Как найти центр между телами

Сущность понятия «центр масс»

Понятие «центр масс» широко используется в физике для решения задач, связанных с движением тел. Например, математический маятник удобно представить себе как подвешенное на нити тело, вся масса которого сконцентрирована в единой точке. В законе всемирного тяготения тоже речь идет о расстоянии не между телами, а между центрами тел, под каковыми подразумеваются именно центры масс, а не геометрические центры.

Признаком центра масс является то, что если тело подвесить, закрепив за эту точку, оно останется в покое, т.е. не будет раскачиваться или вращаться относительно этого центра. В простейшем случае, если речь идет о симметричном теле с равномерной плотностью, центр масс находится на пересечении осей симметрии рассматриваемого тела. Например, если взять линейку длиной 30 см, то ее центр масс будет расположен на отметке «15 см». Подложив карандаш под эту отметку, легко привести линейку в положение равновесия.

На практике далеко не все тела, центр масс которых нужно найти, являются симметричными и однородными по плотности. Более того, многие исследуемые объекты представляют собой системы из нескольких тел с различными геометрическими и химическими характеристиками. Для расчетов их разбивают на элементарные фрагменты и производят вычисления поэтапно.

Нахождение координат центра масс

Отсюда следует, что чем массивнее тело в такой элементарной системе, тем ближе оно к общему центру масс.

Расстояние между точечными телами равно:

$Delta x = x_2 — x_1$

Пропорция между массами и расстояниями, согласно определению:

$frac{l_1}{l_2} = frac{m_2}{m_1}$,

где $l_1$, $l_2$ — расстояния от соответствующих тел до центра масс.

Выразив, длины через координаты

$l_1 = x_c — x_1; l_2 = x_2 — x_c$,

центр масс можно определить как

$x_c = frac{m_1 cdot x_1 + m_2 cdot x_2}{m_1 + m_2}$.

где $x_c$ — координата центра тяжести.

Разложив любую сложную систему на множество элементарных тел с точечными массами, можно обобщить изложенный принцип в виде формулы (для оси абсцисс):

$x_c = frac{sumlimits^N_{i=1}{m_i cdot x_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}$

В большинстве случаев центр масс требуется найти не на координатной прямой, а в двух- или трехмерной системе координат. Для дополнительных осей координаты центра масс ($y_c$, $z_c$) находят по аналогичному принципу.

Определение центра масс, теория и онлайн калькуляторы

Определение центра масс

При исследовании поведения систем частиц, часто удобно использовать для описания движения такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой служит центр масс.

Для однородных тел обладающих симметрией центр масс часто совпадает с геометрическим центром тела. В однородном изотропном теле одной выделенной точке найдется симметричная ей точка.

Радиус-вектор и координаты центра масс

Предположим, что у нас имеются две частицы с равными массами, им соответствуют радиус-векторы: ${overline{r}}_1 и {overline{r}}_2$ . В этом случае центр масс расположен посередине между частицами. Центр масс (точка C) определён радиус-вектором ${overline{r}}_C$ (рис.1).

Из рис.1 видно, что:

[{overline{r}}_C=frac{{overline{r}}_1+ {overline{r}}_2}{2}left(1right).]

Можно ожидать, что вместе с геометрическим центром системы радиус-вектор, которого равен ${overline{r}}_C,$ играет роль точка, положение которой определяет распределение массы. Ее определяют так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:

[{overline{r}}_C=frac{{overline{r}}_1m_1+ {overline{r}}_2m_2}{m_1+m_2}left(2right).]

Радиус -вектор ${overline{r}}_C$, определенный выражением (2) — средне взвешенная величина радиус-векторов частиц ${overline{r}}_1$ и ${overline{r}}_2$. Это становится очевидным, если формулу (2) представить в виде:

[{overline{r}}_C=frac{m_1}{m_1+m_2}{overline{r}}_1+frac{m_2}{m_1+m_2}{overline{r}}_2left(3right).]

Выражение (3) показывает, что радиус-вектор каждой частицы входит в ${overline{r}}_C$ с весом, который пропорционален его массе.

Выражение (3) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом.

Если положения N материальных точек системы задано при помощи их радиус-векторов, то радиус — вектор, определяющий положение центра масс находим как:

[{overline{r}}_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_i{overline{r}}_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(4right).]

Выражение (4) считают определением центра масс системы.

При этом абсцисса центра масс равна:

[x_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_ix_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(5right).]

Ордината ($y_c$) центра масс и его аппликата ($z_c$):

[y_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_iy_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(6right).]

[z_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_iz_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(7right).]

Формулы (4-7) совпадают с формулами, которые используют для определения тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Скорость центра масс

Выражение для скорости центра масс (${overline{v}}_c=frac{d{overline{r}}_c}{dt}$) запишем как:

[{overline{v}}_c=frac{m_1{overline{v}}_1+m_2{overline{v}}_2+dots +m_n{overline{v}}_n}{m_1+m_2+dots +m_n}=frac{overline{P}}{M}left(8right),]

где $overline{P}$ — суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач на определение центра масс

Читать дальше: период и частота колебаний.

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.7

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.8

3.Метод отрицательных площадей.Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S₁ и площади вырезанной части S₂ .

Рис.9

4.Метод группировки.Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.

Центры тяжести некоторых одно­родных тел.

1) Центр тяжести дуги окруж­ности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу сим­метрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).

Рис.10

Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L — длина дуги АВ, равная .

Отсюда окончательно нахо­дим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

где угол измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади тре­угольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy, координаты вершин которого известны: A_i (x_i,y_i), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А₁А₂ , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А₃ М₃ (рис.11)_.

Рис.11

Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А₂А₃, можно убедиться, что он должен лежать на медиане А₁М₁. Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

В частности, для медианы А₁М₁ получим, учитывая, что координаты точки М₁ — это среднее арифметическое координат вершин А₂ и А₃ :

Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .

Очевидно, что y_c = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:

Рис.12

Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом dφ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R×dφ и высотой R. Площадь такого треугольника dF=(1/2)R 2 ∙dφ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR 2 , получим:

С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга.

Подставляя в (2) α = π/2, получим: x_c = (4R)/(3π) ≅ 0,4R .

Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображён­ного на рис. 13.

Рис.13

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

Объёмы их:

Поэтому координаты центра тяжести тела

Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).

Рис.14

Координаты центров тяжести:

0.

Площади:

Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис.15). Найдем центр тяжести листа.

Рис.15

В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:

координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ).

Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков оди­наковой длины l.

Рис.16

Координаты центров тяжести участ­ков:

Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:

Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17).

Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ= ρg , где g — ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.

Рис.17

Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.

Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:

где L_i длина i-го стержня фермы, а x_i, y_i — координаты его центра тяжести.

Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.

Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.

Первая группа состоит из первого стержня, для нее L₁ = 4 м, x₁ = 0 м, y₁= 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L₂ = 20 м, x₂= 3 м, y₂= 2 м.

Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:

Вопросы для самопроверки

— Что называется центром параллельных сил?

— Как определяются координаты центра параллельных сил?

— Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?

— Каким свойством обладает центр параллельных сил?

— По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?

— Что называется центром тяжести тела?

— Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?

— Что называют статическим моментом площади?

— Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.

— Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

— В чем состоит сущность способа отрицательных весов?

— Где расположен центр тяжести дуги окружности?

— Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

— Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.

— Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.

— По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?

— Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?

— Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?

— Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10070 — | 7511 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) — геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого [1] . В общем случае центр масс не совпадает с центром тяжести, совпадение происходит только у систем материальных точек и тел с однородной по объёму плотностью в однородном гравитационном поле.

Введение понятия центра тяжести удобно во многих приложениях механики и упрощает расчеты при использовании системы координат, связанной с центром масс. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то центр масс такой системы движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрения центров масс к решению геометрических задач, таких как теоремы Менелая и теоремы Чевы. [2]

Содержание

Определение [ править | править код ]

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом [3] :

r → c = ∑ i m i r → i ∑ i m i , <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _m_<vec >_><sum limits _m_>>,>

где r → c <displaystyle <vec >_> — радиус-вектор центра масс, r → i <displaystyle <vec >_> — радиус-вектор i -й точки системы, m i <displaystyle m_> — масса i -й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

r → c = 1 M ∫ V ρ ( r → ) r → d V , <displaystyle <vec >_=<1 over M>int limits _
ho (<vec >)<vec >dV,> M = ∫ V ρ ( r → ) d V , <displaystyle M=int limits _
ho (<vec >)dV,>

где M <displaystyle M> — суммарная масса системы, V <displaystyle V> — объём, ρ <displaystyle
ho > — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами M i <displaystyle M_> , то радиус-вектор центра масс такой системы R c <displaystyle R_> связан с радиус-векторами центров масс тел R c i <displaystyle R_> соотношением [4] :

R → c = ∑ i M i R → c i ∑ i M i . <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _M_<vec >_><sum limits _M_>>.>

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами M 1 , M 2 , . . . M N . <displaystyle M_<1>,M_<2>. M_.> Радиус-вектор R → c n <displaystyle <vec >_>> n <displaystyle n> -ной системы:

R → c n = ∑ i n m i n r → i n ∑ i n m i n = ∑ i n m i n r → i n M n , n = 1 , 2 , . . . N . <displaystyle <vec >_>=<frac <sum limits _>m_><vec >_>><sum limits _>m_>>>=<frac <sum limits _>m_><vec >_>>>>, n=1,2. N.> R → c = ∑ n ( ∑ i n m i n r → i n M n ⋅ M n ) ∑ n M n = ∑ i M i R → c i ∑ i M i . <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _left(<frac <sum limits _>m_><vec >_>>>>cdot M_
ight)><sum limits _M_>>=<frac <sum limits _M_<vec >_><sum limits _M_>>.>

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Центры масс плоских однородных фигур [ править | править код ]

• У отрезка — середина.
• У многоугольников :

• У параллелограмма — точка пересечения диагоналей.
• У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).

У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении 4 3 π <displaystyle <frac <4><3pi >>>от центра круга.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

x s = V y 2 π S <displaystyle x_=<frac ><2pi S>>> и y s = V x 2 π S <displaystyle y_=<frac ><2pi S>>> , где V x , V y <displaystyle V_,V_> — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S <displaystyle S> — площадь фигуры.

Центры масс периметров однородных фигур [ править | править код ]

• Центр масс сторон треугольника находится в центре вписанной окружностидополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера. Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центром вписанной окружностидополнительного треугольника или с центром Шпикера.

В механике [ править | править код ]

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике [ править | править код ]

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

r → c = ∑ i r → i E i ∑ i E i , <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _<vec >_E_><sum limits _E_>>,>

где r → c <displaystyle <vec >_> — радиус-вектор центра масс, r → i <displaystyle <vec >_> — радиус-вектор i -й частицы системы, E i <displaystyle E_> — полная энергия i -й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами [5] .

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass ): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

v → c = c 2 ∑ i E i ⋅ ∑ i p → i . <displaystyle <vec >_=<frac <2>><sum limits _E_>>cdot sum limits _<vec

>_.>

Центр тяжести [ править | править код ]

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g ), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

Сущность понятия «центр масс»

Понятие «центр масс» широко используется в физике для решения задач, связанных с движением тел. Например, математический маятник удобно представить себе как подвешенное на нити тело, вся масса которого сконцентрирована в единой точке. В законе всемирного тяготения тоже речь идет о расстоянии не между телами, а между центрами тел, под каковыми подразумеваются именно центры масс, а не геометрические центры.

Центр масс — точка, характеризующая размещение и движение исследуемой системы как единого целого.

Признаком центра масс является то, что если тело подвесить, закрепив за эту точку, оно останется в покое, т.е. не будет раскачиваться или вращаться относительно этого центра. В простейшем случае, если речь идет о симметричном теле с равномерной плотностью, центр масс находится на пересечении осей симметрии рассматриваемого тела. Например, если взять линейку длиной 30 см, то ее центр масс будет расположен на отметке «15 см». Подложив карандаш под эту отметку, легко привести линейку в положение равновесия.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

На практике далеко не все тела, центр масс которых нужно найти, являются симметричными и однородными по плотности. Более того, многие исследуемые объекты представляют собой системы из нескольких тел с различными геометрическими и химическими характеристиками. Для расчетов их разбивают на элементарные фрагменты и производят вычисления поэтапно.

Нахождение координат центра масс

Центр масс двух тел с точечными массами $m_1$ и $m_2$ и координатами на координатной прямой $x_1$ и $x_2$ находится в точке, делящей расстояние между этими телами на отрезки с длинами обратно пропорциональными массам рассматриваемых тел.

Отсюда следует, что чем массивнее тело в такой элементарной системе, тем ближе оно к общему центру масс.

Расстояние между точечными телами равно:

$Delta x = x_2 — x_1$

Пропорция между массами и расстояниями, согласно определению:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

где $l_1$, $l_2$ — расстояния от соответствующих тел до центра масс.

Выразив, длины через координаты

$l_1 = x_c — x_1; l_2 = x_2 — x_c$,

центр масс можно определить как

где $x_c$ — координата центра тяжести.

Разложив любую сложную систему на множество элементарных тел с точечными массами, можно обобщить изложенный принцип в виде формулы (для оси абсцисс):

В большинстве случаев центр масс требуется найти не на координатной прямой, а в двух- или трехмерной системе координат. Для дополнительных осей координаты центра масс ($y_c$, $z_c$) находят по аналогичному принципу.

Центр тяжести системы тел представляет собой точку, подобную центру масс, но рассчитывается не для масс, а для весов (обусловленных гравитацией сил), действующих на точечные тела, входящие в систему. Центр тяжести определяется так же, как и центр масс, если размеры системы малы в сравнении с радиусом планеты Земля. Он в большинстве случаев с достаточной для практики точностью совпадает с центром масс рассматриваемой системы.

Найти центр масс двух линеек, изготовленных из одинакового материала, одинаковой толщины и ширины, левые концы линеек совмещены. Длины линеек — 10 и 30 см. Толщиной линеек можно пренебречь.

Поскольку толщиной можно пренебречь, найти нужно лишь координату центра масс по оси $x$.

Разобьем мысленно систему на два отрезка. Первый — где толщина линеек складывается. Его координаты — $[0, 10]$. Второй отрезок — где длинная линейка продолжается одна. Его координаты — $[10, 30]$. Примем за единицу измерения массу одного погонного сантиметра линейки. Тогда масса второго фрагмента:

$m_2 = 30 — 10 = 20$

На каждый сантиметр первого фрагмента приходится вдвое больше массы, поскольку там сложены две линейки:

$m_1 = 10 cdot 2 = 20$

Центры масс отрезков находятся на их осях симметрии, т.е. на середине длины каждого:

Подставим значения в формулу:

Ответ: центр масс находится на расстоянии 12,5 см от левого конца системы линеек.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Центр тяжести (центр масс):

Любое твердое тело можно представить как состоящее из множества материальных точек, на каждую из которых действует сила тяжести.

Центр тяжести — геометрическая точка абсолютно твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на данное тело при любом его положении в пространстве.

На каждую точку тела в поле сил тяжести действует сила, а на все тело — равнодействующая этих сил. Точка приложения равнодействующей называется центром тяжести тела.

Центр масс (центр инерции) — точка, характеризующая распределение масс в теле или системе тел. Представляется она как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и на которую действуют все приложенные к системе  внешние силы.

При определенных условиях положение центра тяжести тела совпадает с положением центра его масс.

Положение центра масс тела в однородном поле тяжести совпадает с положением его центра тяжести.

При небольших размерах тел возле поверхности Земли поле сил тяжести можно считать однородным, а силы, действующие на каждую точку тела, — параллельными.

Чтобы сила тяжести не вызывала движения, необходимо соблюдать определенные условия.

 Положение центра масс тела в однородном поле тяжести | совпадает с положением его центра тяжести.

Если тело закреплено в одной точке, например подвешено или лежит на опоре и пребывает в покое, то центр тяжести и точка опоры лежат на одной вертикали: сила тяжести, действующая на тело, уравновешивается реакцией точки опоры.

Если тело закреплено в одной точке (подвешено или лежит на опоре) и пребывает в покое, то центр тяжести и точка опоры лежат на одной вертикали.

Рассмотрим примеры определения центра тяжести (центра масс) тел правильной несложной геометрической формы.

1. Найдем центр тяжести однородного стержня (рис. 2.48). Разделим стержень на несколько одинаковых небольших объемов (в нашем случае на пять слева и справа от середины стержня). Если добавить две параллельные силы, которые действуют на объемы 1 и 1′, то их равнодействующая будет расположена в точке О — середине стержня.

Аналогично и для пар сил 2-2′, 3-3′ и т. д. На основании этого можно сделать вывод: центр тяжести однородного стержня 99 расположен в точке О — середине стержня.

Центр тяжести однородного стержня расположен в середине стержня.

2. Пользуясь рассмотренным выше приемом, можно установить, что центр тяжести однородного круга совпадает с его центром (рис. 2.49).

Таким образом, в однородных телах, имеющих центр симметрии (прямоугольник или круглая пластинка, шар, цилиндр и т. д.), центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться и вне тела, например у кольца или спичечной коробки, мяча или пустого стакана.

Центр тяжести однородного круга совпадает с его центром.

Центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан.

3. Найдем центр тяжести однородного треугольника (рис. 2.50), представим, что вся площадь треугольника поделена на узкие поло-
сы, параллельные любой из сторон треугольника, например АВ. Центр тяжести каждой такой полосы, как однородного стержня, находится в ее середине. Центр тяжести всего треугольника лежит где-то на медиане CD, которая проходит через середины всех отрезков, параллельных стороне АВ.

Если поделить треугольник на отрезки, параллельные стороне СВ, то с учетом предыдущих вычислений можно сделать вывод: центр тяжести треугольника будет лежать на медиане АЕ. На обеих медианах центр тяжести может лежать лишь в том случае, если он совпадает с точкой их пересечения О.

4. Чтобы найти центр тяжести плоской фигуры, надо ее подвесить за какую-нибудь точку 1; тогда фигура развернется так, что ее центр тяжести окажется на вертикали, которая проходит через точку подвеса (рис. 2.51).

Отметив направление этой вертикали, подвесим фигуру за другую точку 2. И в этом случае фигура развернется так, чтобы центр тяжести находился на вертикали, проходящей через новую точку подвеса. Отметим направление и этой вертикали.

Центр тяжести плоской фигуры расположен в точке О пересечения вертикалей, проведенных через две любые точки подвеса.

Когда нужно определить центр сил тяжести сложных фигур, необходимо исходить из того, что сила тяжести равна сумме сил тяжести частей тела и всегда приложена к центру этих сил.

• Заказать решение задач по физике

Центр тяжести тела и центр масс тела

Когда мы рассматривали опыты с подвешенными телами, находящимися в равновесии, точка приложения сил натяжения была нам известна. А где приложена сила тяжести? В какой точке? Из этих опытов следует только то, что точка приложения силы тяжести при равновесии лежит на линии действия силы натяжения подвеса. Но это позволяет решить задачу о нахождении точки приложения силы тяжести экспериментальным путем. Если подвешивать плоское тело в разных точках (рис. 151), то линии действия сил натяжения пересекутся в одной точке С. Эта точка и будет точкой приложения силы тяжести. Она называется центром тяжести. Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоского тела, но и любого другого.

Рис. 151

Очевидно, что положение центра тяжести тел правильной формы можно указать, не выполняя описанный опыт. Так, например, центр тяжести однородного шара находится в его геометрическом центре, поскольку любой диаметр является осью симметрии шара. Центр тяжести круглого диска также находится в его геометрическом центре, как и центр тяжести обруча или кольца, и т. д. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может находиться вне тела.

Положение центра тяжести тела можно и вычислить. Предварительно рассмотрим следующий опыт. Пусть тело состоит из двух шаров массами m₁ и m₂, насаженных на стержень (рис. 152, а). Если масса стержня значительно меньше масс шаров, то ею можно пренебречь. На каждый из шаров действуют силы тяжести, приложенные в их центре тяжести. Для того чтобы система находилась в равновесии, призму надо расположить так, чтобы линия действия силы реакции призмы проходила через центр тяжести этой системы — точку С. В этом случае суммарный момент сил относительно точки C равен нулю, т. е. выполняется условие:

или

Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс. Соотношение (1) можно получить и иначе. Поскольку момент сил тяжести равен нулю, то он должен быть равен нулю и относительно любой горизонтальной оси, проходящей, например, через точку О. Иначе тело вращалось бы вокруг этой оси. Обозначим расстояние между точками C и О через а. Тогда алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно точки О примет вид:

Рис. 152

Поскольку F=(m₁ + m₂)g, то после несложных преобразований получим соотношение (1). Такой подход позволяет находить положение центра тяжести аналитически.

Направим ось Ox вдоль стержня (рис. 152, б). Выберем начало отсчета в произвольной точке О. тогда координаты точек приложения сил соответственно будут х₁, х_с и х₂. Запишем условие моментов относительно точки О:

Отсюда

При выводе этой формулы было использовано значение силы F = (m₁ + m₂) g. Таким образом, центр тяжести этой системы тел отстоит от точки О на расстоянии х_с, определенном формулой (2).

Напомним, что выражение (2) является следствием правила моментов при равновесии тела, но в правой части отсутствует ускорение свободного падения. В него входят только координаты центра тяжести тел и их массы, поэтому точка, координата которой определяется формулой (2), называется центром масс тела. Следует отметить, что центр масс и центр тяжести совпадают, если тело находится в однородном гравитационном поле.

Понятие центра масс является более общим, чем понятие центра тяжести. Центр масс является характеристикой тела или системы тел, важной не только для задач, где речь идет о силе тяжести, но и для решения других физических проблем.

Если произвольное тело можно разбить на n элементов, массы которых m₁, m₂…,    m_n, и если известны координаты центров масс этих элементов x₁, x₂…,   x_n относительно выбранной системы координат, то координата центра масс тела вычисляется по формуле:

Естественно, что такие же соотношения можно записать и для у_с и z_c. Для примера вычислим положение центра масс столярного угольника. Он состоит из деревянного бруска 1 и деревянной линейки 2, соединенных под прямым углом (рис. 153). Положим, что масса бруска 1 в два раза больше массы линейки (m₁ = 2m₂). Так как линейка и брусок — однородные параллелепипеды, то центры масс находятся в их геометрических центрах. Очевидно, что центр масс угольника находится где-то на линии, соединяющей центры масс бруска (C₁) и линейки (C₂).

Выберем наиболее оптимальным образом систему координат, как показано на рисунке. Тогда координаты центра масс бруска: х₁ = 0, y₁ =, а координаты центра масс линейки: , y₂ = 0 .
По формуле (3):    .

Таким образом, центр масс угольника находится вне тела.

Главные выводы:

1. Центр тяжести — точка, в которой приложена сила тяжести.
2. Центр масс симметричных однородных тел находится в их геометрическом центре.
3. Координаты центра масс тела можно вычислить по формуле (3).

Содержание:

1. Центр масс
2. Центр параллельных сил
3. Центр тяжести
4. Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур
5. Центр тяжести дуги окружности
6. Центр тяжести кругового сектора
7. Центр тяжести кругового сегмента
8. Центр тяжести треугольника
9. Центр тяжести трапеции
10. Примеры решения задач на тему: Центр масс
11. Способы определения координат центра тяжести тела
12. Метод симметрии
13. Метод разбиения
14. Метод дополнения
15. Экспериментальные способы
16. Центры тяжести некоторых однородных тел
17. Центр тяжести дуги окружности
18. Центр тяжести треугольника
19. Центр тяжести сектора

Центр масс — это геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Центр масс

Центр масс — это некоторое положение, определяемое относительно объекта или системы объектов и это среднее положение всех частей системы, взвешенное в соответствии с их массами.

Центр параллельных сил

Если на тело действует система параллельных сил , ,…, , то точка , через которую проходит равнодействующая этой системы сил, называется центром параллельных сил (рис.9.1).

Координаты центра параллельных сил определяются по зависимостям:

где  — координаты точек приложения сил .

Центр параллельных сил имеет ту особенность, что через него обязательно будет проходить линия действия равнодействующей при вращении линий действия всех сил системы вокруг точек их приложения на один и тот же угол в одну и ту же сторону. Модули сил при вращении не должны меняться.

Центр тяжести

Если твердое тело находится возле поверхности Земли, то на каждую материальную часть этого тела действует сила тяжести­ , которая направлена к центру Земли. Поскольку размеры тела небольшие по сравнению с размерами Земли, то образованную систему сил можно рассматривать как параллельную. Равнодействующая этой параллельной системе сил , которая равна их сумме, называется тяжестью тела, а центр этой системы — точка называется центром тяжести тела (рис.9.2).

Координаты центра тяжести твердого тела можно определить как координаты центра параллельных сил:

где  — сила тяжести элементарной частицы тела;

 — тяжесть тела;

 — координаты центра тяжести;

 — координаты элементарной частицы тела.

Если тело однородное, то есть удельный вес не меняется по объему , то:

где  — объем тела;

 — объем элементарной частицы.

Тогда формулы для определения координат центра тяжести твердого тела приобретут вид:

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от формы объема, что занимает тело, и называется центром тяжести этого объема.

Если однородное тело имеет форму тонкой пластины, то его можно рассматривать как материальную плоскую фигуру. В этом случае положение центра тяжести плоской фигуры определяется двумя координатами  и и зависит от формы площади фигуры:

где  — площадь элементарной части плоской фигуры;

 — площадь плоской фигуры.

Центр тяжести однородной пластины называется центром тяжести плоской фигуры.

Если выбранный элементарный объем  (площадь элементарной площадки в плоском случае) направить к нулю, то формулы для вычисления координат центра тяжести приобретут интегральный вид:

а) для однородного твердого тела:

где  — объем тела, интегрирование выполняется по всему объему тела;

б) для однородной поверхности:

где  — площадь поверхности, интегрирование выполняется по всей поверхности тела;

в) для однородной плоской фигуры, лежащей в плоскости xy:

г) для однородной линии:

где  — длина линии, интегрирование выполняется по всей длине линии.

Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур

Для упрощения определения центра тяжести используются следующие вспомогательные правилами:

1. Если тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит на этой плоскости.
2. Если тело симметрично относительно оси, то центр тяжести лежит на этой оси.
3. Если тело симметрично относительно точки, то центр тяжести лежит в центре симметрии.
4. Если тело состоит из нескольких частей, центры тяжести которых можно определить, то центр тяжести такого тела находят как центр тяжести нескольких материальных точек, а именно тех, в которых расположены весы каждой отдельной части тела.

Центр тяжести дуги окружности

Центр тяжести дуги окружности  (рис.9.3) лежит на ее оси симметрии и на расстоянии от центра окружности:

где  — радиус окружности;

 — половина центрального угла, опирающегося на дугу .

Центр тяжести кругового сектора

Центр тяжести кругового сектора лежит на оси симметрии и имеет координаты:

где  — радиус окружности;

 — половина центрального угла сектора.

Центр тяжести кругового сегмента

Центр тяжести кругового сегмента лежит на оси симметрии сегмента и имеет координаты:

где  — радиус окружности;

 — половина центрального угла сегмента.

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести треугольника (рис. 9.6) лежит в точке пересечения его медиан — на расстоянии 1/3 каждой медианы от соответствующего основания треугольника.

Центр тяжести трапеции

Центр тяжести трапеции (рис.9.7) с основаниями  и  и высотой лежит на прямой , которая соединяет середины основ.

Расстояния  и центра тяжести площади трапеции от ее основ определяются по формулам:

Наиболее распространенный способ определения положения центра тяжести однородного тела сложной формы заключается в том, что его разбивают на такие части, положение центров тяжести которых известно, или может быть легко определено.

Например, однородную плоскую фигуру (рис.9.8) разбивают на три части 1,2 и 3, положения центров тяжести которых, можно определить.

Координаты центра тяжести фигуры определяются по формулам:

где  — координаты центра тяжести первой части плоской фигуры;

 — площадь первой части и т.п.

Этим способом удобно пользоваться и при определении положения центра тяжести плоской фигуры, из которой вырезана некоторая часть (рис.9.9).

В этом случае площадь плоской фигуры можно записать в виде разницы площадей сплошной фигуры 1 (площадь положительная) и вырезанной части 2 (площадь отрицательная), то есть .

Координаты центра тяжести фигуры равны:

где  — координаты центра тяжести сплошной фигуры 1, площадь которой равна ;

 — координаты центра тяжести вырезанной части 2, площадь которой равна — .

Первый из этих методов имеет название «метод разбиения», второй — «метод дополнения», или «метод отрицательных масс». В общем случае формулы для определения центра тяжести плоской фигуры имеют вид:

где  — площадь всей фигуры.

Примеры решения задач на тему: Центр масс

Задача № 1

Найти центр тяжести двутаврового профиля, размеры которого в сантиметрах указаны на рис.9.10.

Решение. Поскольку форма сечения имеет ось симметрии, ось направим вдоль оси симметрии, а ось перпендикулярно ей.

В силу симметричности профиля относительно оси центр тяжести будет лежать на этой оси, то есть

Линиями и поделим профиль на три прямоугольника 1, 2 и 3.

Запишем уравнение для определения абсциссы центра тяжести площади:

где  — абсциссы центров тяжести прямоугольников 1, 2, 3;

 — площади этих прямоугольников.

Поскольку центры тяжести прямоугольников и лежат на пересечении их диагоналей, то (рис.9.10):

Площади этих прямоугольников соответственно равны:

Тогда: 

Таким образом, центр тяжести фигуры лежит в точке с координатами: 

Ответ: 

Задача № 2

Найти координаты центра тяжести поперечного пересечения разностороннего угольника (рис.9.11), полки которого имеют ширину  и толщину

Решение. Разделим пересечение линией на два прямоугольника и , центры тяжести которых лежат на пересечении соответствующих диагоналей.

Запишем формулы для координат  и  центра тяжести пересечения:

где  и  — координаты центров тяжести прямоугольников 1 и 2;

,  — площади прямоугольников 1 и 2.

С рис.9.11 видим, что

Тогда: 

Ответ: 

Задача № 3

Определить положение центра тяжести плоской фигуры (рис.9.12), ограниченной полуокружностью  радиуса и двумя прямыми равной длины и , причем

Решение. Данная площадь имеет ось симметрии, вдоль которой направим ось . Поскольку центр тяжести площади лежит на оси симметрии, то

Разделим площадь линией на две части: полуокружность и равнобедренный треугольник .

Абсцисса центра тяжести площади будет равняться:

где  — координата центра тяжести половины круга ;

 — координата центра тяжести треугольника ;

,  — площади половины круга и треугольника.

Для определения воспользуемся приведенными в разделе 9.3.2 координатами центра тяжести кругового сектора

В случае половины круга 

Площадь половины круга равна:

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан (раздел 9.3.4). Поскольку треугольник равнобедрен, то линия  будет его медианой и расстояние будет равняться третьей части от :

Площадь треугольника равна:

Подставив найденные значения , ,  и  в уравнение для , получим:

Ответ: 

Задача № 4

Найти координаты центра тяжести квадратной пластины с вырезом в виде сегмента радиуса (рис.9.13), если

Решение. Осью симметрии рассматриваемой фигуры будет диагональ прямоугольника

Поэтому направим ось вдоль этой линии, а ось — перпендикулярно (рис.9.13).

Центр тяжести пластины будет лежать на оси , то есть

Площадь фигуры можно представить как разницу площадей квадрата (положительная площадь) и сектора (отрицательная площадь).

Абсцисса центра тяжести фигуры будет равняться:

где  — абсцисса центра тяжести квадрата ;

 — абсцисса центра тяжести сектора ;

 и  — площади квадрата и сектора.

Для квадрата получим:

Как следует из рис. 9.13, равняется

где  — расстояние от точки к центру тяжести кругового сектора .

Для кругового сектора (раздел 9.3.2) получим:

Поскольку  и , то 

Таким образом, абсцисса равняется:

Площадь кругового сектора :

Подставив значение , ,  и  в формулу для , получим:

Ответ:  

Задача № 5

Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной (рис.9.14) правой веткой параболы , осью  и прямой

Решение. На расстоянии  от оси выделяем элементарную площадку шириной (заштрихованная область).

Площадь выделенной элементарной площадки будет равняться:

Площадь фигуры, что ограничена заданными линиями:

Поскольку точка представляет собой пересечение параболы и прямой , то 

Отсюда: 

Тогда:

Абсцисса центра тяжести

Для определения координаты выделим элементарную площадку шириной на расстоянии  от оси .

Площадь выделенной площадки:

Ордината центра тяжести:

Тогда: 

Ответ: 

Способы определения координат центра тяжести тела

Существует несколько способов определения координат центра тяжести тел. среди них различают: метод симметрии, метод разбиения и дополнения, экспериментальные способы.

Рассмотрим последовательно эти способы.

Метод симметрии

Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Таким образом, центр тяжести однородных симметричных тел, таких как кольца,
прямоугольные пластины, прямоугольные параллелепипеды, шары и другие тела, которые
имеют центр симметрии, расположенный в геометрических центрах (центры симметрии) этих тел.

Метод разбиения

Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести нетрудно определяется, то координаты центра тяжести всего тела можно определить непосредственно по формулам выше. Причем количество слагаемых в числителе каждого из указанных выражений будет равно количеству частей, на которое разбивается тело.

Приведем пример определения центра тяжести тела методом разбиения его на отдельные тела, центры тяжести которых известны.

Пример:

Определить координаты центра тяжести однородной пластины. Размеры в
мм заданные на рис. 1.64

Решение.

Выберем оси координат x и y. Разбиваем пластину на отдельные прямоугольные части. Для каждого прямоугольника проводим диагонали, точки пересечения которых c₁, c₂ и c₃ соответствуют центрам веса каждого прямоугольника. В принятой системе координат нетрудно получить значение координат этих точек. А именно: c₁ (–1,1), c₂ (1,5), c₃ (5,9). Площади каждого тела соответственно равны: I — s₁ = 4 см²; II — s₂ = 20 см²; III — s₃ = 12 см². Площадь всей пластины равна: S = s₁ + s₂ + s₃ = 36 см².

Для определения координат центра тяжести заданной пластины используем выражение выше. Подставив значения всех известных величин в уравнения, получим

По вычисленным значениям координат центра тяжести пластины можно обозначить точку C на рисунке. Как видим, центр тяжести (геометрическая точка) пластины расположен за ее пределами.

Метод дополнения

Способ, о котором говорится далее, является некоторым случаем способа разбиения. Он может применяться к телам, которые имеют вырезы, полости, причем без учета выреза, или вырезанной части тела положение центра тяжести тела известно. Рассмотрим пример применения такого метода.

Пример. Определить положение центра тяжести круглой пластины радиусом R, имеет круговое отверстие радиуса r (рис. 1.65). Расстояние C₁C₂ = a.

Решение.

Как видно из рисунка, центр тяжести пластины находится на оси симметрии пластины x, то есть на прямой, проходящей через точки C₁ и C₂. Таким образом, для определения положения центра тяжести этой пластины необходимо вычислить только одну координату x_C, поскольку вторая координата y_C равна нулю. Покажем оси координат x, y. Примем, что пластина состоит из двух тел — с полного круга (без учета выреза) и тела,
образовано вырезом. В принятой системе координаты x для указанных тел будут равны: x₁ = 0; x₂ = C₁C₂ = a. Площади тел равны: Общая площадь всего тела будет равна физической разницы между площадями первого и второго тел, а именно
Для определения неизвестной координаты центра тяжести
заданной пластины используем первое уравнение выражения.

Подставив значения всех известных величин в это уравнение, получим

Таким образом, значение координаты x_C отрицательное, а потому, поскольку вторая координата 0 y_C = 0, то центр тяжести пластины C размещен на оси x слева от точки C₁.

Экспериментальные способы

Эти способы нашли широкое применение при отыскании положения центра тяжести тел сложных форм и конфигураций, для которых другие способы почти непригодны вследствие громоздкости и сложности. К таким телам, в первую очередь, следует отнести комбайны, тракторы, сложные сельскохозяйственные машины и орудия. При применении экспериментальных способов отыскания положения
центра тяжести наиболее широко используют метод подвешивания и метод взвешивания тел.

При применении метода подвешивания тело на тросе подвешивают за различные его точки. Направление троса, будет давать каждый раз направление силы веса тела. Тогда точка пересечения этих направлений и дает положение центра тяжести тела.

Использование второго метода — взвешивание требует измерения веса всего тела, а также отдельных его частей. Рассмотрим пример применения этого метода.

Пример.

Определим продольную координату центра тяжести трактора, у которого продольная база составляет l (рис. 1.66).

Решение.

Сначала поставим на платформу весов задние колеса трактора, как это показано на рисунке. Итак, определяем силу давления задних колес на платформу, или реакцию . Аналогично определяем вес переднего моста, или реакцию . Вполне понятно, что сумма этих реакций равна общему весу трактора, а именно:

Q = R_A + R_B.

Теперь составим алгебраическую сумму моментов всех сил относительно точки A. Она равна

Откуда определяем продольную координату центра тяжести:

x_C = .

Для определения поперечной координаты центра тяжести трактора необходимо знать реакции левых колес (переднего и заднего) и правых, а также поперечную базу трактора. Дальше аналогичным выражением определяется эти координаты центра тяжести.

Центры тяжести некоторых однородных тел

Определим далее координаты центров тяжести некоторых простых однородных тел.

Центр тяжести дуги окружности

Рассмотрим дугу AB окружности радиусом R, в которой центральный угол OAB равен 2α (радиан) (рис. 1.67). Покажем оси координат x, y начало которых разместим в точке O. Вследствие того, что дуга имеет ось симметрии Ox, то центр ее тяжести будет расположен именно на этой оси (y_C = 0). Остается только вычислить координату x_C.

Используем для вычисления этой координаты первое уравнение выражения, а именно

Определим составляющие, которые необходимо подставить в это уравнение. Для этого выделим на дуге AB элемент M M₁ длиной dl, равной:

dl = R · dφ.

Если φ — угол, определяющий положение элемента M M₁ на дуге AB, то координата x элемента M M₁ будет равна:

x = Rcosφ.

Общая длина дуги AB равна:

L = 2α · R.

Подставим эти значения в первое уравнение выражения. При этом считается, что интеграл в числителе данного выражения должен быть определенным по всей длине дуги. Будем иметь:

Таким образом, координата x_C будет равняться

x_C = .

Центр тяжести треугольника

Есть произвольный треугольник, вершины которого в принятой системе координат Oxy соответствуют точкам с координатами A₁ (x₁, y₁), A₂ (x₂, y₂), A₃ (x₃, y₃) (рис. 1.68). Если провести прямые, которые будут параллельны основе A₁A₃ и провести их достаточное количество, то вся площадь треугольника будет состоять из полос бесконечно малой ширины, центры тяжести которых будут размещены посередине каждой полосы, а потому и центр тяжести треугольника будет расположенный на его медиане. А если провести линии, параллельные другой стороне треугольника, то и в этом случае центр тяжести будет размещен на соответствующей медиане. Таким образом, совершенно очевидно, что центр тяжести треугольника C будет расположен в точке пересечения его медиан.

Определим координаты этой точки. По курсу аналитической геометрии известно, что точка пересечения медиан треугольника в принятой системе координат определяется такими зависимостями

где x₁, x₂, …, y₃  — координаты вершин треугольника.

Полезно также знать, что

Центр тяжести сектора

Рассмотрим круговой сектор OAB радиуса R, центральный угол которого равен 2α (радиан) (рис. 1.69). Центр тяжести сектора, вполне очевидно, лежит на оси его симметрии, то есть на биссектрисе угла AOB. Эту биссектрису примем за ось x и найдем на этой оси положение центра C. Разобьем площадь сектора на бесконечно большое число элементарных секторов с центральными углами ∆φ.

Будем рассматривать каждый сектор как треугольник с основанием R · ∆φ и высотой R. Центр тяжести каждого треугольника расположен на расстоянии  от центра сектора. Таким образом, центры тяжести всех треугольников расположены на дуге A´B´. Итак, если 0 ∆φ → 0, то центры тяжести образуют дугу AB, тогда необходимо найти центр тяжести дуги A´B´. Используем формулу, по которой определяется центр тяжести дуги окружности радиусом r:

Тогда учитывая, что

Будем иметь

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика материальной точки
24. Динамика механической системы
25. Динамика плоского движения твердого тела
26. Динамика относительного движения материальной точки
27. Динамика твердого тела
28. Кинематика простейших движений твердого тела
29. Общее уравнение динамики
30. Работа и мощность силы
31. Обратная задача динамики
32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
34. Сферическое движение твёрдого тела
35. Движение свободного твердого тела
36. Сложное движение твердого тела
37. Сложное движение точки
38. Плоское движение тела
39. Статика твердого тела
40. Равновесие составной конструкции
41. Равновесие с учетом сил трения
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки