Как найти центр поворота фигуры

План урока:

Отображение плоскости на себя

Понятие движение в геометрии

Свойства движения

Параллельный перенос

Поворот

Использование движения в задачах

Отображение плоскости на себя

Пусть есть некоторое правило, которое устанавливает для каждой точки плоскости какую-нибудь точку этой же плоскости. Подобное правило именуют отображением плоскости на себя.

Лучше всего пояснить это понятие на конкретных примерах. Так, уже изученная нами ранее осевая симметрия может считаться отображением плоскости на себя. Проведем на плоскости прямую m, которая сыграет роль оси симметрии. Далее отметим несколько произвольно выбранных точек А, В, С, D:

Для каждой из отмеченных точек несложно определить точку, симметричную ей относительно оси симметрии. Чтобы сделать это, надо опустить из точек перпендикуляры АА’, ВВ’, СС’на прямую m, а потом на продолжении этих перпендикуляров отложить отрезки А’A’’, B’B’’, C’C’’ так, чтобы выполнялись равенства:

Тогда точки А и А’’, В и В’’, С и С’’ будут симметричны относительно m. Можно сказать, что точки А, В и С отобразились соответственно в точки А’’, В’’, С’’:

Обратите внимание на точку D, которая непосредственно лежит на m. Для нее не получится выполнить такое же построение, как для А, В и C, однако считается, что она симметрична сама себе. Поэтому можно сказать, что точка D преобразуется в точку D’’, которая совпадает с самой D. То есть точка отобразилась сама на себя.

Таким образом, любую точку можно отобразить симметрично относительно произвольной прямой m, и такое отображение как раз является примером отображения плоскости на себя.

В качестве ещё одного примера можно привести центральную симметрию. Отметим на плоскости произвольную точку О, которая будет центром симметрии, а также некоторые точки А, В, С. Отобразим их симметрично относительно О. Для этого надо просто построить прямые АО, ВО и СО, а потом от О отложить на этих прямых отрезки А’О, В’O, C’O:

Можно сказать, что А, В и С отобразились в точки А’, В’ и C’. Если бы мы захотели отобразить с помощью центральной симметрии саму точку О, то она отобразилась бы сама в себя. Таким образом, центральная симметрия также представляет собой отображение плоскости на себя, так как с помощью описанного алгоритма можно найти отображение любой точки на плоскости.

Важно понимать, что бывают отображения плоскости, которые вовсе не являются симметриями. Например, снова возьмем точку О ещё три точки А, В, С. Снова построим прямые АО, ВО и СО, но теперь уже от самих точек А, В и С отложим отрезки, равные АО, ВО и СО, и обозначим их как АА’, ВВ’ и CС’:

В результате наших действий мы снова каждой точке А, В, С поставили в соответствие точку А’, В’, С’. То есть имеет место отображение плоскости. Такое преобразование называется гомотетией (точнее говоря, это частный случай гомотетии), и оно симметрией не является.

Все три описанных примера отображений плоскости на себя объединяет то, что они содержат описание правила (алгоритма), по которому произвольной точке А может быть поставлена в соответствие какая-то произвольная точка А’. При этом точку А’ называют отображением, или образом точки А. В свою очередь А можно назвать прообразом точки А’. Ещё раз отметим, что допускается ситуация, когда точки А и А’ совпадают. Попробуйте сами придумать ещё несколько алгоритмов, которые представляют собой отображения плоскости.

Понятие движения в геометрии

Среди всех отображений плоскости в особую группу объединяют те преобразования, при которых не изменяется расстояние между отображаемыми точками. Эти отображения именуются движениями. Также используются термины перемещение и изометрия.

Центральная и осевая симметрия– это как раз примеры движений. Докажем это для осевой симметрии. Рассмотрим две точки А и В, расположенные так, как это показано на рисунке, а также ось симметрии m. Отобразим А и В относительно mпо правилам осевой симметрии:

Здесь Н и К – это точки прямой m, на которые упали перпендикуляры, опущенные из А и В. Проведем отрезки НВ и НВ’. Теперь исследуем ∆KBH и ∆KB’H. Они оба являются прямоугольными, у них один катет общий (HK), а вторые катеты равны по свойству осевой симметрии. Из этого вытекает равенство ∆KBH и ∆KB’H, а это значит, что

Далее рассмотрим ∆АВН и ∆А’B’H. Только что мы выяснили, что у них есть одинаковые углы ∠BHA и ∠B’HA’. Прилегающие к ним стороны также одинаковы:

Надо отметить, что приведенное доказательство не является полным, так как рассматривает один случай расположения точек А и В. Возможны ещё как минимум 6 случаев расположения А и В:

В рамках полного доказательства следовало бы полностью рассмотреть каждый из этих случаев и для каждого из них доказать равенство

но мы не будем тратить на это время, можете попробовать самостоятельно сделать это.

Далее проанализируем центральную симметрию, она также представляет собой движения. Отобразим точки А и В в образы А’и В’ относительного произвольного центра симметрии О:

Сравним ∆АОВ и А’OB’. У них одинаковы∠АОВ и ∠А’ОВ’, так как они – вертикальные. По свойству центральной симметрии можно записать, что

Надо понимать, что не всякое отображение плоскости представляет собой движение. Например, рассмотренная нами гомотетия изменяет расстояния между точками, а потому она не относится к движениям.

Свойства движения

При движении, как и при любом отображении, можно отображать не только отдельные точки, но и их множества, то есть геометрические фигуры. Сформулируем важную теорему:

Действительно, пусть есть отрезок MN, все точки которого мы отобразили с помощью движения. Произвольную точку отрезка MN обозначим как Р. После отображения мы получим точки M’, N’ и Р’. Соединим М’ и N’ и получим отрезок M’N’.Докажем, что Р’ принадлежать отрезку M’N’.

Р лежит на NP, поэтому справедливо равенство:

Заметим, что это равенство как раз может выполняться только в случае, если Р’ принадлежит M’N’. Действительно, если Р’ не лежит на M’N’, то существует ∆M’N’P’, для которого, в силу неравенства треугольника, можно записать

Итак, мы показали, что всякая точка Р исходного отрезка MN обязательно будет отображаться на отрезок M’N’. Однако этого мало. Вдруг на M’N’ есть такая точка Р’, что ее прообраз не лежит на исходном отрезке MN?Для того, чтобы опровергнуть такую возможность, надо рассуждать в «обратную сторону». Для Р’, лежащей на M’N’, выполняется равенство

Такое равенство означает, что Р лежит на MN. В итоге мы смогли показать, что отрезок MN отображается именно в отрезок M’N’.

Доказанное нами свойство позволяет доказать следующий факт:

В результате отрезки АВ, АС, и ВС отобразятся в равные им отрезки А’B’, А’С’ и B’C’. Но тогда ∆АВС и ∆А’В’С’ будут равны, ведь у них одинаковы все 3 стороны, ч. т. д.

Из этого факта легко показать, что при движении остаются неизменными не только расстояния, но и углы. Пусть есть некоторый ∠А. Отметим на его сторонах точки В и C, в результате получим ∆АВС (если только ∠А не является развернутым). При движении ∆АВС отобразится в равный ему ∆А’В’С’. Из равенства треугольников вытекает и равенство углов:

ч. т. д.

Аналогичными рассуждениями можно продемонстрировать, что вообще любая фигура, изученная нами в курсе геометрии (прямая, луч, многоугольник, окружность) будет отображаться в равную ей фигуру.

Более того, если между двумя фигурами есть некоторая взаимосвязь, то она сохраняется после движения. Например, при движении две параллельные прямые отображаются в две другие параллельные прямые, и расстояние между ними не меняется. Если движению подвергают окружность и прямую, являющуюся касательной к ней, то в результате получают новую окружность и прямую, причем прямая останется касательной к окружности.

Параллельный перенос

Мы уже изучили два вида движения – осевую и центральную симметрию. Однако есть ещё несколько видов движений. Один из них именуется параллельным переносом. Для выполнения параллельного переноса необходимо предварительно задать некоторый вектор а. При параллельном переносе точки М она отображается в точку M’ так, что вектор MM’ оказывается равным а. Переносить можно сразу множество точек.

Докажем, что параллельный перенос действительно представляет собой движение. Для этого надо всего лишь продемонстрировать, что при нем расстояние между двумя произвольными точками не меняется. Пусть в результате параллельного переноса на вектор а некоторые точки M и N отобразились в M’ и N’ соответственно:

Рассмотрим получившийся четырехугольник NMM’N’. Две его стороны, MM’ и NN’, параллельны и имеют одинаковую длину, так являются равными векторами. Это значит, что NMM’N’ – это параллелограмм (согласно одному из признаков параллелограмма). Но тогда и две другие стороны NMM’N’, то есть MN и M’N’, также одинаковы, ч. т. д.

Примечание. Возможен частный случай, когда отрезок MN параллелен вектору а. В этом частном случае построить параллелограмм не удастся, но вы можете убедиться самостоятельно, что и в этом случае расстояние между M и N не изменяется.

Параллельный перенос может быть использован при решении ряда задач, в том числе и связанных с построением.

Задание. Даны две непересекающиеся окружности с различными радиусами. Постройте общие внешние касательные к этим окружностям.

Решение. Предположим, что нам удалось построить обе внешние касательные. Обозначим точки касания как К, Р, M и N:

Теперь осуществим параллельный перенос касательных. Касательную КР перенесем на вектор КО₁, а MN – на вектор MО₁. В результате точки K и M отобразятся в О₁, а точки Р и N – в точки Р’ и N’:

Так как при движении углы сохраняются, то прямые О₁Р’ и О₂N’ останутся перпендикулярными радиусам О₂Р и О₂N. Значит, если построить окружность с радиусом О₂Р’ (а его величина равна R – r), то для нее эти прямые останутся касательными. Отсюда легко понять алгоритм построения внешних касательных. Сначала надо построить отрезок длиной R– r (на рисунке показан зеленым цветом):

Далее из О₂ проводим окружность с радиусом R– r:

Теперь из точки О₁ проводим касательные к новой окружности. Построение таких касательных – отдельная геометрическая задача, изучаемая ещё в 8 классе. В результате мы сможем найти точки касания Р’ и N’:

Далее надо найти осуществить параллельный перенос касательных. Для этого продолжаем радиусы О₂Р’ и О₂N’, пока они не пересекутся с большей окружностью в точках Р и N соответственно. Чтобы найти точки касания меньшей окружности, надо просто провести перпендикуляры к касательным:

Поворот

Ещё одно движение, используемое в планиметрии – это поворот. Для того, чтобы его совершить, необходимо указать центр поворота и выбрать угол поворота, а также задать направление вращение. На следующем рисунке показан поворот точки М относительно О на угол 45° по часовой стрелке:

В общем случае поворот относительно точки О на некоторый угол α– это такое отображение, при котором произвольная точка М преобразуется в М’, и при этом выполняется два равенства:

Поворачивать можно не только точки, но и целые фигуры. Например, ниже продемонстрирован поворот треугольника:

Докажем, что поворот действительно является движением, то есть при его применении расстояния не искажаются. Пусть точки M и N поворачиваются на угол α относительно точки О: 

Тогда по определению поворота можно записать:

ч. т. д.

Использование движения в задачах

Мы уже рассмотрели одну задачу на построение, в которой применялся параллельный перенос прямой. Однако чаще в задачах используется поворот, а также различные виды симметрии.

Задание. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой m. Как, используя только циркуль и линейку, отметить на m такую точку C, что сумма длин отрезков АС и ВС будет минимально возможной?

Решение. Отобразим А симметрично относительно прямой m и получим точку А’. После этого соединим А’ с В. Отрезок пересечет m в точке, которая как раз и будет искомой точкой С:

Действительно, по свойству движения отрезки АС и А’С одинаковы, поэтому сумма длин АС и ВС будет совпадать с суммой А’С и ВС, то есть будет равна длине А’В. Если бы выбрали вместо С какую-нибудь другую точку К, не лежащую на А’В, то сумма длин А’K и ВК оказалась бы больше, чем длина А’В вследствие неравенства треугольника, записанного для ∆А’KB.

Задание. Петя и Ваня играют в игру. Они по очереди кладут одинаковые круглые фишки на прямоугольный стол. До тех пор, пока это возможно сделать. Если игрок не может сделать ход, то он проигрывает. Какова оптимальная стратегия в этой игре и кто, используя ее, выиграет игру?

Решение. Заметим, что прямоугольный стол обладает центральной симметрией относительно своего центра (центр прямоугольника можно определить как точку, в которой пересекаются его диагонали). Пусть первый игрок положит первую фишку ровно в центр стола:

Далее на любой второго игрока первый игрок может положить свою фишку симметрично относительно центра стола (число в центре круга – номер хода):

Получается, что на ход второго игрока первый всегда сможет ответить. То есть первый игрок никак не может проиграть, используя эту тактику. Так как игра когда-нибудь окончится (ведь свободная площадь на столе рано или поздно закончится), и она не может завершиться вничью, то именно первый игрок и выиграет.

Задание. Для произвольного ∆АВС отмечены точки А₁, В₁ и С₁ так, что ∆А₁ВС, ∆АВ₁С и ∆АВС₁ являются равносторонними, причем никакие из этих четырех треугольников не имеют общей площади (в таких случаях говорят, что треугольники построены внешним образом). Докажите, что отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ имеют одинаковую длину.

Решение. Напомним, что в равносторонних треугольниках все углы составляют по 60°. Выберем любую из вершин ∆АВС (например, С) и повернем отрезок АА₁ на 60° против часовой стрелки. Тогда точка А₁ отобразится в В, а точка А – в точку В₁.

В итоге отрезок АА₁ отобразился в отрезок ВВ₁. Это значит, что они одинаковы. Аналогичным образом, осуществляя поворот вокруг вершины А, можно показать, что отрезок ВВ₁ переходит в отрезок СС₁, и потому они также одинаковы. Таким образом, все три отрезка имеют одну и ту же длину.

Задание. В ∆АВС проведена медиана СМ. На стороне АС внешним образом построен квадрат АСDE, а на стороне ВС – квадрат ВСKF (также внешним образом). Докажите, что СМ вдвое короче KD, и СМ перпендикулярен KD.

Решение. Повернем ∆АВС на 90° против часовой стрелки вокруг точки С вместе с медианой СМ. Тогда точка А перейдет в точку D, а М и B отобразятся в некоторые точки M’ и B’ соответственно:

Заметим, что ∠ВСК – прямой, так как это угол квадрата. ∠ВСВ’ также прямой, ведь поворот мы осуществили как раз на 90°. Тогда ∠В’СКокажется развернутым:

Это значит, что точки В’, С и К лежат на одной прямой. Отрезки ВС и СК одинаковы как стороны квадрата, а отрезок В’С имеет ту же длину, что и ВС (так как он получен поворотом ВС, а при повороте расстояния не искажаются). Тогда можно записать, что

то есть отрезки СК и В’C также одинаковы. Это означает, что С – середина В’К.

М – это середина АВ (по определению медианы), поэтому и при повороте М’ останется серединой В’D. Получается, что отрезок СМ’ соединяет середины сторон В’К и В’D в ∆В’KD, то есть отрезок СМ’ является средней линией. Отсюда сразу вытекает два факта:

1) М’C вдвое короче КD;

2) М’C параллелен KD.

Ясно, что отрезки МС и М’C одинаковы по определению движения, поэтому МС также будет в 2 раза короче KD:

МC = М’C = KD/2

Отрезки МС и М’C перпендикулярны, ведь поворот мы выполнили на 90°. Но тогда МС также будет перпендикулярен и КD, ведь KD и М’C параллельны, ч. т. д.

Сегодня мы познакомились с понятием отображения плоскости на себя и его частным случаем – движением. При движении сохраняются все расстояния между точками, все углы, формы фигур и все соотношения между геометрическими объектами. Это свойство движения позволяет находить краткие решения весьма сложных геометрических задач.

Содержание:

Геометрические преобразования:

В этой лекции вы узнаете, что такое преобразование фигуры. Ознакомитесь с такими видами преобразований, как параллельный перенос, центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, гомотетия, подобие.

Вы научитесь применять свойства преобразований при решении задач и доказательстве теорем.

Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос

Пример:

На рисунке 17.1 изображены отрезок

Мы указали правило, с помощью которого каждой точке отрезка поставлена в соответствие единственная точка отрезка В этом случае говорят, что отрезок получен в результате преобразования отрезка

Пример:

На рисунке 17.2 изображены полуокружность и прямая параллельная диаметру Каждой точке полуокружности поставим в соответствие точку прямой а так, чтобы прямая была перпендикулярна прямой Понятно, что все такие точки образуют отрезок В этом случае говорят, что отрезок получен в результате преобразования полуокружности

Пример:

Пусть даны некоторая фигура и вектор (рис. 17.3). Каждой точке фигуры поставим в соответствие точку такую, что В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 17.3). Такое преобразование фигуры называют параллельным переносом на вектор

Обобщим приведенные примеры.

Пусть задана некоторая фигура Каждой точке фигуры поставим в соответствие (сопоставим) по определенному правилу некоторую точку. Все полученные сопоставленные точки образуют фигуру Говорят, что фигура получена в результате преобразования фигуры При этом фигуру называют образом фигуры а фигуру — прообразом фигуры

Так, в примере 1 отрезок является образом отрезка Точка является образом точки Отрезок — это прообраз отрезка

Обратим внимание на то, что в примере 3 фигура равна своему образу Преобразования, описанные в примерах 1 и 2, таким свойством не обладают.

Какими же свойствами должно обладать преобразование, чтобы образ и прообраз были равными фигурами? Оказывается, что достаточно лишь одного свойства: преобразование должно сохранять расстояние между точками, то есть если — произвольные точки фигуры а точки — их образы, то должно выполняться равенство

Что такое преобразование фигур

Определение. Преобразование фигуры сохраняющее расстояние между точками, называют движением (перемещением) фигуры

Если каждой точке фигуры поставлена в соответствие эта же точка то такое преобразование фигуры называют тождественным. При тождественном преобразовании образом фигуры является сама фигура . Очевидно, что тождественное преобразование является движением.

Мы давно используем понятие «равенство фигур», хотя не давали ему строгого определения.

На то, что движение связано с равенством фигур, указывают следующие свойства движения.

Если преобразование является движением, то:

• образом прямой является прямая,
• образом отрезка является отрезок, равный данному;
• образом угла является угол, равный данному,
• образом треугольника является треугольник, равный данному.

Доказательство этих свойств выходит за рамки рассматриваемого курса геометрии.

Свойства движения подсказывают следующее определение.

Определение. Две фигуры называют равными, если существует движение, при котором одна из данных фигур является образом другой.

Запись означает, что фигуры равны.

Если существует движение, при котором фигура является образом фигуры то обязательно существует движение, при котором фигура является образом фигуры Такие движения называют взаимно обратными.

Замечание. Ранее равными фигурами мы называли такие фигуры, которые совпадали при наложении. Термин «наложение» интуитивно понятен, и в нашем представлении он связывается с наложением реальных тел. Но геометрические фигуры нельзя наложить в буквальном смысле этого слова. Теперь наложение фигуры на фигуру можно рассматривать как движение фигуры при котором ее образом будет фигура

Термин «движение» также ассоциируется с определенным физическим действием: изменением положения тела без деформации.

Именно с этим связано появление этого термина в математике. Однако в геометрии предметом исследования является не процесс, происходящий во времени, а лишь свойства фигуры и ее образа.

То, что изображенные на рисунке 17.3 фигуры равны, понятно из наглядных соображений. Строгое обоснование этого факта дает следующая теорема.

Теорема 17.1 (свойство параллельного переноса). Параллельный перенос является движением.

Доказательство: Пусть — произвольные точки фигуры (рис. 17.4), точки — их соответствующие образы при параллельном переносе на вектор Докажем, что

Имеем: Векторы и имеют координаты Следовательно, координатами точек и являются соответственно пары чисел

Найдем расстояние между точками

Найдем расстояние между точками

Следовательно, мы показали, что то есть параллельный перенос сохраняет расстояние между точками.

Следствие. Если фигура — образ фигуры при параллельном переносе, то

Это свойство используется при создании рисунков на тканях, обоях, покрытиях для пола и т. п. (рис. 17.5).

Если фигура является образом фигуры при параллельном переносе на вектор то фигура является образом фигуры при параллельном переносе на вектор (рис. 17.6).

Параллельные переносы на векторы являются взаимно обратными движениями.

Пример №1

Каждой точке фигуры ставится в соответствие точка — заданные числа. Докажите, что такое преобразование фигуры является параллельным переносом на вектор

Решение:

Рассмотрим вектор Заметим, что координаты вектора равны то есть Следовательно, описанное преобразование фигуры — параллельный перенос на вектор

Пример №2

Точка является образом точки при параллельном переносе на вектор Найдите координаты вектора и координаты образа точки

Решение:

Из условия следует, что Отсюда

Пусть — образ точки Тогда то есть Отсюда

Ответ:

Пример №3

Даны угол и прямая не параллельная ни одной из сторон этого угла (рис. 17.7). Постройте прямую параллельную прямой так, чтобы стороны угла отсекали на ней отрезок заданной длины

Решение:

Рассмотрим вектор такой, что и (рис. 17.8). Построим луч являющийся образом луча при параллельном переносе на вектор Обозначим точку пересечения лучей буквой Пусть — прообраз точки при рассматриваемом параллельном переносе. Тогда

Приведенные рассуждения подсказывают следующий алгоритм построения:

1. найти образ луча при параллельном переносе на вектор
2. отметить точку пересечения луча с построенным образом;
3. через найденную точку провести прямую параллельную прямой Прямая будет искомой.

Осевая симметрия

Определение. Точки называют симметричными относительно прямой если прямая является серединным перпендикуляром отрезка (рис. 18.1). Если точка принадлежит прямой то ее считают симметричной самой себе относительно прямой

Например, точки у которых ординаты равны, а абсциссы — противоположные числа, симметричны относительно оси ординат (рис. 18.2).

Рассмотрим фигуру и прямую Каждой точке фигуры поставим в соответствие симметричную ей относительно прямой точку

В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 18.3). Такое преобразование фигуры называют осевой симметрией относительно прямой Прямую называют осью симметрии. Говорят, что фигуры симметричны относительно прямой

Теорема 18.1 (свойство осевой симметрии). Осевая симметрия является движением.

Доказательство: Выберем систему координат так, чтобы ось симметрии совпала с осью ординат. Пусть и — произвольные точки фигуры Тогда точки и — их соответствующие образы при осевой симметрии относительно оси ординат. Имеем:

Мы получили, что то есть осевая симметрия сохраняет расстояние между точками. Следовательно, осевая симметрия является движением.

Следствие. Если фигуры симметричны относительно прямой, то

Определение. Фигуру называют симметричной относительно прямой если для каждой точки данной фигуры точка, симметричная ей относительно прямой также принадлежит этой фигуре.

Прямую называют осью симметрии фигуры. Также говорят, что фигура имеет ось симметрии.

Приведем примеры фигур, имеющих ось симметрии. На рисунке 18.4 изображен равнобедренный треугольник. Прямая, содержащая его высоту, проведенную к основанию, является осью симметрии треугольника.

Любой угол имеет ось симметрии — это пря-Рис. 18.5 мая, содержащая его биссектрису (рис. 18.5).

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (рис. 18.6). Две оси симметрии имеет отрезок: это его серединный перпендикуляр и прямая, содержащая этот отрезок (рис. 18.7).

Квадрат имеет четыре оси симметрии (рис. 18.8).

Существуют фигуры, имеющие бесконечно много осей симметрии, например окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии (рис. 18.9).

Бесконечно много осей симметрии имеет и прямая: сама прямая и любая прямая, ей перпендикулярная, являются ее осями симметрии.

Пример №4

Начертили неравнобедренный треугольник Провели прямую содержащую биссектрису угла Потом рисунок стерли, оставив только точки и прямую Восстановите треугольник

Решение:

Поскольку прямая является осью симметрии угла то точка — образ точки при симметрии относительно прямой — принадлежит лучу Тогда пересечением прямых и является вершина искомого треугольника (рис. 18.10).

Эти соображения подсказывают, как построить искомый треугольник: строим точку симметричную точке относительно прямой Находим вершину как точку пересечения прямых и

Пример №5

Точка принадлежит острому углу (рис. 18.11). На сторонах угла найдите такие точки чтобы периметр треугольника был наименьшим.

Решение:

Пусть точки — образы точки при симметриях относительно прямых соответственно (рис. 18.12), а прямая пересекает стороны в точках соответственно. Докажем, что точки — искомые.

Заметим, что отрезки симметричны относительно прямой Следовательно, Аналогично Тогда периметр треугольника равен длине отрезка

Покажем, что построенный треугольник имеет наименьший периметр из возможных.

Рассмотрим треугольник где — произвольные точки соответственно лучей причем точка не совпадает с точкой или точка не совпадает с точкой

Понятно, что

Тогда периметр треугольника равен сумме Однако

Центральная симметрия. Поворот

Определение. Точки называют симметричными относительно точки если точка является серединой отрезка (рис. 19.1). Точку считают симметричной самой себе.

Например, точки у которых как абсциссы, так и ординаты — противоположные числа, симметричны относительно начала координат (рис. 19.2).

Рассмотрим фигуру и точку Каждой точке фигуры поставим в соответствие симметричную ей относительно точки точку В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 19.3). Такое преобразование фигуры называют центральной симметрией относительно точки Точку называют центром симметрии. Также говорят, что фигуры симметричны относительно точки

Теорема 19.1 (свойство центральной симметрии). Центральная симметрия является движением.

Доказательство: Выберем систему координат так, чтобы центр симметрии совпал с началом координат. Пусть и — произвольные точки фигуры Точки и — соответственно их образы при центральной симметрии относительно начала координат. Имеем:

Мы получили, что то есть центральная симметрия сохраняет расстояние между точками. Следовательно, центральная симметрия является движением.

Следствие. Если фигуры симметричны относительно точки, то

Определение. Фигуру называют симметричной относительно точки если для каждой точки данной фигуры точка, симметричная ей относительно точки также принадлежит этой фигуре.

Точку называют центром симметрии фигуры. Также говорят, что фигура имеет центр симметрии.

Приведем примеры фигур, имеющих центр симметрии.

Центром симметрии отрезка является его середина (рис. 19.4).

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии (рис. 19.5).

Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров симметрии. Например, каждая точка прямой является ее центром симметрии.

Также бесконечно много центров симметрии имеет фигура, состоящая из двух параллельных прямых. Любая точка прямой, равноудаленной от двух данных, является центром симметрии рассматриваемой фигуры (рис. 19.6).

Пример №6

Докажите, что образом данной прямой при симметрии относительно точки не принадлежащей прямой является прямая, параллельная данной.

Решение:

Поскольку центральная симметрия — это движение, то образом прямой будет прямая. Для построения прямой достаточно найти две любые ее точки.

Выберем на прямой произвольные точки (рис. 19.7). Пусть точки — их образы при центральной симметрии относительно точки Тогда прямая — образ прямой

Поскольку углы равны как вертикальные, то треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда (рис. 19.7). Следовательно, по признаку параллельных прямых

Пример №7

Точка принадлежит углу (рис. 19.8). На сторонах угла постройте такие точки чтобы точка была серединой отрезка

Решение:

Пусть прямая — образ прямой при центральной симметрии относительно точки (рис. 19.9). Обозначим буквой точку пересечения прямых

Найдем прообраз точки Очевидно, что он лежит на прямой Поэтому достаточно найти точку пересечения прямых

Обозначим эту точку буквой Тогда — искомые точки.

Изучая окружающий мир, мы часто видим примеры проявления симметрии в природе (рис. 19.10). Объекты, имеющие ось или центр симметрии, легко воспринимаются и радуют взгляд. Недаром в Древней Греции слово «симметрия» служило синонимом слов «гармония», «красота».

Идея симметрии широко используется в изобразительном искусстве, архитектуре и технике (рис. 19.11).

На рисунке 19.12 изображены точки такие, что

Говорят, что точка является образом точки при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол

Так же говорят, что точка — это образ точки при повороте вокруг центра по часовой стрелке на угол

Точку называют центром поворота, угол — углом поворота.

Рассмотрим фигуру точку и угол Каждой точке фигуры поставим в соответствие точку являющуюся образом точки при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол (если точка принадлежит фигуре то ей сопоставляется она сама). В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 19.13). Такое преобразование фигуры называют поворотом вокруг центра против часовой стрелки на угол Точку называют центром поворота.

Аналогично определяют преобразование поворота фигуры по часовой стрелке на угол (рис. 19.14).

Заметим, что центральная симметрия является поворотом вокруг центра симметрии на угол

Теорема 19.2 (свойство поворота). Поворот является движением.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Следствие. Если фигура — образ фигуры при повороте, то

Пример №8

Даны прямая и точка вне ее. Постройте образ прямой при повороте вокруг точки против часовой стрелки на угол

Решение:

Поскольку поворот — это движение, то образом прямой будет прямая. Для построения прямой достаточно найти две любые ее точки. Выберем на прямой произвольные точки (рис. 19.15). Построим точки — их образы при повороте вокруг точки против часовой стрелки на угол Тогда прямая — образ прямой

Пример №9

Точка принадлежит углу но не принадлежит его сторонам. Постройте равносторонний треугольник, одна вершина которого является точкой а две другие принадлежат сторонам

Решение:

Пусть прямая — образ прямой при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол (рис. 19.16). Обозначим буквой точку пересечения прямых и

Пусть точка — прообраз точки при рассматриваемом повороте. Точка принадлежит стороне угла

Эти соображения подсказывают, как построить искомый треугольник.

Строим прямую как образ прямой при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол Пусть — точка пересечения прямых

Строим угол равный Пусть прямые пересекаются в точке Эта точка и является прообразом точки

Имеем: Следовательно, треугольник равносторонний.

Подобие фигур

На рисунке 20.1 изображены точки такие, что Говорят, что точка — это образ точки при гомотетии с центром и коэффициентом 2.

На рисунке 20.2 изображены точки такие, что Говорят, что точка — это образ точки при гомотетии с центром и коэффициентом

Вообще, если точки таковы, что то говорят, что точка — это образ точки при гомотетии с центром и коэффициентом

Точку называют центром гомотетии, число — коэффициентом гомотетии,

Рассмотрим фигуру и точку Каждой точке фигуры поставим в соответствие точку являющуюся образом точки при гомотетии с центром и коэффициентом (если точка принадлежит фигуре то ей сопоставляется она сама). В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 20.3). Такое преобразование фигуры называют гомотетией с центром и коэффициентом Также говорят, что фигура гомотетична фигуре с центром и коэффициентом

Например, на рисунке 20.4 треугольник гомотетичен треугольнику с центром и коэффициентом, равным -3.

можно сказать, что треугольник гомотетичен треугольнику с тем же центром, но коэффициентом гомотетии, равным

Отметим, что при гомотетия с центром является центральной симметрией с центром (рис. 20.5). Если то гомотетия является тождественным преобразованием.

Очевидно, что при гомотетия не является движением.

Теорема 20.1. При гомотетии фигуры с коэффициентом все расстояния между ее точками изменяются в раз, то есть если — произвольные точки фигуры а точки и — их соответствующие образы при гомотетии с коэффициентом то

Доказательство: Пусть точка — центр гомотетии. Тогда Имеем:

Следствие. Если треугольник гомотетичен треугольнику с коэффициентом гомотетии

Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться теоремой 20.1 и третьим признаком подобия треугольников.

Гомотетия обладает целым рядом других свойств.

При гомотетии:

Эти свойства вы можете доказать на занятиях математического кружка.

Перечисленные свойства гомотетии указывают на то, что это преобразование может изменить размеры фигуры, но не меняет ее форму, то есть при гомотетии образ и прообраз являются подобными фигурами. Заметим, что в курсе геометрии 8 класса, говоря о подобии фигур, мы давали определение только подобных треугольников. Сейчас определим понятие подобия для произвольных фигур.

На рисунке 20.6 фигура гомотетична фигуре а фигура симметрична фигуре относительно прямой

Говорят, что фигура получена из фигуры в результате композиции двух преобразований: гомотетии и осевой симметрии.

Поскольку то фигуры имеют одинаковые формы, но разные размеры, то есть они подобны. Говорят, что фигура получена из фигуры в результате преобразования подобия.

На рисунке 20.7 фигура гомотетична фигуре а фигура — образ фигуры при некотором движении. Здесь также можно утверждать, что фигуры подобны.

Из сказанного следует, что целесообразно принять такое определение.

Определение. Две фигуры называют подобными, если одну из них можно получить из другой в результате композиции двух преобразований: гомотетии и движения.

Это определение иллюстрирует схема, изображенная на рисунке 20.8.

Запись означает, что фигуры подобны. Также говорят, что фигура — образ фигуры при преобразовании подобия.

Из приведенного определения следует, что при преобразовании подобия фигуры расстояния между ее точками изменяются в одно и то же количество раз.

Так как тождественное преобразование является движением, то из схемы, изображенной на рисунке 20.8, следует, что гомотетия — частный случай преобразования подобия.

Пусть — произвольные точки фигуры а точки — их образы при преобразовании подобия. Точки принадлежат фигуре которая подобна фигуре Число называют коэффициентом подобия. Говорят, что фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия а фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия

Заметим, что преобразование подобия с коэффициентом является движением. Отсюда следует, что движение — частный случай преобразования подобия.

С преобразованием подобия мы часто встречаемся в повседневной жизни (рис. 20.9). Например, в результате изменения масштаба карты получаем карту, подобную данной. Фотография — это преобразование негатива в подобное изображение на фотобумаге. Перенося в свою тетрадь рисунок, сделанный учителем на доске, вы также выполняете преобразование подобия. Теорема 20.2. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки рассматриваемого курса геометрии. Мы докажем ее для частного случая, рассмотрев подобные треугольники.

Доказательство: Пусть треугольник — образ треугольника при преобразовании подобия с коэффициентом (рис. 20.10). Сторона — образ стороны Тогда Проведем высоту Пусть точка — образ точки

Поскольку при преобразовании подобия сохраняются углы, то отрезок — высота треугольника

Тогда Имеем:

Пример №10

Докажите, что образом прямой при гомотетии с центром не принадлежащим прямой является прямая, параллельная данной.

Решение:

Из свойств гомотетии следует, что образом прямой будет прямая. Для построения прямой достаточно найти две любые ее точки. Выберем на прямой произвольные точки (рис. 20.11). Пусть точки — их образы при гомотетии с центром и коэффициентом (рисунок 20.11 соответствует случаю, когда Тогда прямая — образ прямой

При доказательстве теоремы 20.1 мы показали, что Следовательно,

Пример №11

В остроугольный треугольник впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали соответственно на сторонах и а две другие — на стороне

Решение:

Из произвольной точки стороны опустим перпендикуляр на сторону (рис. 20.12). Построим квадрат так, чтобы точка лежала на луче Пусть луч пересекает сторону в точке

Рассмотрим гомотетию с центром и коэффициентом Тогда точка образ точки при этой гомотетии. Образом отрезка является отрезок где точка принадлежит лучу причем Аналогично отрезок такой, что точка принадлежит лучу является образом отрезка Следовательно, отрезки — соседние стороны искомого квадрата. Для завершения построения осталось опустить перпендикуляр на сторону

Пример №12

Отрезок — высота прямоугольного треугольника Найдите радиус вписанной окружности треугольника если радиусы окружностей, вписанных в треугольники соответственно равны

Решение:

Поскольку угол — общий для прямоугольных треугольников то эти треугольники подобны (рис. 20.13). Пусть коэффициент подобия равен Очевидно, что Аналогично с коэффициентом подобия

Обозначим площади треугольников соответственно и Имеем:

Отсюда Получаем, что

Ответ:

Применение преобразований фигур при решении задач

Преобразование фигур — эффективный метод решения целого ряда геометрических задач. Проиллюстрируем это на примерах.

Пример №13

На сторонах остроугольного треугольника постройте такие точки соответственно, чтобы периметр треугольника был наименьшим.

Решение:

Пусть — произвольная точка стороны треугольника точки — ее образы при симметрии относительно прямых соответственно (рис. 20.34). Прямая пересекает стороны соответственно в точках Из решения задачи 2 п. 18 следует, что из периметров всех треугольников, для которых точка фиксирована, а точки принадлежат сторонам периметр треугольника является наименьшим. Этот периметр равен длине отрезка

Заметим, что отрезок — средняя линия треугольника

Тогда

Поскольку то точки лежат на одной окружности с диаметром Отсюда Следовательно, длина отрезка будет наименьшей при наименьшей длине отрезка то есть тогда, когда — высота треугольника

На рисунке 20.35 отрезок — высота треугольника Алгоритм построения точек понятен из рисунка.

Из построения следует, что периметр любого другого треугольника, вершины которого лежат на сторонах треугольника больше периметра треугольника Поэтому искомый треугольник является единственным — это построенный треугольник

Можно показать (сделайте это самостоятельно), что точки и являются основаниями высот, проведенных соответственно из вершин треугольника

Следовательно, вершины искомого треугольника — это основания высот данного треугольника Такой треугольник называют ортоцентрическим.

Пример №14

Точка — центр правильного угольника (рис. 20.36). Докажите, что

Решение:

Пусть Рассмотрим поворот с центром на угол например, против часовой стрелки. При таком преобразовании образом данного -угольника будет этот же угольник. Следовательно, искомая сумма не изменится. А это возможно лишь тогда, когда

Пример №15

Внутри треугольника все углы которого меньше найдите такую точку чтобы сумма была наименьшей.

Решение:

Пусть — произвольная точка данного треугольника (рис. 20.37). Рассмотрим поворот с центром на угол по часовой стрелке. Пусть точки — образы точек соответственно (рис. 20.37). Поскольку поворот является движением, то Очевидно, что треугольник равносторонний. Тогда

Имеем:

Понятно, что сумма будет наименьшей, если точки лежат на одной прямой. Поскольку то это условие будет выполнено тогда, когда

Так как угол — образ угла при указанном повороте, то должно выполняться равенство

Итак, точки будут принадлежать одной прямой тогда и только тогда, когда Отсюда

Таким образом, сумма будет наименьшей, если

Найти точку можно, например, построив ГМТ, из которых отрезки видны под углами (рис. 20.38).

Понятно, что если один из углов треугольника не меньше то точка пересечения построенных дуг не будет расположена внутри треугольника. Можно показать, что в треугольнике с углом, не меньшим точка сумма расстояний от которой до вершин треугольника является наименьшей, совпадает с вершиной тупого угла.

Пример №16

Отрезки — высоты остроугольного треугольника Докажите, что радиус описанной окружности треугольника в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника

Решение:

Пусть прямые пересекают описанную окружность треугольника соответственно в точках (рис. 20.39). Докажем, что где точка — ортоцентр треугольника

Имеем:

Углы 2 и 3 равны как вписанные, опирающиеся на дугу Следовательно,

Тогда в треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой, а следовательно, и медианой. Отсюда

Аналогично можно доказать, что

Теперь понятно, что треугольник гомотетичен треугольнику с центром и коэффициентом 2. Тогда радиус описанной окружности треугольника в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника Осталось заметить, что треугольники вписаны в одну и ту же окружность. 

А чем строить не важно?

Проводим прямую через начальные точки двух отрезков $%AA’$%, из точки $%B$% проводим прямую параллельную полученной, из точки $%A’$% циркулем проводим дугу с радиусом $%A’B’$% до пересечения с прямой из точки $%B$%, получаем точку $%B’_1$%. Строим к прямой $%B’B’_1$% перпендикуляр через точку $%A’$%. Он по идее пройдёт через середину отрезка $%B’B’_1$%. Так же из середины отрезка $%AA’$% строим перпендикуляр. Точка пересечения перпендикуляров будет центром поворота, что можно легко проверить тем же циркулем.