Как найти дифференциация функции

Рассмотрим функцию

Известно, что если a ∈ X и является предельной точкой множества X , то функция , определенная на X , непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда функция имеет представление

(x) = (a) + o(1), x → a,
то есть
∆a(∆x) = o(∆x⁰),    ∆x → 0.

Выделим класс функций, для которых можно уточнить характеристику приращений ∆fa(∆x) функции f, соответствующих приращению ∆x аргумента.

Определение

Определение 4.1. Пусть функция  определена на множестве X, a ∈ X и a — предельная точка множества X . Функция  называется дифференцируемой в точке а по множеству X, если существует такое число A, что

∆a(∆x) = A∆x + o(∆x), a + ∆x ∈ X, ∆x → 0.    (4.1)

Иными словами, функция дифференцируема в точке a, если существует линейная относительно ∆x функция A∆x, которая отличается от приращения ∆a(∆x) функции в точке a, соответствующего приращению аргумента ∆x, на бесконечно малую более высокого порядка малости по сравнению с ∆x, когда ∆x → 0, при этом ∆x может принимать только такие значения, чтобы a+∆x ∈ X.

Учитывая представление функции вида o(∆x) при ∆x → 0, заметим, что дифференцируемая в точке a по множеству X функция имеет вид

(a + ∆x) = f(a) + A∆x + α(∆x) ∆x,         (4.2)

где a + ∆x ∈ X и α(∆x) → o при ∆x → o, или

(x) = (a) + A(x — a) + α(x — a) (x — a), 

где x ∈ X и α(x — a) → o при x → a.

Определение 4.2. Пусть функция дифференцируема в точке a по множеству X. Линейная функция A ∆x, ∆x ∈ R, из представления (4.2) называется дифференциалом функции в точке a и обозначается d_a(∆x).

Из определения 4.1 следует

Лемма 4.1. Для того чтобы функция  была дифференцируемой в точке a по множеству X, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел
   (4.3)
равный числу A из (4.1).

Следствие. Если функция дифференцируема в точке a по множеству X, то представление (4.2) единственно и дифференциал функции в точке a определяется однозначно. (Утверждение верно в силу единственности предела функции в точке).

Определение 4.3. Пусть функция определена на множестве X, a ∈ X и a — предельная точка множества X. Если существует в предел (4.3), то его называют производной функции в точке a по множеству X и обозначают ^/(a) (по Лагранжу) или (a) (по Лейбницу).

С учетом определения 4.3 лемма 4.1 принимает вид:

Лемма 4.2. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке a по множеству X, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в точке a по множеству X .

Таким образом, если функция  дифференцируема в точке a по множеству X, то при a + ∆x ∈ X и ∆x → 0
∆_a(∆x) =^/(a)∆x + o(∆x), d_a(∆x) =^/(a)∆x.

Пример:

Пусть : → , (x) = c0 , ∀x ∈ . Доказать, что функция  дифференцируема в каждой точке a ∈ по множеству и ^/(x) = 0, ∀ x ∈. 

Пусть a — произвольная точка из . Тогда
∆_a(∆x) = 0, ∀ ∆x ∈ .

Поэтому = 0, =0, а значит ^/(a) =0 и функция  дифференцируема в точке a по множеству . Поскольку a — произвольная точка из   , то получили нужное. 

Пример:

Пусть h : → , h(x) = x, ∀x ∈ . Если a — некоторая точка из , то

Отсюда следует, что производная функции h в точке a по множеству существует и равна 1. Таким образом, функция h дифференцируема в любой точке a ∈ по множеству , при этом dh_a(∆x) = 1 ∙ ∆x. 

Как видим, для функции h(x) = x приращение функции в точке равно приращению переменной ∆x, а поэтому и дифференциал этой функции в точке так же равен ∆x, то есть, сокращая обозначение, можно написать, что dx = ∆x. Поэтому для произвольной дифференцируемой в точке a функции f равенство dfa(∆x) = ^/(a)∆x можно переписать в виде

d_a(dx) = ^/(a) dx или  ^/(a) =

что напоминает символику Лейбница производной функции в точке a.

Чтобы объяснить, как на дифференцируемость и значение производной влияет множество X , рассмотрим такой пример. 

Пример:

Пусть , .  Тогда, как легко следует из определений и двух предыдущих примеров, функция

В дальнейшем мы не будем явно указывать, по какому множеству X выполняется дифференцирование, поскольку это будет ясно из контекста определения функции, но забывать о множестве X и его роли в определении дифференцируемости функции не следует.

Теорема 4.1 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке a, то она непрерывна в ней.

Доказательство очевидно, поскольку представление (4.2) влечет существование . 

Замечание. Непрерывность функции в точке является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции в точке. Для примера рассмотрим функцию (x) = |x| в точке a = 0. Она непрерывна в точке
,
поэтому не существует предел отношения  при ∆x → 0, то есть функция не дифференцируема в точке a = 0.

В полной аналогии с понятием левого и правого предела функции в данной точке вводятся понятия левой и правой производной функции в точке.

Определение 4.4. Пусть определена на множестве X, a ∈ X, a — правосторонняя (левосторонняя) предельная точка X. Если в  существует

то его называют правой (левой) производной функции в точке a и обозначают ^/₊0 (a) (соответственно, ^/_—0 (a)).

Правая и левая производные функции в точке a называются односторонними производными. Из сопоставления определений 4.3 и 4.4 и из теоремы о связи односторонних пределов функции с пределом вытекают следующие утверждения:

Теорема 4.2. Пусть функция определена на множестве X и a ∈ X . Если a — односторонняя предельная точка множества X , то понятие производной функции в точке a совпадает с односторонней производной функции . Если же a — двусторонняя предельная точка X, то функция имеет в точке a производную тогда и только тогда, когда существуют обе односторонние производные функции в этой точке, равные между собой. В случае выполнения последних условий ^/(a) = ^/₊0 (a) = ^/_—0 (a).

Возвращаясь к (x) = ∣x∣, заметим, что ^/₊0 (0) = 1, ^/_—0 (0) = -1.

Геометрический смысл производной и дифференциала

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке X , a — некоторая точка этого промежутка, ∆x — приращение аргумента, причем ∆x 0 и a + ∆x ∈ X. Поэтому точки M₀(a, (a)), M(a + ∆x, (a + ∆x)) принадлежат графику Γ функции . Прямую, проходящую через точки M₀ и M , называют секущей.

Поскольку точка M₀ фиксирована, то угловой коэффициент k секущей MM₀ является функцией от ∆x (величина ∆x приращения аргумента вполне определяет точку M графика функции), то есть k = k(∆x). Ясно, что k(∆x) = и секущая M₀M имеет уравнение
y = k(∆x)(x — a) +y₀, где y₀ = (a).

Определение 4.5. Если существует конечный предел

то прямая, соответствующая уравнению y = k₀ (x — a) + y₀, называется наклонной (невертикальной) касательной к графику Γфункции в точке M0 (a₀, y₀). Если же существует бесконечный предел

(функция k(∆x) является бесконечно большой в точке 0), то прямая x = a называется вертикальной касательной к Γ точке M₀ .

Поскольку угловой коэффициент касательной, в случае ее существования, получен из углового коэффициента секущей с помощью предельного перехода при ∆x → 0, то касательную часто называют предельным положением секущей M₀M при M → M0 по Γ (при ∆x → 0 (a + ∆x) → (a), так как функция непрерывна в точке a).

Теорема 4.3. Пусть функция непрерывна на промежутке X и a ∈ X. Чтобы график Γ функции имел в точке M0(a, (a)) невертикальную касательную, необходимо и достаточно, чтобы функция была дифференцируемой в точке a. При этом уравнение касательной имеет вид 

y = ^/(a)(x-a) +(a).   (4.4)

Для того, чтобы график Γ функции имел в точке M₀ вертикальную касательную, необходимо и достаточно, чтобы функция имела в точке a бесконечную производную.

Так как k(∆x) =, то предел этой функции в при ∆x → 0 существует тогда и только тогда, когда функция имеет в точке a производную ^/(a), причем k₀ = = ^/(a). Учитывая определение 4.5, получаем ∆x→0 нужное.

Из определений 4.1 и 4.5 и теоремы 4.3 получаем следующее определение невертикальной касательной к графику функции в точке M₀ , которое равносильно определению 4.5.

Определение 4.6. Пусть функция непрерывна на промежутке X и a ∈ X. Прямая y = k x+b называется невертикальной касательной к графику функции в точке M₀(a, (a)), если
(x) — (kx + b) = o(x — a), x → a.

Выясним геометрический смысл дифференциала df_a(∆x). Будем считать, что функция дифференцируема в точке a. Поэтому график функции в точке M₀(a, (a)) имеет невертикальную касательную, уравнением которой является (4.4). Так как d_a(∆x) = ^/(a)∆x, где ∆x = x — a, то y_kac(x) = d_a(∆x) + (a). Следовательно, дифференциал d_a(∆x) функции в точке a есть приращение ординаты касательной, проведенной в точке M₀ к Γ , то есть d_a(∆x) = y_kac(a+ ∆x) — (a).

Производная и дифференциал функции на множестве

Определение 4.7. Если каждая точка множества X является его предельной точкой и функция дифференцируема в каждой точке множества X, то говорят, что функция дифференцируема на множестве X . Функцию, определенную правилом x(∈ X) → ^/(x), называют производной функции на множестве X и обозначают ^/ или . Если ∆x — некоторое dx фиксированное число, причем ∆x 0, то функцию, определенную правилом x ∈ X → d_x(∆x) ∈ , называют дифференциалом функции на множестве X, соответствующим приращению ∆x аргумента, и обозначают d (∆x).

Напомним, что d_a(∆x) является линейной функцией от ∆x ∈ . Учитывая, что d_a(∆x) = ^/(a)∆x, получаем, d (∆x) =^/ ∆x.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Пусть (x) = xα, α ∈ , Xα — область определения функции.

Заметим, что если α ≥ 0, то 0 ∈ Xα , если α 0, то 0 ∈/ Xα .
а)    Пусть α = 0. Тогда (x) = 1, ∀x ∈ X = . В силу примера 1 функция дифференцируема на и ^/(x) = 0, ∀x ∈ .

б)    Пусть α ∈ {0}, и a ∈ Xα {0}. Тогда

Следовательно, при α ∈ {0} функция дифференцируема на Xα {0} и ^/(x) = αx^α-1.

в)    Пусть α > 0 и a = 0. Тогда

Последнее означает, что функция (x) = x^α дифференцируема в точке x = 0, если α ≥ 1; ^/(0) = 0 при α > 1, ^/ (0) = 1 при α = 1. Функция (x) = xα теряет свойство дифференцируемости в точке x = 0, если α ∈ (0, 1), при этом ее график имеет в точке x = 0 вертикальную касательную.

Пример:

Пусть (x) = ax, где a > 0 и a 1. Фиксируем точку x0 ∈ . Так как

то функция дифференцируема в точке x₀ и ^/(x₀) = a^x0 ln a. Следовательно, функция дифференцируема на и (a^x)^/ = a^xln a. В частности, (e^x)^/ = e^x, ∀x ∈ .

Пример:

Пусть (x) = sin x, ∀x ∈ , a — некоторая точка из . Так как

то функция дифференцируема в точке a и ^/(a) = cos a. Следовательно, функция (x) = sinx дифференцируема на и (sin x)0 = cos x, ∀x ∈ .

Аналогично доказывается, что функция (x) = cos x дифференцируема на и (cos x)0 = — sin x, ∀x ∈ .
 

Основные правила вычисления производной

Теорема 4.4. Если функции и ψ определены на множестве X и дифференцируемы в точке a ∈ X, то функции + ψ, ∙ ψ и, если ψ(a) = 0, — ψ дифференцируемы в точке a, при этом
1) (+ψ)0(a)=^/(a)+ψ^/(a), 

d( +ψ)_a(∆x) = da(∆x) + dψ_a(∆x);

2) ( ∙ ψ)0(a) = ^/(a) ∙ ψ(a)+ (a) ∙ ψ^/(a),

d ( ∙ ψ)a(Ax) = d_a(∆x) ∙ ψ(a) + (a) ∙ dψa(∆x);

3)  

Докажем только третью часть утверждения. По условию теоремы функция ψ дифференцируема в точке a и ψ(a) 0. В силу локальных свойств непрерывной в точке функции найдется такая окрестность U_a точки a, что на множестве X ∩ U_a функция ψ отлична от нуля. Поэтому на множестве X ∩ U_a определена функция ∕ψ. Для любого x ∈ X ∩ Ua имеем

где ∆x = x — a. Учитывая дифференцируемость и непрерывность функций и ψ в точке a, получим, что существует предел последнего выражения при x → a, который равен
    (4.5)

Поэтому существует предел левой части, равный числу (4.5). Значит, функция ∕ψ дифференцируема в точке a, ее производная и дифференциал в точке a определяются формулами 3).

Замечание. Доказательство теоремы 4.4, опирающееся на определение дифференцируемой в точке функции, см. в [4, с.200-202].

Пример №1

Пусть (x) = tg x, x + kπ, k ∈ Z. Поскольку tg x = sin x/ cos x, то, согласно теореме 4.4, функция дифференцируема в области определения и

.

Аналогично доказывается, что функция (x) = ctgx дифференцируема в своей области определения и
.

Теорема 4.5 (о дифференцируемости суперпозиции функций). Если X и Y — подмножества в , функция : X → Y дифференцируема в точке x0, а функция ψ : Y → дифференцируема в точке y₀ = (x₀), то суперпозиция функций ψ ◦ дифференцируема в точке x0 и (ψ ◦ )^/(x₀) = ψ^/( (x₀)) ∙ ^/(χ₀) или (ψ ◦ )^/(x0) = (ψ^/ ◦ ) (x₀) ∙ ^/(χ_o).

По условию теоремы функция ψ дифференцируема в точке y₀ , поэтому ∀y ∈ Y {y₀}
ψ(y) -ψ(y₀) = ψ^/(y₀)(y-y₀) +α(y — y₀)(y — y₀),    (4.6)

где α(y — y₀) → 0 при y → y₀. Без ограничения общности можно считать, что α(0) = 0. Тогда представление (4.6) функции ψ имеет место на множестве Y . Поскольку : X → Y , то ∀x ∈ X
ψ((x)) -ψ(y₀) = ψ^/(y₀)(f(x) -y₀) + α((x) -y₀)((x) — y₀).

Учитывая, что y₀ = (x₀), получим для x ∈ X{x₀}

.

Так как при x → x₀ f^/(x_o) ∈ , α( (x) — (x0)) → 0, то существует конечный предел правой части предыдущего равенства, равный числу Ψ^/(y₀) ∙ ^/(x₀). Значит, существует предел его левой части при x → x₀ и он равен Ψ^/(y₀)  ^/(x₀), то есть существует предел
 .

Следовательно, функция ψ ◦ дифференцируема в точке x0 и ее производная в точке x₀ равна (ψ ◦ )^/(x₀) = ψ^/((x₀)) ^/(x₀).

Следствие. Пусть функция : X → Y дифференцируема на множестве X , а функция ψ : Y → дифференцируема на множестве Y . Тогда суперпозиция функций ψ ◦ дифференцируема на множестве X и
(ψ ◦ )^/ = (ψ0 ◦ ) ∙ ^/.

Теорема 4.6 (о производной обратной функции). Пусть функция определена, непрерывна и возрастает или убывает на промежутке X . Если функция дифференцируема в точке x0 промежутка X и ^/(x₀) 0, то обратная функция ^—1, определённая на промежутке Y = (X) дифференцируема в точке y₀ = (x₀ ) ∈ Y и

.

Пусть — возрастающая функция на X . Тогда по теореме о непрерывности функции обратной к монотонной, обратная к функция ^—1 определена возрастает и непрерывна на промежутке Y, причем промежуток Y имеет тот же вид, что и промежуток X .

Пусть ∆y 0 и y = y₀ + ∆y ∈ Y . Тогда x₀ + ∆x = ^-1 (y₀ + ∆y) ∈ X и ∆x 0. Покажем существование конечного предела
,
воспользовавшись теоремой Гейне существования предела функции (см. теорему 2.31), и найдем его. Для этого фиксируем произвольную последовательность {y_n}: y_n ∈ Y , y_n y₀, y_n → y₀. Положим xn = ^-1(y_n), n ∈ N. Тогда yn = (x_n), y₀ = (x₀ ) и по определению обратной функции имеем

   ,        (4 7) 
(воспользовались тем, что x_n x₀ в силу биективности функции ^-1).
По непрерывности функции ^-1 в точке y₀, x_n = ^-1 (y_n) → x₀. Кроме того, дифференцируема в точке x₀ и ^/ (x₀ ) 0. Поэтому существует предел
.
И из (4.7) получаем существование предела
.
Поскольку {y_n} — произвольная последовательность точек множества Y, отличных от y₀ , стремящаяся к y₀ , то по теореме Гейне
.
Поэтому функция^-1 дифференцируема в точке y₀ и (^-1 )^/(y₀) = (^/(x₀))^-1 .

Следствие. Пусть функция возрастает (убывает) на промежутке X, дифференцируема на нем и ^/(x) 0, ∀x ∈ X. Тогда обратная функция ^-1 дифференцируема на промежутке (X) и
.

Замечание 1. Если выполняются условия теоремы и функция ^-1 дифференцируема в точке yo, то из тождества (^-1 ◦ )(x) = x по теореме о дифференцируемости суперпозиции функций следует, что
(^-1)^/(y_o) ^/(x_o) = 1 и (^-1)^/(y_o) = (^/(x_o))^-1.

Замечание 2. Если функция удовлетворяет условиям теоремы, но при этом ^/(x₀) = 0, то функция ^-1 имеет в точке y₀ бесконечную производную.

Замечание 3. Если функция удовлетворяет условиям теоремы, но при этом ^/(x₀) = ∞, то функция ^-1 имеет в точке y₀ производную равную 0.

Пример №2

Покажем, что функция ψ(x) = log_a x, a > 0, a 1 дифференцируема на промежутке (0, +∞) и ψ^/(x) =.
Пусть для определенности a > 1. Функция ψ является обратной к функции : → (0, +∞), (x) = a^x. Так как функция ^/(x) = a^x ln a 0, ∀x ∈ , то по теореме 4.6 функция ^-1 дифференцируема на (0, +∞), причем
.

Значит функция ψ(x) = log_a x дифференцируема на (0, +∞) и (log_a x)^/ =. В частности, (ln x) ^/= ,∀x ∈ (0, +∞). 

Пример №3

Покажем дифференцируемость на интервале (—1, 1) функции ψ(x) = arcsin x и наличие у нее производной на отрезке [—1, 1].

Известно, что функция ψ : [—1,1] → [—π∕2,π∕2] является непрерывной обратной к функции : [—π∕2,π∕2] → [—1,1], f(x) = sinx. Поскольку функция дифференцируема на отрезке [—π∕2,π∕2], и
^/(x) = cos x, ∀x ∈ [—π∕2,π∕2], ^/(±π∕2) = 0, (±π∕2) = ±1,
то согласно теореме 4.6 и замечания 2 к ней, функция ψ дифференцируема на (—1, 1),

и ψ^/(±1) = ∞. 

Пример №4

Пусть функции y = U(x) и y = V (x) дифференцируемы на множестве X ⊂ и U (x) > 0, ∀ x ∈ X. Докажем, что функция g(x) = (U (x))V (x) дифференцируема на X.

Действительно, так как g(x) = exp(V (x) ln U (x)), то в силу теорем 4.4 — 4.6 и примера 8 функция g дифференцируема на X и
.

Инвариантность формы первого дифференциала

В начале главы показано, что если функция : X ⊂ → дифференцируема в точке x₀ и x — независимая переменная ее, то
df_x0 (∆x) = f^/(x₀)dx, где dx = ∆x.    (4.8)

Пусть функция x = ψ(t), ψ : T → X, дифференцируема в точке t₀ и ψ(t₀) = x₀ . В силу теоремы о дифференцируемости суперпозиции функций функция ◦ ψ дифференцируема в точке t₀ и
(◦ ψ)^/(t₀) = ^/(ψ(t₀))ψ^/(t₀) = ^/(x₀)ψ^/(t₀).

Поскольку t — независимая переменная функции y = ◦ ψ(t), то
d( ◦ ψ)_t0 (∆t) = ( ◦ ψ)^/(t₀)dt = ^/(x₀)ψ^/(t₀)dt, где dt = ∆t.

Кроме того, ψ^/(t₀)dt = dψ_t0(∆t). Если обозначить dx = dψ_t0(∆t), то получим
d( ◦ ψ)_t0(∆t) = ^/(x₀)dx.    (4.9)

Сопоставляя полученную формулу с (4.8), замечаем, что форма дифференциала функции y = (x) не зависит от того, является ли x независимой переменной или дифференцируемой функцией другой переменной. Это свойство называют свойством инвариантности формы дифференциала. Следует заметить, что в формуле (4.8) dx = ∆x, а в (4.9) dx = dψ_t0 (∆t).

Производные высших порядков

Пусть функция  : X ⊂ → дифференцируема на множестве X1 ⊂ X . Тогда на множестве X₁ определена функция ^/. Если функция ^/ дифференцируема в точке a ∈ X₁ , то говорят, что функция дважды дифференцируема в точке a, а производную (^/)^/(a) называют второй производной функции в точке a и обозначают одним из следующих символов
.

Если функция дважды дифференцируема в каждой точке множества X₂ ⊂ X₁ , то говорят, что функция дважды дифференцируема на множестве X₂ . Функцию, определяемую правилом x(∈ X₂) → f^//(x), называют второй производной функции  на множестве X₂ . Индуктивно можно ввести понятие n раз (n > 1) дифференцируемой в точке и на множестве функции и n-ой производной функции  в точке и на множестве X_n ⊂ X_n-1. Например, если n > 1, то ⁽ⁿ⁾ (x₀) = (^(n-1))^/(x₀), если последняя производная существует. Заметим, что при n > 1 для любого k = 1, . . . , n — 1
⁽ⁿ⁾(x₀)=(^(k))^(n-k)(x₀).

Пример №5

Пусть : (0, +∞) → , (x) = x^α, где α ∈ , α 0. Покажем, что функция дифференцируема любое число раз на (0, +∞).

В силу примера 4 функция дифференцируема на (0, +∞) и

f^/(x) = αx^α-1, ∀x ∈ (0, +∞).

Поскольку ^/ является произведением постоянной и степенной функций, то по теореме 4.4 она дифференцируема на интервале (0, +∞). Следовательно, функция дважды дифференцируема на нем и
^//(x) = α(α — 1)x^α-2.

Заметим, что если α = 1, то ^/(x) = 1 и ^// (x) = 0, ∀x ∈ (0, +∞).

Предположим, что n ∈ , n > 2, функция (n — 1) раз дифференцируема на (0, +∞) и ^(n-1) (x) = α(α — 1)…(α — n + 2)x^α-n+1.

Функция ^(n-1) является произведением числа α(α — 1)…(α — n + 2) и степенной функции x^α-n+1 . Поэтому она дифференцируема на (0, +∞) и ⁽ⁿ⁾ (x) = α(α — 1)…(α — n + 2)(α — n + 1)x^α-n. Следовательно, функция  дифференцируема в области определения любое число раз и

⁽ⁿ⁾ (x) = α(α — 1)…(α -n+ 1)x^α-n, ∀n ∈ N.

В частности, если α = k₀ ∈ , то

⁽ⁿ⁾ (x) = 0, ∀n > k₀, ∀x ∈ (0, +∞); (k₀) (x) = k₀!, ∀ x ∈ (0, +∞).

Если α = -1, то ⁽ⁿ⁾(x) = (-1)ⁿn!x^-n-1, ∀x ∈ (0, +∞).

Из теоремы 4.5 получаем, что функция (x) = (ax + b)α, где α ∈ , дифференцируема любое число раз при x >  и 
((ax + b)^α)⁽ⁿ⁾ = α(α — 1)…(α — n + 1)(ax + b)^α-naⁿ.

Наконец, согласно теореме 4.4, многочлен
,

дифференцируем на любое число раз и
P ⁽ⁿ⁾ (x) = 0, ∀n > m, P ^(m) (x) = m! a_m, ∀ x ∈ .

Пример №6

Докажем, что функция (x) = ln x дифференцируема любое число раз на (0, +∞).

В примере 8 показано, что рассматриваемая функция дифференцируема в области определения и ^/(x) = x^-1. Учитывая предыдущий пример и определение производной n-го порядка, заключаем, что функция дифференцируема любое число раз на интервале (0, +∞) и

Замечание. Функция y = ln(ax + b) дифференцируема любое число раз в области её определения и

Можно доказать, что функции a^bx+c, sin(ax+b), cos(ax+b) дифференцируемы любое число раз на и ∀n ∈

(a^bx+c)⁽ⁿ⁾ = bⁿa^bx+c lnⁿ a, (e^bx+c)(n) = e^bx+c bⁿ,

(sin(ax + b))⁽ⁿ⁾ = aⁿ sin (ax + b + n  ),

(cos(ax + b))⁽ⁿ⁾ = aⁿ cos (ax + b + n  ) .

Теорема 4.7. Пусть функции и φ n раз дифференцируемы на множестве X (n ≥ 2). Тогда функции + φ, ∙ φ, n раз дифференцируемы на множестве X и

( + φ) ⁽ⁿ⁾  = ⁽ⁿ⁾ + φ⁽ⁿ⁾  ,

.

Последняя формула носит имя Лейбница и очень напоминает бином Ньютона. Только её и докажем, используя метод математической индукции. При n = 1 по утверждению 2) теоремы 4.4 имеем: ∙ φ дифференцируема на множестве X и ( φ)^/ = ^/φ + φ^/ , поэтому доказываемое утверждение верно при n = 1. Предположим, что для некоторого номера m n функция ∙ φ дифференцируема m раз на X и
 (4.10)

Так как функции и φ дифференцируемы n раз на X и m n, то функции ,φ,^/ ,φ^/,… , ^(m), φ^(m) дифференцируемы на множестве X. Поэтому правая часть равенства (4.10) является дифференцируемой на X функцией, а значит функция ∙ φ (m + 1) раз дифференцируема на X и

Пример №7

Используя формулу Лейбница, найдем n—ую производную функции f(x) = 2×2 sin2 x.
Так как (x) = x²(1 — cos 2x) = x² — x² cos 2x и производные порядка выше, чем степень многочлена, тождественно равны нулю, то при n > 2

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция , определенная на множестве X ⊂ , дифференцируема n раз (n ≥ 2) на X. 

Зафиксируем число ∆x 0 и рассмотрим функцию d(∆x), определенную на множестве X . Так как
d (∆x) = ^/ ∆x,    (4.11) то функция d (∆x) дифференцируема на множестве X. Если x₀ ∈ X, то величину d(d (∆x))x₀ (∆x) называют вторым дифференциалом функции в точке x₀, соответствующим приращению ∆x независимой переменной, и обозначают d²_x0 (∆x). Из формулы (4.11) получаем, что

d²_x0(∆x) = d(^/ ∆x)_x0 (∆x) = (^/ ∆x)^/(x₀) ∆x = ^//(x₀)(∆x)².

Для сокращения записи, используются обозначения
(∆x)² = ∆x²,    (dx)² = dx².

Следовательно, второй дифференциал функции f в точке x0 вычисляется по формуле
d²_x0(∆x) = ^//(x₀) ∆x², d²_x0 (dx) = ^//(x₀) dx².

По условию функция дважды дифференцируема на множестве X , поэтому на X определена функция x → d²_x(∆x) (∆x — фиксированное число), которую называют вторым дифференциалом функции на множестве X , соответствующим приращению ∆x независимой переменной. Ее обозначают d² (∆x). В силу предыдущего
d² (∆x) = ^// ∙ ∆x².    (4.12)

Индуктивно вводится понятие n-го дифференциала функции в точке x₀ из X и на множестве X . По индукции легко доказывается, что
d^k_x0 (∆x) = ^(k)_(x0) ∆x^k, d^k (∆x) =^(k) ∙ ∆x^k, 1 ≤ k ≤ n.

В этой формуле ∆x^k= (∆x)k. Аналогично предыдущему, в ней вместо ∆x можно использовать dx, сокращая в записи (dx)^k до dx^k.

Лемма 4.3. Дифференциалы второго и высших порядков, вообще говоря, не обладают свойством инвариантности формы.

Доказательство проведем для дифференциалов второго порядка. Пусть функция дважды дифференцируема на множестве X ⊂ , а функция φ : T → X дважды дифференцируема на множестве T. В силу теоремы 4.5 функция ◦ φ дифференцируема на T и ( ◦ φ) = (^/ ◦ φ) ∙ φ^/. Но и φ дважды дифференцируемы на T, поэтому ^/ ◦ φ и φ^/ дифференцируемые на T функции и функция ◦ φ дважды дифференцируема на множестве T. Учитывая свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка, получим, что
d²(f ◦ φ)(∆t) = d (d( ◦ φ) ∆t)) ∆t) = d((^/ ◦ φ) dφ(∆t))(∆t) =
= d(^/ ◦ φ)(∆t) dφ(∆t) + (^/ ◦ φ) d²φ(∆t) =
= (^// ◦ φ) (dφ(∆t))² + (^/ ◦ φ) d²φ(∆t).

Итак, функция ◦ φ дважды дифференцируема и
d²(f ◦ φ)(∆t) = (f^// ◦ φ) (dφ(∆t))² + (^/ ◦ φ) d²φ(∆t).

Сравнивая представление второго дифференциала функции (φ(t)) с формулой (4.12) для второго дифференциала функции (x), в котором x — независимая переменная, убеждаемся в том, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы. Тем более не обладают свойством инвариантности формы последующие дифференциалы.

Замечание. Если φ(t) = at + b, то формы дифференциалов высших порядков функции и ◦ φ совпадают
dⁿ_x(dx) = ⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ,
dⁿ( ◦ φ)_t(dt) = ⁽ⁿ⁾(φ(t)) (dφ_t(dt))ⁿ, где dφ_t(dt) = a dt.

В заключение приведем определение, которым воспользуемся в дальнейшем.

Определение 4.8. Функция называется n раз непрерывно дифференцируемой на множестве Х, если она n раз дифференцируема на нем и функция ⁽ⁿ⁾ непрерывна на X . Класс функций непрерывно дифференцируемых n раз на множестве X будем обозначать Cⁿ(X).

Свойства функций, дифференцируемых на промежутках

Теорема 4.8 (Ферма). Пусть функция определена на промежутке X, и в некоторой его внутренней точке c принимает наибольшее или наименьшее значение. Если функция дифференцируема в точке c, то ^/(c) 0.

Для определенности будем считать, что функция имеет в точке x = c наибольшее значение, то есть (x) —(c) ≤ 0, ∀ x ∈ X. Предположим, что ^/(c) 6= 0. По условию функция дифференцируема в точке c, поэтому
(x) — (c) = (^/(c) + α(x))(x -c), ∀x ∈ (a, b) {c}    (4.13)

где α(x) → 0 при x → c. По локальному свойству функции, имеющей в точке ◦
конечный, отличный от нуля, предел, найдется окрестность Uc ⊂ X , в которой функция ^/(c) + α(x) сохраняет знак числа ^/(c). Функция (x — c) имеет в этой окрестности по разные стороны от точки c значения разных знаков. Поэтому правая часть равенства (4.13) имеет в окрестности U_c по разные стороны от точки c значения разных знаков. Но по предположению на интервале X , а, значит, и в окрестности U_c, (x) — (c) ≤ 0. Полученное противоречие доказывает, что ^/(c) = 0.

Замечание 1. Если функция определена на промежутке [a, b), принимает наибольшее или наименьшее значение в точке x = a и дифференцируема в ней, то может случиться, что ^/(a) 0. Как подтверждение можно рассмотреть функцию (x) = x на [0, 1).

Замечание 2. Если функция определена на (a, b), дифференцируема в точке c ∈ (a, b) и ^/(c) = 0, то не обязательно (c) есть наибольшее или наименьшее значение функции на интервале (a, b). Например, функция (x) = x³ дифференцируема на интервале (-1, 1), возрастает на нем и ^/(0) = 0.

Замечание 3. Геометрически теорема Ферма означает, что в точке (c, (c)) график функции y = (x) имеет горизонтальную касательную.

Теорема 4.9 (Дарбу). Если функция дифференцируема на отрезке [a, b] и ^/(a) ^/ (b) 0 ( то есть ^/ принимает на концах отрезка значения разных знаков), то существует такая точка c ∈ (a, b), что ^/(c) = 0.

Для определенности будем считать, что ^/(a) > 0 и ^/(b) 0. Поскольку функция непрерывна на отрезке [a, b], то в силу теоремы Вейерштрасса она принимает на нем наибольшее значение, то есть
∃p ∈ [a, b] : (p) = sup{ (x)|x ∈ [a, b]}.

Покажем, что p a. Так как ^/(a) > 0, то найдется такое δ > 0, что
.
Но x-a > 0,∀x ∈(a, a+δ), поэтому (x) > (a), ∀x ∈(a, a+δ). А это означает, что (a) sup{ (x) : x ∈ [a, b]}.

Аналогично доказывается, что p b. Значит, p ∈(a, b) и по теореме Ферма 4.8 ^/(p) = 0.

Следствие 1. Пусть функция дифференцируема на отрезке [a, b], функция ^/ принимает на концах его различные значения. Тогда для любого числа c, находящегося между ^/(a) и ^/(b), найдется такая точка γ ∈ (a, b) что ^/(γ) = c.

Будем считать, что ^/(a) ^/(b). Фиксируем число c ∈ (^/ (a), ^/(b)). Рассмотрим вспомогательную функцию φ(χy) = (x) — cx. Она дифференцируема на отрезке [a, b] и 

φ^/(a) = ^/(a) — c 0, φ^/(b) = ^/(b) — c > 0.

По теореме Дарбу есть такая точка γ ∈ (a, b), что φ,(γ) = 0, то есть^/(γ) = с.

Следствие 2. Если функция дифференцируема на отрезке [a, b] и ^/(x) = 0, ∀x ∈ [a, b], то функция ^/ сохраняет знак на отрезке [a, b].

Замечание 1. Теорема Дарбу имеет сходство с теоремой Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции, но не является ее следствием, поскольку функция f^/ не обязательно непрерывна на отрезке [a, b].

Замечание 2. Не всякая функция, определенная на отрезке [a, b] может быть производной какой-либо функции. Например, функция sgn x является производной функции y = |x| на промежутках [—1, 0) и (0, 1], но нет функции, для которой она является производной на отрезке [—1, 1].

Теорема 4.10 (Ролля). Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и принимает на концах равные значения, то есть (a) = (b). Тогда найдется точка c ∈ (a, b), в которой^/ (c) = 0.

По условию функция непрерывна на отрезке [a, b]. Поэтому существуют точки p и q из [a, b] такие, что
(p) = sup{ (x) : x ∈ [a, b]}, (q) = inf{ (x) : x ∈ [a, b]}.

Если (p) = (q), то функция постоянна на отрезке [a, b] и ^/(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

Если (p) (q), то одна из точек p, q лежит в интервале (a, b). Её мы обозначим через c. По теореме Ферма 4.8 ^/(c) = 0.

Следствие 1. Пусть функция непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда между точками, в которых функция равна нулю, найдется по крайней мере одна точка, в которой функция ^/ равна нулю. n

Следствие 2. Если P_n (x) =   многочлен n-ой степени (то есть, a_n 0), то уравнение P_n(x) = 0 имеет не более чем n различных корней.

Пусть уравнение P_n(x) = 0 имеет не менее (n+ 1) различных корней  причем x_j x_j+1 , j = 1, . . . , n.

Тогда P^/_n(x) =  — многочлен (n- 1)-ой степени. По теореме Ролля
∃ b_j ∈ (x_j , x_j+1), j = 1, . . . , n : P^/_n (b_j) = 0,

то есть уравнение P^/_n (x) = 0 имеет не менее n различных корней. Продолжая дифференцирование уравнения, и применяя на каждом шаге теорему Ролля, получим, что для каждого m n
,
и уравнение P_n^(m) (x) = 0 имеет не менее (n — m + 1) различных корней. В частности, при m = n уравнение P_n⁽ⁿ⁾ (x) = 0 имеет не менее 1-го корня. Но, с другой стороны, P_n⁽ⁿ⁾ (x) = n! a_n 0, а, значит, уравнение P_n⁽ⁿ⁾ (x) = 0 и не имеет корней. Полученное противоречие и доказывает следствие.

Из результата применения теоремы Ролля в начале доказательства этого
следствия сразу же следует ещё один результат. 

Следствие 3. Если P_n(x)= многочлен n-ой степени и уравнение P_n(x) = 0 имеет m (m ≤ n) различных корней, то уравнение P^/_n (x) = 0 имеет (m — 1) различных корней.

Замечание 1. Если для функции не выполнено хотя бы одно условие теоремы 4.10, то для нее, вообще говоря, не имеет место утверждение теоремы.

Замечание 2. Геометрически теорема Ролля означает следующее: если график непрерывной на отрезке [a, b] функции имеет в точках (x, (x)), x ∈ (a, b) невертикальные касательные и ординаты крайних точек равны, то есть (a) = (b), то на графике есть точка (c,  (c)), c ∈ (a, b), в которой касательная параллельна оси OX .

Теорема 4.11 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Тогда найдется точка c ∈ (a, b) такая, что (b) — (a) = ^/(c)(b — a). Последнюю формулу часто называют формулой Лагранжа.

Для доказательства теоремы рассмотрим вспомогательную функцию
.

Функция F непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и F(a) = F (b). Применив к ней теорему Ролля 4.10, найдем точку c ∈ (a, b) такую, что F^/ (c) = 0. Поскольку ∀x ∈ (a, b)
,
то ,то есть имеет место формула Лагранжа.

Следствие. Пусть функция непрерывна на [x₀,x₀ + δ), δ > 0, и дифференцируема на (x₀ , x₀ + δ). Тогда для любого x ∈ (x₀ , x₀ + δ) найдется такое ∈ (0,1), что

(x) — (x_o) = ^/(x_o + (x — x_o)) (x — x_o).

Последнюю формулу обычно называют формулой Лагранжа конечных приращений. Она имеет место, так как на отрезке [x₀,x] ⊂ [x₀,x₀ + δ) выполнены все условия теоремы Лагранжа и соответствующая точка cx имеет представление с_χ = x_o + (x — x_o), где ∈ (0,1). 

Аналогичные результаты имеют место и на промежутке (x₀ — δ, x₀].

Замечание 1. Формулу конечных приращений Лагранжа следует отличать от приближенного равенства
(x₀ + ∆x) — (x₀) ≈ ^/(x₀) ∆x,

которое имеет место при условии дифференцируемости функции в точке x₀ . Последнюю формулу обычно называют формулой бесконечно малых приращений, поскольку
(x₀ + ∆x) — (x₀) = ^/(x₀) ∆x + o(∆x), ∆x → 0.

Замечание 2. Пусть график непрерывной на отрезке [a, b] функции в каждой точке (x, (x)), x ∈ (a, b), имеет невертикальные касательные. Тогда на нем найдется точка (c, (c)), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы (a, (a)) и (b, (b)) графика.

Замечание верно, так как угловой коэффициент рассматриваемой хорды, а ^/(c) — угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке (c, (c)).

Теорема 4.12 (критерий монотонности функции). Пусть функция непрерывна на промежутке X и дифференцируема в его внутренних точках. Для того чтобы функция не убывала на промежутке X , необходимо и достаточно, чтобы ^/(x) ≥ 0 в каждой внутренней точке множества X .

Пусть функция является неубывающей непрерывной на промежутке X функцией, которая дифференцируема в каждой внутренней точке, и x — некоторая точка из соответствующего интервала. Тогда для любого ∆x > 0

.

Поэтому ^/(x) ≥ 0.
Пусть ^/ (x) ≥ 0 в каждой внутренней точке промежутка X и x₁ , x₂ — произвольные точки множества X, причем x₁ x₂. Применяя к отрезку [x₁ , x₂] теорему Лагранжа 4.11, получим равенство
(x₂) — (x₁) = ^/ (c)(x₂ — x₁),

в котором c ∈ (x₁, x₂). Следовательно, (x₂) ≥ (x₁), а поэтому функция не убывает на промежутке X .

Замечание. Аналогично можно доказать, что при выполнении условий теоремы 4.12 функция не возрастает на промежутке X тогда и только тогда, когда ^/ (x) ≤ 0 в каждой точке промежутка X.

Теорема 4.13 (критерий постоянства функции). Пусть функция непрерывна на промежутке X и дифференцируема в его внутренних точках. Чтобы функция была постоянной на X, необходимо и достаточно, чтобы в каждой внутренней точке промежутка X ^/ (x) = 0.

Если функция постоянна на промежутке X, то ^/(x) = 0 в каждой его точке. Первая часть утверждения доказана.

Пусть теперь ^/ (x) = 0 во внутренних точках промежутка X и x0 ∈ X. Тогда для любого x ∈ X, применяя к отрезку [x₀, x] теорему Лагранжа 4.11, получим
(x) — (x₀) = ^/(c_x)(x- x₀), cx ∈ (x₀,x).

Следовательно, (x) = (x₀), ∀x ∈ X, что доказывает вторую часть утверждения.

Следствие 1. Пусть функция непрерывна на промежутке X и дифференцируема в его внутренних точках. Для того чтобы функция была возрастающей (убывающей), необходимо и достаточно, чтобы ^/(x) ≥ 0 (^/ (x) ≤ 0) во внутренних точках промежутка X и не существовало интервала (α, β) ⊂ X, на котором ^/(x) = 0.

Следствие 2. Если на промежутке X функция имеет положительную (отрицательную) производную, то функция имеет обратную функцию ^-1 : (X) → X, которая дифференцируема на промежутке (X).

Теорема 4.14 (Коши). Пусть функции и g непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), при этом g^/(x) 0, ∀x ∈ (a, b). Тогда найдется точка c ∈ (a, b) такая, что
.

Последнюю формулу называют обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши.

Прежде всего заметим, что g (b) g(a), поскольку в противном случае в интервале (a, b) нашлась бы точка c такая, что g^/ (c) = 0.

Рассмотрим вспомогательную функцию
.

Функция F непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и F(a) = F (b). Применяя к F теорему Ролля 4.10 и имея в виду, что

делаем вывод, что существует точка c ∈ (a, b) такая, что F^/ (c) = 0, то есть

.

Замечание 1. Теорема Лагранжа 4.11 является частным случаем теоремы
Коши при g(x) = x.

Замечание 2. В формуле Коши конечных приращений не обязательно считать, что a b. Эта формула верна и при b a.

Дифференцирование параметрически заданных функций

Пусть заданы две функции φ : T → X, ψ : T → Y. Будем считать, что функция x = φ(t) биективна. Поэтому определена обратная функция t =φ^{— 1}(x), φ^-1 : X → T ,а значит и суперпозиция (x) = ψ(φ^-1(x)). Функцию = ψ ◦ φ^-1 называют заданной параметрически и записывают одним из следующих способов:

.
Переменную t называют параметром функции : X → Y . Вопрос о дифференцировании параметрически заданной функции решает следующее утверждение.

Теорема 4.15. Пусть T — промежуток и параметрически заданная функция : X → Y, : x = φ(t), y = ψ(t),t ∈ T, удовлетворяет условиям:
1)    функции φ и ψ дифференцируемы на T;
2)    φ'(t) 0, ∀t ∈ T;

Тогда функция дифференцируема на промежутке X, её производная ^/_x является параметрически заданной функцией
.    (4.14)

Так как функция φ удовлетворяет условиям 1) — 2), то по следствию 2 теоремы Дарбу (4.9) функция φ’ сохраняет знак на промежутке T. Поэтому, согласно следствию 1 теоремы 4.13, функция φ либо возрастает (если φ'(t) > 0 на T), либо убывает (если φ'(t) > 0 на T). Тогда по теореме 4.6 обратная функция φ^-1 : X → T дифференцируема на промежутке X = φ(T) и
(φ- ¹)'(x) = 1∕φ'(φ^-1 (x)), ∀x ∈ X.

Поскольку функция ψ дифференцируема на X , то по теореме о дифференцируемости суперпозиции функция = ψ ◦ φ-1 дифференцируема на X и

.
Последнее означает, что функция f^/_x является параметрически заданной
. 
 

Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей

Теорема 4.16. Пусть функции и φ дифференцируемы на интервале (a,b), φ'(x) 0, ∀x ∈ (a,b), и (x) = φ(x’) = 0. Если существует конечный или бесконечный предел
,

то существует предел
.

Рассмотрим два случая: b ∈ и b = +∞.

1) Пусть b ∈ и для определенности b > a. Доопределим функции и φ в точке b, положив (b) = p(b) = 0. Теперь функции и φ непрерывны на промежутке (a, b] и удовлетворяют условиям теоремы Коши 4.14 на любом отрезке [x, b], где x ∈ (a, b). Поэтому для каждого x ∈ (a, b) найдется точка c_x ∈ (x, b) такая, что
,
то есть
. (4.15)

Поскольку c_x = b, c_x b, ∀x ∈ (a, b), и

,

то по теореме 2.37 о пределе суперпозиции функций, условия которой выполнены, правая часть равенства (4.15) имеет предел при x → b и он равен K. Следовательно, существует предел левой части равенства (4.15) при x → b и он равен K .

2) Пусть теперь b = +∞. Без ограничения общности будем считать, что a > 0. По условиям теоремы функции и φ дифференцируемы на интервале   (a, +∞), φ^/ (x) 0, ∀x ∈ (a, +∞), и = K. Тогда вспомогательные функции F(t) = (1/t) и Φ(t) = p(1/t) дифференцируемы на интервале
и
.
Кроме того,  и 

(снова воспользовались теоремой 2.37 о пределе суперпозиции функций). 

В силу доказанной первой части. Поэтому
.

Теорема 4.17. Пусть функции и φ дифференцируемы на интервале (α,b), φ'(x) 0, ∀x ∈ (α,b) и = ∞, = ∞. Если существует конечный или бесконечный предел

,

то существует предел

.

Мы опускаем доказательство этого утверждения, отсылая читателя к книгам [4, с. 318-320], [6, т.1, с. 280-284],[1, т.1, с. 256-260].

Совершенно аналогично формулируются и доказываются теоремы, аналогичные теоремам 4.16 и 4.17, когда = = 0 или ∞, a ∈ , или a = -∞.

Замечание 1. Предел отношения функций и φ может существовать в случае, когда не существует предел отношения производных этих функций. Например, если (x) = x² sin , φ(x} = x, то
,

но не существует предела при x → 0 поскольку отношения производных этих функций, поскольку

.

Замечание 2. Если выполнены условия теоремы 4.16 и функции ^/ и φ^/ непрерывны в точке b, причем φ^/(b) 0, то
.

Замечание 3. Пусть функции и φ дважды дифференцируемы на интервале (a, b), для всех x ∈ (a, b) φ^/(x) 0, φ^//(x) 0, и
,

.

Если существует предел =K, то существуют пределы
,
то есть правило Лопиталя можно применить повторно.

Формула Тейлора

Теорема 4.18 (формула Тейлора для многочлена). Пусть a — некоторое число, P — многочлен степени n (n ≥ 1). Тогда
, 

то есть многочлен P степени n однозначно определяется значениями многочлена и его производных P (a), P ^/(a),…,P (n)(a) в точке a.

Прежде всего заметим, что многочлен  всегда можно представить  в виде
. (4.16)
Для этого в многочлене P(x) = , заменим x^k на ((x — a) + a)^k , раскроем внешние скобки, приведем подобные и получим представление (4.16). Поэтому можно считать, что многочлен P(x) задан формулой (4.16). Выразим коэффициенты b_k, k = 0, 1, . . . , n, многочлена P(x) через значения
его производных в точке a.

Из равенства (4.16) следует, что P(a) = b₀. Последовательно продифференцируем равенство (4.16) k раз (k = 1, . . . , n) и получим, что P^(k) (x) =

k!bk + (k + 1)k … 2 b_k+1(x — a) + ∙ ∙ ∙ + n(n — 1) … (n — k + 1)b_n(x — a)^n-k, 

поэтому P^(k) (a) = k!b_k, то есть b_k =, k = 1,… ,n, и потому многочлен P имеет представление 

Пусть теперь функция отлична от многочлена и дифференцируема n раз в точке a.
Многочлен  называют многочленом Тейлора порядка n функции по степеням (x — a). Согласно предыдущей теореме . Положим
 (4.17)

Если функция (x) не является многочленом степени n, то . Равенство (4.17) называют формулой Тейлора функции  по степеням (x — a), а функцию  ее n-ным остаточным членом.

Теорема 4.19 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть функция дифференцируема (n — 1) раз в промежутке [a, a + δ) и n раз в точке a (n ∈ N). Тогда

(x) = (x) + o((x — a)ⁿ) при x → a.

Из равенства (4.17)  . Поэтому функция дифференцируема (n — 1) раз в промежутке [a, a + δ) и n раз в точке a. Кроме того, ()^(k)(a) = 0, k = 0, 1, . . . , n. Покажем, что = 0. Рассматриваемое отношение удовлетворяет условиям первого правила Лопиталя и при (n — 1)-
кратном его применении получим, что
,
если последний предел существует. Поскольку функция ()^(n—1) дифференцируема в точке a и ()^(n—1)(a)= 0, то

Следовательно, (n — 1)-кратное применение правила Лопиталя законно и при x → a(x) = o((x — a)ⁿ), то есть при x → a
.

Полученное представление функции  называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Если же a = 0 — формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано является обобщением представлений для непрерывной и дифференцируемой в точке a функции.

Следствие. Пусть функции и g n раз дифференцируемы в точке a и ^(k)(a) = g^(k)(a), k = 0, 1, . . . , n. Тогда при x → a имеет место представление (x)—g(x) =o((x— a)ⁿ).

Так, например, для функций  , условия следствия выполняются для любого n ∈ , поэтому при x → a (x) = o((x—a)ⁿ) для любого n ∈ .

Теорема 4.20. Если выполнены условия теоремы 4.19 и существует многочлен Pn(x) такой, что (x) = P_n(x) + o((x — a)ⁿ ) при x → a, то он единственен.

Пусть . Согласно теореме 4.19, при x→a

Следовательно,
. 

Переходя в этом равенстве к пределу при x → a, получим равенство
(a) — a₀ = 0, то есть a₀ = (a)∙

Последнее означает, что

Отсюда при x → a получим равенство — a1 = 0, то есть a₁=
Продолжая этот процесс, по индукции получим, что 
.

Поэтому многочлен P_n(x) является многочленом Тейлора (x) функции по степеням (x — a).

Замечание. Доказанная теорема означает, что никакой многочлен Pn(x) степени n, отличный от многочлена Тейлора (x) порядка n не может приближать функцию с точностью o((x — a)ⁿ) при x → a.

Применяя теорему 4.19 к элементарным функциям при a = 0, получим:

Вывод этих формул читатель может найти в [6, т.1, с. 192-195].

Пример №8

Пусть функция дифференцируема (n+ 1) раз в точке a = 0 и известно, что
   (4.18)

Найти локальную формулу Маклорена функции .

По теореме 4.20 из (4.18) следует, что (^/)^(k) (0) = k!b_k, k = 0, 1, . . . , n. Поэтому ^(k+1)(0) = k!b_k или  _(k) (0) = (k — 1)!b_k—1, k = 1,2, . . . ,n+ 1 и

После преобразования получим

В частности, если(x) = arctg x, то ^/(x) = (1 + x²)^—1 и

^/(x) = 1 — x² + x⁴    + (—1)ⁿx²ⁿ + o(x²ⁿ), x → 0.

Отсюда, учитывая, что arctg 0 = 0, получаем представление

Теорема 4.21. Пусть функция ∈ Cⁿ([a, a + δ)), δ > 0, и дифференцируема (n+1) раз на интервале (a, a+δ). Тогда для любой точки x ∈ (a, a+δ), для любой функции φ, непрерывной на промежутке [a, a + δ), дифференцируемой на интервале (a, a + δ) и такой, что φ^/(t) 0, ∀t ∈ (a,x), найдется такая точка c_x ∈ (a, x), что

    (4.19)

Фиксируем точку x ∈ (a, a + δ). Рассмотрим вспомогательную функцию
.

В силу условий теоремы, F ∈ C ([a, a + δ)), дифференцируема на интервале (a, a + δ) и ∀t ∈ (a, a + δ)

Применим к функциям F и φ на отрезке [a, х] теорему Коши 4.14 о конечных приращениях, получим, что существует точка c_x ∈ (a, x) такая, что
.   (4.20)
Поскольку F(x) = 0, а
, 

то соотношение (4.20) принимает вид
,

из которого и следует представление (4.19) остаточного члена формулы Тейлора, которое называется формой Шлемильха и Роша.

Следствие 1. Если функция удовлетворяет условиям теоремы 4.21, то для любого х ∈ (a, a + δ) найдется такая точка cx ∈ (a, х), что

Замечание. Формулу (4.21) называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Чтобы её получить, достаточно положить в представлении (4.19) φ(t) = (х — t)ⁿ⁺¹. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа является обобщением теоремы Лагранжа 4.11, которая получается из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при n = 0.

Следствие 2. Если функция удовлетворяет условиям теоремы 4.21, то для любого х ∈ (a, a + δ) найдется такое θx ∈ (0, 1), что
R.

Замечание. Эта форма остаточного члена формулы Тейлора называется формой Коши. Чтобы её получить, достаточно положить в представлении (4.19) φ(t) = (x — t).

Завершая раздел, заметим, что все его результаты остаются в силе, если рассматривать функцию на промежутках (a — δ, a] и (a — δ, a + δ)

Исследование поведения функции на множестве

Экстремум функции

Определение 4.9. Пусть : X ⊂ → . Точка a ∈ X называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность U_a , такая что

Ua ⊂ X и (x) ≤ (a), ∀x ∈ U_a ( (x) ≥ (a), ∀x ∈ U_a).

Если функция имеет в точке a локальный максимум или минимум, то говорят, что имеет в точке a локальный экстремум, или что точка a является точкой локального экстремума функции .

Теорема 4.22 (необходимое условие локального экстремума). Если функция имеет в точке a локальный экстремум и дифференцируема в точке a, то ^/(a) = 0.

Утверждение следует непосредственно из теоремы Ферма (теоремы 4.8), примененной к окрестности U_a , указанной в определении экстремума.

Определение 4.10. Стационарными точками функции на множестве X называются те внутренние точки X, в которых ^/(x) = 0.

Заметим, что функция (x) = x^2/3 имеет в точке x = 0 локальный минимум, но ^/(0) = ∞. Поэтому справедлива

Теорема 4.23. Если функция имеет в точке a локальный экстремум, то либо дифференцируема в точке a и ^/(a) = 0, либо функция не дифференцируема в точке a.

Определение 4.11. Внутренняя точка множества X, в которой функция непрерывна, а ее производная либо равна нулю, либо бесконечности, либо не существует, называется критической точкой функции .

Например, точка x = 0 является критической точкой функций (x) = x², (x) = x³, (x) = |x|, (x) = x^1/3, (x) = x^2/3. Из графиков этих функций следует, что она является точкой локального минимума функций (x) = x² , (x) = |x|, (x) = x^2/3, а для функций (x) = x³, (x) = x^1/3 она не является точкой локального экстремума. Таким образом, не всякая критическая точка функции является ее точкой экстремума.

Теорема 4.24 (достаточное условие экстремума в критической точке). Пусть функция определена на промежутке X , a — критическая точка функции и функция f дифференцируема в некоторой окрестности U_a(δ) точки a, кроме, быть может, самой точки a. Если функция ^/(x) меняет знак при переходе через точку a, то есть на интервалах (a — δ, a) и (a, a + δ) f^/(x) имеет противоположные знаки, то a — точка экстремума функции  . При этом, если

^/(x) > 0, ∀ x ∈ (a — δ, a) и ^/(x) 0, ∀x ∈ (a, a + δ),

то a является точкой максимума функции, а если
^/(x) 0, ∀ x ∈ (a — δ, a) и^/(x) > 0, ∀x ∈ (a, a + δ),

то a — точка минимума функции. Если же функция ^/(x) не меняет знак при переходе через a, то a не является точкой экстремума функции  .

Пусть ^/(x) > 0 на (a — δ, a) и ^/ (x) 0 на интервале (a, a + δ). Так как a — критическая точка функции, то  непрерывна в точке a. Поэтому функция  непрерывна на промежутке (a — δ, a] и ^/(x) > 0, ∀x ∈ (a — δ, a), непрерывна на промежутке [a, a + δ) и ^/(x) 0, ∀x ∈ (a, a + δ). В силу критерия монотонности функции на промежутке (см. следствие 1 теорем 4.12 и 4.13) функция  возрастает на (a — δ, a] и убывает на [a, a + δ), поэтому (x) ≤ (a), ∀ x ∈ U_a, то есть функция  имеет в точке a локальный максимум.
Аналогично рассматриваются и два других случая.

Замечание. Условие изменения знака производной при переходе через точку a является достаточным условием локального экстремума, но не является необходимым. Для примера можно рассмотреть в окрестности точки x = 0
функцию (x) =

Теорема 4.25 (достаточное условие экстремума в стационарной точке). Пусть a — стационарная точка функции : X → , дифференцируема в некоторой окрестности точки a и дважды дифференцируема в точке a. Если ^//(a) > 0 (^//(a) 0), то точка a является точкой локального минимума (соответственно, максимума) функции .

Так как a — стационарная точка функции , то ^/ (a) = 0. B силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (теорема 4.19) для всех x ∈ (a -δ, a + δ) {a}
,

где α(∆x) — бесконечно малая функция при ∆x → 0. Пусть (a) > 0. Так как α(∆x) = 0, то существует такое δ0 ∈ (0, δ), что
.

Но тогда для таких ∆x
,

то есть функция имеет в точке a локальный минимум.
Аналогично доказывается, что функция имеет в точке a локальный максимум, если ^// (a) 0.
Замечание. Если ^//(a) = 0, то функция может иметь в точке a локальный экстремум (как функция (x) = x⁴ в точке a = 0), а может и не иметь (как функция (x) = x³ в точке a = 0). Для ответа на вопрос, является ли в этом случае точка a точкой экстремума можно привлечь информацию о производных более высокого порядка.

Теорема 4.26. Пусть функция : (a — δ, a + δ) → (n — 1) раз дифференцируема в (a — δ, a + δ), n раз дифференцируема в точке a и
^/(a) =^//(a) = … =^(n-1)(a) =0,⁽ⁿ⁾ (a) 0.    (4.22)

Тогда
a)    если n — четное число, то a — точка локального экстремума : максимума, если ⁽ⁿ⁾ (a) 0, и минимума, если ⁽ⁿ⁾ (a) > 0.
b)    если n — нечетное число, то a не является точкой экстремума функции .

Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и условие (4.22), получим, что

или
,
где α(x) → 0 при x → a. Учитывая, что ⁽ⁿ⁾ (a) 0, а α(x) → 0 при x → a, найдем такое δ0 > 0, что ∣α(x)∣   для всех x ∈ (a — δ0 , a + δ0) {a}.

Поэтому в проколотой δ0-окрестности точки a

.

Если n — четное число, то для всех x ∈ (a — δ0, a + δ0) {a}

(x — a)ⁿ > 0 и sgn( (x) — (a)) = sgn⁽ⁿ⁾(a).

Если ⁽ⁿ⁾ (a) > 0, то (x) > (a), ∀x ∈ (a — δ₀, a + δ₀) {a}, и имеет в точке a локальный минимум. Если ⁽ⁿ⁾ (a) 0, то (x) (a), ∀x ∈ (a — δ₀, a + δ₀) {a}, и имеет в точке a локальный максимум. Если n — нечетное число, то функция (x — a)ⁿ имеет противоположные знаки по разные стороны от точки a, то есть разность (x) — (a) меняет знак при переходе через точку a. Последнее означает, что a не является точкой экстремума функции .

Замечание. Очевидно, что теорема 4.25 является следствием теоремы 4.26.

С задачей локального экстремума тесно связана задача о наибольшем и наименьшем значении непрерывной функции на промежутке. Для функции (x), непрерывной на отрезке [a, b], согласно 2-ой теореме Вейерштрасса существует точка p ∈ [a, b], в которой эта функция принимает наибольшее значение, и точка q ∈ [a, b], в которой функция принимает наименьшее значение. Если p ∈ (a, b), то точка p является точкой локального максимума функции, а если q ∈ (a, b), то q является точкой локального минимума функции. Поэтому наибольшее (sup{ (x) : x ∈ [a, b]}) и наименьшее (inf { (x) : x ∈ [a, b]}) значения функция на [a, b] может принимать либо в критических точках, лежащих в интервале (a, b), либо в точках a, b.

Если (x) непрерывна на интервале (a, b), то вместо значений функции в точках a, b, следует рассматривать
,

если такие пределы существуют (конечные или бесконечные). Точно также следует поступать и на промежутках [a, b) и (a, b].

В прикладных задачах при нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке X часто встречается ситуация, когда функция непрерывна на X и имеет на нем единственную критическую точку. Можно доказать, что, если x₀ — точка локального максимума, то (x₀) = sup{ (x), x ∈ X}, а если x₀ — точка локального минимума, то (x₀) = inf { (x), x ∈ X}.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №9

Исследовать на экстремум (x) = xe^-x, x ∈ [0, +∞).
Функция непрерывна и дифференцируема на [0, +∞), причем
^/(x) = e ^-x — xe ^-x = e ^-x(1 — x); ^/(x) = 0 x = 1.

Таким образом, функция имеет на (0, +∞) единственную стационарную точку. Из таблицы

и теоремы 4.24 следует, что функция имеет в точке x = 1 локальный максимум. При этом (1) = .

Направление выпуклости графика функции

Будем считать, что функция дифференцируема на интервале (a, b), то есть график Γфункции имеет в каждой точке невертикальную касательную.

Определение 4.12. Говорят, что график функции обращен выпуклостью вверх на интервале (a, b) (или функция является выпуклой вверх на (a, b)), если график Γ функции лежит не выше касательных, проведенных в точках (x, (x)), x ∈ (a, b), к этому графику.

Определение 4.13. Говорят, что график функции обращен выпуклостью вниз на интервале (a, b), если на нем Γ лежит не ниже касательных, проведенных в точках (x, (x)), x ∈ (a, b), к Γ .

Теорема 4.27. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале (a, b). Если ^//(x) ≤ 0 (^//(x) ≥ 0) на (a, b), то график Γ обращен выпуклостью вверх (соответственно, вниз) на (a, b).

Пусть f^//(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a, b), и c — некоторая точка интервала (a, b). Уравнение касательной, проведенной к Γ в точке (c, (c)) имеет вид y = (c) + ^/ (c)(x — c). Поскольку функция дважды дифференцируема на (a, b), то из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что ∀ x ∈ (a, b) ∃ ηx, лежащая между (c, x), такая, что

.

Поэтому . Так как ^//(x) ≥ 0 для всех x ∈ (a, b), то (x) ≥ y_κac(x), ∀ x ∈ (α,b). Поскольку c — произвольная точка интервала (a, b), то Γ обращен выпуклостью вниз на (a, b). 

Следствие. Если функция ^// непрерывна и положительна (отрицательна) в точке c, то существует такая окрестность U_c точки c, в которой график Γ обращен выпуклостью вниз (соответственно, вверх).

Замечание 1. Если на интервале (a, b) ^//(x) = 0, то (x) = kx+c и можно считать, что график функции обращен на (a, b) как выпуклостью вверх, так и вниз.

Замечание 2. Из определений 4.12 и 4.13 следует, что если график Γ обращен выпуклостью вверх, то всякая хорда, соединяющая две различные точки графика функции, лежит под соответствующей дугой Γ, а для функции, выпуклой вниз, она лежит над соответствующей дугой Γ . Это свойство часто берется в качестве определения выпуклости Γ вверх и, ответственно, вниз.

Пример №10

Пусть (x) = x^2/3. Функция непрерывна на , дважды дифференцируема на {0} и ^//(x)=. Поэтому на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞) график функции обращен выпуклостью вверх.

Точки перегиба

Определение 4.14. Пусть функция непрерывна на интервале (a, b), c ∈ (a, b). Точку c называют точкой перегиба функции (или графика функции), если существует такая окрестность U_c(δ) точки c, что на интервалах (c — δ, c) и (c, c + δ) график Γ имеет различные направления выпуклости.

Теорема 4.28 (необходимое условие точки перегиба). Пусть c — точка перегиба функции и имеет в точке c конечную вторую производную. Тогда ^//(c) = 0.

Для простоты доказательства будем считать, что функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности U_c(δ0) точки c и ^//(x) непрерывна в точке c.

Предположим, что ^//(c) 0. Тогда в силу непрерывности функции ^//(x) в точке c существует такое δ ∈ (0, δ₀), что на интервале Uc(δ) ^//(x) сохраняет знак. По теореме 4.27 Γ обращен выпуклостью вверх, если ^// (c) 0, и вниз, если ^//(c) > 0, на интервале U_c(δ). Но тогда c не является точкой перегиба функции . Следовательно, ^//(c) = 0.

Замечание. Условие ^//(c) = 0 является необходимым, но не достаточным условием наличия у функции f в точке c перегиба. Подтверждением может служить функция (x) = x⁴.

Как и при рассмотрении необходимых условий экстремума функции, можно показать, что точки перегиба непрерывной на интервале (a, b) функции следует искать среди тех точек c ∈ (a, b), в которых либо функция дважды дифференцируема и ^//(c) = 0, либо функция не является дважды дифференцируемой.

Теорема 4.29 (1-ое достаточное условие перегиба). Пусть функция непрерывна на интервале (a, b) и функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки c ∈ (a, b), кроме, быть может, точки c. Если ^//(c) = 0 или f00(c) не существует, а функция ^//(x) в этой окрестности по разные стороны от точки c имеет противоположные знаки, то c — точка перегиба функции .

Пусть, например, на интервале (c — δ, c) ^//(x) > 0, а на интервале (c, c + δ) ^//(x) 0. Тогда по теореме 4.27 функция на интервале (c — δ, c) обращена выпуклостью вниз, а на интервале (c, c+δ) — вверх. Поэтому c — точка перегиба функции.

Пример №11

Исследовать на перегиб функцию (x) = x^5/3.
Функция непрерывна на и ^//(x) = . Тогда на интервале (-∞, 0) ^// (x) 0 и график Γ обращен выпуклостью вверх, а на интервале (0, +∞) ^//(x) > 0 и график Γ обращен выпуклостью вниз, поэтому точка x = 0 — точка перегиба функции .

Теорема 4.30 (2-ое достаточное условие перегиба). Пусть функция трижды дифференцируема в точке c и ^//(c) = 0, а ⁽³⁾ (c) 0. Тогда c — точка перегиба функции .

Так как функция  трижды дифференцируема в точке c, то функция^//(x) дифференцируема в точке c, поэтому в силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
.

Но ^// (c) = 0, поэтому

где α(x) → 0 при x → c, и, значит, найдется δ > 0 такое, что для всех x ∈ (δ)

Следовательно, в (δ) по разные стороны от точки c функция ^//(x) имеет противоположные знаки. С учетом теоремы 4.29 получаем, что c — точка перегиба функции .

Например, x = 0 — точка перегиба функции (x) = sin x, так как ^//(0) = 0, а ⁽³⁾ (0) 0.

Асимптоты графика функции

Определение 4.15. Пусть функция определена на промежутке X, a — левосторонняя (правосторонняя) предельная точка множества X. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой функции  или графика Γ при x → a — 0 (соответственно, при x → a + 0), если (x)= +∞ или -∞ x→a-0 (соответсвенно, (x) = +∞ или -∞). 

Пример №12

Пусть (x) = ln x. Тогда D() = (0, +∞) и функциям  непрерывна на D(). Точка x = 0 является правосторонней предельной точкой области определения функции и (x) = -∞. Поэтому прямая x = 0 является вертикальной асимптотой функции при x → +0.

Пример №13

Пусть (x) = e^-1/x. Тогда D() = {0}, функция непрерывна на D(), (x) = 0 и (x) = +∞. Значит, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой графика Γ при x → -0.

Определение 4.16. Пусть функция определена на промежутке X и X ⊃ (a, +∞) (или X ⊃ (-∞, a)), a ∈ . Прямую y = kx + b называют наклонной (невертикальной) асимптотой функции или графика Γ при x → +∞ (соответственно, при x → -∞), если ∃ ( (x) — (kx + b)) = 0 (соответственно, ( (kx + b))=0).

Если k = 0, то асимптоту называют горизонтальной.

Пример №14

Найти асимптоты функций

a)    Функция непрерывна на {-1}. Так как(x) =, то прямая x = -1 является вертикальной асимптотой Γ при x → -1+0 и при x → -1-0. Разделим числитель x² + 3x- 4 на знаменатель x + 1 по правилу деления многочленов :

Так как ,  то прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой функции 
 при x → +∞ и при x → -∞.

b) Функция непрерывна на и потому не имеет вертикальных асимптот. Заметим, что для x 0

В силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

.

Следовательно,  при x → ±∞, а поэтому прямая у =  является наклонной асимптотой функции  при x → +∞ и при x → -∞.

Теорема 4.31. Для того, чтобы прямая y = kx+b была наклонной асимптотой графика функции y = (x) при x → +∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

.  (4.23)
Необходимость. Если y = kx + b — асимптота Γ при x → +∞, то по определению 4.16

(x) = kx + b + α(x),    (4.24)

где α(x) → 0 при x → +∞. Разделим обе части полученного равенства на x и получим

откуда следует существование предела .  Но (см. (4.24))

(x) — kx = b + α(x), где α(x) → 0 при x → +∞.

Поэтому 

Достаточность. Если существуют конечные пределы, перечисленные в 4.23,
то (x) — (kx+b) = α(x), где α(x) → 0 при x → +∞, а поэтому по определению 4.16 прямая y = kx + b является наклонной асимптотой Γ при x → +∞.
Аналогично формулируется и доказывается критерий существования наклон
ной асимптоты графика Γ при x → -∞.

Построение графика функции

Для построения графика функции y = (x) нужно последовательно выполнить следующие операции:

1. Найти область определения функции , изучить функцию на четность (нечетность), периодичность.
2. Исследовать функцию на непрерывность, указать точки разрыва, найти асимптоты.
3. Найти ^/(x), исследовать функцию на экстремум, указать промежутки монотонности.
4. Найти^//(x), исследовать функцию на перегиб, указать промежутки выпуклости вверх (вниз) графика функции.
5. Дать характеристику поведения функции на каждом из полученных промежутков.
6. Нарисовать график.

Пример №15

Построить график функции (x) = .

Решение:

1.    D() = ; функция является функцией общего вида (иными словами: функция не является четной, не является нечетной), так как

Функция не является периодической, так как обращается в нуль только в двух точках x = 0 и x = —1.
2.    (x) ∈ C (), поэтому Γ не имеет вертикальных асимптот. Прямая y = наклонная асимптота Γ при x → ±∞ .
3.    Для всех x ∈ (-∞, —1) S(—1, 0) S(0, +∞)

.

Так как 

,

,

то функция имеет в точках x = —1 и x = 0 бесконечные производные, а значит Γ имеет в соответствующих точках (—1, 0) и (0, 0) вертикальные касательные и эти точки являются критическими.

Далее, ^/(x) = 0 x = . Поэтому x =  стационарная точка функции. Поскольку sgn ^/(x) = sgnx (3x + 2), ∀x {—1; 0}, то

 точка локального максимума и  точка локального минимума и (0)=0. На 2/3], [0, +∞) функция возрастает, а на [—2/3, 0] — убывает.

4.    Так как
^//(x) = —(x + 1)^-5/3x^-4/3, ∀x ∈ (-∞, -1) (-1,0)(0, +∞), 
то ^//(x) 0 на указанном множестве и x = -1, x = 0 — точки возможного перегиба Γ. Но sgn ^//(x) = — sgn (x + 1), ∀x 0, -1, а значит

очка x = -1 — точка перегиба заданной функции.
Полученные результаты объединим в таблицу и нарисуем график:

Свойства дифференцируемых функций

Определение 12.1. Функция y=f(x) называется возрастающей в точке , если окрестность  этой точки такая, что

Аналогично определяется убывающая в точке  функция.
Точка  называется точкой локального максимума (минимума) функции
y=f(x), если окрестность  этой точки такая, что  .

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума. Если знаки неравенств в соотношениях (12.1) нестрогие, то говорят о нестрогом локальном максимуме (минимуме).
 

Теорема 12.1. (теорема Ферма). Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности  точки , дифференцируема в этой точке и имеет в ней локальный экстремум. Тогда 
 

Доказательство

Равенство  в теореме 12.1 означает, что касательная к графику
функции y=f(x) в точке  горизонтальна.
 

Теорема 12.2. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точкеи. Тогда f(x) возрастает (убывает) в точке 
 

Доказательство

Докажем для случая  По формуле (6.4)

окрестность  такая что

Если следовательно условия возрастания функции в точке (см. определение 12.1) выполнены.
 

Теорема 12.3 (теорема Ролля). Пусть функция y=f(x):
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале (a ,b );
3) f(a)=f(b).

Тогда
 

Доказательство

По теореме 11.1 такие, что

Если M = m, то f( x) – постоянная функцияпоэтому
Если , то либо max, либо min достигается на ( a,b ). Пусть, например,
. Тогда точка  удовлетворяет условиям теоремы 12.1, и поэтому
, что и требовалось доказать.

Теорема 12.4 (теорема Лагранжа).
Пусть функция y=f(x):
1) непрерывна на отрезке [a,b];
2) дифференцируема на интервале ( a,b ).

Тогда такая, что (12.4)
 

Доказательство

Рассмотрим функцию – непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале ( a,b ); 
Поэтому y(x) удовлетворяет условиям теоремы 12.3, то есть такая, чточто и требовалось доказать.
Угловой коэффициент прямой L, проходящей через точки  равен
 Поэтому формула (12.4) означает, что такая, что касательная к графику функции y=f(x) в точке  параллельна прямой L, рис. 12.1.

Если х задает время и y=f(x) – путь, пройденный телом при движении по прямой за время х, то  – средняя скорость движения тела на промежутке времени [a b] и согласно (12.4)  такая, что мгновенная скорость тела в момент времени с равна средней скорости.
 

Пример №16

Дана кривая  и точки A(0;1) и B(6; 37) на кривой. На интервале (0; 6) найти точку с, удовлетворяющую условию (12.4). Написать уравнение касательной в точке (c,f(c)). Сделать чертеж.
 

Решение:

Подставив точки А и В в формулу (12.4), получим

Уравнение касательной к кривой  (см. пример 9.9), рис. 12.2.

 

Теорема 12.5. (терема Коши). Пусть функции y=f(x) и y=g(x):
1) непрерывны на отрезке [a b];
2) дифференцируемы на интервале ( a,b ), причем  и  . Тогда такая, что

Доказательство

Рассмотрим функцию

y(x) удовлетворяет условиям теоремы 12.3, и далее доказательство аналогично доказательству теоремы 12.4.

(схема 30)

При дифференцировании различают функции по способу их задания: явные, неявные и параметрические.

Пусть явно задана функция y=f (x). Функция,
зависящая непосредственно от  переменной x, называется
простой.
Рассмотрим для простой функции точку x, принадлежащую ее области определения. Дадим
приращение аргументу ∆x в точке x. Функция
получит при этом соответствующее (3.9) приращение ∆y=f(x+∆x)—f(x).                                        

Производной функции y=f (x) по переменной x в некоторой точке называется предел отношения
приращения функции  к приращению аргумента, когда
последнее стремится к нулю, то есть

.                                                                                                                                                                               (3.15)

Функция, имеющая в точке конечную производную,
называется дифференцируемой в этой точке. Процесс нахождения производной называется
дифференцированием и обозначается .

Производная 
характеризует скорость изменения функции в достаточно малой окрестности заданной
точки.

Приведем таблицу производных основных элементарных
функций (без доказательства), которые рассматриваются нами как функции простые
и явно заданные.

Следствие. В точках разрыва функция производной не имеет

Существуют такие точки, в которых функция непрерывна,
но не дифференцируема. Так, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но производной не имеет, так как в этой
точке к графику функции можно провести бесконечное множество
касательных (рис. 3.6). Такие точки называются угловыми или точками излома функции. Данный случай показывает, что обратное утверждение к
теореме 3.9 неверно.

Среди явных 
функций особое место занимают обратные функции, производная
которых находится с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.10. Если
строго монотонная функция y=f (x) дифференцируема на некотором интервале Х, причем ее производная не
обращается в нуль на Х, то обратная к ней функция x=φ(y) также
дифференцируема на этом интервале, при этом:

                                                                                                                                                                                              (3.30) 

Доказательство. Дадим  функции
y=f (x) в точке x бесконечно малое приращение аргумента ∆x→0, функция при этом получит соответствующее приращение
∆y. Так как по условию теоремы функция
дифференцируема  в каждой  точке интервала Х, то в каждой точке этого
интервала функция непрерывна (по теореме 3.9). Следовательно, по определению
непрерывности функции выполняется: , это означает, что 
при  ∆x→0; ∆y→0.

По
определению производной можно записать:

, теорема доказана

Среди явных функций выделяют класс сложных функций.

Функция называется
сложной, если она представляет собой композицию нескольких функций: y=f (φ(x)). Функция f называется внешней, а φ — внутренней функцией, выступающей в качестве
независимого  переменного.     

Теорема 3.11.
Чтобы 
продифференцировать  сложную
функцию необходимо сначала продифференцировать внешнюю функцию по внутренней,
считая  внутреннюю функцию  независимой переменной, затем
продифференцировать внутреннюю функцию по независимому переменному и результаты
дифференцирования перемножить, то есть

                                                                                                                                                                                (3.31)

Пример 3.8.  Найти
производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.31) и с учетом табличных формул
(3.17), (3.19), (3.29)  имеем:

.

К явным функциям можно отнести функции, заданные
параметрически, вида:,

 где t –
параметр. Производную такой функции несложно получить:

.                                                                                                               (3.32)

Пример 3.9.  Найти
производную функции .

Решение.  Согласно
формуле (3.32) и с учетом табличных формул (3.18), (3.19)  имеем:

Примечание.  Функция,
заданная в примере 3.9, представляет собой параметрическое уравнение окружности
радиуса a. Действительно, возведем оба уравнения в квадрат и сложим
их почленно, получим:

 

Помимо таблицы производных
имеют место правила дифференцирования.

Теорема 3.12. Производная суммы двух  дифференцируемых функций равна сумме
производных этих функций: 

                                                                                                                                                                                      (3.33)

Данная теорема может быть обобщена для произвольного
конечного числа функций-слагаемых.

Пример 3.10.
 Найти производную функции.

Решение.  Согласно
формулам (3.33) и (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.20), (3.23)  имеем:

       

Теорема 3.13. Производная произведения  двух дифференцируемых функций равна
произведению производной первой функции-сомножителя на вторую функцию плюс
произведение первой функции на производную 
второй функции–сомножителя, то есть

                                                                                                                                                                                 (3.34)

Пример 3.11.
 Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.34) и с учетом табличных формул
(3.22), (3.24)  имеем:

Теорема 3.14.
Производная частного двух функций
равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а
числитель есть разность между 
произведением знаменателя на производную числителя и произведением
числителя на производную знаменателя, то есть

                                                                                                                                                                                (3.35)

Пример 3.12.
 Найти производную функции.

Решение. Согласно формуле (3.35) и с учетом табличных формул
(3.17), (3.29)  имеем:

 

Все рассмотренные выше при дифференцировании функции
были заданы в явном виде, то есть уравнением y=f (x),
разрешенным относительно y.

Функция называется неявно заданной, если она
имеет вид F (x;y)=0.
Неявный способ задания к свойствам функции отношения не имеет. В этом случае
любое выражение,  содержащее переменную y, нужно
рассматривать как функцию сложную. Следовательно, при нахождении производной  неявных функций следует применять теорему о
дифференцировании сложной функции. В процессе отыскания  все слагаемые,
содержащие , оставляют в левой части равенства и выносят из них  за скобки как общий
множитель. Слагаемые, не содержащие , переносят в правую часть, и полученное уравнение разрешают
относительно искомой . 

Пример 3.13.
 Найти производную  неявной 
функции .

Решение. Согласно формуле (3.31) дифференцирования  сложной функции и (3.34) производной
произведения, с учетом табличных формул (3.17) и  (3.18) 
имеем:

Иногда для упрощения процесса дифференцирования
громоздких функций применяют их предварительное логарифмирование (логарифмическое
дифференцирование). Данный метод целесообразен в тех случаях, когда
функция представляет собой произведение и (или) частное различных функций,
таких как показательные и степенные выражения (особенно иррациональные).
Логарифмическое дифференцирование используется также для нахождения производных
показательно-степенных функций, которые без предварительного логарифмирования
вообще не дифференцируются. При использовании данного метода в левой части  получают производную от натурального
логарифма y, которая равна . После этого обе части умножают на  y, при этом в правой части заменяют  y  на заданную по
условию функцию.

Пример 3.14.
 Найти производную  функции .

Решение. 
Прологарифмируем заданную функцию .

По свойству логарифма степени имеем:. Согласно формуле
(3.31) дифференцирования  сложной функции
и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.19) и  (3.29) 
можно  записать 

.

После умножения обеих частей последнего равенства на y
окончательно получим:. Заметим, что без предварительного логарифмирования
производную заданной функции найти невозможно, так как нельзя обосновать
использование формул дифференцирования (3.17) или (3.22)

Пусть функция y=f (x)
дифференцируема в некоторой текущей точке x и при этом . Тогда по определению производной и формуле (3.15) можно
записать: . Иначе: приращение  функции имеет вид

 .                                                                                                                                                                         (3.36)

Дифференциалом функции y=f (x) в точке x называется главная часть приращения этой
функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента:

.                                                                                                                                                                             (3.37)

Найдем дифференциал независимой переменной x, то есть
дифференциал функции y=x. Так
как , то по формуле (3.37) имеем dy=dx=∆x. Тогда формула (3.37) для вычисления дифференциала
функции может быть записана в виде: 

.                                                                                                                                                                                        (3.38)

Если  в формуле
(3.36) отбросить бесконечно малую величину α∙∆x, то
получим приближенное равенство . Подставляя в него выражения для ∆y и dy из формул (3.9) и (3.37), получим  или 

.                          
                                                                                                                                      (3.39)

Формула (3.39) применяется для вычисления приближенных
значений функций.

Пример
3.15.  Вычислить приближенно значение .

Решение.
Рассмотрим функцию . По формуле  (3.39)
имеем:

.

Так как x+∆x=0,95,  то при x=1  и  ∆x=-0,05
получаем:

Процесс дифференцирования может быть многократным. Производная от первой
производной называется второй производной функции или производной 2-го порядка.
Производная от последней, в свою очередь, является производной 3-го порядка и
так далее. Производная функции n-го  порядка  – это производная от предыдущей производной (n-1)-го
порядка заданной функции, то есть

 .                                                                                                                                                                              (3.40)

Под термином дифференцирование могут подразумевать различные научные понятия:

1. Дифференцирование в математическом анализе — операция взятия полной или частной производной функции.
2. Дифференцирование в алгебре — линейное отображение, удовлетворяющее тождеству Лейбница; алгебраическая операция, обобщающая формальные свойства различных определений производных. Изучением дифференцирований и их свойств занимается дифференциальная алгебра.
3. Дифференцирование клеток в биологии — формирование специализированного фенотипа при делении клеток в ходе морфогенеза.

Определение производной

Пусть на некотором промежутке X определена функция . Возьмем любую точку и зададим аргументу х в точке произвольное приращение такое, что точка также принадлежит X. Функция получит приращение

Определение. Производной функции y=f(x) в точке называется предел при отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной функции y=f(x) в точке используют символы

Итак, по определению,

Если для некоторого значения выполняется условие

то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус). В отличие от бесконечной производной определенную выше производную функции иногда называют конечной производной. Если функция f(х) имеет конечную производную в каждой точке то производную f'(х) можно рассматривать как функцию от х, также определенную на X.

Из определения производной вытекает и способ ее вычисления.

Пример:

Найти производную функции в точке Решение. Давая аргументу х в точке приращение , найдем соответствующее приращение функции:

Составим отношение :

Найдем предел этого отношения при :

Следовательно, производная функции в точке равна числу , что в принятых обозначениях можно записать так:

Геометрический смысл производной

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (а, b) и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента а точка Р — значению Проведем через точки М и Р прямую и назовем ее секущей. Обозначим через угол между секущей и осью Ох (рис. 65). Очевидно, что этот угол зависит от .

Если существует , то прямую с угловым коэффициентом , проходящую через точку , называют предельным положением секущей MP при (или при ).

Определение:

Касательной S к графику функции y=f(x) точке М будем называть предельное положение секущей MP, что то же, при .

Из определения следует, что для существования касательной, достаточно, чтобы существовал предел причем предел равен углу наклона касательной к оси Ох.

Докажем, что если функция у=f(х) имеет в точке производило, то существует касательная к графику функции y=f(x) в точке причем угловой коэффициент этой касательной (т. е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной f'(x).

Действительно, из треугольника MNP получаем, что •

Отсюда

Перейдем в равенстве (1) к пределу при Так как существует производная то существует и предел

Отсюда и из непрерывности функции следует, что существует предел правой части равенства (1):

Следовательно, существует предел и левой части равенства (1). Таким образом, получаем

Но это и означает, что существует предельное положение секущей MP, т. e. существует касательная к графику функции y=f(x) в точке , причем угол наклона этой касательной к оси Ох равен и, значит, угловой коэффициент касательной , что и требовалось доказать.

Итак, производная функции y = f(x) в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке

Физический смысл производной

Предположим, что функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т. е. y=f(х) — путь, пройденный точкой М от начала отсчета за время х.

Тогда за время пройден путь , а за время — путь . За промежуток времени точка М пройдет отрезок пути (рис.66).

Отношение называется средней скоростью движения () за время , а предел отношения при определяет мгновенную скорость точки в момент времени .

Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения произвольной функции. Какую бы зависимость ни отражала функция y=f(x), отношение есть средняя скорость изменения у относительно изменения мгновенная скорость изменения у при .

Значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.

Правая и левая производные

Используя понятие правого и левого предела функции, введем понятия правой и левой произ-в0дных функции у=f(х) в точке .

Определение:

Правой (левой) производной функции y=f(x) в точке называется правый (левый) предел отношения при (при условии, что этот предел существует). Обозначение:

Если функция f(х) имеет в точке производную, то она имеет в этой точке правую и левую производные, которые совпадают.

Вместе с тем существуют функции, имеющие в данной точке правую и левую производные, но не имеющие производной в этой точке. Это, например, функция , которая имеет в точке x=0 правую производную, равную (при ), и левую производную, равную (при ), но не имеет в этой точке производной, так как .

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема:

Для того чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство:

Необходимость. Пусть функция у=f(х) дифференцируема в точке , т. е. ее приращение в этой точке можно представить в виде (1): Поделив это равенство на (при ), получим

Переходя к пределу при имеем

Дх—О Лх Лх-0

Отсюда следует, что производная в точке существует и равна

Достаточность. Пусть существует конечная производная , т. е. . Пусть ; тогда функция является бесконечно малой при (см. теорему 4.5). Из последнего равенства имеем

где Получено представление (1), тем самым доказано, что функция у=f(х) дифференцируема в точке ■

Таким образом, для функций одной переменной дифференци-руемость и существование производной — понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

Замечание. Введенная при доказательстве достаточности функция не определена при Следовательно, полученное для выражение (1) также не определено при Если определить произвольным образом, то равенство (1) будет справедливо и при Для дальнейшего целесообразно условиться, что в выражении (1) функция определена при По непрерывности, т. е.

Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности

Теорема:

Если функция у=f(х) дифференцируема в данной точке , то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция у=f(х) дифференцируема в точке , то ее приращение в этой точке может быть представлено соотношением (1). Тогда, переходя к пределу при получаем

что и означает непрерывность функции y=f(x) в точке согласно третьему определению непрерывности функции в точке. ■

Замечание:

Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т. е. не иметь производной в этой точке.

Примером такой функции служит функция , которая непрерывна в точке х=0, но, как показано в п. 4, § 1,не имеет в этой точке производной, т. е. не является дифференцируемой.

Если функция f(х) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого промежутка), то будем говорить, что функция f(х) дифференцируема на указанном промежутке.

Определение и геометрический смысл дифференциала

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке , т. е. ее приращение в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых:
где . Слагаемое является при бесконечно малой одного порядка с (при ), оно линейно относительно . Слагаемое при — бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Таким образом, первое слагаемое (при ) является главной частью приращения функции y=f(x).

Определение:

Дифференциалом функции y=f(x) в точке называется главная, линейная относительно , часть приращения функции в этой точке:

Если , и поэтому слагаемое уже не является главной частью приращения , так как слагаемое , вообще говоря, отлично от нуля. Однако и в этом случае по определению полагаем дифференциал функции в точке х, равным , т. е. здесь .

Принимая во внимание теорему 5.1, т. е. учитывая, что, формулу (1) можно записать в виде

Пусть f(х)=х. Тогда по формуле (2)

Дифференциалом независимой переменной х назовем приращение этой переменной Соотношение (2) принимает теперь вид

Заметим, что с помощью равенства (3) производную можно вычислить как отношение дифференциала функции dу к дифференциалу dx независимой переменной, т. е.

Дифференциал функции имеет геометрический смысл. Пусть точка М на графике функции y=f(x) соответствует значению аргумента , точка Р—значению аргумента прямая MS— касательная к графику y=f(x) в точке М, — угол между касательной и осью Ох. Пусть, далее — точка пересечения касательной MS с прямой PN (рис. 67) Тогда приращение функции равно величине отрезка NP. В то же время из прямоугольного треугольника MNQ получаем: т. е. дифференциал функции paвен величине отрезка NQ. Из геометрического рассмотрения видно, что величины отрезков NP и NQ различны.

Таким образом, дифференциал dy функции y=f(x) в точке равен приращению «ординаты касательной» MS к графику этой функции в точке , а приращение функции есть приращение «ординаты самой функции» y=f(x) в точке , соответствующее приращению аргумента, равному .

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Из определения дифференциала следует, что он зависит линейно от и является главной частью приращения функции . Само же зависит от более сложно. Например, если в то время как

Во многих задачах приращение функции в данной точке приближенно заменяют дифференциалом функции в этой точке:

Абсолютная погрешность при такой замене равна и является при бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Пример:

Покажем, что если мало, то можно использовать приближенную формулу

Решение. Рассмотрим функцию При малых имеем
откуда, положив получим

В частности,

Установим теперь правила дифференцирования и вычисления производных простейших элементарных функций. Заметим только, что при выводе формул и практическом вычислении производных обычно пишут не , а просто х, но при этом х считают фиксированным.

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного

Теорема:

Если функции дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

Доказательство:

Для вывода формул (1) воспользуемся определением производной, равенством и теоремой 4.3. Тогда получим:

так как а множители не зависят от ;

Вычисление производных постоянной, степенной, тригонометрических функций и логарифмической функции

Производная постоянной функции

Производная функции y=f(x)=C, где С — постоянное число, выражается формулой

Доказательство. Для любых имеем и Отсюда при любом и, следовательно,

Производная степенной функции

Производная функции , показатель n которой является целым положительным числом, выражается формулой

Доказательство:

Используя формулу бинома Ньютона, можно записать:

Таким образом, при имеем

Так как

Замечание:

Случай степенной функции, показатель которой является любым вещественным числом, рассмотрен в п. 2, § 9.

Производные тригонометрических функций

1) Производная функции y = sinx выражается формулой

Доказательство:

Имеем

Таким образом, при

Так как (первый замечательный предел), a в силу непрерывности функции cos х, то

2) Производная функции у=cos х выражается формулой

Доказательство:

Имеем

Таким образом, при

Так как в силу непрерывности функции , то

3) Производная функции выражается формулой
Доказательство:

Так как то по теореме 5.3 получим следовательно,

4) Производная функции y=ctgx выражается формулой

Доказательство:

Так как то аналогично предыдущему имеем следовательно,

Производная логарифмической функции

Производная функции выражается формулой

Доказательство:

Имеем

Таким образом, при

Полагая имеем:

(второй замечательный предел), а так как логарифмическая функция является непрерывной, то

Следствие:

Если

Теорема о производной обратной функции

Пусть функция y=f(х) удовлетворяет условиям теоремы 4.15 об обратной функции и функция является для нее обратной. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема:

Если функция y=f(x) имеет в точке производную то обратная функция также имеет в соответствующей точке производную, причем

Доказательство:

Дадим аргументу у обратной функции некоторое приращение в точке Функция получит некоторое приращение , причем в силу возрастания (или убывания) обратной функции Следовательно, можем записать:

Перейдем в этом равенстве к пределу при Так как обратная функция непрерывна в точке (см. теорему 4.15), то при Но при предел правой части равенства существует и равен . Следовательно, существует предел и левой части равенства, который по определению равен . Таким образом, получаем

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим в некоторой окрестности точки график функции y=f(x) (или обратной функции ). Пусть точке на этом графике соответствует точка М (рис. 68). Как известно, производная равна тангенсу угла наклона касательной, проходящей через точку М, к оси Ох. Производная обратной функции равна тангенсу угла наклона той же касательной к оси Оу. Поскольку углы в сумме составляют то формула (1) выражает очевидный факт:

Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций

Используя доказанную выше теорему 5.4, продолжим вычисление производных простейших элементарных функций.

Производная показательной функции

Производная функции выражается формулой

Доказательство:

Показательная функция является обратной для логарифмической функции Так как
то в силу теоремы 5.4 о производной обратной функции и известного из элементарной математики соотношения получаем

Следствие:

Если

Производные обратных тригонометрических функций

1) Производная функции выражается формулой

Доказательство:

Функция у=arcsin x является обратной для функции x=sin х. Так как то по теореме 5.4 о производной обратной функции получаем

Корень взят со знаком плюс, так как cos у положителен на интервале Учитывая, что окончательно имеем

2) Производная функции выражается формулой
Доказательство аналогично предыдущему.

3) Производная функции выражается формулой
Доказательство. Функция является обратной для функции

Так как Но следовательно,

4) Производная функции выражается формулой

Доказательство аналогично предыдущему.

Правило дифференцирования сложной функции

Теорема:

Если функция имеет производную в точке а функция y=f(x) имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке и справедлива следующая формула:

Доказательство:

Так как функция y=f(x) дифференцируема в точке , то приращение этой функции в точке может быть записано в виде

где Поделив равенство (2) на , получим

Равенство (3) справедливо при любых достаточно малых . Возьмем равным приращению функции , соответствующему приращению аргумента t в точке , и устремим в этом равенстве к нулю. Так как по условию функция имеет в точке производную, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, согласно третьему определению непрерывности функции в точке, при Но тогда и также стремится к нулю, т. е. имеем

В силу соотношения (4) существует предел правой части равенства (3) при равный Значит, существует предел при и левой части равенства (3), который, по определению производной, равен производной сложной функции в точке . Тем самым, доказана дифференцируемость сложной функции и установлена формула (1). ■

Замечание:

В данной теореме рассмотрена сложная функция, где у зависит от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость — с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных, но правило дифференцирования остается таким же.

Так, например, если и . то производную следует вычислять по формуле

Пример:

Вычислить производную функции

Решение:

Данную функцию можно представить в виде Тогда по формуле (1)

Заменяя окончательно получим

Пример:

Вычислить производную функции

Решение:

Данную функцию можно представить в виде Используя формулу (5), получаем

Замечание:

Иногда производную приходится вычислять непосредственно исходя из ее определения. Найдем, например, производную функции

При производная вычисляется по формулам и правилам дифференцирования:

Этим выражением нельзя воспользоваться при х=0. В точке х=0 производную можно вычислить, используя определение производной:

(произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая). Таким образом,

Понятие логарифмической производной функции

Вычислим производную функции Так как (последнее равенство получено на основании правила дифференцирования сложной функции), то производная данной функции выражается следующей формулой:

Учитывая формулу (1), вычислим производную сложной функции — дифференцируемая функция. Имеем
или

Производная называется логарифмической производной функции f(x). Для упрощения записи при логарифмическом дифференцировании знак модуля у функции f(х) обычно опускается.

Вычислим с помощью логарифмической производной производную показательно-степенной функции , где — некоторые функции от , имеющие в данной точке х производные . Так как , то, используя формулу (2), получаем

Отсюда, учитывая, что получаем следующую формулу для производной показательно-степенной функции:

Пример:

Вычислить производную функции .

Решение:

Данную функцию можно представить в виде , где Используя формулу (3), получаем

Производную показательно-степенной функции можно вычислить и другим способом. Представим функцию в виде и вычислим у’:

подставляя приходим снова к формуле (3).

Логарифмическая производная очень удобна при нахождении производной степенной функции с любым вещественным показателем.

Производная степенной функции с любым вещественным показателем

Производная функции ( — любое вещественное число) выражается формулой

Доказательство:

Так как , то
По формуле (2) находим

Отсюда, учитывая, что , получаем формулу для производной степенной функции:

Таким образом, нами вычислены производные всех простейших элементарных функций и мы можем составить следующую таблицу.

Таблица производных простейших элементарных функций

Формулы, приведенные в таблице, а также правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и правило дифференцирования сложной функции являются основными формулами дифференциального исчисления. На основе правил и формул дифференцирования можно сделать важный вывод: производная любой элементарной функции также элементарная функция. Таким образом, операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.

Производные и дифференциалы высших порядков

Понятие производной n-го порядка

Как уже отмечалось в § 1 данной главы, производная f'(х) функции y=f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

Назовем f'(х) производной первого порядка функции f(х). Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной) этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются (вместо у» и у’» иногда пишут или

Производная n-го порядка является производной от производной
(n—1)-го порядка, т. е. .

Производные высших порядков имеют широкое применение в физике. Ограничимся физическим истолкованием второй производной f»(х). Если функция y = f(х) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то первая производная f(х) есть мгновенная скорость точки в момент времени х, а вторая производная равна скорости изменения скорости, т. е. ускорению движущейся точки в этот момент.

Формулы для л-х производных некоторых функций

1) Вычислим n-ю производную степенной функции
(— любое вещественное число). Последовательно дифференцируя, имеем*:

В частном случае, если , где m — натуральное число, получаем

2) Вычислим n-ю производную показательной функции . Последовательно дифференцируя, имеем

В частности, если то для любого n

3) Вычислим n-ю производную функции y=sinx. Последовательно дифференцируя, имеем
Таким образом, производную любого порядка от sin х можно вычислять по формуле

Например,

4) Аналогично можно получить формулу n-й производной функции y=cosx:

Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций

Пусть — некоторые функции от переменной х, имеющие производные любого порядка. Тогда

Правые части полученных равенств похожи на разложения различных степеней бинома по формуле Ньютона, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а сами функции для полной аналогии с формулой Ньютона нужно рассматривать как «производные нулевого порядка»: . Учитывая это, запишем общий вид n-й производной произведения двух функций:

Формула (1) называется формулой Лейбница. Докажем эту формулу методом математической индукции.

При n=1 эта формула принимает вид , что совпадает с формулой дифференцирования произведения двух функций. Для n=2 и n=3 она также проверена. Поэтому достаточно, предположив справедливость формулы (1) для некоторого n, доказать ее справедливость для n+1. Продифференцируем эту формулу, т. е. найдем :

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем

По выражение, стоящее в квадратных скобках, можно представить следующим образом:

Поэтому

Формула (1) доказана. ■
Пример:

Вычислить пятую производную функции Решение. Полагая , найдем: Подставляя эти выражения в формулу (1) при n = 5, получаем

Пример:

Вычислить n-ю производную функции .
Решение. Полагая найдемПодставляя в формулу (1), получаем

Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим дифференциалы высших порядков. Для удобства будем наряду с обозначениями дифференциалов символами dу и dx использовать обозначил

Пусть функция f(х) дифференцируема в каждой точке х некоторого промежутка. Тогда ее дифференциал

который назовем дифференциалом первого порядка, является функцией двух переменных: аргумента х и его дифференциала dx. Пусть функция f'(х), в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке х. Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель. Тогда функция dу представляет собой функцию только аргумента х и ее дифференциал в точке х имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dу будем использовать новые обозначения для дифференциалов)

Дифференциал (dу) от дифференциала dу в точке х, взятый при , называется дифференциалом второго порядка функции f(х) в точке х и обозначается , т. е.

В свою очередь, дифференциал от дифференциала , взятый при , называется дифференциалом третьего порядка функции f(х) и обозначается и т. д. Дифференциал от дифференциала , взятый при , называется дифференциалом n-го порядка (или n-м дифференциалом) функции f(х) и обозначается .

Докажем, что для n-го дифференциала функции справедлива формула

Доказательство проведем по индукции. Для n=1 и n=2 формула (2) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n-1:
и функция , в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке х. Тогда

Полагая , получаем
что и требовалось доказать.

Из формулы (2) следует, что для любого справедливо равенство
т е. n-я производная функции y=f(x) в точке х равна отношению n-го дифференциала этой функции в точке х к n-й степени дифференциала аргумента.

Пример:

Вычислить дифференциал функции
Решение:

Последовательно дифференцируя, получаем
Следовательно,

Параметрическое задание функции

Пусть даны две функции

одной независимой переменной t, определенные и непрерывные в одном и том же промежутке. Если строго монотонна, то обратная к ней функция t=Ф(х) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной х посредством переменной t, называемой параметром:

В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с помощью уравнений (1).

Отметим, что функция непрерывна в силу теоремы о непрерывности сложной функции.

Пример:

Пусть Так как функция x=Rcost убывает при то данные уравнения задают параметрически функцию у от х. Если выразить t через х из первого уравнения, и подставить во второе, то получим искомую функцию переменной х в явном виде.

Это еще легче сделать, если заметить, что

Отсюда Так как функция неотрицательна для , то перед радикалом выбираем знак плюс:

Если
Таким образом, можно сделать вывод, что когда t изменяется , то формулы определяют две Функции переменной х, графики которых образуют окружность Радиуса R.

Пример:

Пусть Данные равенства являются параметрическими уравнениями клипса, так как (см. замечание п. 1, § 7, гл. 3) эллипс получается Из окружности радиуса а сжатием ее в а/b раз вдоль оси Оу. Из примера 1 следует, что параметрическими уравнениями окружности являются уравнения . Итак, параметрические уравнения эллипса получаются из параметрических уравнений окружности умножением правой части уравнения для ординаты у на b/а и имеют вид: . Можно поступить проще. Исключая из этих уравнений параметр t (разрешая их относительно cos t и sin t, возводя полученные равенства в квадрат и складывая), получаем — уравнение эллипса.

Параметрическое задание функции имеет особо важное значение при изучении движения точки. Если точка движется на плоскости, то ее координаты х, у являются функциями времени t. Задав эти функции , мы полностью определим движение точки. Для каждого промежутка времени, в котором функция строго монотонна, можно, как и раньше, определить функцию , графиком которой является кривая, описываемая за этот промежуток времени движущейся точкой. В последнем примере функции описывали движение точки по эллипсу.

Дифференцирование функции, заданной параметрически

Предположим теперь, что функции имеют производные, причем на некотором промежутке. Из последнего неравенства вытекает (как будет показано) строгая монотонность функции (см. теорему 6.7, гл. VI) и, следовательно, однозначность обратной функции t=Ф(х). По теореме 5.4 о производной обратной функции функция Ф (х) имеет производную

а по теореме 5.5 о производной сложной функции функция имеет производную

Следовательно,

Таким образом, доказано, что производная функции, заданной параметрически, выражается формулой (2).

Пример:

Найти , если
Решение:

По формуле (2) получаем [здесь ]

Если воспользоваться явным выражением для функции у от то получим, разумеется, тот же результат:

Пусть существуют вторые производные функций в некоторой точке t. Тогда можно вычислить вторую производную функции, заданной параметрически. Заметим, что функция ,
в свою очередь, задана параметрически уравнениями Следовательно, по формуле (2) имеем

Здесь использовано правило дифференцирования частного. Итак,

Аналогично можно получить производную от у по х любого порядка.

Пример:

Найти Решение. Подставляя в формулу (3), найдем

Дифференцирование — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

При изучении темы «Дифференцирование» вы познакомитесь
на примерах с понятиями производной и дифференциала функции одной переменной, научитесь вычислять производные, используя правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции, научитесь дифференцировать функции, заданные параметрически, вычислять производные высших порядков, а также применять производные и дифференциалы в приближенных вычислениях и при решении геометрических задач.

Понятие производной

Постановка задачи. Исходя из определения, найти производную функции f(x) в точке х = 0.

План решения.

1.По определению

(Напомним, что при вычислении предела но .)

3.Вычисляем предел

3.Если предел существует и равен А, то f'(0) = А, если предел не
существует, то f'(0) не существует.

Пример:

Исходя из определения, найти производную функции

в точке х = 0.

Решение:

1.По определению

2.Так как sin(l/x) — ограниченная, а x — бесконечно малая функции при , то по теореме о произведении бесконечно малой функции на ограниченную при . Заменяя в числителе бесконечно малую функцию эквивалентной и снова используя упомянутую теорему, получаем

3.Таким образом, предел существует и равен нулю. Следовательно, f'(0) = 0.

Ответ. f'(0) = 0.

Вычисление производных

Постановка задачи. Найти производную функции у = f(x).

План решения. Задача решается в несколько этапов. На каждом
этапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования.

Возможны следующие типы функций.
• Функция имеет вид где
— некоторые функции и — некоторые постоянные. Используем формулу производной линейной комбинации

• Функция имеет вид u • v. Используем формулу производной
произведения

• Функция имеет вид Используем формулу производной частного:

• Функция имеет вид u(v(x)). Используем формулу производной
сложной функции

• Функция имеет вид Производная такой функции
вычисляется с помощью формулы

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.

Пример:

Найти производную функции

Решение:

1.Функция у(х) имеет вид

где и Используя формулу
для производной частного, получаем

2.Функция является линейной комбинацией табличных функций. Поэтому

3.Функция имеет вид

где и Используя формулу для производной сложной функции, получаем

Ответ.

Уравнение касательной и нормали

Постановка задачи. Составить уравнения касательной и нормали к кривой у = f(x) в точке с абсциссой а.

План решения. Если функция f(x) в точке а имеет конечную
производную, то уравнение касательной имеет вид

Если то уравнение касательной имеет вид х = а.
Если то уравнение нормали имеет вид

Если то уравнение нормали имеет вид х = а.

1.Находим значение f(а).

2.Находим производную f'(a).

3.Подставляя найденные значения f(a) и f'(a) в (1) и (2), получаем уравнения касательной и нормали.

Пример:

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в точке с абсциссой а = 1.

Решение:

1.Находим f(1) = 2/3.

2.Находим производную f'(1) = 2/3. Так как и
то воспользуемся уравнениями (1) и (2).

3.Подставляя найденные значения f(а) = 2/3 и f'(а) = 2/3 в (1)
и (2), получаем уравнения касательной и нормали:

Ответ. Уравнение касательной: 2х — Зу = 0. Уравнение нормали: 9x+6у — 13 = 0.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Постановка задачи. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции у = f(x) в точке х = а.

План решения. Если приращение аргумента х мало
по абсолютной величине, то

1.Выбираем точку а, ближайшую к x и такую, чтобы легко вычислялись значения f(а) и f'(a).

2.Вычисляем , f(а) и f'(a).

3.По формуле (1) вычисляем f(x).

Пример:

Вычислить приближенно с помощью дифференциала
значение функции в точке х = 1, 97.

Решение:

1.Ближайшая к 1,97 точка, в которой легко вычислить значения
f(а) и f'(а), — это точка а = 2.

2.Вычисляем:

3.По формуле (1) имеем

Ответ.

Логарифмическое дифференцирование

Постановка задачи. Найти производную функции вида

План решения.

1.Логарифм данной функции имеет вид

2.Продифференцировав обе части этого равенства, получаем

Поэтому

3.Подставляя в последнее равенство выражение для у, получаем
ответ.

Пример:

Найти производную функции

Решение:

1.Логарифм данной функции имеет вид

2.Продифференцировав обе части этого равенства, получаем

Поэтому

3.Подставляя в последнее равенство выражение для у, получаем
ответ.

Ответ.

Производная функции, заданной параметрически

Постановка задачи. Найти производную функции, заданной
параметрически.

План решения. Если зависимость у от х задана посредством
параметра t:

то зависимость у’ от х задается посредством параметра t формулами

Вычисляем f'(t) и g'(t), подставляем в формулу (1) и записываем
ответ.

Пример:

Найти производную если

Решение:

Вычисляем:

Подставляя полученные результаты в формулу (1), получаем

Ответ.

Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически

Постановка задачи. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в точке А, соответствующей значению параметра

План решения. Если функция у(х) в точке а имеет конечную
производную, то уравнение касательной имеет вид

Если то уравнение касательной имеет вид х = а.
Если то уравнение нормали имеет вид

Если у'(а) = 0, то уравнение нормали имеет вид х = а.

1.Вычисляем координаты точки А:

2.Находим производную у’ в точке касания при

3.Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1)
и нормали (2) и записываем ответ.

Пример:

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в точке А, соответствующей значению параметра t = 0.

Решение:

1.Вычисляем координаты точки А: а = 2, у(а) = 1.

2.Находим производную у’ в точке А:

Поскольку и то можно воспользоваться уравнениями (1) и (2).

2.Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1):

и нормали (2):

у=1+2(х-2).

Ответ. Уравнение касательной: х + 2у — 4 = 0. Уравнение нормали:
2х — у — 3 = 0.

Производные высших порядков

Постановка задачи. Найти производную п-го порядка функции y=f(x).

План решения.

Производной n-го порядка функции у = f(x) называют производную от производной порядка (n — 1), т.е.

1.Дифференцируем функцию у = f(x) последовательно несколько
раз, пока не станет ясной формула для производной n-ого порядка.

2.Доказываем эту формулу методом математической индукции.
Для этого проверяем, что она справедлива при n = 1, т.е. дает правильное значение f’, и что дифференцирование выражения для эквивалентно замене n на n + 1.

Пример:

Найти производную n-го порядка функции

Решение:

1.Найдем последовательно

Проанализировав эти выражения, делаем предположение, что

2.Докажем эту формулу методом математической индукции.
Проверим, что она справедлива при n = 1, т.е.

Дифференцирование эквивалентно замене n на n + 1, т.е.

Ответ.

Формула Лейбница

Постановка задачи. Найти производную п-го порядка функции
у = u(x)v(x).

План решения. Если функции u(х) и v(x) имеют производные
до n-го порядка включительно, то справедливы следующие формулы:

где и — биномиальные коэффициенты.

Формула (1) для n-й производной произведения называется
формулой Лейбница.

Следовательно, для определения производной n-го порядка функции вида у = u(x)v(x) нужно вычислить все производные (до n-го
порядка включительно) каждой из функций u(х) и v(x), биномиальные коэффициенты и воспользоваться формулой Лейбница.

Пример:

Найти производную 4-го порядка функции

Решение:

1.Применяем формулу Лейбница (1). В данном случае

Имеем

Подставляя полученные результаты в формулу (1), получим

Ответ.

Вторая производная функции, заданной параметрически

Постановка задачи. Найти производную второго порядка
функции, заданной параметрически.

План решения. Если функция задана параметрически:

то ее первая производная определяется формулами

Дифференцируя по х как сложную функцию х и используя формулу для производной обратной функции, получим

Пример:

Найти производную второго порядка функции, заданной параметрически:

Решение:

1.Вычисляем

и подставляем эти значения в формулу (1):

Дифференцируя по х как сложную функцию х и используя формулу для производной обратной функции, получим

Ответ.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач. Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как “скорость изменения”, то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку более “быструю”, чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x, а беря производную от скорости изменения координаты y в зависимости от координаты x, мы находим ускорение.

Что такое производная функции

Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени – это скорость. Потому что скорость – это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости – ничто иное как ускорение, так как ускорение – это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле: , то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Таблица производных

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей – нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.

Правила дифференцирования

№ правила	Название правила	Правило дифференцирования
1	Производная постоянной величины	, С-постоянная
2	Производная суммы	.
3	Производная произведения постоянной на функцию	, С – постоянная
4	Производная переменной x
5	Производная произведения двух функций
6	Производная деления двух функций
7	Производная сложной функции

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Номер формулы	Название производной	Основные элементарные функции	Сложные функции
1	Производная натурального логарифма по x
2	Производная логарифмической функции по основанию a
3	Производная по x в степени n
4	Производная квадратного корня
5	Производная a в степени x
6	Производная e в степени x
7	Производная синуса
8	Производная косинуса
9	Производная тангенса
10	Производная котангенса
11	Производная арксинуса
12	Производная арккосинуса
13	Производная арктангенса
14	Производная арккотангенса

Примеры нахождения производных

Пример 1

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: .

Решение:

Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:

По формуле 3 “производная по x в степени n” (у нас в степени 2).

По правилам дифференцирования 3 и 4.

По первому правилу дифференцирования “производная постоянной равна нулю”

Итак, получим: .

Пример 2

Найти производную функции

Решение:

Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.

   

   

   

   

Ответ:

   

Пример 3

Найти производную функции

Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.

Ответ:

Пример 4

Найдите производную функции

Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.

   

   

Ответ:

   

Пример 5

Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции

Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто , а квадратная функция.

То есть мы имеем функцию вида .

Возьмем производную этой функции:

   

   

Ответ:

   

Пример 6

Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением м

Решение: скорость тела – это первая производная траектории по времени: . м/с.

Находим скорость тела:

   

   

Ответ: 3 м/с.

Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.