Как найти центр вневписанной окружности треугольника

Вневписанные окружности

Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство

Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом r_b .

Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Следовательно, справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

,

что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Доказательство . Перемножим формулы

что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

МАТЕМАТИКА

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису . Затем продолжим эту биссектрису за точку до пересечения в точке с биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.

Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.

Поскольку точка равноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром , касающаяся стороны ВС, касается также и продолжений сторон АВ и АС (рис.2).

Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника АВС. Ясно, что любой треугольник имеет три вневписанных окружности. (рис.3).

Положение центра вневписанной окружности можно охарактеризовать так: это точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Можно охарактеризовать его и совершенно иначе, если заметить, что точки , В и С и центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежат на одной окружности с диаметром (рис.4), – это следует из того, что углы и прямые.

Можно сказать, таким образом, что точка представляет собой точку пересечения прямой и окружности, описанной около треугольника ВОС.

Принимая во внимание замечание в конце статьи (Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности), из этого можно сделать еще один вывод:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

В самом деле, пусть D – точка пересечения продолжения биссектрисы с описанной около треугольника АВС окружностью (рис.5). Тогда согласно упомянутому замечанию DB = DC = DO. Следовательно, D – центр окружности, описанной около четырехугольника . Проведем из точек O, D и перпендикуляры к стороне ВС и обозначим их основания буквами P, Q и R соответственно (рис.6). Точки P и R являются точками касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС, а точка Q – середина этой стороны. Но , значит, и PQ = QR, то есть точки P и R симметричны относительно точки Q.

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника обладает еще одним замечательным свойством:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.

Можно убедиться в этом самостоятельно, используя рис. 7.

При решении задач, связанных с нахождением площади треугольника, часто полезной бывает следующая формула. Пусть – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной а, р – полупериметр треугольника. Тогда

Обозначим эту формулу (1).

Действительно, если две другие стороны данного треугольника равны b и c (рис. 8), то

Замечание. Выпуклый четырехугольник может не иметь вписанной окружности, но он всегда имеет четыре вневписанные окружности.

Любопытно, что для площади S такого четырехугольника имеет место соотношение, похожее на формулу (1).

В самом деле, пусть стороны данного четырехугольника равны последовательно a, b, c и d; p – его полупериметр, и – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с. Допустим, что две другие стороны не параллельны (случай параллельных сторон рассмотрите самостоятельно). Продолжим их до пересечения в точке М (рис.9).

Пусть и – точки, в которых продолжения одной из сторон касаются вневписанных окружностей, причем лежит на окружности, вписанной в маленький треугольник. Площадь S четырехугольника равна, очевидно, разности площадей большого и маленького треугольников. Периметр маленького треугольника равен , а периметр большого треугольника равен

Применяя к большому треугольнику формулу (1), а к меньшему – формулу , выражающую его площадь через радиус вписанной окружности и полупериметр, получаем:

Обозначим эту формулу (2)

С другой стороны, из подобия треугольников и ( и – центры вневписанных окружностей) находим . Но отрезок равен полупериметру большого треугольника, то есть .

Поэтому из полученной пропорции можно найти :

Подставляя это выражение в равенство (2) получим:

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

Вневписанная окружность треугольника.

Определение.

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 1.

Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.

Доказательство.

BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.

Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 2.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.

Доказательство.

BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).

P_ΔABC=AB+ BC +AC=AB+ BG + GC +AC=AB+ BJ + AC +CH=AJ+AH.

Так как AJ=AH, то P_ΔABC/2=AJ=AH и P_ΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.

Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра P_ΔABC/2+AG.

Вписанная окружность и отрезки сторон треугольника

Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.

Можно ли найти как-то отрезочки ( displaystyle AK), ( displaystyle KC), ( displaystyle BL) и.д. —отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника?

Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные, касающиеся окружности»).

Итак, начнём поиск!

Посмотри внимательно: из точки ( displaystyle A) проведено две касательных, значит их отрезки ( displaystyle AK) и ( displaystyle AM) равны.

Мы обозначим их «( displaystyle x)».

Далее, точно так же:

( displaystyle BM=BL=y) (обозначили).

( displaystyle CK=CL=z) (обозначили).

Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины «( displaystyle a)», «( displaystyle b)», «( displaystyle c)» — смотри на рисунок. Что же теперь получилось?

А вот, например, отрезок «( displaystyle a)» состоит из двух отрезков «( displaystyle y)» и «( displaystyle z)», да и отрезки «( displaystyle b)» и «( displaystyle c)» тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:

Сложим первые два уравнения и вычтем третье:

( displaystyle left{ begin{array}{l}y+z=a\x+z=b\x+y=cend{array} right.Rightarrow x+y+2z-left( x+y right)=a+b-c), то есть:

( displaystyle z=frac{a+b-c}{2})

А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}y+z=a\x+z=b\x+y=cend{array} right.Rightarrow y+z+x+y-left( x+z right)=a+c-b), то есть:

( displaystyle y=frac{a+c-b}{2})

И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.

( displaystyle left{ begin{array}{l}y+z=a\x+z=b\x+y=cend{array} right.Rightarrow x=frac{b+c-a}{2})

( displaystyle x=frac{b+c-a}{2})

Ну вот, всё нашли:

( displaystyle x=frac{b+c-a}{2};y=frac{a+c-b}{2};~z=frac{a+b-c}{2})

Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.

( displaystyle x=frac{b+c-a}{2})

Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть «( displaystyle x)» («( displaystyle b)» и «( displaystyle c)») будут с плюсом, а та сторона, где нет «( displaystyle x)» (это «( displaystyle a)»), будет с минусом.

Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же

Определение.

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 1.

Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.

Доказательство.

BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.

Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 2. 

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.

Доказательство.

BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).

P_ΔABC=AB+BC+AC=AB+BG+GC+AC=AB+BJ+AC+CH=AJ+AH.

Так как AJ=AH, то P_ΔABC/2=AJ=AH и P_ΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.

Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра P_ΔABC/2+AG.

Советую прочитать:

1. Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности;
2. Лемма о трезубце.

Формулы для центров вневписанных окружностей треугольников

Речь пойдет о формулах для определения расстояний между
центрами вписанной и вневписанной окружностей произвольного треугольника.

Пусть α,
β,
γ — внутренние углы
треугольника, а r — радиус вписанной в него окружности. Обозначим
расстояния между центром O вписанной окружности и центрами A, B,
C вневписанных окружностей соответственно:

OA – l_a, OB – l_b,
OC – l_c;

аналогично — расстояния между центрами вневписанных
окружностей:

BC – L_a, CA – L_b,
AB – L_c.

Тогда имеют место шесть следующих легко запоминающихся
соотношений:

В случае равностороннего треугольника формулы предельно
упрощаются:

l_a = l_b = l_c
= l = 4r;

L_a = L_b = L_c = L =

Формулам можно придать другой вид, если учесть, что:

где a, b, c — стороны треугольника,

 — его полупериметр.

После соответствующих подстановок и следующих за ними
сокращений окончательно получим:

Для равностороннего треугольника

Сарбаш Р.

Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач

        Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности.

        Данный материал был предложен учащимся для ознакомления и подготовки к ЕГЭ.

Определение: Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.

Теорема 1: У каждого треугольника три вневписанные окружности

1 свойство вневписанной окружности:

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (∠A) и биссектрис двух внешних углов (∠B и ∠C).

2 свойство вневписанной окружности:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны. 

3 свойство вневписанной окружности:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.

4 свойство вневписанной окружности:

Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности на разность периметра и длины стороны треугольника касающейся вневписанной окружности

5 свойство вневписанной окружности:

где r, ra, rb, rc –соответственно радиусы вписанной и вневписанных окружностей

6  свойство вневписанной окружности:

7  свойство вневписанной окружности:

8 свойство вневписанной окружности :

9 свойство вневписанной окружности

Определение: Ортотреугольник это треугольник

∆abc вершины которого являются основаниями высот треугольника АВС.

Для ортотреугольника ( треугольника ∆abc) сам треугольник АВС является треугольником трех внешних биссектрис. Отрезки АВ, ВС и СА являются тремя внешними биссектрисами треугольника  ∆abc.

Свойство 9 :

Исходный треугольник АВС является ортотреугольником треугольника OaObOc.

Свойство 10 :

Свойство 11 :

Доказательство всех свойств можно посмотреть по ссылке http://wiki.sch239.net/math-public/vnevpisannye_okruzhnosti 

Применение свойств к решению задач части С4 из банка ЕГЭ 

Задача 1.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6».

Решение: Согласно свойству 6, произведение радиусов можно найти по формуле

rarbrc = rp2, где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р = 4+5+6=15, р = 15/2.

r  = S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =

Тогда    rarbrc =     

Ответ:

Задача 2
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите  произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21».

Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через радиус описанной окружности.

 S=, тогда   abc=S·4R.    4R=ra+rb+rc-r;  S = rarbrc/p;  

р2 = rarb+rarc+rbrc;         p²=9·18+9·21+18·21=27²;     S=9·18·21/27=126;  

4R = ra + rb + rc — r;    r = ra·rb·rc/p²;         r  = 9·18·21/27² = 14/3;

4R =  9+18+21- 14/3 = 130/3;     abc = 126·130/7=5460

Ответ: 5460.

Задачи повышенной сложности

Задания Д11 C4 № 500964

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Решение. 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b, BC = a и гипотенузой AB = c. 

Пусть окружность с центром Oc радиуса rc касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC 

− в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC. 

Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT, поэтому

а так как CM = CN, то CM = p. Далее, пусть окружность с центром Oa радиуса ra касается катета BC в точке K, а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p.

Четырехугольники NOcMC   и   KOaQC — квадраты, поэтому     значит, ra < rc.

Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.

Таким образом, возможны только такие случаи:

1. Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7;
2. либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.

Предположим, что rc = 17 и ra = 7 (рис. 1).

Опустим перпендикуляр OaF из центра меньшей окружности на OcN. Тогда

Следовательно,  

Пусть теперь rb = 17 и ra = 7. (рис 2) 

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки Oa,C и Ob лежат на оной прямой.

Следовательно,

Ответ: 26 или

Задание 16 № 519666

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решение.  

а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h —  высота, опущенная на основание треугольника.

Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле где p —  полупериметр треугольника, a —  сторона, которой касается окружность.

Таким образом,

б) Пусть O2 — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H. Трегольники AMC и CHO2 подобны по двум углам, поэтому

Так как R=h,  то r= .  Тогда CO 2 =3r.  Найдем CH по теореме Пифагора. Получим, что СH=

Тогда  

Откуда получаем

О твет: а) R=h  ч.т.д    

б) точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону в отношении 2:1

Таким образом: рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся для успешной сдачи итоговой аттестации.

Список используемой литературы:

1. Березин  В.И. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике   – Москва: Просвещение, 1985 год.

2. Гнеденко  Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика. –Москва: Просвещение, 1985 год

3.

5. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2011» НИИ школьных технологий , 2010г.

6. Понарин  Я.П. Элементарная геометрия / Я.П. Понарин. – Москва: МЦНМО, 2004 год.

7. Шарыгин И.Ф. « Геометрия 7-9» . учебник для общеобразовательных учреждений, —  Москва. Дрофа. 2010г. (п. 8.1)

 Список интернет ресурсов:

1. Сайт президентского лицея № 239 СПб http://wiki.sch239.net/math-public/vnevpisannye_okruzhnosti
2. Сайт «Решу ЕГЭ» https://ege.sdamgia.ru/ 
3. Видеоуроки и лекции: Твоя-школа.рф www.ege-1.ru
4. Онлайн-школа Фоксфорд https://foxford.ru/wiki/matematika/vnevpisannaya-okruzhnost-treugolnika 
5. Подготовка школьников к ЕГЭ «Учебные материалы Резольвента»    https://www.resolventa.ru/