В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.
- Определение дуги сектора круга
-
Формулы для нахождения длины дуги сектора
- Через центральный угол в градусах и радиус
- Через угол сектора в радианах и радиус
- Примеры задач
Определение дуги сектора круга
Дуга – это участок между двумя точками на окружности.
Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.
На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).
- OA = OB = R (r);
- α – угол сектора или центральный угол.
Формулы для нахождения длины дуги сектора
Через центральный угол в градусах и радиус
Длина (L) дуги сектора равняется числу π, умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.
Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.
Через угол сектора в радианах и радиус
Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).
Примеры задач
Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.
Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:
Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.
Решение
Для начала вычислим угол в радианах:
1 радиан ≈ 57,2958°
Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59° (2 рад ⋅ 57,2958°).
В этом простом онлайн-калькуляторе для нахождения величин сектора круга можно быстро определить длину дуги сектора, зная площадь, периметр или центральный угол сектора. Для этого нужно заполнить по одному пустующему слота в калькуляторах окружности и сектора окружности, после чего нажать на кнопку “Рассчитать”. В результате высветятся все недостающие значения вместе с формулами.
Калькулятор окружности:
Достаточно заполнить только одну ячейку — остальное калькулятор посчитает сам.
Периметр или длина окружности (P)
Калькулятор сектора окружности:
Достаточно ввести только одно значение и указать радиус окружности — остальное калькулятор посчитает сам.
Центральный угол сектора в градусах (α)
Площадь сектора окружности (S1)
Калькулятор сегмента окружности:
Достаточно ввести только одно* значение и указать радиус окружности — остальное калькулятор посчитает сам.
Исключения:
* — при известном периметре (P2) нужно дополнительно указать длину дуги (l1) или хорды (c).
* — при известной площади (S2) нужно дополнительно указать длину хорды (c) или высоты (h).
Угол сегмента в градусах (α1)
Площадь сегмента окружности (S2)
Округление:
* — обязательно заполнить
Сегмент круга
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Нахождение длины дуги сектора круга
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.
Определение дуги сектора круга
Дуга – это участок между двумя точками на окружности.
Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.
На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).
- OA = OB = R (r);
- α – угол сектора или центральный угол.
Формулы для нахождения длины дуги сектора
Через центральный угол в градусах и радиус
Длина (L) дуги сектора равняется числу π , умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах ( α°), деленному на 180°.
Примечание: в расчетах используется число π , приблизительно равное 3,14.
Через угол сектора в радианах и радиус
Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).
Примеры задач
Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.
Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:
Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.
Решение
Для начала вычислим угол в радианах:
1 радиан ≈ 57,2958°
Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59 ° (2 рад ⋅ 57,2958°).
Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Основные определения и свойства
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Часть круга, ограниченная хордой
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
| Фигура | Рисунок | Определения и свойства |
| Окружность |  |
|
| Дуга |  |
|
| Круг |  |
|
| Сектор |  |
|
| Сегмент |  |
|
| Правильный многоугольник |  |
|
 |
| Окружность |
|
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент
Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Формулы для площади круга и его частей
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
| Площадь круга |  |
|
| Площадь сектора |  |
|
| Площадь сегмента |  |
| Площадь круга |
|
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Площадь сектора
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь сегмента
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Формулы для длины окружности и её дуг
где R – радиус круга, D – диаметр круга
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
| Длина окружности |
 |
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Длина дуги
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .
Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .
Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна
Длина окружности
то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :
Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Нахождение длины дуги сектора круга
http://www.resolventa.ru/demo/diaggia6.htm
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Длина хорды:
Высота сегмента:
Сегмент
Угол в градусах, образуемый радиусами сектора
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:
Параметры сегмента по хорде и высоте
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.
Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:
Площадь сегмента круга по радиусу и высоте
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Этот калькулятор вычисляет угол из высоты и радиуса по следующей формуле:
далее используется формула [1] для получения площади.
15 вычислений по сегменту круга в одной программе
Последний калькулятор включает в себя все оставшиеся вычисления параметров кругового сегмента:
- длина дуги
- угол
- хорда
- высота
- радиус
- площадь
Выберите два известных аргумента и калькулятор выдаст вам все оставшиеся.
Круговой сегмент — все варианты расчета
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Окружность, круг, сегмент, сектор. Формулы и свойства
- Окружность — определение
- Круг — определение
- Радиус и диаметр окружности
- Основные свойства окружности
- Формулы длины окружности и площади круга
- Уравнение окружности
- Касательная окружности и ее свойства
- Секущая окружности и ее свойства
- Хорда окружности и ее свойства
- Центральный угол, вписанный угол и их свойства
- Дуга, длина дуги, градусная мера дуги
- Полуокружность и полукруг
- Сектор, площадь сектора
- Сегмент, площадь сегмента
- Концентрические окружности
- Кольцо
Определение. Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.
Определение. Единичная окружность — окружность, радиус которой равен единице.
Определение. Круг — часть плоскости, ограничена окружностью.
Определение. Радиус окружности R — расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.
Определение. Диаметр окружности D — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.
Основные свойства окружности
1. Диаметр окружности равен двум радиусам.
D = 2r
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.
3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.
4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.
5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.
Формулы длины окружности и площади круга
Формулы длины окружности
1. Формула длины окружности через диаметр:
L = πD
2. Формула длины окружности через радиус:
L = 2πr
Формулы площади круга
1. Формула площади круга через радиус:
S = πr2
2. Формула площади круга через диаметр:
S = πD24
Уравнение окружности
1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:
r2 = x2 + y2
2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:
r2 = (x — a)2 + (y — b)2
3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:
| { | x = a + r cos t |
| y = b + r sin t |
Касательная окружности и ее свойства
Определение. Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.
Основные свойства касательных к окружности
1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.
3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:
AB = AC
Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:
∠ОAС = ∠OAB
Секущая окружности и ее свойства
Определение. Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности.
Основные свойства секущих
1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:
AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ
2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:
AQ ∙ BQ = CQ2
Хорда окружности ее длина и свойства
Определение. Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности.
Длина хорды
1. Длина хорды через центральный угол и радиус:
AB = 2r sin α2
2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:
AB = 2r sin α
Основные свойства хорд
1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:
если хорды AB = CD, то
дуги ◡ AB = ◡ CD
2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:
если хорды AB ∣∣ CD, то
◡ AD = ◡ BC
3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:
если OD ┴ AB, то
AC = BC
4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:
AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC
5. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
если хорды AB = CD, то
ON = OK
6. Чем больше хорда, тем ближе она к центру.
если CD > AB, то
ON < OK
Центральный угол, вписанный угол и их свойства
Определение. Центральный угол окружности — угол, вершиной которого есть центр окружности.
Определение. Угол вписанный в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.
Основные свойства углов
1. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу — равны.
2. Вписанный угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°).
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу
β = α2
4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.
α + β = 180°
Определение. Дуга окружности (◡) — часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.
Определение. Градусная мера дуги — угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.
Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):
l = πr180°∙ α
Определение. Полуокружность — дуга в которой концы соединены диаметром окружности.
Определение. Полукруг (◓) — часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.
Определение. Сектор (◔) — часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.
Формула. Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)
S = πr2360°∙ α
Определение. Сегмент — часть круга, которая ограничена дугой и хордой, что соединяет ее концы.
Определение. Концентрические окружности — окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.
Определение. Кольцо — часть плоскости ограниченная двумя концентрическими окружностями.