Если последовательно соединены эдс как найти ток

§ 17. Последовательное и параллельное соединение источников

При последовательном соединении источников общая ЭДС равна алгебраической сумме ЭДС отдельных источников, общее внутреннее сопротивление равно сумме внутренних сопротивлений отдельных источников. Для определения знака ЭДС каждого источника нужно выбрать положительное направление движения на участке с этим источником. ЭДС источника берётся со знаком `«+»`, если направление действия ЭДС совпадает с выбранным направлением. В противном случае ставится знак `«-»`.

При параллельном соединении источников с одинаковыми ЭДС и возможно различными внутренними сопротивлениями общая ЭДС (ЭДС батареи) равна ЭДС одного источника. Внутреннее сопротивление батареи рассчитывается как при параллельном соединении проводников с сопротивлениями, равными внутренним сопротивлениям источников.
При параллельном соединении источников с различными ЭДС выражение для ЭДС батареи усложняется и здесь не приводится.

В схеме на рис. 17.1 $$ {mathcal{E}}_{1}=12$$ В, $$ {mathcal{E}}_{2}=3$$ В, $$ {r}_{1}=1$$ Ом, $$ {r}_{2}=2$$ Ом, $$ R=6$$ Ом.

Рис. 17.1

Найти напряжения на зажимах источников, т. е. разность потенциалов $$ {varphi }_{A}-{varphi }_{B}$$ и $$ {varphi }_{B}-{varphi }_{D}$$.

ЭДС батареи последовательно соединённых источников:

$$ mathcal{E}={mathcal{E}}_{1}-{mathcal{E}}_{2}=9$$ B.

Причём, полярность батареи совпадает с полярностью источника $$ {mathcal{E}}_{1}$$ т. к. $$ {mathcal{E}}_{1}>{mathcal{E}}_{2}$$.

Ток по закону Ома для замкнутой цепи $$ I=mathcal{E}/(R+{r}_{1}+{r}_{2})=1$$ A. По закону Ома для участков цепи `AB` и `BD`:

$$ {varphi }_{A}-{varphi }_{B}+{mathcal{E}}_{1}=I{r}_{1,}$$, $$ {varphi }_{B}-{varphi }_{D}-{mathcal{E}}_{2}=I{r}_{2}$$.

Отсюда $$ {varphi }_{A}-{varphi }_{B}=I{r}_{1}-{mathcal{E}}_{1}=-11$$ B, $$ {varphi }_{B}-{varphi }_{D}=I{r}_{2}+{mathcal{E}}_{2}=5$$ B.

В электрических цепях используются различные типы соединений. Основными являются последовательные, параллельные и смешанные схемы подключений. В первом случае используется несколько сопротивлений, соединенных в единую цепочку друг за другом. То есть, начало одного резистора соединяется с концом второго, а начало второго – с концом третьего и так далее, до любого количества сопротивлений. Сила тока при последовательном соединении будет одинаковой во всех точках и на всех участках. Для определения и сравнения других параметров электрической цепи, следует рассматривать и остальные виды соединений, обладающие собственными свойствами и характеристиками.

Последовательное и параллельное соединение сопротивлений

Любая нагрузка обладает сопротивлением, препятствующим свободному течению электрического тока. Его путь проходит от источника тока, через проводники к нагрузке. Для нормального прохождения тока, проводник должен обладать хорошей проводимостью и легко отдавать электроны. Это положение пригодится далее при рассмотрении вопроса, что такое последовательное соединение.

В большинстве электрических цепей применяются медные проводники. Каждая цепь содержит приемники энергии – нагрузки, обладающие различными сопротивлениями. Параметры соединения лучше всего рассматривать на примере внешней цепи источника тока, состоящей из трех резисторов R1, R2, R3. Последовательное соединение предполагает поочередное включение этих элементов в замкнутую цепь. То есть начало R1 соединяется с концом R2, а начало R2 – с концом R3 и так далее. В такой цепочке может быть любое количество резисторов. Эти символы используют в расчетах последовательные и параллельные соединения.

Сила тока на всех участках будет одинаковой: I = I1 = I2 = I3, а общее сопротивление цепи составит сумму сопротивлений всех нагрузок: R = R1 + R2 + R3. Остается лишь определить, каким будет напряжение при последовательном соединении. В соответствии с законом Ома, напряжение представляет собой силу тока и сопротивления: U = IR. Отсюда следует, что напряжение на источнике тока будет равно сумме напряжений на каждой нагрузке, поскольку ток везде одинаковый: U = U1 + U2 + U3.

При постоянном значении напряжения, ток при последовательном соединении будет находиться в зависимости от сопротивления цепи. Поэтому при изменении сопротивления хотя-бы на одной из нагрузок, произойдет изменение сопротивления во всей цепи. Кроме того, изменятся ток и напряжение на каждой нагрузке. Основным недостатком последовательного соединения считается прекращение работы всех элементов цепи, при выходе из строя даже одного из них.

Совершенно другие характеристики тока, напряжения и сопротивления получаются при использовании параллельного соединения. В этом случае начала и концы нагрузок соединяются в двух общих точках. Происходит своеобразное разветвление тока, что приводит к снижению общего сопротивления и росту общей проводимости электрической цепи.

Для того чтобы отобразить эти свойства, вновь понадобится закон Ома. В данном случае сила тока при параллельном соединении и его формула будет выглядеть так: I = U/R. Таким образом, при параллельном соединении n-го количества одинаковых резисторов, общее сопротивление цепи будет в n раз меньше любого из них: Rобщ = R/n. Это указывает на обратно пропорциональное распределение токов в нагрузках по отношению к сопротивлениям этих нагрузок. То есть, при увеличении параллельно включенных сопротивлений, сила тока в них будет пропорционально уменьшаться. В виде формул все характеристики отображаются следующим образом: сила тока – I = I1 + I2 + I3, напряжение – U = U1 = U2 = U3, сопротивление – 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3.

При неизменном значении напряжения между элементами, токи в этих резисторах не имеют зависимости друг от друга. Если один или несколько резисторов будут выключены из цепи, это никак не повлияет на работу других устройств, остающихся включенными. Данный фактор является основным преимуществом параллельного соединения электроприборов.

В схемах обычно не используется только последовательное соединение и параллельное соединение сопротивлений, они применяются в комбинированном виде, известном как смешанное соединение. Для вычисления характеристик таких цепей применяются формулы обоих вариантов. Все расчеты разбиваются на несколько этапов, когда вначале определяются параметры отдельных участков, после чего они складываются и получается общий результат.

Законы последовательного и параллельного соединения проводников

Основным законом, применяемым при расчетах различных видов соединений, является закон Ома. Его основным положением является наличие на участке цепи силы тока, прямо пропорциональной напряжению и обратно пропорциональной сопротивлению на данном участке. В виде формулы этот закон выглядит так: I = U/R. Он служит основой для проведения расчетов электрических цепей, соединяемых последовательно или параллельно. Порядок вычислений и зависимость всех параметров от закона Ома наглядно показаны на рисунке. Отсюда выводится и формула последовательного соединения.

Более сложные вычисления с участием других величин требуют применения правила Кирхгофа. Его основное положение заключается в том, что несколько последовательно соединенных источников тока, будут обладать электродвижущей силой (ЭДС), составляющей алгебраическую сумму ЭДС каждого из них. Общее сопротивление этих батарей будет состоять из суммы сопротивлений каждой батареи. Если выполняется параллельное подключение n-го количества источников с равными ЭДС и внутренними сопротивлениями, то общая сумма ЭДС будет равно ЭДС на любом из источников. Значение внутреннего сопротивления составит rв = r/n. Эти положения актуальны не только для источников тока, но и для проводников, в том числе и формулы параллельное соединение проводников.

В том случае, когда ЭДС источников будет иметь разное значение, для расчетов силы тока на различных участках цепи применяются дополнительные правила Кирхгофа.

Начало лекции 28 ЭДС источника. Соединения проводников и источников.

Проводники в электрических цепях тоже могут соединяться последовательно и параллельно.

1. При последовательном соединении проводников

1. Сила тока во всех проводниках одинакова:

I₁ = I₂ = I

2.  Общее напряжение U на обоих проводниках равно сумме напряжений U₁ и U₂ на каждом проводнике:

U = U₁ + U₂

3. По закону Ома, напряжения U₁ и U₂ на проводниках равны U₁ = IR₁,   U₂ = IR₂ а общее напряжение U = IR где R – электрическое сопротивление всей цепи, тогда  IR = IR₁ + IR_2.Отсюда следует

R = R₁ + R₂

При последовательном соединении полное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных проводников.

Этот результат справедлив для любого числа последовательно соединенных проводников.

2. При параллельном соединении проводников

1. Напряжения U₁ и U₂ на обоих проводниках одинаковы

U₁ = U₂ = U

2. Сумма токов I₁ + I₂, протекающих по обоим проводникам, равна току в неразветвленной цепи:

I = I₁ + I₂

Этот результат следует из того, что в точках разветвления токов (узлы A и B) в цепи постоянного тока не могут накапливаться заряды. Например, к узлу A за время Δt подтекает заряд IΔt, а утекает от узла за то же время заряд I₁Δt + I₂Δt. Следовательно, I = I₁ + I₂.

3. Записывая на основании закона Ома

где R – электрическое сопротивление всей цепи, получим

или    

При параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно включенных проводников.

Этот результат справедлив для любого числа параллельно включенных проводников.

Формулы для последовательного и параллельного соединения проводников позволяют во многих случаях рассчитывать сопротивление сложной цепи, состоящей из многих резисторов. На рисунке приведен пример такой сложной цепи и указана последовательность вычислений. Сопротивления всех проводников указаны в омах (Ом).

На пракутике одного источника тока в цепи бывает недостаточно, и тогда источники тока тоже  соединяют между собой для питания цепи. Соединение источников в батарею может быть последовательным и параллельным.

При последовательном соединении два соседних источника соединяются разноименными полюсами.

Т.е., для последовательного соединения аккумуляторов, к ″плюсу″ электрической схемы подключают положительную клемму первого аккумулятора. К его отрицательной клемме подключают положительную клемму второго аккумулятора и т.д. Отрицательную клемму последнего аккумулятора подключают к ″минусу″ электрической схемы.

Получившаяся при последовательном соединении аккумуляторная батарея имеет ту же емкость, что и у одиночного аккумулятора, а напряжение такой аккумуляторной батареи равно сумме напряжений входящих в нее аккумуляторов. Т.е. если аккумуляторы имеют одинаковые напряжения, то напряжение батареи равно напряжению одного аккумулятора, умноженному на количество аккумуляторов в аккумуляторной батарее.

1. ЭДС батареи равна сумме ЭДС отдельных источников ε= ε₁ + ε₂ + ε₃

2. Общее сопротивление батареи источников равно сумме внутренних сопротивлений отдельных источников r_{батареи}= r₁ + r₂ + r₃

Если в батарею соединены n одинаковых источников, то ЭДС батареи ε= nε_1, а сопротивление r_{батареи}= nr₁

3. Сила тока в такой цепи по закону Ома 

При параллельном соединении соединяют между собой все положительные и все отрицательные полюсы двух или n источников.

Т.е., при параллельном соединении, аккумуляторы соединяют так, чтобы положительные клеммы всех аккумуляторов были подключены к одной точке электрической схемы (″плюсу″), а отрицательные клеммы всех аккумуляторов были подключены к другой точке схемы (″минусу″).

Параллельно соединяют только источники с одинаковой ЭДС. Получившаяся при параллельном соединении аккумуляторная батарея имеет то же напряжение, что и у одиночного аккумулятора, а емкость такой аккумуляторной батареи равна сумме емкостей входящих в нее аккумуляторов. Т.е. если аккумуляторы имеют одинаковые емкости, то емкость аккумуляторной батареи равна емкости одного аккумулятора, умноженной на количество аккумуляторов в батарее.

1. ЭДС батареи одинаковых источников равна ЭДС одного источника. ε= ε₁= ε₂ = ε₃

2. Сопротивление батареи меньше, чем сопротивление одного источника r_{батареи}= r₁/n
3. Сила тока в такой цепи по закону Ома 

Электрическая энергия, накопленная в аккумуляторной батарее равна сумме энергий отдельных аккумуляторов (произведению энергий отдельных аккумуляторов, если аккумуляторы одинаковые), независимо от того, как соединены аккумуляторы — параллельно или последовательно.

Внутреннее сопротивление аккумуляторов, изготовленных по одной технологии, примерно обратно пропорционально емкости аккумулятора. Поэтому т.к.при параллельном соединении емкость аккумуляторной батареи равна сумме емкостей входящих в нее аккумуляторов, т.е увеличивается, то внутреннее сопротивление уменьшается.

Закон Ома для полной цепи:

Работа тока на участке цепи равна произведению силы тока, напряжения па этом участке и промежутка времени, в течение которого совершалась работа:

Закон Джоуля — Ленца:

• количество теплоты, выделяемое проводником с током, равно произведению квадрата силы тока, сопротивления и времени прохождения тока по проводнику:

Для однородного участка цепи количество выделившейся теплоты можно вычислить по любой из трех эквивалентных формул:

Мощность, идущая на нагревание проводника, равна работе, которая совершается током за единицу времени:

Единицей мощности электрического тока, так же как и механической мощности, является ватт (1 Вт):

Коэффициент полезного действия (КПД) определяется отношением полезно использованной энергии  к полной энергии полученной системой:  и  является характеристикой эффективности работы системы.

Рассмотрим полную электрическую цепь, содержащую источник ЭДС с внутренним сопротивлением r и подключенный к ним резистор сопротивлением R (рис. 121).

Из определения ЭДС источника тока следует, что совершаемая источником работа

Из закона сохранения энергии следует, что в такой цепи происходит превращение энергии, запасенной источником тока, только в теплоту. При этом работа сторонних сил за промежуток времени равна выделившемуся в цепи количеству теплоты:

По закону Джоуля — Ленца

Таким образом,

откуда

Полученное выражение представляет собой закон Ома для полной цепи:
сила тока в полной цепи прямо пропорциональна электродвижущей силе источника тока и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи.
Заметим, что максимально возможный ток в цепи с данным источником тока возникает в том случае, если сопротивление внешней части цепи стремится к нулю.

Максимально возможный ток через источник называют также током короткого замыкания

Короткое замыкание представляет серьезную опасность для мощных источников тока, поскольку может вывести их из строя.

У гальванических элементов (батареек) сила тока короткого замыкания небольшая, поэтому оно для них не очень опасно.

Внутреннее сопротивление свинцовых аккумуляторов имеет значение от r = 0,1 Ом до r = 0,01 Ом, и сила тока короткого замыкания в них может быть от = 20 А до  = 200 А. А поскольку при этом возможно разрушение пластин аккумуляторов, то следует соблюдать меры безопасности при работе с ними.
В быту, в осветительных сетях, на распределительных станциях ЭДС имеет величины свыше 100 В, а внутреннее сопротивление цепи очень мало, и согласно закону Ома для замкнутой цепи сила тока короткого замыкания может доходить до 1000 А. Вследствие этого короткое замыкание может привести к пожару. Для зашиты от пожаров в электрические цепи включаются плавкие предохранители, которые плавятся при определенной силе тока и размыкают цепь.

Короткое замыкание может возникнуть из-за плохой изоляции, когда два токоведущих провода соединяются между собой (закорачиваются). Внешнее сопротивление цепи в этом случае стремится к нулю, и сила тока резко возрастает.

Короткое замыкание электропроводки в быту может стать причиной пожара, поэтому ни в коем случае не занимайтесь ремонтом электрических сетей самостоятельно!

Закон Ома для полной цепи можно записать в следующем виде:

Таким образом, ЭДС источника равна сумме падений напряжений на внешнем и внутреннем участках замкнутой цепи.

Закон Ома для полной цепи наглядно можно показать с помощью рисунка 122, где в качестве источника тока взят гальванический элемент Вольта (Сu—Zn).
Потенциал клеммы у цинковой пластины условно принят за нуль. Длина перпендикуляра к проводнику АВС в данной точке цепи пропорциональна ее потенциалу.

Падение напряжения на внешнем участке цепи равно IR, внутри источника — Ir.
Скачки потенциалов на цинковой и медной пластинах соответственно обусловлены химическими процессами.
Для лучшего понимания процессов, происходящих в замкнутой электрической цепи рассмотрим аналогичную механическую модель (рис. 123).

Подобно тому как шарик скатывается по винтовой наклонной плоскости под действием силы тяжести из положения 2 в положение 3, так электроны движутся на внешнем участке цепи под действием сил электрического поля.
Для того чтобы поднять шарик в исходное положение 2, необходимо совершить работу против силы тяжести, которая в случае электрической цепи аналогична работе сторонних сил внутри источника тока.

В данном случае пружинное устройство 1, совершающее работу за счет энергии упругой деформации, является механическим аналогом источника ЭДС в замкнутой цепи.

Для работы различных устройств мы используем батарейки (гальванические элементы), которые включаем последовательно с соблюдением полярности.
При последовательном соединении n источников тока, когда «минус» первого источника соединяется с «плюсом» второго и т. д. (рис. 124), их ЭДС и внутренние сопротивления суммируются:

В частном случае, если  то

Параллельное соединение источников тока, когда «плюсы» всех источников соединяются в один узел, а «минусы» — в другой (рис. 125), используется значительно реже для повышения надежности электропитания. Можно показать, что при параллельном соединении п одинаковых источников тока суммарная ЭДС батареи равна ЭДС одного источника, а внутреннее сопротивление рассчитывается по законам параллельного соединения:

Работа по перемещению зарядов на неоднородном участке цепи равна сумме работ, совершаемых сторонними силами источника тока и силами электрического поля.

Поскольку напряжение на участке цепи равно отношению работы к перенесенному заряду то

Знак перед берется положительный, если ЭДС увеличивает потенциал в цепи в направлении прохождения тока, и отрицательный — если уменьшает.

С учетом того, что U = IR (R — полное сопротивление резисторов и источников ЭДС на участке цепи), находим силу тока на участке цепи:

Эта формула выражает закон Ома для неоднородного участка цепи: падение напряжения на неоднородном участке цепи — произведение силы тока I и сопротивления участка цепи R:

Отметим, что падение напряжения пропорционально суммарной работе всех сил, в то время как напряжение U пропорционально работе только электростатических сил.

Мощность, выделяемая на внешнем участке цепи, в которую включены тепловые потребители энергии, называется полезной мощностью. Для ее вычисления используются формулы:

Мощность, выделяемая на внутреннем сопротивлении источника тока, называется теряемой мощностью и вычисляется по формулам:

Сумма полезной и теряемой мощностей равна полной мощности источника тока, которая учитывает выделение энергии как на внешнем, так и на внутреннем участках цепи:

 

Коэффициент полезного действия источника тока, определяемый как отношение полезной мощности к полной, зависит от сопротивления нагрузки и внутреннего сопротивления источника тока:

Наибольшую полезную мощность от данного источника можно получить тогда, когда внешнее сопротивление равно внутреннему (R = r), и в этом случае максимальный КПД = 50 % (докажите это).

• Заказать решение задач по физике

Закон Ома для полной цепи

Открытый Г. Омом закон для участка цени в общем случае справедлив и для полной цепи, если принимать во внимание как внешнюю, так и внутреннюю части цепи. Математическую запись закона Ома для этого случая можно получить на основании закона сохранения энергии, универсального для всех процессов в природе.

Пусть электрическая цепь состоит из источника тока, имеющего ЭДС и внутреннее сопротивление г, и проводника сопротивлением R (рис. 1.51).

Pиc. 151. Замкнутая электрическая цепь

Согласно закону сохранения энергии работа сторонних сил равна сумме работ электрического тока во внешней и внутренней частях цепи:

По определению

Отсюда

Если учесть, что по закону Ома для участка цепи U =IR, то получим формулу этого закона для полной цепи:

Таким образом, сила тока в полной цепи пропорциональна электроднижущей силе источника и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи.

Сила тока в полной цепи пропорциональна электродвижущей силе источника и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи:

Пользуясь законом Ома для полной цепи, можно рассчитать два экстремальных случая н электрической цепи — короткое замыкание и разомкнутую цепь. Если сопротивление внешней цепи стремится к нулю (короткое замыкание), то сила тока в цепи

Это будет максимальное значение силы тока для данной цепи.
Если цепь разорвана (R→∞ ), то ток в цени прекращается при любых значениях ЭДС и внутреннего сопротивления. В последнем случае напряжение нм полюсах источника тока будет равно электродвижущей силе. Поэтому иногда дают упрощенное определение ЭДС: это величина, равная напряжению на клеммах источника при разомкнутой цепи.

Источники тока могут соединяться в батареи. Существуют несколько способов соединения источников тока.

Последовательным называют соединение, при котором соединяются друг с другом разноименные полюса источников: положительный предыдущего с отрицательным следующего и т. д. (рис. 1.52). Чаще всего соединяют источники с одинаковыми характеристиками, поэтому при последовательном соединении N источников ЭДС батареи будет в N раз больше, чем ЭДС одного источника:

Внутреннее сопротивление такой батареи будет также в N раз больше:

Рис. 152. Схема последовательного соединения источников тока

Для последовательного соединения источников тока закон Ома для полной цепи будет записываться:

Последовательное соединение источников τoιca удобно в том случае, когда сопротивление потребителя значительно больше внутреннего сопротивления одного источника тока.
Параллельным является соединение, при котором все одноименные полюса соединяется в один узел (рис. 1.53).

Pиc. 153. Схема параллельного соединения источников тока

Параллельное соединение применяют тогда, когда в цепи необходимо получить большое значение силы тока при небольшом напряжении.

Электродвижущая сила батареи параллельно соединенных одинаковых источников равна ЭДС одного источника:

Формула закона Ома для параллельного соединения источников имеет вид:

Параллельное соединения удобно тогда» когда сопротивление внешней части цепи значительно меньше внутреннего сопротивления одного источника.

При смешанном соединении батареи источников тока (параллельно или последовательно) в свою очередь соединяют последовательно или параллельно (рис. 1.54).

Pиc. 1.54. Смешанное соединение источников тoκa