Как найти центр масс проволоки

2019-10-05   

Найдите положение центра масс однородной проволоки, изогнутой по дуге окружности радиуса $R$. Длина проволоки $L (R > L/2 pi)$. Используйте систему координат с началом в центре окружности и с осью х, проходящей через середину проволоки.

Решение:

Выберем систему координат, как рекомендовано в условии задачи. Так как проволока расположена симметрично относительно оси х, то, очевидно, $y_{ц. м.} = 0$. По определению центра масс

$x_{ц.м.} = frac{ int xdm }{ int dm}$;

Масса проволоки бесконечно малой длины $dl$ равна $rho dl$, где $rho = M/L$ — масса единицы длины проволоки, поэтому

$x_{ц.м.} = frac{1}{L} int xdl$.

Вычислять такой интеграл в прямоугольной системе координат довольно громоздко. Эти вычисления значительно упрощаются, если заметить, что для произвольной точки проволоки, радиус-вектор которой образует угол $phi$ а осью $y, x = R cos phi$, a $dl = Rd phi$ (см. рисунок). Чтобы были учтены все точки проволоки, угол $phi$ должен пробегать значения от $( pi — alpha)/2$ до $( pi + alpha )/2$, где $alpha = L/R$ — угол между радиусами-векторами концов проволоки.

Таким образом,

$x_{ц.м.} = frac{R^{2} }{L} int_{ frac{ pi — alpha}{2} }^{ frac{ pi + alpha}{2} } cos phi d phi = frac{2R^{2} }{L} sin frac{ alpha}{2} = R left ( frac{2R}{L} right ) sin frac{L}{2R}$.

Этот же результат может быть получен из теоремы Паппа. При вращении проволоки вокруг оси у получается шаровой пояс площадью

$2 pi R cdot 2R cos left ( frac{ pi — alpha}{2} right ) = 4 pi R^{2} sin frac{ alpha}{2}$.

Центр масс проволоки описывает окружность длины $2 pi x_{ц.м.}$, так что

$4 pi R^{2} sin frac{ alpha}{2} = 2 pi x_{ц.м.} L$,

откуда

$x_{ц.м.} = R left ( frac{2R}{L} right ) sin frac{L}{2R}$.

Математическая
техника вычисления центра масс относится
к области курсов математики; там подобные
задачи служат хорошими примерами по
интегральному исчислению. Но, даже умея
интегрировать, полезно знать некоторые
трюки для вычис­ления положения центра
масс. Один из таких трюков основан на
использовании так называемой теоремы
Паппа, которая ра­ботает следующим
образом. Если мы возьмем какую-то
замк­нутую фигуру и образуем твердое
тело, вращая эту фигуру в пространстве
так, чтобы каждая точка двигалась
перпендику­лярно к плоскости фигуры,
то объем образующегося при этом тела
равен произведению площади фигуры на
расстояние, прой­денное ее центром
тяжести! Разумеется, эта теорема верна
и в том случае, когда плоская фигура
движется по прямой линии, перпендикулярной
к ее площади, однако если мы движем ее
по окружности или какой-то другой кривой,
то при этом получа­ется гораздо более
интересное тело. При движении по кривому
пути внутренняя часть фигуры продвигается
меньше, чем внеш­няя, и эти эффекты
компенсируют друг друга. Так что если
мы хотим определить центр масс плоской
фигуры с однородной плотностью, то нужно
помнить, что объем, образуемый враще­нием
его относительно оси, равен расстоянию,
которое проходит

Например,
если нам нужно найти центр масс
прямоуголь­ного треугольника с
основанием D
и
высотой H
(фиг.
19.2), то это делается следующим образом.

Фиг.
19.2. Прямоугольный тре­угольник и
прямой круговой конус, образованный
вращением этого треугольника.

Вообразите
себе ось, про­ходящую вдоль H,
и
поверните треугольник на 360° вокруг
этой оси. Это дает нам конус. Расстояние,
которое проходит x-координата
центра масс, равно 2х,
а площадь
области, кото­рая двигалась, т. е.
площадь треугольника, равна ¹/₂HD.
Произведение
расстояния, пройденного центром масс,
на пло­щадь треугольника равно объему
конуса, т. е. ¹/₃D²H.
Таким
образом, (2х)(¹/₂HD)=¹/₃D²H,
или
x=D/3.
Совершенно аналогично вращением вокруг
второго катета или просто по соображениям
симметрии находим, что у=Н/3.
Вообще
центр масс любого однородного треугольника
находится в точке пере­сечения трех
его медиан (линий, соединяющих вершину
тре­угольника с серединой противоположной
стороны), которая от­стоит от основания
на расстоянии, равном ¹/₃
длины
каждой медианы.

Как это увидеть?
Рассеките треугольник линиями,
парал­лельными основанию, на множество
полосок. Заметьте теперь, что медиана
делит каждую полоску пополам, следовательно,
центр масс должен лежать на медиане.

Возьмем
теперь более сложную фигуру. Предположим,
что требуется найти положение центра
масс однородного полукруга, т. е. круга,
разрезанного пополам. Где будет находиться
центр масс в этом случае? Для полного
круга центр масс расположен в геометрическом
центре, но для полукруга найти его
положе­ние труднее. Пусть r
— радиус
круга, а x
— расстояние центра масс от прямолинейной
границы полукруга. Вращая его вокруг
этого края как вокруг оси, мы получаем
шар. При этом центр масс проходит
расстояние 2х,
а
площадь полукруга равна ¹/₂r²
(половине
площади круга). Так как объем шара равен,
конечно, 4r³/3,
то отсюда находим

или

Существует
еще другая теорема Паппа, которая
фактически является частным случаем
сформулированной выше теоремы,
а
потому тоже справедлива. Предположим,
что вместо твердого полукруга мы взяли
полуокружность, например кусок прово­локи
в виде полуокружности с однородной
плотностью, и хотим найти ее центр масс.
Оказывается, что площадь,
которая
«заме­тается» плоской кривой при ее
движении, аналогичном выше­описанному,
равна расстоянию, пройденному центром
масс, умноженному на длину
этой
кривой. (Кривую можно рассмат­ривать
как очень узкую полоску и применять к
ней предыдущую теорему.)

Соседние файлы в папке Фейнман Р., Леймон Р., Сендс М. — Фейнмановские лекции по физике, том 2 — 1965

• #

  26.04.2017168.45 Кб4015.doc

• #

  26.04.2017131.07 Кб3916.doc

• #

  26.04.2017135.17 Кб4417.doc

• #

  26.04.2017122.88 Кб4018.doc

• #

  26.04.2017163.33 Кб4019.doc

• #

  26.04.2017169.98 Кб4020.doc

• #
• #

  26.04.2017174.59 Кб4322.doc

• #

  26.04.2017274.43 Кб4023.doc

• #

  26.04.2017159.23 Кб4124.doc

Let me show the most general way to find the answer.

For a curve (or an infinitesimally thin wire with uniform density, i.e. uniform linear mass distribution), the center of mass is at the centroid of the curve.

In the general 2D case, the centroid of a parametric curve $vec{s}(t) = left ( x(t) , y(t) right )$, $t_0 le t le t_1$ is at $( hat{x} , hat{y} )$,
$$begin{cases}
hat{x} = frac{1}{L} displaystyle int_{t_0}^{t_1} x(t) , delta(t) , dt \
hat{y} = frac{1}{L} displaystyle int_{t_0}^{t_1} y(t) , delta(t) , dt
end{cases} tag{1}label{NA1}$$
where $delta(t) , dt$ is the arc length parameter at $t$,
$$delta(t) , dt = sqrt{ left( frac{ d, x(t) }{ d t } right )^2 + left( frac{ d, y(t) }{ d, t} right) ^2 } , dt$$
and $L$ is the total length of the curve,
$$L = int_{t_0}^{t_1} delta(t) , dt$$

In this particular case, we have a circular arc,
$$begin{cases}
x(theta) = r cos(theta) \
y(theta) = r sin(theta)
end{cases}$$
and therefore
$$delta(theta) , dtheta = sqrt{ left(-r sin(theta)right)^2 + left(r cos(theta)right)^2 } , dtheta = sqrt{ r^2 left( (sintheta)^2 + (costheta)^2 right) } , dtheta = sqrt{ r^2 } , dtheta = r , dtheta$$
The arc distends one third of a full circle, or 120°. If we put the center of the circle at origin, and the midpoint of the arc on the positive $y$ axis, then $theta$ ranges from $90°-120°/2 = 30°$ to $90°+120°/2 = 150°$, i.e. from $theta = pi/6$ radians to $theta = 5 pi/6$ radians.

The length $L$ of the circular arc we already know from geometry; it is one third of the perimeter of the circle of radius $r$,
$$L = frac{2 pi r}{3}$$

Substituting these to $eqref{NA1}$ we get
$$begin{cases}
hat{x} = frac{3}{2 pi r} displaystyleint_{pi/6}^{5pi/6} r cos(theta) , r , dtheta \
hat{y} = frac{3}{2 pi r} displaystyleint_{pi/6}^{5pi/6} r sin(theta) , r , dtheta
end{cases}$$
which simplify to
$$begin{cases}
hat{x} = frac{3 r}{2 pi} displaystyleint_{pi/6}^{5pi/6} cos(theta) , dtheta = frac{3 r}{2 pi} left(Bigl[-sintheta Bigr]_{pi/6}^{5pi/6} right) \
hat{y} = frac{3 r}{2 pi} displaystyleint_{pi/6}^{5pi/6} sin(theta) , dtheta = frac{3 r}{2 pi} left(Bigl[costheta Bigr]_{pi/6}^{5pi/6} right)
end{cases}$$
Because $-sin(pi/6) — -sin(5pi/6) = 0$, $hat{x} = 0$. Which is completely expected, because we arranged the arc to be symmetric around the $y$ axis.
Because $cos(pi / 6) — cos(5pi / 6) = sqrt{3}/2 — -sqrt{3}/2 = sqrt{3}$,
$$hat{y} = frac{3 r}{2 pi} sqrt{3} = frac{3 sqrt{3}}{2 pi} r$$

In the case of $r = 3$, $$hat{y} = frac{9 sqrt{3}}{2 pi} approx 2.48$$

This is in perfect agreement with King Tut’s answer.

аналитическая-геометрия — Найти центр тяжести проволочного треугольника