Как найти 2016 производную

урок 3. Математика ЕГЭ

Как найти производную от функции

Как считать производные?

Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?

Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.

Формулы производной

Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.

Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$

Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$

Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$

Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$

Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$

Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$

Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$

Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$

Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$

Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$

Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$

Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$

Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$

Свойства производной

Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.

Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$

Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$

Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$

Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$

Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$

Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$

Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$

Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$

Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$

Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$

Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$

Примеры нахождения производной

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.

Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$

Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$

Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$

Производная сложной функции

Сложная функция — это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:

• $$ln(3x^4);$$
  Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)).
• $$cos(ln(x));$$
  Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))).
• $$e^{2x^2+3};$$
  Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)).
• $$(sin(x))^3;$$
  Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).

Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
$$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.

Пример 14
$$((cos(x))^4)^{/}=?$$
Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
$$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
$$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$

Пример 15
$$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
Внешняя функция — это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция — квадратный многочлен ((2x^3+5)):
$$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$

Пример 16
$$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
Внешняя функция — это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
$$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
$$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
$$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$

Вывод формул производной функции

Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).

И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) — изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) — разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).

Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:

$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$

И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$

За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) — это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) — абсцисса конечной точки.

Нам это пригодится при выводе формул производной.

Производная квадратичной функции

Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$

Производная от третьей степени

Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.

Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.

Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной

Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции

Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.

Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.

2. Приложение производной

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x₀;f(x₀)):

    y=f(x₀)+f ‘(x₀)(x-x₀); f ‘(x₀) – угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной).

Достаточные признаки монотонности функции:

Необходимое условие экстремума: если x₀ – точка экстремума функции f(x) и производная f ’ существует в этой точке, то   f ‘(x₀)=0.

    Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. 

Достаточные условия экстремума: 

Пример 1. Найти производную функции .

    Решение:

        .

    Ответ: .

Пример 2. Найти , если .

    Решение:

        По правилу дифференцирования дроби имеем:  .

        .

 Ответ: 

Пример 3. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции у = х² + 2, в точке х_о = – 1.

    Решение:

        Тангенс угла наклона касательной к графику функции есть значение производной данной функции в точке х_о.

        .

    Ответ: – 2.

Пример 4. Найдите значение 3tg²t , если t – наименьший положительный корень уравнения .

    Решение:

        .

        Очевидно, что наименьшее положительное решение полученного уравнения . Тогда .

 Ответ: 1. 

Пример 5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции .

    Решение:

        Область определения функции: x>0.

        На области определения найдём критические точки функции :

        Критические точки: 0; 1.

        На основании достаточного признака возрастания (убывания) функции имеем:

    Ответ: на интервале (0; 1) функция убывает; на интервале  возрастает.

Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=e^x+2-ex на промежутке [-2; 0].

    Решение:

        Функция y=e^x+2-ex на отрезке [-2; 0] непрерывна.

        1) найдём критические точки, принадлежащие отрезку [-2; 0]:

        2) найдём значения функции в критической точке и на концах данного отрезка:

        3) выберем наибольшее и наименьшее из полученных значений:

        наименьшее y|_x=-1=2e наибольшее y|_x=0=e².

    Ответ: 
наименьшее y|_x=-1=2e наибольшее y|_x=0=e².

Пример 7. Записать уравнение касательной к графику функции f(x)=x³, параллельной прямой y=3x+1,5.

    Решение:

        Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х₀ имеет вид: 

        .

        Так как касательная параллельна прямой y=3x+1,5, то f ‘(x₀)=3 .

        f ‘(x)=3x², следовательно, .

    Ответ: .

Пример 8. Найдите какую-либо первообразную функции .

    Решение:

        Представим функцию  в виде . Первообразная данной функции будет . Т.к. нужно найти какую-либо первообразную, то пусть это будет . Чтобы проверить правильность найденной первообразной, нужно от  взять производную: .

    Ответ: .

Пример 9. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

    Решение:

        Первообразная данной функции будет F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+C.

        Так как график первообразной проходит через точку , то координаты этой точки являются корнями уравнения. Получаем: .

    Ответ: F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+11.

Базовый уровень

Производная функции

    1) Найти производную функции f(x)=2e^x+3x² .

    2) Вычислите производную функции f(x)x•sinx.

    3) Найти производную функции у = (3х – 1)(2 – х).

    4) Вычислите производную функции y=9x²-cosx.

    5) Найдите производную функции y=e^x-x⁷ . 

    6) Вычислить производную функции .

    7) Найти f ‘(1), если f(x)=3x²-2x+1.

     Найдите производную функции у = х²(3х⁵ – 2) в точке х₀ = – 1.

    9) Вычислите , если f(x)=(2x-1)cosx.

    10) Найдите f ‘(1), если f(x)=(3-x²)(x²+6).

    11) Вычислите  f ‘(1), если f(x)=(x⁴-3)(x²+2).

    12) Найдите значение производной функции  в точке х₀ = 0,5.

    13) Найдите f ‘(4), если .

    14) Найдите значение производной функции f(x)=3tgx+2ctgx при .

    15) Найдите значение производной функции f(x)=2sinx при .

    16) Найдите значение производной функции f(x)=1-3cosx при .

    17) Определите промежутки возрастания и убывания функции .

    18) Найдите максимум и минимум функции y=5x⁴-10x²+9.

    19) Найти экстремумы функции у = – х³ + 6х² + 15х + 1. 

    20) Найдите точки экстремума функции у = – х³ – 3х² + 24х – 4 на промежутке .

    21) Найдите наибольшее значение выражения 3х⁵ – 5х³ + 6 на отрезке [–2;2].

    22) Написать уравнение касательной к параболе у = х² – 6х + 5 в точке пересечения её с осью ординат.

    23) Найдите максимум функции .

    24) Найдите экстремальные значения функции .

    25) Исследуйте на максимум и минимум функцию у = 3х⁴ – 3х² + 2.

    26) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции  в его точке с абсциссой          х₀ = – 2.

    27) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х – 3х² в точке с абсциссой х₀ = 2.

    28) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=7x-5sinx в точке с абсциссой .

Найдите первообразные функций:

    29) .

    30) f(x)=-7sinx.

    31) .

    32) f(x)=1,2cosx.

    33) f(x)=-7cosx.

    34) f(x)=sinx-cosx.

    35) .

    36) .

    37) .

Вычислите площадь фигур, ограниченных линиями:

    38) .

    39) .

    40) .

    41) .

Повышенный уровень

Производная функции 

    42) Найдите значение , если .

    43) Найдите значение , если f(x)=sin⁴x-cos⁴x.

    44) Найдите значение , если f(x)=cos²3x .

    45) Найдите значение , если f(x)=sin4xcos4x.

    46) Найдите значение , если .

    47) Найдите значение , если .

    48) Найдите значение , если f(x)=(1+sinx)².

    49) При каком значении параметра а функция  имеет минимум в точке x₀=1?

    50) Решите уравнение f ‘(x)=0, если .

    51) Найдите наименьшее целое значение функции у = 4^х – 5∙2^х + 3,25.

    52) При каких значениях а функция  убывает на всей числовой прямой?

    53) На кривой у = 4х² – 6х + 3 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у = 2х + 3. 

    54) Найти значение выражения tg2t, где t – наибольший отрицательный корень уравнения f ‘(x)=0, . 

Первообразная

    55) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .

    56) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .

    57) Найдите значение первообразной функции  при , график которой проходит через данную точку .

Задача о площади криволинейной трапеции

    58) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

    59) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

    60) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

Характеристика производной и ее смысл

Производная характеризует быстроту изменения функции в зависимости от изменения аргумента.