Как найти боковую площадь усеченной треугольной пирамиды - Autoru.top

Усечённой пирамидой называется часть пирамиды между её основанием и плоскостью, параллельной ему.

Усечённая пирамида, полученная из правильной пирамиды сечением, параллельным её основанию, называется правильной усечённой пирамидой.

Рис. (1). Правильная усечённая треугольная пирамида (ABCKNV)

(ABC) и (KNV) — основания пирамиды,

OO1 — высота.

Рис. (2). Правильная усечённая четырёхугольная пирамида (ABCDZVNK)

(ABCD) и (ZVNK) — основания,

OO1

— высота

Объём усечённой пирамиды:

V=13H⋅S1+S1⋅S2+S2,гдеS1иS2− площади оснований

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды:

Sбок.=12P1+P2⋅h,гдеP1иP2−периметры оснований

;

(h) — апофема правильной усечённой пирамиды, на данных рисунках это отрезок (LF).

Рис. (3). Апофема правильной треугольной усечённой пирамиды

Рис. (4). Апофема правильной четырёхугольной усечённой пирамиды

Источники:

Рис .1. Правильная усечённая треугольная пирамида ABCKNV. © ЯКласс.
Рис.2. Правильная усечённая четырёхугольная пирамида ABCDZVNK. © ЯКласс.
Рис. 3. Апофема правильной треугольной усечённой пирамиды. © ЯКласс.

Рис. 4. Апофема правильной четырёхугольной усечённой пирамиды. © ЯКласс.

Источник

Усеченная пирамида – это многогранник, который образуется основанием пирамиды и параллельным ему сечением. Можно сказать, что усеченная пирамида – это пирамиду со срезанной верхушкой. Эта фигура обладает множеством уникальных свойств:

Боковые грани пирамиды являются трапециями;
Боковые ребра правильной усеченной пирамиды одинаковой длины и наклонены к основанию под одинаковым углом;
Основания являются подобными многоугольниками;
В правильной усеченной пирамиде, грани представляют собой одинаковые равнобедренные трапеции, площадь которых равна. Также они наклонены к основанию под одним углом.

Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды представляет собой сумму площадей ее сторон: ${S_b}=sum{i=1}{n}{S_i}$

Так как стороны усеченной пирамиды представляют собой трапеции, то для расчета параметров придется воспользоваться формулой площади трапеции. Для правильной усеченной пирамиды можно применить другую формулу расчета площади. Так как все ее стороны, грани, и углы при основании равны, то можно применить периметры основания и апофему, а также вывести площадь через угол при основании.

Если по условиям в правильной усеченной пирамиде даны апофема (высота боковой стороны) и длины сторон основания, то можно произвести расчет площади через полупроизведение суммы периметров оснований и апофемы:

$S={1/2}(P_1 + P_2) l$

Давайте рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.
Дана правильная пятиугольная пирамида. Апофема l = 5 см, длина грани в большом основании равна a = 6 см, а грань в меньшем основании b = 4 см. Рассчитайте площадь усеченной пирамиды.

Для начала найдем периметры оснований. Так как нам дана пятиугольная пирамида, мы понимаем, что основания представляют собой пятиугольники. Значит, в основаниях лежит фигура с пятью одинаковыми сторонами. Найдем периметр большего основания:

Таким же образом находим периметр меньшего основания:

Теперь можем рассчитывать площадь правильной усеченной пирамиды. Подставляем данные в формулу:
$S_{6ok}={1/2}*(30+20)*5=25*5=125 cm^2$
Таким образом, мы рассчитали площадь правильной усеченной пирамиды через периметры и апофему.

Еще один способ расчета площади боковой поверхности правильной пирамиды, это формула через углы у основания и площадь этих самых оснований.

$S_{6ok}={S_{1 OCH}-S_{2 OCH}}/{cos{beta}}$

Давайте рассмотрим пример расчета. Помним, что данная формула применяется только для правильной усеченной пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Грань нижнего основания a = 6 см, а грань верхнего b = 4 см. Двухгранный угол при основании β = 60°. Найдите площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

Для начала рассчитаем площадь оснований. Так как пирамида правильная, все грани оснований равны между собой. Учитывая, что в основании лежит четырехугольник, понимаем, что нужно будет рассчитать площадь квадрата. Она представляет собой произведение ширины на длину, но в квадрате эти значения совпадают. Найдем площадь большего основания:
$S_{1OCH}=6^2=36 cm^2$
$S_{2OCH}=4^2=16 cm^2$
Теперь используем найденные значения для расчета площади боковой поверхности.
$S_{6ok}= {36-16}/0.5 = 40 cm^2$

Зная несколько несложных формул, мы легко рассчитали площадь боковой трапеции усеченной пирамиды через различные значения.

Источник

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, разбивает исходную пирамиду на две части: пирамиду, подобную данной, и усеченную пирамиду. Усеченная пирамида ограничена основаниями — двумя параллельными подобными многоугольниками, — и боковой поверхностью.

Соответствующие стороны многоугольников в основаниях попарно параллельны, поэтому боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.

Высота усеченной пирамиды — это расстояние между плоскостями ее оснований.

Как построить усеченную пирамиду?

Чтобы построить усеченную пирамиду:

1) строят полную пирамиду;

2) проводят сечение, параллельное основанию;

3) верхнюю часть чертежа стирают.

Объем усеченной пирамиды

Формула объема усеченной пирамиды:

$[V = frac{1}{3}H({S_1} + sqrt {{S_1}{S_2}} + {S_2})]$

где S1 и S2- площади оснований пирамиды, H — высота пирамиды.

Правильная усеченная пирамида

Усеченная пирамида, полученная из правильной пирамиды, называется правильной усеченной пирамидой. Боковые грани правильной усеченной пирамиды представляют собой равные равнобокие трапеции. Их высоты называют апофемами.

B1F, A1F — апофемы.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды может быть найдена по одной из формул:

$[{S_{bok}} = frac{{{P_1} + {P_2}}}{2} cdot l]$

где P1 и P2 — периметры оснований, l — апофема.

$[{S_{bok}} = frac{{{S_1} - {S_2}}}{{cos varphi }}]$

где φ- двугранный угол при большем основании пирамиды.

Источник

Материал урока.

На прошлых уроках
мы работали с пирамидами. Давайте вспомним, какой многогранник называется
пирамидой, что такое правильная пирамида, вспомним свойства правильной пирамиды.

Многогранник, составленный из -угольника и треугольников, называется пирамидой.

Пирамида называется правильной,
если ее основание – правильный многоугольник.

Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Все боковые ребра правильной пирамиды
равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Пусть нам дана
пирамида PA₁A₂…A_n. Проведем секущую плоскость β,
параллельную плоскости основания пирамиды и пусть эта плоскость пересекает
боковые ребра в точках B_1,B₂,…,
B_n.

Плоскость β
разбивает пирамиду на две фигуры: пирамиду PB₁B₂…B_n и многогранник. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n называется
усеченной пирамидой.

Вокруг нас много
примеров усеченных пирамид. Вытяжка над кухонной плитой имеет форму усеченной
пирамиды.клавиши клавиатуры и другие предметы.

N-угольники
A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n называются соответственно верхним и нижним основанием.
Четырехугольники A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n называются боковыми
гранями.

Отрезки A₁B₁,…, A_nB_n называются боковыми рёбрами
усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду
обозначают так A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n. Возьмем на верхнем основании произвольную
точку C и из этой точки опустим перпендикуляр на нижнее
основание. Этот перпендикуляр называется высотой усеченной пирамиды.

Теперь давайте
докажем, что боковые грани усеченной пирамиды – это трапеции.

Для доказательства
рассмотрим грань A₁A₂B₂B₁. Понятно,
что для других боковых граней доказательство будет проводится аналогично.

Поскольку секущая
плоскость проводилась параллельно плоскости основания, то можно записать, что A₁A₂
параллельно B₁B₂.
Очевидно, что две другие стороны четырехугольника A₁A₂B₂B₁ не параллельны (они пересекаются в точке P). Получаем, что этот четырехугольник – трапеция. Очевидно,
что все остальные боковые грани тоже будут трапециями.

Как и в случае с
пирамидой, усеченная пирамида тоже может быть правильной.

Усеченная пирамида
называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды
плоскостью, параллельной основанию.

Основаниями
усеченной пирамиды являются правильные многоугольники, а боковые грани –
равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций
называются апофемами.

Объединение боковых граней называется боковой
поверхностью усеченной пирамиды, а объединение всех граней называется полной
поверхностью усеченной пирамиды. Тогда площадью боковой поверхности
пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

А площадью полной поверхности пирамиды называется
сумма площадей всех ее граней.

Теперь давайте
сформулируем и докажем теорему о площади боковой поверхности правильной
усеченной пирамиды.

Площадь боковой
поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы
периметров основания на апофему.

Доказательство.

Запишем формулу для
нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Поскольку усеченная
пирамида правильная, значит, ее гранями будут равнобедренные трапеции.

Площадь равнобедренной
трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Высота боковой грани
есть ничто иное как апофема усеченной пирамиды.

Подставим все в
исходную формулу, вынесем половину апофемы за скобки, а в скобках сгруппируем
стороны по основаниям. Тогда получим, что площадь боковой поверхности будет
равна произведению полусуммы периметров оснований усеченной пирамиды на
апофему.

Что и
требовалось доказать.

Решим несколько
задач.

Задача. Стороны
оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны и . Высота пирамиды
равна . Найти площадь
боковой поверхности.

Решение.

Ответ. 120
см²

Решим еще одну
задачу.

Задача. Пирамида
пересечена плоскостью, параллельной основанию. Доказать что боковые ребра и
высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Решение.

Что и
требовалось доказать.

Решим еще одну
задачу.

Задача. Правильная
треугольная пирамида с высотой и стороной основания
равной рассечена плоскостью
, проходящей через
середину высоты параллельно
основанию . Найти площадь
боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.

Решение.

Ответ.
135 см².

Подведем итоги
урока. Сегодня на уроке мы познакомились с такими понятиями как усеченная
пирамида, правильная усеченная пирамида. Рассмотрели свойства правильной
усеченной пирамиды. Решили несколько задач.

Источник

Как найти площадь поверхности усеченной пирамиды

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте периметры оснований и апофему.

Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.

Боковая поверхность через периметры и апофему

Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды через периметры и апофему:

p1 — периметр верхнего основания; p2 — периметр нижнего основания; l — апофема усеченной пирамиды.

Источник

Как найти площадь поверхности усеченной пирамиды

Боковая поверхность через периметры и апофему

Не пропустите также: