Как найти центр кривой гиперболы

Что такое гипербола

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие гиперболы

Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:

, где a и b — положительные действительные числа.

Кстати, канонический значит принятый за образец.

В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.

Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.

Вспомним особенности математической гиперболы:

• Две симметричные ветви.
• Две асимптоты. Асимптота — это прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Их значение помогает найти специальное уравнение асимптот гиперболы.

Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:

Пример 1. Построить гиперболу, которая задана уравнением 5(x^2) — 4(y^2) = 20.

Приведем данное уравнение к каноническому виду (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1.

Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:

Можно было сделать проще и дроби левой части 5(x^2)/20 — 4(y^2)/20 = 1 сразу сократить и получить (x^2)/4 — (y^2)/5 = 1. Нам повезло с примером, потому что число 20 делится и на 4 и на 5. Рассмотрим пример посложнее.

Пример 2. Построить гиперболу, которая задана уравнением 3(x^2)/20 — 8(y^2)/20 = 1.

1. Произведем сокращение при помощи трехэтажной дроби:
2. Воспользуемся каноническим уравнением
   • Найдем асимптоты гиперболы. Вот так:
     Важно! Без этого шага ветви гиперболы «вылезут» за асимптоты.
   • Найдем две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках A1(a; 0), A2(-a; 0).

Если y = 0, то каноническое уравнение (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1 превращается в (x^2)/(a^2) = 1, из чего следует, что x^2 = a^2 -> x = a, x = -a.

Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).

Найдем дополнительные точки — хватит двух-трех.

В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.

Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения

на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:

— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);

— определяет нижние дуги гиперболы.

Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:

Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.

Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.

Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.

Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.

Мнимая полуось гиперболы — число b.

В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.

Форма гиперболы

Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.

Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.

Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.

Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.

Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.

Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.

Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.

Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).

Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение e = a/c, где c = √(a^2 + b^2), называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a 1 .

Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:

Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:

• пусть центр O гиперболы будет началом системы координат;
• прямую, которая проходит через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F1 к точке F2);
• прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:

Запишем это уравнение в координатной форме:

Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:

, т.е. выбранная система координат является канонической.

Если рассуждать в обратном порядке, можно убедиться, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1, и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Именно поэтому аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.

ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.

Директориальное свойство гиперболы звучит так:

Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.

Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие

можно записать в координатной форме так:

Избавляясь от иррациональности и заменяя e = a/c, c^2 — a^2 = b^2, мы придем к каноническому уравнению гиперболы. Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F1 и директрисы d1:

Построение гиперболы

Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.

Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.

В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:

Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:

Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.

По определению эксцентриситет гиперболы равен

Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.

Так как b^2 = c^2 — a^2, то величина b изменится.

При этом ε -> 1, b -> 0 и мнимые вершины B1, B2 стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы выражается в пределе в отрезок A1A2, а сама гипербола выражается в два луча на оси абсцисс: (-∞; -a] и [a; ∞).

При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.

При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.

Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.

Из определения следует, что в равносторонняя гиперболе a = b, поэтому ее каноническое уравнение выглядит так: x^2 — y^2 = a^2

Действительно, ε = c/a = √2, откуда c^2 = 2a^2 и b^2 = c^2 — a^2 = a^2. И так как а и b положительные числа, получаем a = b.

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

Как найти центр гиперболы по уравнению

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой (y=frac ), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac ) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac -1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь (color >) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

(25)

где .

Параметры гиперболы:

Точки F₁(–c, 0), F₂(c, 0), где называются фокусами гиперболы, при этом величина 2с (с > a > 0) определяет междуфокусное расстояние. Точки А₁(–а, 0), А₂(а, 0) называются вершинами гиперболы, при этом А₁А₂ = 2а образует действительную ось гиперболы, а В₁В₂ = 2b – мнимую ось (В₁(0, –b), B₂(0, b)), О – центр гиперболы.

Величина называется эксцентриситетом гиперболы, она характеризует меру «сжатости» гиперболы;

– фокальные радиусы гиперболы (точка М принадлежит гиперболе), причем r₁ = a + εx, r₂ = –a + εx для точек правой ветви гиперболы, r₁ = – (a + εx), r₂ = – (–a + εx) – для точек левой ветви;

– директрисы гиперболы;

– уравнения асимптот.

Для гиперболы справедливо: ε > 1, директрисы не пересекают границу и внутреннюю область гиперболы, а также обладают свойством

Говорят, что уравнение

(26)

задает уравнение гиперболы, сопряженной данной (рис. 20). Его можно записать также в виде

.

В таком случае ось мнимая, фокусы лежат на оси . Все остальные параметры определяются аналогично как для гиперболы (25).

Точки гиперболы обладают важным характеристическим свойством: абсолютное значение разности расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2a (рис. 19).

Для параметрического задания гиперболы в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на гиперболе, и положительным направлением оси Ox:

Пример 1. Привести уравнение гиперболы

к каноническому виду, найти еепараметры, изобразить гиперболу.

Решение. Разделим левую и правую части заданного уравнения на 144: Из последнего уравнения непосредственно следует: a = 4, b = 3, c = 5, O(0, 0) – центр гиперболы. Фокусы находятся в точках F₁(–5, 0) и F₂(5, 0), эксцентриситет ε = 5/4, директрисы D₁ и D₂ описываются уравнениями D₁: x = –16/5, D₂: x = 16/5, асимптоты l₁ и l₂ имеют уравнения

Сделаем чертеж. Для этого по осям Ox и Oy симметрично относительно точки (0, 0) отложим отрезки А₁А₂ = 2а = 8 и В₁В₂ = 2b = 6 соответственно. Через полученные точки А₁(–4, 0), А₂(4, 0), В₁(0, –3), В₂(0, 3) проведем прямые, параллельные координатным осям. В результате получим прямоугольник (рис. 21), диагонали которого лежат на асимптотах гиперболы. Строим гиперболу

Для нахождения угла φ между асимптотами гиперболы воспользуемся формулой

.

,

откуда получаем

Пример 2. Определить тип, параметры и расположение на плоскости кривой, уравнение которой

Решение. С помощью метода выделения полных квадратов упростим правую часть данного уравнения:

которое делением на 30 приводится к виду

Это уравнение гиперболы, центр которой лежит в точке действительная полуось – мнимая полуось – (рис. 22).

Пример 3. Составить уравнение гиперболы, сопряженной относительно гиперболы определить ее параметры и сделать чертеж.

Решение.Уравнение гиперболы, сопряженной данной, –

или

Действительная полуось b = 3, мнимая – а = 4, половина междуфокусного расстояния Вершинами гиперболы служат точки B₁(0, –3) и В₂(0, 3); ее фокусы находятся в точках F₁(0, –5) и F₂(0, 5); эксцентриситет ε = с/b = 5/3; директрисы D₁ и D₂ задаются уравнениями D₁: y = –9/5, D₂: y = 9/5; уравнения являются уравнениями асимптот (рис. 23).

Заметим, что для сопряженных гипербол общими элементами являются вспомогательный «прямоугольник» и асимптоты.

Пример 4. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b (a > 0, b > 0), если известно, что ее главные оси параллельны координатным осям. Определить основные параметры гиперболы.

Решение. Искомое уравнение можно рассматривать как уравнение гиперболы которое получается в результате параллельного переноса старой системы координат на вектор где (x₀, y₀) – центр гиперболы в «старой» системе координат. Тогда, используя соотношения между координатами произвольной точки М плоскости в заданной и преобразованной системах

получим уравнение гиперболы

Определим параметры. Центр гиперболы определяет точка O¢(x₀; y₀), а значит, действительная ось задается уравнением x = x₀,а мнимая – уравнением y = y₀. Ее вершинами являются точки , а асимптотами являются прямые . Половина междуфокусного расстояния Тогда фокусы гиперболы находятся в точках , эксцентриситет

Директрисы D₁ и D₂ задаются уравнениями

Пример 5.Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах эллипса , а фокусы – в вершинах этого эллипса.

Решение.Уравнение означает, что фокусами эллипса являются точки а вершины, лежащие на главной оси, находятся в точках (так как ).

Тогда для искомой гиперболы известно, что

Значит, основные параметры гиперболы есть:

.

Используя данную информацию, приходим к уравнению гиперболы

Задания для самостоятельного решения

Дата добавления: 2014-12-16 ; Просмотров: 6979 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Определение 7.2. Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой.

Замечание 7.2. Говоря о разности расстояний, подразумевают, что из большего расстояния вычитается меньшее. Это значит, что на самом деле для гиперболы постоянным является модуль разности расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек. #

Определение гиперболы аналогично определению эллипса. Различие между ними лишь в том, что для гиперболы постоянна разность расстояний до фиксированных точек, а для эллипса — сумма тех же расстояний. Поэтому естественно, что у этих кривых много общего как в свойствах, так и в используемой терминологии.

Фиксированные точки в определении гиперболы (обозначим их F₁ и F₂) называют фокусами гиперболы. Расстояние между ними (обозначим его 2с) называют фокальным расстоянием, а отрезки F₁M и F₂M, соединяющие произвольную точку M на гиперболе с ее фокусами, — фокальными радиусами.

Вид гиперболы полностью определяется фокальным расстоянием |F₁F₂| = 2с и значением постоянной величины 2а, равной разности фокальных радиусов, а ее положение на плоскости — положением фокусов F₁ и F₂.

Из определения гиперболы следует, что она, как и эллипс, симметрична относительно прямой, проходящей через фокусы, а также относительно прямой, которая делит отрезок F₁F₂ пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.7). Первую из этих осей симметрии называют действительной осью гиперболы, а вторую — ее мнимой осью. Постоянную величину а, участвующую в определении гиперболы, называют действительной полуосью гиперболы.

Середина отрезка F₁F₂, соединяющего фокусы гиперболы, лежит на пересечении ее осей симметрии и поэтому является центром симметрии гиперболы, который называют просто центром гиперболы.

Для гиперболы действительная ось 2а должна быть не больше, чем фокальное расстояние 2с, так как для треугольника F₁MF₂ (см. рис. 7.7) справедливо неравенство ||F₁M| — |F₂M| | ≤ |F₁F₂|. Равенство а = с выполнено только для тех точек M, которые лежат на действительной оси симметрии гиперболы вне интервала F₁F₂. Отбрасывая этот вырожденный случай, далее будем предполагать, что а 2а. Согласно замечанию 7.2, гипербола состоит из тех точек M(х; у), для которых | |F₁M| — — |F₂M| | = 2а. Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы центр гиперболы находился в начале координат, а фокусы располагались на оси абсцисс (рис. 7.8). Такую систему координат для рассматриваемой гиперболы называют канонической, а соответствующие переменные — каноническими.

В канонической системе координат фокусы гиперболы имеют координаты F₁(c; 0) и F₂(—с; 0). Используя формулу расстояния между двумя точками, запишем условие ||F₁M| — |F₂M|| = 2а в координатах |√((х — с) 2 + у 2 ) — √((х + с) 2 + у 2 )| = 2а, где (x; у) — координаты точки M. Чтобы упростить это уравнение, избавимся от знака модуля: √((х — с) 2 + у 2 ) — √((х + с) 2 + у 2 ) = ±2а, перенесем второй радикал в правую часть и возведем в квадрат: (х — с) 2 + у 2 = (х + с) 2 + у 2 ± 4а √((х + с) 2 + у 2 ) + 4а 2 . После упрощения получим —εх — а = ±√((х + с) 2 + у 2 ), или

√((х + с) 2 + у 2 ) = |εх + а| (7.7)

где ε = с/а. Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные члены: (ε 2 — 1)х 2 — у 2 = с 2 — а 2 , или, учитывая равенство ε = с/а и полагая b 2 = c 2 — a 2 ,

x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 1 (7.8)

Величину b > 0 называют мнимой полуосью гиперболы.

Итак, мы установили, что любая точка на гиперболе с фокусами F₁(с;0) и F₂(—с; 0) и действительной полуосью а удовлетворяет уравнению (7.8). Но надо также показать, что координаты точек вне гиперболы этому уравнению не удовлетворяют. Для этого мы рассмотрим семейство всех гипербол с данными фокусами F₁ и F₂. У этого семейства гипербол оси симметрии являются общими. Из геометрических соображений ясно, что каждая точка плоскости (кроме точек, лежащих на действительной оси симметрии вне интервала F1F2, и точек, лежащих на мнимой оси симметрии) принадлежит некоторой гиперболе семейства, причем только одной, так как разность расстояний от точки до фокусов F₁ и F₂ меняется от гиперболы к гиперболе. Пусть координаты точки M(х; у) удовлетворяют уравнению (7.8), а сама точка принадлежит гиперболе семейства с некоторым значением ã действительной полуоси. Тогда, как мы доказали, ее координаты удовлетворяют уравнению Следовательно, система двух уравнений с двумя неизвестными

имеет хотя бы одно решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при ã ≠ а это невозможно. Действительно, исключив, например, x из первого уравнения:

после преобразований получаем уравнение

которое при ã ≠ а не имеет решений, так как . Итак, (7.8) есть уравнение гиперболы с действительной полуосью а > 0 и мнимой полуосью b = √(с 2 — а 2 ) > 0. Его называют каноническим уравнением гиперболы.

Вид гиперболы. По своему виду гипербола (7.8) заметно отличается от эллипса. Учитывая наличие двух осей симметрии у гиперболы, достаточно построить ту ее часть, которая находится в первой четверти канонической системы координат. В первой четверти, т.е. при x ≥ 0, у ≥ 0, каноническое уравнение гиперболы однозначно разрешается относительно у:

у = b/a √(x 2 — а 2 ). (7.9)

Исследование этой функции y(x) дает следующие результаты.

Область определения функции — ив этой области определения она непрерывна как сложная функция, причем в точке x = а она непрерывна справа. Единственным нулем функции является точка x = а.

Найдем производную функции y(x): y'(x) = bx/a√(x 2 — а 2 ). Отсюда заключаем, что при x > а функция монотонно возрастает. Кроме того, , а это означает, что в точке x = a пересечения графика функции с осью абсцисс существует вертикальная касательная. Функция y(x) имеет вторую производную y» = —ab(x 2 — а 2 ) -3/2 при x > а, и эта производная отрицательна. Поэтому график функции является выпуклым вверх, а точек перегиба нет.

Указанная функция имеет наклонную асимптоту, это вытекает из существования двух пределов:

Наклонная асимптота описывается уравнением y = (b/a)x.

Проведенное исследование функции (7.9) позволяет построить ее график (рис. 7.9), который совпадает с частью гиперболы (7.8), содержащейся в первой четверти.

Так как гипербола симметрична относительно своих осей, вся кривая имеет вид, изображенный на рис. 7.10. Гипербола состоит из двух симметричных ветвей, расположенных по разные

стороны от ее мнимой оси симметрии. Эти ветви не ограничены с обеих сторон, причем прямые у = ±(b/a)x являются одновременно асимптотами и правой и левой ветвей гиперболы.

Оси симметрии гиперболы различаются тем, что действительная пересекает гиперболу, а мнимая, будучи геометрическим местом точек, равноудаленных от фокусов, — не пересекает (поэтому ее и называют мнимой). Две точки пересечения действительной оси симметрии с гиперболой называют вершинами гиперболы (точки A(a; 0) и B(—a; 0) на рис. 7.10).

Построение гиперболы по ее действительной (2a) и мнимой (2b) осям следует начинать с прямоугольника с центром в начале координат и сторонами 2a и 2b, параллельными, соответ-ственно, действительной и мнимой осям симметрии гиперболы (рис. 7.11). Асимптоты гиперболы являются продолжениями диагоналей этого прямоугольника, а вершины гиперболы — точками пересечения сторон прямоугольника с действительной осью симметрии. Отметим, что прямоугольник и его положение на плоскости однозначно определяют форму и положение гиперболы. Отношение b/a сторон прямоугольника определяет степень сжатости гиперболы, но вместо этого параметра обычно используют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называют отношение ее фокального расстояния к действительной оси. Эксцентриситет обозначают через ε. Для гиперболы, описываемой уравнением (7.8), ε = c/a. Отметим, что если эксцентриситет эллипса может принимать значения из полуинтервала [0,1) (значение 0 соответствует предельному варианту эллипса — окружности), то эксцентриситет гиперболы всегда попадает в интервал (1, + ∞).

Построим прямоугольник с центром в начале системы координат Oxy и сторонами 2a, 2b, параллельными осям абсцисс и ординат соответственно. Проведем прямые y = (b/a)x и y = — (b/a)x, на которых лежат диагонали прямоугольника. Существует две гиперболы, соответствующие построенному прямоугольнику (рис. 7.12). Первая из них описывается каноническим уравнением (7.8), а вторая — уравнением

x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = -1. (7.10)

Вторую гиперболу называют сопряженной по отношению к первой, а уравнение (7.10) — каноническим уравнением сопряженной гиперболы. Действительная и мнимая оси первой гиперболы являются соответственно мнимой и действительной осями сопряженной гиперболы, а асимптоты у них общие.

Пример 7.2. Найдем каноническое уравнение гиперболы по ее действительной полуоси a = 4 и фокальному расстоянию 2с = 10. Построим гиперболу и определим координаты ее вершин, фокусов и уравнения асимптот.

Так как действительная полуось a гиперболы известна, то, чтобы найти каноническое уравнение гиперболы, достаточно определить мнимую полуось b. Поскольку с = 5, b = √(с 2 — а 2 ), то b = √(5 2 — 4 2 ) = 3. Итак, искомое уравнение имеет вид x 2 /4 2 — y 2 /3 2 = 1. Построим прямоугольник,соответствующий заданной гиперболе (рис. 7.13). Продолжим его диагонали до асимптот ги-перболы и построим саму гиперболу. Уравнениями асимптот являются у = ±3x/4, вершины находятся в точках (±4; 0), а фокусы совпадают с точками (±5; 0).

Геометрические свойства. Геометрические свойства гиперболы во многом повторяют свойства эллипса. Вернемся к формуле (7.7). Она эквивалентна каноническому уравнению гиперболы и дает выражение для длины фокального радиуса F₂M ее точки M(х; у):

|F₂M| = √((х + с) 2 + у 2 ) = ±(εх + a) (7.11)

где знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой.

Аналогично можно получить формулу для длины другого фокального радиуса, если при выводе канонического уравнения гиперболы перед первым возведением в квадрат в правую часть равенства перенести не второй, а первый квадратный радикал. При этом вместо (7.7) получим εх — a = ±√((х — с) 2 + у 2 ) , откуда

|F₁M| = √((х — с) 2 + у 2 ) = ±(εх — a) (7.12)

где, как и в (7.11), знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой. Каждое из уравнений (7.11), (7.12) является уравнением гиперболы.

Гипербола не проходит через свои фокусы (при 0 2 /c = (c 2 — a 2 )/c = b 2 /c

Гипербола также имеет и оптическое свойство, аналогичное оптическому свойству эллипса. Оно состоит в том, что лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса (рис. 7.15).

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с<а. Если это условие не выполнено, то рассматриваемое множество точек либо отрезок прямой, заключенной между фокусами, либо не содержит ни одной точки.

Из определения эллипса вытекает следующий метод его построения: если концы нерастяжимой нити длины 2а закрепить в точках и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия будет вычерчиваться эллипс с фокусами и с суммой расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов, равной 2 а (Рис. 7.1).

Составим уравнение эллипса. Для этой цели расположим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось Ох походила через фокусы положительное направление оси — от , начало координат выберем в середине отрезка . Тогда координаты точек будут соответственно (-с,0) и (с,0).

Пусть М(х,у) — произвольная точка эллипса, тогда:

Подставляя сюда значения имеем:

(7.1)

Уравнение (1) и есть уравнение эллипса. Преобразуя, упростим

его:

Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим:

Возведем еще раз обе части в квадрат и приведем подобные члены. Получаем или

(7.2)

Положительную величину обозначим через. Тогда уравнение (7.2) примет вид:

(7.3)

Оно называется каноническим уравнение эллипса.

Координаты точек эллипса ограничены неравенствами. Значит, эллипс ограниченная фигура, не выходящая за пределы прямоугольника со сторонами 2а и 2b •

Заметим, что в уравнение (7.3) входят лишь четные степени х и у. Поэтому, если точка M(х,у) принадлежит эллипсу, то и точки также ему принадлежат. А это означает, что эллипс — линия симметричная относительно координатных осей Ох и Оу.

Поэтому для исследования формы эллипса достаточно рассмотреть его в первой координатной четверти, а в остальных четвертях его строение определяется по симметрии. Для первой четверти, из уравнения (7.3) имеем:

(7.4)

При возрастании x от 0 до а, у монотонно убывает от а до 0. График функции изображен на Рис. 7.4.

Рис. 7.4

Достроив остальные четверти эллипса по симметрии, получим весь эллипс (Рис. 7.5).

Рис. 7.5. Оси симметрии эллипса (оси Ох и Оу) называются просто его осями, а центр симметрии — точка О — центром эллипса. Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Отрезки , а также их длины а и Ь называются полуосями эллипса. В случае, когда фокусы эллипса находятся на оси Ох (как в нашем случае), из равенства следует, что a>b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а <с.

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение: (7.6) где ху — координаты произвольной точки гиперболы,

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямыми х = -а и х = а.

Так как в уравнение входят только четные степени x и у, то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем:

График этой функции от точки A(а,0) уходит неограниченно вправо и вверх (Рис. 7.7), и как угодно близко подходит к прямой:

Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты

Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны 2а и 2Ь параллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки , пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы. Величины а и Ь называются полуосями гиперболы. Если а=Ь, то гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситетом гиперболы называется число. Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси Ох. На рисунке 7.9 изображены гиперболы с различными значениями £.

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами. Их длины и задаются формулами:

Для правой — ветви ,

Для левой — ветви

Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением

Парабола

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось Ох проводят через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом F и точкой D пересечения оси Ох с директрисой . Если обозначить через р расстояние фокуса от директрисы, то и уравнение директрисы будет иметь вид

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:

(7.8)

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Из уравнения (7.8) видно, что л: может принимать только неотрицательные значения. Значит, на рисунке вся парабола располагается справа от оси Оу. Так как уравнение (7.8) содержит у только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси Ох и поэтому достаточно рассмотреть ее форму в первой четверти. В этой четверти .

При неограниченном возрастании x неограниченно растет и у. Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии. Сделаем рисунок параболы (Рис. 7.10).

Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения с ее осью называется вершиной параболы.

Исследование на плоскости уравнения второй степени

Рассмотрим уравнение:

(7.9)

где среди коэффициентов А, В, С есть отличные от нуля, т.е. (7.9) — уравнение второй степени относительно х и у.

Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: Оху, которую будем называть старой, и новую, полученную из Оху поворотом ее вокруг начала координат на угол

Старые координаты х, у выражаются через новые координаты по формулам:

(7.10)

Подставив выражения для х и у в уравнение (8), получим: (7.11)

Это уравнение в системе координат задает ту же линию, что и уравнение (7. 9) в системе Оху.

Если в уравнении (7.9) , то за счет выбора угла а в (7.10) можно добиться того, что В’ = 0. Для этого угол а надо взять таким, чтобы . Поэтому будем считать В’= 0, тогда уравнение (7.11) примет вид:

(7.12)

Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос координатных осей, придем к уравнению:

(7.13)

В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (7.13) рассмотрим следующие случаи:

Рассматривая далее методично все случаи, придем к выводу: уравнение вида (7.9) задает одну из следующих фигур: эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, прямую, точку или пустое множество.

Кривые второго порядка в высшей математике

Выяснение взаимосвязей между различными показателями экономического характера часто приводит к форме этих связей в виде гиперболы и параболы. В этой лекции приведём краткие сведения обо всех кривых второго порядка.

Окружность

Определение 9.1. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки — центра окружности.

Если точка — центр (рис.9.1), N(x,y) — произвольная точка окружности и R — её радиус, то согласно определения можно записать

или

Найдём условия, при которых общее уравнение второй степени с двумя переменными

определяет окружность. Раскрыв скобки в (9.1.1), получим

Сравнивая (9.1.2) и (9.1.3), находим условия А = С, В = О,

, при выполнении которых общее уравнение (9.1.2) определяет окружность.

Эллипс

Определение 9.2. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть на плоскости хОу (рис. 9.2) дан эллипс с фокусами и. Пусть начало координат лежит на середине отрезка . Выведем уравнение эллипса.

Если точка А — произвольная точка эллипса с координатами (х, у), то

(9.2.1)

где — постоянная сумма. Так как

расположены симметрично относительно начала координат, то они имеют координаты (с,0) и (-с,0) соответственно. Воспользовавшись формулой для вычисления расстояния между двумя точками, находим . Подставив значения

и в (9.2.1), получаем уравнение

Обе части этого уравнения возведем в квад-Упростив и обозначив

получим. Разделим обе части уравнения на правую часть

Уравнение (9.2.2) называется каноническим уравнением эллипса, где а — большая полуось, b — малая полуось.

Это уравнение второго порядка, следовательно, эллипс есть линия второго порядка. Для определения формы эллипса служит его эксцентриситет , т.е. отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большей полуоси. Так как са, то эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. Поскольку

, то подставив значение в равенство, получим

Следовательно, эксцентриситет определяется отношение осей эллипса; а отношение осей определяется эксцентриситетом. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше , тем меньше, следовательно, отношение . Это значит, что эллипс вытянут вдоль оси Ох. В случае Ь=а и получаем окружность.

Две прямые, перпендикулярные к большей оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса. Уравнения директрис

Пример:

Исследовать, какая линия определяется уравнением

Решение:

Сгруппируем члены, содержащие одну и туже переменную, получим

Из второй скобки вынесем коэффициент при , после чего предыдущее уравнение примет вид

В каждой из скобок выделим полный квадрат

или

Произведём замену: . Исследуемое уравнение принимает вид: .

Разделив обе части этого уравнения на , получим канонический вид данного уравнения:

Заданное уравнение определяет эллипс с полуосями , центр которого находится в точке

Выбираем на плоскости произвольным образом прямоугольную систему координат хОу. С помощью параллельного переноса переносим оси координат в новое начало в точку . В новой системе координат строим основной прямоугольник со сторонами , стороны которого параллельны новым осям координат, а центр находится в точке . Вписываем в него эллипс.

Гипербола

Определение 9.3.1. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами и отличная от нуля (указанная разность берется по абсолютному значению).

Пусть М- произвольная точка гиперболы с фокусами (рис. 9.4). Отрезки называются фокальными радиусами точки М и обозначаются По определению гиперболы . Так как и т.к. расположены симметрично относительно начала координат, то, применяя формулу для вычисления расстояния между двумя точками, находим . Заменяя в равенстве найденными выражениями, получаем:

.

Возведя в квадрат обе части этого уравнения и обозначая , получим: или, разделив все члены уравнения на правую часть, приводим его к виду:

Уравнение (9.3.1)- это каноническое уравнение гиперболы, линии второго порядка.

Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником. Его диагонали совпадают с асимптотами гиперболы . Поэтому, если требуется построить гиперболу с полуосями а и b, то следует, прежде всего, построить ее основной прямоугольник, затем асимптоты.

Уравнение вида определяет гиперболу, вершины которой расположены на оси Оу (Рис. 9.5).

Форму гиперболы характеризует её эксцентриситет , т.е. отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между её вершинами. Поскольку , то подставив в формулу получимоткуда. Следовательно, эксцентриситет oредсляется отношением , а отношение — эксцентриситетом. Следовательно, эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение , а это значит, что основной прямоугольник вытянут в направлении оси, соединяющей вершины.

Прямые, заданные уравнениями называются директрисами гиперболы.

Пример:

Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых от данной точки А(4, 0) и от данной прямой х=1 равно 2.

Решение:

В системе координат хОу построим точку А(4, 0) и прямую х = 1. Пусть М(х, у) — произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую х = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то её абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, B(1, у) (рис. 9.6).По условию задачи .Подставив значения расстояний, которые находим по формуле расстояния между двумя точками, получим:

Возводя в квадрат левую и правую части равенства и последовательно преобразовывая, находим уравнение:

Полученное уравнение определяет гиперболу, у которой действительная полуось -а = 2, а мнимая .

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство . Следовательно, .А — фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка

А(4, 0) является правым фокусом гиперболы.

Эксцентриситет полученной гиперболы равен

Подставив значения а и b в уравнения асимптот и

у =—получим уравнения асимптот гиперболы:и .

Для построения гиперболы строим основной прямоугольник с полуосями , затеем асимптоты и а далее строим и саму гиперболу (рис.9.6).

• Заказать решение задач по высшей математике

Парабола

Определение 9.4.1. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых, расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой,(директриса не проходит через фокус).

Обозначим фокус параболы — F, расстояние от фокуса до директрисы — р(р > 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС<0.

Кривая второго порядка принадлежит параболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0 и только один из коэффициентов А и С не равен нулю: АС=0 и

Рассмотрим канонические (простейшие) уравнения эллипса, гиперболы и параболы.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Геометрическое свойство точек эллипса выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину, о которой идет речь в определении эллипса, обозначим через 2а: 2а>2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а<2с. Точка М(х,у) принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением гиперболы.

Число а называют действительной полуосью гиперболы, число

— мнимой полуосью гиперболы, 2а и 2b — соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Точки называют вершинами гиперболы, — ее фокусами (рис. 13).

Координатные оси являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии. Центр симметрии гиперболы называется центром гиперболы.

Точки гиперболы по мере удаления от начала координат неограниченно (асимптотически) приближаются к прямым у=±kх (где ), которые называются асимптотами гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной оси:

Эксцентриситет гиперболы изменяется от единицы до бесконечности и характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем ее ветви более сжаты к оси Ох.

Замечание. Каноническое уравнение определяет сопряженную гиперболу с действительной полуосью b, вершинами в точках и фокусами на оси Оу.

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат, если ее действительная полуось равна трем, а эксцентриситет -четырем третьим.

Решение:

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

По условию задачи нам известно: а=3, Найдем мнимую полуось.

Следовательно, уравнение искомой гиперболы:

Задача решена.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом параболы, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расстояние между фокусом и директрисой обозначим р. Для того чтобы точка М(х,у) принадлежала параболе, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли уравнению которое называется каноническим уравнением параболы.

Точка O(0,0) называется вершиной параболы, число р — параметром параболы, — директрисой пир,болы, а — ее фокусом. Прямая у=0 является осью симметрии параболы, ветви которой направлены вправо. Центра симметрии у параболы нет (рис. 14).

Если поменять ролями оси Ох и Оу, то каноническое уравнение параболы примет вид (уравнение параболы с вертикальной осью, уравнением директрисы фокусом ветви направлены вверх).

Замечание. Канонические уравнения параболы можно рассматривать и в случае, когда ветви направлены влево или вниз:

Пример:

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и отсекающей на биссектрисе первого координатного угла отрезок длиной

Решение:

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и ветвями, направленными вверх, имеет вид:

Уравнение биссектрисы первого координатного угла у=х. Найдем точки пересечения параболы с биссектрисой. Для этого решим систему уравнений

Следовательно, точка М(2р,2р) будет принадлежать параболе. С другой стороны, парабола отсекает на биссектрисе отрезок длиной который является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 2р.

По теореме Пифагора

Тогда искомое уравнение параболы

Уравнение директрисы параболы: у=-1, координаты ее фокуса F(0,1).

Задача решена.

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой (y=frac), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac<1>-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь (color <frac<1>>) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Читайте также:

1. Гипербола
2. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

(25)

где .

Параметры гиперболы:

Точки F₁(–c, 0), F₂(c, 0), где называются фокусами гиперболы, при этом величина 2с (с > a > 0) определяет междуфокусное расстояние. Точки А₁(–а, 0), А₂(а, 0) называются вершинами гиперболы, при этом А₁А₂ = 2а образует действительную ось гиперболы, а В₁В₂ = 2b – мнимую ось (В₁(0, –b), B₂(0, b)), О – центр гиперболы.

Величина называется эксцентриситетом гиперболы, она характеризует меру «сжатости» гиперболы;

– фокальные радиусы гиперболы (точка М принадлежит гиперболе), причем r₁ = a + εx, r₂ = –a + εx для точек правой ветви гиперболы, r₁ = – (a + εx), r₂ = – (–a + εx) – для точек левой ветви;

– директрисы гиперболы;

– уравнения асимптот.

Для гиперболы справедливо: ε > 1, директрисы не пересекают границу и внутреннюю область гиперболы, а также обладают свойством

Говорят, что уравнение

(26)

задает уравнение гиперболы, сопряженной данной (рис. 20). Его можно записать также в виде

.

В таком случае ось мнимая, фокусы лежат на оси . Все остальные параметры определяются аналогично как для гиперболы (25).

Точки гиперболы обладают важным характеристическим свойством: абсолютное значение разности расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2a (рис. 19).

Для параметрического задания гиперболы в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на гиперболе, и положительным направлением оси Ox:

Пример 1. Привести уравнение гиперболы

к каноническому виду, найти еепараметры, изобразить гиперболу.

Решение. Разделим левую и правую части заданного уравнения на 144: Из последнего уравнения непосредственно следует: a = 4, b = 3, c = 5, O(0, 0) – центр гиперболы. Фокусы находятся в точках F₁(–5, 0) и F₂(5, 0), эксцентриситет ε = 5/4, директрисы D₁ и D₂ описываются уравнениями D₁: x = –16/5, D₂: x = 16/5, асимптоты l₁ и l₂ имеют уравнения

Сделаем чертеж. Для этого по осям Ox и Oy симметрично относительно точки (0, 0) отложим отрезки А₁А₂ = 2а = 8 и В₁В₂ = 2b = 6 соответственно. Через полученные точки А₁(–4, 0), А₂(4, 0), В₁(0, –3), В₂(0, 3) проведем прямые, параллельные координатным осям. В результате получим прямоугольник (рис. 21), диагонали которого лежат на асимптотах гиперболы. Строим гиперболу

Для нахождения угла φ между асимптотами гиперболы воспользуемся формулой

.

,

откуда получаем

Пример 2. Определить тип, параметры и расположение на плоскости кривой, уравнение которой

Решение. С помощью метода выделения полных квадратов упростим правую часть данного уравнения:

которое делением на 30 приводится к виду

Это уравнение гиперболы, центр которой лежит в точке действительная полуось – мнимая полуось – (рис. 22).

Пример 3. Составить уравнение гиперболы, сопряженной относительно гиперболы определить ее параметры и сделать чертеж.

Решение.Уравнение гиперболы, сопряженной данной, –

или

Действительная полуось b = 3, мнимая – а = 4, половина междуфокусного расстояния Вершинами гиперболы служат точки B₁(0, –3) и В₂(0, 3); ее фокусы находятся в точках F₁(0, –5) и F₂(0, 5); эксцентриситет ε = с/b = 5/3; директрисы D₁ и D₂ задаются уравнениями D₁: y = –9/5, D₂: y = 9/5; уравнения являются уравнениями асимптот (рис. 23).

Заметим, что для сопряженных гипербол общими элементами являются вспомогательный «прямоугольник» и асимптоты.

Пример 4. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b (a > 0, b > 0), если известно, что ее главные оси параллельны координатным осям. Определить основные параметры гиперболы.

Решение. Искомое уравнение можно рассматривать как уравнение гиперболы которое получается в результате параллельного переноса старой системы координат на вектор где (x₀, y₀) – центр гиперболы в «старой» системе координат. Тогда, используя соотношения между координатами произвольной точки М плоскости в заданной и преобразованной системах

получим уравнение гиперболы

Определим параметры. Центр гиперболы определяет точка O¢(x₀; y₀), а значит, действительная ось задается уравнением x = x₀,а мнимая – уравнением y = y₀. Ее вершинами являются точки , а асимптотами являются прямые . Половина междуфокусного расстояния Тогда фокусы гиперболы находятся в точках , эксцентриситет

Директрисы D₁ и D₂ задаются уравнениями

Пример 5.Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах эллипса , а фокусы – в вершинах этого эллипса.

Решение.Уравнение означает, что фокусами эллипса являются точки а вершины, лежащие на главной оси, находятся в точках (так как ).

Тогда для искомой гиперболы известно, что

Значит, основные параметры гиперболы есть:

.

Используя данную информацию, приходим к уравнению гиперболы

Задания для самостоятельного решения

Дата добавления: 2014-12-16 ; Просмотров: 6979 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Определение 7.2. Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой.

Замечание 7.2. Говоря о разности расстояний, подразумевают, что из большего расстояния вычитается меньшее. Это значит, что на самом деле для гиперболы постоянным является модуль разности расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек. #

Определение гиперболы аналогично определению эллипса. Различие между ними лишь в том, что для гиперболы постоянна разность расстояний до фиксированных точек, а для эллипса — сумма тех же расстояний. Поэтому естественно, что у этих кривых много общего как в свойствах, так и в используемой терминологии.

Фиксированные точки в определении гиперболы (обозначим их F₁ и F₂) называют фокусами гиперболы. Расстояние между ними (обозначим его 2с) называют фокальным расстоянием, а отрезки F₁M и F₂M, соединяющие произвольную точку M на гиперболе с ее фокусами, — фокальными радиусами.

Вид гиперболы полностью определяется фокальным расстоянием |F₁F₂| = 2с и значением постоянной величины 2а, равной разности фокальных радиусов, а ее положение на плоскости — положением фокусов F₁ и F₂.

Из определения гиперболы следует, что она, как и эллипс, симметрична относительно прямой, проходящей через фокусы, а также относительно прямой, которая делит отрезок F₁F₂ пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.7). Первую из этих осей симметрии называют действительной осью гиперболы, а вторую — ее мнимой осью. Постоянную величину а, участвующую в определении гиперболы, называют действительной полуосью гиперболы.

Середина отрезка F₁F₂, соединяющего фокусы гиперболы, лежит на пересечении ее осей симметрии и поэтому является центром симметрии гиперболы, который называют просто центром гиперболы.

Для гиперболы действительная ось 2а должна быть не больше, чем фокальное расстояние 2с, так как для треугольника F₁MF₂ (см. рис. 7.7) справедливо неравенство ||F₁M| — |F₂M| | ≤ |F₁F₂|. Равенство а = с выполнено только для тех точек M, которые лежат на действительной оси симметрии гиперболы вне интервала F₁F₂. Отбрасывая этот вырожденный случай, далее будем предполагать, что а 2а. Согласно замечанию 7.2, гипербола состоит из тех точек M(х; у), для которых | |F₁M| — — |F₂M| | = 2а. Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы центр гиперболы находился в начале координат, а фокусы располагались на оси абсцисс (рис. 7.8). Такую систему координат для рассматриваемой гиперболы называют канонической, а соответствующие переменные — каноническими.

В канонической системе координат фокусы гиперболы имеют координаты F₁(c; 0) и F₂(—с; 0). Используя формулу расстояния между двумя точками, запишем условие ||F₁M| — |F₂M|| = 2а в координатах |√((х — с) 2 + у 2 ) — √((х + с) 2 + у 2 )| = 2а, где (x; у) — координаты точки M. Чтобы упростить это уравнение, избавимся от знака модуля: √((х — с) 2 + у 2 ) — √((х + с) 2 + у 2 ) = ±2а, перенесем второй радикал в правую часть и возведем в квадрат: (х — с) 2 + у 2 = (х + с) 2 + у 2 ± 4а √((х + с) 2 + у 2 ) + 4а 2 . После упрощения получим —εх — а = ±√((х + с) 2 + у 2 ), или

√((х + с) 2 + у 2 ) = |εх + а| (7.7)

где ε = с/а. Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные члены: (ε 2 — 1)х 2 — у 2 = с 2 — а 2 , или, учитывая равенство ε = с/а и полагая b 2 = c 2 — a 2 ,

x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 1 (7.8)

Величину b > 0 называют мнимой полуосью гиперболы.

Итак, мы установили, что любая точка на гиперболе с фокусами F₁(с;0) и F₂(—с; 0) и действительной полуосью а удовлетворяет уравнению (7.8). Но надо также показать, что координаты точек вне гиперболы этому уравнению не удовлетворяют. Для этого мы рассмотрим семейство всех гипербол с данными фокусами F₁ и F₂. У этого семейства гипербол оси симметрии являются общими. Из геометрических соображений ясно, что каждая точка плоскости (кроме точек, лежащих на действительной оси симметрии вне интервала F1F2, и точек, лежащих на мнимой оси симметрии) принадлежит некоторой гиперболе семейства, причем только одной, так как разность расстояний от точки до фокусов F₁ и F₂ меняется от гиперболы к гиперболе. Пусть координаты точки M(х; у) удовлетворяют уравнению (7.8), а сама точка принадлежит гиперболе семейства с некоторым значением ã действительной полуоси. Тогда, как мы доказали, ее координаты удовлетворяют уравнению Следовательно, система двух уравнений с двумя неизвестными

имеет хотя бы одно решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при ã ≠ а это невозможно. Действительно, исключив, например, x из первого уравнения:

после преобразований получаем уравнение

которое при ã ≠ а не имеет решений, так как . Итак, (7.8) есть уравнение гиперболы с действительной полуосью а > 0 и мнимой полуосью b = √(с 2 — а 2 ) > 0. Его называют каноническим уравнением гиперболы.

Вид гиперболы. По своему виду гипербола (7.8) заметно отличается от эллипса. Учитывая наличие двух осей симметрии у гиперболы, достаточно построить ту ее часть, которая находится в первой четверти канонической системы координат. В первой четверти, т.е. при x ≥ 0, у ≥ 0, каноническое уравнение гиперболы однозначно разрешается относительно у:

у = b/a √(x 2 — а 2 ). (7.9)

Исследование этой функции y(x) дает следующие результаты.

Область определения функции — ив этой области определения она непрерывна как сложная функция, причем в точке x = а она непрерывна справа. Единственным нулем функции является точка x = а.

Найдем производную функции y(x): y'(x) = bx/a√(x 2 — а 2 ). Отсюда заключаем, что при x > а функция монотонно возрастает. Кроме того, , а это означает, что в точке x = a пересечения графика функции с осью абсцисс существует вертикальная касательная. Функция y(x) имеет вторую производную y» = —ab(x 2 — а 2 ) -3/2 при x > а, и эта производная отрицательна. Поэтому график функции является выпуклым вверх, а точек перегиба нет.

Указанная функция имеет наклонную асимптоту, это вытекает из существования двух пределов:

Наклонная асимптота описывается уравнением y = (b/a)x.

Проведенное исследование функции (7.9) позволяет построить ее график (рис. 7.9), который совпадает с частью гиперболы (7.8), содержащейся в первой четверти.

Так как гипербола симметрична относительно своих осей, вся кривая имеет вид, изображенный на рис. 7.10. Гипербола состоит из двух симметричных ветвей, расположенных по разные

стороны от ее мнимой оси симметрии. Эти ветви не ограничены с обеих сторон, причем прямые у = ±(b/a)x являются одновременно асимптотами и правой и левой ветвей гиперболы.

Оси симметрии гиперболы различаются тем, что действительная пересекает гиперболу, а мнимая, будучи геометрическим местом точек, равноудаленных от фокусов, — не пересекает (поэтому ее и называют мнимой). Две точки пересечения действительной оси симметрии с гиперболой называют вершинами гиперболы (точки A(a; 0) и B(—a; 0) на рис. 7.10).

Построение гиперболы по ее действительной (2a) и мнимой (2b) осям следует начинать с прямоугольника с центром в начале координат и сторонами 2a и 2b, параллельными, соответ-ственно, действительной и мнимой осям симметрии гиперболы (рис. 7.11). Асимптоты гиперболы являются продолжениями диагоналей этого прямоугольника, а вершины гиперболы — точками пересечения сторон прямоугольника с действительной осью симметрии. Отметим, что прямоугольник и его положение на плоскости однозначно определяют форму и положение гиперболы. Отношение b/a сторон прямоугольника определяет степень сжатости гиперболы, но вместо этого параметра обычно используют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называют отношение ее фокального расстояния к действительной оси. Эксцентриситет обозначают через ε. Для гиперболы, описываемой уравнением (7.8), ε = c/a. Отметим, что если эксцентриситет эллипса может принимать значения из полуинтервала [0,1) (значение 0 соответствует предельному варианту эллипса — окружности), то эксцентриситет гиперболы всегда попадает в интервал (1, + ∞).

Построим прямоугольник с центром в начале системы координат Oxy и сторонами 2a, 2b, параллельными осям абсцисс и ординат соответственно. Проведем прямые y = (b/a)x и y = — (b/a)x, на которых лежат диагонали прямоугольника. Существует две гиперболы, соответствующие построенному прямоугольнику (рис. 7.12). Первая из них описывается каноническим уравнением (7.8), а вторая — уравнением

x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = -1. (7.10)

Вторую гиперболу называют сопряженной по отношению к первой, а уравнение (7.10) — каноническим уравнением сопряженной гиперболы. Действительная и мнимая оси первой гиперболы являются соответственно мнимой и действительной осями сопряженной гиперболы, а асимптоты у них общие.

Пример 7.2. Найдем каноническое уравнение гиперболы по ее действительной полуоси a = 4 и фокальному расстоянию 2с = 10. Построим гиперболу и определим координаты ее вершин, фокусов и уравнения асимптот.

Так как действительная полуось a гиперболы известна, то, чтобы найти каноническое уравнение гиперболы, достаточно определить мнимую полуось b. Поскольку с = 5, b = √(с 2 — а 2 ), то b = √(5 2 — 4 2 ) = 3. Итак, искомое уравнение имеет вид x 2 /4 2 — y 2 /3 2 = 1. Построим прямоугольник,соответствующий заданной гиперболе (рис. 7.13). Продолжим его диагонали до асимптот ги-перболы и построим саму гиперболу. Уравнениями асимптот являются у = ±3x/4, вершины находятся в точках (±4; 0), а фокусы совпадают с точками (±5; 0).

Геометрические свойства. Геометрические свойства гиперболы во многом повторяют свойства эллипса. Вернемся к формуле (7.7). Она эквивалентна каноническому уравнению гиперболы и дает выражение для длины фокального радиуса F₂M ее точки M(х; у):

|F₂M| = √((х + с) 2 + у 2 ) = ±(εх + a) (7.11)

где знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой.

Аналогично можно получить формулу для длины другого фокального радиуса, если при выводе канонического уравнения гиперболы перед первым возведением в квадрат в правую часть равенства перенести не второй, а первый квадратный радикал. При этом вместо (7.7) получим εх — a = ±√((х — с) 2 + у 2 ) , откуда

|F₁M| = √((х — с) 2 + у 2 ) = ±(εх — a) (7.12)

где, как и в (7.11), знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой. Каждое из уравнений (7.11), (7.12) является уравнением гиперболы.

Гипербола не проходит через свои фокусы (при 0 2 /c = (c 2 — a 2 )/c = b 2 /c

Гипербола также имеет и оптическое свойство, аналогичное оптическому свойству эллипса. Оно состоит в том, что лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса (рис. 7.15).