Как найти арксинус зная синус

Примеры:

(arcsin⁡{frac{sqrt{2}}{2}}=frac{π}{4}) потому что (sin ⁡frac{π}{4}=frac{sqrt{2}}{2}) и (frac{π}{4}∈[-frac{π}{2}; frac{π}{2}])
(arcsin ⁡1=frac{π}{2}) потому что (sin⁡frac{π}{2}=1) и (frac{π}{2}∈[-frac{π}{2};frac{π}{2}])
(arcsin ⁡0=0) потому что (sin ⁡0=0) и (0∈[-frac{π}{2};frac{π}{2}] )
(arcsin⁡sqrt{3}) – не определен, потому что (sqrt{3}>1)

Проще говоря, арксинус обратен синусу.

На круге это выглядит так:

Как вычислить арксинус?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) (arcsin⁡(-frac{1}{2}))
б) (arcsin⁡(frac{sqrt{3}}{2}))
в) (arcsin(-1))

а) Синус какого числа равен (-frac{1}{2})? Или в более точной формулировке можно спросить так: если (sin ⁡x=-frac{1}{2}), то чему равен (x)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между (-frac{π}{2}) и (frac{π}{2}). Ответ очевиден:

(arcsin⁡(-frac{1}{2})=-frac{π}{6})

б) Синус какого числа равен (frac{sqrt{3}}{2})? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ (frac{π}{3}).

(arcsin⁡(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{π}{3})

в) Синус от чего равен (-1)?
Иначе говоря, (sin ⁡x=-1), (x=) ?

(arcsin⁡(-1)=-frac{π}{2})

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения (sin x=a)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{2}).

Это не вызывает затруднений:

( left[ begin{gathered}x=frac{π}{6}+2πn, n∈Z\ x=frac{5π}{6}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{3}).

Что тут будет ответом? Не (frac{π}{6}), не (frac{π}{4}), даже не (frac{π}{7}) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно (arcsin⁡frac{1}{3}), потому что известно, что синус равен (frac{1}{3}). Длина дуги от (0) до правой точки тогда тоже будет равна (arcsin⁡frac{1}{3}). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному (arcsin⁡frac{1}{3}) от (π), то её значение составляет (π- arcsin⁡frac{1}{3}).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{3}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{3}+2πl, l∈Zend{gathered}right.) Без арксинусов решить уравнение (sin ⁡x=frac{1}{3}) не получилось бы. Как и уравнение (sin ⁡x=0,125), (sin ⁡x=-frac{1}{9}), (sin⁡ x=frac{1}{sqrt{3}}) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только (9) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{sqrt{3}}).
Решение:

Ответ:   ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{sqrt{2}}).

Решение:
Кто поторопился написать ответ ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{sqrt{2}}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{sqrt{2}}+2πl, l∈Zend{gathered}right.), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров (arcsin⁡ frac{1}{sqrt{2}}) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух (frac{1}{sqrt{2}} = frac{1 cdot sqrt{2}}{sqrt{2} cdot sqrt{2}}= frac{sqrt{2}}{2}). Таким образом, получаем:

(arcsin⁡ frac{1}{sqrt{2}} = arcsin frac{sqrt{2}}{2}=frac{π}{4})

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать (frac{π}{4}).

Ответ:   ( left[ begin{gathered}x=frac{π}{4}+2πn, n∈Z\ x=frac{3π}{4}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac{7}{6}).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать ( left[ begin{gathered}x= arcsin frac{7}{6}+2πn, n∈Z\ x=π- arcsinfrac{7}{6}+2πl, l∈Zend{gathered}right.) на ЕГЭ потеряет (2) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать (arcsin⁡frac{7}{6})? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен (1) и больше или равен (-1). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Ответ:   решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Арксинус отрицательного числа

Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:

Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:

Примеры:

(arcsin⁡(-0,7)=-arcsin⁡ 0,7)
(arcsin⁡(-frac{sqrt{3}}{2})=-arcsin⁡frac{sqrt{3}}{2}=-frac{π}{6})
(arcsin⁡(-frac{sqrt{7}}{2}) neq -arcsin⁡frac{sqrt{7}}{2})

Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись (arcsin⁡(-frac{sqrt{7}}{2})) в принципе неверна, ведь (-frac{sqrt{7}}{2}<-1), а значит арксинус от (-frac{sqrt{7}}{2}) взять нельзя – он не вычислим, не существует, точно также как (sqrt{-5}) или (frac{3}{0}).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=-frac{1}{sqrt{3}}).

Решение:
Можно воспользоваться готовой формулой и написать:

( left[ begin{gathered}x=arcsin (-frac{1}{sqrt{3}})+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin (-frac{1}{sqrt{3}})+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

( left[ begin{gathered}x=-arcsin (frac{1}{sqrt{3}})+2πn, n∈Z\ x=π+arcsin (frac{1}{sqrt{3}})+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Но я фанатка круга, поэтому:

Ответ:   ( left[ begin{gathered}x=-arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πn, n∈Z\ x=π+arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

На всякий случай, уточню, что при решении уравнений написанное синим писать не обязательно – это скорее пояснения, как надо рассуждать.

Смотрите также:
Синус
Тригонометрические уравнения

Содержание:

При изучении тригонометрических функций часто возникает вопрос о нахождении значения аргумента, при котором значение функции равно заданному числу.

Нахождение значения аргумента

Например, найдем все значения аргумента, при которых значение функции

На единичной окружности найдем точки  ординаты которых равны Этим точкам соответствуют углы   и и таких углов бесконечно много. Однако, если рассмотреть промежуток  то на нем функция  возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа  из промежутка  существует единственное число  такое что  Так на промежутке существует единственное значение аргумента, при котором значение функции  равно  — это угол равный ( рис.93) 

Определение Арксинуса

Определение:

Арксинусом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  синус которого равен  (рис. 94).

Этот угол обозначают  Так,  поскольку  и 

Пример №1

Вычислите:

Решение:

   так как 

Пример №2

Найдите значение выражения:

Решение:

  так как

 (рис. 95, б).

Заметим, что  ( рис.95)  Так как углы, соответствующие точкам  и  где  с ординатами  и  отличаются только знаком, то  для любого числа  (рис. 96).

Пусть  тогда 
Так как точки имеют противоположные ординаты, то 
Поскольку  то по определению арксинуса  Так как  то  для любого числа 
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Так как 

Отметим, что областью определения выражения  является отрезок  Если  то выражение  не имеет смысла.

Например, выражения   не имеют смысла, так как 
Выражение  не имеет смысла, так как 
Из определения арксинуса числа следует, что  если 

Например, 

Рассмотрим промежуток  на котором функция  возрастает и принимает все значения от  до 1. Для любого числа  из промежутка  существует единственное число  такое, что 

Определение Арккосинуса

Определение:

Арккосинусом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  косинус которого равен  (рис. 97).

Этот угол обозначают 

Например:  поскольку  и 
 

Пример №3

Вычислите:

Решение:

Пример №4

Найдите значение выражения:

Решение:

  так как  ( рис. 98.а)

 ( рис.98.б)

Заметим, что  ( см.98) 

Пусть  Так как точки  имеют противоположные абсциссы, то  Поскольку  то по определению арккосинуса  Так как  для любого числа  (рис. 99).

Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Так как 
Областью определения выражения   является отрезок  Если  то выражение  не имеет смысла.

Так, выражения  не имеют смысла, поскольку

Выражение  не имеет смысла, так как 
Из определения арккосинуса числа следует, что  если  и 

Например, 

На промежутке монотонности  функции  существует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу 

Определение Арктангенса

Определение:

Арктангенсом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  тангенс которого равен  (рис. 100).

Этот угол обозначают  Так,  поскольку  и 

Пример №5

Вычислите:

Решение:

  так как  и 

 и 

Для любого числа  верно равенство  (рис. 101).

Пример №6

Найдите значение выражения

Решение:

Так как 
Из определения арктангенса числа следует, что  при 

Например, 

На промежутке монотонности  функции  существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу 

Определение Арккотангенса

Определение:

Арккотангенсом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  котангенс которого равен  (рис. 102).

Этот угол обозначают  Например,  поскольку

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №7

Вычислите:

Решение:

так как

Для любого числа  верно равенство  (рис. 103).

Пример №8

Найдите значение выражения 

Решение:

Так как 

Из определения арккотангенса числа следует, что  если  и 

Например, 

Примеры заданий и их решения

Пример №9

Верно ли, что:

Решение:

а) Верно, так как 

б)    верно, так как 

в)    неверно, так как 

г)    неверно, так как 

Пример №10

Вычислите:

Решение:

Пример №11

Найдите значение выражения:

Решение:

Пример №12

Оцените значение выражения 

Решение:

По определению арктангенса числа 

Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим: 

Пример №13

Найдите область определения выражения:

Решение:

 а) По определению арксинуса числа  это угол, синус которого равен 

б)    По определению арккосинуса числа  это угол, косинус которого равен 

Пример №14

Найдите значение выражения:

Решение:

Пример №15

Вычислите 

Решение:

Пример №16

Найдите значение выражения 

Решение:

Воспользуемся формулой  при  Поскольку  то эту формулу сразу применить нельзя.

Так как 

Пример №17

Найдите значение выражения 

Решение:

Так как  при  при