Инвалюта угла как найти

Поступила вот просьба сделать калькулятор для расчета цилиндрических шестерён — Техника,машиностроение.
Погружаясь в тему шестерён и их расчетов, встретил понятие инволюта, а потом — эвольвента. Показалось занятным и заслуживающим отдельных калькуляторов. Калькуляторы смотри ниже — первый рассчитывает инволюту, два следующих по заданной инволюте находят угол. Интересующимся — текст про инволюту после калькуляторов.

Так вот, в дифференциальной геометрии кривых эвольвента — это кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой (см. Эвольвента в Википедии).

Поскольку сразу осознать сказанное выше сложно, перескажу своими словами более образное определение, данное в английской версии статьи (см. Involute on Wikipedia).

Итак, представим себе катушку ниток, где свободный край нити лежит на катушке. Если взять этот край и начать разматывать нить, все время держа ее натянутой, край нити опишет некую кривую, которая и будет эвольвентой, причем эвольвентой окружности (катушка суть исходная кривая, представляющая собой окружность).

Рисунок ниже изображает эвольвенту окружности (Источник — Википедия). Красная линия — исходная кривая (окружность), черная — натянутая нить, зеленая — траектория конца нити, кривая, называемая эвольвентой окружности.

Что касается инволюты — в англоязычных источниках, как я понял, термин инволюта (involute) применяется взаимозаменяемо с термином эвольвента (evolvent). То есть может обозначать как саму кривую, так и ее функцию. В русскоязычных источниках, которые я видел, эвольвента — это кривая, а инволюта — ее функция.

Думаю, что такое эвольвента, стало более менее ясно после картинки сверху. Теперь разберемся, что это за функция такая.
В этом нам поможет рисунок, который я нарисовал

На рисунке отрезок равен дуге (потому что эта наша «нить»). Угол «фи», соответствующий дуге называется углом развернутости эвольвенты, и состоит суммы угла «тета» (эвольвентного угла) и угла «альфа» (угла давления). Длина дуги

Поскольку — прямоугольный треугольник, то

Приравнивая эти две дуги друг к другу, получим , откуда

Вот эта-то функция — и называется инволютой, или эвольвентной функцией.

Уравнения эвольвентной кривой в полярных координатах выглядят так

По построению видно, что угол «альфа» может меняться от 0 до 90, не включая 90, так как в таком случае прямая KK будет параллельна MxN.

Зачем это все? Эвольвента окружности используется в эвольвентном зацеплении — зубчатом зацеплении, в котором профили зубьев очерчены по эвольвенте окружности. При эвольвентном зацеплении общая нормаль к соприкасающимся профилям зубьев всегда совпадает с общей касательной к основным окружностям. Эта касательная называется линией зацепления, так как по ней перемещается точка касания зубьев при движении колёс (картинка). Это наиболее распространенный вид зубчатого зацепления.

А инволюта используется в расчетах, связанных с эвольвентным зацеплением. Причем возникает задача как расчета самой инволюты (что просто), так и обратная задача — нахождение угла давления по его инволюте. Вот обратная задача является не такой простой, ибо уравнение является трансцендентным уравнением, и решить его можно только численными методами.

В завершение рассмотрим численные методы, использованные в калькуляторах выше — метод Ласкина и метод Ченга (подробнее — здесь)

Метод Ласкина (Laskin)
Основан на методе Ньютона, заключающемся в итерационной процедуре вычисления

Ноу-хау, как я понимаю, здесь в выборе начального значения, которое по методу Ласкина вычисляется как
, где I — заданное значение инволюты.

Для вычисления следующих приближений после раскрытия производной получается выражение

В калькуляторе используется пять итераций, но уже четыре должны давать точность до шести знаков после запятой. Метод работает для значений инволюты в диапазоне от 0 до 1, то есть можно находить углы от 0 до 64.87 градусов. На практике этого хватает. Для нахождения инволюты выпускаются таблицы, подобные таблицам тригонометрических функций, так вот там приводимый диапазон углов от 0 до 60.

Метод Ченга (Cheng)
Основан на нахождении приближенного значения с помощью асимптотических кривых. Ченг вывел следующую формулу:

Метод работает для значения инволюты строго меньших 1.8, то есть может находить углы примерно до 71.87 градуса. А дальше оно и не надо — при приближении к 90 тангенс стремится к бесконечности, со всеми вытекающими отсюда последствиями, и, в общем, ну не бывает зубчатых передач с такими большими углами.

Одним
из основных достоинств зубчатого
зацепления механизмов является его
компактность при передаче большой
мощности. Для уменьшения геометрических
размеров зубчатых колес и механизма в
целом используют зубчатые колеса с
минимальным числом зубьев. Однако при
изготовлении зубчатых колес с числом
зубьев меньше 17 происходит подрез
эвольвентной части зуба в районе ножки.
Во избежание подрезания профиля зуба
режущий инструмент при изготовлении
зубчатых колес отодвигается от центра
заготовки (положительное смещение).
Изготовленные таким образом зубчатые
колеса со смещением имеют большую
прочность и устойчивость к износу, но
меньший коэффициент перекрытия ε_α,
показывающий сколько пар зубьев
одновременно находится в зацеплении.

Величина смещения
инструмента «а»
определяется из соотношения:

a
= xm,

где х—
коэффициент смещения,

m—
модуль зубчатого колеса.

Правильно выбранный
коэффициент смещения обеспечивает
получение необходимых свойств и
геометрических параметров зубчатой
передачи. В связи с этим при выборе
коэффициентов смещения необходимо
пользоваться рекомендациями по
проектированию зубчатых передач с
заданными свойствами.

Так, например, для
силовых передач общего назначения при
выборе коэффициентов смещения можно
пользоваться рекомендациями, приведенными
в таблице 2.

Таблица 2 Рекомендуемые
значения коэффициентов смещения

В специальной
литературе имеются рекомендации по
выбору коэффициентов смещения при
проектировании зубчатых передач с
различными свойствами [2].

Выбор коэффициентов
смещения можно осуществить также по
так называемым блокирующим контурам.

После выбора
коэффициентов смещения х₁
и х₂
при заданных числах зубьев z₁
и z₂
и модуля зацепления m
определяем основные размеры зубчатых
колес и качественные характеристики
зацепления.

Суммарный коэффициент
смещения:

Х_∑=х₁+х₂

Эвольвентная
функция (инвалюта) угла зацепления α_w:

inv
α_w=invα+2((x₁+x₂)/z₁+z₂)tgα,

где α — угол профиля
реечного инструмента (α=20º).

Угол α_w
находят по таблицам эвольвентной
функции. При необходимости определения
инвалюты угла пользуются следующей
формулой:

invα_i=
tgα_i
— α_i,

где α_i
— угол в радианах.

Все геометрические
параметры зубчатой передачи определяются
в миллиметрах.

Диаметры делительных
окружностей:

d₁=mz₁

d₂=mz₂

Диаметры основных
окружностей:

d_в1=d₁cosα

d_в2=d₂cosα

Делительное
межосевое расстояние:

a=(m(z₁+z₂))/2

Межосевое расстояние
передачи со смещением:

a_w=a(cosα)/
cosα_w

Коэффициент
воспринимаемого смещения:

у=(а_W—a)/m

Коэффициент
уравнительного смещения:

∆у=х_∑-у

Радиусы начальных
окружностей:

r_w1=r₁(cosα)/
cosα_w

r_w2=r₂(cosα)/
cosα_w

Контрольная
проверка:

a_w=r_w1+r_w2

Радиусы вершин
зубьев:

r_a1=m((z₁/2)+h_a^*+x₁-∆y)

r_a2=m((z₂/2)+h_a^*+x₂-∆y)

Радиусы окружностей
впадин зубьев:

r_f1=m((z₁/2)-h_a^*+x₁-с^*)

r_f2=m((z₂/2)-h_a^*+x₂-с^*)

Высота зуба:

h=r_a1—r_f1

Толщина зубьев по
делительной окружности:

S₁=m((π/2)+2x₁tgα)

S₂=m((π/2)+2x₂tgα)

Угол профиля в
точке на окружности вершин:

α_a1=arccos(r_в1/r_a1)

α_a2=arccos(r_в2/r_a2)

Толщина зубьев по
окружности вершин:

S_a1=m(cosα/cosα_w)[(π/2)+2x₁tgα—z₁(invα_a1—invα)]

S_a2=m(cosα/cosα_w)[(π/2)+2x₂tgα—z₂(invα_a2—invα)]

Толщина зубьев по
окружности вершин должна быть больше
или равна 0,4m,
коэффициенты высоты головки зуба
h_a^*
= 1, коэффициент
радиального зазора с^*=0,25.

Коэффициент
торцового перекрытия:

ε_α=(z₁/2π)(tgα_a1—tgα_w)+(z₂/2π)(tgα_a2—tgα_w)
≥ [ε_α]

В зависимости от
точности изготовления зубчатых колес
минимальная величина коэффициента
перекрытия принимается от 1,05 до 1,35.
Например, если ε_α=
1,2, то в зацеплении находится в среднем
1,2 пар зубьев, а фактически в течение
20% времени работы передачи в зацеплении
находятся две пары зубьев, а в течение
80% — одна пара.

На основании
выполненных расчетов вычерчивается
зацепление 2х зубчатых колес с определением
активной линии зацепления и активной
части профилей зубьев.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #