Arcsin как найти все углы

  • Определение

  • График арксинуса

  • Свойства арксинуса

  • Таблица арксинусов

Определение

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция.

Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Если синус угла у равен х (sin y = x), значит арксинус x равняется y:

arcsin x = sin-1 x = y

Примечание: sin-1x означает обратный синус, а не синус в степени -1.

Например:

arcsin 1 = sin-1 1 = 90° (π/2 рад)

График арксинуса

Функция арксинуса пишется как y = arcsin (x). График в общем виде выглядит следующим образом (-1≤x≤1, -π/2≤y≤π/2):

График арксинуса

Свойства арксинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арксинуса с формулами.

Таблица арксинусов
x arcsin x (рад) arcsin x (°)
-1 -π/2 -90°
-√3/2 -π/3 -60°
-√2/2 -π/4 -45°
-1/2 -π/6 -30°
0 0 0°
1/2 π/6 30°
√2/2 π/4 45°
√3/2 π/3 60°
1 π/2 90°

microexcel.ru

Источник
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, п, р, о, т, и, в, о, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, г, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction right arrow a, r, c, s, i, n, left parenthesis, start fraction, start text, п, р, о, т, и, в, о, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, г, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, г, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction right arrow a, r, c, c, o, s, left parenthesis, start fraction, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, г, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, п, р, о, т, и, в, о, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, end fraction right arrow a, r, c, t, g, left parenthesis, start fraction, start text, п, р, о, т, и, в, о, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
Источник

Содержание:

При изучении тригонометрических функций часто возникает вопрос о нахождении значения аргумента, при котором значение функции равно заданному числу.

Нахождение значения аргумента

Например, найдем все значения аргумента, при которых значение функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

На единичной окружности найдем точки Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения ординаты которых равны Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияЭтим точкам соответствуют углы Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения  и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияи таких углов бесконечно много. Однако, если рассмотреть промежуток Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то на нем функция Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения из промежутка Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения существует единственное число Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения такое что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так на промежутке Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решениясуществует единственное значение аргумента, при котором значение функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения равно Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения — это угол равный Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения( рис.93) 

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арксинуса

Определение:

Арксинусом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения синус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 94).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №1

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

  Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №2

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения так как

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 95, б).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Заметим, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения ( рис.95)  Так как углы, соответствующие точкам Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения где Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения с ординатами Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения отличаются только знаком, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 96).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Пусть Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения тогда Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как точкиАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения имеют противоположные ординаты, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то по определению арксинуса Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Отметим, что областью определения выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения является отрезок Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения не имеет смысла.

Например, выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения  не имеют смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения не имеет смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арксинуса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Рассмотрим промежуток Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения на котором функция Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения возрастает и принимает все значения от Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения до 1. Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения из промежутка Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения существует единственное число Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения такое, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арккосинуса

Определение:

Арккосинусом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения косинус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 97).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например: Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
 

Пример №3

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №4

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения ( рис. 98.а)

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения ( рис.98.б)

Заметим, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения ( см.98) 

Пусть Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так как точки Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения имеют противоположные абсциссы, то Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то по определению арккосинуса Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 99).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Областью определения выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения  является отрезок Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения не имеет смысла.

Так, выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения не имеют смысла, поскольку

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Выражение Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения не имеет смысла, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арккосинуса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

На промежутке монотонности Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения существует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арктангенса

Определение:

Арктангенсом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения тангенс которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 100).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Так, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №5

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения верно равенство Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 101).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения 

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №6

Найдите значение выражения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Из определения арктангенса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

На промежутке монотонности Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения функции Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Определение Арккотангенса

Определение:

Арккотангенсом числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения называется угол, принадлежащий промежутку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения котангенс которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 102).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения
Этот угол обозначают Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения поскольку

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №7

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения так как

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Для любого числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения верно равенство Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения (рис. 103).

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №8

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Из определения арккотангенса числа следует, что Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения если Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения и Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Например, Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Примеры заданий и их решения

Пример №9

Верно ли, что:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

а) Верно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

б)    верно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

в)    неверно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

г)    неверно, так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №10

Вычислите:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №11

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №12

Оцените значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

По определению арктангенса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим: Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №13

Найдите область определения выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 а) По определению арксинуса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения это угол, синус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

б)    По определению арккосинуса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения это угол, косинус которого равен Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №14

Найдите значение выражения:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №15

Вычислите Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

 Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №16

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулой Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения Поскольку Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения то эту формулу сразу применить нельзя.

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решенияАрксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Пример №17

Найдите значение выражения Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

Решение:

Так как Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения при Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

  • Тригонометрические уравнения
  • Тригонометрические неравенства
  • Формулы приведения
  • Синус, косинус, тангенс суммы и разности
  • Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
  • Функция y=sin x и её свойства и график
  • Функция y=cos x и её свойства и график
  • Функции y=tg x и y=ctg x — их свойства, графики
Источник
  1. Понятие арксинуса
  2. График и свойства функции y=arcsinx
  3. Уравнение sin⁡x=a
  4. Примеры

Определение синуса через отношение сторон прямоугольника и с помощью числовой окружности – см. §2 данного справочника.
Свойства функции y=sinx на всей области определения (xinmathbb{R}) — см. §4 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций — см. §2 справочника для 9 класса.

п.1. Понятие арксинуса

В записи (y=sinx) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – синус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному синусy найти угол. Но одному значению синусa соответствует бесконечное количество углов. Например, если (sinx=1), то (x=fracpi2+2pi k, kinmathbb{Z}); если (sinx=0), то (x=pi k, kinmathbb{Z}) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором синус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: (-fracpi2 leq xleq fracpi2) (правая половина числовой окружности).

Арксинусом числа (a |a|leq 1) называется такое число (xin[-fracpi2; fracpi2]), синус которого равен (a). $$ begin{cases} arcsina=x\ |a|leq 1 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} sinx=a\ -fracpi2leq xleq fracpi2 end{cases} $$

Например:

(arcsinfrac12=fracpi6, arcsinleft(-frac{sqrt{3}}{2}right)=-frac{pi}{3})
(arcsin2) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arcsinx

График и свойства функции y=arcsin x
1. Область определения (-1leq xleq1).
2. Функция ограничена сверху и снизу (-fracpi2leq arcsinxleq fracpi2). Область значений (yin[-fracpi2; fracpi2])
3. Максимальное значение (y_{max}=fracpi2) достигается в точке x=1
Минимальное значение (y_{min}=-fracpi2) достигается в точке x =-1
4. Функция возрастает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
6. Функция нечётная: (arcsin(-x)=-arcsin(x)).

п.3. Уравнение sin⁡x=a

Уравнение sinx=a Значениями арксинуса могут быть только углы от (-fracpi2) до (fracpi2) (от -90° до 90°). А как выразить другие углы через арксинус?

Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.

Например:

1) Решим уравнение (sinx=frac12).
Найдем точку (frac12) в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через через эту точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам (fracpi6) и (frac{5pi}{6}) — это базовые корни.
Если взять корень справа (fracpi6) и прибавить к нему полный оборот (fracpi6+2pi=frac{13pi}{6}), синус полученного угла (sinfrac{13pi}{6}=frac12), т.е. (frac{13pi}{6}) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида (fracpi6+2pi k) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида (frac{5pi}{6}+2pi k).
Получаем ответ: (x_1=fracpi6+2pi k) и (x_2=frac{5pi}{6}+2pi k)
Заметим, что (arcsinfrac12=fracpi6). Полученный ответ является записью вида
(x_1=arcsinfrac12+2pi k) и (x_2=pi-arcsinfrac12+2pi k)
А т.к. арксинус для (frac12) точно известен и равен (fracpi6), то мы его просто подставляем и пишем ответ. Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение (sinx=0,8)

Уравнение sin⁡x=a Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках.
По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8.
Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin⁡0,8).
Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни.
Получаем ответ:
(x_1=arcsin0,8+2pi k,)
(x_2=pi-arcsin0,8+2pi k)

В общем случае:

Если (|a|leq 1), то уравнение (sinx=a) имеет решения $$ left[ begin{array} {l l} x=arcsina+2pi k\ x=pi-arcsina+2pi k end{array} right. Leftrightarrow x=(-1)^k arcsina+pi k, kinmathbb{Z} $$ Если (|a|gt 1) уравнение решений не имеет.

Докажем, что семейства решений для корней справа и слева можно записать одним выражением (x=(-1)^k arcsina+pi k).
Действительно, для чётных (k=2n) получаем: $$ x=(-1)^{2n} arcsina+pi cdot 2n=arcsina+2pi n $$ это семейство решений для корня справа (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Для нечётных (k=2n+1):
$$ x=(-1)^{2n+1} arcsina+pi cdot (2n+1)=-arcsina+2pi n +pi=pi-arcsina+2pi n $$ это семейство решений для корня слева (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Обратное преобразование двух семейств решений в общую запись аналогично.
Следовательно: $$ x=(-1)^k arcsina+pi kLeftrightarrow left[ begin{array} {l l} x=arcsina+2pi n\ x=pi-arcsina+2pi n end{array} right. $$ Что и требовалось доказать.

Для примеров, решённых выше, можем записать: $$ 1) left[ begin{array} {l l} x_1=fracpi6+2pi k\ x_2=frac{5pi}{6}+2pi k end{array} right. Leftrightarrow x=(-1)^kfracpi6 +pi k $$
$$ 2) left[ begin{array} {l l} x_1=arcsin0,8+2pi k\ x_2=pi-arcsin0,8+2pi k end{array} right. Leftrightarrow x=(-1)^karcsin0,8 +pi k $$ Выбор общей или раздельной записи решения зависит от задачи.
Как правило, если ответ еще не найден, и нужны дальнейшие преобразования, решение записывают как два раздельных семейства.
Если же просто нужно записать ответ, то пишут общее выражение.

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arcsinx) область определения (-1leq xleq 1), область значений (-fracpi2leq yleq fracpi2).
Обратная функция (y=sinx) должна иметь ограниченную область определения (-fracpi2leq xleq fracpi2) и область значений (-1leq yleq 1).
Строим графики:
Пример 1
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) (sin x=-1)
Пример 2
(x=-fracpi2+2pi k)		 б) (sin x=frac{sqrt{2}}{2})
Пример 2
$$ left[ begin{array} {l l} x_1=fracpi4+2pi k\ x_2=frac{3pi}{4}+2pi k end{array} right. Leftrightarrow x=(-1)^frac{pi}{4} +pi k $$
в) (sin x=0)
Пример 2
(x=pi k)		 г) (sin x=sqrt{2})
Пример 2
(sqrt{2}gt 1, xinvarnothing)
Решений нет
д) (sin x=0,7)
Пример 2
begin{gather*} left[ begin{array} {l l} x_1=arcsin(0,7)+2pi k\ x_2=pi-arcsin(0,7)+2pi k end{array} right. Leftrightarrow\ Leftrightarrow x=(-1)^k arcsin(0,7) +pi k end{gather*}		 e) (sin x=-0,2)
Пример 2
Арксинус нечетный, поэтому: $$ srcsin(-0,2)=-arcsin(0,2) $$ Получаем: begin{gather*} left[ begin{array} {l l} x_1=-arcsin(0,2)+2pi k\ x_2=pi+arcsin(0,7)+2pi k end{array} right. Leftrightarrow\ Leftrightarrow x=(-1)^{k+1}arcsin(0,2) +pi k end{gather*}

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arcsin0,2; arcsin(-0,7); arcsinfracpi4 $$

Пример 3 Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси синусов (ось OY) точки с абсциссами 0,2; -0,7; (fracpi4approx 0,79)
Значения синусов (углы) считываются на правой половине окружности: чем больше синус (от -1 до 1), тем больше угол (от (-fracpi2) до (fracpi2)).
Получаем: $$ arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4 $$
Пример 3 Способ 2. Решение с помощью графика (y=arcsinx)

Отмечаем на оси OY аргументы 0,2; -0,7; (fracpi4approx 0,79). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арксинусов по возрастанию: $$ arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4 $$
Способ 3. Аналитический
Арксинус – функция возрастающая: чем больше аргумент, тем больше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по возрастанию: -0,7; 0,2; (fracpi4).
И записываем арксинусы по возрастанию: (arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4)

Пример 4*. Решите уравнения:
(a) arcsin(x^2-3x+3)=fracpi2) begin{gather*} x^2-3x+3=sinfracpi2=1\ x^2-3x+2=0\ (x-2)(x-1)=0\ x_1=1, x_2=2 end{gather*} Ответ: {1; 2}

(б) arcsin^2x-arcsinx-2=0)
( text{ОДЗ:} -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arcsin x, -fracpi2leq tleq fracpi2)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-2=0Rightarrow (t-2)(t+1)=0Rightarrow left[ begin{array} {l l} t_1=2gt fracpi2 — text{не подходит}\ t_2=-1 end{array} right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: begin{gather*} arcsinx=-1\ x=sin(-1)=-sin1 end{gather*} Ответ: -sin1

(в) arcsin^2x-pi arcsinx+frac{2pi^2}{9}=0)
( text{ОДЗ:} -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arcsin x, -fracpi2leq tleq fracpi2)
Решаем квадратное уравнение: begin{gather*} t^2-pi t+frac{2pi^2}{9}=0\ D=(-pi)^2-4cdot frac{2pi^2}{9}=frac{pi^2}{9}, sqrt{D}=fracpi3 Rightarrow left[ begin{array} {l l} t_1=frac{pi-fracpi3}{2}=fracpi3\ t_2=frac{pi+fracpi3}{2}=frac{2pi}{3}gt fracpi2 — text{не подходит} end{array} right. end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной:
begin{gather*} arcsinx=fracpi3\ x=sinfracpi3=frac{sqrt{3}}{2} end{gather*} Ответ: (frac{sqrt{3}}{2})

Источник

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – начальные сведения

Задача, обратная нахождению значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла (числа), подразумевает нахождение угла (числа) по известным значениям тригонометрических функций. Она приводит к понятиям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

В этой статье мы дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, введем принятые обозначения, а также приведем примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. В заключение упомянем про аркфункции и покажем, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс связаны с единичной окружностью.

Навигация по странице.

Определения, обозначения, примеры

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс можно определить как угол и как число. Это связано с тем, что мы определили синус, косинус, тангенс и котангенс как угла, так и числа (смотрите синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии). Остановимся на обоих подходах к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как угол

Пусть про угол альфа α известно лишь то, что его синус равен числу 1/2 , то есть, sinα=1/2 . Последнее равенство определяет угол α неоднозначно, так как ему удовлетворяет бесконечное множество углов α=(−1) k ·30°+180°·k ( α=(−1) k ·π/6+π·k ), где k∈Z . Однако, если потребовать, чтобы величина угла α в градусах принадлежала отрезку [−90, 90] (в радианах – отрезку [−π/2, π/2] ), то равенство sinα=1/2 будет определять угол альфа однозначно. При этом условии равенству удовлетворяет единственный угол в 30 градусов ( π/6 радианов).

Вообще, равенство sinα=a (не путайте a и альфа: a и α ) при любом числе a∈[−1, 1] и условии −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ) определяет единственный угол α . Этот угол называют арксинусом числа a .

Арксинус числа a∈[−1, 1] – это угол −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ), синус которого равен a .

Аналогично определяются арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Арккосинус числа a∈[−1, 1] – это угол 0°≤α≤180° ( 0≤α≤π ), косинус которого равен a .

Арктангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол −90° ( −π/2 ), тангенс которого равен a .

Арккотангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол 0° ( 0 ), котангенс которого равен a .

Для записи арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса приняты следующие обозначения: arcsin , arccos , arctg и arcctg . То есть, арксинус числа a можно записать как arcsin a , арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a запишутся соответственно как arccos a , arctg a и arcctg a .

Также можно встретить обозначения arctan и arccot , они являются другой формой обозначения арктангенса и арккотангенса, которая принята в англоязычной литературе. Мы же арктангенс и арккотангенс будем обозначать как arctg и arcctg .

В свете введенных обозначений, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа можно записать более формально:

arcsin a , a∈[−1, 1] , есть такой угол α , что −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ) и sinα=a ;

arccos a , a∈[−1, 1] , есть такой угол α , что 0°≤α≤180° ( 0≤α≤π ) и cosα=a ;

arctg a , a∈(−∞, +∞) , есть такой угол α , что −90° ( −π/2 ) и tgα=a ;

arcctg a , a∈(−∞, +∞) , есть такой угол α , что 0° ( 0 ) и ctgα=a .

Подчеркнем, что арксинус и арккосинус числа определен для чисел, принадлежащих отрезку [−1, 1] , для остальных чисел арксинус и арккосинус не определен. Например, не имеет смысла запись arcsin2 . Аналогично не определен арксинус пяти, арксинус минус корня из трех, арккосинус семи целых двух третьих и арккосинус минус пи, так как числа 2 , 5 , , −π выходят за пределы числового отрезка от −1 до 1 . В свою очередь записи arctg a и arcctg a имеют смысл для любого действительного числа a , например, имеют смысл записи arctg0 , arctg(−500,2) , arcctg(6·π+1) и т.п.

Теперь можно привести примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Начнем с примеров арксинуса. Определение арксинуса позволяет утверждать, что угол π/3 является арксинусом числа , то есть, (здесь и α=π/3 ). Действительно, число принадлежит отрезку [−1, 1] , угол π/3 лежит в пределах от −π/2 до π/2 и . Приведем еще несколько примеров арксинуса числа: arcsin(−1)=−90° , arcsin(0,5)=π/6 , .

А вот π/10 не является арксинусом 1/2 , так как sin(π/10)≠1/2 . Еще пример: несмотря на то, что синус 270 градусов равен −1 , угол 270 градусов не является арксинусом минус единицы, так как 270 градусов не является углом в пределах от −90 до 90 градусов. Более того, угол 270 градусов вообще не может быть арксинусом какого-либо числа, так как арксинус числа должен лежать в пределах от −90 до 90 градусов.

Для полноты картины приведем примеры арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Например, угол 0 радианов является арккосинусом единицы, то есть, arccos1=0 (так как выполняются все условия из определения арккосинуса: число 1 принадлежит отрезку от −1 до 1 , угол нуль радианов лежит в пределах от нуля до пи включительно и cos0=1 ). Аналогично, угол π/2 есть арккосинус нуля: arccos0=π/2 . По определению арктангенса числа arctg(−1)=−π/4 или arctg(−1)=−45° . Арктангенс корня из трех равен 60 градусам ( π/3 рад). А из определения арккотангенса можно заключить, что arcctg0=π/2 , так как угол π/2 лежит в рамках от 0 до пи и ctg(π/2)=0 .

Подобный подход к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса описан в учебнике Кочеткова [1, с. 260-278] .

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как число

Когда мы имеем дело с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять как угол. Если же мы начинаем говорить про синус, косинус, тангенс и котангенс числа, а не угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять уже как число.

Арксинусом числа a∈[−1, 1] называется такое число t∈[−π/2, π/2] , синус которого равен a .

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1 1 либо а n ,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1) n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите корни ур-ния

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

Наконец, решениями ур-ния

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

Далее рассмотрим ур-ние вида

Задание. Решите ур-ние

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin ( — π 2 ) = — 1 , sin ( — π 3 ) = — 3 2 , sin ( — π 4 ) = — 2 2 , sin ( — π 6 ) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от — 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

в р а д и а н а х

α — 1 — 3 2 — 2 2 — 1 2 0 1 2 2 2 3 2
a r c sin α к а к у г о л — π 2 — π 3 — π 4 — π 6 0 π 6 π 4 π 3
в г р а д у с а х — 90 ° — 60 ° — 45 ° — 30 ° 0 ° 30 ° 45 ° 60 °
a r c sin α к а к ч и с л о — π 2 — π 3 — π 4 — π 6 0 π 6 π 4 π 3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos ( — 1 ) = π , arccos ( — 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( — 2 2 ) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

в р а д и а н а х

α — 1 — 3 2 — 2 2 — 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1
a r c cos α к а к у г о л π 5 π 6 3 π 4 2 π 3 π 2 π 3 π 4 π 6 0
в г р а д у с а х 180 ° 150 ° 135 ° 120 ° 90 ° 60 ° 45 ° 30 ° 0 °
a r c cos α к а к ч и с л о π 5 π 6 3 π 4 2 π 3 π 2 π 3 π 4 π 6 0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α — 3 — 1 — 3 3 0 3 3 1 3
a r c t g a к а к у г о л в р а д и а н а х — π 3 — π 4 — π 6 0 π 6 π 4 π 3
в г р а д у с а х — 60 ° — 45 ° — 30 ° 0 ° 30 ° 45 ° 60 °
a r c t g a к а к ч и с л о — π 3 — π 4 — π 6 0 π 6 π 4 π 3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( — α ) = — a r c sin α , a r c cos ( — α ) = π — a r c cos α , a r c t g ( — α ) = — a r c t g α , a r c c t g ( — α ) = π — a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном a r c sin α = — π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

источники:

http://100urokov.ru/predmety/urok-4-prostejshaya-trigonometriya

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/nahozhdenie-znachenij-arksinusa-arkkosinusa-arktan/

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Не работает карта памяти в телефоне как исправить
  • Как найти площадь четырехугольникп
  • Как найти степень окисления cuo
  • Как исправить черствость
  • Word слова переносятся по буквам как исправить

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии