Как найти длину грани по координатам вершин - Autoru.top

Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное — разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

найдем как угол
между направляющими векторами

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

и гранью

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

–им будет
векторное произведение векторов

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

. Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

-уравнение
грани

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

из вершины

Нормальный вектор

является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Источник

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Примеры

Пример 1. Проверим, лежат ли точки A (1, −1, 1) , B (2, 2, 3) , C (3, 1, 3) и D (0, 0, 1) в одной плоскости.

Решение. Вычисляем смешанное произведение векторов A B = <1, 3, 2>, A C = <2, 2, 2>и A D = < −1, 1, 0>:

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Как найти высоту пирамиды по векторам

Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее . см. также по координатам треугольника найти.

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word

Пример №1 . В пирамиде SABC : треугольник ABC – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S . Сделать чертеж.
Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x₂ – x₁; Y = y₂ – y₁; Z = z₂ – z₁
Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0).
AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2) .
Длину вектора находим по формуле:

Пример №2 . В тетраэдре ABCD вычислить:

объем тетраэдра ABCD;
высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC.

A(2, 3, -2), B(3, 1, 0), C(-2, 2, 1), D(6, 1, -1)

Ответ

Проверено экспертом

Даны вершины пирамиды A(3;-2;3)B(-1;0;2)C(-3;1;-1)D(-3;-3;1) .

Находим векторы АВ, АС и АД.

Вектор АВ = (-4; 2; -1 ), модуль равен √(16+4+1) = √21 ≈ 4,58258.

Определяем векторное произведение АВ х АС.

-6 3 -4 | -6 3 = -8i + 6j – 12k – 16j + 3i + 12k = -5i – 10j = (-5; -10; 0).

Далее находим смешанное произведение (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) = (-5; -10; 0),

(АВ х АС) х АД = 30 + 10 + 0 = 40.

Объем пирамиды равен (1/6) этого произведения:

V = (1/6)*40 = (20/3) куб.ед.

Высота h пирамиды ABCD, опущенная из вершины D на плоскость основания ABC, равна: h = 3V/S(ABC).

Площадь основания АВС равна половине модуля векторного произведения АВ х АС.

S(ABC) = (1/2)*√((-5)² + (-10)² + 0²) = (1/2)√(25 + 100) = (5/2)√5 кв.ед.

h = (3*20/3)/((5/2)√5) = 8/√5 = 8√5/5 ≈ 3,5777.

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

( A B , A C , A D ) =

= 1 · ( −2) − 3 · 2 + 2 · 4 = 0 .

Так как смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны и, следовательно, точки лежат в одной плоскости.

Пример 2. Даны вершины тетраэдра A (2, 3, 1) , B (4, 1, −2) , C (6, 3, 7) и D ( −5, −4, . Найдем длину высоты, опущенной из вершины D на плоскость основания A B C (рис. 1).

Решение. Из вершины A проводим векторы A B = <2, −2, −3>, A C = <4, 0, 6>и A D = < −7, −7, 7>.

В соответствии с геометрическим смыслом смешанногопроизведения имеем:

V тетр. =

· V параллелеп =

| ( A B , A C , A D ) | .

С другой стороны,

V тетр. =

S ΔABC · h , где S ΔABC =

| [ A B , A C ] | .

Сравнивая эти равенства, получаем

1. Вычисляем смешанное произведение:

( A B , A C , A D ) =

= 2 · 42 + 2 · 70 + ( −3) · ( −28) = 308 .

Следовательно, V тетр. = 308/6 .

2. Вычисляем координаты векторного произведения:

источники:

http://dudom.ru/kompjutery/kak-najti-vysotu-piramidy-po-vektoram/

http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Ag/01/09/e_c.htm

Источник

Пример 1:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1) координаты и модули векторов А₁А₂и А₁А₄;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) площадь грани А₁А₂А₃;

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁ А₂;

6) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.

Сделать чертеж.

А₁(0; 4; -4), А₂(5; 1; -1), А₃(-1; -1; 3), А₄(0; -3; 7).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.Сделать чертеж.

1. А₁(7; 7; 3), А₂(6; 5; 8), А₃(3; 5; 8), А₄(8; 4; 1).

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

Уравнение плоскости.
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x₁	y-y₁	z-z₁
x₂-x₁	y₂-y₁	z₂-z₁
x₃-x₁	y₃-y₁	z₃-z₁

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃

(x-3)(1*2-0*3) — (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y — 3z-38 = 0

Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sin%20gamma%20%20%20=%20frac%7b|Al%20%2B%20Bm%20%2B%20Cn|%7d%7bsqrt%7bA%5e%7b2%7d%20%2B%20B%5e%7b2%7d%20%2B%20C%5e%7b2%7d%7dsqrt%7bl%5e%7b2%7d%20%2B%20m%5e%7b2%7d%20%2B%20n%5e%7b2%7d%7d%7d$
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0
Уравнение прямой A₁A₄:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%203%7d%7b-3%7d%20=%20frac%7by%20-%202%7d%7b0%7d%20=%20frac%7bz%20%2B%202%7d%7b4%7d$
γ = arcsin(0.267) = 15.486^o

Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,2,2)
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%20x_%7b0%7d%7d%7bA%7d%20=%20frac%7by%20-%20y_%7b0%7d%7d%7bB%7d%20=%20frac%7bz%20-%20z_%7b0%7d%7d%7bC%7d$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%200%7d%7b2%7d%20=%20frac%7by%20-%202%7d%7b13%7d%20=%20frac%7bz%20-%202%7d%7b-3%7d$

Уравнение плоскости через вершину A₄(0,2,2)
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0
или
2x+13y-3z-20 = 0

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Даны координаты пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4)

Уравнение плоскости.
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x₁	y-y₁	z-z₁
x₂-x₁	y₂-y₁	z₂-z₁
x₃-x₁	y₃-y₁	z₃-z₁

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃

(x-0)(3*2-8*3) — (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x — 15y + 33z-18 = 0
Упростим выражение: -6x — 5y + 11z-6 = 0

2) Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0
Уравнение прямой A₁A₄:

γ = arcsin(0.193) = 11.128^o

3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,5,4)
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0

4) Уравнение плоскости через вершину A₄(0,5,4)
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0
-6(x-0)-5(y-5)+11(z-4) = 0
или
-6x-5y+11z-19 = 0

5) Координаты вектора A₁A₄(0;4;3)

Уравнение прямой, проходящей через точку А₁(0,1,1) параллельно вектору А₁А₂(0,4,3) имеет вид:

Пример 5:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.Сделать чертеж.

А₁(4; 4; 10), А₂(4; 10; 2), А₃(2; 8; 4), А₄(9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1) Даны координаты вершин пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4)
Координаты векторов.
Координаты векторов: A₁A₂(3;3;3) A₁A₄(0;4;3)

Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

Угол между ребрами.

Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:
, где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂
Найдем угол между ребрами A₁A₂(3;3;3) и A₁A₃(0;4;3):

А₁ = arccos(0,808)

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S =
Найдем векторное произведение

=i(3*2-8*3) — j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i — 15j + 33k

3) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

Координатывекторов:A₁A₂(3;3;3) A₁A₃(-3;8;2) A₁A₄(0;4;3) :

где определитель матрицы равен:
∆ = 3*(8*3-4*2)-(-3)*(3*3-4*3)+0*(3*2-8*3) = 39

Пример 7:

Решение от преподавателя:

Угол между ребрами.
Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7ba_%7b1%7da_%7b2%7d%7d%7b|a_%7b1%7d|cdot%20|a_%7b2%7d|%7d$
где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂
Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2):
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7b(-2)cdot%203%20%2B%201cdot%200%20%2B%203cdot%202%7d%7bsqrt%7b14%7dcdot%20sqrt%7b13%7d%7d%20=%200$
γ = arccos(0) = 90.003⁰
Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S%20=%20frac%7b1%7d%7b2%7d%20|a|cdot%20|b|%20sin%20gamma$
где

Найдем площадь грани A₁A₂A₃
Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2):
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7b(-2)cdot%203%20%2B%201cdot%200%20%2B%203cdot%202%7d%7bsqrt%7b14%7dcdot%20sqrt%7b13%7d%7d%20=%200$

Площадь грани A₁A₂A₃
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=V%20=%20frac%7b1%7d%7b6%7d$

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20=%20frac%7b18%7d%7b6%7d%20=%203$

где определитель матрицы равен:
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18

Пример 8:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ . Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между рёбрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(3; 5; 4), А₂(8; 7; 4), А₃(5; 10; 4), А₄(4; 7; 8).

Решение от преподавателя:

1) Длина ребра A₁A₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

Найдем уравнение стороны А₁А₄:

Вектор нормали: к плоскости А₁А₂А₃.

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

Итак: z=4 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

A₄O – высота:

Уравнение A₄O:

Т.к. , то

В результате получаем уравнение высоты:

Пример 9:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.Сделать чертеж.

А₁(4; 4; 10), А₂(4; 10; 2), А₃(2; 8; 4), А₄(9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Источник

Геометрия 10-11 класс

10 баллов

Даны координаты вершин пирамиды
A1A2A3A4. A1(2;5;8) A2(1;4;9) A3(2;1;6) A4(5;4;2)Найти:
1) длину ребра A1A2;
2) угол между ребрами A1A2 и A1A4;
3) уравнение плоскости A1A2A3 и угол между ребром A1A4 и плоскостью A1A2A3;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3 и ее длину;
5) площадь грани A1A2A3 и объем пирамиды.
Сделать чертеж

Ирина Каминкова

14.12.2020 20:24:47

Ответ эксперта

Ирина Каминкова

14.12.2020 20:27:16

Ответ эксперта

Ирина Каминкова

14.12.2020 20:27:45

Ответ эксперта

Все предметы

Рейтинг пользователей

Источник

Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Задача

Длина ребра

Угол между ребрами

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Площадь грани

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение плоскости

Уравнение высоты, опущенной на грань

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Примеры

Как найти высоту пирамиды по векторам

Ответ

Проверено экспертом

Пример 1:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Решение от преподавателя:

Все предметы

Рейтинг пользователей

Не пропустите также: