Как найти действительную часть мнимого числа - Autoru.top

Занятие 12.
Комплексные
числа.

12.1. Определение комплексных чисел в
алгебраической форме. Сравнение и
изображение комплексных чисел на
комплексной плоскости. Комплексное
сопряжение. Сложение, умножение, деление
комплексных чисел.

12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.

12.3. Тригонометрическая и показательная
формы записи комплексного числа.

12.4. Возведение в целую степень и извлечение
корня из комплексного числа.

Определение комплексных чисел в
алгебраической форме. Сравнение и
изображение комплексных чисел на
комплексной плоскости. Комплексное
сопряжение. Сложение, умножение, деление
комплексных чисел.

Комплексным числом в алгебраической
форме называется число

(1)

где

называется мнимой единицей и

— действительные числа:

называется действительной (вещественной)
частью;

— мнимой частью комплексного числа
.
Комплексные числа вида

называются чисто мнимыми числами.
Множество всех комплексных чисел
обозначается буквой
.

По определению,

и т.д.

Множество всех действительных чисел

является частью множества

:
.
С другой стороны, существуют комплексные
числа, не принадлежащие множеству
.
Например,

и
,
т.к.
.

Комплексные числа в алгебраической
форме естественным образом возникают
при решении квадратных уравнений с
отрицательным дискриминантом.

Пример 1. Решить уравнение
.

Решение.
,

т.к.
.

Следовательно, заданное квадратное
уравнение имеет комплексные корни

Пример 2. Найти действительную и
мнимую части комплексных чисел

Решение.

— соответственно вещественная и мнимая
части числа
,

Любое комплексное число

изображается вектором на комплексной
плоскости
,
представляющей плоскость с декартовой
системой координат
.
Начало вектора лежит в точке
,
а конец — в точке с координатами
(рис
1.) Ось
называется
вещественной осью, а ось

— мнимой осью комплексной плоскости
.

Рис. 1.

Комплексные числа

сравниваются между собой только знаками
.

.
Если же хотя бы одно из равенств:

нарушено, то
.
Записи типа

не имеют смысла.

По определению, комплексное число

называется комплексно сопряженным
числу
.
В этом случае пишут
.
Очевидно, что
.
Везде далее черта сверху над комплексным
числом будет означать комплексное
сопряжение.

Например,
.

Над комплексными числами можно выполнять
такие операции, как сложение (вычитание),
умножение, деление.

1. Сложение комплексных чисел

производится так:

Свойства операции сложения:

— свойство коммутативности;

— свойство ассоциативности.

Нетрудно видеть, что геометрически
сложение комплексных чисел

означает сложение отвечающих им на
плоскости

векторов по правилу параллелограмма.

Операция вычитание числа

из числа

производится так:

2. Умножение комплексных чисел

производится так:

Свойства операции умножения:

— свойство коммутативности;

— свойство ассоциативности;

— закон дистрибутивности.

3. Деление комплексных чисел

выполнимо только при

и производится так:

Пример 3. Найти
,
если
.

Решение.

1)
.(ош!)

2)
.(ош!)

3)
.(ош!)

4)
.

5)
.

Пример 4. Вычислить
,
если
.

Решение.

z, т.к.
.

.(ош!)

Нетрудно проверить (предлагается это
сделать самостоятельно) справедливость
следующих утверждений:

Модуль, аргумент комплексного числа.

Модуль комплексного числа

(модуль

обозначается
)
это — неотрицательное число
,
т.е.
.

Геометрический смысл

— длина вектора, представляющего число

на комплексной плоскости
.
Уравнение

определяет множество всех чисел

(векторов на
),
концы которых лежат на единичной
окружности
.

Аргумент комплексного числа

(аргумент

обозначается
)
это – угол

в радианах между вещественной осью

и числом

на комплексной плоскости
,
причем

положителен, если он отсчитывается от

до

против часовой стрелки, и

отрицателен, если

отсчитывается от оси

до

по часовой стрелке.

Таким образом, аргумент числа

определяется неоднозначно, с точностью
до слагаемого
,
где
.
Однозначно аргумент числа

определяется в пределах одного обхода
единичной окружности

на плоскости
.
Обычно требуется найти

в пределах интервала
,
такое значение называется главным
значением аргумента числа

и обозначается
.

и

числа

можно найти из уравнения
,
при этом обязательно нужно
учитывать, в какой четверти плоскости

лежит конец вектора

— точка
:

если

(1-я четверть плоскости
),
то
;

если

(2-я четверть плоскости
),
то;

если

(3-я четверть плоскости
),
то
;

если

(4-я четверть плоскости
),
то
.

Фактически, модуль и аргумент числа
,
это полярные координаты

точки

— конца вектора

на плоскости
.

Пример 5. Найти модуль и главное
значение аргумента чисел:

Решение.

1)
.

2)
.

4)
.

6)
.

Аргументы чисел
,
лежащих осях
,
разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной
плоскости
,
находятся сразу же по графическим
изображениям этих чисел на плоскости
.

Тригонометрическая и показательная
формы записи комплексного числа.
Умножение и деление комплексных чисел
в тригонометрической и показательной
формах записи.

Тригонометрическая форма записи
комплексного числа

имеет вид:

(2)

где
—
модуль,
—
аргумент комплексного числа
.
Такое представление комплексных чисел
вытекает из равенств
.

Показательная (экспоненциальная)
форма записи комплексного числа

имеет вид:

(3)

где
—
модуль,
—
аргумент числа
.
Возможность представления комплексных
чисел в показательной форме (3) вытекает
из тригонометрической формы (2) и формулы
Эйлера:

(4)

Эта формула доказывается в курсе ТФКП
(Теория функций комплексного переменного).

Пример 6. Найти тригонометрическую
и экспоненциальную формы записи
комплексных чисел:

из примера 5.

Решение. Воспользуемся результатами
примера 5, в котором найдены модули и
аргументы всех указанных чисел.

— тригонометрическая форма записи числа
,

— показательная (экспоненциальная)
форма записи числа
.

— тригонометрическая форма записи числа
,

— показательная (экспоненциальная)
форма записи числа
.

— тригонометрическая форма записи числа
,

— показательная (экспоненциальная)
форма записи числа
.

— тригонометрическая форма записи числа
,

— показательная (экспоненциальная)
форма записи числа
.

— тригонометрическая форма записи числа
,

— показательная (экспоненциальная)
форма записи числа
.

— тригонометрическая форма числа
,

— показательная (экспоненциальная)
форма числа
.

— тригонометрическая форма записи числа
,

— показательная (экспоненциальная)
форма числа
.

— тригонометрическая форма записи числа
,

— показательная (экспоненциальная)
форма записи числа
.

Показательная форма записи комплексных
чисел приводит к следующей геометрической
трактовке операций умножения и деления
комплексных чисел. Пусть

— показательные формы чисел
.

1.

При перемножении комплексных чисел
их модули перемножаются, а аргументы
складываются.

2.

При делении комплексного числа

на число

получается комплексное число
,
модуль

которого равен отношению модулей
,
а аргумент

— разности

аргументов чисел
.

Возведение в целую степень и извлечение
корня из комплексного числа.

По определению,

При возведении в целую степень
комплексного
числа
,
следует действовать так: сначала найти
модуль

и аргумент

этого числа; представить

в показательной форме
;
найти
,
выполнив следующую последовательность
действий

,
где
.
(5)

Замечание. Аргумент

числа

может не принадлежать интервалу
.
В этом случае следует по полученному
значению

найти главное значение

аргумента

числа
,
прибавляя (или вычитая) число

с таким значением
,
чтобы

принадлежало интервалу
.
После этого, нужно заменить в формулах
(5)

на
.

Пример 7. Найти

и
,
если
.

Решение.

1)
=
(см. число

из примера 6).

2)
,
где
.

Следовательно,

можно заменить на

и, значит,

,
где
.

3)
,
где
.

Заменим

на
.
Следовательно,

Извлечение корня
-й
степени

из комплексного числа

проводится по формуле Муавра-Лапласа

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Развитие понятия числа является
важнейшей сквозной методико-содержательной
линией школьного курса математики, проходящий в
той или иной степени через все классы средней
школы. В приложении «Математика» неоднократно
публиковались статьи о методике изучения
различных числовых систем в школе. В частности, в
1995–96 гг. были опубликованы три лекции академика
РАО, профессора Г. Глейзера:

Лекция 1. Натуральные числа,
1995, № 47.
Лекция 2. Рациональные числа, 1995, № 48.
Лекция 3. Действительные числа, 1996, № 3.
Публикуемая ниже статья завершает цикл этих
лекций.

Введение

Начнем с нескольких
напоминаний.

Одна из причин введения
рациональных чисел обусловлена требованием,
чтобы всякое линейное уравнение ax = b (где a № 0) было
разрешимо. В области целых чисел линейное
уравнение разрешимо лишь в том случае, когда b
делится нацело на a.

Одна из причин расширения
множества рациональных чисел до множества
действительных чисел была связана с
разрешимостью квадратных уравнений, например,
уравнения вида x² = 2. На множестве
рациональных чисел это уравнение не разрешимо,
так как среди рациональных нет числа, квадрат
которого равен двум. Как известно, – число иррациональное. На
множестве же действительных чисел уравнение x²
= 2 разрешимо, оно имеет два решения x₁ = и x₂ = – .

И все же нельзя считать, что на
множестве действительных чисел разрешимы все
квадратные уравнения. Например, квадратное
уравнение x² = – 1 на множестве
действительных чисел решений не имеет, так как
среди действительных чисел нет такого числа,
квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных
чисел явно недостаточно, чтобы построить такую
теорию квадратных уравнений, в рамках которой
каждое квадратное уравнение было бы разрешимо.
Это соображение приводит к необходимости
вводить новые числа и расширять множество
действительных чисел до множества комплексных
чисел, в котором было бы разрешимо любое
квадратное уравнение.

Вспомним о едином принципе
расширения числовых систем и поступим в
соответствии с этим принципом.

Если множество А расширяется
до множества В, то должны быть выполнены
следующие условия:

1. Множество А есть
подмножество В.
2. Отношения элементов множества А (в частности,
операции над ними) определяются также и для
элементов множества В; смысл этих отношений для
элементов множества А, рассматриваемых уже как
элементы множества В, должен совпадать с тем,
какой они имели в А до расширения.
3. В множестве В должна выполняться операция,
которая в А была невыполнима или не всегда
выполнима.
4. Расширение В должно быть минимальным из всех
расширений данного множества А, обладающих
первыми тремя свойствами, причем это расширение
В должно определяться множеством А однозначно (с
точностью до изоморфизма).

Итак, расширяя множество
действительных чисел до множества новых чисел,
названных комплексными, необходимо, чтобы:

а) комплексные числа
подчинялись основным свойствам действительных
чисел, в частности, коммутативному,
ассоциативному и дистрибутивному законам;
б) в новом числовом множестве были разрешимы
любые квадратные уравнения.

Множество действительных
чисел недостаточно обширно, чтобы в нем были бы
разрешимы все квадратные уравнения. Поэтому,
расширяя множество действительных чисел до
множества комплексных чисел, мы потребуем, чтобы
в нем можно было бы построить полную и
законченную теорию квадратных уравнений.
Другими словами, мы расширим множество
действительных чисел до такого множества, в
котором можно будет решить любое квадратное
уравнение. Так, уравнение x² = – 1 не имеет
решений во множестве действительных чисел
потому, что квадрат действительного числа не
может быть отрицательным. В новом числовом
множестве оно должно иметь решение. Для этого
вводится такой специальный символ i, называемый
мнимой единицей, квадрат которого равен – 1.

Ниже будет показано, что
введение этого символа позволит осуществить
расширение множества действительных чисел,
пополнив его мнимыми числами вида bi (где b –
действительное число) таким образом, чтобы в
новом числовом множестве (множестве комплексных
чисел) при сохранении основных законов
действительных чисел были разрешимы любые
квадратные уравнения.

Основные
определения. Операции над комплексными числами

1. Существует элемент i (мнимая
единица) такой, что i² = – 1.

2. Символ a + bi называют
комплексным числом с действительной частью a и
мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b
– коэффициент мнимой части.

Комплексное число a + 0i
отождествляется с действительным числом a, т.е. a +
0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b № 0) называют чисто
мнимыми.

Например, комплексное число 2 +
3i имеет действительную часть – действительное
число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 –
коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 – 3i имеет
действительную часть число 2, мнимую часть – 3i,
число – 3 – коэффициент при мнимой части.

3. Правило равенства. Два
комплексных числа равны тогда и только тогда,
когда равны их действительные части и равны
коэффициенты мнимых частей.

Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и,
обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.

4. Правило сложения и
вычитания комплексных чисел.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b +
d)i.

Например:

(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i
= 7 + 4i;

(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1)
+ (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;

(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1)
+ (3 + (– 3))i =

= – 1 + 0i = – 1.

Вычитание комплексных чисел
определяется как операция, обратная сложению, и
выполняется по формуле:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b
– d)i.

Например:

(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) +
(– 8 – 3)i = 1 – 11i;

(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) +
((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

5. Правило умножения
комплексных чисел.

(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad +
bc)i.

Из определений 4 и 5 следует,
что операции сложения, вычитания и умножения над
комплексными числами осуществляются так, как
будто мы выполняем операции над многочленами,
однако с условием, что i² = – 1.

Действительно: (a + bi)(c + di) = ac + adi
+ bdi² = (ac – bd) + (ad + bc)i.

Например, (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i +
6i + 15i² = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; (2 + 3i)(2 – 3i) = 4
– 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Из второго примера следует,
что результатом сложения, вычитания,
произведения двух комплексных чисел может быть
число действительное. В частности, при умножении
двух комплексных чисел a + bi и a – bi, называемых
сопряженными комплексными числами, в результате
получается действительное число, равное сумме
квадратов действительной части и коэффициента
при мнимой части. Действительно:

(a + bi)(a – bi) = a² –
abi + abi – b²i² = a² + b².

Произведение двух чисто
мнимых чисел – действительное число.

Например: 5i•3i = 15i² = –
15; – 2i•3i = – 6i² = 6, и вообще bi•di = bdi²
= – bd.

6. Деление комплексного числа a
+ bi на комплексное число c + di № 0 определяется как операция
обратная умножению и выполняется по формуле:

Формула теряет смысл, если c + di
= 0, так как тогда c² + d² = 0, т. е. деление
на нуль и во множестве комплексных чисел
исключается.

Обычно деление комплексных
чисел выполняют путем умножения делимого и
делителя на число, сопряженное делителю.

Например,

Опираясь на введенные
определения нетрудно проверить, что для
комплексных чисел справедливы коммутативный,
ассоциативный и дистрибудивный законы. Кроме
того, применение операций сложения, умножения,
вычитания и деления к двум комплексным числам
снова приводит к комплексным числам. Тем самым
можно утверждать, что множество комплексных
чисел образует поле. При этом, так как
комплексное число a + bi при b = 0 отождествляется с
действительным числом a = a + 0i, то поле комплексных
чисел включает поле действительных чисел в
качестве подмножества.

Приведем классификацию
комплексных чисел:

Решение квадратных
уравнений

Одна из причин введения
комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться
разрешимости любого квадратного уравнения, в
частности уравнения

x² = – 1.

Покажем, что расширив поле
действительных чисел до поля комплексных чисел,
мы получили поле, в котором каждое квадратное
уравнение разрешимо, т.е. имеет решение. Так,
уравнение x² = – 1 имеет два решения: x₁
= i, x₂ = – i.

Это нетрудно установить
проверкой: i•i = i² = – 1, (– i)•(– i) = i²
= – 1.

Перейдем теперь к вопросу о
решении полного квадратного уравнения.
Квадратным уравнением называют уравнение вида:

ax² + bx + c = 0 (a № 0),

где x – неизвестная, a, b, c –
действительные числа, соответственно первый,
второй коэффициенты и свободный член, причем a № 0. Решим это
уравнение, выполнив над ним ряд несложных
преобразований.

· Разделим все члены
уравнения на a № 0 и перенесем свободный член в
правую часть уравнения:

Теперь можно исследовать
полученное решение. Оно зависит от значения
подкоренного выражения, называемого
дискриминантом квадратного уравнения. Если b²
– 4ac > 0, то
есть действительное число и квадратное
уравнение имеет действительные корни. Если же – мнимое число,
квадратное уравнение имеет мнимые корни.

Результаты
исследования представлены ниже в таблице:

Итак, введение комплексных
чисел позволяет разработать полную теорию
квадратных уравнений. В поле комплексных чисел
разрешимо любое квадратное уравнение.

Примеры.

1. Решите уравнение x² – 2x
– 8 = 0.

Решение. Найдем
дискриминант D = b² – 4ac = (– 2)² –
4•1•(– = 36 > 0.

Уравнение имеет два
действительных корня:

2. Решите уравнение x² + 6x +
9 = 0.

Решение. D = 6² – 4•1•9 = 0,
уравнение имеет два равных действительных корня:

3. Решите уравнение x² – 4x
+ 5 = 0.

Решение. D = 16 – 4•1•5 = – 4 < 0,
уравнение имеет мнимые корни:

Геометрическая
интерпретация комплексных чисел

Известно, что отрицательные
числа были введены в связи с решением линейных
уравнений с одной переменной. В конкретных
задачах отрицательный ответ истолковывался как
значение направленной величины (положительные и
отрицательные температуры, передвижения в
противоположных направлениях, прибыль и долг и
т.п.). Однако еще в ХVI веке многие математики не
признавали отрицательных чисел. Только с
введением координатной прямой и координатной
плоскости отчетливо проявился смысл
отрицательных чисел, и они стали такими же
«равноправными» и понятными, как и натуральные
числа. Аналогично обстоит дело с комплексными
числами. Смысл их отчетливо проявляется при
введении их геометрической интерпретации.

Геометрическая
интерпретация комплексных чисел состоит в том,
что каждому комплексному числу z = x + yi ставится в
соответствие точка (x, y) координатной плоскости
таким образом, что действительная часть
комплексного числа представляет собой абсциссу,
а коэффициент при мнимой части – ординату точки.

Таким образом,
устанавливается взаимно однозначное
соответствие между множеством комплексных чисел
и множеством точек координатной плоскости.
Подобным образом было установлено соответствие
между множеством действительных чисел и
множеством точек числовой прямой.

На рисунке 1 изображена
координатная плоскость. Числу 2 + 3i соответствует
точка A(2, 3) плоскости; числу 2 – 3i – точка B(2, – 3);
числу – 2 + 3i – точка C(– 2, 3); числу – 2 – 3i – точка
D(– 2; – 3). Числу 3i соответствует точка E(0, 3); а
числу – 3i – точка F(0, – 3). Итак, каждому
комплексному числу соответствует единственная
точка координатной плоскости и, обратно, каждой
точке координатной плоскости соответствует
единственное комплексное число, при этом двум
различным комплексным числам соответствуют две
различные точки координатной плоскости. Ясно,
что действительным числам x + 0i соответствуют
точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам 0 + yi, где y
№ 0 –
точки оси ординат. Поэтому ось Oy называют мнимой,
а ось Ox – действительной. Сопряженным
комплексным числам соответствуют точки, симметричные
относительно оси абсцисс (рис. 2).

Тригонометрическая
форма комплексного числа

Точка координатной плоскости,
соответствующая комплексному числу z = x + yi, может
быть указана по-другому: ее координатами могут
быть расстояние r от начала координат и величина
угла j между положительной полуосью Ox и лучом Oz
(рис. 3).

Расстояние r от начала системы
координат до точки, соответствующей
комплексному числу z, называют модулем этого
числа. Тогда по теореме Пифагора (рис. 2)
имеем: r² = x² + y² = (x + yi)(x – yi)
= z•z.

Отсюда найдем модуль
комплексного числа как арифметическое
(неотрицательное) значение корня:

Если комплексное число z
изображается точкой оси абсцисс (т.е. является
действительным числом), то его модуль совпадает с
абсолютным значением. Все комплексные числа,
имеющие модуль 1, изображаются точками единичной
окружности – окружности с центром в начале
системы координат, радиуса 1 (рис. 4).

Угол j между положительной полуосью Ox и
лучом Oz называют аргументом комплексного числа z
= x + yi (рис. 3).

Сопряженные комплексные
числа имеют
один и тот же модуль и аргументы, отличающиеся знаком: j = – j.

В отличие от модуля аргумент
комплексного числа определяется неоднозначно.
Аргумент одного и того же комплексного числа
может иметь бесконечно много значений,
отличающихся друг от друга на число, кратное 360°.
Например, число z (рис. 3) имеет модуль r, аргумент
же этого числа может принимать значения j; j + 360°; j + 720°; j + 1080°; … или
значения j – 360°; j –720°; j – 1080°; … Данное значение модуля r и любое из
приведенных выше значений аргумента определяют
одну и ту же точку плоскости, соответствующую
числу z.

Пусть точке с координатами (x;
y) соответствует комплексное число z = x + yi. Запишем
это комплексное число через его модуль и
аргумент. Воспользуемся определением
тригонометрических функций синуса и косинуса
(рис. 3):

x = r cos j; y = r sin j.

Тогда число z выражается через
модуль и аргумент следующим образом: z = x + yi =
r(cos j + i sin
j).

Выражение z = r(cos j + i sin j) называют
тригонометрической формой комплексного числа, в
отличии от выражения z = x + yi, называемого
алгебраической формой комплексного числа.

Приведем примеры обращения
комплексных чисел из алгебраической формы в
тригонометрическую:

Для числа i имеем r = 1, j = 90°, поэтому
i = 1(cos 90° + i sin 90°);

Для числа – 1 имеем r = 1, j = 180°,
поэтому – 1 = 1(cos 180° + i sin 180°);

Для числа 1 + i имеем поэтому

Для числа имеем r = 1, j = 45°, поэтому

Для числа имеем r = 2, j = 120°, поэтому

Справедливость приведенных
равенств нетрудно проверить путем подстановки в
их правой части числовых значений
тригонометрических функций. Итак, для того, чтобы
комплексное число, заданное в алгебраической
форме, обратить в тригонометрическую форму,
необходимо найти его модуль r и аргумент j,
пользуясь формулами:

Комплексные числа и
векторы

Существует и другой способ
геометрической интерпретации комплексных чисел.
Каждой точке (x , y) координатной плоскости,
изображающей комплексное число
z = x + yi, соответствует единственный вектор,
отложенный от начала системы координат и обратно
(рис. 5). При этом двум различным точкам
координатной плоскости будут соответствовать
два таких различных вектора.

Таким образом, может быть
установлено взаимно однозначное соответствие
между множеством точек координатной плоскости
(комплексными числами) и множеством векторов,
отложенных от начала системы координат.

Если z = x + yi (рис. 5), то вектор , отложенный от
начала системы координат до точки, изображающей
число z, будет иметь координаты (x; y). Известно, что
равные векторы имеют равные координаты.

Итак, мы рассмотрели два
способа интерпретации комплексных чисел: их
можно изображать либо точками координатной
плоскости, либо векторами, отложенными от начала
системы координат. При этом любые два равных
вектора (имеющих одно и то же направление и
равные длины) изображают одно и то же комплексное
число, а векторы, отличные либо длиной, либо
направлением, изображают разные числа. На
рисунке 6 с помощью векторов изображены
различные комплексные числа: изображает число 2 + 0i; – число – 3 + 0i; – число 0 + i; – число 0 + 2i; – число 0 – 3i; – число 3 + 2i; – число – 1 – 2i.

Ясно, что любой ненулевой
вектор, лежащий на оси Oy (или параллельный ей),
изображает чисто мнимое число yi, причем y > 0,
если направление вектора совпадает с
направлением оси, y < 0, если направление вектора
противоположно направлению оси. Вследствие
этого ось Oy называют мнимой. Все векторы, лежащие
на оси Ox (или параллельные ей) изображают
действительные числа, поэтому ее называют
действительной осью.

Векторная интерпретация
комплексных чисел позволяет уяснить
геометрический смысл операций над комплексными
числами. Например, сумма двух комплексных чисел 2
+ i и 1 + 4i равна 3 + 5i. Каждое из слагаемых изображает
соответствующий вектор, отложенный от начала O
координат (рис. 7):

= 2 + i; = 1 + 4i.

Сумма этих векторов – вектор = 3 + 5i, изображается
диагональю параллелограмма, построенного на
векторах и .

Для того, чтобы лучше уяснить
себе геометрический смысл умножения двух
комплексных чисел, воспользуемся их
тригонометрической формой. Пусть векторы изображают
соответственно комплексные числа:

соответственно модули этих
чисел, а j₁
и j₂
– их аргументы. Найдем произведение этих чисел:

z₁z₂ = r₁r₂(cosj₁ + i sin j₁)(cos j₂ + i sin j₂) = r₁r₂(cos
j₁cos
j₂
– sin j₁
sin j₂)
+ i = (cos j₁sin
j₂ +
sin j₁cos
j₂).

Воспользуемся известными из
школы теоремами сложения синуса и косинуса:

cos j₁cos j₂ – sin j₁ sin j₂ = cos(j₁ + j₂);

cos j₁sin j₂ + sin j₁cos j₂ = sin(j₁ + j₂).

Тогда произведение данных
комплексных чисел равно комплексному числу:

z₁z₂ = r₁r₂(cos(j₁ + j₂) + isin(j₁ + j₂)).

Последнее соотношение
позволяет сформулировать правило умножения
комплексных чисел: при умножении двух
комплексных чисел их модули перемножаются, а их
аргументы складываются. Это проиллюстрировано
на рисунке 8.

Ясно, что произведение
комплексных чисел связано с поворотом
(вращением). Так, произведение z₁z₂
изображается вектором представляющим собой образ вектора , повернутого на
угол j₂
(или образ вектора , повернутого на угол j₁), при этом модуль вектора
равен произведению модулей данных векторов.

Связь произведения
комплексных чисел с вращением становится более
наглядной, если рассматривать произведение
различных комплексных чисел (векторов) на
комплексное число i, у которого модуль равен 1, а
аргумент 90°. Например, найдем произведение
комплексных чисел z₁ = 1 + i и z₂ = i.

z = z₁z₂ = (1 +
i)i = i + i² = – 1 + i.

Числа z₁ и z₂
соответственно изображают векторы и (рис.9). Мы
видим, что модуль комплексного числа z равен
модулю числа z₁:

Аргумент же комплексного
числа z равен 45° + 90° = 135°, в то время, как аргумент
комплексного числа z₁ равен 45°. Т.е. вектор ,
изображающий число z, есть образ вектора ,
изображающего число z₁ при повороте на 90°.

Источник

Введение в комлексные числа

Время на прочтение
2 мин

Количество просмотров 28K

Привет!

Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.

А школьники могут что-то новое узнать
// Всех кого заинтересовал прошу под кат.

Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как

$x+iy$

Где x, y вещественные числа(т.е привычные всем числа), а i — число, для которого
выполняется равенство

Кстати, -i в квадрате тоже дает -1.
Так что утверждение, что если дискрименант отрицательный, то корней нет это вранье.
А точнее оно выполняется на множестве вещественных чисел.

Т.е можем записать:

x называется действительной частью, y — мнимой.

Это алгебраическая форма записи комплексного числа.

Существует также тригонометрическая форма записи комплексного числа z:

С введением, пожалуй, все.

Переходим к самому интересному — операциям над комплексными числами!
Для начала рассмотрим сложение.

У нас есть два таких комплексных числа:

Как же их сложить?
Очень просто: сложить действительную и мнимую части.
Получим число:

Все просто, не так ли?
Вычитание выполняется аналогично сложению.
Нужно просто вычесть из действительной части 1 числа действительную часть 2 числа,
а потом проделать тоже с мнимой частью.
Получим число

Умножение выполняется вот так:

Напомню, x это действительная часть, y — мнимая.
Деление выполняется вот так:

Кстати, поддержка комплексных чисел есть в стандартной библиотеке Python:

z1=1+2j
z2=3+5j
z3=z1+z2
print(z3) #4+7i

Вместо i используется j.
Кстати, это потому что Python принял конвенцию инженеров-электриков, у которых
буква i обозначает электрический ток.
Задавайте свой вопросы, если они есть, в комментариях.
Надеюсь, вы узнали для себя что-то новое.

UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении.
Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации
(подъемная сила крыла) и в электричестве.
Как видете, очень нужная вещь

Источник

Журнал Потенциал

Какие числа бывают[править]

Прежде, чем изучать новые, комплексные числа, давайте вспомним числа,
которые мы знаем.
Самые простые числа — это натуральные, они обозначаются буквой :

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

С помощью этих чисел мы считаем разные объекты.
Натуральные числа мы можем складывать и умножать.
Целые числа, обозначаемые , расширяют множество натуральных
чисел — добавляют нуль и отрицательные числа. Наличие
отрицательных чисел позволяет нам вычитать любое число из
любого, тогда как «живя» в натуральных числах, при вычитании мы
должны были всегда следить, чтобы из большего вычиталось меньшее.
Вот примеры целых чисел:

Чтобы рассматривать части целого (например, три восьмых от пирога), были придуманы
дробные числа . Их также называют рациональными:

$,!{frac {3}{8}},;-{frac {7}{2}},;{frac {1}{2}},;-{frac {2}{3}};ldots$

Кроме сложения, вычитания, умножения рациональные числа можно делить друг на друга
и снова получать рациональное число (конечно, на ноль делить при этом нельзя).
Следующее множество чисел, расширяющее множество рациональных чисел — это
действительные (вещественные) числа .

Задача 1[8] Задача Архимеда[править]

Докажите, что существуют иррациональные числа.

Рисунок 1. Длина диагонали единичного квадрата иррациональна

Решение.

Замечание: этот подход не является строгим в современном смысле. Нужно дать определение вещественных чисел и доказать, что среди них вообще существуют иррациональные числа. Например, в Фихтенгольце это делается с помощью Дедекиндового сечения, а уж потом доказывается, что корень из двух является примером такого числа.

Точнее эта задача звучит так: докажите, что есть отрезки, длина которых не является рациональным
числом. Рассмотрим диагональ единичного квадрата. По теореме Пифагора, квадрат её длины есть

$,!c^{2}=1^{2}+1^{2}=2,$

то есть

Докажем, что это число не рационально. Пусть это не так (применяем метод доказательства от противного).
Тогда есть такие натуральные
числа ,!m и ,!n , что

$,!{sqrt {2}}={frac {m}{n}}$

— несократимая дробь. Возведем равенство в квадрат и умножим на
$,!n^{2}$ :

$,!2={frac {m^{2}}{n^{2}}},$
$,!2n^{2}=m^{2}.$

Отсюда следует, что ,!m четное, то есть $,!m=2m_{1}$ , где $,!m_{1}$ какое-то
натуральное число. Получаем:

$,!2n^{2}=(2m_{1})^{2},$
$,!2n^{2}=4m_{1}^{2},$
$,!n^{2}=2m_{1}^{2}.$

Из последнего уравнения следует, что ,!n тоже четное число.
Итак, мы получили, что ,!m и ,!n четные числа. Но вначале мы предположили,
что $,!{frac {m}{n}}$ несократимая дробь. Таким образом, получили противоречие.
А значит, наше предположение, что существуют натуральные ,!m и ,!n такие, что

$,!{sqrt {2}}={frac {m}{n}},$

неверно.
Конец решения.

Действительные числа очень обширны, с их помощью можно описывать любое количество вещества,
любой объём жидкости, длину любого отрезка. Действительные числа можно складывать,
вычитать, умножать, делить (только на ноль делить нельзя). Кроме того, можно брать корни
из неотрицательных чисел и вычислять самые разные функции, например, синус, косинус, экспоненту и др.
Действительные числа можно представлять в виде направленной прямой с выделенной точкой ,!O .
Точке ,!O соответствует число ,!0 . Справа находятся положительные числа, а слева — отрицательные.
Такое представление называется «числовой осью»:

Задача 2[8][править]

а) Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональна?
Если да, то приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых рациональна.

б) Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых иррациональна.
Докажите, что сумма действительно иррациональна.

Решение

а) ;

б) .

Задача 3[9][править]

Докажите, что следующие числа не рациональны

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Решение:

а) если рационально, то и рационально, а это не так;

б) так же, как и в а);

в) возведите число в квадрат, и докажите, что результат не рационален.

г) аналогично доказательству иррациональности ;
из следует, что и ,!m и ,!n делятся на ,!7 ;

Кроме корней натуральных чисел и, вообще, корней различных многочленов
с целочисленными коэффициентами действительные числа содержат бесконечное множество
трансцендентных чисел.
Например, число ,!pi , равное половине длины единичной окружности, является трансцендентным числом.
Число $,!{sqrt {2}}^{{{sqrt {2}}}}$ также является трансцендентным.
Трансцендентные числа — это числа, которые
не являются корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами.
Доказательство того, что есть трансцендентные числа, довольно сложное
и мы углубляться в эту тему не будем.

Суть в том, что действительные числа содержат все возможные длины —
какой бы кусочек веревки вы не отрезали, длина его всегда будет действительным числом.
Действительные числа представляют собой полноценный набор чисел,
которого, кажется, должно хватить для любых нужд. Но это не так.
Существует ещё одно расширение чисел — комплексные числа.
В комплексных числах можно брать корни из отрицательных чисел.
Комплексные числа хороши ещё тем,
что любой многочлен имеет среди этих чисел корень. Например, уравнения

$,!x^{2}+1=0,quad x^{2}-2x+2=0,quad x^{6}+10=0$

не имеют корней в действительных числах, зато в комплексных числах имеют.

Что такое комплексные числа?[править]

Знакомство с мнимой единицей [править]

Число называется мнимой единицей. Комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице: $,!i^{2}=-1.$ . Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду

Рисунок 2. Комплексная плоскость. Каждая точка на плоскости соответствует
комплексному числу. Координаты ,!a и ,!b
соответствуют действительной и мнимой части комплексного числа.

Примеры вычислений с мнимой единицей:

Задача 4[8][править]

Вычислите следующие выражения:

а) $,!(1-i)^{2}$ ;

б) $,!i^{5}$ ;

в) $,!(1+{sqrt {3}}i)^{2}$ ;

г) ;

д) $,!(1+{sqrt {3}}i)^{3}$ ;

е) $,!({sqrt {3}}+i)^{3}$ .

Решение

а) ,!-2i ;

б) ,!i ;

в) ;

г) ,!13 ;

д) ,!-8 ;

е) ,!8i .

Определение 1

Таким образом, комплексное число задается двумя действительными числами.
Если понимать эти числа как декартовы координаты, то
получим естественное соответствие комплексных чисел и точек на плоскости
(рис. 2).

Если в случае действительных чисел мы имели числовую прямую, то в случае комплексных чисел
получаем числовую плоскость, которая называется комплексной плоскостью.

Задача 5[8][править]

Вычислите:

а) $,!(-i)^{2}$ ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Решение

а) ,!-1 ;

б) ,!9+2i ;

в) ;

г) ,!2 ;

д) ,!12-5i ;

е) .

Задача 6[9][править]

Вычислите:

а) ;

б) ;

в) $,!({sqrt {3}}-i)^{3}$ ;

г) $,!(1-{sqrt {3}}i)^{6}$ ;

д) ;

Решение:

а) ;

б) ,!4i ;

в) ,!-8i ;

г) ,!64 ;

д) ,!4 ;

Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются так,
как если бы мнимая единица ,!i была переменной (а комплексные числа — многочленами от этой переменной),
при этом $,!i^{2}=-1$ .

Задача 7[9][править]

Докажите, что любой многочлен от ,!i можно свести к линейному двучлену .

Задача 8[8][править]

Вычислите:
а) $,!(1+i)^{2}$ ;
б) $,!(1+i)^{{10}}$ ;
в) $,!(1-i)^{{101}}$ .

Решение

а) ,!2i ;

б) $,!2^{5}i$ ;

в) $,!2^{{50}}(i-1)$ .

Задача 9[8][править]

Найдите комплексное число ,!z такое, что

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

Подсказка

Пусть

. Тогда из

следует

Задача 10[9][править]

Найдите два комплексных числа, сумма и произведение которых равны 2.

Задача 11[9][править]

Найдите сумму $,!1+i+i^{2}+ldots +i^{{100}}$ .

Решение: ,!1 .

Подсказка:

Чему равны частичные суммы ,!1+i , $,!1+i+i^{2}$ , $,!1+i+i^{2}+i^{{3}}$ , $,!1+i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$ ?

Задача 12[9][править]

Найдите $,!(1+i{sqrt {3}})^{{30}}$ .

Решение: $,!2^{{30}}$ .

Подсказка:

Чему равно $,!(1+i{sqrt {3}})^{3}$ ?

Задача 13[9][править]

Найдите все , для которых верно равенство $,!z^{3}=1$ .

Решение:

,!1 ,
$,!-{frac {1}{2}}-{frac {{sqrt {3}}}{2}}i$ ,
$,!-{frac {1}{2}}+{frac {{sqrt {3}}}{2}}i$ .

Подсказка:

$,!(-1+{sqrt {3}}i)^{3}-8$ .

Задача 14[8][править]

Проверьте правильность следующих утверждений:

а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.

б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.

в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.

г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.

Задача 15[8][править]

Найдите число ,!z , квадрат которого есть чисто мнимое число.

Решение

,!1+i , ,!1-i .

Задача 16[8][править]

Найдите число ,!z , отличное от ,!2 и ,!-2 , такое, что $,!z^{4}=16$ .

Решение

,!2i и ,!-2i .

Задача 17[9][править]

Найдите число, отличное от ,!-2 , куб которого равен ,!-8 .

Решение

и .

Задача 18[10][править]

Найдите (отметьте) на комплексной плоскости все числа ,
квадрат которых равен

a) чисто мнимому числу;

б) действительному числу;

в) действительному положительному числу.

Решение:

а) — две пересекающиеся прямые ,!a=b , ,!a=-b ;

б) или — две пересекающиеся прямые ,!a=0 ,
,!b=0 ; в) — одна прямая ,!b=0 .

Cопряженные числа. Модуль. Деление[править]

Cопряженные числа[править]

Определение 3

Пусть

Тогда число

называется комплексно-сопряженным или просто сопряженным к числу ,!z .

Комплексное число ,!z и комплексно-сопряженное к нему число
отличаются знаком мнимой части, действительная часть у них одинаковая:

Задача 19[7][править]

Докажите, что $,!(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ .

Задача 20[8][править]

Найдите, чему равны выражения
а) ;

б) ;
в)
для .

Решение

а) ; б) ,!8i ; в) ,!25 .

Задача 21[9][править]

Докажите тождества:

Задача 22[9][править]

Докажите, что

$,!overline {z^{n}}=(overline {z})^{n}.$

Подсказка Используйте задачу 21 и метод математической индукции.

Задача 23[9][править]

Пусть ,!P(z) — многочлен от ,!z . Докажите, что

Задача 24[8][править]

Докажите, что числа и действительные.

Задача 25[9][править]

Докажите, что многочлен от ,!z равный

$,!(z-z_{0})(z-overline {z_{0}}),$

где $,!z_{0}$ — произвольное комплексное число, имеет действительные коэффициенты
(если раскрыть скобки и привести подобные).

Задача 26[9][править]

Докажите, что если комплексное число $,!z_{0}$ является корнем трехчлена $,!ax^{2}+bx+c$ , где ,!a,b и ,!c
— действительные числа, то $,!overline {z_{0}}$ тоже является корнем.

Задача 27[9][править]

Вычислите число $,!(1+i)^{{10}}cdot overline {(1+i)^{{10}}}$ .

Решение

$,!2^{{10}}$ .

Задача 28[9][править]

Найдите целые ,!a и ,!b такие, что

а) $,!(1+{sqrt {2}})^{3}=a+b{sqrt {2}}$ ;
б) $,!(1-{sqrt {2}})^{3}=a+b{sqrt {2}}$ .
Как отличаются ответы для а) и б)?

Задача 29[9][править]

Найдите целые ,!a и ,!b такие, что

а) $,!(1+2i)^{3}=a+bi$ ;
б) $,!(1-2i)^{3}=a+bi$ .
Как отличаются ответы для а) и б)?

Задача 30[9][править]

Даны числа и .
Докажите, что , , $,!alpha ^{n}+beta ^{n}$ целые числа при натуральном ,!n .
Найдите $,!alpha ^{3}+beta ^{3}$ .

Решение

$,!alpha ^{3}+beta ^{3}=2(4^{3}+3cdot 4cdot (2{sqrt {3}})^{2})=416$ .
Подсказка При решении можно использовать формулу

$,!(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.$

Чему равно $,!(a+b)^{3}+(a-b)^{3}$ ?

Задача 31[9][править]

Число $,!(1+{sqrt {3}})^{3}+(1-{sqrt {3}})^{3}$ целое. Найдите его.

Решение

,!20 .

Задача 32[9][править]

Число $,!(1+{sqrt {3}}i)^{3}+(1-{sqrt {3}}i)^{3}$ целое. Найдите его.

Решение

,!-16 .

Задача 33[9][править]

Даны два действительных числа ,!alpha и ,!beta такие, что и — целые числа.
Докажите, что $,!alpha ^{n}+beta ^{n}$ будет целым числом при любом натуральном ,!n .

Задача 34[9][править]

Даны два комплексных числа ,!alpha и ,!beta такие, что и — действительные числа.
Докажите, что $,!alpha ^{n}+beta ^{n}$ будет действительным числом при любом натуральном ,!n .

Задача 35[8][править]

Покажите, что

$,!zcdot overline {z}=a^{2}+b^{2}.$

Модуль[править]

Определение 4

Пусть .
Модулем комплексного числа ,!z называется число

$,!|z|={sqrt {a^{2}+b^{2}}}={sqrt {zcdot overline {z}}}$

— длина отрезка ,!Oz на комплексной плоскости.

Посмотрите на рисунок 2. Модуль числа ,!|z| — это длина
отрезка ,!Oz .

$,!|z|^{2}=zcdot overline {z}=a^{2}+b^{2}.$

Модуль комплексного числа есть неотрицательное действительное число.
Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю.

Задача 36[8][править]

Домножьте на сопряженные следующие числа
а) ,!1+i ;
б) ,!-1-i ;
в) ,!2-3i ;
г) ,!-3i ;

д) ,!-3 ;

е) .

Задача 37[9][править]

Докажите тождество $,!(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}$ .
Подсказка Пусть , .
Запишите равенство

которое соответствует равенству

$,!|z|^{2}cdot |w|^{2}=|zw|^{2}.$

Таким образом, утверждение последней задачи равносильно следующему утверждению:

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей.

Деление[править]

Идея домножения на сопряженное помогает нам определить операцию деления
комплексных чисел. Рассмотрим деление на примере:

$,!{frac {1-i}{2+3i}}=?$

Умножим и числитель и знаменатель на одно и то же число ,!2-3i
(это число, сопряженное знаменателю). Получим:

$,!{frac {(1-i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}}={frac {2-3i-i(2-3i)}{2^{2}-(3i)^{2}}}={frac {2-3i-2i+3cdot i^{2}}{4+9}}={frac {2-3i-2i-3}{13}}={frac {-1-5i}{13}}.$

В знаменателе стоит $,!(2+3i)(2-3i)=2^{2}-(3i)^{2}=2^{2}+3^{2}=4+9=13$ — действительное число.
Разделить комплексное число на действительное не сложно: нужно просто действительную и комплексную
часть разделить на это число. Получаем:

$,!{frac {1-i}{2+3i}}=-{frac {1}{13}}-{frac {5}{13}}i.$

Алгоритм деления на комплексное число аналогичен алгоритму избавления
от иррациональности в знаменателе. Например:

$,!{frac {1}{2-{sqrt {3}}}}={frac {(2+{sqrt {3}})}{(2-{sqrt {3}})(2+{sqrt {3}})}}={frac {2+{sqrt {3}}}{2^{2}-left({sqrt {3}}right)^{2}}}={frac {2+{sqrt {3}}}{4-3}}=2+{sqrt {3}}.$

Абстрактный подход[править]

Комплексные числа можно рассматривать как множество пар ,!(a,b) действительных чисел,
на котором специальным образом определены операция сложения, умножения и деления.
Паре ,!(a,b) соответствует число .
Операция сложения на этих парах определяется очевидным образом — надо просто
сложить соответствующие элементы пар:

$,!(a_{1},;b_{1})+(a_{2},;b_{2})=(a_{1}+b_{1}cdot i)+(a_{2}+b_{2}cdot i)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})cdot i=(a_{1}+a_{2},;;b_{1}+b_{2}).$

Найдем, как определяется умножение для этих пар:

$,!(a_{1},;b_{1})times (a_{2},;b_{2})=(a_{1}+b_{1}cdot i)times (a_{2}+b_{2}cdot i)=a_{1}cdot a_{2}+a_{1}cdot b_{2}cdot i+b_{1}cdot a_{2}cdot i+b_{1}cdot b_{2}cdot (i)^{2}=(a_{1}cdot a_{2}-b_{1}cdot b_{2})+(a_{1}cdot b_{2}+b_{1}cdot a_{2})cdot i=(a_{1}cdot a_{2}-b_{1}cdot b_{2},;;a_{1}cdot b_{2}+b_{1}cdot a_{2}).$

Таким образом, мы можем дать такое определение комплексным числам:

Определение 5

Задача 38[9][править]

Покажите, что
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

Такой подход к определению комплексных чисел требует доказательства
многих фактов, которые в предыдущей части (когда мы ,!i рассматривали как некоторую переменную,
для которой выполнено $,!i^{2}=-1$ ) были очевидны.

Задача 39[10][править]

Пусть ,!z , ,!w , ,!v комплексные числа. Докажите, что верны следующие свойства:

(коммутативность умножения),

(ассоциативность умножения),
(дистрибутивность умножения относительно сложения).

Вычитание определяется очевидным образом:

$,!(a_{1},;b_{1})-(a_{2},;b_{2})=(a_{1}-a_{2},;;b_{1}-b_{2}).$

Определить операцию деления несколько сложнее.
Деление — это операция обратная к умножению. Следующая теорема
утверждает корректность операции деления.

Теорема 1 (О существовании деления)

Пусть даны два комплексных числа и .
Тогда уравнение

[1]

относительно ,!z имеет ровно одно решение.

Это решение обозначим как частное:

$,!{frac {w}{v}}.$

В принципе, мы уже научились делить в предыдущей части — нужно
просто числитель и знаменатель умножить на сопряженное, после
чего в знаменателе будет действительное положительное число, равное квадрату модуля знаменателя.
Это значит, что хотя бы одно решение у уравнения [1] точно есть.
Чтобы показать единственность решения, применим метод доказательства от противного.
Пусть у нас есть два решения уравнения [1]:

$,!z_{1}times v=w,$
$,!z_{2}times v=w,$

где $,!z_{1}neq z_{2}$ . Тогда после вычитания одного уравнения из другого получим

$,!(z_{1}-z_{2})times v=0.$

Но мы знаем, что модуль произведения равен произведению модулей.
Оба множителя, $,!(z_{1}-z_{2})$ и ,!v , не равны нулю, значит их модули не равны нулю,
значит их произведение не может быть равно нулю, так как модуль произведения равен произведению модулей.
Поэтому последнее равенство не может быть верным,
и не может быть два разных решения у уравнения [1].
Есть другой подход к доказательству этой теоремы.
Пусть

Распишем подробно:

Последняя строчка соответствует системе из двух уравнений:

$,!left{{begin{matrix}xa-yb=c,\xb+ya=d.end{matrix}}right.$

Когда эта система имеет решение? Умножим первое уравнение на ,!a , а второе — на ,!b :

$,!xa^{2}-yab=ca,$
$,!xb^{2}+yab=db.$

И сложим их:

$,!x(a^{2}+b^{2})=ca+db,$
$,!x={frac {ca+db}{a^{2}+b^{2}}}.$

Задача 40[10][править]

Покажите, что

$,!y={frac {da-cb}{a^{2}+b^{2}}}.$

Как видите, ,!x и ,!y определяются вполне однозначно, если $,!a^{2}+b^{2}neq 0$ , то есть
когда комплексное число . Это и означает, что любое комплексное число
можно делить на любое другое, не равное ,!0 , комплексное число.

Геометрическая интерпретация[править]

В этой части мы будем изучать различные геометрические свойства комплексных чисел:
преобразования комплексной плоскости, множества на комплексной плоскости,
геометрическую интерпретацию сложения и умножения.
Итак, комплексные числа образуют плоскость. Координатные оси на
этой плоскости соответствуют действительной и мнимой части
комплексного числа. Два числа — действительная часть ( Re z ) и мнимая часть ( Im z ) — определяют комплексное число
на комплексной плоскости.

Преобразования комплексной плоскости[править]

Поговорим о том, какие преобразования
плоскости соответствуют различным операциям с комплексными числами.

Задача 41[8][править]

Какое преобразование плоскости переводит в ?

Решение

При этом преобразовании и действительная, и мнимая части увеличиваются в два раза.
Число (1+i) переходит в (2+2i) , число (-i) переходит в (-2i) .
Все числа удаляются от точки — они становятся в два раза дальше от неё,
но при этом остаются в том же направлении, что и до преобразования.
Комплексная плоскость как бы растягивается в два раза относительно точки .
Смотрите рисунки 3 и 4.

Примечание Это преобразование называется гомотетией относительно точки с коэффициентом .
Гомотетия с коэффициентом 1/2 будет сжимать плоскость в два раза относительно центра.

Задача 42[9][править]

Какое преобразование плоскости

а) переводит в z/2 ?

б) переводит в z+1 ?

в) переводит в ?

г) переводит в ?

д) переводит в ?

е) переводит в icdot z ?

ж) переводит в ?

Используйте рисунки 3—8.

Задача 43[9][править]

На плоскости задано две системы координат: xOy и x'Oy' .
Система координат x'Oy' повернута относительно xOy на 45° по часовой стрелке. Найдите, как по координатам и некоторой точки
определить её координаты и .

Подсказка

Заметьте, что если мы точку удалим от точки пересечения
координат так, что и увеличатся в два раза, то
и координаты и увеличатся в два раза. Отсюда сразу следует, что

где , , и — некоторые вещественные числа.
Осталось подобрать их. Рассмотрим точки с координатами (x,y)
равными (1,0) , (0,1) , (-1,0) , (0,1) . Какие координаты (x',y')
им соответствуют?

Примечание

Эту задачу можно интерпретировать по-другому:
У нас есть одна единственная система координат.
Мы осуществляем поворот всей плоскости против часовой стрелки на 45° относительно точки , при этом оси координат xOy остаются на месте.
Все точки плоскости, кроме точки O(0,0) переместились. Пусть точка (x,y)
переместилась в точку с координатами (x',y') . Найдите зависимость (x',y')
от (x,y) .

Задача 44[9][править]

Какое преобразование плоскости переводит в:

а) ;

б) ;

в) ?

Подсказка
Докажите, что модуль (расстояние от до центра ) при преобразованиях
не меняется. Эти преобразования — повороты. Какие именно?

Задача 45[9][править]

Запишите формулу для симметрии относительно

а) мнимой оси;

б) прямой .

Задача 46[9][править]

Запишите формулу для симметрии относительно точки {w=2+i} .

Решение

Подсказка Докажите, что искомое преобразование имеет вид ,
где какое-то комплексное число и учтите, что f(w)=w .

Задача 47[10][править]

Запишите формулу симметрии относительно прямой,
проходящей через под углом alpha к действительной оси.

Решение

Обозначим $e^{{alpha i}}=cos alpha +isin alpha$ . Умножение
на это число соответствует повороту. Симметрию относительно
прямой, направленной под углом alpha к действительной оси можно
представить как последовательность поворота на -alpha ), потом
симметрии относительно действительной оси, а потом поворота на alpha : $zmapsto e^{{alpha i}}(overline {e^{{-alpha i}}z})=e^{{2alpha i}}(overline {z})=(cos 2alpha +isin 2alpha )(a-bi)$ .

Множества на комплексной плоскости и уравнения[править]

Задача 48[9][править]

Найдите (нарисуйте) множество точек (комплексных чисел)
на комплексной плоскости, для которых верно равенство

Задача 49[9][править]

Чему равно расстояние на комплексной плоскости между числами и
(запишите это число как функцию от , , , )?

Решение

|z-w| .

Задача 50[9][править]

Запишите уравнение на комплексное число ,
решением которого является круг на комплексной плоскости
с центром 1+2i и радиусом .

Задача 51[9][править]

Где находятся комплексные числа , для которых

а) |z-1|=1 ;

б) iz=1+i ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ?

Задача 52[9][править]

Параметр пробегает все действительные числа.
Какое множество на комплексной плоскости пробежит число , если

а) ;

б) $z=(1+icdot t)^{2}$ ;

д) $z={frac {1}{1+it}}$ ;

е) $z={frac {i}{1-it}}$ ;

ж) $z={frac {1+it}{1t}}$ ;

з) $z={frac {1+it}{1-it}}$ ;

и) $z={frac {it}{1-it}}$ ;

к) $z={frac {t}{1+it}}$

Решение

Пусть z=x+yi .

а) прямая x=y ;

б) парабола;

в) парабола — то же самое что и в предыдущем пункте, только нужно домножить
на $(-i)^{2}$ (повернуть на 90° и сделать сопряжение (симметрия относительно );

г) прямая x=0 .

Подсказка Попробуйте подставить различные значения , найти соответствующие
и отметить их на комплексной плоскости. Затем нужно соединить их гладкой кривой.

Задача 53[10][править]

Параметр пробегает все действительные числа.
Какое множество на комплексной плоскости пробежит число , если

а) ;

б) ?

Решение

Пусть z=x+yi .

а) луч, направленный вниз от точки z=-i , так как $z=(t+i)(1+icdot t)=-i(t+i)(t-i)=-i|t+i|^{2}$ ;

б) «худая» парабола, направленная вниз.

Задача 54[9][править]

Докажите, что треугольник с вершинами , , подобен треугольнику
с вершинами , , 1/z .

Задача 55[9][править]

Докажите, что отношение двух комплексных чисел равно действительному числу
тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой с .

Задача 56[9][править]

Опишите множество комплексных чисел , для которых число ${frac {z}{z-1}}$ является

а) чисто мнимым;

б) действительным.

Подсказка

а) Алгебраический подход: положите ${frac {z}{z-1}}=icdot t$ , где — любое действительное число
выразите через ; попробуйте подставить t=0 , , ,
, 10000 и поставить соответствующие на плоскости.

Геометрический подход: найдите множество чисел на
плоскости, для которых треугольник
, , имеет прямой угол при вершине .

б) Алгебраический подход: положите ${frac {z}{z-1}}=t$ ,
где — любое действительное число и выразите через .

Геометрический подход: найдите множество чисел на
плоскости, для которых точки , и лежат на одной прямой.

Тригонометрическое представление[править]

Посмотрите на рисунок 9.
Комплексное число однозначно определяется своим модулем (расстоянием до точки )
и углом между и действительной осью — этот угол называется аргументом
комплексного числа и обозначается так:

Рис.9 Комплексное число однозначно определяется своим модулем и аргументом phi .

Определение 6

Комплексное число с модулем и аргументом phi

мы будем обозначать как

$rcdot e^{{iphi }}.$

Задача 57[9][править]

Докажите, что действительная и мнимая части числа $rcdot e^{{iphi }}$ равны

$rcdot e^{{iphi }}=rcdot (cos phi +isin phi ),$

$e^{{iphi }}=cos phi +isin phi .$

Задача 58[9][править]

Запишите в виде a+bi следующие комплексные числа:

а) $e^{{pi i}}$ ;

б) $e^{{-pi i}}$ ;

в) $e^{{pi i/2}}$ ;

г) $2e^{{{frac {pi }{4}}i}}$ ;

д) $4e^{{-{frac {pi }{6}}i}}$ ;

е) .

Задача 59[9][править]

Запишите в виде $rcdot e^{{phi i}}$ (, r>0 ) следующие комплексные числа:

а) 1-i ;

б) ;

в) -10-10i ;

г) ;

д) $(-cos 25^{{circ }}-isin 25^{circ })$ ;

е) $(cos 15^{{circ }}-isin 15^{circ })$ .

Теорема 2

При умножении двух комплексных чисел их модули умножаются а аргументы складываются:

$(r_{1}cdot e^{{iphi _{1}}})cdot (r_{2}cdot e^{{iphi _{2}}})=(r_{1}cdot r_{2})cdot e^{{i(phi _{1}+phi _{2})}}.$

Доказательство теоремы отложим на потом.
Посмотрите на рисунок 10, где пояснено содержание теоремы.

Рис. 10. При умножении чисел их модули умножаютcя, a аргументы складываются: $|z_{1}cdot z_{2}|=|z_{1}|cdot |z_{2}|$ , $arg z_{1}cdot z_{2}=arg z_{1}+arg z_{2}$

Приведем несколько примеров того, как работает эта теорема:

Пример 1.

$i=e^{{{frac {pi }{2}}i}},$
$icdot i=e^{{{frac {pi }{2}}i}}cdot e^{{{frac {pi }{2}}i}}=e^{{i{frac {pi }{2}}+i{frac {pi }{2}}}}=e^{{ipi }}.$

Пример 2.

$(1+i)={sqrt {2}}cdot e^{{{frac {pi }{4}}i}}.$

Величину $(1+i)^{2}$ вычислим двумя способами:

$(1+i)cdot (1+i)=1+2cdot 1cdot i+(i)^{2}=2i$

и в то же время

$(1+i)cdot (1+i)={sqrt {2}}cdot e^{{{frac {pi }{4}}i}}cdot {sqrt {2}}cdot e^{{{frac {pi }{4}}i}}=({sqrt {2}}{sqrt {2}})cdot e^{{{frac {pi }{4}}i+{frac {pi }{4}}i}}=2e^{{{frac {pi }{2}}i}}=2i.$

Как видите, оба метода приводят к одному и тому же результату.

Пример 3.

$({sqrt {3}}+i)=2cdot e^{{i{frac {pi }{6}}}},quad i=e^{{i{frac {pi }{2}}}}.$

Величину вычислим двумя способами:

$({sqrt {3}}+i)cdot i={sqrt {3}}i+i^{2}=-1+{sqrt {3}}cdot i$

и в то же время

$({sqrt {3}}+i)cdot i=2cdot e^{{i{frac {pi }{6}}}}cdot e^{{i{frac {pi }{2}}}}=2cdot e^{{i{frac {pi }{6}}+i{frac {pi }{2}}}}=2cdot e^{{i{frac {2pi }{3}}}}=2cdot (cos 2pi /3+isin 2pi /3)=2cdot left(-{frac {1}{2}}+i{frac {{sqrt {3}}}{2}}right).$

в итоге снова получаем .

Доказательство теоремы 2.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

Это действительно так. Раскрывая левую часть, получим:

В скобках стоят формулы для косинуса суммы и синуса суммы.

Примечание Интересна следующая интерпретация комплексных чисел: каждое комплексное число $z=rcdot e^{{phi i}}$ —
это преобразование комплексной плоскости, а именно, гомотетия относительно центра с коэффициентом
и поворот против часовой стрелки на угол phi . Тогда умножение комплексных чисел соответствует
композиции соответствующих преобразований.

Задача 60[10][править]

Найдите чему равно $i^{{i}}$ .

Решение

$e^{{-pi /2}}$

Задача 61[10][править]

Рассмотрите два уравнения:

$e^{{iphi }}=cos phi +isin phi ,$
$e^{{-iphi }}=cos phi -isin phi .$

Выразите из них cos phi и sin phi

Задача 62[10][править]

Найдите значение cos(2i) .

Покажите, что это действительное число, большее .

Задача 63[10][править]

Найдите

а) такое, что cos z=2 ;
б) ;

в) ;

Решение

а);

б) ;

в) .

Извлечение корней[править]

Возвести число в -ую степень значит возвести в -ую степень модуль, а аргумент умножить
на :

$z^{n}=left(|z|cdot e^{{iarg z}}right)^{n}=|z|^{n}cdot e^{{inarg z}}.$

Это правило следует непосредственно из теоремы 2 предыдущего параграфа.

Задача обратная возведению в -ую степень — это извлечение корней -ой степени.

Задача 64[9][править]

Дано уравнение относительно :

$z^{n}=w,$ [3]

где — некоторое комплексное число. Найдите все комплексные числа ,
удовлетворяющие этому уравнению.

Рис. 11. Корни уравнений: а) $z^{{4}}=1$ , б) $z^{{3}}=1$ , в) $z^{{10}}=1$

Прежде, чем решать это общее уравнение, рассмотрим частный случай n=10 , w=1 :

$z^{{10}}=1.$

Один из корней равен , второй равен (-1) . Есть ли другие
корни? Так как $|z^{n}|=|z|^{n}$ , то корни этого уравнения имеют
единичный модуль
|z|=1 и лежат на единичной окружности.
Комплексные числа, лежащие на единичной окружности, имеют вид:

$z=e^{{phi i}}.$

После возведения в степень имеем:

$z^{n}=e^{{nphi i}}.$

Осталось найти такие phi , что

$e^{{nphi i}}=1.$

Последнее равенство верно, когда аргумент nphi кратен полному углу 2pi :

$phi ={frac {2pi }{n}}k.$

Получили, что все комплексные числа вида

$z_{k}=e^{{k{frac {2pi }{n}}i}},quad k=0,;1,ldots ,;n-1,$

являются корнями уравнения $z^{n}=1$ . Корень $z_{n}$ совпадает с корнем $z_{0}$ .

Для n=10 эти числа отмечены на рисунке 11(в).

Задача 65[9][править]

Найдите все корни уравнения $z^{3}=1$ .

Задача 66[9][править]

Найдите все корни уравнения $z^{3}=-1$ .

Теперь нетрудно записать общее решение для уравнения [3].
Если $w=rho e^{{alpha i}}$ , а $z=rcdot e^{{phi i}}$ , то уравнение

$z^{n}=w$

можно записать как

$r^{n}cdot e^{{nphi i}}=rho cdot e^{{alpha i}}.$

Числа rho и действительны и положительны. Модули правой и левой части должны быть равны,
Поэтому

$r^{n}=rho .$

Кроме того, аргументы правой и левой части должны совпадать с точностью до 2pi , то есть

Из первого уравнения определяется однозначно как .
Аргумент phi может иметь различных значений, которые соответствуют k=0 , , , ldots , n-1 .

Теорема 3.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Как видите, чтобы найти все корни уравнения $z^{n}=w$ , достаточно найти один корень $z_{0}$ ,
а остальные корни получатся умножением его на $e^{{kcdot {frac {2pi }{n}}}}$ , k=1 , ldots , n-1 .

Задача 67 [9][править]

Найдите все корни уравнений

а) $z^{3}=125$ ;

б) $z^{4}+125z=0$ ;

в) $z^{4}=i$ ;

г) $z^{4}=-i$ ;

д) $z^{6}=6^{6}i$ ;

е) $z^{6}=(1+i)^{6}$ .

Задача 68 [9][править]

Решите уравнения

а) $z^{3}+z^{2}+z+1=0$ ,

б) $z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0$ .

Подсказка Домножьте уравнения на (1-z) .

Многочлены[править]

Многочлены от — это то, что можно получить из чисел и переменной
с помощью умножения (в узком смысле без деления), сложения и вычитания.
Многочлены можно умножать, складывать и вычитать, получая снова многочлены.
Рассмотрим многочлены с действительными коэффициентами от переменной .

Примеры многочленов:

$p(x)=x^{2}-1,$
$p(x)=(x^{{10}}-1)cdot x,$
$p(x)=-5+x^{{10}}+x,$
$p(x)=(x-1)cdot (x+7)cdot (x^{2}+x+1)+x.$

Все многочлены, если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, имеют вид

$p(x)=a_{n}cdot x^{n}+a_{{n-1}}cdot x^{{n-1}}+ldots +a_{1}cdot x+a_{0}.$

Числа $a_{1},ldots ,a_{n}$ называются коэффициентами многочлена.
Коэффициент $a_{n}$ , $a_{n}neq 0$ , называется старшим коэффициентом,
а число — степенью многочлена

Задача 69 [8][править]

Найдите степени многочленов, приведенных выше.

Задача 70 [9][править]

Докажите, что при умножении многочленов их степени складываются, а
старшие (младшие) коэффициенты умножаются, то есть степень
многочлена, равного произведению двух других, равна сумме их
степеней, а старший (младший) коэффициент равен произведению их
старших (младших) коэффициентов.

Задача 71 [9][править]

Раскройте скобки и приведите подобные:

а) ;

б) $(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})$ ;

в) $(1-x)(1-x^{2})(1-x^{4})$ ;

г) $(1+z+z^{2}+z^{3})(1-z)$ ;

д) $(1+z)^{3}(1-z)^{3}$ ;

е) $(1+z)^{3}+(1-z)^{3}$ ;

ж) .

Деление многочленов[править]

Умножать и складывать многочлены просто. Оказывается, их можно ещё и делить.
Рассмотрим деление многочленов на примере:

${frac {x^{5}-x^{3}+x+1}{x^{2}+1}}=?$

Cтепень числителя равна , а знаменателя — .
Давайте вычтем и добавим к числителю $x^{3}(x^{2}+1)=x^{5}+x^{3}$ , получим:

${frac {x^{5}-x^{3}+x+1+x^{3}(x^{2}+1)-x^{3}(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}=x^{3}+{frac {x^{5}-x^{3}+x+1-x^{3}(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}=x^{3}+{frac {x^{5}-x^{3}+x+1-x^{5}-x^{3}}{x^{2}+1}}=x^{3}+{frac {-2x^{3}+x+1}{x^{2}+1}}.$

Теперь старшая степень числителя равна . Чтобы уничтожить слагаемое $(-2x^{3})$
нужно прибавить к знаменателю $2x(x^{2}+1)$ . Мы прибавляем и отнимаем $2x(x^{2}+1)$ :

${frac {-2x^{3}+x+1}{x^{2}+1}}={frac {-2x^{3}+x+1+2x(x^{2}+1)-2x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}=-2x+{frac {-2x^{3}+x+1+2x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}=-2x+{frac {-2x^{3}+x+1+2x^{3}+2x}{x^{2}+1}}=-2x+{frac {3x+1}{x^{2}+1}}.$

Дальше этот процесс продолжать нельзя, поскольку степень числителя стала меньше, чем степень
знаменателя. Таким образом, результат деления можно записать так:

${frac {x^{5}-x^{3}+x+1}{x^{2}+1}}=x^{3}-2x+{frac {3x+1}{x^{2}+1}}.$

Здесь $x^{3}-2x$ есть результат деления, а 3x+1 — остаток от деления.

Примеры деления многочленов:

${frac {x^{2}+1}{x^{2}-1}}=1+{frac {-2}{x^{2}-1}},$
${frac {x^{4}-1}{x^{2}-1}}=x^{2}+1+{frac {0}{x^{2}-1}},$
${frac {x^{4}-1}{x-1}}=x^{3}+x^{2}+x+1+{frac {0}{x-1}},$
${frac {x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}+x+1}}=x^{2}-x+1+{frac {0}{x^{2}+x+1}},$
${frac {2x^{4}+x^{2}+1}{2x^{2}+1}}=x^{2}+{frac {1}{2x^{2}+1}}.$

Когда остаток при делении равен нулю, то значит
первый многочлен делится на второй.

Определение 7.

Задача 72[9][править]

Разделите один многочлен на другой с остатком:

а) ${frac {2x^{2}+2}{x-1}}$ ;

б) ${frac {x^{3}+28}{x+3}}$ ;

в) ${frac {x^{3}+1}{x^{2}+1}}$ ;

г) ${frac {x^{{10}}-1}{x^{5}-1}}$ ;

д) ${frac {x^{{12}}+1}{x^{3}+1}}$ ;

е) ${frac {x^{{10}}+1}{x^{{4}}+1}}$ .

Решение

а);
б) $x^{2}-3x+9+1/(x+3)$ ;
в) $x^{2}+1/(x^{2}+1)$ ;
г) $x^{5}+1$ ;
д) $x^{9}-x^{6}+x^{3}-1$ ;
е) $x^{6}-x^{2}+(x^{2}+1)/(x^{4}+1)$ .

Задача 73[9][править]

Известно, что $x^{3}-3x^{2}-10x+24$ имеет корень x=2 . Найдите остальные корни.

Ответ: , .

Подсказка Разделите $x^{3}-3x^{2}-10x+24$ на x-2 .

Задача 74[9][править]

Известно, что $x^{4}+x^{3}-6x^{2}+10x-4$ имеет корень x=1+i . Найдите остальные корни.

Ответ: 1-i , , .

Задача 75[9][править]

Найдите все корни уравнения $x^{4}+3x^{2}+2=0$ .

Ответ: , , , .

Подсказка Один из корней равен . Проверьте это.

Задача 76[12] Исследовательская задача[править]

Пусть $P_{n}(x)=1+x+x^{2}+...x^{n}$ .
При каких и многочлен $P_{n}(x)$ делится
на $P_{m}(x)$ ?
Например:
многочлен $P_{{15}}(x)$ делится на $P_{{3}}(x)$ ,
$P_{{15}}(x)$ делится на $P_{{3}}(x)$ ,
многочлены $P_{2}(x)$ , $P_{8}(x)$ , $P_{{14}}(x)$ делятся
на $P_{2}(x)$ , а $P_{4}(x)$ , $P_{6}(x)$ , $P_{{10}}(x)$ —
не делятся на $P_{2}(x)$ .

Подсказка Заметьте, что должно делиться нацело на .
Но это не достаточное условие.
Докажите, что $P_{{3^{k}}}$ делится на $P_{{3}}(x)$
при нечетном .

Мы умеем делить многочлены друг на друга с
остатком, и значит можно говорить о наибольшем общем делителе
двух многочленов.

Пусть p(x) и q(x) многочлены с коэффициентом 1 при старшей
степени. Тогда

НОД( p(x) , q(x) )

есть многочлен максимальной степени с коэффициентом при старшей степени, на
который делятся p(x) и q(x) .

Задача 77[10][править]

Найдите

а) НОД( $x^{2}-1$ , $x^{2}+2x+1$ );

б) НОД( $x^{3}-1$ , $x^{2}-1$ );

в) НОД( $x^{3}-1$ , $x^{2}-1$ );

г) НОД( $x^{3}-1$ , $x^{2}-1$ );

д) НОД( $x^{8}-1$ , $x^{4}-1$ );

е) НОД(, ).

Задача 78[10][править]

Докажите, что НОД двух многочленов, есть многочлен, корни которого являются
корнями как первого, так и второго многочлена.

Задача 79[10][править]

Найдите общие корни многочленов

$p(z)=z^{4}+z^{2}-2,quad q(z)=z^{3}+3z^{2}+2z+6.$

Решение

НОД( p(z) , q(z) ) = $z^{2}+2$ , $z_{1}=i{sqrt {2}}$ , $z_{2}=-i{sqrt {2}}$ .

Основная теорема алгебры[править]

Мы уже с вами отмечали, что некоторые многочлены не имеют действительных корней, зато имеют
комплексные корни. Например, уравнения

$x^{2}+1=0,quad x^{4}+3x^{2}+2=0$

не имеют действительных корней, так как их правая часть положительна при любых действительных .
Но, в то же время, комплексное число является корнем этих уравнений.
Верна следующая теорема:

Теорема 4 (Основная теорема алгебры)

Любой многочлен имеет комплексный корень.

Пояснения:

Коэффициенты многочлена могут быть как действительными, так и
комплексными.
Многочлен может иметь только действительные корни, но
это не противоречит теореме, так как действительные числа являются подмножеством
комплексных.
Степень многочлена больше либо равна .

Более того, многочлен степени обычно имеет ровно корней.
А именно, верно следующее следствие из основной теоремы алгебры:

Следствие 1
Любой многочлен степени может быть разложен в произведение многочленов степени
с комплексными коэффициентами.

Многочлены степени называются линейными.

Например, многочлен

$z^{3}+6z^{2}+11z+6$

раскладывается в произведение линейных многочленов с действительными коэффициентами:

$z^{3}+6z^{2}+11z+6=(z+1)cdot (z+2)cdot (z+2).$

А многочлен

${displaystyle z^{3}+z^{2}-4z+6}$

не может быть разложен в произведение действительных линейных многочленов —
для его разложения нужны комплексные числа:

${displaystyle z^{3}+z^{2}-4z+6=(z-1-i)cdot (z-1+i)cdot (z+3).}$

Задача 80[9][править]

Проверьте последнее равенство.

В комплексных числах любой многочлен (даже с комплексными коэффициентами)
раскладывается в произведение линейных многочленов.
Каждый множитель — линейный многочлен — дает один корень многочлена.

Задача 81[9][править]

Почему многочлен степени раскладывается ровно на
линейных множителей?

Доказательство основной теоремы алгебры довольно сложно. В конце
этой части мы рассмотрим схему одного очень популярного
интуитивного доказательства. А сейчас давайте поверим, что это
теорема действительно имеет место. Для этого вспомните задачи
1,2 и 3.

Задача 82[10][править]

Докажите, что если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами,
то и сопряженное число также является его корнем.
Решение
Если многочлен P(z) имеет действительные максимальные коэффициенты, то
(см. задачу 23),
и если P(z)=0 , то и .

Задача 83[10][править]

Найдите многочлен с действительными коэффициентами, имеющий комплексный корень 3+4i .

Решение:

Можно вспомнить про формулу квадратного уравнения и понять,
что второй корень будет сопряжен первому. Остается по двум корням,
3+4i и 3-4i , восстановить само квадратное уравнение.
Для этого раскройте скобки .

Подсказка: Среди квадратных трехчленов есть подходящий.

Задача 84[10][править]

Найдите многочлен с действительными коэффициентами, имеющий комплексные
корни 2+i и 3-i .
Решение
$(x-2-i)(x-3+i)(x-2+i)(x-3-i)=x^{4}-10x^{3}+39x^{2}-70x+50$ .

Задача 85[10][править]

Используя основную теорему алгебры, докажите, что любой
многочлен с действительными коэффициентами разлагается
в произведение многочленов первой или второй степени с действительными
коэффициентами.
Решение
Можно доказывать методом математической индукции по степени
многочлена. Идея доказательства: у любого многочлена P(z) есть
корень (основная теорема алгебры). Если это действительный корень
z=a , то многочлен делится на z-a . После деления получаем
многочлен степени на меньше — для него утверждение верно.
Если корень комплексный $z_{0}$ , то сопряженное число
$overline {z_{0}}$ тоже корень. А значит многочлен P(z) делится на
$(z-z_{0})(z-overline {z_{0}})$ . После раскрытия скобок в выражении
$(z-z_{0})(z-overline {z_{0}})$ получим квадратный трехчлен с
действительными коэффициентами. После деления получаем многочлен

на степени на меньше — для него тоже утверждение верно.

Задача 86[10][править]

Укажите разложение на линейные множители для многочленов

а) $x^{3}+1$ ;
б) $x^{4}+1$ ;
в) $x^{4}+2x^{2}+1$ ;
г) $x^{6}-x$ .

Решение
а) $(x+1)(x^{2}-x+1)$ ;
б) $(1-{sqrt {2}}x+x^{2})(1+{sqrt {2}}x+x^{2}))$ ;
в) $(1+x^{2})(1+x^{2})$ ;
г) $x(x-1)(1+{frac {1+{sqrt {5}}}{2}}x+x^{2})(1+{frac {1-{sqrt {5}}}{2}}x+x^{2})$ ;

Схема доказательства основной теоремы алгебры[править]

Непрерывность — отображение кривых[править]

Пусть p(z) есть некоторый многочлен:

$p(z)=a_{n}cdot z^{n}+ldots +a_{1}cdot z+a_{0}$

Тогда если мы будем медленно менять , то число p(z) тоже
будет меняться медленно. Если будет двигаться по непрерывной прямой в комплексной плоскости, то p(z) тоже будет
двигаться по некоторой непрерывной кривой.

Например, пусть движется по окружности

$z=Rcdot e^{{icdot phi }},quad phi in [0,,2pi ].$

Тогда $p(z)=p(e^{{icdot phi }})$ будет тоже двигать по некоторой
кривой в комплексной плоскости — малое изменение phi будет вызывать
малое смещение p(z) .
Таким образом, мы можем говорить об отображении кривых —
под действием многочлена p(z) одна кривая превращается в другую кривую.
На рисунке 12 изображена кривая, в которую
отобразится окружность |z|=1 при отображении , ${p(z)=z^{3}-2z+1}$ .

Рис. 12 Образ окружности под действием отображения
, $p(z)=2z^{3}+3z^{2}+z+1$

Доминирование старшей степени[править]

Как будет двигаться p(z) если $p(z)=z^{n}$ и движется по окружности |z|=1 ?
Другими словами, как выглядит образ окружности |z| при отображении $zmapsto z^{n}$ ?
Заметьте, что $|z^{n}|=|z|^{n}=1$ , поэтому образ этой окружности будет снова окружность,
только в то время, как сделает один оборот по окружности $z^{n}$ сделает оборотов:

$(z^{n})=z^{{icdot ncdot phi }},$
$arg z^{n}=ncdot arg z.$

Если сделает оборот по окружности радиуса |z|=R ), то
$z^{n}$ сделает оборотов по окружности радиуса $R^{n}$ $|z|=R^{n}$ ).
Свойство доминирования старшей степени заключается в том,
что при очень больших по модулю значениях в значение многочлена
$p(z)=a_{n}cdot z^{n}+ldots +a_{1}cdot z+a_{0}$ больший вклад вносит старший член $a_{n}cdot z^{n}$ .

Например, если $z=Rcdot e^{{icdot phi }}$ , то после подстановки в p(z) получим:

$p(z)=a_{n}cdot R^{n}(e^{{icdot phi }})^{n}+a_{n}cdot R^{{n-1}}(e^{{icdot phi }})^{{n-1}}ldots +a_{1}cdot R(e^{{icdot phi }})+a_{0}=$
$R^{n}left(a_{n}cdot (e^{{icdot phi }})^{n}+a_{n}cdot R^{{-1}}(e^{{icdot phi }})^{{n-1}}ldots +a_{1}cdot R^{{-(n-1)}}(e^{{icdot phi }})+a_{0}cdot R^{{-n}}right).$

После того, как мы вынесли за скобку $R^{n}$ , в скобках осталось только одно слагаемое,
которое не содержит $R^{{-k}}$ . Все слагаемые кроме первого, при уменьшаются и становятся
совсем маленькими и не значительными.
На рисунке 13 изображены образы трех окружностей радиусов
0,1 , , 100 — чем больше радиус, тем больше его образ похож на три оборота
вокруг центра.

Непрерывность — движение кривых[править]

Рис. 13 Образ окружностей , и под действием отображения
, ${p(z)=2z^{3}+3z^{2}+z+1}$ .

А теперь представьте, что мы начали непрерывно менять (например, от до ).
Тогда образ окружности |z|=R при отображении , $p(z)=2z^{3}+3z^{2}+z+1$ ,
постепенно будет деформироваться.

Сначала, при это будет просто точка .
Потом, при маленьком , например , вокруг точки появится некоторая замкнутая кривая (рис. 13).
Потом, при некоторых средних значениях , например ,будем иметь нечто необычное (рис. 12 справа).
Потом, постепенно увеличивая до , получим три ярко выраженных оборота (рис. 13}).
При больших , например , обороты все больше будут сближаться друг к другу и выглядеть почти как окружностей.

(рис. 13).

Во время этой деформации кривая в какой-то момент пройдёт через
точку z=0 . Действительно, при маленьком точка z=0
находится снаружи замкнутой кривой, а при больших — внутри
замкнутой кривой, которая, более того, делает вокруг z=0
несколько оборотов. Это означает, что при некотором и
некотором phi получим $p(Rcdot e^{{icdot phi }})=0$ , и,
следовательно, $z=Rcdot e^{{icdot phi }}$ является корнем нашего
многочлена.
Таким образом, наш многочлен p(z) точно имеет хотя бы один комплексный корень.
Конец схемы доказательства

Алгебра многочленов по модулю многочлена[править]

Очень часто в практике находит применение следующая конструкция.
Рассматриваются многочлены от переменной . При этом переменная
удовлетворяет условию, что некоторый фиксированный многочлен
от равен нулю.
Например, верно равенство

$x^{3}+x^{2}+1=0.$

Заметьте, что из этого равенства можно заключить, что

$x^{3}=-x^{2}-1,$

а также, после умножения на , $x^{2}$ , … получим

$x^{4}=-x^{3}-x$
$x^{5}=-x^{4}-x^{2}$
$x^{6}=-x^{5}-x^{3}$
…

— то есть все степени $x^{n}$ , начиная с $x^{3}$ , могут быть выражены
через многочлены меньшей степени. А значит, любой многочлен
степени больше может быть упрощен до многочлена меньшей степени.

Задача 87[9][править]

Докажите, что если $x^{3}+x^{2}+1=0$ , то любой многочлен P(x)
от может быть упрощен до многочлена степени меньше .

Подсказка Попробуйте упростить многочлен $x^{5}$ . Покажите, что результат
совпадает с остатком при делении $P(x)=x^{5}$ на $Q(x)=x^{3}+x^{2}+1$ .

Задача 88[9][править]

Докажите, что если дан многочлен Q(x) степени ,
и многочлен P(x) степени ngeq m , и известно, что
Q(x)=0 , то многочлен P(x) может
быть упрощен до многочлена степени меньше и,
при этом, единственным образом.

Подсказка Результат упрощения равен остатку при делении P(x)
на Q(x) . Докажите, что
существуют единственные D(x) и R(x) такие, что

где степень R(x) меньше степени Q(x) .

Определение 8

Задача 89[9][править]

Найдите, чему равны следующие многочлены по модулю $p(x)=x^{2}+1$ .

Определение 9

Выражение

означает остаток при делении q(x) на p(x) .

Задача 90[9][править]

Найдите, чему равно

$(a+bx)(c+dx);{{rm {mod}}};(x^{2}+1);$

Задача 91[10][править]

Для многочлена $p(x)=x^{2}+x-999903$ найдите многочлен d(x) такой, что

$d(x)cdot p(x)=1;{{rm {mod}}};(x^{2}+1).$

Для каждого ли многочлена p(x) найдется такой d(x) ?
Решение
$i^{2}+i-3=-4+i$ , $(-4+i)^{{-1}}=(-4-i)/17$ , отсюда находим
.

Задача 92[10][править]

Докажите, что алгебра многочленов по модулю $x^{2}+1$ совпадает с комплексными числами.
В каком смысле они совпадают?

Задача 93[10][править]

Рассмотрите алгебру многочленов по модулю $x^{2}-1$ .
Верно ли что, для каждого многочлена q(x) , который не делится
на $x^{2}-1$ , найдется d(x) такой, что

$d(x)cdot p(x)=1;{{rm {mod}}};(x^{2}-1)?$

Задача 94[10][править]

$d(x)cdot p(x)=1;{{rm {mod}}};(x^{2}-1)?$

Определение 10

Многочлен называется неприводимым, если он не может быть разложен в произведение
многочленов степени больше .

Задача 95[11][править]

а) Докажите, что в алгебре многочленов над комплексными числами не существует неприводимых многочленов степени
больше .
б) Докажите, что в алгебре многочленов над действительными числами не существует неприводимых многочленов степени
больше — неприводимы только те квадратные трехчлены, дискриминант которых отрицателен.

Задача 96[12][править]

Многочлены с действительными коэффициентами
по модулю любого неприводимого многочлена p(x) изоморфны комплексным числам.

Примечание

Изоморфность означает одинаковость с точностью до переобозначения.
Два множества элементов и с операциями сложения и умножения
изоморфны если между их элементами существует взаимооднозначное соответствие,
которое сохраняет операции сложения и умножения.
Например, пусть элементу из соответствует элемент b=f(a) из
— это функция, осуществляющая соответствие элементов элементам ).
Пусть $a_{1}$ и $a_{2}$ произвольные элементы . Тогда

$f(a_{1}+a_{2})=f(a_{1})+f(a_{2}),quad f(a_{1}cdot a_{2})=f(a_{1})cdot f(a_{2}).$

Заметьте, что операции сложения и умножения слева от знака «равно» — это операции на множестве ,
а операции сложения и умножения справа — операции на множестве .

Подсказка Это соответствие строится следующим образом. Любой неприводимый
квадратный трехчлен можно линейной заменой переменной
превратить в $x^{2}+1$ . По многочлену q(x) можно
найти многочлен — его два коэффициента
соответствуют мнимой и действительной части соответствующего q(x) комплексного числа.
Действительные и комплексные числа называются числовыми полями.
Есть ещё другие числовые поля.
Если в каком-то числовом поле нет неприводимых многочленов степени больше , то
оно называется алгебраически замкнутым.
Комплексные числа — единственное алгебраически замкнутое числовое поле,
где бесконечное (точнее несчетное) число элементов.

Матрицы[править]

Матрицы — это ещё одно обобщение чисел. Мы с вами изучим матрицы .

Определение 11

Матрицы — это таблицы чисел вида

${begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}\a_{{21}}&a_{{22}}end{pmatrix}},$

на которых определены операции сложения и умножения. А именно, пусть

$A={begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}\a_{{21}}&a_{{22}}end{pmatrix}},quad quad B={begin{pmatrix}b_{{11}}&b_{{12}}\b_{{21}}&b_{{22}}end{pmatrix}}.$

Тогда

$A+B={begin{pmatrix}a_{{11}}+b_{{11}}&a_{{12}}+b_{{12}}\a_{{21}}+b_{{21}}&a_{{22}}+b_{{22}}end{pmatrix}}.$
$Atimes B={begin{pmatrix}a_{{11}}b_{{11}}+a_{{12}}b_{{21}}&a_{{11}}b_{{12}}+a_{{12}}b_{{22}}\a_{{21}}b_{{11}}+a_{{22}}b_{{21}}&a_{{21}}b_{{12}}+a_{{22}}b_{{22}}end{pmatrix}}.$

Примечание

Первый индекс соответствует номеру строчки, второй — номеру столбца.
Правила сложения и умножения можно коротко обозначить так:

$(A+B)_{{ij}}=a_{{ij}}+b_{{ij}},$
$(Atimes B)_{{ij}}=a_{{i1}}b_{{1j}}+a_{{i2}}b_{{2j}}.$

Если бы мы рассматривали матрицы , то правило умножения выглядело бы так:

$(Atimes B)_{{ij}}=a_{{i1}}b_{{1j}}+a_{{i2}}b_{{2j}}+a_{{i3}}b_{{3j}}.$

Чтобы получить элемент матрицы , стоящий в -ой строчке и -ом
столбце, нужно взять -ую строчку матрицы и -ый столбец , а затем взять их произведение —
перемножить соответствующие элементы и сложить.

Задача 97[8][править]

Пусть

${displaystyle A={begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}},quad quad B={begin{pmatrix}3&1\-1&3end{pmatrix}},quad quad E={begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}.}$

Вычислите:

а) A+B ;
б) A+B+E ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .

Определение 12.

Матрица

$E={begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}$

называется единичной матрицей.

Задача 98[9][править]

Докажите, что

для любой матрицы .

Таким образом, единичная матрица обладает такими же свойствами,
как и число — умножение на не меняет число.

Определение 13

Введем обозначение:

${mathbb {I}}={begin{pmatrix}0&1\-1&0end{pmatrix}}.$

Задача 99[9][править]

Докажите, что

${mathbb {I}}^{2}=-E,$

то есть произведение матрицы на саму себя дает единичную матрицу с минусом.

Определение 14

Матрицы можно умножать на число, при этом каждый элемент матрицы умножается на это число.
Например:

$2cdot {begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}}={begin{pmatrix}2&4\6&8end{pmatrix}},quad acdot {begin{pmatrix}1&2\0&1end{pmatrix}}={begin{pmatrix}a&2a\0&a\end{pmatrix}}.$

Задача 100[9][править]

Покажите, что
а) ;
б) ;
в) .

Задача 101[9][править]

Раскройте скобки

$(a_{1}cdot E+b_{1}cdot {mathbb {I}})times (a_{2}cdot E+b_{2}cdot {mathbb {I}}).$

Введем обозначение

$M(a,b)={begin{pmatrix}a&-b\b&aend{pmatrix}}.$

Задача 102[9][править]

Найдите результат умножения матриц .

Подсказка Обратите внимание на то, что получится снова матрица вида
M(x,y) , то есть матрица, у которой на диагонали (верхний левый
угол — нижний правый) стоят одинаковые числа, а два числа на
другой диагонали противоположны.

Задача 103[9][править]

Найдите результат умножения матриц .

Задача 104[9][править]

Покажите, что матрицы вида M(a,b)
с операциями сложения и умножения матриц
соответствуют комплексным числам с операциями сложения и умножения комплексных чисел.

Задача 105[11][править]

На основе предыдущей задачи предположите, чему равно

$e^{{M(a,b)}}.$

Решение
$e^{{M(a,b)}}=M(e^{{a}}cos b,e^{{a}}sin b)$ .

Подсказка Чему равно $e^{{a+bi}}$ ?

Определение 15

Задача 106[9][править]

Найдите матрицу, обратную к матрице M(a,b) , то есть найдите

${begin{pmatrix}a&b\-b&aend{pmatrix}}^{{-1}}.$

Задача 107[10][править]

Система линейных уравнений

${begin{matrix}acdot x+bcdot y=c,\-bcdot x+acdot y=dend{matrix}}.$

может быть записана как

${begin{pmatrix}a&b\-b&aend{pmatrix}}cdot {begin{pmatrix}x\yend{pmatrix}}={begin{pmatrix}c\dend{pmatrix}}.$

Покажите, что решение этой системы может быть записано как

${begin{pmatrix}x\yend{pmatrix}}={begin{pmatrix}a&b\-b&aend{pmatrix}}^{{-1}}cdot {begin{pmatrix}c\dend{pmatrix}}.$

Для чего нужны комплексные числа

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

Комплексные числа необходимы в различных приложениях математики. В частности, теория функций комплексной переменной является действенным инструментом при использовании математических методов в различных областях науки.

Арифметические операции над комплексными числами

Комплексным числом называется выражение вида где — действительные числа, — мнимая единица.

Число называется действительной частью числа и обозначается (от франц. reele — «действительный»), а число — мнимой частью числа и обозначается (от франц. imaginaire — «мнимый»), т.е.

Действительное число является частным случаем комплексного при Комплексные числа вида не являющиеся действительными, т.е. при называются мнимыми, а при т.е. числа вида — чисто мнимыми.

Числа называются сопряженными.

Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если В частности, если

Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом.

1.Сложение (вычитание) комплексных чисел

2. Умножение комплексных чисел

В частности,

т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен — 1.

3. Деление двух комплексных чисел

Нетрудно убедиться в том, что все арифметические операции (16.1)-(16.3) над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов если считать Например, произведение комплексных чисел (16.2) есть

Пример №9

Даны комплексные числа

Найти

Решение:

(учли, что ).

Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число , получим

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости причем это соответствие взаимно однозначное (рис. 16.1).

Оси , на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа называются соответственно действительной и мнимой осями.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

С каждой точкой комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки , длина которого называется модулем комплексного числа и обозначается (см. рис. 16.1):

Угол образованный радиусом-вектором с осью называется аргументом комплексного числа и обозначается Из значений выделяется главное значение удовлетворяющее условию Например,

Очевидно (см. рис. 16.1), что

Следовательно, комплексное число можно представить как

Представление комплексного числа в виде (16.6), где называется тригонометрической формой комплексного числа.

Сформулируем некоторые свойства арифметических операций над комплексными числами.

1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма.

На рис. 16.2 показаны радиусы-векторы комплексных чиселих суммы и разности

2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произ ведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент — сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.

Геометрически умножение числа означает изменение длины радиуса-вектора раз и его поворот вокруг точки против часовой стрелки на угол

Пример №10

Комплексные числа представить в тригонометрической форме и найти

Решение:

По формуле (16.4) найдем модуль комплексного числа а из соотношений (16.5)

получим аргумент числа (берем его главное значение):

Аналогично т.е.

Теперь по формулам (16.7) и (16.8)

Так как в соответствии с формулами (16.7) и (16.8) при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень , известную как формула Муавра:

Пример №11

Найти

Решение:

По формуле Муавра (16.9)

Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.

Пусть

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим

или

Отсюда следует, что

Итак,

где

При значения корня уже будут повторяться.

Таким образом, корень -й степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет различных значений.

Пример №12

Найти

Решение:

В примере 16.2 было получено

откуда получаем три значения корня

На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки расположенные на окружности радиуса (рис. 16.3). ►

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера.

Отсюда следует показательная форма комплексного числа.

где

В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексных чисел.

Формы записи комплексного числа

Решение простейшего квадратного уравнения невозможно в области вещественных чисел. Однако, если выполнить решение формально, то получим

Определение: Выражение называется мнимой единицей.

Определение: Комплексным числом называется выражение вида где х,у

Определение: Приведенная форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Определение: Два комплексных числа называются равными, если равны их вещественные и мнимые части, т.е.

Определение: Комплексное число называется нулевым, если вещественная и мнимая части равны нулю.

Определение: Комплексно-сопряженным к комплексному числу называется комплексное число

Пример №13

Записать комплексно-сопряженное число к комплексному числу

Решение:

Согласно определению комплексно-сопряженного числа получаем

Замечание: Двойное комплексное сопряжение приводит к исходному комплекс- ному числу, т.е.

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом невозможно в области вещественных чисел, так как нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа на множестве действительных чисел. Однако это ограничение снимается в области комплексных чисел.

Пример №14

Решить квадратное уравнение

Решение:

Вычислим дискриминант уравнения таким образом, Следовательно,

Замечание: Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом всегда состоит из комплексно-сопряженных корней.

Комплексное число изобретается на комплексной плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой М(х; у) (Рис. 2):

Рис. 2. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости.

Пример №15

Изобразить на комплексной плоскости число z = 2-3i (Рис. 3).

Решение:

Рис. 3. Изображение комплексного на комплексной плоскости. Если перейти от декартовой системы координат к полярной системе отсчета, т.е. то комплексное число

Определение: Полученная форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Обратный переход от полярной системы отсчета к декартовой системе координат осуществляется по формулам:при этом является модулем, а — аргументом комплексного числа z .

Замечание: Аргумент комплексного числа определяется в зависимости от знаков вещественной и мнимой частей:

Действия с комплексными числами

1. Для того чтобы сложить (найти разность) два комплексных числа и сложить (найти разность) отдельно действительные и мнимые части,

Пример №16

Найти сумму и разность чисел Изобразить все числа на комплексной плоскости.

Решение:

Найдем сумму заданных комплексных чисел Вычислим разность данных чисел Изобразим заданные и полученные числа на комплексной плоскости (Рис. 4):

Рис. 4. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости.

Замечание: Отметим, что

2. Для того чтобы найти произведение двух комплексных чисел и надо их перемножить, как два выражения с учетом того, что

Замечание: Отметим, что

Замечание: Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме записи имеет вид Из полученной формулы видно, что модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно, n-ая степень любого комплексного числа будет иметь вид При извлечении корня п -ой степени применяют формулу Муавра где величина

3. Деление комплексного числа на комплексное число осуществляется так

Замечание: Деление этих чисел в тригонометрической форме записи имеет вид: т.е. при делении комплексных чисел берут отношение модулей этих чисел, а из аргумента первого числа вычитают аргумент второго комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа

Известно, что любую дифференцируемую функцию можно представить по формуле Тейлора-Маклорена (см. Лекцию № 22, Первый семестр), например,

Последняя формула называется формулой Эйлера. Используя эту формулу,

запишем комплексное число в показательной форме: Отсюда видно, что при нахождении произведения и отношения комплексных чисел получаем

Комплексные числа и арифметические операции

Как известно, под комплексным числом понимается выражение вида

где х и у — действительные числа, a i — мнимая единица.

Числа вида отождествляются с действительными числами; в частности, . Числа вида 0 + iy = iy называются чисто мнимыми.

Действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями числа z и обозначаются следующим образом:

Под модулем комплексного числа z понимается неотрицательное число

Сопряженным числом к числу (1) называется комплексное число

Таким образом,

На множестве комплексных чисел следующим образом определено отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.

I. Пусть z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂.Тогда

Rez₁ = Re z₂, Im z₁ = Im z₂

В частности, z = 0 Re z = 0, Im z = 0.

II. z₁±z₂= (x₁± x₂) + i(y₁ ± y₂)-

Отсюда следует, что

Re (z₁ ± z₂) — Re z₁ ± Re z₂,

Im (z₁ ± z₂) — Imz₁ ± 1mz₂

III. z₁z₂ = (x₁x₂ — y₁y₂) + i(x₁y₂+x₂y₁).

Отсюда, в частности, получаем важное соотношение

==+=-1

Заметим, что правило умножения III получается формально путем умножения двучленов + и + с учетом (7).

Очевидно также, что для имеем

Легко проверить следующие свойства:

Заказать решение задач по высшей математике

Комплексная плоскость

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат Оху. Каждому комплексному числу z = х + iy может быть поставлена в соответствие точка плоскости z(x, у) (рис. 161), причем это соответствие взаимно однозначно. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью, и вместо комплексных чисел говорят о точках комплексной плоскости.

На оси Ох расположены действительные числа: z =:, поэтому она называется действительной осью. На оси Оу расположены чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, она носит название мнимой оси.

Заметим, что г = |z| представляет собой расстояние точки г от начала координат.

С каждой точкой z связан радиус-вектор этой точки Oz; угол, образованный радиусом-вектором точки z с осью Ох, называется аргументом ф = Arg z этой точки. Здесь . Для нулевой точки z = 0 аргумент произволен. Наименьшее по модулю значение Arg z называется главным значением его и обозначается через arg z:

Для аргумента ср имеем (рис. 161)

где

Примеры: 1) arg 2 = 0; 2) arg (-1) = ; 3) arg i = .

Модуль г и аргумент ф комплексного числа z можно рассматривать (рис. 161) как полярные координаты точки z. Отсюда получаем

Таким образом, имеем тригонометрическую форму комплексного числа

где

Теорема: При сложении комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (по правилу параллелограмма).

Действительно, если число соответствует точке с координатами , а число — точке с координатами то числу отвечает точка Так как (рис. 162) заштрихованные прямоугольные треугольники с катетами х₂ и у₂ равны между собой, то четырехугольник с вершинами 0, есть параллелограмм. Следовательно, радиус-вектор точки является суммой радиусов-векторов точек и .

Следствие. Так как есть длина вектора , то

Теорема: При вычитании комплексных чисел их радиусы-векторы вычитаются. Так как , то равен второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах (рис. 163), т. е. равен разности радиусов-векторов точек .

Следствие. Расстояние между двумя точками равно

Теоремы о модуле и аргументе

Теорема: Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Действительно, если

то имеем

Отсюда

где значения многозначной функции Arg, стоящие в левой и правой частях равенства (1), следует подбирать соответствующим образом. Это замечание надо иметь в виду и для дальнейшего.

Следствие. Модуль целой положительной степени комплексного числа равен такой же степени модуля этого числа, а аргумент степени равен аргументу числа, умноженному на показатель степени, т. е.

( — целое положительное число).

Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения произведения равных сомножителей.

Пример №17

Построить точку .

Решение:

Имеем

Следовательно, при умножении на i вектор поворачивается на прямой угол против хода часовой стрелки (рис. 164).

Теорема: Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Пусть

Так как

то на основании теоремы 1 имеем

Отсюда

Извлечение корня из комплексного числа

Пусть

где . Тогда на основании имеем

Отсюда получаем

Таким образом,

Заметим, что здесь под понимается арифметическое значение корня.

Здесь в качестве числа k достаточно брать лишь значения , так как при всех прочих значениях k получаются повторения уже найденных значений корня. Следовательно, окончательно имеем

Из формулы (4) следует, что корень -й степени из любого комплексного числа =0 имеет точно л значений.

Пример №18

Найти

Решение:

Так как , то на основании формулы (4) имеем

Отсюда

Точки представляют собой равноотстоящие друг от друга точки, расположенные на окружности радиуса (рис. 165).

Понятие функции комплексной переменной

Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость г) и O’uv (плоскость w).

Определение: Если каждой точке z Е (Е — множество точек плоскости z) по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка w Е’ (Е’ — множество точек плоскости w), то говорят, что w есть функция от z (однозначная)

с областью определения Е, значения которой принадлежат множеству Е’ (рис. 166). Если множество значений функции f(z) исчерпывает все множество Е то Е’ называется множеством значений (областью изменения) функции f(z). В этом случае пишут

Множества Е и Е’ можно изображать на одной комплексной плоскости.

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят свое применение в таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описывать «историю» движения объема жидкости (или газа).

Раздел математики, изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций комплексной переменной.

Пример:

Во что переходит сектор Е

(рис. 167, а) при отображении

Решение:

Имеем

Поэтому отображенная область E’ представляет собой полукруг (рис. 167, б).

Определение комплексных чисел

Определение комплексного числа и основные функции комплексной переменной

Определение 7.1. Множеством комплексных чисел называется множество пар действительных чисел на котором введены операции сложения и умножения следующим образом. Если то Элементы множества называются комплексными числами. Два комплексных числа называются равными, если

Операции сложения и умножения на множестве обладают привычными свойствами (коммутативность сложения и умножения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения).

Лемма 7.1. Для любых комплексных чисел выполняются равенства

□ Докажем, например, свойство 4 (свойство 5 доказывается аналогично, свойства 1, 2, 3 очевидны).

Пусть Тогда

Два последних комплексных числа совпадают. После раскрытия скобок оказывается, что оба они равны

■

Определение 7.2. Комплексное число отождествляется с действительным числом а.

Это определение оправдывается тем, что установлено взаимно однозначное соответствие между множеством пар и множеством действительных чисел, сохраняющее операции сложения и умножения:

Такое соответствие в высшей алгебре называется изоморфизмом.

Определение 7.3. Комплексное число (0,1) обозначается буквой

Легко видеть, что т.е.

Далее, так как то пару можно записать в виде В дальнейшем комплексное число так и будем записывать: где Определения операций при этом запишутся так:

Иными словами, комплексные числа можно складывать и умножать, пользуясь известными законами сложения и умножения (лемма 7.1), имея в виду, что

Определение 7.4. Разностью двух комплексных чисел и называется такое комплексное число что (обозначается ). Частным двух комплексных чисел () называется такое комплексное число z, что (обозначается ).

Проверим, что эти операции однозначно определены.

□ Пусть Для разности имеем: откуда Тогда Разность двух комплексных чисел определяется однозначно: т.е. вычитание можно осуществлять непосредственно.

Для частного имеем: откуда Так как то определитель этой системы решая систему по правилу Крамера, получим: Частное двух комплексных чисел определено однозначно:

Такое деление можно осуществлять непосредственно:

Комплексное число называется сопряжённым к числу Мы воспользовались тем, что Произведённые действия аналогичны домножению числителя и знаменателя дроби со знаменателем вида где на число сопряжённое к знаменателю (такие действия применяются для избавления от иррациональности в знаменателе).

Определение 7.5. Пусть где Тогда числа называются соответственно действительной и мнимой частью числа (). Комплексное число называется числом, сопряжённым к Действительное неотрицательное число называется модулем числа

Лемма 7.2. Для любых комплексных чисел имеют место следующие соотношения:

Доказать эти утверждения будет предложено самостоятельно в качестве упражнения.

Множество комплексных чисел геометрически интерпретируется как множество точек плоскости (комплексная плоскость ). Если координаты точек заданы в прямоугольной системе координат 0, (кратчайший поворот от осуществляется против часовой стрелки), то комплексное число соответствует точке с координатами Такое соответствие является взаимно однозначным. Точка симметрична точке относительно оси абсцисс, которая называется действительной осью, ось ординат называется мнимой осью. Расстояние от точки до начала координат равно (см. рис. 7.1).

Аргументом числа называется угол поворота от положительного луча действительной оси к лучу (против часовой стрелки). Этот угол определён с точностью до и обозначается Аргумент нулевого комплексного числа не определён. Фактически мы ввели полярные координаты на комплексной плоскости: При этом и комплексное число можно записать в тригонометрической форме:

Пример:

Записать в тригонометрической форме числа

□ 1)

При записи комплексного числа в тригонометрической форме обычно берут одно фиксированное («наиболее простое») значение аргумента. Возьмём Тогда

2) Тогда ().

Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, удобно умножать и делить. При умножении модули чисел перемножаются, аргументы складываются. При делении модули делятся, аргументы вычитаются.

Лемма 7.3. Пусть Тогда

Если
откуда следует, что

Степень с целым показателем для комплексных чисел определяется так же, как и для действительных. Поэтому мы можем сформулировать

Следствие (формула Муавра). Если то при любом целом имеет место равенство

Иными словами, при возведении комплексного числа в целую степень модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример:

Применяя формулу Муавра, получить известные формулы тригонометрии для

□ Имеем: Возводя двучлен в куб, получим: (мы воспользовались тем, что ). Приравнивая действительные и мнимые части двух равных выражений, имеем

Определение 7.6. Пусть — натуральное число, Корнем степени из комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).

Лемма 7.4. Если принимает единственное значение 0 при любом Если то принимает ровно комплексных значений, имеющих одинаковый модуль различных значений аргумента

□ Правая часть леммы очевидна, так как и если
Пусть теперь Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на (пока значение стояло только под знаком косинуса и синуса, неоднозначность определения можно было не учитывать, если сравнивать сами углы — эту неоднозначность учитывать необходимо). Итак, откуда (арифметический корень степени из положительного числа),

При замене получим тот же угол, увеличенный на поэтому существенно различные значения дают лишь значений далее значения корня повторяются).

Замечание. значений на комплексной плоскости соответствуют точкам, лежащим в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример №19

Найти все значения

□ 1) поэтому Получим 3 значения: (см. рис. 7.2).

Первое из них — арифметическое значение кубического корня из положительного числа 8.

2) поэтому

Получим 4 значения:

(см. рис. 7.3). здесь — арифметическое значение корня 4-й степени из положительного числа 5.

3) , поэтому

Получим 3 значения:

(см. рис. 7.4). ■

Определение 7.7. Пусть Тогда определяется как комплексное число

Если (при получаем обычное действительное значение ). Отмстим, что при любых

Лемма 7.5. Для любых имеют место равенства

□ Пусть Тогда

Далее, так как откуда следует второе утверждение леммы.

Пример №20

Вычислить

□ Имеем:

Так как при всех выполняются равенства
, то функция комплексной переменной имеет мнимый период Привычной взаимной однозначности отображения при помощи функции уже нет.

Определение 7.8. Логарифмом комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).

Лемма 7.6. Если не определен. Если принимает бесконечно много значений, имеющих одинаковую действительную часть (обычный натуральный логарифм положительного числа) и бесконечное число значений мнимой части

□ Первая часть леммы следует из того, что при любых Пусть теперь Тогда (откуда ),

Таким образом, множество значений функции есть вся комплексная плоскость, кроме точки 0.

Пример №21

Найти все значения

Определение 7.9. Для любых определим так:

Если

Поэтому

Аналогично,

Отметим также, что все известные формулы тригонометрии сохраняются для комплексных значений аргументов (при этом ). Например, для всех

Так как

Легко видеть, что Косинус на действительной оси соответствует гиперболическому косинусу на мнимой оси и наоборот: аналогично для синусов. Поэтому формально все операции для тригонометрических и гиперболических функций проводятся одинаково с точностью до некоторых степеней числа (если работать только с действительными числами, то всё будет происходить одинаково с точностью до степеней числа —1). Этим и объясняется сходство формул тригонометрии с соответствующими формулами для гиперболических функций, включая формулы для производных и разложения по формуле Тейлора.

Комплекснозначные функции действительной переменной

Рассмотрим функцию такую, что Тогда при всех можно рассмотреть

Так как можно интерпретировать как плоскость , то комплекснозначная функция действительной переменной фактически есть двумерная вектор-функция, значения которой записываются как комплексные числа.

Определение 7.10. Комплекснозначная функция действительной переменной называется непрерывной (дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д.) в точке или на промежутке, если таковыми же являются обе функции Для дифференцируемой функции по определению

Для комплекснозначных функций сохраняются формулы производной суммы, произведения и частного.

Лемма 7.7. Если комплекснозначные функции действительной переменной дифференцируемы в точке то функции также дифференцируемы в этой точке, причем

в точке (в последнем случае нужно требовать, чтобы

□ Докажем лемму для случая производной произведения. Утверждение для производной суммы доказывается проще, а для производной частного — несколько сложнее, но, по сути дела, аналогично.

Пусть функции дифференцируемы в точке Тогда

Функция дифференцируема в точке так как существуют и конечны все производные в последнем выражении. Далее,

Легко видеть, что это выражение совпадает с

Пример №22

Доказать, что при любом имеет место равенство

т.е. привычная для действительных формула сохраняется и при комплексных

□ Пусть

Тогда

С другой стороны,

что совпадает с

Отметим, что производная комплекснозначной функции берётся по действительной переменной. Принципиально иная ситуация возникает при рассмотрении комплекснозначных функций комплексной переменной и при дифференцировании их по комплексной переменной. Здесь имеют место совершенно неожиданные эффекты (например, если функция дифференцируема в окрестности точки, то она имеет производные всех порядков в этой окрестности), которые студенты обычно изучают на III курсе (курс ТФКП — теория функций комплексной переменной).

Многочлены

Функция комплексной переменной

где называется многочленом степени от переменной Многочлен степени 0 — это постоянная функция где Нулевому многочлену не приписывается никакая степень (иногда удобно считать, что его степень равна ). Если все , то говорят о многочлене с действительными коэффициентами ( или по смыслу задачи). Если все то говорят о многочлене с комплексными коэффициентами

Если — многочлен степени то многочлен можно разделить с остатком на

где

Теорема 7.1 (Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен

□ Из (7.1) имеем при

Следствие. Многочлен делится без остатка на тогда и только тогда, когда число является корнем многочлена

□ Утверждение немедленно следует из теоремы Безу.

Таким образом, число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда где степень многочлена на единицу меньше степени Р.

Теорема 7.2 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

В настоящее время мы не располагаем математическим аппаратом для доказательства этой теоремы, поэтому примем её без доказательства. Доказана она будет очень просто в курсе ТФКП (и даже двумя способами — как простое следствие из теоремы Лиувилля или теоремы Руше).

Теорема 7.3. Многочлен с комплексными коэффициентами

раскладывается в произведение линейных множителей

где (среди чисел возможно, есть равные).

□ По основной теореме алгебры где — многочлен степени Применяя такую же процедуру к получим: — многочлен степени и т.д. В конце концов дойдём до многочлена степени 0.

где (комплексная постоянная). Здесь — комплексные числа, среди которых могут быть равные.

Если раскрыть скобки в правой части (7.2), то коэффициент при будет равен С, т.е.

Определение 7.11. Комплексное число называется корнем кратности многочлена степени если — многочлен такой, что При корень называется простым, при — кратным.

Если , то число не является корнем многочлена

В общем случае, учитывая кратность корней, многочлен степени раскладывается на линейные множители:

где все комплексные числа различны, корень имеет кратность , при этом степень многочлена равна

Лемма 7.8. Пусть (многочлен, сопряжённый к P). Число является корнем многочлена Р кратности тогда и только тогда, когда число а является корнем многочлена той же кратности

□ Так как то утверждение достаточно доказать лишь в одну сторону. Пусть Тогда

Так как — любое комплексное число, то в последней записи можно заменить Получим

Это и означает, что — корень многочлена кратности

Следствие. Если — многочлен с действительными коэффициентами, то числа одновременно являются его корнями, причем кратности их совпадают (т.е. недействительные корни появляются «парочками» — взаимно сопряжённые корни одинаковой кратности).

□ Это очевидно из леммы 7.8, так как — один и тот же многочлен.

Теорема 7.4. Многочлен степени с действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных и неприводимых квадратичных множителей:

□ По теореме 7.3 и лемме 7.8

где — действительные корни многочлена кратностей соответственно, a — оставшиеся корни ( имеют одинаковую кратность ). Очевидно, что степень многочлена равна т.е. эта сумма равна

Пусть Тогда

Получили квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами который имеет отрицательный дискриминант Остаётся символически заменить подчёркивая этим, что нас интересуют лишь действительные значения и мы получим нужное равенство.

Теорема 7.4 является примером утверждения, в формулировке которого отсутствуют комплексные числа (чисто действительное утверждение), а естественное доказательство его получается с выходом во множество комплексных чисел. Таких утверждений можно встретить немало в различных математических курсах и прикладных науках.

Кстати, квадратный трехчлен с комплексными коэффициентами имеет такой же вид разложения на линейные множители, как и квадратный трёхчлен с действительными корнями в элементарной алгебре:

Корни — комплексные, и они обязательно существуют. Роль дискриминанта сводится только к определению того, различны ли корни или они совпадают (т.е. квадратный трёхчлен имеет один корень кратности 2). Если то квадратный трёхчлен имеет два различных простых корня, если — один корень кратности 2. В самом деле, решая квадратное уравнение методом выделения полного квадрата, получим, как и в элементарной алгебре:

Если и уравнение имеет один корень кратности 2 Если то (писать ± не имеет смысла, так как и под понимаются оба значения квадратного корня из ненулевого комплексного числа). Окончательно получим привычную формулу корней квадратного уравнения:

Пример №23

Решить уравнение

□ Найдём оба значения Пусть Тогда Решая эту систему, получим: Полученное биквадратное уравнение решается при помощи замены Квадратное уравнение имеет корни Так как Получили два значения квадратного корня: Тогда корни данного уравнения равны

Пример №24

Найти все значения решая уравнение

□ Левая часть раскладывается на множители:

Поэтому один из корней равен 2. Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней поэтому имеет всего одно действительное значение 2. Найдём оставшиеся два комплексно-сопряжённых значения. Решаем квадратное уравнение по формуле чётного коэффициента:

Во множестве комплексных чисел имеет два значения поэтому имеет 3 комплексных значения: (такой же результат был получен в примере 7.3 другим способом). ■

Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей

Мы будем рассматривать действительные дробно-рациональные функции — многочлены степеней соответственно где Дробь называется правильной, если и неправильной, если

Лемма 7.9. Если правильная дробь и —действительный корень многочлена кратности то

где — многочлен, для которого является корнем кратности a — такой многочлен, что дробь является правильной.

□ Так как — корень кратности то где — многочлен такой, что Рассмотрим число и многочлен (это многочлен, так как и числитель делится нацело на ).

Так как степень G меньше степени Q и степень Р меньше степени Q, то степень числителя последней дроби меньше степени Q; значит, степень меньше степени т.е. дробь правильная. Далее, откуда

Утверждение леммы, очевидно, сохраняется, если все числа и многочлены считать комплексными.

Лемма 7.10. Пусть — неприводимый квадратный трёхчлен, входящий в разложение многочлена на множители в степени Тогда правильная дробь представляется в виде

где — многочлен, в разложение которого входит в степени — такой многочлен, что дробь является правильной.

□ Пусть где и комплексно-сопряжённые корни квадратного трёхчлена — действительный многочлен такой, что Рассмотрим действительные числа А и В такие, что

Такие числа А и В определены единственным образом, так как если то равенство (7.3) перепишется так:

и числа А, В находятся из системы очевидно, имеющей единственное решение. Из (7.3) следует также, что так как — многочлены с действительными коэффициентами.

Рассмотрим многочлен (это — многочлен, так как значит, числитель делится нацело на и на следовательно, делится на ). Пусть степень Q равна Так как степень G не превосходит то степень многочлена не превосходит т.е. меньше степени Q. Степень Р также меньше степени Q, поэтому степень числителя последней дроби меньше степени Q.

Значит, степень меньше, чем , т.е. меньше степени и дробь правильная. Далее,

откуда

Последовательно выделяя из многочлена линейные, а затем неприводимые квадратичные множители, и применяя соответственно леммы 7.9 и 7.10, получим разложение в сумму правильных дробей вида

(здесь

— как разложение многочлена в теореме 7.4).

Все слагаемые последней суммы называются простейшими дробями. Все коэффициенты, обозначенные символом , являются действительными числами (вообще говоря, различными). Всего их штук. Можно доказать, что они определены единственным образом. Процесс выделения слагаемых по леммам 7.9 и 7.10 прекратится, когда в знаменателе останется ровно один множитель вида Но такая правильная дробь сама будет простейшей. Таким образом, доказана

Теорема 7.5. Любая правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами раскладывается в сумму простейших дробей.

Пример №25

Разложить в сумму простейших дробей:

а) Приводя к общему знаменателю, имеем: При получим при получим Окончательно имеем:

б) Приводя в общему знаменателю, имеем:
При получим Приравнивая коэффициенты при получим т.е. Приравнивая свободные члены, получим откуда Окончательно имеем

в)

Приводя к общему знаменателю, имеем: Приравнивая коэффициенты при получим: откуда Окончательно имеем

Вычисление комплексного числа

Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени n с действительными коэффициентами называется любое выражение вида

где
х – переменная.

Корнем многочлена (1.1) называется любое число такое, что

Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют
действительных корней, например:

Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому
множеству символ i , такой что ( i называется мнимой единицей).
Тогда ±i – два корня уравнения

Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество

Суммой двух комплексных чисел называется число
.
Произведением двух комплексных чисел называется число

Для числа z= a +bi число а называется действительной частью,
число b – мнимой частью. Обозначения:

Относительно операций «+» и « · » комплексные числа С обладают
такими же свойствами, как и действительные числа. Эти операции
коммутативны и ассоциативны; для них существуют обратные операции:
вычитание и деление (кроме деления на 0).

Пример №26

Найти

Решение:

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2)
имеет решение во множестве С.

Пример №27

Решить уравнение

Решение:

Определение 1.3. Для комплексного числа z =a +bi число z =a -bi называется комплексно-сопряженным, число называется модулем z.

Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат ( O,x,y ) и на оси Ох отложить а – действительную часть z, а на оси Oy – b – мнимую часть z, то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех
комплексных чисел и множеством точек плоскости.

Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.

При этом – длина радиуса-вектора точки z.

Определение 1.4. Аргументом комплексного числа z =a +bi называется
угол , который образует радиус-вектор точки z с положительным
направлением оси Ох Аргумент будем обозначать Argz . Аргумент
определен с точностью до 2 πn. При этом значение называется
главным и обозначается argz.

Замечание.

При этом

Если – аргумент z, то z представляется в виде

тригонометрическая форма комплексного числа.

Теорема 1.2. Пусть

Доказательство

Из формул (1.5) следует, в частности, что – формула Муавра. (1.6)

Пример №28

Представить числа в тригонометрической форме.

Решение:

поэтому по формуле (1.3)

Тогда по формуле (1.4)

поэтому по формуле (1.3)

Тогда

Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент комплексного числа z при
умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель
степени. Обозначим – формула Эйлера. (1.7)