Как найти декремент подстановки

Знак подстановки

Говорят, что в
данной строке элементы i
и j
составляют инверсию, если i
> j,
но i
стоит в этой строке раньше.

(5
3 4 1 2) – число 5 образует 4 инверсии. Общее
число инверсий в строке равно 8.

Знак
подстановки

равен
(-1)^a,
где а – число инверсий в строке (α₁,
α₂,
…, α_n)

Пример
3.

Определить
знак подстановки

Решение.

Число
инверсий в строке (3 4 5 2 1 8 7 6) равно
2+2+2+1+0+2+1=10

так
как (-1)¹⁰=1,
то данная подстановка является четной.

Знак подстановки
можно определить и другим способом. Для
этого надо разложить подстановку в
произведение независимых циклов.

b
= (k₁-1)+(k₂-1)+…+(k_l-1)=k₁+k₂+…+k_l-S,
(5)

где
k₁
, k₂
, …, k_l
– длины циклов.

Тогда
знак равен (-1)^b

Пусть дана
подстановка n-й
степени и пусть s
есть число независимых циклов в её
разложении плюс число символом,
оставляемых ею на месте. Разность n
– s
называется декрементом этой подстановки.
Декремент равен числу действительно
перемещаемых символов, уменьшенному
на число независимых циклов, входящих
в разложение подстановки и равносилен
b
в формуле (5).

Замечание.
Четность подстановки совпадает с
четностью декремента этой подстановки.

Пример
4.

Определите
знак подстановки

с
помощью разложения подстановки в
произведение независимых циклов.

Решение.

Данная
подстановка раскладывается следующим
образом в произведение независимых
циклов.

b
= 3+2+2+1–4 = 4

(-1)⁴
= 1

Это
четная подстановка.

Умножение подстановок

Определение.
Произведением первой подстановки на
вторую называют последовательное
выполнение двух подстановок n-й
степени, приводящее к некоторой вполне
определенной третьей подстановке n-й
степени.

так,
если даны подстановки четвертой степени

то

Действительно,
при подстановке А символ 1 переходит в
3, но при В символ 3 переходит в 4, поэтому
при АВ символ 1 переходит в 4, и т. д.

Можно перемножить
лишь подстановки одинаковой степени.
Умножение подстановки n-й
степени при n
≥ 3некоммутативно. Действительно, для
рассмотренных выше подстановок А и В
произведение ВА имеет вид

т.
е. подстановка ВА отлична от подстановки
АВ. Такие примеры можно подобрать для
всех n
при n
≥ 3, хотя для некоторых пар подстановок
закон коммутативности случайно может
выполняться.

Умножение подстановок
ассоциативно, т. е. можно говорить о
произведении любого конечного числа
подстановок n-й
степени, взятых (ввиду некоммутативности)
в определенном порядке. В самом деле,
пусть даны подстановки А, В и С и пусть
символ i₁,
1 ≤ i₁
≤ n,
переходит при подстановке А в символ
i₂,
i₂при
подстановке В переходит в символ i₃,
а последний при подстановке С – в символ
i₄.
Тогда при подстановке АВ символ i₁
переходит в i₃,
при подстановке ВС символ i₂
переходит в i₄,
а поэтому как при (АВ)С, так и при А(ВС)
символ i₁
,будет переходить в символ i₄.

Очевидно, что
произведение любой подстановки А на
тождественную подстановку Е, а также
произведение Е на А, равно А:

АЕ=ЕА=А

Назовем,
наконец, обратной для подстановки А
такую подстановку А^-1
той же степени, что

АА^-1
= А^-1А
= Е

Легко
видеть, что обратной подстановкой для
подстановки

служит
подстановка

получающаяся
из А переменой мест верхней и нижней
строк.

Пример 5.

Найти
подстановку, обратную данной

Решение.

Подстановка
А^-1,
обратная подстановке А будет иметь вид

приведем
её к каноническому виду.

Пример
6.

Найти
порядок указанного элемента в группе
S_n,
n=5

Решение:

Наконец,
получили тождественную подстановку Е

Ответ:
6

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Содержание

Подстановки

проверено

Подстановка

Транспозиции и циклы

Определение 3. Циклической подстановкой²⁾, или циклом³⁾ называется такая подстановка , что при повторении ее достаточное число раз всякий из действительно перемещаемых ею символов может быть переведен в любой другой из этих символов. Для обозначения цикла используют запись $(iquadpi(i)quadldotsquadpi^{t-1}(i))$ , где $t$ — число действительно перемещаемых символов подстановки, которое называется длиной цикла⁴⁾.

Пример 3. В подстановке

$pi=begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\ 3 & 2 & 6 & 5 & 1 & 4 & 7 & 8end{pmatrix}$

действительно перемещаемыми символами являются 1, 3, 4, 5, 6. Выберем любой из них, например, 3. , . Поэтому цикл можно записать как .

Определение 4. Циклы называются независимыми⁵⁾, если они не имеют общих действительно перемещаемых символов.

Предложение 1. Любая подстановка из $S_n$ может быть разлжена в произведение попарно независимых циклов. Такое представление определено однозначно с точностью до порядка перемножения циклов.

Пример 4. $begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\ 3 & 5 & 1 & 2 & 4end{pmatrix}=(1quad 3)(2quad 5quad 4)$ — разложение подстановки в произведение попарно независимых циклов.

Определение 5. Цикл длины 2 называется транспозицией⁶⁾.

Предложение 2. Каждая подстановка может быть представлена в виде произведения транспозиций.

В отличие от представления в произведение попарно независимых циклов, представление в виде произведения транспозиций может не быть единственным.

Пример 5. Подстановка $begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\ 2 & 3 & 1 & 4end{pmatrix}$ может быть разложена в произведение транспозиций или .

Четность подстановки

См. также

Литература

Наверх

Источник

Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.1. Группа и связанные с ней понятия

Циклическая форма подстановок

Подстановки удобно записывать в циклической форме. При такой записи индексы, остающиеся на месте, обычно не пишутся. Так, подстановка a имеет следующие переходы индексов: 0 → 0, 1 → 4 → 2 → 1, 3
→ 3, 5 → 6 → 5. Следовательно, в циклической форме она запишется следующим образом:

а = = (0)(142)(3)(56) =

= (0)(142)(3)(56)(7)(8)… = (142)(56).

Считается, что индексы 7, 8 и т.д. так же, как 0 и 3, неявно присутствуют в подстановке
а, но тождественно переходят сами в себя. В связи с этим тождественную подстановку обозначают через единичный цикл: e = (0). Регулярные подстановки группы G имеют следующий циклический вид:

0 = (0),     1 = (01)(23)(45)(67),

2 = (02)(13)(46)(57),     3 = (03)(12)(47)(56),

4 = (0426)(1537),     5 = (0527)(1436),

6 = (0624)(1735),     7 = (0725)(1634).

Безразлично, с какой позиции записывать цикл:

(ij) = (ji),     (ijk) =
(jki) = (kij),     (ijkl) = (jkli) = … ,

поэтому

i₁ = (0123) = (1230) = (2301) = (3012),

a = (421)(56) = (421)(65) = (214)(56) = (214)(65),

6 = (6240)(1735) = (2406)(3517) = (4062)(3517).

Циклы одной и той же подстановки можно переставлять, т.е. они коммутируют внутри этой подстановки:

(ijk)(l)(mn) = (l)(ijk)(mn) = (mn)(jki)(l) =(nm)(kij)(l),

i₂ = (02)(13) = (13)(02),    a = (142)(56) = (56)(142),

6 = (1735)(0624),     4 = (3715)(4260).

Разложению подстановки на систему независимых циклов отвечает разложение этой подстановки на систему коммутирующих множителей:

i₂ = =

= ,

a = =

=
,

=

.

Элементарная циклическая подстановка, переставляющая два любых индекса i и j, называется транспозицией. Транспозиция обладает важным свойством: она обратна сама себе, т.е. (ij) = (ij)^–1, так как (ij)(ij)= e. Любую транспозицию (ij) можно представлять произведением смежных транспозиций по формуле:

(ij) = (j,j – 1)(j – 1, j – 2) …        (2.25)

… (i + 2, i + 1)(i, i + 1)(i + 1, i + 2) … (j – 2, j – 1)(j – 1, j);

например

(48) = (87)(76)(65)(54)(56)(67)(78).

А любой цикл может быть разложен на транспозиции, причем несколькими способами:

(ijk) = (ij)(ik) = (jk)(ji) = (ki)(kj),     (2.26)

(ijkl) = (ij)(ik)(il) = (jk)(jl)(ji) =
(jk)(jli) = (ik)(lij) = (ik)(li)(lj) = …;

например:

a = (142)(56) = (14)(12)(56) = (42)(41)(56) =

= (21)(24)(56) = (56)(14)(12),

6 = (0624)(1735) = (06)(02)(04)(17)(13)(15) =

= (26)(46)(06)(35)(37)(13) = …

Справедливость формул (2.25) и (2.26) проверяется путем непосредственного перемножения смежных транспозиций.

Если дана подстановка, представленная в циклическом виде, то обратная ей ищется путем обратной записи последовательности всех ее индексов:

a = (ghijk)(lmn),      a^–1 = (gkjih)(lnm);

например,

6 = (0624)(1735),     6^–1 = (0426)(1537) = 4.

Транспозиции, фигурирующие в формулах (2.25) и (2.26), связанные, так как имеют какой-либо общий индекс. Все связанные транспозиции не коммутируют и не могут быть переставлены местами. Если
a, b и c зависимые транспозиции, циклы или даже целые подстановки, то имеет место равенство:

abc = c^–1b^–1a^–1.

В частности, для связанных транспозиций имеем:

(ijkl)^–1 = ((ij)(ik)(il))^–1 =
((il)(ij)(ik))^–1 = (il)(ik)(ij) =
(lkji).

Более общий случай проиллюстрируем примером. Пусть дано следующее произведение подстановок:

x = c^–1af ³b^–2.

Чтобы найти x^–1, нужно исходное выражение записать в обратном порядке с противоположными показателями степеней:

x^–1 = b²f
^–3a^–1c.

Правильность нахождения обратного выражения проверяется так:

x · x^–1 = (c^–1a f ³ b^–2) · (b² f^–3 a^–1c) =

= (c^–1(a (f ³(b^–2b²)
f ^–3) a^–1)
c) = e.

Используя указанные свойства подстановок, записанных в циклическом виде, можно составить несколько полезных правил, которые сделают процедуру их перемножения почти механической. Вот некоторые из таких правил.

При умножении (слева или справа) смежной транспозиции на n-цикл длина последнего уменьшается на единицу и становится равной n – 1:

(abcdef…) · (cd) = (abdef…)(c),

(cd) · (abcdef…) = (abcef…)(d);

в частности,

(325614) · (56) = (32614)(5), (123) · (12) = (23)(1).

Более общее правило звучит так: произвольная транспозиция делит цикл на два несвязанных подцикла:

(abcdefgh…) · (cf) = (abfgh…)(cde),

(cf) · (abcdefgh…) = (abcgh…)(fde);

в частности,

(1234) · (13) = (12)(34),     (13) · (1234) = (14)(23).

Обратное правило, которое можно было бы назвать правилом склейки двух циклов, проиллюстрированы рис. 2.1.

Рис. 2.1

(vwxyz)(abcdefgh) · (yc) = (vwxcdefghabyz).

Склеивание циклов произойдет и в том случае, если в них имеются одинаковые индексы, которые удобно записать первыми (рис. 2.2):

(abc…) · (aij…) · (axy…) = (abc…ij…xy…).

Рис. 2.2

При совпадении первых двух индексов склейки уже не получится:

(abcd…) · (abij…) = (aij…) · (bcd…).

Когда эти индексы в циклах переставлены местами, склейка снова возможна, но уже с выпадением одного из индексов:

(abcd…) · (baij…) = (a)(bcd…ij…).

В некоторых случаях полезными понятиями являются четность, декремент и число инверсий подстановки а. Декрементом (D) подстановки а называется разность между числом всех индексов (n) и количеством циклов (m), включая циклы единичной длины.
Число инверсий (I) подсчитывается следующим образом: для каждого индекса нижней строки подстановки а определяется количество стоящих правее его меньших индексов, затем полученные результаты складываются. Четность подстановки a определяется четностью числа транспозиций (T), на которые можно разложить подстановку. Если декремент и число инверсий являются нечетными, то и число транспозиций также будет нечетным. Пусть задана подстановка:

a = =

= (1)(253)(4)(67) = (1)(25)(23)(4)(67).

В соответствии с определениями имеем:

T = 3, D = n – m = 7 – 4 = 3,

I = 0 + 3 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 5.

К сказанному добавим: тождественная подстановка e четна, любая транспозиция — нечетна. Произведение четных подстановок и двух нечетных всегда даст четную подстановку, а умножение четной и нечетной — нечетную. С подстановками можно встретиться и при решении задач прикладной математики, в частности, при вычислении определителей. Вспомним, как ищется определитель третьего порядка:

det A = =

= a₁₁a₂₂a₃₃ +
a₁₃a₂₁a₃₂ + a₁₂a₂₃a₃₁ –
a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₂a₂₁a₃₃ –
a₁₁a₂₃a₃₂.

Здесь индексы представляют собой шесть подстановок третьего порядка, причем перед четными подстановками стоит плюс, а перед нечетными – минус. Аналогично будут вычисляться определители 4-го, 5-го порядков, только число слагаемых будет равно 24, 120.