Теорема о длине внешней общей касательной к окружностям
Данное утверждение может быть очень полезно при решении задач на внешне касающиеся окружности.
Теорема Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов.
Доказательство смотрите на Youtube канале
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
| Взаимное расположение двух окружностей |
| Общие касательные к двум окружностям |
| Формулы для длин общих касательных и общей хорды |
| Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды |
Взаимное расположение двух окружностей
Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
r1 – r2 лежит внутри другой
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
r1 – r2 лежит внутри другой
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Каждая из окружностей лежит вне другой
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
| Фигура | Рисунок | Свойства |
| Две окружности на плоскости | ||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
|
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов |
||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
|
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов |
||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
|
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой |
||
| Внутренняя касательная к двум окружностям | ||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Внутреннее касание двух окружностей |
| Окружности пересекаются в двух точках |
| Внешнее касание двух окружностей |
| Каждая из окружностей лежит вне другой |
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Внутреннее касание двух окружностей |
| Окружности пересекаются в двух точках |
| Внешнее касание двух окружностей |
| Каждая из окружностей лежит вне другой |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
| Фигура | Рисунок | Формула |
| Внешняя касательная к двум окружностям | ||
| Внутренняя касательная к двум окружностям | ||
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
|
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностейУтверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, Построение общей внутренней касательной к двум окружностямДаны две окружности (а это значит, что даны и их центры O1 и O2). Требуется провести общую внутреннюю касательную к ним, то есть такую касательную, от которой данные окружности лежат по разные стороны. Радиус большей окружности называем R, радиус меньшей окружности — r. Сначала вокруг меньшей окружности построим вспомогательную окружность с тем же центром и с радиусом, равным сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Затем построим из центра большей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности. Требуемая внутренняя касательная будет параллельна вспомогательной касательной. Отложим первый вспомогательный луч с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим отрезок AB, равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился отрезок AC, равный сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1. Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную дугу окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 — так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине — эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (в данном построении это точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 — это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр большой данной окружности. Прямая HO2 пересекла большую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равно отстоят от O2 и помогут нам построить перпендикуляр к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L — так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой — эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает большую данную окружность в некоторой точке (называем её N). Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N — так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в Q, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в S — так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой — эта прямая NT и будет требуемой общей внутренней касательной к двум данным окружностям. И вот почему. NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N — следовательно, NT — касательная к большой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и точку его пересечения с прямой TN называем U. Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H — значит, угол O2HU — прямой. Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла — значит, и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N — прямоугольник, в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу R. Теперь можем найти длину отрезка O1U (составляющего вместе с UH отрезок O1H). Длина равна разности длин O1H и HU, то есть (r + R) — R = r. Выходит, что U отстоит от O1 на r, то есть U лежит на меньшей данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U — проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN — касательная к меньшей данной окружности. Построение закончено. источники: http://www.resolventa.ru/demo/him/demohim.htm http://blitztest.ru/geometriya/svojstva-vpisannogo-ugla-kasatelnaya-k-okruzhnosti/postroenie-obshchey-vnutrenney-kasatelnoy-k-dvum |
Построение общей внутренней касательной к двум окружностям
Даны две окружности (а это значит, что даны и их центры O1 и O2). Требуется провести общую внутреннюю касательную к ним, то есть такую касательную, от которой данные окружности лежат по разные стороны.
Радиус
большей окружности называем R, радиус меньшей окружности — r. Сначала вокруг меньшей окружности построим вспомогательную окружность с тем же центром и с радиусом, равным сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Затем построим из центра большей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности. Требуемая внутренняя касательная будет
параллельна
вспомогательной касательной.
Отложим первый вспомогательный
луч
с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим
отрезок
AB, равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился отрезок AC, равный сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1.
Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную
дугу
окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 — так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине — эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (в данном построении это точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 — это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр большой данной окружности.
Прямая HO2 пересекла большую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равно отстоят от O2 и помогут нам построить
перпендикуляр
к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L — так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой — эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает большую данную окружность в некоторой точке (называем её N).
Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N — так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в Q, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в S — так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой — эта прямая NT и будет требуемой общей внутренней касательной к двум данным окружностям.
И вот почему. NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N — следовательно, NT — касательная к большой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и точку его пересечения с прямой TN называем U. Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H — значит, угол O2HU — прямой. Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла — значит, и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N — прямоугольник, в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу R. Теперь можем найти длину отрезка O1U (составляющего вместе с UH отрезок O1H). Длина равна разности длин O1H и HU, то есть (r + R) — R = r. Выходит, что U отстоит от O1 на r, то есть U лежит на меньшей данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U — проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN — касательная к меньшей данной окружности. Построение закончено.
Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.
Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».
Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.
То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!
Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.
Смотри, хорда ( displaystyle AB) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла ( displaystyle BAC), а другая дуга – внутри угла ( displaystyle BAD).
И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что ( displaystyle angle CAB) равен ПОЛОВИНЕ угла ( displaystyle AOB), ( displaystyle angle DAB) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла ( displaystyle AOB).
При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?
Сейчас и увидим. ( displaystyle OA) – радиус, ( displaystyle AC) – касательная.
Значит, ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).
Поэтому:( displaystyle angle 1=90{}^circ -angle 4).
Но ( displaystyle angle 2=angle 1) (( displaystyle OA) и ( displaystyle OB) – радиусы)( displaystyle angle 2=90{}^circ -angle 4).
И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника ( displaystyle AOB) равна ( displaystyle 180{}^circ ).
Пишем:
Короче:
Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).
Равенство отрезков касательных
Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:
А ещё более удивительный факт состоит в том, что:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.
То есть, на нашем рисунке, ( displaystyle AB=AC).
И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Вот, убедись.
Проведём радиусы ( displaystyle OB) и ( displaystyle OC) и соединим ( displaystyle O) и ( displaystyle A).
( displaystyle OB) – радиус.
( displaystyle AB) – касательная, значит, ( displaystyle OBbot AB).
Ну, и так же ( displaystyle OCbot AC).
Получилось два прямоугольных треугольника ( displaystyle AOB) и ( displaystyle AOC), у которых:
- ( displaystyle OB=OC) — равные катеты
- ( displaystyle OA) — общая гипотенуза
( displaystyle Rightarrow Delta AOB = Delta AOC)
(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).
Но раз ( displaystyle Delta AOB=Delta AOC,) то( displaystyle AB=AC). УРА!
И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.
И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.
Для любой прямой ( displaystyle AD), пересекающей окружность,( displaystyle ADcdot AC=A{{B}^{2}}), где ( displaystyle AB) – отрезок касательной.
Хитроумными словами об этом говорят так:
«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».
Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:
Касание окружностей
- Внутреннее касание
- Внешнее касание
Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.
Внутреннее касание
Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от точки касания окружностей. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, отметим на радиусе AC точку B, это будет центр второй окружности с радиусом BC:
Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внутренним образом.
При внутреннем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно разности их радиусов.
Внешнее касание
Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от точки касания. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, вторая с центром B и радиусом BC:
Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внешним образом.
При внешнем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.
Общие сведения
Важно знать терминологию, соотношения и теоремы для решения задач этого класса. Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с ней только одну точку соприкосновения. Прямая — это линия, не имеющая границ, т. е. она ничем не ограничена. Окружностью называется геометрическое место точек, удаленных от центра на одинаковые расстояния.
Следует отметить, что касательные бывают внешними и внутренними. Внешней называет прямая линия, проходящая с внешней стороны окружности. Внутренние касательные пересекают отрезок, который соединяет центры двух окружностей. Последний тип прямых не существует, когда два круга пересекаются. Касательные нужно уметь правильно строить, поскольку от этого зависит правильность решения задачи.
Построение касательных
Для построения касательной к окружности следует на последней отметить произвольную точку. Затем необходимо через нее провести прямую. Нужно отметить, что у круга может быть несколько таких прямых. Когда даны две окружности, тогда можно проводить не только внешние, но и внутренние. Существует определенный алгоритм, по которому можно построить первый тип:
- Начертить 2 окружности с центрами в точках О1 и О2. При этом должно соблюдаться условие r1 > r2, где r1 и r2 — радиусы I и II соответственно.
- Нарисовать III окружность с центром в О1 и радиусом r3 = r1 — r2.
- Провести 2 касательные из точки О2 к III. Они параллельны искомым, поскольку радиусы I и II уменьшаются на r2.
Существует более простая модель построения таких прямых. Для этого следует начертить один круг, а затем отметить две произвольные точки на его противоположных сторонах. Далее начертить II круг, превышающий I по радиусу. Отметить на нем точки, воспользовавшись подобием, т. е. они должны быть в тех же местах, что и на I. Затем провести прямые, которые должны соприкасаться с I и II кругами только в одной точке.
Для построения внутренних касательных существует определенная методика. В интернете можно найти много информации. В одних источниках алгоритм построения является сложным, а в других — простым. Однако есть один метод, позволяющий осуществить данную операцию. Специалисты описали его на «понятном» языке для новичков. Суть методики заключается в следующем:
- Необходимо построить два круга, которые не пересекаются, с радиусами r1 и r2. Расстояния между ними должно составлять r1 + r2.
- Соединить их центры (середины) отрезком.
- Отметить на нем среднюю точку, которая делит его на две равные части.
- Через точку, полученную на третьем шаге методики, провести прямую. Она должна иметь только одну точку соприкосновения с I и II окружностями.
- Аналогично провести еще одну прямую.
- Искомые прямые являются внутренними касательными.
Далее нужно рассмотреть некоторые свойства, на основании которых можно решать задачи и доказывать геометрические тождества.
Основные свойства
Свойства — утверждения, полученные в результате доказательства теорем о касательной к окружности. Первые нет необходимости доказывать, поскольку об этом уже позаботились математики. Они выделяют всего 4 свойства касательных к окружности:
- Если провести из одной точки две касательные к некоторой окружности, то отрезки, лежащие на них, будут равны. Искомый угол будет делиться радиусом пополам.
- Любая касательная и радиус, проведенный к ее точке, образуют прямой угол. Справедливо и обратное утверждение: радиус, который проведен в точку касания, перпендикулярен данной прямой.
- Вся секущая, умноженная на свою внешнюю часть, равна квадрату расстояния касательной, которая проведена из общей с ней точки.
- Образованный угол между касательной и секущей, эквивалентен градусной мере угла, который опирается на образованную хорду.
Для рассмотрения I свойства необходимо начертить окружность с центром О1. Затем нужно отметить точку М вне окружности. Из М провести одну прямую, которая соприкасается с кругом в точке А. Такую же операцию следует проделать и для другой касательной. Точку соприкосновения назвать В. Отрезки АМ и ВМ равны между собой.
Если провести радиусы к точкам А и В, то можно сделать вывод, что углы являются прямыми. Чтобы понять третье свойство, необходимо начертить окружность и отметить некоторую точку М за ее пределами. После этого следует из искомой точки провести секущую и касательную. Первой называется прямая, проходящая через окружность и пересекающая ее в двух точках. Для касательной точку соприкосновения необходимо обозначить А. Тогда секущая пересекает круг в точках В (ближняя) и С (дальняя). В результате этого получается такое соотношение: АМ 2 = АВ * МС.
Когда для произвольной окружности существуют касательная и секущая, тогда между ними образуется некоторый угол.
Хорда, полученная в результате прохождения через окружность, образует также угол. Он опирается на искомую хорду и является вписанным. Следовательно, по свойству градусные меры углов равны между собой. Далее нужно разобрать частные случаи, на основании которых можно сделать вывод о количестве касательных.
Когда окружность вписана в ромб, тогда их точки касания нужно рассматривать по первому свойству. Радиус окружности можно найти по следующим формулам:
- Через диагонали (d1, d2) и сторону (a): r = (d1 * d2) / 4а.
- Только по диагоналям: r = (d1 * d2) / [(d1)^2 + (d2)^2]^(½).
Следует отметить, что у ромба две диагонали. Они различаются по размеру. Одна из них больше другой (d1 > d2).
Частные случаи
В некоторых задачах нужно определить количество касательных у двух окружностей. Можно выполнить ряд сложных и трудоемких доказательств. В результате этого будет потрачено много времени, а можно воспользоваться уже готовыми дополнительными свойствами:
- Четыре касательных: круги не соприкасаются, т. е. d > r1 + r2 (значение диаметра больше суммы радиусов r1 и r2).
- Две общие внешние и одна внутренняя: окружности соприкасаются только в одной точке (d = r1 + r2).
- Только две внешние: пересечение окружностей в двух точках (|r1 — r2| < d < r1 + r2).
- Одна общая внешняя: окружности касаются внутри друг друга (d = |r1 — r2|).
- Отсутствуют: один круг находится внутри другого (d < |r1 — r2|).
В последнем случае любая касательная будет являться секущей для другой окружности. Существует еще одно положение, когда окружности совпадают. Тогда любая касательная считается общей. В высшей математике разбирается также «отрицательный» радиус. Тогда вышеперечисленные свойства можно править следующим образом:
- Нет касательных: окружности не соприкасаются, и для них выполняется условие d < — (r1 + r2).
- Две внутренние (общие) и одна внешняя: круги соприкасаются в одной точке (d = -r1 — r2).
- Одна пара внутренних: пересечение в 2 точках (|r1 — r2| > d > — r1 — r2).
- Внутренняя общая (одна): соприкасаются внутри (d = |r2 — r1|).
- Четыре: при d > |r1 — r2|.
Когда заданы окружности, радиус одной из которых равен 0, тогда «нулевой» круг эквивалентен двойной точке. Прямая является двойной и проходит через эту точку. В этом случае математики определяют всего две внешних. Если r1 = r2 = 0, то всего 4 внешних общих касательных. Далее для решения задач нужно разобрать доказательства некоторых свойств.
Доказательства утверждений
Очень важно знать доказательства некоторых свойств и теорем, поскольку одним из типов задач считаются упражнения повышенной сложности, требующие логических расчетов в общем виде. Например, нужно доказать, что касательная образует с радиусом, проведенным к точке касания, прямой угол. Существует тип доказательства от противного.
Для этого следует предположить, что искомый угол не равен 90 градусам. Пусть дана некоторая касательная р. Она имеет с кругом общую точку А. Нужно провести к ней перпендикуляр (радиус). Далее нужно провести из центра О отрезок ОВ на р. Образуется прямоугольный треугольник АВО с гипотенузой ОВ. Если опираться на утверждение от противного, то гипотенуза будет меньше катета (d < r). Однако радиус не может быть больше диаметра, поскольку он рассчитывается по следующей формуле: d = 2 * r. Следовательно, утверждение доказано.
Аналогично доказывается и обратное свойство. Его формулировка имеет такой вид: прямая, проходящая под прямым углом через точку, которая образована радиусом, является касательной. В этом случае можно доказывать не от противного. Расстояние от прямой до центра окружности эквивалентно некоторой величине и является радиусом. Из определения следует, что прямая и окружность имеют общую точку, и только одну. Следовательно, она и есть касательная.
Доказательство об отрезках, проведенных из одной точки, тоже нужно разобрать, поскольку такой прием применяется в решении сложных задач. Отрезки равны между собой и образуют с прямой, проведенной к центру круга, эквивалентные углы.
Следует выполнить построение окружности с центром Р. Далее нужно обозначить точку А за ее пределами и провести из нее лучи-касательные к искомой окружности. Они образуют на круге точки А и В. Кроме того, следует доказать равенство углов ОАВ и САО. При построении образовалось два треугольника ОВА и ОСА. Фигуры являются прямоугольными на основании свойства о касательной и радиусе.
Далее необходимо доказать равенство фигур ОВА и ОСА. Это сделать довольно просто: гипотенуза — общая, катеты ОВ и ОС равны (радиусы) и углы АВО = АСО = 90. Следовательно, они равны по первому признаку, а также эквивалентны друг другу стороны АВ и АС. Кроме того, угол ОАВ = САО. Утверждение доказано. Гипотенуза является также и биссектрисой. В некоторых источниках можно встретить доказательство равенства тангенсов углов.
Пример решения задачи
Нужно составить уравнения касательных к окружности (описанной графиком функции х 2 + y 2 = 2x + 6y + 19), проходящих через координаты х =0 у= -14. Для решения задачи следует действовать по такому алгоритму:
- Перенести все слагаемые, кроме 19, в левую сторону: х 2 + y 2 — 2x — 6y = 19.
- Выделить полный квадрат для окончательной записи уравнения окружности: х 2 — 2x + 1 — 1 + y 2 — 6y +9 — 9 = (х — 1)^2 + (y — 3)^2 = 29.
- Уравнение прямой, проходящей через (0;-14) в общем виде: y — (-14) = k * (x — 0) или у = кх — 14.
- Составить систему уравнений: (х — 1)^2 + (y — 3)^2 = 29 и у = кх — 14.
- Подставить второе в первое: (х — 1)^2 + (кх — 14 — 3)^2 = 29.
- Упростить выражение: (х — 1)^2 + (кх — 14 — 3)^2 — 29 = х 2 — 2x + 1 +k 2 * x 2 — 34kx + 289 — 29 = (1 + k 2 ) * x 2 — 2 * (17k + 1) + 261.
- Решением уравнения должен быть один корень: D/4 = 0.
- Упростить тождество: D/4 = (-(17k + 1))^2 — 261 (1 + k 2 ) = 289k 2 + 34k + 1 — 261 — 261k 2 = 28k 2 + 34k — 260 = 0.
- Найти значение D: 17 2 — 28 * (-260) = 289 + 7280 = 7569.
- Первый коэффициент к1 = (-17 — 87) / 28 = -26/7.
- Коэффициент к2 = (-17 + 87) / 28 = 5/2.
- Записать уравнения прямых с учетом к1 и к2: у1 = (-26/7) * х — 14 (26х + 7у + 98 = 0) и у2 = (5/2) * х — 14 (5х — 2у — 28 = 0).
Следует отметить, что уравнение окружности с радиусом, равным единице, описывается функцией x2 + y 2 = 1. Эта запись применяется для решения задач в общем виде. Прямая — функция, описанная прямой пропорциональностью у = кх + b. Чтобы связать окружность и касательные, нужно составить систему уравнений. Этот математический ход объясняется тем, что у функций должны быть общие решения (точка на окружности). После решения можно выполнить проверочные вычисления, подставив корни в систему.
Таким образом, для решения задач об окружности и касательной следует знать общие понятия, а также основные свойства и теоремы.