Как можно найти магический квадрат

История

Археологи нашли свидетельства того, что волшебные таблицы были известны еще древним грекам и китайцам. «Магическими» эти фигуры назвали арабы, которые наделяли их сверхъестественными защитными свойствами.

В середине XVI в. европейские математики занялись исследованиями загадочных таблиц, положив начало их новой жизни. Они искали общий метод построения магических квадратов и пытались описать все возможные их варианты.

На уроках математики в школе

Решение магических квадратов на уроках математики и внеклассных занятиях вызывает интерес, способствует развитию мышления. Дети учатся планировать и контролировать свою работу. В клетки магических квадратов можно записывать не только числа, но и выражения. Все зависит от изучаемой темы. Задания с магическими квадратами часто дают как дополнительные или олимпиадные уже в начальной школе.

Один из способов решения магического квадрата

Нетрудно решить магический квадрат третьего порядка (у которого по три столбца и строки). Можно воспользоваться тем фактом, что число (выражение), стоящее на пересечении его диагоналей, всегда равно ⅓ волшебной суммы. Отсюда следует алгоритм построения:

Вписываем в первую строку или столбец 3 любых числа.

Вычисляем магическую сумму (0 + 2 + 4 = 6).
Ищем ее третью часть (6/3 = 2).
Полученное число записываем на пересечении диагоналей.

Подбираем остальные числа и заполняем ими пустые клеточки квадрата.

Смотрите также:

Презентация «Магические квадраты»; 2 класс
Презентация «Магические квадрат»; 2-3 класс
Сценарий мероприятия «Магические квадраты и фокусы»; 5 класс
Серия «Гимнастика для ума». Магические квадраты; 3-4 класс

Как рассчитать магический квадрат Пифагора самому?

Пифагор — математик, заложивший основы нумерологии. Ученый верил, что миром правят числа. Даже человеческая сущность зависит от них, ведь дата рождения не что иное, как число.

Магический квадрат Пифагора — фигура третьего порядка, клетки которой заполнены числами от 1 до 9. Он делится на 3 уровня: материальный, души и разума.

Цифры даты рождения вписываются в определенном порядке. Полученная комбинация рассказывает о заложенных природой способностях человека.

Материал может быть использован на занятии математического кружка, на внеклассном мероприятии. Цель — развить и расширить познавательный кругозор и логическое мышление.

Решаем магический квадрат Пифагора: пример

Дата рождения: 17.09.2005 г. Складываем эти цифры, не учитывая нули: 1 + 7 + 9 + 2 + 5 = 24. Аналогично поступаем с цифрами результата: 2 + 4 = 6.

Из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 24 -2 = 22. Снова складываем: 2 + 2 = 4. Полученные числа: 17; 9; 25; 24; 6; 22; 4.

Цифры вписываем в магический квадрат так, чтобы все единицы оказались в первой клеточке, двойки — во второй и так далее. Нули не учитываем.

Результат:

Значение:

Клетка 1 – волевые качества, эгоизм.
1	Очень эгоистичные люди.
11	Эгоизм — яркая, но не преобладающая черта характера.
111	Спокойные, покладистые люди.
1111	Сильный, волевой человек.
11111	Люди с замашками диктатора.
111111	Жестокость.
Клетка 2 — биоэнергетика.
—	Воспитанность, природное благородство.
2	Люди с повышенной чувствительностью к атмосферным изменениям.
22	Человек с хорошим запасом биоэнергетики.
222	Экстрасенсы.
Клетка 3 — организованность, любовь к точности, конкретности, скрупулезность, скупость.
Чем больше троек, тем сильнее выражены вышеперечисленные качества.
Клетка 4 — здоровье.
4	Среднее, требуется закаливание.
44	Все в норме.
444 и более	Очень крепкое здоровье.
Клетка 5 — интуиция, экстрасенсорные способности
Чем больше пятерок, тем более выражена связь с космосом.
Клетка 6 — материализм.
—	Люди с неординарным воображением, которым необходим физический труд.
6	Могут посвятить время и творчеству, и точным наукам. Физические нагрузки обязательны.
66	Заземленные личности, тянущиеся к физическому труду.
666	Повышенная темпераментность.
6666	Очень много заземленности.
Клетка 7 — талант.
Чем больше семерок, тем талантливее человек.
Клетка 8 — судьба, отношение к обязанностям.
—	Чувства долга нет.
8	Добросовестные личности.
88	Люди, которые всегда спешат помочь другим.
888	Признак служения народу.
8888	Парапсихологические способности.
Клетка 9 — умственные способности
Полное отсутствие девяток означает очень низкий уровень умственной деятельности. Чем больше количество девяток, тем умнее человек.

Задачи на составление магических квадратов часто включаются в сборники нестандартных заданий. Они встречаются на олимпиадах. Увлеченным математикой школьникам будет полезно узнать об этом классе задач.

Об авторе: Филиппова Оксана, учитель математики, физики и информатики.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Источник

Загрузить PDF

Магические квадраты обрели популярность наряду с появлением математических игр, таких как судоку. Магический квадрат — это таблица, заполненная целыми числами таким образом, чтобы сумма чисел по горизонтали, вертикали и диагонали была одинакова (так называемая магическая константа). Эта статья расскажет вам, как построить квадрат нечетного порядка, квадрат порядка одинарной четности и квадрат порядка двойной четности.

1
Вычислите магическую константу.^[1] Это можно сделать при помощи простой математической формулы [n * (n2 + 1)] / 2, где n – количество строк или столбцов в квадрате. Например, в квадрате 3×3 n=3, а его магическая константа:
- Магическая константа = [3 * (32 + 1)] / 2
- Магическая константа = [3 * (9 + 1)] / 2
- Магическая константа = (3 * 10) / 2
- Магическая константа = 30/2
- Магическая константа квадрата 3х3 равна 15.
- Сумма чисел в любой строке, столбце и по диагонали должна быть равна магической константе.
2

Напишите 1 в центральной ячейке верхней строки. Строить любой нечетный квадрат нужно именно с этой ячейки. Например, в квадрате 3х3 напишите 1 во второй ячейке верхней строки, а в квадрате 15х15 напишите 1 в восьмой ячейке верхней строки.
3
Следующие числа (2,3,4 и так далее по возрастанию) записывайте в ячейки по правилу: одна строка — вверх, один столбец — вправо. Но, например, чтобы записать 2, нужно «выйти» за пределы квадрата, поэтому существуют три исключения из данного правила:
- Если вы вылезли за верхний предел квадрата, напишите цифру в самой нижней ячейке соответствующего столбца.
- Если вы вылезли за правый предел квадрата, напишите цифру в самой дальней (левой) ячейке соответствующей строки.
- Если вы попали на ячейку, которая занята другой цифрой, напишите цифру непосредственно под предыдущей записанной цифрой.
Реклама

1
Существуют различные методики для построения квадратов порядка одинарной четности и двойной четности.
- Число строк или столбцов в квадрате порядка одинарной четности делится на 2, но не на 4.^[2]
- Наименьшим квадратом порядка одинарной четности является квадрат 6х6 (квадрат 2×2 построить нельзя).
2
Вычислите магическую константу. Это можно сделать при помощи простой математической формулы [n * (n2 + 1)] / 2, где n – количество строк или столбцов в квадрате. Например, в квадрате 6×6 n=6, а его магическая константа:
- Магическая константа = [6 * (62 + 1)] / 2
- Магическая константа = [6 * (36 + 1)] / 2
- Магическая константа = (6 * 37) / 2
- Магическая константа = 222/2
- Магическая константа квадрата 6х6 равна 111.
- Сумма чисел в любой строке, столбце и по диагонали должна быть равна магической константе.
3
Разделите магический квадрат на четыре квадранта одинакового размера. Обозначьте квадранты через А (сверху слева), C (сверху справа), D (снизу слева) и B (снизу справа). Чтобы выяснить размер каждого квадранта, разделите n на 2.
- Таким образом, в квадрате 6х6 размер каждого квадранта равен 3×3.
4
В квадранте А напишите четвертую часть всех чисел; в квадранте В напишите следующую четвертую часть всех чисел; в квадранте С напишите следующую четвертую часть всех чисел; в квадранте D напишите заключительную четвертую часть всех чисел.
- В нашем примере квадрата 6х6 в квадранте А напишите числа 1-9; в квадранте В — числа 10-18; в квадранте С — числа 19-27; в квадранте D — числа 28-36.
5
Числа в каждом квадранте записывайте так, как вы строили нечетный квадрат. В нашем примере квадрант А начните заполнять числами с 1, а квадранты С, B, D — с 10, 19, 28, соответственно.
- Число, с которого вы начинаете заполнение каждого квадранта, всегда пишите в центральной ячейке верхней строки определенного квадранта.
- Заполняйте каждый квадрант числами так, как будто это отдельный магический квадрат. Если при заполнении квадранта доступна пустая ячейка из другого квадранта, игнорируйте этот факт и пользуйтесь исключениями из правила заполнения нечетных квадратов.
6
Выделите определенные числа в квадрантах А и D.^[3] На данном этапе сумма чисел в столбцах, строках и по диагонали не будет равна магической константе. Поэтому вы должны поменять местами числа в определенных ячейках верхнего левого и нижнего левого квадрантов.
- Начиная с первой ячейки верхней строки квадранта А, выделите количество ячеек, равное медиане количества ячеек во всей строке. Таким образом, в квадрате 6×6 выделите только первую ячейку верхней строки квадранта А (в этой ячейке написано число 8); в квадрате 10х10 вам нужно выделить первые две ячейки верхней строки квадранта А (в этих ячейках написаны числа 17 и 24).
- Образуйте промежуточный квадрат из выделенных ячеек. Так как в квадрате 6х6 вы выделили только одну ячейку, то промежуточный квадрат будет состоять из одной ячейки. Назовем этот промежуточный квадрат как A-1.
- В квадрате 10х10 вы выделили две ячейки верхней строки, поэтому необходимо выделить две первые ячейки второй строки, чтобы образовать промежуточный квадрат 2х2, состоящий из четырех ячеек.
- В следующей строке пропустите число в первой ячейке, а затем выделите столько чисел, сколько вы выделили в промежуточном квадрате A-1. Полученный промежуточный квадрат назовем A-2.
- Получение промежуточного квадрата А-3 аналогично получению промежуточного квадрата A-1.
- Промежуточные квадраты А-1, А-2, А-3 образуют выделенную область А.
- Повторите описанный процесс в квадранте D: создайте промежуточные квадраты, которые образуют выделенную область D.
7

Поменяйте местами числа из выделенных областей А и D (числа из первой строки квадранта А с числами из первой строки квадранта D и так далее). Теперь сумма чисел в любой строке, столбце и по диагонали должна быть равна магической константе.

Реклама

1
Число строк или столбцов в квадрате порядка двойной четности делится на 4.^[4]
- Наименьшим квадратом порядка двойной четности является квадрат 4х4.
2
Вычислите магическую константу. Это можно сделать при помощи простой математической формулы [n * (n2 + 1)] / 2, где n – количество строк или столбцов в квадрате. Например, в квадрате 4×4 n=4, а его магическая константа:
- Магическая константа = [4 * (42 + 1)] / 2
- Магическая константа = [4 * (16 + 1)] / 2
- Магическая константа = (4 * 17) / 2
- Магическая константа = 68/2
- Магическая константа квадрата 4х4 равна 34.
- Сумма чисел в любой строке, столбце и по диагонали должна быть равна магической константе.
3
Создайте промежуточные квадраты А-D. В каждом углу магического квадрата выделите промежуточный квадрат размером n/4, где n – количество строк или столбцов в магическом квадрате.^[5] Обозначьте промежуточные квадраты как A, B, C, D (в направлении против часовой стрелки).
- В квадрате 4×4 промежуточные квадраты будут состоять из угловых ячеек (по одной в каждом промежуточном квадрате).
- В квадрате 8х8 промежуточные квадраты будут иметь размер 2×2.
- В квадрате 12х12 промежуточные квадраты будут иметь размер 3×3 (и так далее).
4
Создайте центральный промежуточный квадрат. В центре магического квадрата выделите промежуточный квадрат размером n/2, где n – количество строк или столбцов в магическом квадрате. Центральный промежуточный квадрат не должен пересекаться с угловыми промежуточными квадратами, но должен касаться их углов.
- В квадрате 4×4 центральный промежуточный квадрат имеет размер 2×2.
- В квадрате 8×8 центральный промежуточный квадрат имеет размер 4×4 (и так далее).
5
Начните строить магический квадрат (слева направо), но числа записывайте только в ячейки, расположенные в выделенных промежуточных квадратах. Например, квадрат 4×4 вы заполните так:
- Напишите 1 в первой строке первом столбце; напишите 4 в первой строке четвертом столбце.
- Напишите 6 и 7 в центре второй строки.
- Напишите 10 и 11 в центре третьей строки.
- Напишите 13 в четвертой строке первого столбца; напишите 16 в четвертой строке четвертого столбца.
6
Оставшиеся ячейки квадрата заполняются аналогичным образом (слева направо), но числа нужно записывать в порядке убывания и только в ячейки, расположенные вне выделенных промежуточных квадратов. Например, квадрат 4×4 вы заполните так:
- Напишите 15 и 14 в центре первой строки.
- Напишите 12 во второй строке первого столбца; напишите 9 во второй строке четвертого столбца.
- Напишите 8 в третьей строке первого столбца; напишите 5 в третьей строке четвертого столбца.
- Напишите 3 и 2 в центре четвертой строки.
- Теперь сумма чисел в любой строке, столбце и по диагонали должна быть равна магической константе.
Реклама

Советы

Воспользуйтесь описанными методами и найдите свой способ решения магических квадратов.

Что вам понадобится

Карандаш
Бумага
Ластик

Об этой статье

Эту страницу просматривали 352 246 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Download Article

What makes magic squares special and how to fill them in

Download Article

What is a magic square?

Solving a 3 x 3

Solving a 4 x 4

Singly Even Magic Square

Video

If you’re a fan of math and logic puzzles like Sudoku or Kenken, then trying to solve a magic square is the perfect little challenge to try out. A magic square is a grid of numbers where each row, column, and diagonal add up to the same sum. How you solve your magic square depends on the size of the puzzle, but they each have easy instructions for filling them in. Keep reading and we’ll walk through our solving strategies step by step to finish any odd- or even-numbered magic square.

Things You Should Know

A magic square is a square grid of numbers where each row, column, and diagonal add up to the same total.
Find the “magic constant” sum of each row, column, and diagonal with ${displaystyle S=n[(n^{2}+1)/2]}$ where n is the number of squares in each row.
Use a solving technique based on the size of the magic square and how many boxes are in each row or column.

Magic squares have rows, columns, and diagonals that total the same sum. Each number in a magic square fits into a cell on a grid. The number of rows or columns determines the order, so an “order 3” magic square is one with a 3 x 3 grid. When you add up the numbers in a column, the value is called the “magic constant,” and all the other columns, rows, and diagonals will add up to that number.^[1]
- A normal magic square has consecutive numbers from 1 to ${displaystyle n^{2}}$ (where n equals the order). A normal order 3 magic square with a magic constant of 15 would be:
  8 – 1 – 6
  3 – 5 – 7
  4 – 9 – 2
- On a non-normal magic square, the lowest number may be higher than 1. A non-normal order 4 magic square with a magic constant of 87 could be:
  21 – 24 – 28 – 14
  27 – 15 – 20 – 25
  16 – 30 – 22 – 19
  23 – 18 – 17 – 29

1

Calculate the magic constant. To find the magic constant (S) for a normal magic square use the formula ${displaystyle S=n[(n^{2}+1)/2]}$ where equals the order, or number of rows, in the magic square. So for a 3×3 magic square, the formula would be:^[2]
2
Place the number 1 in the center box on the top row. The placement is the same for any normal magic square with an odd number of columns or rows. Find the center square in the top row and write down the number 1 to get started.^[3]
- Example: If you have a 3 x 3 magic square, put 1 in the second box in the top row.
- Example: For a 15 x 15 magic square, put the 1 in the eighth box of the row.
3
Follow an up-one, right-one pattern to fill in the remaining numbers. Start at the middle box in the top row where you placed the 1. Move up one row and to the right one column and write in the next number sequentially. Whenever a move takes you above the top row (like the first move will), go to the bottom row instead. If you need to move a square to the right but are already in the rightmost column, move to the leftmost column instead. Continue filling in the square following the pattern until it’s complete.^[4]
- Example: In a normal 3 x 3 square, the 2 goes in the bottom right corner and the 3 goes in the left column in the center row.
- If the movement takes you to a box that is already occupied, go back to the last box that has been filled in, and place the next number directly below it. For example, when you place the 4 in a 3 x 3 magic square, it fits in the bottom left corner below the 3. Then, following the same up-one, right-one pattern, place the 5 in the center of the puzzle to continue.

1

Recognize a doubly even square if the sides are divisible by 4. Count the number of squares in a single row or column of your magic square. If the magic square is an order 4 square or the number is evenly divisible by 4 (8, 12, 16, etc.), then you’re working with a doubly even square.^[5]
2

Calculate the magic constant. Use the formula ${displaystyle S=[n(n^{2}+1)]/2}$ , where equals the order, or the number of boxes per row in your magic square. So, for a 4 x 4 square, the magic constant calculation becomes:^[6]
3
Create Highlights A–D in the corners of the magic square. Form a mini square in each corner that has a length of on each side, where is the magic square’s order. Start in the top left corner and label the mini squares A, B, C, and D going clockwise around the magic square.^[7]
- In a 4 x 4 square, only mark the 4 corner boxes as your highlights.
- For an 8 x 8 magic square, the Highlights become 2 x 2 mini squares in the corners.
- In a 12 x 12 square, each Highlight is a 3 x 3 area.
4
Create the Central Highlight. Mark all the boxes in the center of the magic square in a square area of length , where is the magic square’s order. The Central highlight will touch a 1 corner each from Highlights A–D, but it shouldn’t overlap them at all.^[8]
- In a 4 x 4 square, the Central Highlight would be a 2 x 2 area in the center.
- In an 8 x 8 square, the Central Highlight would be a 4 x 4 area in the center.
5
Fill in the highlighted areas of your magic square. Start in the top left corner of your magic square. Place 1 in the top left corner and count the boxes across the top row. If a box is highlighted, fill it in with the number. Work down the entire magic square until all the highlighted areas are filled in. In an order 4 magic square, the boxes and their numbers are:^[9]
- 1 in the top-left box and 4 in the top-right box
- 6 and 7 in the second and third boxes in Row 2
- 10 and 11 in the second and third boxes of Row 3
- 13 in the bottom-left box and 16 in the bottom-right box
6
Fill in the rest of the magic square by counting backward. Begin again with the top left box, but skip over all the boxes that you already filled in. Count down from the highest number in the magic square as you work across the row, and add the number to any empty box. Once you finish, your magic square is complete. In a 4×4 magic square, the boxes you fill in are:^[10]
- 15 and 14 in the second and third boxes in Row 1
- 12 in the leftmost box and 9 in the rightmost box in Row 2
- 8 in the leftmost box and 5 in the rightmost box in Row 3
- 3 and 2 in the second and third boxes in Row 4

1
Check if the square’s sides are divisible by 2, but not 4. Singly even magic squares have an even number of boxes in their rows and columns. If you divide the magic square’s order by 2 and get an odd number as the result, you’re working with a singly even square.^[11]
- The smallest possible singly even magic square is 6 x 6 since 2 x 2 magic squares are impossible to make.
2

Calculate the magic constant. Use the formula ${displaystyle S=[n(n^{2}+1)]/2}$ , where n equals the magic square’s order, or the number of boxes per side. For a 6 x 6 square, your formula would look like:^[12]
3
Divide the magic square into four quadrants of equal size. Divide the magic square’s order by 2 to find out how many boxes each side of the quadrant should be. Draw lines to separate the quadrants and label them A (top left), C (top right), D (bottom left), and B (bottom right).^[13]
- For a 6 x 6 square, each quadrant is 3 x 3 boxes.
4
Assign each quadrant a number range. Count the number of boxes in a single quadrant to know how many numbers are in each section. Assign Quadrant A the first quarter of numbers, Quadrant B the second quarter, Quadrant C the third quarter, and Quadrant D the final quarter. That way, you know which numbers are going into specific quadrants without accidentally reusing them.^[14]
- In a 6 x 6 square, Quadrant A contains the numbers 1-9, Quadrant B has 10-18, Quadrant C has 19-27, and Quadrant D ends with 28-36.
5

Solve each quadrant using a one-up, one-right pattern. In each quadrant, put the lowest value in the center box in the top row. Move up one row and to the right one column to place your next number. If you go above the top row of the quadrant, then move to the bottom row instead. When you go past the rightmost column, add the number to the leftmost column. If there’s already a number in the next square, put the next number directly below the last one.^[15]
6
Create Highlights A and D. In Quadrant A, mark all the squares in the top row to the left of the quadrant’s center square. In the second row, skip the first column and highlight the center square and remaining boxes to the left of it. Then, mark the squares in the bottom row that share a column with the boxes in the top row to finish the A highlights. Then, repeat the same process in Quadrant D for the D highlights.^[16]
- In a 6 x 6 square, Highlight A-1 is the top right box, Highlight A-2 is the center box in the middle row, and Highlight A-3 is the bottom right corner of Quadrant A. The D highlights are in the same position in Quadrant D.
- If you tried to add up your columns, rows, and diagonals right now, the square isn’t considered magic since they don’t add up to the same magic constant yet.
7
Swap the positions of Highlights A and D. Simply take the number from one square and swap it with the corresponding box between Quadrant A and Quadrant D. Once you’ve done this, all the rows, columns, and diagonals in a 6 x 6 magic square will add up to the magic constant you calculated.^[17]
- Example: In a 6 x 6 magic square, 8 swaps positions with 35, 5 swaps with 32, and 4 swaps with 31.
8
Swap the right columns in B and C for magic squares larger than 6 x 6. Count the highlighted columns in the top row of Quadrant A and subtract 1. Count that number of columns in from the right side of Quadrants B and C and highlight all the squares. Move the values in Quadrant C into the corresponding squares in Quadrant B, and vice-versa to complete your magic square.^[18]
- For a 10 x 10 magic square, only swap the rightmost column in quadrants B and C.
- For a 14 x 14 magic square, swap the 2 rightmost columns instead.

Add New Question

Question

How do you solve a 7×7 magic square?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

Place the first number of the magic square in the center box of the top row. Then, use an up-one, right-one pattern to add the numbers.
Question

How do I solve a magic square with no known sum?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

Magic squares with numbers that start at 1 and are in consecutive order always have the same sum. A 3 x 3 magic square always has the sum of 15 and a 4 x 4 has a sum of 34.
Question

How do you make a 4 x 4 magic square using only 0-9 digits?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

Typically, you can’t repeat digits in a magic square so making a 4 x 4 with the digits 0-9 isn’t possible unless you repeat them.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To solve an odd-numbered magic square, start by using the formula n[(n^2+1)/2] to calculate the magic constant, or the number that all rows, columns, and diagonals must add up to. For example, in a 3 by 3 square where n=3, the magic constant is 15. Next, start your square by placing the number 1 in the center box of the top row. Then, arrange the rest of the numbers sequentially by moving up 1 row, then 1 column to the right. To learn more, including how to solve singly even magic squares and doubly even magic squares, read on.

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,007,019 times.

Did this article help you?

Источник

Математических загадок существует невообразимое количество. Каждые из них уникальны по-своему, но их прелесть заключается в том, что для решения неизбежно нужно приходить к формулам. Конечно же, можно попытаться решить их, как говорится, методом тыка, но это будет очень долго и практически безуспешно.

В данной статье будет говориться об одной из таких загадок, а чтобы быть точнее — о магическом квадрате. Мы детально разберем, как решить магический квадрат. 3 класс общеобразовательной программы, конечно, это проходит, но возможно не каждый понял или вовсе не помнит.

Что это за загадка?

Магический квадрат, или, как его еще называют, волшебный, — это таблица, в которой число столбцов и строк одинаково, и все они заполнены разными цифрами. Главная задача, чтобы эти цифры в сумме по вертикали, горизонтали и диагонали давали одинаковое значение.

Помимо магического квадрата, есть еще и полумагический. Он подразумевает то, что сумма чисел одинакова лишь по вертикали и горизонтали. Магический квадрат «нормальный» только в том случае, если для заполнения использовались натуральные числа от единицы.

Еще есть такое понятие, как симметричный магический квадрат — это когда значение суммы двух цифр равно, в то время, когда они располагаются симметрично по отношению к центру.

Важно также знать, что квадраты могут быть любой величины помимо 2 на 2. Квадрат 1 на 1 также считается магическим, так как все условия выполняются, хотя и состоит он из одного-единственного числа.

Итак, с определением мы ознакомились, теперь поговорим про то, как решить магический квадрат. 3 класс школьной программы вряд ли все так детально разъяснит, как эта статья.

Какие есть решения

Те люди, которые знают, как решить магический квадрат (3 класс точно знает), сразу же скажут, что решения только три, и каждое из них подходит для разных квадратов, но все же нельзя обойти стороной и четвертое решение, а именно «наугад». Ведь в какой-то мере есть вероятность того, что незнающий человек все же сможет решить данную задачку. Но данный способ мы отбросим в длинный ящик и перейдем непосредственно к формулам и методикам.

Первый способ. Когда квадрат нечетный

Данный способ подходит только для решения такого квадрата, у которого количество ячеек нечетное, например, 3 на 3 или 5 на 5.

Итак, в любом случае изначально необходимо найти магическую константу. Это число, которое получится при сумме цифр по диагонали, вертикали и горизонтали. Вычисляется она с помощью формулы:

В данном примере мы рассмотрим квадрат три на три, поэтому формула будет выглядеть так (n — число столбцов):

Итак, перед нами квадрат. Первое, что надо сделать — это вписать цифру один в центре первой строки сверху. Все последующие цифры необходимо располагать на одну клетку правей по диагонали.

Но тут сразу встает вопрос, как решить магический квадрат? 3 класс вряд ли использовал данный метод, да и у большинства появится проблема, как это сделать таким способом, если данной клетки нет? Чтобы сделать все правильно, необходимо включить воображение и дорисовать аналогичный магический квадрат сверху и получится так, что число 2 будет находиться в нем в нижней правой клетке. Значит, и в наш квадрат мы вписываем двойку в то же место. Это означает, что нам необходимо вписать цифры так, чтобы в сумме они давали значение 15.

Последующие цифры вписываются точно так же. То есть 3 будет находиться в центре первого столбца. А вот 4 по такому принципу вписать не удастся, так как на ее месте уже стоит единица. В таком случае цифру 4 располагаем под 3, и продолжаем. Пятерка — в центре квадрата, 6 — в правом верхнем углу, 7 — под 6, 8 — в верхний левый и 9 — по центру нижней строки.

Вы теперь знаете, как решить магический квадрат. 3 класс Демидова проходил, но у этого автора были чуть попроще задания, однако, зная данный способ, удастся разгадать любую подобную задачу. Но это, если число столбцов нечетное. А что же делать, если у нас, например, квадрат 4 на 4? Об этом дальше по тексту.

Второй способ. Для квадрата двойной четности

Квадратом двойной четности называют тот, у которого количество столбцов можно разделить и на 2, и на 4. Сейчас мы рассмотри квадрат 4 на 4.

Итак, как решить магический квадрат (3 класс, Демидова, Козлова, Тонких — задание в учебнике математики), когда количество его столбцов равно 4? А очень просто. Проще, чем в примере до этого.

В первую очередь находим магическую константу по той же формуле, что приводилась в прошлый раз. В данном примере число равно 34. Теперь надо выстроить цифры так, чтобы сумма по вертикали, горизонтали и диагонали была одинаковой.

В первую очередь надо закрасить некоторые ячейки, сделать это вы можете карандашом или же в воображении. Закрашиваем все углы, то есть верхнюю левую клеточку и верхнюю правую, нижнюю левую и нижнюю правую. Если квадрат был бы 8 на 8, то закрашивать надо не одну клеточку в углу, а четыре, размером 2 на 2.

Теперь необходимо закрасить центр этого квадрата, так, чтобы его углы касались углов уже закрашенных клеточек. В данном примере у нас получится квадрат по центру 2 на 2.

Приступаем к заполнению. Заполнять будем слева направо, в том порядке, в котором расположены ячейки, только вписывать значение будем в закрашенные клетки. Получается, что в верхний левый угол вписываем 1, в правый — 4. Потом центральный заполняем 6, 7 и дальше 10, 11. Нижний левый 13 и правый — 16. Думаем, порядок заполнения понятен.

Остальные ячейки заполняем точно так же, только в порядке убывания. То есть так как последняя вписанная цифра была 16, то вверху квадрата пишем 15. Далее 14. Потом 12, 9 и так далее, как показано на картинке.

Теперь вы знаете второй способ, как решить магический квадрат. 3 класс согласится, что квадрат двойной четности намного легче решается, чем другие. Ну а мы переходим к последнему способу.

Третий способ. Для квадрата одинарной четности

Квадратом одинарной четности называется, тот квадрат, число столбцов которого можно разделить на два, но нельзя на четыре. В данном случае это квадрат 6 на 6.

Итак, вычисляем магическую константу. Она равна 111.

Теперь нужно наш квадрат визуально поделить на четыре разных квадрата 3 на 3. Получится четыре маленьких квадрата размером 3 на 3 в одном большом 6 на 6. Верхний левый назовем А, нижний правый — В, верхний правый — С и нижний левый — D.

Теперь необходимо каждый маленький квадрат решить, используя самый первый способ, что приведен в этой статье. Получится так, что в квадрате А будут числа от 1 до 9, в В — от 10 до 18, в С — от 19 до 27 и D — от 28 до 36.

Как только вы решили все четыре квадрата, работа начнется над А и D. Необходимо в квадрате А визуально или при помощи карандаша выделить три ячейки, а именно: верхнюю левую, центральную и нижнюю левую. Получится так, что выделенные цифры — это 8, 5 и 4. Точно так же надо выделить и квадрат D (35, 33, 31). Все, что остается сделать, это поменять местами выделенные цифры из квадрата D в А.

Теперь вы знаете последний способ, как можно решить магический квадрат. 3 класс квадрат одинарной четности не любит больше всего. И это неудивительно, из всех представленных он самый сложный.

Вывод

Прочтя данную статью, вы узнали, как решить магический квадрат. 3 класс (Моро — автор учебника) предлагает подобные задачи только с несколькими заполненными ячейками. Рассматривать его примеры нет смысла, так как зная все три способа, вы с легкостью решите и все предлагаемые задачи.

Источник

История и современное применение

Первые подобные таблицы использовались ещё в Древней Греции и Китае. Это подтверждено археологическими находками. Арабы называли квадраты магическими, так как верили, что они обладают волшебными свойствами и могут защитить от многих напастей.

В середине XVI в. вопросом о том, как работает магический квадрат, заинтересовались математики в Европе. Они начали активно исследовать загадочные сочетания цифр. Учёные стремились вывести общие принципы построения квадратов и найти всё множество возможных вариантов.

В современной общеобразовательной школе разные виды магических квадратов используются на уроках математики. Они способствуют развитию логического мышления и вызывают у детей живой интерес.

С их помощью школьники учатся планировать свою работу и контролировать её. В клетки можно вписывать не только отдельные цифры, но и математические выражения. Задачи на эту тему часто предлагаются на математических олимпиадах. Решать такие числовые задачи можно и онлайн.

Квадрат нечётного порядка

Среди несложных магических квадратов по математике выделяют разновидности чётного и нечётного порядка. Первая группа подразделяется на таблицы одинарной и двойной чётности.

Начальным шагом во всех случаях будет определение магической константы. Делается это с помощью специальной формулы [n * (n2 + 1)] / 2. Разобраться с принципом решения задачи этого класса можно на самом простом примере. Для этого выстраивается таблица из 9 ячеек. В неё нужно расставить цифры от 1 до 9. Дальнейший алгоритм:

Подсчитывается сумма, которая должна получиться в каждой строке. Для этого используется формула: 3 * (32 +1) / 2 = 3 * 10 / 2. Ответом будет число 15.
Числа в ячейках расставляются так, чтобы сумма их была равна 15 в каждой строчке. Это требует смекалки и воображения.
В средней клетке верхней строки вписывается 1.
Каждое следующее число ставится справа по диагонали вверх. Поставить цифру 2 нельзя, так как выше нет строк. Если мысленно добавить сверху ещё один квадрат, цифра 2 окажется в его нижнем правом углу. Значит, цифра 2 вписывается в нижнюю правую клетку.
По тому же принципу вписывается цифра 3. Она попадает в среднюю ячейку слева.
Если нужная клетка уже занята, очередной символ вписывается ниже предыдущего. Таким образом, 4 ставится под 3.
Записывается цифра 5 по диагонали вправо и вверх, а 6 в верхний угол справа.
Поскольку место цифры 7 уже занято, она вписывается ниже 6.
Восьмёрка занимает место в левом нижнем углу.
Оставшуюся клетку занимает девятка.

Общий алгоритм выполнения задания: каждый следующий знак пишется вверх и правее. Если там нет клетки — дорисовывается ещё один воображаемый квадрат. Если ячейка занята — число записывается ниже предыдущего. Таким способом можно составить любой квадрат нечётного порядка, включая самые сложные, с больши́м числом ячеек.

Одинарная чётность

Магические квадраты могут иметь порядок одинарной или двойной чётности. Для каждого случая предусмотрена отдельная методика вычисления. У таблиц одинарной чётности количество клеток в одной строке или столбце делится пополам, но не делится на четыре. Наименьшим квадратом, отвечающим этому требованию, будет прямоугольник 6х6. Фигуру 2х2 построить и заполнить невозможно.

Вычисление магической константы

Первый этап расчётов проводится по формуле [n * (n2 + 1)] / 2, где символом n обозначено число клеток в одном ряду. Если взять за пример квадрат 6х6, расчёт будет выглядеть следующим образом: [6 х (36 + 1)]: 2 = (6 х 37): 2 = 222:2.

Волшебная постоянная прямоугольника со стороной 6 клеток равна 111. Общая сумма чисел от 1 до 36 в каждой строке и в разных направлениях должна быть равна 111.

Рисунок делится на 4 одинаковые части. В каждой будет по 9 клеток (3х3). Каждую часть обозначают латинскими буквами: А — верхняя левая, С — верхняя правая, D — нижняя левая и В — нижняя правая часть. Если квадрат имеет другой размер, n делится на 2, чтобы узнать точную величину каждой из 4 частей.

Дальнейшие действия

Следующий шаг — вписывание в каждую часть ¼ всех чисел. В квадрант А вносятся числа от 1 до 9, в квадрант В — от 10 до 18, в части С — от 19 до 27, в D — от 28 до 36.

Последовательность вписывания такая же, как при заполнении простейшего нечётного квадрата:

Минимальное число, которым начинается заполнение ячеек, всегда ставится в верхнем ряду посередине. У каждой части эта ячейка находится отдельно.
Каждая часть заполняется как новый математический объект. Даже если есть пустое место в другом квадрате, его в этих случаях игнорируют.

В блоках А и D на этой стадии решения сумма в строках и столбиках будет отличаться от постоянной. Чтобы это исправить, некоторые числа меняют местами между собой.

Алгоритм действий:

Начинать нужно с крайней левой клетки в верхней строке. Если фигура имеет размеры 6х6, выделяется только первая верхняя строка части А. В ней должно быть вписано число 8. Если величина таблицы составляет 10х10, выделяют 2 первые клетки в верхнем ряду. В них стоят 17 и 24.
Из выделенных клеток формируется промежуточный квадрат. В таблице с количеством строк и столбцов 6х6 он будет состоять из 1 клетки. Его условно обозначают А1.
Если размер 10х10, в верхней строке выделяется 2 первые ячейки. Вместе с ними выделяется ещё 2 клетки, во второй строке получается поле из 4 прилежащих друг к другу ячеек.
В следующей строке первая ячейка пропускается, затем выделяется столько клеток, сколько было в промежуточной таблице А1. Полученную фигуру можно обозначить А2.
Таким же способом строят промежуточный квадрат А3.
Эти 3 промежуточных фигуры формируют выделенную область А.
Далее переходят в квадрант D и формируют обособленную область D.

Цифры, которые были вписаны в выделенных треугольниках А и D, нужно поменять между собой местами. После этого сумма в каждой строке должна быть одинаковой. Она равняется вычисленной магической константе.

Двойной порядок

Если головоломка имеет порядок двойной чётности, количество окон в каждой горизонтальной строчке или вертикальном столбце должно делиться на 4. Минимальной фигурой с такими свойствами будет таблица 4х4.

Решать магические квадраты двойной чётности следует по тому же алгоритму, что и остальные. Первый шаг при заполнении — вычисление магической константы. Формула применяется та же, что для расчёта других квадратов. Для фигуры со стороной 4 клетки значение константы будет равно 34.

В каждом углу основного поля выделяются промежуточные таблицы. Их размер должен быть равен n/4. Эти области обозначают буквами A, B, C, D, располагая их против хода часовой стрелки. Величина промежуточных фигур зависит от размера исходного квадрата:

Если длина стороны составляет 4 ячейки, промежуточные зоны будут иметь по 1 клетке.
В таблице 8х8 эти области включают 4 элемента (2х2).
В квадрате 12х12 выделяются промежуточные фигуры размером 3х3.

Следующий этап — создание центрального промежуточного квадрата. Величина его стороны должна составлять n/2. Эта фигура не должна накладываться на периферические, но при этом соприкасаться с ними углами.

Далее в квадрат вносят цифры слева направо. Их допускается ставить только в свободные ячейки, которые входят в состав промежуточных областей. Например, при заполнении таблицы 4х4 порядок действий будет таким:

В первой сверху строке и первом слева столбце пишется 1. В верхней клетке четвертого столбика — 4.
В центр второй горизонтальной строчки ставятся цифры 6 и 7.
В четвёртой строке слева пишется 13, а справа — 16.

По этому же принципу цифрами заполняются оставшиеся клетки. Числа проставляются слева в порядке уменьшения. Если всё сделано верно, сумма всех чисел в любой строчке будет одинаковой.

Источник

История

На уроках математики в школе

Один из способов решения магического квадрата

Как рассчитать магический квадрат Пифагора самому?

Решаем магический квадрат Пифагора: пример

Советы

Что вам понадобится

Похожие статьи

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Things You Should Know

Video

References

About This Article

Did this article help you?

Что это за загадка?

Какие есть решения

Первый способ. Когда квадрат нечетный

Второй способ. Для квадрата двойной четности

Третий способ. Для квадрата одинарной четности

Вывод

История и современное применение

Квадрат нечётного порядка

Одинарная чётность

Вычисление магической константы

Дальнейшие действия

Двойной порядок

Не пропустите также: