Как найти длину де бройля для электрона - Autoru.top

Как определить длину волны де Бройля для электрона

Содержание:

Волна де Бройля или волна амплитуды вероятности
Природа волн де Бройля, фазовая и групповая скорость
Какой формулой определяется длина волны
Как определить длину волны де Бройля для электрона

Волна де Бройля или волна амплитуды вероятности

Волна де Бройля является волной вероятности или волной амплитуды вероятности, которая определяет плотность вероятности обнаружения объекта в конкретной точке конфигурационного пространства.

Согласно определения волн де Бройля, можно сделать вывод об их взаимодействии с какими-либо частицами и их волновой природе. Формулировка волн материи была введена в науку в 1924 году французским физиком-теоретиком Луи де Бройлем. Благодаря теории, свойство корпускулярно-волнового дуализма (или двойственности) было распространено на любые проявления материи, включая излучение и какие-либо частицы вещества.

В современной квантовой теории «волна материи» понимается несколько иначе. Однако название данного физического феномена, связанного с частицами вещества, включая водород, сформулировано в честь автора гипотезы.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В 1913 году Н. Бор предложил полуклассическую модель атома, в основе которой было два постулата:

Момент импульса электрона в атоме строго определен. Величина в любом случае пропорциональна nh/2π, где n – какое-либо целое число, начиная с 1, а h – постоянная Планка, присутствие которой в формуле ясно свидетельствует о том, что момент импульса частицы квантован. Таким образом, атом включает комплекс разрешенных орбит, по которым только и может перемещаться электрон. Когда электрон расположен на этих орбитах, излучение (то есть потеря энергии) отсутствует.
Атомный электрон излучает или поглощает энергию в процессе перехода с одной орбиты на другую в количестве, определяемом, как разность энергий на этих орбитах. В связи с тем, что промежуточные состояния между разрешенными орбитами отсутствуют, излучение строго квантуется. Показатель его частоты составляет (E1 – E2)/h, что является выводом из формулы Планка для энергии E = hν.

Таким образом, боровская модель атома не предусматривает излучение электрона на орбите, его нахождение между орбитами. Однако согласно простой рассматриваемой модели, движение электрона рассматривают с классической точки зрения, как вращение планеты вокруг Солнца.

В процессе поиска ответа на вопрос о поведении электрона Де Бройль предположил, что электрону в любом случае должна соответствовать определенная волна. Благодаря ей, частица «выбирает» исключительно такие орбиты, на которых данная волна укладывается целое число раз. В этом и заключался смысл целочисленного коэффициента в постулированной Бором формуле.

Гипотеза приводит к выводу, что электронная волна де Бройля не является электромагнитной, а волновые параметры должны быть характерны для любых материальных частиц, а не только для электронов в атоме. Ученому удалось получить важное соотношение, с помощью которого можно определить тип этих рассматриваемых волновых свойств. Формула расчета волны де Бройля:

(λ = h/p)

где λ – является длиной волны, p – определяет импульс частицы в уравнении.

Де Бройль объединил в одном соотношении корпускулярную и волновую характеристики материи: такие, как импульс и длина волны. Данные параметры связывает постоянная Планка, величина которой примерно составляет (6,626*10^{-27} эрг∙с) или (6,626*10^{-34} Дж∙с), задающая масштаб проявления волновых свойств вещества.

Природа волн де Бройля, фазовая и групповая скорость

Следует отметить, что волны де Бройля, называемые электронными волнами, не являются электромагнитными. В 1927 году американским физикам Дэвиссону и Джермеру удалось подтвердить гипотезу де Бройля. Ученые обнаружили дифракцию электронов на кристалле никеля. В процессе получилось определить дифракционные максимумы, которые соответствуют формуле Вульфа-Брэггов:

(2dsinj = nl)

Расчет брэгговской длины волны подтвердил ее соответствие формуле:

Расчет брэгговской длины волны

Источник: bog5.in.ua

Дифракционная картинка

Источник: bog5.in.ua

В дальнейшем гипотеза де Бройля была подтверждена опытным путем Л.С. Тартаковским и Г. Томсоном. Ученым удалось зафиксировать дифракционную картину, когда пучок быстрых электронов при Е≈ 50 кэВ проходит сквозь фольгу из разных металлов.

Чуть позже получилось обнаружить дифракцию нейтронов, протонов, атомных пучков и молекулярных пучков. В дальнейшем были изобретены инновационные методики исследования вещества, включая нейтронографию и электронографию, сформировалось направление электронной оптики.

Макротела должны характеризоваться аналогичными свойствами. В случае, если m = 1кг, (l = 6,62*10^{-31} м) – невозможно обнаружить современными методами – поэтому макротела рассматриваются только в качестве корпускул.

В том случае, когда частица с массой m перемещается со скоростью v, фазовая скорость волн де Бройля будет определяться по формуле:

фазовая скорость волн де Бройля

Источник: bog5.in.ua

волновое число

Источник: bog5.in.ua

Исходя из того, что c > v, фазовая скорость волн де Бройля превышает скорость света в вакууме. Можно отметить, что фазовая скорость Vф может быть больше и может быть меньше с, в отличие от групповой скорости. Формула групповой скорости:

Формула групповой скорости

Источник: bog5.in.ua

Скорость

Источник: bog5.in.ua

Таким образом, групповая скорость волн де Бройля соответствует скорости движения частицы. В случае фотона она будет равна:

групповая скорость волн де Бройля соответствует скорости движения частицы

Источник: bog5.in.ua

В результате, значение групповой скорости равно скорости света.

Волны де Бройля подвержены дисперсии. Если подставить выражение:

Волны де Бройля подвержены дисперсии

Источник: bog5.in.ua

в формулу:

в формулу

Источник: bog5.in.ua

получим следующее равенство:

(Vф= f(λ))

Примечание

Так как присутствует дисперсия, волны де Бройля невозможно представить, как волновой пакет. В противном случае, он мгновенно «расплывется», то есть исчезнет, в течение 10-26 с.

Какой формулой определяется длина волны

Количественные соотношения, которые связывают корпускулярные и волновые способности частиц, аналогичны свойствам фотонов:

длина волны

Источник: bog5.in.ua

Гипотеза де Бройля основана на универсальном характере данного равенства, что справедливо в условиях любых волновых процессов. Какой-либо частице, которая обладает импульсом р, соответствует волна. Ее длину можно определить с помощью формулы де Бройля:

формула де Бройля

Источник: bog5.in.ua

p =mv— является импульсом частицы, h – определяется, как постоянная Планка.

Как определить длину волны де Бройля для электрона

Рассчитать длину волны де Бройля для электрона можно на конкретном примере. Предположим, то требуется определить длину волны де Бройля λ для электрона, кинетическая энергия которого составляет:

W1 = 10 кэВ;
W2 = 1 МэВ.

В первую очередь стоит записать исходные данные:

(m_{e}=9,1*10^{-31} кг)

(W1 = 10 кэВ = 10*10^{3}*1,6*10^{-19} = 1,6*10^{-15}Дж)

(W2 = 1 МэВ = 10*10^{6}*1,6*10^{-19}= 1,6*10^{-13} Дж)

Требуется найти λ.

Решение:

Формула волны де Бройля:

Формула волны де Бройля

Источник: bog5.in.ua

Так как известна кинетическая энергия электронов, можно рассчитать их скорость:

кинетическая энергия электронов

Источник: bog5.in.ua

Формула

Источник: bog5.in.ua

формула

Источник: bog5.in.ua

Далее можно определить длину волны де Бройля:

длинf волны де Бройля

Источник: bog5.in.ua

В том случае, когда скорость v частиц соизмерима со скоростью света с, длину волны де Бройля можно рассчитать по формуле:

длину волны де Бройля можно рассчитать по формуле

Источник: bog5.in.ua

Источник

Тема: Найти длину волны де Бройля для электрона (Прочитано 46072 раз)

0 Пользователей и 2 Гостей просматривают эту тему.

Найти длину волны де Бройля для электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 1 В.

Записан

Решение.
Запишем формулу для вычисления длины волны де Бройля:

[ lambda =frac{h}{p}=frac{h}{mcdot upsilon } (1). ]

Где h = 6,63∙10^-34 Дж∙с – постоянная Планка, р – импульс частицы, m – масса покоя частицы, для электрона m = 9,1∙10^-31 кг.
Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов, определим скорость электрона:

[ qcdot U=frac{mcdot {{upsilon }^{2}}}{2}, upsilon =sqrt{frac{2cdot qcdot U}{m}} (2). ]

Подставим (2) в (1) определим длины волн де Бройля электрона:

[ lambda =frac{h}{sqrt{2cdot mcdot qcdot U}} (3). ]

q = 1,6∙10^-19 Дж, q – заряд электрона.
λ = 1,23∙10^-9 м.

« Последнее редактирование: 25 Мая 2015, 06:12 от alsak »

Записан

Источник

А1. Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность потенциалов U1 = 1 В, U2 = 100 В.

Дано:

U1 = 1 В U2 = 100 В

λ1 — ? λ2 — ?

Величину

выразим

импульс:

Решение.

Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле

hp ,

где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы.

импульса определим из закона сохранения энергии, для чего сначала кинетическую энергию частицы в нерелятивистском случае через

	mv2		mv2 m	m2v2	p2
Ek						.
2	2	2m	2m
		m

Согласно закону сохранения энергии в нерелятивистском случае
W Ek 0,	qU	p2	0,
2m
	p2
qU	.
2m

А1. Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность потенциалов U1 = 1 В, U2 = 100 В.

Решение (продолжение).

			qU		p2		.
			2m

Отсюда			p	2mqU .

Длина волны де Бройля для частицы
				h					h	.
		p
							2mqU
Для электрона \|q\| = e = 1,6·10-19 Кл, m = 9,1·10-31 кг.
	h					6,63 10 34		1,23 10 9	(м).
2mqU	2 9,1	10	31		1,6	10
			1
										19

А2. Найти длину волны де Бройля для пучка протонов, прошедших разность потенциалов U1 = 1 В, и U2 = 200 В .

Дано:

Решение.

U1 = 1 В

Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле

U2 = 200 В

где h – постоянная Планка,

p ,

λ1 — ?

p – величина импульса частицы.

Согласно

закону

сохранения энергии

в нерелятивистском

λ2 — ?

случае

Отсюда

2mqU .

Длина волны де Бройля для частицы

2mqU

Для протона |q| = e = 1,6·10-19 Кл, m =1836·me =1836· 9,1·10-31 кг = 1,67 ·10-31 кг.

Подстановка числовых данных позволяет получить следующие результаты:

λ1 = 29 пм, λ2 =2,9 пм.

А3. Найти длину волны де Бройля для: а) электрона, движущегося со скоростью V = 106 м/с; б) атома водорода, движущегося со средней квадратичной скоростью при температуре T = 300 K; в) шарика массой m = 1 г, движущегося со скоростью V = 1 см/с.

Дано:

V1 = 106 м/с

T = 300 K V3 = 1 см/с

λ1 — ? λ2 — ? λ3 — ?

Решение.

Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле

hp ,

где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы.

mvh ,

так как во всех трёх случаях v << c.

	h		6,63 10 34	0,73 10 9	(м).
m v	9,1 10 31 1,6	10 19	106
1
	e

Решение (продолжение).

Во втором случае определим импульс атома при тепловом движении:

E	mv2	p2	3	kT,

k	2	2m	2

где k – постоянная Больцмана, k = 1,38·10-23 Дж/К.

Для атома водорода (протон + электрон), m = (1836 + 1)·me =1837· 9,1·10-31 кг =

Длина волны де Бройля

	h		h			6,63 10 34			1,44 10 10 (м).

2	p	3mkT		3 1,67	10	27	1,38	10	3 10
								23		2

Решение (продолжение).

В третьем случае импульс шарика:

p mv.

Длину волны де Бройля для шарика можно определить по формуле

mvh .


3	h		6,63 10 34	6,63 10 29(м).
mv	1 10 3	1 10 2

А4. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, имеет длину волны де Бройля λ = 2,02 нм. Найти массу частицы, если её заряд численно равен заряду электрона.

Дано:

Решение.

U = 200 В

Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле

λ = 2,02 нм

q = e

где h – постоянная Планка,

m — ?

p – величина импульса частицы.

mv ,

так как в нашем случае v << c.

Согласно закону сохранения энергии

eU mv

2eU

m .

2eU

2meU

6,632 10 68

1,67 10 27(кг).

2 2,02

1,6

2 10

А5. α-частица движется по окружности радиусом r = 8,3 мм в однородном магнитном поле, напряжённость которого H = 18,9 кА/м. Найти длину волны де Бройля λ для α-частицы.

Дано:	Решение.
Длину волны де Бройля для частицы можно определить по
r = 8,3 мм
формуле	h
H = 18,9 кА/м
		,
	p
λ — ?
где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы.

Импульс частицы определим из второго закона Ньютона:

mvr 2 qvB.

Частица движется по окружности под действием силы Лоренца.

mv	qB,	p mv qBr.
r
Индукция магнитного поля	B 0 H.

p q 0 Hr.

Решение (продолжение).

							h	,		p q 0 Hr,

							p
Для α-частицы \|q\| = +2e = 3,2·10-19 Кл,		m = (2·1836 + 2·1838)·me =
= 4·1837· 9,1·10-31 кг = 6,69 ·10-27 кг.
	h			h
p	q 0 Hr

						6,63 10 34			1,80 10 10(м).
	12,56 10	7	3,2 10	19	18,9	3	3
				10 8,3 10

Соседние файлы в папке физика_презентации

Источник

Печатать книгу

Примеры решения задач

Задача №1.

При каком значении скорости дебройлевская длина волны микрочастицы равна ее комптоновской длине волны?

Задача №2.

Найти длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией 3,0 МэВ.

Задача №3.

Параллельный пучок электронов, разогнанных в электрическом поле с разностью потенциалов 15В, падает на узкую прямоугольную диафрагму шириной 0,008 нм. Найти ширину главного дифракционного максимума на экране, расположенном на расстоянии 60 м от диафрагмы.

Задача №4.

Частица массы m находится в одномерной прямоугольной яме потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l. Найти возможные значения энергии частицы, имея в виду, что реализуется лишь такие состояния ее движения, для которых в пределах данной ямы укладывается целое число дебройлевских полуволн.

Задача №5.

Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода равна 13,6 эВ. Исходя из соотношений неопределенностей, найти наименьшую неточность, с которой можно вычислить координату элемента в атоме.

Задача №6.

Частица массы m движется в одномерном потенциальном поле U=kx²/2 (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.

Задача №1.

При каком значении скорости дебройлевская длина волны микрочастицы равна ее комптоновской длине волны?

Дано: λ_C=λ_Б	Решение:
Найти: v=?

Дано:

λ_C=λ_Б

Решение:

Найти:

v=?

Комптоновская длина волны определяется формулой

λ_C=( frac{h}{mc} ),

(1)

где m — масса микрочастицы, c — скорость света в вакууме, h — постоянная Планка. Поскольку λ_C определяется через c, то ее дебройлевскую длину запишем в релятивистской форме

( {lambda}_Б=frac{hsqrt{1- {beta }^2}}{mv} ).

(2)

где β=v/c, v — скорость микрочастицы. По условию задачи имеет место равенство

( frac{hsqrt{1-{beta}^2}}{mv}=frac{h}{mc} ).

(3)

Преобразуя (3), получим

( sqrt{1-{beta}^2}=frac{v}{c}=beta ).

(4)

Решая радикальное уравнение (4), найдем значение скорости микрочастицы

( v=frac{c}{sqrt{2}} )=0,707c=2,12м/с.

Задача №2.

Найти длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией 3,0 МэВ.

Дано: T=3,0 МэВ	Решение:
Найти: λ=?

Дано:

T=3,0 МэВ

Решение:

Найти:

λ=?

Из условия задачи следует, что кинетическая энергия электрона намного больше, чем ее энергия покоя (T>>m_ec²=0,511 МэВ). Следовательно, она определяется релятивистской формулой T=E—E₀, где ( E=sqrt{p^2c^2+E^2_0} ). Это позволяет написать следующее равенство

( {(T+E_0)}^2=p^2c^2+E^2_0 ),

(1)

Решая уравнение (1) относительно p, находим

( p=frac{1}{c}sqrt{(T(T+2E_0)} ).

(2)

Используя соотношение де Бройля, находим

( lambda=frac{ch}{sqrt{T(T+2E_0)}} ).

(3)

Расчет:

( lambda=frac{6,626cdot10^{-34}cdot2,998cdot10^8}{sqrt{{(3,0cdot10^2cdot1,6cdot10^{-19})}^2+2cdot0,511cdot1,6cdot10^{-19}cdot3cdot1,6cdot10^{-19}}}=3,6cdot10^{-3} )Å.

Задача №3.

Дано: φ=15 В a=0,08 мм l=60 cм	Решение:
Найти: b=?

Дано:

φ=15 В

a=0,08 мм

l=60 cм

Решение:

Найти:

b=?

Чтобы найти ширину главного дифракционного максимума, воспользуемся формулой

где λ — длина волны, φ₁ — первый дифракционный угол, a — ширина диафрагмы. Длина волны определяется соотношением де Бройля

( lambda=frac{h}{p} ),

(2)

где p — импульс частицы. Кинетическая энергия электрона, которую он получил при разгоне в поле, равна

Следовательно, движение электрона нерелятивистское, и импульс частицы определяется формулой

Дифракционный угол φ₁ определим из геометрии движения электрона после прохождения диафрагмы

( tg{ varphi}_1=frac{b}{2l} ).

(5)

Поскольку дифракционный угол φ₁ мал, то (5) можно заменить другим соотношением

( sin{varphi}_1approxfrac{b}{2l} ).

(6)

Применяя формулу (1), (2). (4) и (6), получим выражение для ширины дифракционного максимума b на экране:

( b=2lsin{varphi}_1=2lfrac{lambda}{a}=frac{2lh}{asqrt{2mT}} ).

(7)

Расчет:

( b=frac{2cdot0,6cdot6,626cdot10^{-34}}{8cdot10^{-5}cdotsqrt{2cdot0,911cdot10^{-30}cdot15cdot1,602cdot10^{-19}}}=4,749cdot10^{-6} )м=4,8мкм.

Задача №4.

Дано: l, m	Решение:
Найти: E_n=?

Дано:

l, m

Решение:

Найти:

E_n=?

По условию задачи имеем

( l=nfrac{{lambda}_n}{2} ), n=1,2,…

(1)

Полная энергия частицы равна

Внутри ямы частица движется свободно, то есть ее потенциальная энергия U=0. Следовательно, полную энергию частицы составляет ее кинетическая энергия

( E=frac{p^2}{2m} ).

(3)

Используя соотношением де Бройля для длины волны и импульса частицы с учетом условия (1) найдем энергетические уровни частицы в яме

( E_n=frac{h^2}{8ml^2}n^2 ).

(4)

Учитывая соотношение между константой h Планка и константой ћ Планка — Дирака, запишем (4) в следующем виде:

( E_n=frac{{pi}^2{hbar}^2}{2ml^2}n^2 ).

(5)

Задача №5.

Дано: T=13,6 эВ	Решение:
Найти: Δx=?

Дано:

T=13,6 эВ

Решение:

Найти:

Δx=?

Соотношение неопределенностей Гайзенберга для координаты x и составляющей импульса по этой оси имеет вид

Отсюда следует, что наименьшая неточность координаты определяется из равенства

( Delta{x}=frac{hbar}{Delta{p_x}} ).

(2)

Положим, что неопределенность Δp_x импульса равна по порядку величины самому импульсу

По условию задачи кинетическая энергия намного меньше, чем его энергия покоя. Это позволяет нам рассматривать электрон как нерелятивистскую частицу и определить ее импульс при помощи классической формулы

Тогда наименьшая неточность координаты приблизительно равна

( Delta{x}approxfrac{hbar}{sqrt{2mT}} ).

(5)

Расчет:

( Delta{x}=frac{1,0546cdot10^{-34}}{sqrt{2cdot9,11cdot10^{-31}cdot13,6cdot1,6cdot10^{-19}}}=0,529cdot10^{-10} )м.

Задача №6.

Дано: U=kx²/2	Решение:
Найти: E_n=?

Дано:

U=kx²/2

Решение:

Найти:

E_n=?

Полная энергия частицы равна

где ее кинетическая энергия равна

( T=frac{p^2}{2m} ).

(2)

Найдем минимальную величину импульса с помощью соотношения неопределенностей

Искомая величина не может быть меньше наименьшей неопределенности в ее измерении. По этой причине можно считать, что имеют место следующие равенства:

x_min=(Δx)_min, p_min=(Δp)_min.

(4)

Следовательно, минимальная кинетическая энергия электрона равна

( T=frac{{hbar}^2}{2mx^2} ).

(5)

Поставляя выражения для величин T и U в формулу (1) получим

( Eapproxfrac{{hbar}^2}{2mx^2}+frac{kx^2}{2} ).

(6)

Величина E будет иметь минимальное значение в точке с координатой x=x_min. Чтобы найти x_min нужно решать уравнение, задающее условие минимума

( frac{dE}{dx}=0 ).

(7)

В нашем случае оно имеет вид

( kx=frac{{hbar}^2}{mx^3} ).

(8)

Отсюда находим x² и поставим в соотношение (6), и в результате получим искомое выражение

( E_{min}=hbarsqrt{frac{k}{m}}=hbaromega ),

(9)

где k — коэффициент квазиупругости, характеризующий поле, в котором движется частица.

Источник

Как определить длину волны де Бройля для электрона

Волна де Бройля или волна амплитуды вероятности

Природа волн де Бройля, фазовая и групповая скорость

Какой формулой определяется длина волны

Как определить длину волны де Бройля для электрона

Примеры решения задач

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Не пропустите также: