В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции, т.е. найти (k) и (b) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):
В статье я расскажу про два простых способа найти (k) и (b), если известен график линейной функции.
Способ 1
Первый способ основывается на трех фактах:
-
Линейная функция пересекает ось (y) в точке (b).
Примеры:
Но не советую определять так (b), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.
Примеры:
-
Если функция возрастает, то знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то (k=0).
Примеры:
-
Чтоб конкретнее определить (k) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить (k) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.
Примеры:
Пример (ЕГЭ)
Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.
(b=3) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит (k<0).
Достроим прямую до прямоугольного треугольника. Вершинами будут жирные точки, которые нам дали в задаче.
(k=-frac{AC}{BC}=-frac{1}{3}). Получается (g(x)=-frac{1}{3}x+3).
Способ 1 быстрее способа 2, но не во всех ситуациях помогает. Поэтому важно владеть и вторым способом тоже.
Способ 2
Вы обращали внимание, что в задачах ЕГЭ на прямых всегда жирно выделяют 2 точки? Так вот, чтобы найти формулу линейной функции, достаточно подставить координаты этих точек в формулу (f(x)=kx+b) и решить получившуюся систему уравнений.
Пример (ЕГЭ)
Обозначим жирные точки какими-нибудь буквами и найдем их координаты.
(A(-2;2)) и (B(2;-5)) подставим эти значения вместо (x) и (f(x)) в формулу (f(x)=kx+b):
Получим:
(begin{cases}2=-2k+b\-5=2k+bend{cases})
Теперь найдем (k) и (b), решив эту систему.
Для этого сложим уравнения друг с другом, чтобы исчезло (k):
(2+(-5)=-2k+b+2k+b)
(-3=2b)
(b=-1,5)
Теперь подставим найденное (b) во второе уравнение системы и найдем (k):
(-5=2k-1,5)
(-5+1,5=2k)
(-3,5=2k)
(k=-1,75)
Получается (f(x)=-1,75x-1,5). Остается последний шаг – вычислим при каком иксе функция, то есть (f(x)), равна (16):
(16=-1,75x-1,5)
(17,5=-1,75x)
(x=-10).
Ответ: (-10).
Пример (ЕГЭ)
Чтоб решить задачу, нам понадобятся формулы каждой из двух функций. Давайте формулу нижней функции найдем с помощью способа 1, а формулу верхней с помощью способа 2. Начнем с нижней функции.
Функция (f(x)) возрастает, значит (k>0). (k=+frac{AC}{BC}=frac{4}{4}=1,b=1). (f(x)=x+1).
Теперь перейдем к функции (g(x)). Найдем координаты точек (D) и (E): (D(-2;4)), (E(-4;1)). Можно составить систему:
(begin{cases}4=-2k+b\1=-4k+bend{cases})
Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать (b):
(4-1=-2k+b-(-4k+b))
(3=2k)
(k=1,5)
Найдем (b):
(4=-2cdot 1,5+b)
(4=-3+b)
(b=7)
(g(x)=1,5x+7). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем (f(x)) и (g(x)).
(x+1=1,5x+7)
(x-1,5x=7-1)
(-0,5x=6)
(x=6:(-0,5))
(x=-12).
Ответ: (-12).
Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».
Смотрите также:
Как определить a, b и c по графику параболы
Скачать статью
На прошлых уроках мы рассмотрели линейную функцию и научились строить ее график на координатной плоскости. На этом уроке мы углубимся в теорию и разберем, почему график выглядит именно так.
Вспомним, что линейная функция имеет вид $y = kx+b$, где $x$ – переменная, а $k$ и $b$ – некоторые числа, называемые коэффициентами.
Например,
- $y = textcolor{blue}{5}x + color{green}{10}$ – линейная функция
- $color{blue} k = 5$
- $color{green} b = 10$.
График линейной функции – прямая линия, а ее положение на плоскости зависит от того, какие у функции $k$ и $b$.
Коэффициент $k$ называют угловым, так как он показывает угол наклона линейной функции на графике относительно оси $Ox$
При $k > 0$ угол между графиком и осью $Ox$ меньше $90 degree$ (острый)
При $k < 0$ угол между графиком и осью $Ox$ больше $90 degree$ (тупой)
Коэффициент b
Коэффициент $b$ называют свободным. На графике он показывает длину отрезка, который отсекает линия функции по оси ординат относительно начала координат.
Другими словами, коэффициент $b$ показывает, насколько график выше или ниже оси $Oy$.
- Если $b > 0$, график сдвинут вверх,
- если $b < 0$, то график сдвинут вниз.
На нашем графике функции из примера про копилку видно, что прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат на $500$ единиц (этому числу и равен коэффициент $b$).
Частные случаи. b = 0
Если коэффициент $b = 0$, функция приобретает вид $y = kx + 0$, что можно сократить до $y = kx$.
Подставим в формулу $x = 0$, получим: $$y = k times 0$$
Значит, график будет проходить через начало координат $O(0;0)$.
Для построения графика функции вида $y = kx$ достаточно найти одну точку, вторая – начало координат.
k = 0
Если коэффициент $k = 0$, угол наклона также будет равен $0$.
Функция при этом принимает вид $y = 0 times x + b$, то есть $y = b$.
Куда делась переменная $x$? Она нам больше не нужна, так как какой бы $x$ мы не подставили, значение $y$ не изменится.
Таблица
Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx»
внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».
Важно!
Функцию вида «y = kx + b» называют линейной функцией.
Буквенные множители «k» и «b»
называют
числовыми коэффициентами.
Вместо «k» и «b»
могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).
Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо
«k» и «b» стоят числа.
Примеры функций типа «y = kx + b».
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y = x − 2
- y = 0,5x
Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты
«k» и
«b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| y = 5x + 3 | k = 5 | b = 3 | ||||
| y = −x + 1 | k = −1 | b = 1 | ||||
y =
x − 2 |
k =
|
b = −2 | ||||
| y = 0,5x | k = 0,5 | b = 0 |
Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x»
в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».
Рассматривая
функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента
«b» в функции нет.
Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда.
В функции «y = 0,5x»
числовый коэффициент «b» равен нулю.
Как построить график линейной функции
«y = kx + b»
Запомните!
Графиком линейной функции «y = kx + b» является прямая.
Так как графиком функции «y = kx + b»
является прямая линия, функцию называют линейной функцией.
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств),
что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из аксиомы выше следует, что
чтобы построить график функции вида
«у = kx + b» нам достаточно будет найти всего
две точки.
Для примера построим график функции «y = −2x + 1».
Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x».
Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».
Важно!
Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа
«0» и «1».
С этими числами легко выполнять расчеты.
| x | Расчет «y = −2x + 1» |
|---|---|
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.
Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.
| Точка |
Координата по оси «Оx» (абсцисса) |
Координата по оси «Оy» (ордината) |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | 1 |
| (·)B | 1 | −1 |
Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет
являться графиком функции «y = −2x + 1».
Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b»
Рассмотрим задачу.
Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:
- значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
- значение «x», если значение «y» равно
1; 4; 0; −1.
Вначале построим график функции «y = 2x + 3».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше.
Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа
«0» и «1».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
| Точка |
Координата по оси «Оx» |
Координата по оси «Оy» |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = 2 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = 2 ·1 + 3 = 5 |
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции
«y = 2x + 3».
Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».
Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x»,
которое равно −1; 2; 3; 5.
Тему
«Как получить координаты точки функции» с графика функции
мы уже подробно рассматривали в уроке
«Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.
Запомните!
Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике
функции необходимо:
- провести перпендикуляр от оси «Ox»
(ось абсцисс)
из заданного числового значения «x»
до пересечения
с графиком функции; - из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси
«Oy»
(ось ординат); - полученное числовое значение на оси «Oy» и будет искомым значением.
По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3»
необходимые значения функции «y» для
«x» равным −1; 2; 3; 5.
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение «x» | Полученное с графика значение «y» |
|---|---|
| −1 | 1 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 5 | 13 |
Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x»,
если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.
Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания.
Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси
«Oy».
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение «y» | Полученное с графика значение «x» |
|---|---|
| −1 | −2 |
| 0 | −1,5 |
| 1 | −1 |
| 4 | 0,5 |
Как проверить, проходит ли график через точку
Рассмотрим другое задание.
Не выполняя построения графика функции
«y = 2x −
», выяснить, проходит ли график
через точки с координатами (0;
− ) и (1; −2).
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка
не принадлежит графику функции.
Подставим в функцию
«y = 2x −
»
координаты точки (0;
− ).
− = 2 · 0
−
− =
−
(верно)
Это означает, что график функции «y = 2x −
» проходит через точку с координатами (0;
− ).
Проверим точку с координатами (1; −2).
Также подставим координаты
в функцию «y = 2x −
».
−2 = 2 · 1 −
−2 = 2 −
−2 = 1 −
−2 = 1 (неверно)
Это означает, что график функции «y = 2x −
» не проходит через точку с координатами (1; −2).
Как найти точки пересечения графика с осями
Рассмотрим задачу.
Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.
Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения
с осями.
Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции
«y = −1,5x + 3».
Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение
«y» по формуле
функции. Например, для x = 0 и
x = 1.
| Точка |
Координата по оси «Оx» |
Координата по оси «Оy» |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5 |
Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую.
Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».
Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.
Запомните!
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью
«Oy»
(осью ординат)
нужно:
- приравнять координату точки по оси
«Ox» к нулю
(x = 0); - подставить вместо «x» в формулу функции ноль и найти значение
«y»; - записать полученные координаты точки пересечения с осью
«Oy».
Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.
y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Oy».
Запомните!
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью
«Ox»
(осью абсцисс)
нужно:
- приравнять координату точки по оси
«Oy» к нулю
(y = 0); - подставить вместо «y» в формулу функции ноль и найти значение
«x»; - записать полученные координаты точки пересечения с осью
«Oy».
Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.
0 = −1,5x + 3
1,5x = 3 | :(1,5)
x = 3 : 1,5
x = 2
(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Ox».
Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните
«правило противоположности».
Важно!
Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью
«Ox», то приравниваем
«y» к нулю.
И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью
«Oy»,
то приравниваем «x» к нулю.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
19 мая 2023 в 9:06
Михаил Лысенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Михаил Лысенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
0
Спасибо
Ответить
19 мая 2023 в 13:04
Ответ для Михаил Лысенко
Борис Гуров
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 28
Борис Гуров
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 28
Добрый день!
Это квадратичная функция. Они разобраны в другом уроке
0
Спасибо
Ответить
Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.
Число k называется угловым коэффициентом прямой.
Свойства линейной функции
- Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
- Областью значений также является множество всех действительных чисел.
- Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
- При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
- При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
- При k=0 прямая параллельна оси х.
- Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.
Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.
Пример №1
Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:
Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).
Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:
у=2х – 1=2×0 – 1= –1;
у=2х – 1=2×3 – 1= 5.
Вписываем в таблицу значения у:
Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.
Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.
Пример №2.
Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.
По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).
Пример №3
Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:
Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.
Задание OM1106o
На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
ГРАФИКИ:
КОЭФФИЦИЕНТЫ:
1) k>0, b<0 2) k>0, b>0 3) k<0, b<0
ассмотрим коэффициенты под №3. Если k<0, значит, график имеет тупой (>900) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b<0, то это говорит, что график пересекает ось ординат (Оу) ниже нуля. Эти два условия реализованы на графике В. Итак, получаем для ответа пару: В–3.
У двух других пар коэффициентов (№№ 1 и 2) зафиксировано, что k>0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом (<900). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.
В 1-й паре коэффициентов b<0. Это означает, что соответствующий им график должен пересекать ось Оу в точке ниже начала координат. Таковым является график Б, и мы получаем пару Б–1. В паре коэффициентов №2 b>0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.
Ответ: 213
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1103o
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции:
A) y = 3x
Б) y = -3x
В) y = (1/3)x
Графики:
Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:
y = kx + b
График данной функции зависит от k и b.
- если k < 0, то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
- если k > 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
- коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b < 0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если b > 0, то выше ноля в точке y = b
- если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k <1 , то положе, как на примере рисунка №1
Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.
Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3 < 0, и график идет сверху вниз.
Ответ:
A) 2
Б) 3
В) 1
Ответ: 231
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Даниил Романович | Просмотров: 6.1k
В этой статье мы рассмотрим линейную функцию, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.
Линейной функцией называется функция вида 
В уравнении функции число 
, которое мы умножаем на 
называется коэффициентом наклона.
Например, в уравнении функции 
;
в уравнении функции 
;
в уравнении функции 
;
в уравнении функции 
.
Графиком линейной функции является прямая линия.
1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции 
, удобно взять 
и 
, тогда ординаты эти точек будут равны 
и 
.
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :
2. В уравнении функции коэффициент 
отвечает за наклон графика функции:
Коэффициент 
отвечает за сдвиг графика вдоль оси 
:
На рисунке ниже изображены графики функций 
; 
; 
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.
Во всех функциях 
— и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций ; 
; 
На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.
Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций ; 
; 
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.
График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .
Если k<0 и b>0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b>0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b<0, то график функции имеет вид:
Если k<0 и b<0, то график функции имеет вид:
Если k=0 , то функция превращается в функцию 
и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции равны
Если b=0, то график функции 
проходит через начало координат:
Это график прямой пропорциональности.
3. Отдельно отмечу график уравнения 
. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси все точки которой имеют абсциссу .
Например, график уравнения 
выглядит так:
Внимание! Уравнение не является функцией, так как различным значениям функции соответствует одно и то же значение аргумента, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
График функции 
параллелен графику функции 
, если 
5. Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции перпендикулярен графику функции , если 
или 
6. Точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда 
. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (
;0):
Рассмотрим решение задач.
1. Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.
В уравнении функции два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.
а) Из того, что график функции параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид 
б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:
отсюда b=-10
Таким образом, нам надо построить график функции 
Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим 
. Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.
Итак, уравнение прямой 
.
3. Постройте график уравнения 
Чтобы найти, при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть ОДЗ каждого множителя.
Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:
Построим графики всех уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения :
4. Постройте график функции , если он перпендикулярен прямой 
и проходит через точку М(-1;2)
Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.
а) Так как график функции , если он перпендикулярен прямой , следовательно 
, отсюда 
. То есть уравнение функции имеет вид 
б) Мы знаем, что график функции проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:
, отсюда 
.
Следовательно, наша функция имеет вид: 
.
5. Постройте график функции 
Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.
Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому 
, 
.
Тогда наша функция принимает вид:
То есть нам надо построить график функции 
и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.