виде

где — орты координатных осей х, у, z соответственно.

Градиент функции в заданной точке показывает направление самого быстрого роста функции в этой точке.

В экономике достаточно часто используются функции двух переменных. Градиент функции двух переменных u = f(х, у) можно представить в виде

Существует четкая связь между линиями уровня таких функций и направлением градиента.

Теорема:

Пусть задана дифференцируемая функция u = f(x,у) и величина градиента данной функции, отличная от нуля, в точке . Тогда градиент в точке перпендикулярен линии уровня, проходящей через эту точку.

Доказательство. Линия уровня, представленная на рис. 7.17, задана уравнением L = f(x, у).

В точке линии уровня проведем касательную и построим вектор , совпадающий по направлению с касательной, с началом в этой точке.

Пусть проекция вектора на ось Ох будет равна единице. Отношение проекций или

Таким образом, вектор можно представить в виде:

Умножив данный вектор на dx , получим

Найдем скалярное произведение градиента функции u = f(x,y)
в точке и вектора

С другой стороны, полный дифференциал функции u = f(x, у)
в точке

На линии уровня функция u = f(x, у) не изменяется по определению, поэтому полный дифференциал по направлению вектора равен нулю:

Сопоставив это выражение с (7.1), можно сделать вывод о
перпендикулярности векторов и grad u.

Пример:

Для функции u = ху построить линию уровня, проходящую через точку и и найти градиент в данной
точке.

Решение:

Уровень в исследуемой точке равен с = 1 • 1 = 1. Линия уровня определяется формулой

1 = ху или

Таким образом, линией уровня является гипербола.

Для отыскания градиента найдем частные производные функции в
исследуемой точке:

Отсюда следует выражение для градиента функции в исследуемой
точке:

Из полученной формулы видно, что градиент в исследуемой точке
направлен вправо вверх под углом 45° к осям Ох и Оу (рис. 7.18).

Его модуль равен

Однородные функции

Пусть задана функция и переменных определенная при где i = 1, 2,…, n, и имеющая в области определения непрерывные первые частные производные.

Функция называется однородной функцией степени р, если для любого числа t > 0 выполняется равенство

Заметим, что условие определения функции при где i = 1, 2,…, n, широко используется в экономическом анализе.

Для однородных функций п переменных степени р справедлива формула

Для однородной функции двух переменных u=f(x, у) степени р имеем

Приведенные формулы называются формулами Эйлера.

Пример:

Определить степень однородных функций:

а) u = ах + by;

б)

Решение:

a) a(tx) + b(ty) = t(ax + by) = tu , т.е. функция u = ax + by имеет первую степень однородности;

б) т.е. функция имеет вторую степень однородности. ►

Экстремумы функции двух переменных

Пусть задана функция двух переменных u = f(x, у).

Точка называется точкой локального максимума (минимума), если для всех точек (х, у) из области определения функции u = f(x, у), близких к точке — лежащих в двумерной окрестности точки , справедливо неравенство (соответственно для точки локального минимума

Двумерной окрестностью точки называется множество точек (х,у), принадлежащих открытому кругу сколь угодно малого радиуса с центром в точке . Если при фиксированном числе точка (х, у) принадлежит окрестности точки , то говорят, что точка (х, у) близка к точке , в противном случае — далека от точки (рис. 7.19).

Если — точка локального экстремума функции u = f(x,y). то около точки где функция
u = f(х,у) имеет вид шапочки, повернутой выпуклостью вверх
(максимум) или вниз (минимум).

Точка называется точкой глобального (абсолютного)
максимума (глобального (абсолютного) минимума) функции u = f(x,у), если для всех точек (х, у), для которых функция u = f(х, у) определена, справедливо неравенство (соответственно для точки глобального минимума

Пусть функция u = f(x, у) определена в окрестности точки
и имеет в ней первые частные производные. Необходимым
условием локального экстремума данной функции в точке
является равенство нулю первых частных производных:

Эти точки являются подозрительными и среди них следует
искать точки локального экстремума. Подозрительные точки не
обязаны быть точками локального экстремума.

Достаточное условие локального экстремума функции u = f(x, у)
дважды дифференцируемой в точке состоит в следующем.
Пусть функция u = f(x, у) в точке имеет первые частные
производные, равные нулю:

1.Если или и выполняется неравенство то точка является точкой локального минимума.

2. Если или и выполняется неравенство то точка является точкой локального максимума.

3.Если то точка не является экстремальной.

Пример:

Исследовать на экстремум следующие функции
нескольких переменных: 1)

Решение:

1.Находим первые частные производные и приравниваем их к нулю:

Решив полученные уравнения, находим подозрительные точки:

Находим в подозрительной точке вторые частные производные:

Так как то точка (0, 1) является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке

2.Находим первые частные производные и приравниваем их к нулю:

Решив систему из двух уравнений, находим подозрительные точки:

Находим в подозрительной точке вторые частные производные:

Так как то точка (1, 0) является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке

Условный экстремум

При определении безусловного экстремума функции п
независимых переменных (см. §7.11) на независимые переменные не накладывается никаких
дополнительных условий. В задачах на условный экстремум поведение независимых переменных ограничено определенными условиями. Рассмотрим эту задачу для n независимых переменных в следующей формулировке.

Найти локальный экстремум функции n независимых
переменных при условии, что независимые переменные удовлетворяют ограничению

Задача на условный экстремум записывается следующим образом:

при условиях

где m<n.

В задаче на условный экстремум функцию называют целевой, а функции где — функциями связи. При решении задач на условный экстремум обычно используется метод Лагранжа.

Пусть функция n независимых переменных и функции, определяющие условия (7.2), непрерывны и имеют непрерывные частные первые производные в точке локального экстремума a где При выполнении этих условий строят функцию Лагранжа, которая имеет вид

где — множители Лагранжа.

Затем функцию Лагранжа от n + m переменных исследуют на
абсолютный экстремум. Для этих целей определяют подозрительную точку путем решения n + m уравнений:

Система имеет n + m решений: которые являются координатами абсолютного экстремума функции Лагранжа. Точка является укороченной (так как из нее удалены координаты подозрительной точкой локального условного экстремума функции при условиях (7.2). Укороченную точку анализируют и выясняют, является ли она точкой условного экстремума при наличии ограничений (7.2) или не является.

Условия (7.3) являются необходимыми для существования локального условного экстремума.

Для функции двух независимых переменных задача на условный экстремум формулируется следующим образом: найти локальный экстремум функции u = f(x, у) при условии, что независимые переменные удовлетворяют ограничению g(x, у) = 0 , т.е.

при условии

g(x,y) = 0.

Функция Лагранжа для этого случая имеет вид

Подозрительная точка определяется путем решения трех
уравнений:

Пример:

Отыскать условный экстремум функции u = ху при
условии у = 1-х (g(x, у) = у + х-1 = 0).

Решение:

Функция Лагранжа имеет вид

Подозрительная точка определяется путем решения трех уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, находим Из
третьего уравнения определяем Подставив в
последнюю формулу, окончательно получим С учетом полученных значений из первого или второго уравнения находим Значение функции в точке экстремума Геометрия условий данного примера в координатах хОу представлена на рис. 7.20.

Линия уровня, проходящая через подозрительную точку,
описывается уравнением ху = 1/4. Все линии уровня, лежащие ниже линии уровня ху = 1/4 , имеют уровень меньше 1/4 , а лежащие выше линии уровня ху = 1/4 — больше 1/4 . Это следует из уравнения линий уровней где k — значение уровня. Ясно, что чем больше k, тем
правее проходит кривая.

Функция, определяющая условие g (х, у) = у + х -1 = 0 , является
прямой линией (см. рис. 7.20). Из-за симметрии задачи функции
ху = 1/4 и g(x, у) = у + х-1 = 0 касаются друг друга в подозрительной
точке (1/4,1/4). Из сказанного следует, что на прямой g(x, у) = у + х-1 = 0 значение функции u = ху меньше 1/4, т.е. в подозрительной точке имеет место максимум. ►

Геометрический смысл локального условного экстремума
функции u = f(x, у) в точке состоит в том, что градиенты
целевой функции grad и функции связи
выходящие из точки , обязательно расположены на одной
прямой. Отсюда следует, что линии уровней функций f(x, у)
и g(x, у), содержащие точку , касаются в этой точке.

Действительно, пусть функции f(х, у) и g(x, у) непрерывны и
имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным х и у , — точка условного локального
экстремума функции u = f(x, у) при наличии ограничения g(x, у) = 0, а